第一篇：高考數(shù)學(xué)難點歸納15 三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)教案

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難點15 三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)

三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)是高考的熱點，在復(fù)習(xí)時要充分運用數(shù)形結(jié)合的思想，把圖象和性質(zhì)結(jié)合起來.本節(jié)主要幫助考生掌握圖象和性質(zhì)并會靈活運用.●難點磁場

(★★★★)已知α、β為銳角，且x(α+β－＜2對一切非零實數(shù)都成立.●案例探究

［例1］設(shè)z1=m+(2－m2)i,z2=cosθ+(λ+sinθ)i,其中m,λ,θ∈R，已知z1=2z2，求λ的取值范圍.命題意圖：本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)，考查考生的綜合分析問題的能力和等價轉(zhuǎn)化思想的運用，屬★★★★★級題目.知識依托：主要依據(jù)等價轉(zhuǎn)化的思想和二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題來解決.錯解分析：考生不易運用等價轉(zhuǎn)化的思想方法來解決問題.技巧與方法：對于解法一，主要運用消參和分離變量的方法把所求的問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題；對于解法二，主要運用三角函數(shù)的平方關(guān)系把所求的問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題.解法一：∵z1=2z2，?m?2cos?∴m+(2－m)i=2cosθ+(2λ+2sinθ)i,∴? 22?m?2??2sin??

2?2)＞0,試證不等式f(x)=(cos?sin?)?(xcos?sin?)x∴λ=1－2cos2θ－sinθ=2sin2θ－sinθ－1=2(sinθ－當(dāng)sinθ=1414)2－

98.時λ取最小值－

98，當(dāng)sinθ=－1時，λ取最大值2.?m?2cos?解法二：∵z1=2z2

∴? 22?m?2??2sin??m?cos???2?∴?, 2?sin??2?m?2??2?∴m42?(2?m?2?)422=1.∴m4－(3－4λ)m2+4λ2－8λ=0,設(shè)t=m2,則0≤t≤4，???0?3?4???4?0?22令f(t)=t－(3－4λ)t+4λ－8λ,則?或f(0)·f(4)≤0 2?f(0)?0???f(4)?0京翰教育http://004km.cn/

高考網(wǎng) http://004km.cn/ ?????∴?????????549834或0???2 ????2或??0∴－98≤λ≤0或0≤λ≤2.98∴λ的取值范圍是［－，2］.［例2］如右圖，一滑雪運動員自h=50m高處A點滑至O點，由于運動員的技巧(不計阻力)，在O點保持速率v0不為，并以傾角θ起跳，落至B點，令OB=L，試問，α=30°時，L的最大值為多少？當(dāng)L取最大值時，θ為多大？ 命題意圖：本題是一道綜合性題目，主要考查考生運用數(shù)學(xué)知識來解決物理問題的能力.屬★★★★★級題目.知識依托：主要依據(jù)三角函數(shù)知識來解決實際問題.錯解分析：考生不易運用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識來解決物理問題，知識的遷移能力不夠靈活.技巧與方法：首先運用物理學(xué)知識得出目標(biāo)函數(shù)，其次運用三角函數(shù)的有關(guān)知識來解決實際問題.解：由已知條件列出從O點飛出后的運動方程：

?S?Lcos??v0tcos???12 ??h??Lsin??v04sin??gt2?① ②

?Lsin?t?12gt.由①②整理得：v0cosθ=14Lcos?t,v0sin??14Lt2∴v0+gLsinα=2gt+22

Lt22≥2gt?222=gL

12運動員從A點滑至O點，機械守恒有:mgh=

v02mv02, ∴v0=2gh,∴L≤2g(1?sin?)142?2ghg(1?sin?)2=200(m)即Lmax=200(m),又gt=

S?ht2?Lt22.∴t?2Lg,S?Lcos??v0tcos??2gh2Lg?cos?

得cosθ=cosα,∴θ=α=30°∴L最大值為200米，當(dāng)L最大時，起跳仰角為30°.［例3］如下圖，某地一天從6時到14時的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+b.(1)求這段時間的最大溫差.京翰教育http://004km.cn/

高考網(wǎng) http://004km.cn/(2)寫出這段曲線的函數(shù)解析式.命題意圖：本題以應(yīng)用題的形式考查備考中的熱點題型，要求考生把所學(xué)的三角函數(shù)知識與實際問題結(jié)合起來分析、思考，充分體現(xiàn)了“以能力立意”的命題原則.屬★★★★級題目.知識依托：依據(jù)圖象正確寫出解析式.錯解分析：不易準(zhǔn)確判斷所給圖象所屬的三角函數(shù)式的各個特定系數(shù)和字母.技巧與方法：數(shù)形結(jié)合的思想，以及運用待定系數(shù)法確定函數(shù)的解析式.解：(1)由圖示，這段時間的最大溫差是30－10=20(℃)；

(2)圖中從6時到14時的圖象是函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+b的半個周期的圖象.∴

1112??=14－6,解得ω=,由圖示A=(30－10)=10，b=(30+10)=20，這時?222?8y=10sin(34?8x+φ)+20,將x=6,y=10代入上式可取φ=

34π.綜上所求的解析式為y=10sin（?8x+ π)+20,x∈［6,14］.●錦囊妙計

本難點所涉及的問題及解決的方法主要有： 1.考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的基礎(chǔ)題目，此類題目要求考生在熟練掌握三角函數(shù)圖象的基礎(chǔ)上要對三角函數(shù)的性質(zhì)靈活運用.2.三角函數(shù)與其他知識相結(jié)合的綜合題目，此類題目要求考生具有較強的分析能力和邏輯思維能力.在今后的命題趨勢中綜合性題型仍會成為熱點和重點，并可以逐漸加強.3.三角函數(shù)與實際問題的綜合應(yīng)用.此類題目要求考生具有較強的知識遷移能力和數(shù)學(xué)建模能力，要注意數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用.●殲滅難點訓(xùn)練

一、選擇題

1.(★★★★)函數(shù)y=－x·cosx的部分圖象是（）

2.(★★★★)函數(shù)f(x)=cos2x+sin(A.非奇非偶函數(shù)

?2+x)是（）

B.僅有最小值的奇函數(shù)

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高考網(wǎng) http://004km.cn/ C.僅有最大值的偶函數(shù)

