第一篇：Kuaarm高考數(shù)學難點突破 難點31 數(shù)學歸納法解題

生命是永恒不斷的創(chuàng)造，因為在它內(nèi)部蘊含著過剩的精力，它不斷流溢，越出時間和空間的界限，它不停地追求，以形形色色的自我表現(xiàn)的形式表現(xiàn)出來。

－－泰戈爾

難點31 數(shù)學歸納法解題

數(shù)學歸納法是高考考查的重點內(nèi)容之一.類比與猜想是應用數(shù)學歸納法所體現(xiàn)的比較突出的思想，抽象與概括，從特殊到一般是應用的一種主要思想方法.●難點磁場

(★★★★)是否存在a、b、c使得等式1·22+2·32+…+n(n+1)2=

n(n?1)(an2+bn+c).12●案例探究

［例1］試證明：不論正數(shù)a、b、c是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，當n＞1,n∈N*且a、b、c互不相等時，均有：an+cn＞2bn.命題意圖：本題主要考查數(shù)學歸納法證明不等式，屬★★★★級題目.知識依托：等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)及數(shù)學歸納法證明不等式的一般步驟.錯解分析：應分別證明不等式對等比數(shù)列或等差數(shù)列均成立，不應只證明一種情況.技巧與方法：本題中使用到結(jié)論：(ak－ck)(a－c)＞0恒成立(a、b、c為正數(shù))，從而ak+1+ck+1＞ak·c+ck·a.b證明：(1)設a、b、c為等比數(shù)列，a=,c=bq(q＞0且q≠1)

qbnnnn1∴a+c=n+bq=b(n+qn)＞2bn

qqnn

an?cna?cn(2)設a、b、c為等差數(shù)列，則2b=a+c猜想＞()(n≥2且n∈N*)

22下面用數(shù)學歸納法證明：

a2?c2a?c2?()①當n=2時，由2(a+c)＞(a+c)，∴

22ak?cka?ck?(), ②設n=k時成立，即

22ak?1?ck?11?(ak+1+ck+1+ak+1+ck+1)則當n=k+1時，2411＞(ak+1+ck+1+ak·c+ck·a)=(ak+ck)(a+c)44a?cka?ca?ck+1＞()·()=()

2221［例2］在數(shù)列{an}中，a1=1，當n≥2時，an,Sn,Sn－成等比數(shù)列.2(1)求a2,a3,a4，并推出an的表達式；(2)用數(shù)學歸納法證明所得的結(jié)論；(3)求數(shù)列{an}所有項的和.命題意圖：本題考查了數(shù)列、數(shù)學歸納法、數(shù)列極限等基礎知識.2知識依托：等比數(shù)列的性質(zhì)及數(shù)學歸納法的一般步驟.采用的方法是歸納、猜想、證明.錯解分析：(2)中，Sk=－

1應舍去，這一點往往容易被忽視.2k?3111}是以{}為首項，為公差的等差數(shù)列，進而求得SnS12技巧與方法：求通項可證明{通項公式.11成等比數(shù)列，∴Sn2=an·(Sn－)(n≥2)

(*)222(1)由a1=1,S2=a1+a2=1+a2,代入(*)式得:a2=－

3212由a1=1，a2=－,S3=+a3代入(*)式得：a3=－

3315解：∵an,Sn,Sn－

(n?1)?1 2?同理可得：a4=－,由此可推出：an=? 2?(n?1)35?(2n?3)(2n?1)?(2)①當n=1,2,3,4時，由(*)知猜想成立.2②假設n=k(k≥2)時，ak=－成立

(2k?3)(2k?1)故Sk2=－21·(Sk－)(2k?3)(2k?1)2∴(2k－3)(2k－1)Sk2+2Sk－1=0 11(舍),Sk??2k?12k?311由Sk+12=ak+1·(Sk+1－),得(Sk+ak+1)2=ak+1(ak+1+Sk－)

22∴Sk=

2ak?1ak?11122?a??a??ak?1k?1k?12k?12k?12(2k?1)2

?2?ak?1?,即n?k?1命題也成立.[2(k?1)?3][2(k?1)?1]??1(n?1)?由①②知，an=?對一切n∈N成立.2?(n?2)?(2n?3)(2n?1)?(3)由(2)得數(shù)列前n項和Sn=

1,∴S=limSn=0.n??2n?1●錦囊妙記

(1)數(shù)學歸納法的基本形式

設P(n)是關(guān)于自然數(shù)n的命題，若 1°P(n0)成立(奠基)2°假設P(k)成立(k≥n0)，可以推出P(k+1)成立(歸納)，則P(n)對一切大于等于n0的自然數(shù)n都成立.(2)數(shù)學歸納法的應用

具體常用數(shù)學歸納法證明：恒等式，不等式，數(shù)的整除性，幾何中計算問題，數(shù)列的通項與和等.●殲滅難點訓練

一、選擇題

1.(★★★★★)已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然數(shù)m,使得對任意n∈N,都能使m整除f(n)，則最大的m的值為（）A.30

B.26

C.36

D.6 2.(★★★★)用數(shù)學歸納法證明3k≥n3(n≥3,n∈N)第一步應驗證（）A.n=1

B.n=2

C.n=3

D.n=4

二、填空題

1311511173.(★★★★★)觀察下列式子：1??,1?2?2?,1?2?2?2?…則可歸

223423234納出_________.4.(★★★★)已知a1=an=_________.三、解答題

5.(★★★★)用數(shù)學歸納法證明42n?1+3n+2能被13整除，其中n∈N*.6.(★★★★)若n為大于1的自然數(shù)，求證：

3an1,an+1=,則a2,a3,a4,a5的值分別為_________，由此猜想

an?3211113.?????n?1n?22n247.(★★★★★)已知數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，b1=1,b1+b2+…+b10=145.(1)求數(shù)列{bn}的通項公式bn;(2)設數(shù)列{an}的通項an=loga(1+

1)(其中a＞0且a≠1)記Sn是數(shù)列{an}的前n項和，試bn比較Sn與1logabn+1的大小，并證明你的結(jié)論.38.(★★★★★)設實數(shù)q滿足|q|＜1,數(shù)列{an}滿足：a1=2,a2≠0,an·an+1=－qn,求an表達式，又如果limS2n＜3,求q的取值范圍.n??

