第一篇：陜西省高中數(shù)學(xué)第二章解析幾何初步2.1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程教案2北師大版

2.1.1 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程

教學(xué)目標(biāo) 三維目標(biāo)：

1，知識(shí)與技能：

（1）理解橢圓的定義，掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其推導(dǎo)過(guò)程；（2）理解求曲線(xiàn)方程的一般方法.2，過(guò)程與方法：

（1）讓學(xué)生體會(huì)橢圓做法，理解定義和標(biāo)準(zhǔn)方程研究過(guò)程，理解并掌握求曲線(xiàn)方程的方法和數(shù)形結(jié)合的思想，體會(huì)整個(gè)過(guò)程；

（2）掌握并提高運(yùn)用解析幾何一般方法解決問(wèn)題的能力.（3）提高學(xué)生分組討論、歸納、總結(jié)、分析解決問(wèn)題的能力.3，情感態(tài)度與價(jià)值觀：

通過(guò)探究學(xué)習(xí)，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，感受感受探索知識(shí)獲取知識(shí)的樂(lè)趣與喜悅,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；培養(yǎng)學(xué)生善于思考，樂(lè)于探索創(chuàng)新的科學(xué)精神，提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)美的理解。

學(xué)情分析：

在學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容以前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了直線(xiàn)和圓的相關(guān)問(wèn)題及解決解析幾何問(wèn)題的一些基本方法，如坐標(biāo)法解決幾何問(wèn)題等。這為學(xué)習(xí)橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程奠定了基礎(chǔ)。經(jīng)過(guò)一年半的高中學(xué)習(xí)，學(xué)生的計(jì)算能力、分析解決問(wèn)題的能力、歸納概括能力、建模能力都有所提高，具有了探究學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容的能力。但是橢圓較之于直線(xiàn)與圓明顯難度有所加大。所以在本節(jié)課的學(xué)習(xí)過(guò)程中，橢圓定義的相關(guān)問(wèn)題及橢圓方程的推導(dǎo)化簡(jiǎn)對(duì)學(xué)生將是一個(gè)挑戰(zhàn)。

重點(diǎn)難點(diǎn) 教學(xué)重點(diǎn)：

重點(diǎn)：橢圓定義及橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程 教學(xué)難點(diǎn)：

難點(diǎn)：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有關(guān)問(wèn)題。4教學(xué)過(guò)程

【導(dǎo)入】導(dǎo)入

（一）情景導(dǎo)入設(shè)計(jì)通過(guò)實(shí)例認(rèn)識(shí)橢圓 1，圖片展示：行星軌道；

2，讓學(xué)生列舉現(xiàn)實(shí)中與橢圓有關(guān)的實(shí)例。

（汽車(chē)儲(chǔ)油罐橫截面的外輪廓線(xiàn)；汽車(chē)車(chē)標(biāo)的輪廓線(xiàn)等）

（二）動(dòng)手畫(huà)橢圓

（師）問(wèn)題一：圓是怎么定義的？（生）答

（師）問(wèn)題二：圓是到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的問(wèn)題，那么如果到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和為定值，會(huì)是怎樣的圖像呢？ 1.作圖：

（教師指導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手）

請(qǐng)學(xué)生和同桌一起合作畫(huà)圖。2.討論探究

（師）問(wèn)題：試著回答什么是橢圓？

由學(xué)生畫(huà)圖及演示橢圓的形成過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生分組討論歸納定義。

【講授】講授

【練習(xí)】練習(xí)

【作業(yè)】作業(yè) 書(shū)面作業(yè)教材習(xí)題；

課外練習(xí)在網(wǎng)絡(luò)上搜索有關(guān)橢圓的素材加深對(duì)橢圓的理解。

【測(cè)試】反思

整個(gè)教學(xué)過(guò)程由于課堂比較開(kāi)放，學(xué)生在思考、討論、計(jì)算過(guò)程中可能出現(xiàn)各種各樣的問(wèn)題，教師要認(rèn)真組織教學(xué)過(guò)程，還有就是對(duì)課堂教學(xué)時(shí)間的把握，學(xué)生討論的度要把握到位，討論不充分，討論沒(méi)有意義，討論太隨意，又達(dá)不到預(yù)期的效果。這也就是這節(jié)課成敗的關(guān)鍵所在。

第二篇：2.1.1 橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)案(教師版)

高二數(shù)學(xué)選修1-1學(xué)案

2.1.1

橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程（3）

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

（1）理解并熟練應(yīng)用橢圓的定義；

（2）使學(xué)生理解軌跡與軌跡方程的區(qū)別與聯(lián)系；

（3）掌握軌跡問(wèn)題的一般求法：定義法、直接法、相關(guān)點(diǎn)法.學(xué)習(xí)重點(diǎn)：利用橢圓的定義求與橢圓相關(guān)的軌跡問(wèn)題.學(xué)習(xí)難點(diǎn)：軌跡問(wèn)題的一般解法.學(xué)習(xí)過(guò)程：

一、課前準(zhǔn)備：

閱讀教材P34~P36的內(nèi)容，找出疑惑之處，并思考以下問(wèn)題：

2yx??1；距離之和等于6的1.到定點(diǎn)(?3,0)和(3,0)距離之和等于8的點(diǎn)的軌跡是1672點(diǎn)的軌跡是y?0(?3?x?3).2yx1??1上的每一個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)都縮短為原來(lái)的，橫坐標(biāo)都縮短為原來(lái)的2.把橢圓1625521，則所得的曲線(xiàn)的方程是x2?y2?1.4二、新課導(dǎo)學(xué)：