二、填空題

3.(★★★★)函數(shù)f(x)=（1D.既有最大值又有最小值的偶函數(shù))｜cosx｜在［－π，π］上的單調(diào)減區(qū)間為_________.??4.(★★★★★)設(shè)ω＞0，若函數(shù)f(x)=2sinωx在［－范圍是_________.］上單調(diào)遞增，則ω的取值,，3

4三、解答題

5.(★★★★)設(shè)二次函數(shù)f(x)=x2+bx+c(b,c∈R),已知不論α、β為何實數(shù)恒有f(sinα)≥0和f(2+cosβ)≤0.(1)求證：b+c=－1；(2)求證c≥3；

(3)若函數(shù)f(sinα)的最大值為8，求b，c的值.6.(★★★★★)用一塊長為a，寬為b(a＞b)的矩形木板，在二面角為α的墻角處圍出一個直三棱柱的谷倉，試問應(yīng)怎樣圍才能使谷倉的容積最大？并求出谷倉容積的最大值.7.(★★★★★)有一塊半徑為R，中心角為45°的扇形鐵皮材料，為了獲取面積最大的矩形鐵皮，工人師傅常讓矩形的一邊在扇形的半徑上，然后作其最大內(nèi)接矩形，試問：工人師傅是怎樣選擇矩形的四點的？并求出最大面積值.8.(★★★★)設(shè)－?6≤x≤

?4，求函數(shù)y=log2(1+sinx)+log2(1－sinx)的最大值和最小值.589.(★★★★★)是否存在實數(shù)a，使得函數(shù)y=sin2x+a·cosx+

a－

32在閉區(qū)間［0，?2］上的最大值是1？若存在，求出對應(yīng)的a值；若不存在，試說明理由.參考答案

難點磁場

證明：若x＞0，則α+β＞∴0＜sin(cosαsin??2?2∵α、β為銳角，∴0＜

?2－α＜β＜

?2;0＜

?2－β＜

?2,?2－α)＜sinβ.0＜sin(cos?sin?－β)＜sinα，∴0＜cosα＜sinβ,0＜cosβ＜sinα,∴0＜

?2＜1,0＜＜1,∴f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減，∴f(x)＜f(0)=2.若x＜0,α+β＜?2,∵α、β為銳角，0＜β＜α,0＜sinα＜sin(?2－α＜

?2,0＜α＜

?2－β＜

cos?sin??2,0＜sinβ＜sin（cos?sin??2－α),∴sinβ＜cos－β),∴sinα＜cosβ,∴＞1, ＞1, ∵f(x)在(－∞,0）上單調(diào)遞增，∴f(x)＜f(0)=2,∴結(jié)論成立.殲滅難點訓(xùn)練

一、1.解析：函數(shù)y=－xcosx是奇函數(shù)，圖象不可能是A和C，又當(dāng)x∈(0, y＜0.答案：D 2.解析：f(x)=cos2x+sin（?2

2?2)時，+x)=2cosx－1+cosx

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高考網(wǎng) http://004km.cn/ =2［(cosx+答案：D 122)?218］－1.二、3.解：在［－π,π］上，y=｜cosx｜的單調(diào)遞增區(qū)間是［－f(x)依｜cosx｜取值的遞增而遞減,故［－4.解：由－?2?2?2,0］及［

?2,π］.而,0］及［

?2,π］為f(x)的遞減區(qū)間.?2?≤ωx≤

?2，得f(x)的遞增區(qū)間為［－,?2?］，由題設(shè)得

???????????33?2?3[?,]?[?,],?? 解得:??,?0???.342?2?22??????2?

4三、5.解：(1)∵－1≤sinα≤1且f(sinα)≥0恒成立，∴f(1)≥0 ∵1≤2+cosβ≤3,且f(2+cosβ)≤0恒成立.∴f(1)≤0.從而知f(1)=0∴b+c+1=0.(2)由f(2+cosβ)≤0,知f(3)≤0,∴9+3b+c≤0.又因為b+c=－1,∴c≥3.(3)∵f(sinα)=sin2α+(－1－c)sinα+c=(sinα－

1?c21?c2)2+c－(())，2當(dāng)sinα=－1時，［f(sinα)］max=8,由??1?b?c?8?1?b?c?0解得b=－4,c=3.6.解：如圖，設(shè)矩形木板的長邊AB著地，并設(shè)OA=x，OB=y，則a2=x2+y2－2xycosα≥2xy－2xycosα=2xy(1－cosα).∵0＜α＜π,∴1－cosα＞0,∴xy≤

a22(1?cos?)absin?2(當(dāng)且僅當(dāng)x=y時取“=”號)，故此時谷倉的容積的最大值V1=（12xysinα)b=

144(1?cos?)?14abcos2?2.同理，若木板短邊著地時，谷倉的容積V的最大值V2=∵a＞b,∴V1＞V2

ab2cos

?2, 從而當(dāng)木板的長邊著地，并且谷倉的底面是以a為底邊的等腰三角形時，谷倉的容積最大，其最大值為14abcos2

?2.7.解：如下圖，扇形AOB的內(nèi)接矩形是MNPQ，連OP，則OP=R，設(shè)∠AOP=θ，則

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高考網(wǎng) http://004km.cn/ ∠QOP=45°－θ，NP=Rsinθ,在△PQO中，PQsin(45???)?Rsin135?，∴PQ=2Rsin(45°－θ).S矩形MNPQ=QP·NP=2R2sinθsin(45°－θ)=θ－45°)－2222R2·［cos(2］≤2?122?12R，當(dāng)且僅當(dāng)cos(2θ－45°)=1,即θ=22.5°時，S矩形MNPQ的值

2最大且最大值為R2.工人師傅是這樣選點的，記扇形為AOB，以扇形一半徑OA為一邊，在扇形上作角AOP且使∠AOP=22.5°，P為邊與扇形弧的交點，自P作PN⊥OA于N，PQ∥OA交OB于Q，并作OM⊥OA于M，則矩形MNPQ為面積最大的矩形，面積最大值為8.解：∵在［－

2?12R2.??,］上，1+sinx＞0和1－sinx＞0恒成立，∴原函數(shù)可化為y= 64??64log2(1－sin2x)=log2cos2x，又cosx＞0在［－,x∈［ －??2≤cosx≤1.,］上，264］上恒成立，∴原函數(shù)即是y=2log2cosx,在∴l(xiāng)og2ymin=－1.22≤log2cosx≤log21，即－1≤y≤0，也就是在x∈［－