參考答案

難點磁場

1?4?(a?b?c)?6?a?3?1????b?11 解：假設存在a、b、c使題設的等式成立，這時令n=1,2,3,有?22?(4a?2b?c)2??c?10??70?9a?3b?c??于是，對n=1,2,3下面等式成立

1·22+2·32+…+n(n+1)2=

n(n?1)(3n2?11n?10)12記Sn=1·22+2·32+…+n(n+1)2

k(k?1)(3k2+11k+10)12k(k?1)那么Sk+1=Sk+(k+1)(k+2)2=(k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)2

2(k?1)(k?2)=(3k2+5k+12k+24)12(k?1)(k?2)=［3(k+1)2+11(k+1)+10］

12設n=k時上式成立，即Sk=也就是說，等式對n=k+1也成立.綜上所述，當a=3,b=11,c=10時，題設對一切自然數(shù)n均成立.殲滅難點訓練

一、1.解析：∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36 ∴f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除.證明：n=1,2時，由上得證，設n=k(k≥2)時，f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除，則n=k+1時，f(k+1)－f(k)=(2k+9)·3k+1－(2k+7)·3k =(6k+27)·3k－(2k+7)·3k

－=(4k+20)·3k=36(k+5)·3k2(k≥2)?f(k+1)能被36整除

∵f(1)不能被大于36的數(shù)整除，∴所求最大的m值等于36.答案：C 2.解析：由題意知n≥3，∴應驗證n=3.答案：C

二、3.解析：1?1312?1?1?即1??

1?1222(1?1)21?115112?2?1??,即1???

2?122323(1?1)2(2?1)21112n?1*?????(n∈N)222n?123(n?1)歸納為1?答案:1?1112n?1?????(n∈N*)222n?123(n?1)13a12?3?3同理,4.解析:a2??a1?3172?5?3 23a23333333a3???,a4??,a5??,猜想an?a2?383?594?5105?5n?53?

33333 答案:、、、78910n?

5三、5.證明：(1)當n=1時，421+1+31+2=91能被13整除

(2)假設當n=k時，42k+1+3k+2能被13整除，則當n=k+1時，42(k+1)+1+3k+3=42k+1·42+3k+2·3－42k+1·3+42k+1·3 =42k+1·13+3·(42k+1+3k+2)∵42k+1·13能被13整除，42k+1+3k+2能被13整除 ∴當n=k+1時也成立.由①②知，當n∈N*時，42n+1+3n+2能被13整除.×

11713 ???2?12?2122411113(2)假設當n=k時成立，即 ?????k?1k?22k241111111則當n?k?1時,????????k?2k?32k2k?12k?2k?1k?1131111311??????? 242k?12k?2k?1242k?12k?213113???242(2k?1)(k?1)246.證明：(1)當n=2時，?b1?1?b1?1??7.(1)解：設數(shù)列{bn}的公差為d,由題意得?,∴bn=3n－2 ?10(10?1)10b1?d?145?d?3?2?(2)證明：由bn=3n－2知

11)+…+loga(1+)43n?211=loga［(1+1)(1+)…(1+)］

43n?2111而logabn+1=loga33n?1,于是，比較Sn與logabn+1的大小?比較(1+1)(1+)…3341(1+)與33n?1的大小.3n?2Sn=loga(1+1)+loga(1+取n=1，有(1+1)=38?34?33?1?1 取n=2，有(1+1)(1+)?38?37?33?2?1 推測：(1+1)(1+

1411)…(1+)＞33n?1(*)43n?2①當n=1時，已驗證(*)式成立.11)…(1+)＞33k?1 43k?21111)(1?)?33k?1(1?)則當n=k+1時，(1?1)(1?)?(1?43k?23(k?1)?23k?1②假設n=k(k≥1)時(*)式成立，即(1+1)(1+

?3k?233k?1

3k?1?(3k?233k?1)3?(33k?4)33k?1(3k?2)3?(3k?4)(3k?1)29k?4???0 22(3k?1)(3k?1)3?3k?1(3k?2)?33k?4?33(k?1)?13k?1111從而(1?1)(1?)?(1?)(1?)?33(k?1)?1,即當n=k+1時，(*)式成立

43k?23k?1由①②知，(*)式對任意正整數(shù)n都成立.于是，當a＞1時，Sn＞

11logabn+1,當 0＜a＜1時，Sn＜logabn+1 338.解：∵a1·a2=－q,a1=2,a2≠0, ∴q≠0,a2=－9, 2an1?,即an+2=q·an an?2q∵an·an+1=－qn,an+1·an+2=－qn+1 兩式相除，得于是，a1=2,a3=2·q,a5=2·qn…猜想：a2n+1=－