【例1】已知點(diǎn)A(?2,0)，B(2,0)，直線(xiàn)l1過(guò)點(diǎn)A，直線(xiàn)l2過(guò)點(diǎn)B，若l1、l2的斜 率之積為?3，求l1、l2的交點(diǎn)P的軌跡方程.4【解析】設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y)，依題意，得l1、l2的斜率分別為 k1?yyyy3???，k2?，（x??2），于是x?2x?2x?24x?222yx??1（x??2）.化簡(jiǎn)得43【例2】已知兩圓A：(x?1)?y?1，B：(x?1)?y?25，動(dòng)圓M與圓A外切，與圓B內(nèi)切，2222yQMPBA求動(dòng)圓M的圓心M的軌跡方程.【解析】設(shè)動(dòng)圓M的半徑為R，連AM，則

|AM|?R?1，①

x

設(shè)動(dòng)圓M與圓B相切與點(diǎn)Q，連BQ，則BQ經(jīng)過(guò)M，|BM|?5?R

② ①?②得 |AM|?|BM|?6，由橢圓的定義知，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是橢圓，焦點(diǎn)是A、B，定長(zhǎng)為6，yx設(shè)橢圓方程為2?2?1，ab則a?3，c?1，所以b2?8，2yx??1.所以動(dòng)圓M的圓心M的軌跡方程98222yQPBoA動(dòng)動(dòng)手：已知圓A：(x?3)2?y2?64，圓A內(nèi)一定點(diǎn)B(?3,0)，動(dòng)圓P過(guò)B點(diǎn)且與圓A內(nèi)切，求圓心P的軌跡方程.【解析】設(shè)動(dòng)圓P的半徑為R，圓P與圓A相切與點(diǎn)Q，連AQ，則|AQ|?8，|AP|?8?R

① 又 |BP|?R

②

①?②得 |AP|?|BP|?8，x由橢圓的定義知，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是橢圓，焦點(diǎn)是A、B，定長(zhǎng)為8，yx設(shè)橢圓方程為2?2?1，ab則a?4，c?3，所以b2?7，2yx??1.所以動(dòng)圓P的圓心P的軌跡方程1672yx??1上移動(dòng)，求線(xiàn)段OP的中點(diǎn)M的軌跡方程.【例3】動(dòng)點(diǎn)P在橢圓1682222【解析】設(shè)M(x,y)，則P(2x,2y)，因?yàn)镻在橢圓上，所以

2(2x)(2y)yx??1，即??1為所求的軌跡方程.16842222動(dòng)動(dòng)手：已知x軸上的一定點(diǎn)A(1,?2)，M為橢圓跡方程.【解析】設(shè)P(x,y)，M(x?,y?)，則有

?2x?x??1?x??2x?1 ?，所以?，??2y?y?2y?2y?2??x24?y2?1上的動(dòng)點(diǎn)，求AM中點(diǎn)P的軌因?yàn)镸為橢圓P的軌跡方程.x24?y2(2x?1)2?(2y?2)?1即為所求的動(dòng)點(diǎn)?1上的動(dòng)點(diǎn)，所以

42三、總結(jié)提升：

例1是直接法求軌跡方程，使用這種方法時(shí)，要把動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)為(x,y)，然后利用題設(shè)條件列出關(guān)于x、y的關(guān)系式，化簡(jiǎn)解得軌跡方程.例2是利用橢圓的定義求軌跡方程，注意平面幾何知識(shí)的應(yīng)用，尋找符合橢圓定義的條件，得出軌跡方程.例3是相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程，特點(diǎn)是將動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)轉(zhuǎn)移到其它點(diǎn)上，在利用其它 點(diǎn)的條件，得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.這三種方法是求軌跡方程的常用方法，要認(rèn)真體會(huì)這些方法的運(yùn)用.四、反饋練習(xí)：

1.到兩坐標(biāo)軸距離相等的點(diǎn)的軌跡方程是（D）A.y?x B.y??x C.y??x D.y??x 2.到兩點(diǎn)A(1,1)、B(?3,1)距離相等的點(diǎn)的軌跡方程是（B）A.y?1?0 B.y??1 C.x??1 D.x?1?0

2yx??1運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)B3.坐標(biāo)系中O、A、B三點(diǎn)共線(xiàn)，|OA|?2|AB|，點(diǎn)A在橢圓322yx??1.的軌跡方程是271822*4.?ABC的三條邊a、b、c成等差數(shù)列，且滿(mǎn)足a?b?c，A(?1,0)，C(1,0)，求頂點(diǎn)2yx??1B的軌跡方程 432(?2?x?0.)

yB5.已知點(diǎn)A(?2,0)，點(diǎn)B是圓F：(x?2)2?y2?36上的動(dòng)點(diǎn)，線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)交BF于P，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.【解析】因?yàn)辄c(diǎn)P在線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)上，所以|PA|?|PB|，又|BF|?|PF|?|PB|?6，PAoFx所以|PF|?|PA|?6，根據(jù)橢圓的定義，點(diǎn)P的軌跡是橢圓，焦點(diǎn)是A、F，2a?6，所以a?3，c?2，求得b2?5，2yx??1.所以點(diǎn)P的軌跡方程為952

五、學(xué)后反思：

第三篇：橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程教案2(精)

橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程教案2

教學(xué)目的

(1)使學(xué)生理解橢圓的定義，掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)通過(guò)橢圓概念的引入與標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生分析探索能力，增強(qiáng)運(yùn)用坐標(biāo)法解決幾何問(wèn)題的能力．

教學(xué)過(guò)程

一、橢圓概念的引入

第一組問(wèn)題——復(fù)習(xí)提問(wèn)：

1．什么叫做曲線(xiàn)的方程？

2．直線(xiàn)方程的一般形式是什么？簡(jiǎn)述直線(xiàn)與二元一次方程的關(guān)系．

3．圓的一般方程是什么？主要特征是什么？

對(duì)上述問(wèn)題學(xué)生的回答基本正確，如一般同學(xué)均能初步了解曲線(xiàn)方程的意義，理解直線(xiàn)與二元一次方程Ax＋By＋C＝0是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，掌握?qǐng)A的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，它是關(guān)于x、y的二元二次方

22程，且具有以下重要特征：(1)x與y的系數(shù)都是1；(2)缺xy這樣的項(xiàng)；(3)D2＋E2－4F＞0．

[溫故而知新，以舊帶新，便于引導(dǎo)學(xué)生在已有的知識(shí)基礎(chǔ)上去探求新知識(shí)．]

第二組問(wèn)題——引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想、歸納、分析、發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題：