??,］上，ymax=0, 649.解:y?1?cosx?acosx?當(dāng)0?x?若a2?2時,0?cosx?1.258a?32??(cosx?a2)?2a24?58a?12.?1時,即a?2,則當(dāng)cosx?1時,ymax?a?2013a232?2(舍去),a258a?32?1?a?若0??a?若a2

時,ymax?a2?1,即0?a?2,則當(dāng)cosx?或a??4?0(舍去).4?58a?12?1?0,即a?0,則當(dāng)cosx?0時,ymax?58a?12?1?a?125?(舍去).綜合上述知，存在a?32符合題設(shè).京翰教育http://004km.cn/

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第二篇：三角函數(shù)圖象變換教案

一、新課引入：

師：前面我們學(xué)習(xí)了正弦函數(shù)y=sinx的圖象和性質(zhì)，請同學(xué)說出它的定義域、值域、奇偶性、周期及單調(diào)區(qū)間？

生：定義域：R，值域：[-1，1]，奇函數(shù)，單增區(qū)間：[]單減區(qū)間：[] 師：回答的很好，那么形如偶性、周期及單調(diào)區(qū)間又如何呢？

（一片茫然，沒有學(xué)生回答）

函數(shù)的定義域、值域、奇師：大家別著急，今天我們就要來學(xué)習(xí)它們的圖象和性質(zhì)，并通過它們的圖象和性質(zhì)進一步來探究它們的圖象與y=sinx圖象會有什么樣的關(guān)系．

二、動手實驗：

下面請大家用圖形計算器在同一坐標(biāo)系分別輸入以下幾組三角函數(shù)的圖象，并觀察每一組圖象的定義域、值域、周期、單調(diào)區(qū)間及其再觀察每一組圖象相互之間的關(guān)系、特點，然后進行小組討論、交流．

第一組：

第二組：

第三組：

（教師巡視，同時指導(dǎo)學(xué)生注意輸入中經(jīng)常出現(xiàn)的幾個問題：窗口調(diào)節(jié)、弧度與度的單位轉(zhuǎn)換、及其如何利用在同一坐標(biāo)系同時畫圖和利用功能鍵

進行追蹤和如何利用其它鍵進行的放大等等．）

三、師生交流：

師：從下列第一組圖1，你有什么體會？

圖1 師：的定義域、值域、周期分別是多少？

生：的定義域：x∈R，值域：y［－2，2］，周期：應(yīng)該與y=sinx的一樣還是

師：不錯，那么呢？

生：的定義域x∈R，值域：y∈［－，］，周期：

師：很好，那么它們?nèi)咧g的圖象有什么關(guān)系呢？ 生：好象它們之間有一定的伸縮關(guān)系 師：能不能再說得具體一點嗎？

生：伸縮倍數(shù)是不是與2和有關(guān)呢？

師：大家探究和分析的很好，是不是這樣呢？不過別著急．下面請大家先看大屏幕幾何畫板的動畫演示

（老師心喜：他們能夠說出“伸縮”二字，而且發(fā)現(xiàn)與2和利用動畫演示有助于驗證他們的猜想）

有關(guān)，只是猜想不知是否正確，此時，圖2 演示1：拖動點C,請大家觀察圖象上D、E的運動，在橫坐標(biāo)相同的條件下，縱坐標(biāo)的變化，同時注意比值的變化．（對比y=sinx與y=2sinx）

圖3 演示2：拖動點B，觀察圖象y=sinx與y=Asinx圖象，當(dāng)A發(fā)生變化時，點D、E的縱坐標(biāo)的變化，同時注意比值的變化．（改變A的值，整體對比y=sinx與y=Asinx的關(guān)系）

進一步引導(dǎo),觀察,啟發(fā)：

師：通過上述大家的實驗、和我剛才的幾何畫板演示，你又有什么體會？ 生： 函數(shù)y=1/2sinx的圖象可看作把y＝sinx，x∈R上所有點的縱坐標(biāo)縮短到原來的 倍而得(橫坐標(biāo)不變)，函數(shù)y=2sinx圖象可看作把y＝sinx，x∈R上所有點的縱坐標(biāo)縮短到原來的2倍而得(橫坐標(biāo)不變)師：太好了，回答完全正確．（演示進一步鞏固了他們的猜想）教師總結(jié)：

一般地，y=Asinx，(x∈RA>0且A?1)的圖象可以看作把正弦曲線y=sinx上的所有點的縱坐標(biāo)伸長(A>1)或縮短(0 第二組：

師生交流：

師：和第一組一樣，你們有什么體會？

圖4 師：與的定義域、值域、周期分別是多少？

生：與的定義域：R,值域：[-1，1]，和y=sinx的都一樣，周期是多少看不出來，反正它們的周期顯然不一樣．

（學(xué)生從圖形計算器屏幕看到的的確如此，它們的周期明顯不一樣）師：是的，他們的圖象差別太大，但是可以看出一個周期較小，一個較大．（教師想通過周期的不一樣來突破周期變換）現(xiàn)在我給大家演示兩個動畫3．

圖5 演示1：拖動點A（A、B,它們分別在各自的圖象上）在縱坐標(biāo)相同的條件下，觀察A、B的橫坐標(biāo)的變化，以及的比值的變化．（對比y=sinx與y=2sinx的關(guān)系）

演示2：拖動點B, 改變W的值，再觀察上述的變化．（改變W的值，進一步觀察y=sinx與y=sinWx的圖象關(guān)系）

(該環(huán)節(jié)的演示要慢，要讓學(xué)生注意觀察比值的不變特點)

圖6 進一步引導(dǎo), 觀察啟發(fā): 師：通過上述你的實驗、和幾何畫板的動畫演示，你又有什么體會？

生：函數(shù)y＝sin2x，x∈R的圖象，可看作把y＝sinx，x∈R上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍(縱坐標(biāo)不變)而得到的 函數(shù)y＝sin原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)而得到，x∈R的圖象，可看作把y＝sinx，x∈R上所有點的橫坐標(biāo)伸長到（的確難得，他們能發(fā)現(xiàn)影響周期的量是W了，這樣也為下一節(jié)課周期的教學(xué)作好準(zhǔn)備）師：大家已經(jīng)能通過第一組的變換特點，類比的方式得到它們之間的關(guān)系，真的很不錯．那么誰能把y=sinωx圖象與y=sinx的圖象作比較，說出它們之間的關(guān)系嗎？

生：函數(shù)y=sinωx, x∈R(ω>0且ω?1)的圖象，可看作把y=sinx所有點的橫坐標(biāo)縮短(ω>1)或伸長(0<ω<1)到原來的倍（縱坐標(biāo)不變）