1n

q(n=1,2,3,…)2?2?qk?1 n?2k?1時(k?N)?綜合①②，猜想通項公式為an=?1k

?q n?2k時(k?N)??2下證：(1)當n=1,2時猜想成立

－(2)設n=2k－1時，a2k－1=2·qk1則n=2k+1時，由于a2k+1=q·a2k－1 ∴a2k+1=2·qk即n=2k－1成立.可推知n=2k+1也成立.設n=2k時，a2k=－所以a2k+2=－1k

q,則n=2k+2時，由于a2k+2=q·a2k, 21kq+1,這說明n=2k成立，可推知n=2k+2也成立.2綜上所述，對一切自然數(shù)n,猜想都成立.?2?qk?1 當n?2k?1時(k?N)?這樣所求通項公式為an=?1k

?q 當n?2k時(k?N)??2S2n=(a1+a3…+a2n－1)+(a2+a4+…+a2n)=2(1+q+q2+…+qn-1)－(q+q2+…+qn)2

2(1?qn)1q(1?qn)1?qn4?q????()()

1?q2(1?q)1?q21?qn4?q)()由于|q|＜1,∴l(xiāng)imq?0,故limS2n=(n??n??1?q2n依題意知 4?q2＜3,并注意1－q＞0,|q|＜1解得－1＜q＜0或0＜q＜

2(1?q)5

第二篇：高考數(shù)學難點突破難點—— 運用向量法解題

難點3 運用向量法解題

平面向量是新教材改革增加的內(nèi)容之一，近幾年的全國使用新教材的高考試題逐漸加大了對這部分內(nèi)容的考查力度，本節(jié)內(nèi)容主要是幫助考生運用向量法來分析，解決一些相關(guān)問題.●難點磁場

(★★★★★)三角形ABC中，A(5，－1)、B(－1，7)、C(1，2)，求：(1)BC邊上的中線 AM的長；(2)∠CAB的平分線AD的長；(3)cosABC的值.●案例探究

［例1］如圖，已知平行六面體ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD.(1)求證：C1C⊥BD.(2)當CD的值為多少時，能使A1C⊥平面C1BD？請給出證明.CC1命題意圖：本題主要考查考生應用向量法解決向量垂直，夾角等問題以及對立體幾何圖形的解讀能力.知識依托：解答本題的閃光點是以向量來論證立體幾何中的垂直問題，這就使幾何問題代數(shù)化，使繁瑣的論證變得簡單.錯解分析：本題難點是考生理不清題目中的線面位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，再就是要清楚已知條件中提供的角與向量夾角的區(qū)別與聯(lián)系.技巧與方法：利用a⊥b?a·b=0來證明兩直線垂直，只要證明兩直線對應的向量的數(shù)量積為零即可.(1)證明：設CD=a, CB=b,CC1=c,依題意，|a|=|b|，CD、CB、CC1中兩兩所成夾角為θ，于是BD?CD?DB=a－b，CC1?BD=c(a－b)=c·a－c·b=|c|·|a|cosθ－|c|·|b|cosθ=0,∴C1C⊥BD.(2)解：若使A1C⊥平面C1BD，只須證A1C⊥BD，A1C⊥DC1，由CA1?C1D?(CA?AA1)?(CD?CC1)

=(a+b+c)·(a－c)=|a|2+a·b－b·c－|c|2=|a|2－|c|2+|b|·|a|cosθ－|b|·|c|·cosθ=0,得 當|a|=|c|時，A1C⊥DC1，同理可證當|a|=|c|時，A1C⊥BD，∴CD=1時，A1C⊥平面C1BD.CC1［例2］如圖，直三棱柱ABC—A1B1C1，底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，AA1=2，M、N分別是A1B1、A1A的中點.(1)求BN的長；

I(2)求cos的值；

(3)求證：A1B⊥C1M.命題意圖：本題主要考查考生運用向量法中的坐標運算的方法來解決立體幾何問題.屬 ★★★★級題目.知識依托：解答本題的閃光點是建立恰當?shù)目臻g直角坐標系O－xyz,進而找到點的坐標和求出向量的坐標.錯解分析：本題的難點是建系后，考生不能正確找到點的坐標.技巧與方法：可以先找到底面坐標面xOy內(nèi)的A、B、C點坐標，然后利用向量的模及方向來找出其他的點的坐標.(1)解：如圖，以C為原點建立空間直角坐標系O－xyz.依題意得：B(0，1，0)，N(1，0，1)∴|BN|=(1?0)2?(0?1)2?(1?0)2?3.(2)解：依題意得：A1(1，0，2)，C(0，0，0)，B1(0，1，2).∴BA1=(1,?1,2),CB1=(0，1，2)BA1?CB1=1×0+(－1)×1+2×2=3 |BA1|=(1?0)2?(0?1)2?(2?0)2?6

|CB1|?(0?0)2?(1?0)2?(2?0)2?5 ?cos?BA1,CB1??BA1?CB1|BC1|?|CB1|?36?5?30.10(3)證明：依題意得：C1(0，0，2)，M(，2)

112211C1M?(，0),A1B?(?1,1,?2)

2211∴A1B?C1M?(?1)??1??(?2)?0?0,?A1B?C1M，22∴A1B⊥C1M.●錦囊妙計

1.解決關(guān)于向量問題時，一要善于運用向量的平移、伸縮、合成、分解等變換，正確地進行向量的各種運算，加深對向量的本質(zhì)的認識.二是向量的坐標運算體現(xiàn)了數(shù)與形互相轉(zhuǎn)化和密切結(jié)合的思想.2.向量的數(shù)量積常用于有關(guān)向量相等，兩向量垂直、射影、夾角等問題中.常用向量的直角坐標運算來證明向量的垂直和平行問題；利用向量的夾角公式和距離公式求解空間兩條直線的夾角和兩點間距離的問題.II 3.用空間向量解決立體幾何問題一般可按以下過程進行思考：(1)要解決的問題可用什么向量知識來解決？需要用到哪些向量？