1．如前所述，每一個(gè)二元一次方程都表示一條直線(xiàn)，那么每一個(gè)二元二次方程是否都表示圓，若不是，具備什么條件下它所表示的曲線(xiàn)就不是圓？

對(duì)此問(wèn)題學(xué)生一般能回答：“當(dāng)x2與y2系數(shù)不相等時(shí)或xy項(xiàng)的系數(shù)不為零[有的同學(xué)指出不滿(mǎn)足上述條件(3)時(shí)]，這樣的方程所表示的曲線(xiàn)都不是圓．”

2．圓的幾何特征是什么？

一般學(xué)生能回答：“圓上任意一點(diǎn)到圓心(定點(diǎn))的距離等于半徑(定長(zhǎng))”．這時(shí)要進(jìn)一步提問(wèn)：“除上述特征外，你還能說(shuō)出具有哪些特征的點(diǎn)的軌跡也是圓？”啟發(fā)學(xué)生回憶所學(xué)的例題、習(xí)題中有關(guān)的軌跡命題．學(xué)生翻閱課本后能回答：

“到兩定點(diǎn)距離平方和為常量的動(dòng)點(diǎn)軌跡是圓．”

“到兩定點(diǎn)距離之比為一常量的動(dòng)點(diǎn)軌跡也是圓．”

(對(duì)此，經(jīng)提示，有學(xué)生補(bǔ)充這一常量應(yīng)不等于1，否則為線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)．)

“到兩定點(diǎn)連線(xiàn)斜率乘積等于－1的動(dòng)點(diǎn)軌跡也是圓．”(當(dāng)然還應(yīng)除去兩定點(diǎn)．)

[啟發(fā)學(xué)生對(duì)已有的知識(shí)進(jìn)行歸納、提煉，以便為新概念的引入作好自然的鋪墊．]

第三組問(wèn)題——深入思考與探索：

1．一般二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0既然不完全表示圓，那么它還可能表示什么樣的曲線(xiàn)呢？當(dāng)系數(shù)A、B、C、D、E取各種不同數(shù)值時(shí)，相應(yīng)的方程代表的曲線(xiàn)將有什么差別呢？能否找到一般性規(guī)律，得出這些曲線(xiàn)的大致形象？

這些問(wèn)題并不一定要求學(xué)生回答，旨在引起學(xué)生積極思考，激發(fā)學(xué)生強(qiáng)烈的探索欲望．

2．如上，我們已經(jīng)知道“到兩定點(diǎn)距離平方和為常量”或“到兩定點(diǎn)距離之比為常量”的點(diǎn)的軌跡，你是否可類(lèi)似地提出一些軌跡命題作更廣泛的探索？

類(lèi)比的能力大部分學(xué)生是具備的(盡管程度有差別)，經(jīng)過(guò)教師啟發(fā)引導(dǎo)，學(xué)生們會(huì)提出下列軌跡命題，如：

“到兩定點(diǎn)距離之和等于常量的動(dòng)點(diǎn)軌跡．”

“到兩定點(diǎn)距離平方差等于常量的動(dòng)點(diǎn)軌跡．”

“到兩定點(diǎn)距離之差等于常量的動(dòng)點(diǎn)軌跡．”

“到定點(diǎn)與定直線(xiàn)距離相等的動(dòng)點(diǎn)軌跡．”

以上是學(xué)生受到已做習(xí)題的啟發(fā)而提出的．

還有學(xué)生通過(guò)類(lèi)比提出：

“到兩定點(diǎn)距離的立方和(差)等于常量的動(dòng)點(diǎn)軌跡”；“到定點(diǎn)與定直線(xiàn)距離的比為常量的動(dòng)點(diǎn)軌跡”；“到定點(diǎn)與定直線(xiàn)的距離和(差)等于常量的動(dòng)點(diǎn)軌跡”；等等．

對(duì)同學(xué)們這種大膽設(shè)想，勇于探索的精神教師予以大力肯定，表示贊賞，并指出同學(xué)們所提出的這些問(wèn)題正是我們后一段學(xué)習(xí)中要逐步解決的問(wèn)題，而同學(xué)們自己也可運(yùn)用坐標(biāo)法探求它們的方程，根據(jù)方程描點(diǎn)畫(huà)圖，也可設(shè)法用實(shí)驗(yàn)方法描繪具有這些特征的幾何圖形．

[以上從方程與曲線(xiàn)兩方面，也就是從數(shù)與形兩條“線(xiàn)路”引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想、分析、探索，這樣，引出新曲線(xiàn)的概念已是水到渠成了．]

譬如說(shuō)，同學(xué)們提出的“若動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之和等于常量，則此動(dòng)點(diǎn)軌跡是什么？請(qǐng)同學(xué)們不妨嘗試一下，看看能否設(shè)計(jì)一種 繪圖方法，畫(huà)出符合這種幾何條件的軌跡．

(課前要求學(xué)生準(zhǔn)備圖釘若干，細(xì)線(xiàn)一根．)

學(xué)生紛紛動(dòng)手，相互磋商，觀摩，不一會(huì)大部分同學(xué)已畫(huà)出；再讓一個(gè)學(xué)生在黑板上用準(zhǔn)備好的工具演示，同學(xué)們都高興地叫起來(lái)，軌跡是橢圓！

教師問(wèn)：“橢圓，在哪些地方見(jiàn)過(guò)？”

有的學(xué)生說(shuō)：“立體幾何中圓的直觀圖．”

(立體幾何中采取的也是近似畫(huà)法，但教材中已提出橢圓名稱(chēng)．)

有的學(xué)生說(shuō)：“人造衛(wèi)星運(yùn)行軌道．”

(這是學(xué)生從物理課本中了解的．)

有的學(xué)生說(shuō)：“餅干罐頭盒，灑水車(chē)，裝油車(chē)等．”

教師指出：確切地說(shuō)，應(yīng)是它們的橫截面的輪廓線(xiàn)．

[按學(xué)生認(rèn)識(shí)規(guī)律與心理特征引導(dǎo)學(xué)生自己分析、探索、啟發(fā)學(xué)生認(rèn)識(shí)新的概念，至于新概念在實(shí)際中的形象也放手讓學(xué)生自己對(duì)照、回顧，增強(qiáng)實(shí)踐感受，這樣更有利于學(xué)生學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)．]