（鼓勵學(xué)生用自己的語言來歸納，總結(jié)）師：有進步． 總結(jié)：

一般地，函數(shù)y=sinωx, x∈R(ω>0且ω?1)的圖象，可看作把正弦曲線上所有點的橫坐標(biāo)縮短(ω>1)或伸長(0<ω<1)到原來的倍（縱坐標(biāo)不變）．我們把這種變換簡稱為周期（或者伸縮）變換．

第三組：

圖7 師：它們的定義域、值域、周期分別是多少？以及它們的圖象關(guān)系又有如何關(guān)系？ 生：定義域：x∈R，值域：y ∈［-1，1］，周期：，圖象似乎與我們以前學(xué)過的具有平移關(guān)系．

（因為高一學(xué)習(xí)過一些簡單的平移，學(xué)生對平移的說法可以很快的提出）

師：回答的十分正確．那么大家再用功能鍵點？

追蹤，觀察它們的平移的方向和平移的單位有什么特（由于學(xué)生的圖形計算器的單位是幅度，追蹤的結(jié)果是一個數(shù)，不會帶有行換算，幾分鐘后）

師：請大家看我用幾何畫板的動畫演示4． 演示1：拖動點C,觀察變化．（觀察平移的單位）的單位，讓學(xué)生注意進演示2：拖動點B,改變B的值，觀察平移的方向．（讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)：從左邊移動(B>0)，從右邊移動（B<0）

圖8 引導(dǎo),觀察,啟發(fā)：

師：通過上述實驗、和幾何畫板演示的結(jié)果你有什么體會？

生：函數(shù)y＝sin(x＋)，x∈R的圖象可看作把正弦曲線y=sinx上所有的點向左平行移動個單位長度而得到.函數(shù)y＝sin(x－單位長度而得到)，x∈R的圖象可看作把正弦曲線y=sinx上所有點向右平行移動個師：太棒了，回答的十分正確． 教師總結(jié)：

一般地，函數(shù)y＝sin(x＋＞0時)或向右(當(dāng))，x∈R(其中≠0)的圖象，可以看作把正弦曲線上所有點向左(當(dāng)＜0時＝平行移動｜｜個單位長度而得到(用平移法注意講清方向：“加左”“減右”)，我們把這一變換稱為平移變換

四、運用反思：

1、下列變換中，正確的是

A 將y＝sin2x圖象上的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍(縱坐標(biāo)不變)即可得到y(tǒng)＝sinx的圖象

B 將y＝sin2x圖象上的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?縱坐標(biāo)不變)即可得到y(tǒng)＝sinx的圖象

C 將y＝－sin2x圖象上的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù),即得到y(tǒng)＝sinx的圖象

D 將y＝－3sin2x圖象上的橫坐標(biāo)縮小一倍，縱坐標(biāo)擴大到原來的＝sinx的圖象

答案：A

倍，且變?yōu)橄喾磾?shù)，即得到y(tǒng)（可以讓學(xué)生使用機器來驗證自己的回答是否正確，尤其是C和D的回答）

2．師：大家可以選擇變換路徑

（由于前面都是單一的變換，可以提示學(xué)生先選擇變換路徑）

生： 即把y=sinx圖象上所有點的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)伸長為原來的2倍，再把得到的圖象的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來的1/2，然后把圖象上的所有點向右移動個單位． 師：有不同意見嗎？ 生：是的，基本就是這樣．

師：從一定是向右平移個單位嗎？

生：是啊

（全體學(xué)生感到納悶，老師為什么這樣問呢．）

師：好吧，請大家用計算器實驗，看看他說的是否正確？ 生：我輸入圖象看，平移的數(shù)據(jù)似乎不對，到底是多少呢？

（由于學(xué)生的圖形計算器的單位是幅度，追蹤的結(jié)果是一個數(shù)，不會帶有 的單位，可以讓學(xué)生進行換算來回答，但是幾何畫板可以動態(tài)變化和計算）

師：請大家再看我的演示：拖動點A,觀察點A、C橫坐標(biāo)的變化．（觀察它們距離的單位刻度是多少．）

圖9 生：我知道了，應(yīng)該是向右平移，而不是 師：不錯應(yīng)該是應(yīng)該是向右平移，這是我們經(jīng)常會犯的錯誤，一般地，函數(shù)的平移是指變量的變化量，所以要把函數(shù)化為從中可以看出，所以應(yīng)該是向右平移

（這時學(xué)生在做次類題目，經(jīng)常容易犯的錯誤，應(yīng)引起足夠的重視）

五、小結(jié)與思考：

今天我們學(xué)習(xí)了三種三角函數(shù)：形如圖象是由y=sinx的圖象怎么變換得到，我們分別把三種變換分別稱為振幅變換、伸縮變換、平移變換．

思考：

上述三種三角變換適應(yīng)于三角函數(shù)的圖象外，是否也適應(yīng)于一般函數(shù)的圖象的變換嗎？請同學(xué)們下去通過今天學(xué)習(xí)的方法用圖形計算器探索、思考下列幾組函數(shù)圖象的關(guān)系

1、與2、3、（讓學(xué)生下去動手實踐，、探索和驗證，也為后期函數(shù)圖象變換的學(xué)習(xí)作準(zhǔn)備）

六、作業(yè)：

七、教學(xué)反思：

1、本節(jié)課是以學(xué)生探索為主，教師點撥、啟發(fā)、引導(dǎo)和利用幾何畫板的演示為輔．通過TI-92PLS圖形計算器進行教學(xué)學(xué)習(xí)和探究活動，獲得TI計算器正弦波函數(shù)性質(zhì)等數(shù)學(xué)問題的體驗；認(rèn)識現(xiàn)代信息技術(shù)對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識和探究數(shù)學(xué)問題的價值．借助已知知識提出問題，體現(xiàn)教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體的原則，整個教學(xué)過程為：提出問題

探索

解決問題

運用反思

提高．

2、以前該部分內(nèi)容的教學(xué)通常是通過取值、列表、描點、畫圖然后靜態(tài)的讓學(xué)生觀察、總結(jié)，最后得出它們之間圖象變化的特點，如下圖所示．

