第一篇：高考數(shù)學(xué)難點(diǎn)歸納22 軌跡方程的求法教案

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難點(diǎn)22 軌跡方程的求法

求曲線的軌跡方程是解析幾何的兩個(gè)基本問題之一.求符合某種條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，其實(shí)質(zhì)就是利用題設(shè)中的幾何條件，用“坐標(biāo)化”將其轉(zhuǎn)化為尋求變量間的關(guān)系.這類問題除了考查學(xué)生對(duì)圓錐曲線的定義，性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)的掌握，還充分考查了各種數(shù)學(xué)思想方法及一定的推理能力和運(yùn)算能力，因此這類問題成為高考命題的熱點(diǎn)，也是同學(xué)們的一大難點(diǎn).●難點(diǎn)磁場

(★★★★)已知A、B為兩定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M到A與到B的距離比為常數(shù)λ,求點(diǎn)M的軌跡方程，并注明軌跡是什么曲線.●案例探究

［例1］如圖所示，已知P(4，0)是圓x+y=36內(nèi)的一點(diǎn)，A、B是圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠APB=90°，求矩形APBQ的頂點(diǎn)Q的軌跡方程.命題意圖：本題主要考查利用“相關(guān)點(diǎn)代入法”求曲線的軌跡方程，屬★★★★★級(jí)題目.知識(shí)依托：利用平面幾何的基本知識(shí)和兩點(diǎn)間的距離公式建立線段AB中點(diǎn)的軌跡方程.錯(cuò)解分析：欲求Q的軌跡方程，應(yīng)先求R的軌跡方程，若學(xué)生思考不深刻，發(fā)現(xiàn)不了問題的實(shí)質(zhì)，很難解決此題.技巧與方法：對(duì)某些較復(fù)雜的探求軌跡方程的問題，可先確定一個(gè)較易于求得的點(diǎn)的軌跡方程，再以此點(diǎn)作為主動(dòng)點(diǎn)，所求的軌跡上的點(diǎn)為相關(guān)點(diǎn)，求得軌跡方程.解：設(shè)AB的中點(diǎn)為R，坐標(biāo)為(x,y)，則在Rt△ABP中，|AR|=|PR|.又因?yàn)镽是弦AB的中點(diǎn)，依垂徑定理：在Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2－|OR|2=36－(x2+y2)又|AR|=|PR|=(x?4)2?y2

所以有(x－4)2+y2=36－(x2+y2),即x2+y2－4x－10=0 因此點(diǎn)R在一個(gè)圓上，而當(dāng)R在此圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)即在所求的軌跡上運(yùn)動(dòng).設(shè)Q(x,y)，R(x1,y1)，因?yàn)镽是PQ的中點(diǎn)，所以x1=代入方程x+y－4x－10=0,得

(x?42)?(22

2x?42,y1?y?02, 22y2)?4?2x?42－10=0 整理得：x2+y2=56,這就是所求的軌跡方程.［例2］設(shè)點(diǎn)A和B為拋物線 y2=4px(p＞0)上原點(diǎn)以外的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求點(diǎn)M的軌跡方程，并說明它表示什么曲線.(2000年北京、安徽春招)命題意圖：本題主要考查“參數(shù)法”求曲線的軌跡方程，屬★★★★★級(jí)題目.知識(shí)依托：直線與拋物線的位置關(guān)系.錯(cuò)解分析：當(dāng)設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2)時(shí)，注意對(duì)“x1=x2”的討論.技巧與方法：將動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)x、y用其他相關(guān)的量表示出來，然后再消掉這些量，從而就建立了關(guān)于x、y的關(guān)系.解法一：設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y)依題意，有

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???2?y1?4px1?2y?4px2?2?y1y2???1 ?xx2?1?yy?y12??1???xx1?x2?y?yy?y112??x?x1?x1?x2① ② ③ ④ ⑤

①－②得(y1－y2)(y1+y2)=4p(x1－x2)若x1≠x2,則有2y1?y2x1?x2

2?2

4py1?y2

⑥

①3②,得y12y2=16px1x2

③代入上式有y1y2=－16p2

⑥代入④，得4py1?y24py1?y2

⑦ ⑧

??xy

⑥代入⑤，得?y?y1x?x1?y?y1x?y12

4p所以4py1?y2?4p(y?y1)4px?y12

即4px－y12=y(y1+y2)－y12－y1y2

⑦、⑧代入上式，得x2+y2－4px=0(x≠0)當(dāng)x1=x2時(shí)，AB⊥x軸，易得M(4p,0)仍滿足方程.故點(diǎn)M的軌跡方程為x2+y2－4px=0(x≠0)它表示以(2p,0)為圓心，以2p為半徑的圓，去掉坐標(biāo)原點(diǎn).解法二：設(shè)M(x,y)，直線AB的方程為y=kx+b

由OM⊥AB，得k=－

xy

由y2=4px及y=kx+b，消去y,得k2x2+(2kb－4p)x+b2=0 所以x1x2=bk22,消x,得ky2－4py+4pb=0

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http://004km.cn 所以y1y2=4pkk4pbk，由OA⊥OB，得y1y2=－x1x2

22所以=－bk,b=－4kp

xy2故y=kx+b=k(x－4p),用k=－

2代入，得x2+y2－4px=0(x≠0)故動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為x+y－4px=0(x≠0)，它表示以(2p,0)為圓心，以2p為半徑的圓，去掉坐標(biāo)原點(diǎn).［例3］某檢驗(yàn)員通常用一個(gè)直徑為2 cm和一個(gè)直徑為1 cm的標(biāo)準(zhǔn)圓柱，檢測一個(gè)直徑為3 cm的圓柱，為保證質(zhì)量，有人建議再插入兩個(gè)合適的同號(hào)標(biāo)準(zhǔn)圓柱，問這兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)圓柱的直徑為多少？

命題意圖：本題考查“定義法”求曲線的軌跡方程，及將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力，屬★★★★★級(jí)題目.知識(shí)依托：圓錐曲線的定義，求兩曲線的交點(diǎn).錯(cuò)解分析：正確理解題意及正確地將此實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題是順利解答此題的關(guān)鍵.技巧與方法：研究所給圓柱的截面，建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，找到動(dòng)圓圓心的軌跡方程.解：設(shè)直徑為3,2,1的三圓圓心分別為O、A、B，問題轉(zhuǎn)化為求兩等圓P、Q,使它們與⊙O相內(nèi)切，與⊙A、⊙B相外切.建立如圖所示的坐標(biāo)系，并設(shè)⊙P的半徑為r,則 |PA|+|PO|=1+r+1.5－r=2.5 ∴點(diǎn)P在以A、O為焦點(diǎn)，長軸長2.5的橢圓上，其方程為