在上述基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生概括橢圓定義．學(xué)生開(kāi)始只強(qiáng)調(diào)主要幾何特征——到兩定點(diǎn)距離之和等于常量．這時(shí)教師通過(guò)演示(將穿有粉筆的細(xì)線(xiàn)拉到黑板平面外)啟發(fā)學(xué)生思考．學(xué)生認(rèn)識(shí)到需加上限制條件：“在平面內(nèi)．”教師則追問(wèn)：“否則會(huì)形成什么幾何圖形？”學(xué)生想象到是橢球形．教師邊演示邊提示學(xué)生注意：這里的常量有什么限制嗎？若這個(gè)常量等于兩定點(diǎn)距離？小于呢？學(xué)生認(rèn)識(shí)到，這時(shí)都不可能形成橢圓，前者變成了線(xiàn)段，后者軌跡不存在；若要軌跡是橢圓，還必須加上限制條件：“此常量大于兩定點(diǎn)之間的距離．”

這樣，學(xué)生得出了完整的橢圓定義：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)(大于兩定點(diǎn)距離)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓．

教師順便指出：我們規(guī)定其中兩定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)之間的距離叫做焦距．

二、推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

給出橢圓的定義后，教師即可提出：由橢圓定義，可以知道它的基本幾何特征，但對(duì)于這種新曲線(xiàn)還具有哪些性質(zhì)，我們幾乎一無(wú)所知，因此需要利用坐標(biāo)法先建立橢圓的方程．

[讓學(xué)生明確思維的目的，才能調(diào)動(dòng)學(xué)生思維的積極性．]

如何建立曲線(xiàn)方程？首先應(yīng)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系．建立坐標(biāo)系時(shí)，一般應(yīng)符合簡(jiǎn)單和諧化的原則．如使關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)、關(guān)鍵幾何量(距離、直線(xiàn)斜率等)的表達(dá)式簡(jiǎn)單化，注意充分利用圖形的對(duì)稱(chēng)性．

[讓學(xué)生在思考議論中加強(qiáng)對(duì)這種優(yōu)化原則的認(rèn)識(shí)．]

這樣，大多數(shù)學(xué)生認(rèn)識(shí)到下列選取方法是適宜的：

以?xún)啥c(diǎn)F1．F2的連線(xiàn)為x軸；以線(xiàn)段F1F2的垂直平分線(xiàn)為y軸，設(shè)|F1F2|＝2c(c＞0)，M(x，y)為橢圓上任一點(diǎn)，則有F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)．

下面讓學(xué)生利用兩點(diǎn)間距離公式，根據(jù)橢圓定義即可寫(xiě)出橢圓的方程

[正確選取坐標(biāo)系是解析幾何解題的基本技巧之一，教學(xué)中應(yīng)著重培養(yǎng)學(xué)生這方面的能力．]

教師指出：上面所得方程直接反映了橢圓定義所確定的橢圓本質(zhì)屬性，但為了更進(jìn)一步利用方程探討橢圓其他性質(zhì)，需要盡量簡(jiǎn)化方程形式，使數(shù)量關(guān)系更加明朗化．

(化簡(jiǎn)方程可讓學(xué)生完成．)

多數(shù)學(xué)生利用初中簡(jiǎn)化無(wú)理方程的一般方法進(jìn)行，移項(xiàng)后兩邊平方逐步化去根號(hào)，與教材中化簡(jiǎn)過(guò)程類(lèi)似，教師在巡回觀察指導(dǎo)中，啟發(fā)幾個(gè)反映較快的學(xué)生仔細(xì)觀察兩個(gè)根號(hào)下代數(shù)式的特征，設(shè)法先化去其中一個(gè)根號(hào)．即將等式

[(x＋c)2＋y2]－[(x－c)2＋y2]＝4cx，兩邊分別除以方程兩邊，即得

與原方程聯(lián)立易得

注意a＞c，則可得

為使方程更為對(duì)稱(chēng)和諧起見(jiàn)，由a2－c2＞0，令a2－c2＝b2，則得方程

[坐標(biāo)法即用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題，因此熟練運(yùn)用代數(shù)變形技巧是十分重要的，學(xué)生常因運(yùn)算能力不強(qiáng)而功虧一簣．缺乏一定的運(yùn)算能力在解析幾何中幾乎是寸步難行，因此教學(xué)中必須注意不失時(shí)機(jī)加強(qiáng)運(yùn)算技能的訓(xùn)練！]

關(guān)于證明所得的方程是橢圓方程，因教材中對(duì)此要求不高，教師可簡(jiǎn)要作些提示：

若點(diǎn)(x′，y′)適合方程

則此點(diǎn)應(yīng)在橢圓上，事實(shí)上由

由上述變形逆推即可得

注意到a＞c，且|x′|≤a，則可知

即點(diǎn)(x′，y′)到兩定點(diǎn)F1和F2距離之和為2a．

故點(diǎn)(x′，y′)必在橢圓上．

教師指出：由于我們恰當(dāng)?shù)剡x取了坐標(biāo)系，充分運(yùn)用了圖形的對(duì)稱(chēng)特征，因此得到的方程簡(jiǎn)單、對(duì)稱(chēng)，具有和諧美，特別便于根據(jù)方程分析研究橢圓許多有趣的性質(zhì)．這一簡(jiǎn)化的方程稱(chēng)為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(焦點(diǎn)在x軸上)．

三、供課后思考的參考題

1．推導(dǎo)橢圓方程時(shí)，若使焦點(diǎn)在y軸上[即為F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)]，你能知道此時(shí)方程形式嗎？它與焦點(diǎn)在x軸上的方程有何聯(lián)系？

(1)橢圓的對(duì)稱(chēng)性；(2)橢圓的范圍及常數(shù)a、b具有什么幾何特征；(3)這一方程與圓x2＋y2＝a2作一比較，兩者有何聯(lián)系？由兩方程分別得出