（振幅變換）

（周期變換）

（平移變換）

不僅教學(xué)內(nèi)容少，而且課時需要多（以前至少需要2課時）、課堂氣氛枯燥、學(xué)生參與的活動少、學(xué)習(xí)的積極性較低．通過信息技術(shù)的使用，改變常規(guī)教學(xué)中處理方式，利用圖形計算器讓學(xué)生實驗、觀察、體會和交流，然后再通過幾何畫板的輔助教學(xué)演示，使得振幅變換、伸縮變換、平移變換變得形象、直觀，學(xué)生易于理解和掌握，不僅一節(jié)課完成了三種變換而且學(xué)生的興趣濃厚、參與活動多、課堂氣氛活躍，使課堂教學(xué)落到了實處，主體作用得到了真正的體現(xiàn)，綜合能力和素質(zhì)也得到了培養(yǎng)，這充分體現(xiàn)了信息技術(shù)具有的優(yōu)勢．

3、但值得商榷的是：原來教學(xué)的“五點作圖法”繪制函數(shù)圖象，再討論參數(shù)所起的作用，這里用技術(shù)馬上就畫出函數(shù)圖象，并觀察規(guī)律得出結(jié)論，所以“五點作圖法”在技術(shù)面前如何處理會更好．

第三篇：高中數(shù)學(xué)1.4 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 教案4人教版必修4

三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

一、知識網(wǎng)絡(luò)

二、高考考點

（一）三角函數(shù)的性質(zhì)

1、三角函數(shù)的定義域，值域或最值問題；

2、三角函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性問題；常見題型為：三角函數(shù)為奇函數(shù)（或偶函數(shù)）的充要條件的應(yīng)用；尋求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；比較大小的判斷等.3、三角函數(shù)的周期性；

尋求對值的三角函數(shù)的周期.（二）三角函數(shù)的圖象

1、基本三角函數(shù)圖象的變換；

2、型三角函數(shù)的圖象問題；重點是“五點法”作草圖的逆用：由給出

型三角函數(shù)的周期以及難度較高的含有絕的一段函數(shù)圖象求函數(shù)解析式；

3、三角函數(shù)圖象的對稱軸或?qū)ΨQ中心：尋求或應(yīng)用；

4、利用函數(shù)圖象解決應(yīng)用問題.（三）化歸能力以及關(guān)于三角函數(shù)的認(rèn)知變換水平.三、知識要點

（一）三角函數(shù)的性質(zhì)

1、定義域與值域

2、奇偶性

（1）基本函數(shù)的奇偶性

奇函數(shù)：y＝sinx，y＝tanx；

偶函數(shù)：y＝cosx.（2）

（?。ゞ（x）＝g（x）為偶函數(shù) 型三角函數(shù)的奇偶性

（x∈R）

由此得

同理，（ⅱ）為偶函數(shù)

；

為奇函數(shù)

；

為奇函數(shù)

..3、周期性

（1）基本公式

（?。┗救呛瘮?shù)的周期

y＝sinx，y＝cosx的周期為cotx的周期為

（ⅱ）.型三角函數(shù)的周期

；

y＝tanx，y＝ 的周期為 ；

（2）認(rèn)知

（?。?/p>

型函數(shù)的周期

的周期為.的周期為 ；

的周期為.（ⅱ）的周期的周期為；

的周期為

均同它們不加絕對值時的周期相同，即對y＝該函數(shù)的周期不變.注意這一點與（?。┑膮^(qū)別.（ⅱ）若函數(shù)為

.的解析式施加絕對值后，型兩位函數(shù)之和，則探求周期適于“最小公倍數(shù)法”.（ⅲ）探求其它“雜”三角函數(shù)的周期，基本策略是試驗――猜想――證明.（3）特殊情形研究

（?。﹜＝tanx－cotx的最小正周期為 ；

（ⅱ）的最小正周期為 ；

（ⅲ）y＝sin4x＋cos4x的最小正周期為.由此領(lǐng)悟“最小公倍數(shù)法”的適用類型，以防施錯對象.4、單調(diào)性

（1）基本三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（族）

依從三角函數(shù)圖象識證“三部曲”：

①選周期：在原點附近選取那個包含全部銳角，單調(diào)區(qū)間完整，并且最好關(guān)于原點對稱的一個周期；

②寫特解：在所選周期內(nèi)寫出函數(shù)的增區(qū)間（或減區(qū)間）；

③獲通解：在②中所得特解區(qū)間兩端加上有關(guān)函數(shù)的最小正周期的整數(shù)倍，即得這一函數(shù)的增區(qū)間族（或減區(qū)間族）

循著上述三部曲，便可得出課本中規(guī)范的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間族.揭示：上述“三部曲”也適合于尋求簡單三角不等式的解集或探求三角函數(shù)的定義域.（2）y＝

型三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

此類三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的尋求“三部曲”為

①換元、分解：令u＝

，將所給函數(shù)分解為內(nèi)、外兩層：y＝f（u），u＝

；

②套用公式：根據(jù)對復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的認(rèn)知，確定出f（u）的單調(diào)性，而后利用（1）中公式寫出關(guān)于u的不等式；

③還原、結(jié)論：將u＝區(qū)間形成結(jié)論.代入②中u的不等式，解出x的取值范圍，并用集合或

（二）三角函數(shù)的圖象

1、對稱軸與對稱中心

（1）基本三角函數(shù)圖象的對稱性

（?。┱仪€y＝sinx的對稱軸為對稱中心為（，0）

.； 正弦曲線y＝sinx的（ⅱ）余弦曲線y＝cosx的對稱軸為 ； 余弦曲線y＝cosx的對稱中心

（ⅲ）正切曲線y＝tanx的對稱中心為軸.認(rèn)知：

①兩弦函數(shù)的共性： x＝ 為兩弦函數(shù)f（x）對稱軸 ＝0.； 正切曲線y＝tanx無對稱

為最大值或最小值；（，0）為兩弦函數(shù)f（x）對稱中心

②正切函數(shù)的個性：

（，0）為正切函數(shù)f（x）的對稱中心

＝0或

不存在.（2）型三角函數(shù)的對稱性（服從上述認(rèn)知）

或g（x）＝

為最值（最大值或最小值）；（的圖象

，0）為兩弦函數(shù)g（x）

（ⅰ）對于g（x）＝x＝ 為g（x）對稱軸 ＝0.對稱中心（ⅱ）對于g（x）＝＝0或 不存在.的圖象（，0）為兩弦函數(shù)g（x）的對稱中心

2、基本變換

（1）對稱變換（2）振幅變換（縱向伸縮）（3）周期變換（橫向伸縮）（4）相位變換（左右平移）（5）上、下平移

3、y＝

（1）五點作圖法

的圖象

（2）對于A，T，的認(rèn)知與尋求： ①A：圖像上最高點（或最低點）到平衡位置的距離；

2A：圖像上最高點與最低點在y軸上投影 間的距離.② ：圖象的相鄰對稱軸（或?qū)ΨQ中心）間的距離；心間的距離.：圖象的對稱軸與相鄰對稱中

： 由T＝ 得出.③ ：

解法一：運用“代點法”求解，以圖象的最高點（或最低點）坐標(biāo)代入為上策，若以圖象與x軸交點坐標(biāo)代入函數(shù)式求，則須注意檢驗，以防所得