16(x?2514)2?2y32=1

①

同理P也在以O(shè)、B為焦點(diǎn)，長軸長為2的橢圓上，其方程為(x－12)2+43y2=1

②

3912912,),Q(,?)，∴r=?14141414267由①、②可解得P((914)?(21214)2?37

故所求圓柱的直徑為●錦囊妙計(jì)

cm.求曲線的軌跡方程常采用的方法有直接法、定義法、代入法、參數(shù)法.(1)直接法

直接法是將動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件或者等量關(guān)系，直接坐標(biāo)化，列出等式化簡即得動(dòng)點(diǎn)軌跡方程.(2)定義法

若動(dòng)點(diǎn)軌跡的條件符合某一基本軌跡的定義(如橢圓、雙曲線、拋物線、圓等)，可用定義直接探求.(3)相關(guān)點(diǎn)法

根據(jù)相關(guān)點(diǎn)所滿足的方程，通過轉(zhuǎn)換而求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.(4)參數(shù)法

若動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)中的x,y分別隨另一變量的變化而變化，我們可以以這個(gè)變量為參數(shù)，建立軌跡的參數(shù)方程.京翰教育http://004km.cn/

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http://004km.cn 求軌跡方程，一定要注意軌跡的純粹性和完備性.要注意區(qū)別“軌跡”與“軌跡方程”是兩個(gè)不同的概念.●殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練

一、選擇題

1.(★★★★)已知橢圓的焦點(diǎn)是F1、F2，P是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果延長F1P到Q，使得|PQ|=|PF2|，那么動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是（）A.圓

C.雙曲線的一支

x2B.橢圓 D.拋物線

9?y

2.(★★★★)設(shè)A1、A2是橢圓

4=1的長軸兩個(gè)端點(diǎn)，P1、P2是垂直于A1A2的弦的端點(diǎn)，則直線A1P1與A2P2交點(diǎn)的軌跡方程為（）A.C.xx292??yy242?1 ?1

B.D.yy292??xx242?1 ?1

949

4二、填空題

3.(★★★★)△ABC中，A為動(dòng)點(diǎn)，B、C為定點(diǎn)，B(－－sinB=12a2,0),C（a2,0)，且滿足條件sinCsinA,則動(dòng)點(diǎn)A的軌跡方程為_________.4.(★★★★)高為5 m和3 m的兩根旗桿豎在水平地面上，且相距10 m，如果把兩旗桿底部的坐標(biāo)分別確定為A(－5，0)、B(5，0)，則地面觀測兩旗桿頂端仰角相等的點(diǎn)的軌跡方程是_________.三、解答題

5.(★★★★)已知A、B、C是直線l上的三點(diǎn)，且|AB|=|BC|=6，⊙O′切直線l于點(diǎn)A，又過B、C作⊙O′異于l的兩切線，設(shè)這兩切線交于點(diǎn)P，求點(diǎn)P的軌跡方程.6.(★★★★)雙曲線

xa22?yb22=1的實(shí)軸為A1A2，點(diǎn)P是雙曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，引A1Q⊥A1P，A2Q⊥A2P，A1Q與A2Q的交點(diǎn)為Q，求Q點(diǎn)的軌跡方程.7.(★★★★★)已知雙曲線

xm22?yn22=1(m＞0,n＞0)的頂點(diǎn)為A1、A2，與y軸平行的直線l交雙曲線于點(diǎn)P、Q.(1)求直線A1P與A2Q交點(diǎn)M的軌跡方程；

(2)當(dāng)m≠n時(shí)，求所得圓錐曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程和離心率.京翰教育http://004km.cn/

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http://004km.cn 8.(★★★★★)已知橢圓

xa22?yb22=1(a＞b＞0),點(diǎn)P為其上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2為橢圓的焦點(diǎn)，∠F1PF2的外角平分線為l，點(diǎn)F2關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為Q，F(xiàn)2Q交l于點(diǎn)R.(1)當(dāng)P點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求R形成的軌跡方程；

(2)設(shè)點(diǎn)R形成的曲線為C，直線l：y=k(x+2a)與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)△AOB的面積取得最大值時(shí)，求k的值.參考答案

難點(diǎn)磁場

解：建立坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)|AB|=2a,則A(－a,0）,B(a,0).設(shè)M(x,y）是軌跡上任意一點(diǎn).則由題設(shè)，得|MA||MB|=λ,坐標(biāo)代入，得

(x?a)?y(x?a)?y2222=λ,化簡得

(1－λ2)x2+(1－λ2)y2+2a(1+λ2)x+(1－λ2)a2=0(1)當(dāng)λ=1時(shí)，即|MA|=|MB|時(shí)，點(diǎn)M的軌跡方程是x=0，點(diǎn)M的軌跡是直線(y軸).(2)當(dāng)λ≠1時(shí)，點(diǎn)M的軌跡方程是x+y+22

22a(1??)1??22x+a2=0.點(diǎn)M的軌跡是以

(－a(1??)1??2，0）為圓心，2a?|1??|2為半徑的圓.殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練

一、1.解析：∵|PF1|+|PF2|=2a,|PQ|=|PF2|, ∴|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PQ|=2a, 即|F1Q|=2a,∴動(dòng)點(diǎn)Q到定點(diǎn)F1的距離等于定長2a,故動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是圓.答案：A 2.解析：設(shè)交點(diǎn)P(x,y）,A1(－3,0),A2(3,0),P1(x0,y0),P2(x0,－y0)∵A1、P1、P共線，∴

y?y0x?x0y?y0x?x0?yx?3yx?3

∵A2、P2、P共線，∴

?

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22解得x0=,y0?x93yx,代入得x09?y04?1,即x29?y24?1

答案：C

二、3.解析：由sinC－sinB=

12sinA,得c－b=

a212a，2∴應(yīng)為雙曲線一支，且實(shí)軸長為,故方程為

16xa2?16y3a22?1(x?a4).答案：16xa22?16y3a22?1(x?a4)

4.解析：設(shè)P(x,y），依題意有4x2+4y2－85x+100=0.答案：4x2+4y2－85x+100=0

5(x?5)?y22?3(x?5)?y22,化簡得P點(diǎn)軌跡方程為

三、5.解：設(shè)過B、C異于l的兩切線分別切⊙O′于D、E兩點(diǎn)，兩切線交于點(diǎn)P.由切線的性質(zhì)知：|BA|=|BD|，|PD|=|PE|，|CA|=|CE|，故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC| =|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=18＞6=|BC|，故由橢圓定義知，點(diǎn)P的軌跡是以B、C為兩焦點(diǎn)的橢圓，以l所在的直線為x軸，以BC的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系，可求得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為x281?y272=1(y≠0)6.解：設(shè)P(x0,y0）(x≠±a),Q(x,y).∵A1(－a,0),A2(a,0).??x?由條件????x?x0??x(x0??a)?ax0?a?22 得?x?ay0yy??0???1y??ax0?ay?y0??1而點(diǎn)P(x0,y0)在雙曲線上，∴b2x02－a2y02=a2b2.即b(－x)－a(222x?ay22)2=a2b2