回顧三角函數(shù)圖像y＝Asinx與y＝sinx的關(guān)系你能提出什么設(shè)想？

等式中發(fā)現(xiàn)橢圓的又一重要特征嗎？

教案說(shuō)明

(1)這份教案是針對(duì)重點(diǎn)中學(xué)班級(jí)設(shè)計(jì)的，也在筆者所在學(xué)校不止一次實(shí)施過(guò)．教案設(shè)計(jì)的基本指導(dǎo)思想是著眼于提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自覺(jué)性與基本學(xué)習(xí)能力，增強(qiáng)課堂教學(xué)的啟發(fā)性與培養(yǎng)性，因此教學(xué)安排與一般設(shè)想不同．目前教學(xué)中常受考試干擾，比較注重實(shí)用性與所謂“硬指標(biāo)”．如本節(jié)課常常直接給出定義，盡快得出兩種標(biāo)準(zhǔn)方程，舉例示范，使學(xué)生課外能學(xué)會(huì)使用方程解答課本習(xí)題．而這份教案卻花一定氣力引導(dǎo)學(xué)生回顧、探索、分析，然后引出橢圓的概念，隨后只建立了焦點(diǎn)在x軸上的標(biāo)準(zhǔn)方程，并沒(méi)有要求學(xué)生會(huì)使用；另外關(guān)于由方程研究橢圓性質(zhì)常常安排在后面的課內(nèi)，這里卻又提前讓學(xué)生思考，似乎都是“軟指標(biāo)”，在考試中也不一定用得上．不同的設(shè)想反映出不同的著眼點(diǎn)與數(shù)學(xué)教學(xué)目的的認(rèn)識(shí)差別，把知識(shí)與方法作為結(jié)果給予學(xué)生，還是著重引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟獲得這些結(jié)果的思想與方法，是把學(xué)生作為接受教師傳授知識(shí)的客體，還是增強(qiáng)學(xué)生的內(nèi)在活力，使學(xué)生成為自覺(jué)主動(dòng)學(xué)習(xí)的主體．本教案如前所述，重點(diǎn)放在概念引入與方程建立的思維過(guò)程上，從圓錐曲線(xiàn)整體結(jié)構(gòu)考慮，讓學(xué)生獲得比較完整的認(rèn)識(shí)過(guò)程，初步建立起總體思維框架，至于結(jié)果的熟練與運(yùn)用在以后的逐步強(qiáng)化訓(xùn)練中是不難達(dá)到的．教學(xué)的實(shí)踐也證明，這樣是有利于學(xué)生基本數(shù)學(xué)素質(zhì)的提高，在以后的雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)的教學(xué)中可見(jiàn)其成效．

(2)這份教案設(shè)計(jì)的另一思想是探索在基礎(chǔ)知識(shí)教學(xué)過(guò)程中如何加強(qiáng)學(xué)生能力的培養(yǎng)．?dāng)?shù)學(xué)上每一個(gè)重要概念的引入與定義，每一個(gè)重要定理(法則、公式)的發(fā)現(xiàn)與推證，幾乎都?xì)v經(jīng)前人長(zhǎng)期觀察、比較、分析、抽象、概括、創(chuàng)造的漫長(zhǎng)過(guò)程．這樣長(zhǎng)期的探索過(guò)程中往往蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)中一些重要的思想方法，對(duì)思維有著重要的啟迪作用，教學(xué)中若不充分認(rèn)識(shí)甚至放棄這些絕好的培養(yǎng)機(jī)會(huì)，將是教學(xué)上的重大失策．當(dāng)然，作為教學(xué)不必要(也不可能)完全重復(fù)前人漫長(zhǎng)的探索過(guò)程，但若細(xì)心體會(huì)、抓住方法的精神實(shí)質(zhì)，精心組織設(shè)計(jì)，創(chuàng)造良好情景，就可使多數(shù)學(xué)生處于亢奮狀態(tài)，增強(qiáng)探索者的自信心理，學(xué)習(xí)前人的探究精神，逐步領(lǐng)會(huì)其中的主要思想方法．在教學(xué)中長(zhǎng)期堅(jiān)持這樣做，必可大大提高學(xué)生的思維素質(zhì)與學(xué)習(xí)能力，使教學(xué)獲得良好的效果．

第四篇：橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程 教案.doc

學(xué)習(xí)資 料

教學(xué)目標(biāo)

1．掌握橢圓的定義，掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式及其推導(dǎo)過(guò)程；

2．能根據(jù)條件確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，掌握運(yùn)用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

3．通過(guò)對(duì)橢圓概念的引入教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和探索能力；

4．通過(guò)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，使學(xué)生進(jìn)一步掌握求曲線(xiàn)方程的一般方法，并滲透數(shù)形結(jié)合和等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想方法，提高運(yùn)用坐標(biāo)法解決幾何問(wèn)題的能力；

5．通過(guò)讓學(xué)生大膽探索橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和創(chuàng)新意識(shí)．

教學(xué)建議 教材分析 1． 知識(shí)結(jié)構(gòu)

2．重點(diǎn)難點(diǎn)分析

重點(diǎn)是橢圓的定義及橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式．難點(diǎn)是橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的建立和推導(dǎo)．關(guān)鍵是掌握建立坐標(biāo)系與根式化簡(jiǎn)的方法．

橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程這一節(jié)教材整體來(lái)看是兩大塊內(nèi)容：一是橢圓的定義；二是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．橢圓是圓錐曲線(xiàn)這一章所要研究的三種圓錐曲線(xiàn)中首先遇到的，所以教材把對(duì)橢圓的研究放在了重點(diǎn)，在雙曲線(xiàn)和拋物線(xiàn)的教學(xué)中鞏固和應(yīng)用．先講橢圓也與第七章的圓的方程銜接自然．學(xué)好橢圓對(duì)于學(xué)生學(xué)好圓錐曲線(xiàn)是非常重要的．

（1）對(duì)于橢圓的定義的理解，要抓住橢圓上的點(diǎn)所要滿(mǎn)足的條件，即橢圓上點(diǎn)的幾何性質(zhì)，可以對(duì)比圓的定義來(lái)理解．