(2)所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知條件轉(zhuǎn)化成的向量直接表示？

(3)所需要的向量若不能直接用已知條件轉(zhuǎn)化成的向量表示，則它們分別最易用哪個未知向量表示？這些未知向量與由已知條件轉(zhuǎn)化的向量有何關(guān)系？

(4)怎樣對已經(jīng)表示出來的所需向量進行運算，才能得到需要的結(jié)論？ ●殲滅難點訓練

一、選擇題

1.(★★★★)設A、B、C、D四點坐標依次是(－1，0)，(0，2)，(4，3)，(3，1)，則四邊形ABCD為（）A.正方形

B.矩形 C.菱形

D.平行四邊形

2.(★★★★)已知△ABC中，AB=a，a·b<0，S△ABC=AC=b，15,|a|=3,|b|=5,則a與b的夾角是（）4A.30°

B.－150°

C.150°

D.30°或150°

二、填空題

3.(★★★★★)將二次函數(shù)y=x2的圖象按向量a平移后得到的圖象與一次函數(shù)y=2x－5的圖象只有一個公共點(3，1)，則向量a=_________.4.(★★★★)等腰△ABC和等腰Rt△ABD有公共的底邊AB，它們所在的平面成60°角，若AB=16 cm,AC=17 cm,則CD=_________.三、解答題

5.(★★★★★)如圖，在△ABC中，設AB=a，AC =b，AP =c, AD=λa,(0<λ<1),AE =μb(0<μ<1),試用向量a，b表示c.6.(★★★★)正三棱柱ABC—A1B1C1的底面邊長為a,側(cè)棱長為2a.(1)建立適當?shù)淖鴺讼担懗鯝、B、A1、C1的坐標；(2)求AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角.7.(★★★★★)已知兩點M(－1，0)，N(1，0)，且點P使MP?MN,PM?PN,NM?NP成公差小于零的等差數(shù)列.(1)點P的軌跡是什么曲線？

(2)若點P坐標為(x0,y0),Q為PM與PN的夾角，求tanθ.8.(★★★★★)已知E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點.(1)用向量法證明E、F、G、H四點共面；(2)用向量法證明：BD∥平面EFGH；

III(3)設M是EG和FH的交點，求證：對空間任一點O，有OM? 參考答案

難點磁場

解：(1)點M的坐標為xM=

1(OA?OB?OC?OD).4?1?17?299?0;yM??,?M(0,)2222221.29?|AM|?(5?0)2?(?1?)2?2(2)|AB|?(5?1)2?(?1?7)2?10,|AC|?(5?1)2?(?1?2)2?5

D點分BC的比為2.∴xD=?1?2?117?2?211?,yD??

1?231?2311114|AD|?(5?)2?(?1?)2?2.333(3)∠ABC是BA與BC的夾角，而BA=(6，8），BC=(2，－5）.?cosABC?BA?BC|BA|?|BC|?6?2?(?8)?(?5)62?(?8)2?22?(?5)2?521029?2629 145殲滅難點訓練

一、1.解析：AB =(1，2），DC =(1，2），∴AB=DC，∴AB∥DC，又線段AB與線段DC無公共點，∴AB∥DC且|AB|=|DC|，∴ABCD是平行四邊形，又|AB|=5，AC =(5，3），|AC|=34，∴|AB|≠|(zhì)AC},∴ABCD不是菱形，更不是正方形；又BC=(4，1），∴1·4+2·1=6≠0,∴AB不垂直于BC，∴ABCD也不是矩形，故選D.答案：D 2.解析：∵1511?·3·5sinα得sinα=,則α=30°或α=150°.242又∵a·b＜0,∴α=150°.答案：C

二、3.(2,0)4.13 cm

IV

三、5.解：∵BP與BE共線，∴BP=mBE=m(AE－AB)=m(μb－a), ∴AP=AB+BP=a+m(μb－a)=(1－m)a+mμb

①

又CP與CD共線，∴CP=nCD=n(AD－AC)=n(λa－b), ∴AP=AC+CP=b+n(λa－b)=nλa+(1－n)b 由①②，得(1－m）a+μmb=λna+(1－n)b.②

?1?m??a??n?m?1?0∵a與b不共線，∴?

即??m?1?nn??m?1?0??解方程組③得：m=

③

1??1??1,n?代入①式得c=(1－m)a+mμb=［λ(1－μ)a+μ(1－1???1???1???λ)b］.6.解：(1)以點A為坐標原點O，以AB所在直線為Oy軸，以AA1所在直線為Oz軸，以經(jīng)過原點且與平面ABB1A1垂直的直線為Ox軸，建立空間直角坐標系.由已知，得A(0，0，0），B(0，a,0）,A1(0,0,2a),C1(－

3aa，222a).3a,0,0）, 2(2)取A1B1的中點M，于是有M(0，,2a），連AM，MC1，有MC1=(－且AB=(0，a,0）,AA1=(0,02a)

a2由于MC1·AB=0，MC1·AA1=0，所以MC1⊥面ABB1A1，∴AC1與AM所成的角就是AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角.∵AC1=(?3aaa，2a),AM?(0，2a), 222a29?AC1?AM?0??2a2?a