解法二：逆用“五點作圖法”的過程（參見經(jīng)典例題）.四、經(jīng)典例題

例

1、求下列函數(shù)的值域：

值為增根；

（1）

（4）

（2）

（5）

（3）（6）

分析：對于形如（1）（2）（3）的函數(shù)求值域，基本策略是（ⅰ）化歸為的值域；（ⅱ）轉(zhuǎn)化為sinx（或cosx）的二次函數(shù)；對于（4）（5）（6）之類含有絕對值的函數(shù)求值域，基本策略則是（?。┰谶m當(dāng)?shù)臈l件下考察y2；（ⅱ）轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)來處理；（ⅲ）運用其周期性、奇偶性或函數(shù)圖象對稱性轉(zhuǎn)化.解：

（1）

∵

∴，即所求函數(shù)的值域為.（2）由

∴

∴ 注意到這里x∈R，∴

∴所求函數(shù)的值域為[－1，1].（3）這里

令sinx＋cosx＝t 則有

且由

于是有

∵ ∴

因此，所求函數(shù)的值域為（4）注意到這里y>0，且函數(shù)的值域為

（5）注意到所給函數(shù)為偶函數(shù)，又當(dāng)

同理，當(dāng) 亦有.∵

.∴

即所求

∴此時..∴所求函數(shù)的值域為

（6）令 則易見f（x）為偶函數(shù)，且

∴ 是f（x）的一個正周期.①

只需求出f（x）在一個周期上的取值范圍.當(dāng)x∈[0，]時，又注意到，∴x＝ 為f（x）圖象的一條對稱軸 ②

∴只需求出f（x）在[0，]上的最大值.而在[0，遞增④ ]上，遞增.③ 亦

∴由③④得f（x）在[0，]上單調(diào)遞增.∴

即 ⑤.于是由①、②、⑤得所求函數(shù)的值域為

點評：解（1）（2）運用的是基本化歸方法；解（3）運用的是求解關(guān)于sinx＋cosx與sinxcosx的函數(shù)值域的特定方法；解（4）借助平方轉(zhuǎn)化；解（5）（6）則是利用函數(shù)性質(zhì)化繁為簡，化暗為明.這一點在解（6）時表現(xiàn)得淋漓盡致.例

2、求下列函數(shù)的周期：

（1）

；

（2）

；

（3）；

（4）；

（5）

分析：與求值域的情形相似，求三角函數(shù)的周期，首選是將所給函數(shù)化為＋k的形式，而后運用已知公式.對于含有絕對值的三角函數(shù)，在不能利用已有認(rèn)知的情況下，設(shè)法轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)來處理.解：（1）

＝

＝

∴所求最小正周期.（2）＝ ＝ ＝

∴所求周期.（3）＝

＝

＝.注意到 的最小正周期為，故所求函數(shù)的周期為.（4）注意到3sinx及-sinx的周期為2，又sinx≥0

.（或sinx<0）的解區(qū)間重復(fù)出現(xiàn)的最小正周期為2.∴所求函數(shù)的周期為

2（5）

注意到sin2x的最小正周期小正周期，這里

，又sinx≥0（或sinx<0）的解區(qū)間重復(fù)出現(xiàn)的最

.∴所求函數(shù)的周期

知，.是f（x）

的最小公倍數(shù)為

點評：對于（5），令的一個正周期.①

又正周期.②

于是由①②知，f（x）的最小正周期為

則由

∴ 不是f（x）的最小

.在一般情況下，探求上述一類分段函數(shù)的周期，僅考慮各段函數(shù)的最小正周期的最小公倍數(shù)是不夠的，還要考慮各分支中的條件區(qū)間重復(fù)出現(xiàn)的最小正周期.雙方結(jié)合，方可能獲得正確結(jié)果.請大家研究周期，并總結(jié)自己的有關(guān)感悟與經(jīng)驗.例

3、已知函數(shù)的部分圖象，（1）求

解：

（1）令

，則由題意得f（0）＝ 的值；

（2）求函數(shù)圖象的對稱軸方程和對稱中心坐標(biāo).的最小正

∵

∴

注意到函數(shù)圖象在所給長度為一個周期的區(qū)間的右端點橫坐標(biāo)為，故逆用“五點作圖法” 得： 由此解得

∴所求，.（2）由（1）得

令，解得，∴函數(shù)f（x）圖象的對稱軸方程為 ；令 解得，∴函數(shù)f（x）圖象的對稱中心坐標(biāo)為.點評：前事不忘，后事之師.回顧運用“五點作圖法”作出所給三角函數(shù)在一個周期內(nèi)圖象的列表、描點過程，便可從中悟出所給函數(shù)圖象上的五個關(guān)鍵點橫坐標(biāo)滿足的等式：

例

4、（1）函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間為。

（2）若函數(shù) 上為單調(diào)函數(shù)，則a的最大值為。

（3）函數(shù) 的圖象的對稱中心是。

函數(shù)（4）把函數(shù)