另外要注意到定義中對(duì)“常數(shù)”的限定即常數(shù)要大于 現(xiàn)兩種特殊情況，即：“當(dāng)常數(shù)等于

．這樣規(guī)定是為了避免出

時(shí)無(wú)軌

時(shí)軌跡是一條線(xiàn)段；當(dāng)常數(shù)小于

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學(xué)習(xí)資 料

跡”．這樣有利于集中精力進(jìn)一步研究橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)．但講解橢圓的定義時(shí)注意不要忽略這兩種特殊情況，以保證對(duì)橢圓定義的準(zhǔn)確性．

（2）根據(jù)橢圓的定義求標(biāo)準(zhǔn)方程，應(yīng)注意下面幾點(diǎn)：

①曲線(xiàn)的方程依賴(lài)于坐標(biāo)系，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，是求曲線(xiàn)方程首先應(yīng)該注意的地方．應(yīng)讓學(xué)生觀察橢圓的圖形或根據(jù)橢圓的定義進(jìn)行推理，發(fā)現(xiàn)橢圓有兩條互相垂直的對(duì)稱(chēng)軸，以這兩條對(duì)稱(chēng)軸作為坐標(biāo)系的兩軸，不但可以使方程的推導(dǎo)過(guò)程變得簡(jiǎn)單，而且也可以使最終得出的方程形式整齊和簡(jiǎn)潔．

②設(shè)橢圓的焦距為，橢圓上任一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離為，令，這些措施，都是為了簡(jiǎn)化推導(dǎo)過(guò)程和最后得到的方程形式整齊、簡(jiǎn)潔，要讓學(xué)生認(rèn)真領(lǐng)會(huì)．

③在方程的推導(dǎo)過(guò)程中遇到了無(wú)理方程的化簡(jiǎn)，這既是我們今后在求軌跡方程時(shí)經(jīng)常遇到的問(wèn)題，又是學(xué)生的難點(diǎn)．要注意說(shuō)明這類(lèi)方程的化簡(jiǎn)方法：①方程中只有一個(gè)根式時(shí)，需將它單獨(dú)留在方程的一側(cè)，把其他項(xiàng)移至另一側(cè)；②方程中有兩個(gè)根式時(shí)，需將它們分別放在方程的兩側(cè)，并使其中一側(cè)只有一項(xiàng)．

④教科書(shū)上對(duì)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，實(shí)際上只給出了“橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)都適合方程

“而沒(méi)有證明，”方程 的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在橢圓上”．這實(shí)際上是方程的同解變形問(wèn)題，難度較大，對(duì)同學(xué)們不作要求．

（3）兩種標(biāo)準(zhǔn)方程的橢圓異同點(diǎn)

中心在原點(diǎn)、焦點(diǎn)分別在 軸上，軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程分別為：，．它們的相同點(diǎn)是：形狀相同、大小相同，都有，．不同點(diǎn)是：兩種橢圓相對(duì)于坐標(biāo)系的位置不同，它們的焦點(diǎn)坐標(biāo)也不同．

橢圓的焦點(diǎn)在 軸上 標(biāo)準(zhǔn)方程中 項(xiàng)的分母較大；

橢圓的焦點(diǎn)在 軸上 標(biāo)準(zhǔn)方程中 項(xiàng)的分母較大．

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學(xué)習(xí)資 料

另外，形如 中，只要，同號(hào)，就是橢圓方程，它可以化為

．

（4）教科書(shū)上通過(guò)例3介紹了另一種求軌跡方程的常用方法——中間變量法．例3有三個(gè)作用：第一是教給學(xué)生利用中間變量求點(diǎn)的軌跡的方法；第二是向?qū)W生說(shuō)明，如果求得的點(diǎn)的軌跡的方程形式與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程相同，那么這個(gè)軌跡是橢圓；第三是使學(xué)生知道，一個(gè)圓按某一個(gè)方向作伸縮變換可以得到橢圓． 教法建議

（1）使學(xué)生了解圓錐曲線(xiàn)在生產(chǎn)和科學(xué)技術(shù)中的應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣．

為激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)圓錐曲線(xiàn)的興趣，體會(huì)圓錐曲線(xiàn)知識(shí)在實(shí)際生活中的作用，可由實(shí)際問(wèn)題引入，從中提出圓錐曲線(xiàn)要研究的問(wèn)題，使學(xué)生對(duì)所要研究的內(nèi)容心中有數(shù)，如書(shū)中所給的例子，還可以啟發(fā)學(xué)生尋找身邊與圓錐曲線(xiàn)有關(guān)的例子。

例如，我們生活的地球每時(shí)每刻都在環(huán)繞太陽(yáng)的軌道——橢圓上運(yùn)行，太陽(yáng)系的其他行星也如此，太陽(yáng)則位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上．如果這些行星運(yùn)動(dòng)的速度增大到某種程度，它們就會(huì)沿拋物線(xiàn)或雙曲線(xiàn)運(yùn)行．人類(lèi)發(fā)射人造地球衛(wèi)星或人造行星就要遵循這個(gè)原理．相對(duì)于一個(gè)物體，按萬(wàn)有引力定律受它吸引的另一個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)，不可能有任何其他的軌道．因而，圓錐曲線(xiàn)在這種意義上講，它構(gòu)成了我們宇宙的基本形式，另外，工廠(chǎng)通氣塔的外形線(xiàn)、探照燈反光鏡的軸截面曲線(xiàn)，都和圓錐曲線(xiàn)有關(guān)，圓錐曲線(xiàn)在實(shí)際生活中的價(jià)值是很高的．

（2）安排學(xué)生課下切割圓錐形的事物，使學(xué)生了解圓錐曲線(xiàn)名稱(chēng)的來(lái)歷

為了讓學(xué)生了解圓錐曲線(xiàn)名稱(chēng)的來(lái)歷，但為了節(jié)約課堂時(shí)間，教學(xué)時(shí)應(yīng)安排讓學(xué)生課后親自動(dòng)手切割圓錐形的蘿卜、膠泥等，以加深對(duì)圓錐曲線(xiàn)的認(rèn)識(shí)．