443212a232而|AC1|?a?a?2a?3a,|AM|??2a?a

444292a34? 323a?a2?cos?AC1,AM??所以AC1與AM所成的角，即AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角為30°.V 7.解：(1)設P(x,y）,由M(－1，0），N(1，0）得，PM =－MP=(－1－x,－y）,PN??NP =(1－x,－y),MN =－NM=(2,0),∴MP·MN=2(1+x), PM·PN=x2+y2－1,NM?NP =2(1－x).于是，MP?MN,PM?PN,NM?NP是公差小于零的等差數(shù)列，等價于

1?22?x2?y?3?x?y?1?[2(1?x)?2(1?x)] 即? 2??x?0??2(1?x)?2(1?x)?0所以，點P的軌跡是以原點為圓心，3為半徑的右半圓.(2)點P的坐標為(x0,y0)PM?PN?x0?y0?1?2,|PM|?|PN|?(1?x)2?y0?(1?x0)2?y0?(4?2x0)(4?2x0)?24?x0?cos??PM?PN|PM|?PN?14?x0222222

1??0?x0?3,??cos??1,0???,23?sin??1?cos2??1?1sin?2,?tan???3?x?|y0| 02cos?4?x08.證明：(1）連結(jié)BG，則EG?EB?BG?EB?(BC?BD)?EB?BF?EH?EF?EH 由共面向量定理的推論知：E、F、G、H四點共面，(其中(2）因為EH?AH?AE?121BD=EH）21111AD?AB?(AD?AB)?BD.2222所以EH∥BD，又EH?面EFGH，BD?面EFGH

所以BD∥平面EFGH.(3）連OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG 由(2）知EH?被M平分，所以 11BD，同理FG?BD，所以EH?FG，EH22FG,所以EG、FH交于一點M且 VI OM??1(OA?OB?OC?OD).41111111(OE?OG)?OE?OG?[(OA?OB)]?[(OC?OD)]2222222.VII

第三篇：高考數(shù)學難點之數(shù)學歸納法解題.doc

高考數(shù)學難點之數(shù)學歸納法解題

數(shù)學歸納法是高考考查的重點內(nèi)容之一.類比與猜想是應用數(shù)學歸納法所體現(xiàn)的比較突出的思想，抽象與概括，從特殊到一般是應用的一種主要思想方法.●難點磁場

(★★★★)是否存在a、b、c使得等式1·22+2·32+…+n(n+1)2=●案例探究

［例1］試證明：不論正數(shù)a、b、c是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，當n＞1,n∈N*且a、b、c互不相等時，均有：an+cn＞2bn.命題意圖：本題主要考查數(shù)學歸納法證明不等式，屬★★★★級題目.知識依托：等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)及數(shù)學歸納法證明不等式的一般步驟.錯解分析：應分別證明不等式對等比數(shù)列或等差數(shù)列均成立，不應只證明一種情況.技巧與方法：本題中使用到結(jié)論：(ak－ck)(a－c)＞0恒成立(a、b、c為正數(shù))，從而ak+1+ck+1＞ak·c+ck·a.證明：(1)設a、b、c為等比數(shù)列，a=

n(n?1)(an2+bn+c).12b,c=bq(q＞0且q≠1)qbnnnn1∴a+c=n+bq=b(n+qn)＞2bn

qqnn

an?cna?cn(2)設a、b、c為等差數(shù)列，則2b=a+c猜想＞()(n≥2且n∈N*)

22下面用數(shù)學歸納法證明：

a2?c2a?c2?()①當n=2時，由2(a+c)＞(a+c)，∴

222

22ak?cka?ck?(), ②設n=k時成立，即22ak?1?ck?11?(ak+1+ck+1+ak+1+ck+1)則當n=k+1時，241k+1k+1k1(a+c+a·c+ck·a)=(ak+ck)(a+c)44a?cka?ca?ck+1＞()·()=()

222＞［例2］在數(shù)列{an}中，a1=1，當n≥2時，an,Sn,Sn－(1)求a2,a3,a4，并推出an的表達式；(2)用數(shù)學歸納法證明所得的結(jié)論；

用心

愛心

專心

1成等比數(shù)列.2(3)求數(shù)列{an}所有項的和.命題意圖：本題考查了數(shù)列、數(shù)學歸納法、數(shù)列極限等基礎知識.知識依托：等比數(shù)列的性質(zhì)及數(shù)學歸納法的一般步驟.采用的方法是歸納、猜想、證明.1應舍去，這一點往往容易被忽視.2k?3111技巧與方法：求通項可證明{}是以{}為首項，為公差的等差數(shù)列，進而求得通錯解分析：(2)中，Sk=－SnS12項公式.解：∵an,Sn,Sn－12成等比數(shù)列，∴Sn2=an·(Sn－12)(n≥2)

(1)由a1=1,S2=a1+a2=1+a2,代入(*)式得:a2=－23 由a1=1，a2=－23,S3=13+a3代入(*)式得：a3=－215 ?1(n?1)同理可得：a4=－235,由此可推出：a?n=?2???(2n?3)(2n?1)(n?1)(2)①當n=1,2,3,4時，由(*)知猜想成立.②假設n=k(k≥2)時，a2k=－(2k?3)(2k?1)成立

故S2k2=－(2k?3)(2k?1)·(Sk－12)∴(2k－3)(2k－1)Sk2+2Sk－1=0 ∴Sk=112k?1,Sk??2k?3(舍)由Sk+12=ak+1·(Sk+1－12),得(Sk+ak+1)2=ak+1(ak+1+Sk－12)?1(2k?1)2?a2k?1?2ak?12k?1?a2k?1?ak?12k?1?12ak?1?a?2

k?1?[2(k?1)?3][2(k?1)?1],即n?k?1命題也成立.?1(n?1)由①②知，a?n=?2對一切n∈N成立.???(2n?3)(2n?1)(n?2)用心