化簡得Q點(diǎn)的軌跡方程為：a2x2－b2y2=a4(x≠±a).7.解：(1)設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x1,y1)，則Q點(diǎn)坐標(biāo)為(x1,－y1),又有A1(－m,0),A2(m,0), 則A1P的方程為：y=

y1x1?my1x1?m22(x?m)

①

A2Q的方程為：y=－(x?m)

②

①3②得：y=－

2y12x1?m(x?m)

③

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http://004km.cn 又因點(diǎn)P在雙曲線上，故

x1m22?y1n22?1,即y1?2nm22(x1?m).22代入③并整理得xm22?yn22=1.此即為M的軌跡方程.(2)當(dāng)m≠n時(shí)，M的軌跡方程是橢圓.(ⅰ)當(dāng)m＞n時(shí)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±m(xù)?n,0)，準(zhǔn)線方程為x=±

m22m22?n2,離心率e=m?nm22；

22(ⅱ)當(dāng)m＜n時(shí)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,±m(xù)?n),準(zhǔn)線方程為y=±

22n2,離心率

n?me=n?mn22.8.解：(1)∵點(diǎn)F2關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為Q，連接PQ，∴∠F2PR=∠QPR，|F2R|=|QR|，|PQ|=|PF2| 又因?yàn)閘為∠F1PF2外角的平分線，故點(diǎn)F1、P、Q在同一直線上，設(shè)存在R(x0,y0）,Q(x1,y1),F1(－c,0),F2(c,0).|F1Q|=|F2P|+|PQ|=|F1P|+|PF2|=2a,則(x1+c)2+y12=(2a)2.x1?c?x?0??2又?

y?y?10?2?得x1=2x0－c,y1=2y0.∴(2x0)2+(2y0)2=(2a)2，∴x02+y02=a2.故R的軌跡方程為：x+y=a(y≠0)(2)如右圖，∵S△AOB=

122

|OA|2|OB|2sinAOB=

12a22sinAOB

當(dāng)∠AOB=90°時(shí)，S△AOB最大值為|2ak|1?k2a.2此時(shí)弦心距|OC|=.在Rt△AOC中，∠AOC=45°，?|OC||OA|?|2ak|2?cos45??22,?k??33.a1?k

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第二篇：曲線軌跡方程的求法教案

曲線的軌跡方程的求法

高二年級(jí)數(shù)學(xué)組 王莉

一、教學(xué)目標(biāo)

（1）使學(xué)生掌握常用動(dòng)點(diǎn)的軌跡以及求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的常用技巧與方法。（2）通過對(duì)求軌跡方程的常用技巧與方法的歸納和介紹，培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用各方面知識(shí)的能力。

（3）通過對(duì)求軌跡方程的常用技巧與方法的介紹，使學(xué)生掌握常用動(dòng)點(diǎn)的軌跡，為學(xué)習(xí)物理等學(xué)科打下扎實(shí)的基礎(chǔ)。

二、教學(xué)重難點(diǎn)

1、重點(diǎn)：求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的常用技巧與方法。

2、難點(diǎn)：各種方法的靈活運(yùn)用。

三、教學(xué)工具

（1）教師自制的多媒體課件、三角板，圓規(guī)（2）上課環(huán)境為多媒體大屏幕環(huán)境

四、教學(xué)方法

數(shù)形結(jié)合、合作探究

五、教學(xué)過程

1、高考導(dǎo)向。求的軌跡方程是解析幾何的的基本問題，是高考中的一個(gè)熱點(diǎn)和重點(diǎn)，近幾年高考試題中以綜合問題出現(xiàn)較多。

2、診測補(bǔ)償

（1）解析幾何要要解決的兩個(gè)基本問題是什么?（2）什么是動(dòng)點(diǎn)的軌跡?（3）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的常用方法 有哪些?

3、求曲線方程的步驟：

（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用有序?qū)崝?shù)對(duì)（x,y）表示曲線上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)；（2）寫出適合條件p的點(diǎn)M的集合P={M︱p（M）}；（3）用坐標(biāo)表示條件p（M）,列出方程f（x,y）=0；（4）化方程f（x,y）=0為最簡形式；（5）說明以化簡后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上。

4、求曲線的軌跡方程常采用的方法有直接法、定義法（待定系數(shù)法、相關(guān)點(diǎn)法、參數(shù)法。

題型一 直接法求曲線方程

1、如圖已知F(1,0)，直線l：x＝－1，P為平面上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作l的垂線，垂足為Q，且 解：設(shè)

學(xué)后反思 當(dāng)動(dòng)點(diǎn)所滿足的條件本身就是一些幾何量的等量關(guān)系或這些幾何條件簡單明了易于表達(dá)時(shí)，只要將這種關(guān)系“翻譯”成含x、y的等式就能得到曲線的軌跡方程，這種求軌跡方程的方法稱之為直接法。題型二 利用定義或待定系數(shù)法求曲線方程

2、已知圓

，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程。

C1?x?3?: C1及圓

2?y?12 和圓

C2?x?3?：

2?y2?9

動(dòng)圓M同時(shí)與圓

C2相外切.求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程。

分別外切于點(diǎn)A和點(diǎn)B，解: 設(shè)動(dòng)圓M與圓 C1及圓

C2 ,半徑為R，則 由兩圓相切的定義知，這表明動(dòng)點(diǎn)M到兩定點(diǎn)

C1、C2的距離的差是常數(shù)2.根據(jù)雙曲線的定義，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為雙曲線的左支（點(diǎn)M到到

C2 的距離大，C1的距離?。?，2b?8 其中a=1,c=3,則

y2x??18則其軌跡方程為(x≤-1).2學(xué)后反思

若動(dòng)點(diǎn)軌跡的條件符合某一基本軌跡的定義，如圓、橢圓、雙曲線、拋物線的定義，則可以直接根據(jù)定義求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程: 首先要結(jié)合圓錐曲線的定義，分析出曲線的類型，再按定義寫出標(biāo)準(zhǔn)方程。