（3）對(duì)橢圓的定義的引入，要注意借助于直觀、形象的模型或教具，讓學(xué)生從感性認(rèn)識(shí)入手，逐步上升到理性認(rèn)識(shí)，形成正確的概念。

教師可從太陽(yáng)、地球、人造地球衛(wèi)星的運(yùn)行軌道，談到圓蘿卜的切片、陽(yáng)光下圓盤(pán)在地面上的影子等等，讓學(xué)生先對(duì)橢圓有一個(gè)直觀的了解。

教師可事先準(zhǔn)備好一根細(xì)線(xiàn)及兩根釘子，在給出橢圓在數(shù)學(xué)上的嚴(yán)格定義之前，教師先在黑板上取兩個(gè)定點(diǎn)（兩定點(diǎn)之間的距離小于細(xì)線(xiàn)的長(zhǎng)度），再讓兩名學(xué)生按教師的要求在以上資料均從網(wǎng)絡(luò)收集而來(lái)

學(xué)習(xí)資 料

黑板上畫(huà)一個(gè)橢圓。畫(huà)好后，教師再在黑板上取兩個(gè)定點(diǎn)（兩定點(diǎn)之間的距離大于細(xì)線(xiàn)的長(zhǎng)度），然后再請(qǐng)剛才兩名學(xué)生按同樣的要求作圖。學(xué)生通過(guò)觀察兩次作圖的過(guò)程，總結(jié)出經(jīng)驗(yàn)和教訓(xùn)，教師因勢(shì)利導(dǎo)，讓學(xué)生自己得出橢圓的嚴(yán)格的定義。這樣，學(xué)生對(duì)這一定義就會(huì)有深刻的了解。

（4）將提出的問(wèn)題分解為若干個(gè)子問(wèn)題，借助多媒體課件來(lái)體現(xiàn)橢圓的定義的實(shí)質(zhì)

在教學(xué)時(shí)，可以設(shè)置幾個(gè)問(wèn)題，讓學(xué)生動(dòng)手動(dòng)腦，獨(dú)立思考，自主探索，使學(xué)生根據(jù)提出的問(wèn)題，利用多媒體，通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)、分析去尋找解決問(wèn)題的途徑。在橢圓的定義的教學(xué)過(guò)程中，可以提出“到兩定點(diǎn)的距離的和為定值的點(diǎn)的軌跡一定是橢圓嗎”，讓學(xué)生通過(guò)課件演示“改變焦距或定值”，觀察軌跡的形狀，從而挖掘出定義的內(nèi)涵，這樣就使得學(xué)生對(duì)橢圓的定義留下了深刻的印象。

（5）注意橢圓的定義與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的聯(lián)系

在講解橢圓的定義時(shí)，就要啟發(fā)學(xué)生注意橢圓的圖形特征，一般學(xué)生比較容易發(fā)現(xiàn)橢圓的對(duì)稱(chēng)性，這樣在建立坐標(biāo)系時(shí)，學(xué)生就比較容易選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系了，即使焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，對(duì)稱(chēng)中心是原點(diǎn)（此時(shí)不要過(guò)多的研究幾何性質(zhì)）．雖然這時(shí)學(xué)生并不一定能說(shuō)明白為什么這樣選擇坐標(biāo)系，但在有了一定感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上再講解選擇適當(dāng)坐標(biāo)系的一般原則，學(xué)生就較為容易接受，也向?qū)W生逐步滲透了坐標(biāo)法．

（6）推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)教師要注意化解難點(diǎn)，適時(shí)地補(bǔ)充根式化簡(jiǎn)的方法．

推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，由于列出的方程為兩個(gè)跟式的和等于一個(gè)非零常數(shù)，化簡(jiǎn)時(shí)要進(jìn)行兩次平方，方程中字母超過(guò)三個(gè)，且次數(shù)高、項(xiàng)數(shù)多，教學(xué)時(shí)要注意化解難點(diǎn)，盡量不要把跟式化簡(jiǎn)的困難影響學(xué)生對(duì)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程的整體認(rèn)識(shí)．通過(guò)具體的例子使學(xué)生循序漸進(jìn)的解決帶跟式的方程的化簡(jiǎn)，即：（1）方程中只有一個(gè)跟式時(shí)，需將它單獨(dú)留在方程的一邊，把其他各項(xiàng)移至另一邊；（2）方程中有兩個(gè)跟式時(shí)，需將它們放在方程的兩邊，并使其中一邊只有一項(xiàng)．（為了避免二次平方運(yùn)算）

（7）講解了焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程后，教師要啟發(fā)學(xué)生自己研究焦點(diǎn)在y軸上的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后鼓勵(lì)學(xué)生探索橢圓的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程的異同點(diǎn)，加深對(duì)橢圓的認(rèn)識(shí)．

（8）在學(xué)習(xí)新知識(shí)的基礎(chǔ)上要鞏固舊知識(shí)

橢圓也是一種曲線(xiàn)，所以第七章所講的曲線(xiàn)和方程的知識(shí)仍然使用，在推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中要注意進(jìn)一步鞏固曲線(xiàn)和方程的概念．對(duì)于教材上在推出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程后，并沒(méi)有證明所求得的方程確是橢圓的方程，要注意向?qū)W生說(shuō)明并不與前面所講的曲線(xiàn)和方程的概念矛盾，而是由于橢圓方程的化簡(jiǎn)過(guò)程是等價(jià)變形，而證明過(guò)程較繁，所以教材沒(méi)有要求也沒(méi)

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學(xué)習(xí)資 料

有給出證明過(guò)程，但學(xué)生要注意并不是以后都不需要證明，注意只有方程的化簡(jiǎn)是等價(jià)變形的才可以不用證明，而實(shí)際上學(xué)生在遇到一些具體的題目時(shí)，還需要具體問(wèn)題具體分析．