愛心

專心

(*)

(3)由(2)得數(shù)列前n項和Sn=●錦囊妙記

(1)數(shù)學歸納法的基本形式

1,∴S=limSn=0.n??2n?1設P(n)是關(guān)于自然數(shù)n的命題，若 1°P(n0)成立(奠基)2°假設P(k)成立(k≥n0)，可以推出P(k+1)成立(歸納)，則P(n)對一切大于等于n0的自然數(shù)n都成立.(2)數(shù)學歸納法的應用

具體常用數(shù)學歸納法證明：恒等式，不等式，數(shù)的整除性，幾何中計算問題，數(shù)列的通項與和等.●殲滅難點訓練

一、選擇題

1.(★★★★★)已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然數(shù)m,使得對任意n∈N,都能使m整除f(n)，則最大的m的值為（）A.30 A.n=1 B.26 B.n=2

C.36 C.n=3

D.6 D.n=4 2.(★★★★)用數(shù)學歸納法證明3k≥n3(n≥3,n∈N)第一步應驗證（）

二、填空題

3.(★★★★★)觀察下列式子：1?出_________.4.(★★★★)已知a1=an=_________.三、解答題

5.(★★★★)用數(shù)學歸納法證明42n?1+3n+2能被13整除，其中n∈N*.6.(★★★★)若n為大于1的自然數(shù)，求證：

131151117?,1?2?2?,1?2?2?2?…則可歸納2234232343an1,an+1=,則a2,a3,a4,a5的值分別為_________，由此猜想

a?32n

11113.?????n?1n?22n247.(★★★★★)已知數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，b1=1,b1+b2+…+b10=145.(1)求數(shù)列{bn}的通項公式bn;(2)設數(shù)列{an}的通項an=loga(1+較Sn與

1)(其中a＞0且a≠1)記Sn是數(shù)列{an}的前n項和，試比bn1logabn+1的大小，并證明你的結(jié)論.38.(★★★★★)設實數(shù)q滿足|q|＜1,數(shù)列{an}滿足：a1=2,a2≠0,an·an+1=－qn,求an表達式，用心

愛心

專心 又如果limS2n＜3,求q的取值范圍.n??

參考答案

難點磁場

1?4?(a?b?c)?6?a?3?1????b?11 解：假設存在a、b、c使題設的等式成立，這時令n=1,2,3,有?22?(4a?2b?c)2??c?10??70?9a?3b?c??于是，對n=1,2,3下面等式成立 1·22+2·32+…+n(n+1)2=n(n?1)(3n2?11n?10)12k(k?1)(3k2+11k+10)12記Sn=1·22+2·32+…+n(n+1)2 設n=k時上式成立，即Sk=那么Sk+1=Sk+(k+1)(k+2)2===k(k?1)(k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)2 2(k?1)(k?2)(3k2+5k+12k+24)12(k?1)(k?2)［3(k+1)2+11(k+1)+10］

12也就是說，等式對n=k+1也成立.綜上所述，當a=3,b=11,c=10時，題設對一切自然數(shù)n均成立.殲滅難點訓練

一、1.解析：∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36 ∴f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除.證明：n=1,2時，由上得證，設n=k(k≥2)時，f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除，則n=k+1時，f(k+1)－f(k)=(2k+9)·3k+1－(2k+7)·3k =(6k+27)·3k－(2k+7)·3k =(4k+20)·3k=36(k+5)·3k－2(k≥2)?f(k+1)能被36整除

∵f(1)不能被大于36的數(shù)整除，∴所求最大的m值等于36.答案：C 2.解析：由題意知n≥3，∴應驗證n=3.用心

愛心

專心 答案：C

二、3.解析：1?1312?1?1?即1??

1?1222(1?1)21?115112?2?1??,即1???

2?122323(1?1)2(2?1)21112n?1*?????(n∈N)222n?123(n?1)歸納為1?答案:1?1112n?1?????(n∈N*)222n?123(n?1)13a12?3?3同理,4.解析:a2??a1?3172?5?3 23a23333333a3???,a4??,a5??,猜想an?a2?383?594?5105?5n?53?33333 答案:、、、78910n?

5三、5.證明：(1)當n=1時，42

×1+1

+31+2=91能被13整除

(2)假設當n=k時，42k+1+3k+2能被13整除，則當n=k+1時，42(k+1)+1+3k+3=42k+1·42+3k+2·3－42k+1·3+42k+1·3 =42k+1·13+3·(42k+1+3k+2)∵42k+1·13能被13整除，42k+1+3k+2能被13整除 ∴當n=k+1時也成立.由①②知，當n∈N*時，42n+1+3n+2能被13整除.6.證明：(1)當n=2時，11713 ???2?12?2122411113 ?????k?1k?22k24(2)假設當n=k時成立，即則當n?k?1時,1111111????????k?2k?32k2k?12k?2k?1k?1131111311??????? 242k?12k?2k?1242k?12k?213113???242(2k?1)(k?1)24?b1?1?b1?1??7.(1)解：設數(shù)列{bn}的公差為d,由題意得?,∴bn=3n－2 ?10(10?1)d?310b?d?145?1?2?用心