（例1）題型三 相關(guān)點(diǎn)法求曲線方程

（例2）

3、以原點(diǎn)為圓心，以r=2為半徑的圓，過圓上任意一點(diǎn)p作x軸的垂線，求中點(diǎn)M的軌跡方程。

解：過圓上任意一點(diǎn)p向x軸作垂線，垂足為Q

即 學(xué)后反思

對(duì)涉及較多點(diǎn)之間的關(guān)系問題，可先設(shè)出它們各自的坐標(biāo)，并充分利用題設(shè)建立它們之間的相關(guān)關(guān)系；再對(duì)它們進(jìn)行轉(zhuǎn)化和化簡，最后求出所求動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)所滿足的方程.這種根據(jù)已知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡方程，求另外一點(diǎn)的軌跡方程的方法稱為代入法或相關(guān)點(diǎn)法.題型四 用參數(shù)法求軌跡方程

2y?4x的頂點(diǎn)O引兩條互相垂直的直線分別與拋物線相交于A、4、過拋物線B兩點(diǎn)，求線段AB的中點(diǎn)P的軌跡方程.解： 由題意知，兩直線的斜率都存在.設(shè)直線OA的斜率為k，則OA:y=kx,OB: y??1xk

?y?kx?2y?4x由 ?得1?y??x?k??y2?4x同理由? 得??12?x?2?2?k????k???y?2?1?k????k?? ?設(shè)P(x,y),則

22y?2x??8y?2x?8 由②^2-2×①，得 即2y?2x?8 故線段AB的中點(diǎn)P的軌跡方程為學(xué)后反思

本題運(yùn)用了參數(shù)法求軌跡.當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)x、y之間的直接關(guān)系不易建立時(shí)，可適當(dāng)?shù)剡x取中間變量t,并用t表示動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)x、y，從而得到動(dòng)點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程

??x?f?t???y?g?t? 消去參數(shù)t，便可得到動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.其中應(yīng)

?注意方程的等價(jià)性和參數(shù)t與動(dòng)點(diǎn)P(x,y)關(guān)系的密切性.（練習(xí)1）

（例4）

5、課堂練習(xí)

ABCD?A1B1C1D1中, 是側(cè)面 BB1C1C內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),若P到直線 BC1、如圖,正方體

C1D1的距離相等,則動(dòng)點(diǎn) 的軌跡所在的曲線是()與直線

A.直線 B.圓 C.雙曲線 D.拋物線

2、等腰三角形ABC中，若一腰的兩個(gè)端點(diǎn)分別為A(4,2)、B(－2,0)，A為頂點(diǎn)，求另一腰的一個(gè)端點(diǎn)C的軌跡方程。

3、已知一條直線 L和它上方的一點(diǎn)F ,點(diǎn)F到L的距離是2,一條曲線也在L的上方,它上面的每一個(gè)點(diǎn)到 F的距離減去到L的距離的差都是2,建立適當(dāng)?shù)刈鴺?biāo)系,求這條曲線的方程。

6、小結(jié)

求曲線的方程常用的幾種方法

（1）直接法（2）定義法(待定系數(shù)法)（3）相關(guān)點(diǎn)法（4）參數(shù)法

六、作業(yè)

習(xí)題3-4 A 1、2、4 B、2

第三篇：求軌跡方程教案

求軌跡的方程

婁底一中 劉瑞華

教學(xué)目標(biāo)：

1、掌握和熟練運(yùn)用求軌跡方程的常用方法.2、培養(yǎng)思維的靈活性和嚴(yán)密性.3、進(jìn)一步滲透“數(shù)形結(jié)合”的思想 教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)：

重點(diǎn)：落實(shí)軌跡方程的幾種常規(guī)求法。

難點(diǎn)：教會(huì)學(xué)生如何審題，選用適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ筌壽E的方程。教學(xué)方法：

討論法、類比法． 教具準(zhǔn)備： 多媒體投影． 教學(xué)設(shè)計(jì)：

求曲線的軌跡方程是解析幾何最基本、最重要的課題之一，是用代數(shù)方法研究幾何問題的基礎(chǔ)。這類題目把基本知識(shí)、方法技巧、邏輯思維能力、解題能力融于一體，因而也是歷屆高考考查的重要內(nèi)容之一。

一、知識(shí)回顧

求曲線軌跡方程的基本步驟

在求曲線的軌跡方程時(shí)，要經(jīng)歷審題、尋找和確定求解途徑、分清解答步驟、逐步推演、綜合陳述、完整作答或給出恰當(dāng)?shù)慕Y(jié)論等多個(gè)不可缺少的環(huán)節(jié)，其基本步驟是：

（1）建系設(shè)點(diǎn)：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，設(shè)曲線上任一點(diǎn)坐標(biāo)M(x,y)；

（2）列式：寫出適合條件的點(diǎn)的集合P?MP(M)，關(guān)鍵是根據(jù)條件列出適合條件的等式；

（3）代換：用坐標(biāo)代換幾何等式，列出方程f(x,y)?0；（4）化簡：把方程f(x,y)?0化成最簡形式；

（5）證明：以化簡后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)。

二、基礎(chǔ)訓(xùn)練

??

1、已知向量OP與OQ是關(guān)于y軸對(duì)稱，且2OPOQ?1則點(diǎn)P?x,y?的軌跡方程是____________

2.△ABC中，A為動(dòng)點(diǎn)，B、C為定點(diǎn)，B(－則動(dòng)點(diǎn)A的軌跡方程為_________.aa1,0),C(,0)，且滿足條件sinC－sinB=sinA,222x2y2??1上的動(dòng)點(diǎn)，則F1F2P重心的軌跡方程為

3、點(diǎn)P是以F1,F2為焦點(diǎn)的橢圓

259___________________.4、已知點(diǎn)P?x,?y滿足x?y?4，則點(diǎn)Q?x,y?x22?的y軌跡方程為_____________________ 解答與分析：

1、y?x?221 方法為：直譯法即是如果動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件本身就是一些幾何量的等量2關(guān)系,則只需直接把這些關(guān)系“翻譯”成x，y的等式，由此得到曲線的方程．

x2y2??1 方法為：定義法就是若動(dòng)點(diǎn)的軌跡的條件符合某一基本軌跡（如：圓，橢2、43圓，雙曲線，拋物線）的定義，則可以根據(jù)定義直接寫出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．

9x2?y2?1?y?0?方法為：代入法就是若動(dòng)點(diǎn)P(x,y)依賴于已知方程的曲線上另一個(gè)動(dòng)3、25點(diǎn)C（x0，y0）運(yùn)動(dòng)時(shí)，找出點(diǎn)P與點(diǎn)C之間的坐標(biāo)關(guān)系式，用（x，y）表示（x0，y0）再將x0，y0代入已知曲線方程，即可得到點(diǎn)P的軌跡方程。

4、y2?2x?4??2?x?2?方法為：所謂參數(shù)法就是在求曲線方程時(shí)，如果動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)x，y關(guān)系不易表達(dá)，可根據(jù)具體題設(shè)條件引進(jìn)一個(gè)（或多個(gè)）中間變量來分別表示動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)x，y，間接地把x，y的關(guān)系找出來，然后消去參數(shù)即可得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．