（9）要突出教師的主導(dǎo)作用，又要強(qiáng)調(diào)學(xué)生的主體作用，課上盡量讓全體學(xué)生參與討論，由基礎(chǔ)較差的學(xué)生提出猜想，由基礎(chǔ)較好的學(xué)生幫助證明，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)結(jié)協(xié)作的團(tuán)隊(duì)精神。

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第五篇：橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程教案

橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程教案

教學(xué)目標(biāo):

(一)知識(shí)目標(biāo)：掌握橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程，能正確推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，會(huì)由標(biāo)準(zhǔn)方程求出橢圓的交點(diǎn)和焦距；

(二)能力目標(biāo)：通過(guò)對(duì)橢圓概念的引入和標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生分析、探索的能力，增強(qiáng)學(xué)生運(yùn)用代數(shù)法解決幾何問(wèn)題的能力；

(三)情感目標(biāo)：激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣、提高學(xué)生的審美情趣、培養(yǎng)學(xué)生勇于探索,敢于創(chuàng)新的精神。

教學(xué)重點(diǎn):橢圓的定義和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)。教學(xué)難點(diǎn):橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)。

教學(xué)方法:探究式教學(xué)法（教師通過(guò)問(wèn)題誘導(dǎo)→啟發(fā)討論→探索結(jié)果，引導(dǎo)學(xué)生直觀觀察→歸納抽象→總結(jié)規(guī)律，使學(xué)生在獲得知識(shí)的同時(shí),能夠掌握方法、提升能力。）

教具準(zhǔn)備:自制教具(圓柱體、細(xì)繩)。

教學(xué)過(guò)程:(一)啟發(fā)誘導(dǎo)，推陳出新

1、復(fù)習(xí)舊知識(shí)：拉直一根細(xì)線(xiàn)，一端固定，作一個(gè)圓，由此回憶圓的定義（到一點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡），圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

2、提出新問(wèn)題：到兩點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)是什么軌跡呢？ 嘗試作圖；

3、創(chuàng)設(shè)情境，引出課題：“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”。(二)小組合作，形成概念

下面請(qǐng)同學(xué)們思考下面的問(wèn)題：

1、在作圖時(shí),視筆尖為動(dòng)點(diǎn)，線(xiàn)的兩個(gè)固定的端點(diǎn)為定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之和符合什么條件？其軌跡如何？

2、改變兩端點(diǎn)之間的距離,使其與繩長(zhǎng)相等,畫(huà)出的圖形還是橢圓嗎？

3、當(dāng)繩長(zhǎng)小于兩圖釘之間的距離時(shí),還能畫(huà)出圖形嗎？

學(xué)生經(jīng)過(guò)動(dòng)手操作→獨(dú)立思考→小組討論→共同交流的探究過(guò)程，得出這樣三個(gè)結(jié)論：橢圓、線(xiàn)段、不存在。

歸納出橢圓的定義：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于定長(zhǎng)(大于F1F2)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做橢圓的焦距。

(三)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)

1、建立適當(dāng)坐標(biāo)系（讓學(xué)生根據(jù)自己的經(jīng)驗(yàn)來(lái)確定）

原則：盡可能使方程的形式簡(jiǎn)單、運(yùn)算簡(jiǎn)單；主要應(yīng)使曲線(xiàn)對(duì)于坐標(biāo)軸具有較多的對(duì)稱(chēng)性。

2、標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)過(guò)程如下：

①建立直角坐標(biāo)系：以直線(xiàn)F1F2為x軸，線(xiàn)段F1F2的垂直平分線(xiàn)為y軸，建

立如圖所示的坐標(biāo)系；

②確定點(diǎn)的坐標(biāo)：設(shè)F1F2?2c，則F1??c，0?，F(xiàn)2?c，0?，設(shè)P?x，y?是橢圓上的任意一點(diǎn)；

③設(shè)定長(zhǎng)為2a，由條件PF1?PF2?2a得

?x?c?2?y2??x?c?2?y2?2a；

x2y2④化簡(jiǎn)：得到橢圓方程為2?2?1。

ab（通過(guò)學(xué)生自己動(dòng)手推導(dǎo)方程是學(xué)生構(gòu)建知識(shí)的一個(gè)過(guò)程。）

3、歸納方程特點(diǎn)，鞏固上述知識(shí)。

4、延伸：①焦點(diǎn)在y軸上：F1?0，?c?，F(xiàn)2?0，c?

y2x2②方程：2?2?1

ab③a，b，c的關(guān)系：b2?a2?c2，a?b?0，a?c?0

(四)例題講解

例1：平面內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn)的距離是8，寫(xiě)出到這兩個(gè)定點(diǎn)距離的和是10的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。

解：這個(gè)軌跡是橢圓，兩個(gè)定點(diǎn)是焦點(diǎn)，用F1、F2表示。

取過(guò)點(diǎn)F1和F2的直線(xiàn)為x軸，線(xiàn)段F1F2的垂直平分線(xiàn)為y軸。?2a?10，2c?8

?a?5，c?4，b2?a2?c2?52?42?9，即b?3

x2y2x2y2?這個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是2?2?1，即??1

25953（例1是鞏固橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程）

x2y2x2y2??1與橢圓c2:??1的焦點(diǎn)。

例2：分別求橢圓c1:433解：?4?3

?橢圓c1的焦點(diǎn)在x軸上，橢圓c2的焦點(diǎn)在y 軸上

a2?4，b2?3，c?a2?b2?1

??1，?橢圓c1的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是0?和?1，0? ?0，是?1?和?0，1?。

橢圓c2的兩個(gè)焦點(diǎn)分別（例2會(huì)由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)和焦距）

(五)課堂練習(xí)

課本P61 A 1(2)(3)2(3)(4)(五)課堂小結(jié)

1、橢圓定義

2、焦點(diǎn)分別在x軸和y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（結(jié)合圖形，表述焦點(diǎn)坐標(biāo)，焦距，系數(shù)的關(guān)系等）

3、考慮一下將橢圓平移到坐標(biāo)軸任意位置時(shí)的坐標(biāo)，留給同學(xué)們課后思考

4、布置作業(yè)：課本P61 A 1(1)(4)2(1)(2)