愛心

專心(2)證明：由bn=3n－2知 Sn=loga(1+1)+loga(1+=loga［(1+1)(1+而(1+11)+…+loga(1+)43n?211)…(1+)］ 43n?2111logabn+1=loga33n?1,于是，比較Sn與logabn+1的大小?比較(1+1)(1+)…3341)與33n?1的大小.3n?2取n=1，有(1+1)=38?34?33?1?1 取n=2，有(1+1)(1+)?38?37?33?2?1 推測：(1+1)(1+1411)…(1+)＞33n?1(*)43n?2①當n=1時，已驗證(*)式成立.11)…(1+)＞33k?1 43k?21111)(1?)?33k?1(1?)則當n=k+1時，(1?1)(1?)?(1?43k?23(k?1)?23k?1②假設n=k(k≥1)時(*)式成立，即(1+1)(1+3k?233k?1

3k?13k?23?(3k?1)3?(33k?4)33k?1(3k?2)3?(3k?4)(3k?1)29k?4???0 22(3k?1)(3k?1)?3?3k?1(3k?2)?33k?4?33(k?1)?13k?1111從而(1?1)(1?)?(1?)(1?)?33(k?1)?1,即當n=k+1時，(*)式成立

43k?23k?1由①②知，(*)式對任意正整數(shù)n都成立.于是，當a＞1時，Sn＞11logabn+1,當 0＜a＜1時，Sn＜logabn+1 338.解：∵a1·a2=－q,a1=2,a2≠0, ∴q≠0,a2=－9, 2∵an·an+1=－qn,an+1·an+2=－qn+1

用心

愛心

專心 兩式相除，得an1?,即an+2=q·an an?2q于是，a1=2,a3=2·q,a5=2·qn…猜想：a2n+1=－

1n

q(n=1,2,3,…)2?2?qk?1 n?2k?1時(k?N)?綜合①②，猜想通項公式為an=?1k

?q n?2k時(k?N)??2下證：(1)當n=1,2時猜想成立(2)設n=2k－1時，a2k－1=2·qk可推知n=2k+1也成立.設n=2k時，a2k=－所以a2k+2=－

－1

則n=2k+1時，由于a2k+1=q·a2k－1

∴a2k+1=2·qk即n=2k－1成立.1kq,則n=2k+2時，由于a2k+2=q·a2k, 21kq+1,這說明n=2k成立，可推知n=2k+2也成立.2綜上所述，對一切自然數(shù)n,猜想都成立.?2?qk?1 當n?2k?1時(k?N)?這樣所求通項公式為an=?1k

當n?2k時(k?N)??q ?2S2n=(a1+a3…+a2n－1)+(a2+a4+…+a2n)=2(1+q+q2+…+qn-1)－1(q+q2+…+qn)22(1?qn)1q(1?qn)1?qn4?q????()()

1?q2(1?q)1?q21?qn4?q)()由于|q|＜1,∴l(xiāng)imq?0,故limS2n=(n??n??1?q2n依題意知

4?q2＜3,并注意1－q＞0,|q|＜1解得－1＜q＜0或0＜q＜

2(1?q)5用心

愛心

專心

第四篇：難點31數(shù)學歸納法解題（定稿）

中國特級教師高考復習方法指導〈數(shù)學復習版〉

難點31數(shù)學歸納法解題

數(shù)學歸納法是高考考查的重點內(nèi)容之一.類比與猜想是應用數(shù)學歸納法所體現(xiàn)的比較突出的思想，抽象與概括，從特殊到一般是應用的一種主要思想方法.●難點磁場

(★★★★)是否存在a、b、c使得等式1·22+2·32+…+n(n+1)2=n(n?1)(an2+bn+c).1

2●案例探究

·a.命題意圖：本題考查了數(shù)列、數(shù)學歸納法、數(shù)列極限等基礎知識.知識依托：等比數(shù)列的性質(zhì)及數(shù)學歸納法的一般步驟.采用的方法是歸納、猜想、證明.錯解分析：(2)中，Sk=－1應舍去，這一點往往容易被忽視.2k?

3111}是以{}為首項，為公差的等差數(shù)列，進而求得通項公式.SnS12技巧與方法：求通項可證明{

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11成等比數(shù)列，∴Sn2=an·(Sn－)(n≥2)(*)2

22(1)由a1=1,S2=a1+a2=1+a2,代入(*)式得:a2=－ 3

212由a1=1，a2=－,S3=+a3代入(*)式得：a3=－ 3315解：∵an,Sn,Sn－

(n?1)?12?同理可得：a

=－,由此可推出：a=.具體常用數(shù)學歸納法證明：恒等式，不等式，數(shù)的整除性，幾何中計算問題，數(shù)列的通項與和等.●殲滅難點訓練

一、選擇題

1.(★★★★★)已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然數(shù)m,使得對任意n∈N,都能使m整除f(n)，則最大的m的值為()

A.30B.26C.36D.6

2.(★★★★)用數(shù)學歸納法證明3k≥n3(n≥3,n∈N)第一步應驗證()

A.n=1B.n=2C.n=3D.n=

4二、填空題

3.(★★★★★)觀察下列式子：1?131151117?,1?2?2?,1?2?2?2?…則可歸納出_________.22342323

44.(★★★★)已知a1=

三、解答題 3an1,an+1=,則a2,a3,a4,a5的值分別為_________，由此猜想an=_________.an?