小結(jié)：

一、由以上幾個(gè)題目可以看出求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程常用的方法有： 1.直譯法;2.定義法

3.相關(guān)點(diǎn)法（代入法）;4.參數(shù)法

二、求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程中的注意點(diǎn)：

1.注意方程的純粹性和完備性即不多不少。2.注意平面幾何知識(shí)的運(yùn)用。3.注意要求是求軌跡方程還是軌跡

三、例題講解

22例1.已知定點(diǎn)A（2，0），點(diǎn)Q是圓x＋y＝1的動(dòng)點(diǎn)，∠AOQ的平分線交AQ于M，當(dāng)Q點(diǎn)在圓上移動(dòng)時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程。的性質(zhì)，知 分析1：由三角形的內(nèi)角平分線|AM|?2，|MQ||AM||OA|?

|MQ||OQ| 而|OA|?2，|OQ|?1，故 即點(diǎn)M分AQ成比為??2，若設(shè)出M（x，y），則由分點(diǎn)坐標(biāo)公式，可表示出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，因Q、M為相關(guān)點(diǎn)，（Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)導(dǎo)致點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)），可采用相關(guān)點(diǎn)法求點(diǎn)M的軌跡方程。

解法1：設(shè)M（x，y），由三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理，得 ∵M(jìn)在AQ上，∴點(diǎn)M分AQ成比為??2，|AM||AO|??2，|MQ||OQ|2?2·x0?x???1?20)若設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x0，y0)，則? 又A(2，0?2·y0?y??1?2?3x?2?x???02 ???y?3y0?2?22而點(diǎn)Q(x0，y0)在圓x2?y2?1上

3x?223y24)?()2?1，化簡，得(x?)2?y2? 22392242 ?點(diǎn)M的軌跡方程為(x?)?y?。

?x0?y0?1，即(性質(zhì)，知 分析2：由三角形的內(nèi)角平分線|AM||AO|??2，|QM||QO| 若過M作MN∥OQ交OA于N，則|AN||AM|??2，|ON||QM|0)，而 從而N(，|MN|? ?23|MN||AM|2??，|OQ|?1，|OQ||AQ|3222|OQ|?為定值，可見動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)N的距離為定值。3332 因此M的軌跡是以N為圓心，半徑為的圓，32242 ?其方程為(x?)?y?，39 而當(dāng)∠AOQ＝180°時(shí)，其角分線為y軸，它與AQ交點(diǎn)為原點(diǎn)O，顯然，該點(diǎn)也滿足上述軌跡方程。

注：此種解法為定義法。例

2、設(shè)過點(diǎn)A?1,0?的直線與拋物線x2?4y交于不同的兩點(diǎn)P,Q，求線段PQ中點(diǎn)M的軌跡方程。

解：法一：設(shè)M?x,y?,P?x1,y1?,Q?x2,y2?，又由已知可設(shè)直線PQ的方程y為：y?k?x?1?，則由

???y?k?x?1?消去??x2?4yy得： x2?4kx?4k?0

?x1?x2?4k,x1x2?4k

x222?y1?x2?x1?x2??2x1x21?y2?4?4?4k2?2k

????x?x1?x2?2k?2消去k得：y?1?x2?x?

?y?y1?y22??2?2k2?2k又直線PQ與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)

??16k2?16k?0即k?1或k?0

?x?2或x?0?點(diǎn)M的軌跡方程為：y?12?x2?x?,?x?2或x?0?

法二：設(shè)M?x,y?,P?x1,y1?,Q?x2,y2?，由P,Q在拋物線上得

???x21?4y1兩式相減得：??x2?x221?x2??4?y1?y2? 2?4y2變形得x1?x1?y22?4yx?x?4kPQ

12?2x?4kyPQ又kPQ?x?1，消去k12PQ得y?2?x?x?。?又由??y?12?x2?x?得其交點(diǎn)坐標(biāo)為?0,0?,?2,1? ??x2?4yQPoAx因?yàn)橹悬c(diǎn)必須在拋物線內(nèi)，由圖可知x?2或x?0

?點(diǎn)M的軌跡方程為：y?

四、小結(jié)

略。

五、作業(yè)

12x?x?,?x?2或x?0? ?

21、過拋物線x2?4y的焦點(diǎn)的弦PQ的中點(diǎn)的軌跡方程？

2、過點(diǎn)A?1,0?的直線與圓x?y?221交于不同的兩點(diǎn)P,Q則PQ的中點(diǎn)的軌跡方程？ 4

第四篇：數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)名師精品教案：第67課時(shí)：第八章 圓錐曲線方程-軌跡問題

數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)名師精品教案

第67課時(shí)：第八章 圓錐曲線方程——軌跡問題（2）

課題：軌跡問題（2）一．復(fù)習(xí)目標(biāo)：

1．掌握求軌跡方程的另幾種方法——相關(guān)點(diǎn)法（代入法）、參數(shù)法（交規(guī)法）； 2．學(xué)會(huì)用適當(dāng)?shù)膮?shù)去表示動(dòng)點(diǎn)的軌跡，掌握常見的消參法． 二．知識(shí)要點(diǎn)：

1．相關(guān)點(diǎn)法（代入法）：對(duì)于兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P(x0,y0),Q(x,y)，點(diǎn)P在已知曲線上運(yùn)動(dòng)導(dǎo)致點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)形成軌跡時(shí)，只需根據(jù)條件找到這兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)之間的等量關(guān)?x0?f(x,y)系并化為?然后將其代入已知曲線的方程即得到點(diǎn)Qy?g(x,y)?0的軌跡方程．

2．參數(shù)法（交規(guī)法）：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)x,y之間的直接關(guān)系不易建立時(shí)，可適當(dāng)?shù)剡x取中間變量t，并用t表示動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)x,y，從而動(dòng)點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程?x?f(t)消去參數(shù)t，便可得到動(dòng)點(diǎn)P?y?g(t)?的的軌跡的普通方程，但要注意方程的等價(jià)性，即有t的范圍確定出x,y的范圍． 三．課前預(yù)習(xí)： 1．已知橢圓Q分FP x225?y216?1的右焦點(diǎn)為F，Q、P分別為橢圓上和橢圓外一點(diǎn)，且點(diǎn)的比為1:2，則點(diǎn)P的軌跡方程為（C）

(A)(x?6)752?y248?1(B)(x?6)752?y248?1(C)(x?6)2252?y2144?1(D)(2x?3)2252?4y2144?1

2．設(shè)動(dòng)點(diǎn)P在直線x?1?0上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)P為直角邊，點(diǎn)O為直角頂點(diǎn)作等腰直角三角形OPQ，則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是（B）