的圖象中相鄰兩條對稱軸的距離為

。的圖象向左平移m（m>0）個單位，所得的圖象關(guān)于y軸對稱，則m的最小正值為。

（5）對于函數(shù)，給出四個論斷：

①它的圖象關(guān)于直線x＝ 對稱；

②它的圖象關(guān)于點（,0）對稱；

③它的周期為 ；

④它在區(qū)間〔－，0〕上單調(diào)遞增.以其中的兩個論斷作為條件,余下的兩個論斷作為結(jié)論,寫出你認(rèn)為正確的命題,它是。

分析：

（1）這里遞增且

的遞增區(qū)間

的正號遞減區(qū)間

∴應(yīng)填

（2）由f（x）遞增得

易見，由f（x）遞減得

當(dāng)k＝0時，注意到 而不會屬于其它減區(qū)間，故知這里a的最大值為.（3）（?。┝?/p>

∴所給函數(shù)圖象的對稱中心為（，0）；

（ⅱ）①

解法一（直接尋求）在①中令 則有②

又在②中令k＝0得，令k＝1得

∴所求距離為 －

解法二（借助轉(zhuǎn)化）：注意到所求距離等于函數(shù)的最小周期的一半，又由①得這一函數(shù)的最小正周期為

T＝，故所求距離為.（4）這里 將這一函數(shù)圖象向左平移m（m>0）個單位，所得圖象的函數(shù)解析式為

令

則由題設(shè)知f（x）為偶函數(shù) f（－x）＝f（x）

∴所求m的最小值為.（5）為使解題的眉目清晰，首先需要認(rèn)定哪個論斷必須作為條件，哪個論斷只能作為結(jié)論，哪個論斷既可作為條件，又可作為結(jié)論；一般地，獨自決定圖象形狀的論斷必須作為條件，既不能決定形狀，也不能確定位置的論斷只能作為結(jié)論.在這里，③必須作為條件，而④只能作為結(jié)論.于是這里只需考察

①、③ ②、④與②、③ ①、④這兩種情形.（?。┛疾膦?、③ ②、④是否成立.由③得，故

；又由①得

注意到②、④成立.（ⅱ）考察②、③

.∴在①、③之下，易知此時

①、④是否成立.由③得，故 ；

又由②得 注意到.∴在②、③之下，易知此時①、④成立.②、④與②、③

①、④.；

.于是綜合（ⅰ）（ⅱ）得正確的命題為①、③

點評：對于（4）利用了如下認(rèn)知：

對于（5），認(rèn)定哪個論斷必須作為條件，哪個論斷必須作為結(jié)論是認(rèn)知問題和簡化解題過程的關(guān)鍵，請大家注意領(lǐng)悟和把握這一環(huán)節(jié).例

5、已知取得最大值2.（1）求f（x）的表達式；

的最小正周期為2，當(dāng) 時，f（x）

（2）在閉區(qū)間 上是否存在f（x）圖象的對稱軸？如果存在，求出其方程；如果不存在，說明理由.分析：出于利用已知條件以及便于考察f（x）的圖象的對稱軸這兩方面的考慮，先將f（x）化為

＋k的形式，這是此類問題的解題的基礎(chǔ).解：（1）去

令，①

，即 則有

由題意得② 又由①知，注意到這里A>0且B>0，取輔助角，則由②得③

（2）在③中令 解得x＝k＋

解不等式k＝5.④

注意到，故由④得

于是可知，在閉區(qū)間 上有且僅有一條對稱軸，這一對稱軸的方程為.點評：對于最值，對稱軸和對稱中心等問題，f（x）一經(jīng)化為式，解題便勝券在握.＋k的形

例

6、已知點 的圖象上.若定義在非零實數(shù)集上的奇函數(shù)g（x）在（0，＋∞）上是增函數(shù)，且g（2）＝0.求當(dāng)g[f（x）]<0且x∈[0，]時，實數(shù)a的取值范圍.分析：由點A、B都在函數(shù)∴b＝a，c＝1－a.的圖象上 得：，∴ ∴

此時，由g[f（x）]<0且x∈[0，]解出a的范圍，一方面需要利用g（x）的單調(diào)性脫去“f”，另一方面又要注意借助換元進行轉(zhuǎn)化：化生為熟，化繁為簡.因此，下一步的首要工作是考察并利用g（x）的單調(diào)性.解：由分析得

∵定義在非零實數(shù)集上的奇函數(shù)g（x）在（0，＋∞）上是增函數(shù)，且g（2）＝0，①

∴g（x）在（－∞，0）上是增函數(shù)，且g（－2）＝0② ∴由①②知，當(dāng)x<-2或0

.∴由③得，當(dāng)

.則

h（t）＝

∴g[f（x）]<0且x∈[0，]時，h（t）<－2或0

注意到h（t）＝at＋（1－a）∴由h（t）<－2得h（1）<－2(a<0)或h（由0

.，解得)<-2(a>0)，.于是綜上可知，所求a的點評：在這里，由③到④的轉(zhuǎn)化，是由“抽象”向“具體”的轉(zhuǎn)化，此為解題關(guān)鍵環(huán)節(jié).在下面的求解中，對0

（1）h(t)>0，⑤得，h(1)>0，顯然成立；

當(dāng)a<0時，h(t)在；

當(dāng)a＝0時，h（t）顯然滿足10，－1

⑥

（2）h(t)<2，⑦當(dāng)a>0時，h(t)在 上遞增，∴由⑦得，得

－

上遞減

∴由⑤得，h（）>0

（－1）a＋1>0

，00且h（t）<2

上遞增，∴由

⑤ 當(dāng)a>0時，h(t)在h()<2 ；

上遞減

∴由⑦得，h(1)<2,顯然滿足條件； 當(dāng)a＝0時，當(dāng)a<0時，h(t)在h（t）＝1，顯然滿足條件.因此由⑦得

五、高考真題

（一）選擇題

1、（湖北卷）若

⑧

于是綜合（1）（2）知，由0

（）

A.B.C.D.的范圍入手，分析：注意到我們對去了解 的范圍.的熟悉，故考慮從認(rèn)知

由 ∴，∴

應(yīng)選C.2、函數(shù) 的部分圖象如圖，則（）

A.B.C.D.分析：由圖象得.∴，∴

又f(1)=1，∴

（二）、填空題

1、（湖北卷）函數(shù)為。

注意到，∴

應(yīng)選C.的最小正周期與最大值的和

分析：對于含有絕對值的三角函數(shù)的周期或值域，基本策略是化為分段函數(shù)，分段尋求周期或范圍，而后綜合結(jié)論.，而sinx≥0的解區(qū)間重復(fù)出現(xiàn)的最小正周，故所求函數(shù)的最小正周期為

.（1）注意到sin2x的最小正周期期，而 的最小公倍數(shù)為

（2）由分段函數(shù)知，y的最大值為

2、（遼寧卷）個實數(shù)a，是正實數(shù)，設(shè)