325.(★★★★)用數(shù)學歸納法證明42n?1+3n+2能被13整除，其中n∈N*.與13

S2n＜那么Sk+1=Sk+(k+1)(k+2)=(k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)2

(k?1)(k?2)=(3k2+5k+12k+24)12

(k?1)(k?2)=［3(k+1)2+11(k+1)+10］ 12也就是說，等式對n=k+1也成立.綜上所述，當a=3,b=11,c=10時，題設對一切自然數(shù)n均成立.殲滅難點訓練

一、1.解析：∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36

∴f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除.證明：n=1,2時，由上得證，設n=k(k≥2)時，f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除，則n=k+1時，f(k+1)－f(k)=(2k+9)·3k+1－(2k+7)·3k

=(6k+27)·3k－(2k+7)·3k

－=(4k+20)·3k=36(k+5)·3k2(k≥2)

?f(k+1)能被36整除

∴當n=k+1時也成立.由①②知，當n∈N*時，42n+1+3n+2能被13整除.11713 ???2?12?21224

11113(2)假設當n=k時成立，即 ?????k?1k?22k246.證明：(1)當n=2時，則當n?k?1時,1111111????????k?2k?32k2k?12k?2k?1k?1

131111311??????? 242k?12k?2k?1242k?12k?2

13113???242(2k?1)(k?1)24

?b1?1?b1?1??7.(1)解：設數(shù)列{bn}的公差為d,由題意得,∴bn=3n－2)與?k?1(3k?2)?3k?4?3(k?1)?13k?1

111從而(1?1)(1?)?(1?)(1?)?(k?1)?1,即當n=k+1時，(*)式成立 43k?23k?1

由①②知，(*)式對任意正整數(shù)n都成立.于是，當a＞1時，Sn＞11logabn+1,當 0＜a＜1時，Sn＜logabn+1 33

8.解：∵a1·a2=－q,a1=2,a2≠0,∴q≠0,a2=－9, 2

an1?,即an+2=q·an an?2q∵an·an+1=－qn,an+1·an+2=－qn+1 兩式相除，得

于是，a1=2,a3=2·q,a5=2·qn…猜想：a2n+1=－1nq(n=1,2,3,…)

第五篇：數(shù)學教學突出重點,突破難點

數(shù)學教學突出重點，突破難點

2011-12-01 15:09:58|分類： 默認分類 |標簽： |舉報 |字號大

所謂教學重點，就是學生必須掌握的基本技能。如：意義、性質(zhì)、法則、計算等等。如何在數(shù)學教學中突破重點和難點呢？這就需要我們每一位數(shù)學教師在教學實踐中不斷地學習、總結(jié)、摸索。

1、認真?zhèn)湔n，吃透教材，抓住教材的重難點是突破重難點的前提

做為一個數(shù)學教師，把我們的主要精力，放在發(fā)展學生智力上，著眼于培養(yǎng)和調(diào)動學生的積極性和主動性，引導學生學會自己走路，首先自己要識途。我感到，要把數(shù)學之路探清認明，唯一的辦法就是深鉆教材，抓住各章節(jié)的重點和難點，備課時既能根據(jù)知識的特點，又能根據(jù)學生認識事物的規(guī)律，精心設計，精心安排，取得事半功倍的效果。因此，有課前的充實準備，就為教學時突破重點和難點提供了有利條件。

2、以舊知識為生長點，突破重點和難點

數(shù)學是系統(tǒng)性很強的學科，每項新知識往往是舊知識的延伸和發(fā)展，又是后續(xù)知識的基礎。知識的鏈條節(jié)節(jié)相連、環(huán)環(huán)相扣、舊里蘊新，又不斷化新為舊，不僅縱的有這樣的聯(lián)系，還有橫的聯(lián)系，縱橫交錯，形成知識網(wǎng)絡，學生能認識知識之間的聯(lián)系，才能深刻理解，融匯貫通。數(shù)學教學就是要借助于數(shù)學知識的邏輯結(jié)構(gòu)，引導學生由舊入新，組織積極的遷移，促成由已知到未知的推理，認識簡單與復雜問題的連結(jié)，用數(shù)學學科本身的邏輯關(guān)系，訓練學生的思維。數(shù)學教學并沒有固定模式，實際教學中還要考慮到教學內(nèi)容的一些特點，當新舊知識之間有緊密的邏輯關(guān)系或所學知識與舊知識之間沒有實質(zhì)性的變化，只是認知結(jié)構(gòu)中原有知識的特例時，教學時就以原有知識為生長點，直接由舊到新，即從學生已有的知識和經(jīng)驗出發(fā)。因為學生獲取知識，總是在已有的知識經(jīng)驗的參與下進行的，脫離了已有的知識經(jīng)驗基礎進行教學，其原有的知識經(jīng)驗就無法參與，而新舊知識連結(jié)紐帶的斷裂，必然會給學生帶來理解上的困難，使其難以掌握所學的知識。正因如此，自己在教學中運用了遷移規(guī)律，來實現(xiàn)重、難點的突破。

3、處理好尊重教材與靈活處理教材的關(guān)系

隨著新課程改革的深入，“靈活處理教材”或者說“創(chuàng)造性使用教材”已經(jīng)為廣大教師們所認同?！皠?chuàng)造性使用教材”的觀點主要指：教材是落實教學大綱，實現(xiàn)教學計劃的重要載體，也是教師進行課堂教學的主要依據(jù)。教學內(nèi)容不僅包括教材內(nèi)容，而且還包括師生在教學過程中的活動，教材內(nèi)容只不過是教學內(nèi)容的重要部分。教師必須充分發(fā)揮自身的創(chuàng)造性，把學生作為教學的基本出發(fā)點重新處理教材，做到尊重教材與靈活處理教材相結(jié)合，確定符合實際的內(nèi)容范圍和難度要求。