(A)(B)兩條平行直線(C)拋物線(D)雙曲線

3．已知點(diǎn)P(x,y)在以原點(diǎn)為圓心的單位圓上運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)Q(x?y,xy)的軌跡是（B）

(B)

拋物線

(C)橢圓

(D)雙曲線(A)圓

4．雙曲線x24?y23?1關(guān)于直線x?y?2?0對(duì)稱的曲線方程是

(y?2)42?(x?2)32?1

5．傾斜角為的直線交橢圓4?x24?y2?1于A,B兩點(diǎn)，則線段AB中點(diǎn)的軌跡方程是x?4y?0(|x|?455)

四．例題分析： 例1．動(dòng)圓C:(x?1)2?y2?1，過原點(diǎn)O作圓的任一弦，求弦的中點(diǎn)的軌跡方程．

解：

（一）直接法：設(shè)OQ為過O的任一條弦P(x,y)是其中點(diǎn)，則CP?OQ，則????????1212CP?OQ?0 ∴(x?1,y)(x,y)?0，即(x?)?y?(0?x?1)

4（二）定義法：∵?OPC?90120，動(dòng)點(diǎn)P在以M(2212,0)為圓心，OC為直徑的圓上，∴所求點(diǎn)的軌跡方程為(x?)?y?14(0?x?1)

?y?kx

（三）參數(shù)法：設(shè)動(dòng)弦PQ的方程為y?kx，由? 得： 22?(x?1)?y?1(1?k)x?2x?0，設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2)22，PQ的中點(diǎn)為(x,y)，則：

12)?y?22x?x1?x22?11?k2，y?kx?k1?k2 消去k得(x?114(0?x?1)

例2．求過點(diǎn)A(1,2)，離心率為，且以x軸為準(zhǔn)線的橢圓的下方的頂點(diǎn)軌跡方程．

2解：設(shè)橢圓下方的焦點(diǎn)F(x0,y0)，橢圓的下方的頂點(diǎn)為

由定義又x0|AF|2?3212y，∴|AF|?1，即點(diǎn)F的軌跡方程是(x，∴點(diǎn)的P軌跡方程為(x?1)220?1)?(y0?2)?1，22?x,y0??(32y?2)?1.2例3．設(shè)橢圓方程為x坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)求： ?y24?1，過點(diǎn)M（0，1）的直線l交橢圓于點(diǎn)A、B，O是

N的坐標(biāo)為(11,)22????1????????P滿足OP?(OA?OB)，點(diǎn)

2，當(dāng)l繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)時(shí)，（1）動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；

（2）????|NP|的最小值與最大值.（1）解法一：直線l過點(diǎn)M（0，1）設(shè)其斜率為k，則l的方程為y?kx?1.記A(x1,y1)、B(x2,y2),由題設(shè)可得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)(x1,y1)、(x2,y2)是方程組

① ?y?kx?1?2 的解.?2y?1② ?x?4?將①代入②并化簡得，(4?k2)x22k?x?x??,122??4?k于是 ?8?y?y?.122?4?k??2kx?3?0，所以

OP?12(OA?OB)?(x1?x22,y1?y22)?(?k4?k2,44?k2).設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),則

?k?x?,2??4?k消去參數(shù)?4?y?.2?4?k?k得4x2?y?y?0 ③

2當(dāng)k不存在時(shí)，A、B中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)（0，0），也滿足方程③，所以點(diǎn)P的軌跡方程為4x2?y?y?0.2解法二：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y)，因A(x1,y1)、B(x2,y2)在橢圓上，所以

21x?y142?1, ④ x?22212y242?1.⑤

④—⑤得x?x2?1414(y1?y2)?0，所以 22(x1?x2)(x1?x2)?(y1?y2)(y1?y2)?0.當(dāng)x1?x2時(shí)，有x1?x2?14(y1?y2)?y1?y2x1?x2?0.⑥

?x1?x2x?,?2?y1?y2并且? ⑦ y?,?2?y1?y2?y?1?.?x1?x2?x將⑦代入⑥并整理得 4x2當(dāng)x10）?x2時(shí)，點(diǎn)

?y?y?0.⑧

2A、B的坐標(biāo)為（0，2）、（0，－2），這時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，也滿足⑧，所以點(diǎn)P的軌跡方程為

x2(y??1412)2116?1.五．課后作業(yè)： 1．拋物線y2(A)y2?4x經(jīng)過焦點(diǎn)的弦的中點(diǎn)的軌跡方程是（）

2?x?1(B)y?2(x?1)(C)y2?x?12(D)y2?2x?1

2．已知橢圓x29?y24?1的左、右頂點(diǎn)分別為A1和A2，垂直于橢圓長軸的動(dòng)直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)分別為P1和P2，其中P1的縱坐標(biāo)為正數(shù)，則直線A1P1與A2P2的交點(diǎn)M的軌跡方程（）

(A)x29?y24?1(B)y29?x24?1(C)x29?y24?1(D)y29?x24?1

3．已知拋物線y??x2?mx?1(m?R)的頂點(diǎn)為A，那么當(dāng)m變化時(shí)，此拋物線焦點(diǎn)F的軌跡方程是___________________________． 4．自橢圓Mx220?y24?1上的任意一點(diǎn)P向x軸引垂線，垂足為Q，則線段PQ的中點(diǎn)的軌跡方程為

x25．已知橢圓9?y25?1的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是F1、F2，△MF1F2的重心G恰為橢圓上的點(diǎn)，則點(diǎn)M的軌跡方程為 ．

??6．如圖，7．設(shè)x,y?Ri,j為直角坐標(biāo)平面內(nèi)x,y軸正方向上的單位向量，若向的軌跡C的方程． 量a?(x?5)i?????????yj b?(x?5)i?yj，|a|?|b|?8，求點(diǎn)M(x,y)7．某中心接到其正東、正西、正北方向三個(gè)觀測點(diǎn)的報(bào)告：正西、正北兩個(gè)觀測點(diǎn)同時(shí)聽到了一聲巨響，正東觀測點(diǎn)聽到的時(shí)間比其他兩個(gè)觀測點(diǎn)晚4s，已知各觀測點(diǎn)到中心的距離都是1020m，試確定該巨響發(fā)生的位置．（假定當(dāng)時(shí)聲音傳播的速度為340m/s；相關(guān)各點(diǎn)均在同一平面上）8．設(shè)雙曲線C:xa22?yb22右準(zhǔn)線l?1(a?0,b?0)的離心率為e，與兩條漸近線交于P,Q兩點(diǎn)，右焦點(diǎn)為F，且?PQF為等邊三角形．

（1）求雙曲線C的離心率e的值；（2）若雙曲線C被直線y?ax?b截得的弦長為bea22，求雙曲線C的方程；（3）設(shè)雙曲線C經(jīng)過點(diǎn)(1,0)，以F為左焦點(diǎn)，l為左準(zhǔn)線的橢圓，其短軸的端點(diǎn)為B，求BF中點(diǎn)的軌跡方程．

第五篇：高考數(shù)學(xué)難點(diǎn)之?dāng)?shù)學(xué)歸納法解題.doc

高考數(shù)學(xué)難點(diǎn)之?dāng)?shù)學(xué)歸納法解題

數(shù)學(xué)歸納法是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一.類比與猜想是應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法所體現(xiàn)的比較突出的思想，抽象與概括，從特殊到一般是應(yīng)用的一種主要思想方法.●難點(diǎn)磁場

(★★★★)是否存在a、b、c使得等式1·22+2·32+…+n(n+1)2=●案例探究

［例1］試證明：不論正數(shù)a、b、c是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，當(dāng)n＞1,n∈N*且a、b、c互不相等時(shí)，均有：an+cn＞2bn.命題意圖：本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，屬★★★★級(jí)題目.知識(shí)依托：等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)及數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的一般步驟.錯(cuò)解分析：應(yīng)分別證明不等式對(duì)等比數(shù)列或等差數(shù)列均成立，不應(yīng)只證明一種情況.技巧與方法：本題中使用到結(jié)論：(ak－ck)(a－c)＞0恒成立(a、b、c為正數(shù))，從而ak+1+ck+1＞ak·c+ck·a.證明：(1)設(shè)a、b、c為等比數(shù)列，a=

n(n?1)(an2+bn+c).12b,c=bq(q＞0且q≠1)qbnnnn1∴a+c=n+bq=b(n+qn)＞2bn

qqnn

an?cna?cn(2)設(shè)a、b、c為等差數(shù)列，則2b=a+c猜想＞()(n≥2且n∈N*)

22下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

a2?c2a?c2?()①當(dāng)n=2時(shí)，由2(a+c)＞(a+c)，∴

222

22ak?cka?ck?(), ②設(shè)n=k時(shí)成立，即22ak?1?ck?11?(ak+1+ck+1+ak+1+ck+1)則當(dāng)n=k+1時(shí)，241k+1k+1k1(a+c+a·c+ck·a)=(ak+ck)(a+c)44a?cka?ca?ck+1＞()·()=()

222＞［例2］在數(shù)列{an}中，a1=1，當(dāng)n≥2時(shí)，an,Sn,Sn－(1)求a2,a3,a4，并推出an的表達(dá)式；(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明所得的結(jié)論；

用心

愛心

專心

1成等比數(shù)列.2(3)求數(shù)列{an}所有項(xiàng)的和.命題意圖：本題考查了數(shù)列、數(shù)學(xué)歸納法、數(shù)列極限等基礎(chǔ)知識(shí).知識(shí)依托：等比數(shù)列的性質(zhì)及數(shù)學(xué)歸納法的一般步驟.采用的方法是歸納、猜想、證明.1應(yīng)舍去，這一點(diǎn)往往容易被忽視.2k?3111技巧與方法：求通項(xiàng)可證明{}是以{}為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，進(jìn)而求得通錯(cuò)解分析：(2)中，Sk=－SnS12項(xiàng)公式.解：∵an,Sn,Sn－12成等比數(shù)列，∴Sn2=an·(Sn－12)(n≥2)

(1)由a1=1,S2=a1+a2=1+a2,代入(*)式得:a2=－23 由a1=1，a2=－23,S3=13+a3代入(*)式得：a3=－215 ?1(n?1)同理可得：a4=－235,由此可推出：a?n=?2???(2n?3)(2n?1)(n?1)(2)①當(dāng)n=1,2,3,4時(shí)，由(*)知猜想成立.②假設(shè)n=k(k≥2)時(shí)，a2k=－(2k?3)(2k?1)成立

故S2k2=－(2k?3)(2k?1)·(Sk－12)∴(2k－3)(2k－1)Sk2+2Sk－1=0 ∴Sk=112k?1,Sk??2k?3(舍)由Sk+12=ak+1·(Sk+1－12),得(Sk+ak+1)2=ak+1(ak+1+Sk－12)?1(2k?1)2?a2k?1?2ak?12k?1?a2k?1?ak?12k?1?12ak?1?a?2

k?1?[2(k?1)?3][2(k?1)?1],即n?k?1命題也成立.?1(n?1)由①②知，a?n=?2對(duì)一切n∈N成立.???(2n?3)(2n?1)(n?2)用心

愛心

專心

(*)

(3)由(2)得數(shù)列前n項(xiàng)和Sn=●錦囊妙記

(1)數(shù)學(xué)歸納法的基本形式

1,∴S=limSn=0.n??2n?1設(shè)P(n)是關(guān)于自然數(shù)n的命題，若 1°P(n0)成立(奠基)2°假設(shè)P(k)成立(k≥n0)，可以推出P(k+1)成立(歸納)，則P(n)對(duì)一切大于等于n0的自然數(shù)n都成立.(2)數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用

具體常用數(shù)學(xué)歸納法證明：恒等式，不等式，數(shù)的整除性，幾何中計(jì)算問題，數(shù)列的通項(xiàng)與和等.●殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練

一、選擇題

1.(★★★★★)已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然數(shù)m,使得對(duì)任意n∈N,都能使m整除f(n)，則最大的m的值為（）A.30 A.n=1 B.26 B.n=2

C.36 C.n=3

D.6 D.n=4 2.(★★★★)用數(shù)學(xué)歸納法證明3k≥n3(n≥3,n∈N)第一步應(yīng)驗(yàn)證（）

二、填空題

3.(★★★★★)觀察下列式子：1?出_________.4.(★★★★)已知a1=an=_________.三、解答題

5.(★★★★)用數(shù)學(xué)歸納法證明42n?1+3n+2能被13整除，其中n∈N*.6.(★★★★)若n為大于1的自然數(shù)，求證：

131151117?,1?2?2?,1?2?2?2?…則可歸納2234232343an1,an+1=,則a2,a3,a4,a5的值分別為_________，由此猜想

a?32n

11113.?????n?1n?22n247.(★★★★★)已知數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，b1=1,b1+b2+…+b10=145.(1)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式bn;(2)設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)an=loga(1+較Sn與

1)(其中a＞0且a≠1)記Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，試比bn1logabn+1的大小，并證明你的結(jié)論.38.(★★★★★)設(shè)實(shí)數(shù)q滿足|q|＜1,數(shù)列{an}滿足：a1=2,a2≠0,an·an+1=－qn,求an表達(dá)式，用心

愛心

專心 又如果limS2n＜3,求q的取值范圍.n??

參考答案

難點(diǎn)磁場

1?4?(a?b?c)?6?a?3?1????b?11 解：假設(shè)存在a、b、c使題設(shè)的等式成立，這時(shí)令n=1,2,3,有?22?(4a?2b?c)2??c?10??70?9a?3b?c??于是，對(duì)n=1,2,3下面等式成立 1·22+2·32+…+n(n+1)2=n(n?1)(3n2?11n?10)12k(k?1)(3k2+11k+10)12記Sn=1·22+2·32+…+n(n+1)2 設(shè)n=k時(shí)上式成立，即Sk=那么Sk+1=Sk+(k+1)(k+2)2===k(k?1)(k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)2 2(k?1)(k?2)(3k2+5k+12k+24)12(k?1)(k?2)［3(k+1)2+11(k+1)+10］

12也就是說，等式對(duì)n=k+1也成立.綜上所述，當(dāng)a=3,b=11,c=10時(shí)，題設(shè)對(duì)一切自然數(shù)n均成立.殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練

一、1.解析：∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36 ∴f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除.證明：n=1,2時(shí)，由上得證，設(shè)n=k(k≥2)時(shí)，f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除，則n=k+1時(shí)，f(k+1)－f(k)=(2k+9)·3k+1－(2k+7)·3k =(6k+27)·3k－(2k+7)·3k =(4k+20)·3k=36(k+5)·3k－2(k≥2)?f(k+1)能被36整除

∵f(1)不能被大于36的數(shù)整除，∴所求最大的m值等于36.答案：C 2.解析：由題意知n≥3，∴應(yīng)驗(yàn)證n=3.用心

愛心

專心 答案：C

二、3.解析：1?1312?1?1?即1??

1?1222(1?1)21?115112?2?1??,即1???

2?122323(1?1)2(2?1)21112n?1*?????(n∈N)222n?123(n?1)歸納為1?答案:1?1112n?1?????(n∈N*)222n?123(n?1)13a12?3?3同理,4.解析:a2??a1?3172?5?3 23a23333333a3???,a4??,a5??,猜想an?a2?383?594?5105?5n?53?33333 答案:、、、78910n?

5三、5.證明：(1)當(dāng)n=1時(shí)，42

×1+1

+31+2=91能被13整除

(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，42k+1+3k+2能被13整除，則當(dāng)n=k+1時(shí)，42(k+1)+1+3k+3=42k+1·42+3k+2·3－42k+1·3+42k+1·3 =42k+1·13+3·(42k+1+3k+2)∵42k+1·13能被13整除，42k+1+3k+2能被13整除 ∴當(dāng)n=k+1時(shí)也成立.由①②知，當(dāng)n∈N*時(shí)，42n+1+3n+2能被13整除.6.證明：(1)當(dāng)n=2時(shí)，11713 ???2?12?2122411113 ?????k?1k?22k24(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)成立，即則當(dāng)n?k?1時(shí),1111111????????k?2k?32k2k?12k?2k?1k?1131111311??????? 242k?12k?2k?1242k?12k?213113???242(2k?1)(k?1)24?b1?1?b1?1??7.(1)解：設(shè)數(shù)列{bn}的公差為d,由題意得?,∴bn=3n－2 ?10(10?1)d?310b?d?145?1?2?用心

愛心

專心(2)證明：由bn=3n－2知 Sn=loga(1+1)+loga(1+=loga［(1+1)(1+而(1+11)+…+loga(1+)43n?211)…(1+)］ 43n?2111logabn+1=loga33n?1,于是，比較Sn與logabn+1的大小?比較(1+1)(1+)…3341)與33n?1的大小.3n?2取n=1，有(1+1)=38?34?33?1?1 取n=2，有(1+1)(1+)?38?37?33?2?1 推測：(1+1)(1+1411)…(1+)＞33n?1(*)43n?2①當(dāng)n=1時(shí)，已驗(yàn)證(*)式成立.11)…(1+)＞33k?1 43k?21111)(1?)?33k?1(1?)則當(dāng)n=k+1時(shí)，(1?1)(1?)?(1?43k?23(k?1)?23k?1②假設(shè)n=k(k≥1)時(shí)(*)式成立，即(1+1)(1+3k?233k?1

3k?13k?23?(3k?1)3?(33k?4)33k?1(3k?2)3?(3k?4)(3k?1)29k?4???0 22(3k?1)(3k?1)?3?3k?1(3k?2)?33k?4?33(k?1)?13k?1111從而(1?1)(1?)?(1?)(1?)?33(k?1)?1,即當(dāng)n=k+1時(shí)，(*)式成立

43k?23k?1由①②知，(*)式對(duì)任意正整數(shù)n都成立.于是，當(dāng)a＞1時(shí)，Sn＞11logabn+1,當(dāng) 0＜a＜1時(shí)，Sn＜logabn+1 338.解：∵a1·a2=－q,a1=2,a2≠0, ∴q≠0,a2=－9, 2∵an·an+1=－qn,an+1·an+2=－qn+1

用心

愛心

專心 兩式相除，得an1?,即an+2=q·an an?2q于是，a1=2,a3=2·q,a5=2·qn…猜想：a2n+1=－

1n

q(n=1,2,3,…)2?2?qk?1 n?2k?1時(shí)(k?N)?綜合①②，猜想通項(xiàng)公式為an=?1k

?q n?2k時(shí)(k?N)??2下證：(1)當(dāng)n=1,2時(shí)猜想成立(2)設(shè)n=2k－1時(shí)，a2k－1=2·qk可推知n=2k+1也成立.設(shè)n=2k時(shí)，a2k=－所以a2k+2=－

－1

則n=2k+1時(shí)，由于a2k+1=q·a2k－1

∴a2k+1=2·qk即n=2k－1成立.1kq,則n=2k+2時(shí)，由于a2k+2=q·a2k, 21kq+1,這說明n=2k成立，可推知n=2k+2也成立.2綜上所述，對(duì)一切自然數(shù)n,猜想都成立.?2?qk?1 當(dāng)n?2k?1時(shí)(k?N)?這樣所求通項(xiàng)公式為an=?1k

當(dāng)n?2k時(shí)(k?N)??q ?2S2n=(a1+a3…+a2n－1)+(a2+a4+…+a2n)=2(1+q+q2+…+qn-1)－1(q+q2+…+qn)22(1?qn)1q(1?qn)1?qn4?q????()()

1?q2(1?q)1?q21?qn4?q)()由于|q|＜1,∴l(xiāng)imq?0,故limS2n=(n??n??1?q2n依題意知

4?q2＜3,并注意1－q＞0,|q|＜1解得－1＜q＜0或0＜q＜

2(1?q)5用心

愛心

專心