，于是由（1）（2）知應(yīng)填..若對每 含2個元素，則

的元素不超過兩個，且有a使的取值范圍是。

分析：

∴

注意到有a使

注意到

含有兩個元素，∴相鄰兩 值之差

的元素不超過兩個，∴相間的兩個 值之差

①

②

∴由①、②得

.點評：

對于（1），在考察了各個分支中三角函數(shù)的最小正周期后，還要考察各分支中“不等式的解區(qū)間”重復(fù)出現(xiàn)的周期，二者結(jié)合才能得出正確結(jié)論.對于（2），這里的 決定于f（x）在一個周期圖象的左端點橫坐標(biāo)，由此便于認(rèn)識相鄰兩個 值之差 的意義.（三）解答題

1、若函數(shù) 的最大值為2，試確定常數(shù)a的值.＋k的形式，而后便

分析：鑒于過去的經(jīng)驗，首先致力于將f（x）化為會一路坦途.解： ＝

＝ 由已知得

.點評：本題看似簡單，但考察多種三角公式，亦能體現(xiàn)考生的基本能力.2、設(shè)函數(shù)

（1）求

y＝f（x）圖象的一條對稱軸是直線.；（2）求函數(shù)y＝f（x）的單調(diào)增區(qū)間；（3）證明直線5x－2y＋c＝0與函數(shù)y＝f（x）的圖象不相切.分析：對于（3），由于f（x）為三角函數(shù)，故需要利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義來解決直線與圖象的相切或不相切問題.其中，要證直線ｌ與ｙ＝ｆ（x）的圖象不相切，只需證直線ｌ的斜率不屬于y＝f（x）圖象上點的切線斜率的取值集合.解：（1）∵ 為函數(shù) 圖象的對稱軸，∴

∴ 即

又.（2）由（1）知時，y＝f（x）遞增，當(dāng)

∴所求函數(shù)f（x）的增區(qū)間為.（3）∵

∴y＝f（x）圖象上點的切線的斜率范圍為[－2，2].而直線5x－2y＋c＝0，∴直線5x－2y＋c＝0與函數(shù) 的圖象不相切.點評：有導(dǎo)數(shù)及其幾何意義奠基，便可引出諸多不同直線與不同函數(shù)圖象的相切或不相切問題.此題（3）的解題思路，值得大家仔細(xì)領(lǐng)會與品悟.3、已知函數(shù)

是R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于點M（）對稱，且在區(qū)間 上是單調(diào)函數(shù)，求 的值.的值；已知函數(shù)圖象關(guān)

的分析：在此類三角函數(shù)問題中，已知函數(shù)的周期可直接確定于某直線（或某點）對稱，則只能導(dǎo)出關(guān)于

的可能取值，此時要進一步確定值，還需要其它條件的輔助；而已知函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)的條件，一般只在利用函數(shù)圖象對稱性尋出 的可能取值之后，用它來進行認(rèn)定或篩選.解：由f（x）為偶函數(shù)得f（－x）＝f（x）（x∈R）

即

又 故有 由f（x）圖象關(guān)于點M（）對稱得

令x＝0得 而

由此解得

當(dāng)k＝0時，此時

當(dāng)k＝1時，當(dāng)k≥2時，故此時

因此，綜合以上討論得

點評：對于正弦函數(shù)y＝

或.∴所求，而 或.＋k或余弦函數(shù)y＝ ＋k，在單調(diào)區(qū)間“完整”的一個周期T，恰是增減區(qū)間的長度各為 ；而在任何一個周期T上，增區(qū)間（或減區(qū)間）的長度均不超過.因此，若區(qū)間 的長度大于，則函數(shù)在區(qū)間 上不會是單調(diào)函數(shù).4、設(shè)函數(shù)f（x）＝xsinx（x∈R）.（1）證明：

，其中k為正整數(shù).（2）設(shè)

，（3）設(shè)f（x）在（0，＋∞）內(nèi)的全部極值點按從小到大的順序排列為

證明：

分析：注意到正弦函數(shù)為f（x）的成員函數(shù)之一，試題中又指出f（x）的極值點，故需應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究極值的方法與結(jié)論.可見，解（2）（3），均需要從f＇（x）切入.證明：（1）∵f（x）＝xsinx（x∈R）∴

（2）

令

①

顯然cosx＝0不是①的解，故由①得x＝－tanx ②

②，即有

，于是 ＝

＝

（3）設(shè) 是

，則由直線y＝x與曲線

的一個正整數(shù)根，即y＝－tanx的位置關(guān)系知：對每一個，存在，使，注意到g（x）＝x＋tanx在 上是增函數(shù)，且 ∴g（x）在 又cosx在 內(nèi)符號不變，∴（x＋tanx）cosx＝sinx＋xcosx＝

∴所有滿足由題設(shè)

的 在 與在 內(nèi)異號，都是f（x）的極值點.為方程x＝－tanx的全部正根.且

，∴

再注意到

③

④

而∴由④得

∴1＋ ⑤

于是由③、⑤得，點評：在這里應(yīng)注意對（2）、（3）中極值點的區(qū)別.對于（2），即可；對于（3）中的左右兩邊異號.不僅要滿足

只需滿足

在點x＝

，還需認(rèn)定

第四篇：二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)教案

27.2.1 相似三角形的判定

（一）梅

一、教學(xué)目標(biāo)

1．經(jīng)歷兩個三角形相似的探索過程，體驗分析歸納得出數(shù)學(xué)結(jié)論的過程，進一步發(fā)展學(xué)生的探究、交流能力．

2．掌握兩個三角形相似的判定條件（三個角對應(yīng)相等，三條邊的比對應(yīng)相等，則兩個三角形相似）——相似三角形的定義，和三角形相似的預(yù)備定理（平行于三角形一邊的直線和其它兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似）．

3．會運用“兩個三角形相似的判定條件”和“三角形相似的預(yù)備定理”解決簡單的問題．

二、重點、難點

1．重點：相似三角形的定義與三角形相似的預(yù)備定理． 2．難點：三角形相似的預(yù)備定理的應(yīng)用． 3．難點的突破方法

（1）要注意強調(diào)相似三角形定義的符號表示方法（判定與性質(zhì)兩方面），應(yīng)注意兩個相似三角形中，三邊對應(yīng)成比例，AB?BC?CA每個比的前

A?B?B?C?C?A?項是同一個三角形的三條邊，而比的后項分別是另一個三角形的三條對應(yīng)邊，它們的位置不能寫錯；

（2）要注意相似三角形與全等三角形的區(qū)別和聯(lián)系，弄清兩者之間的關(guān)系．全等三角形是特殊的相似三角形，其特殊之處在于全等三角形的相似比為1．兩者在定義、記法、性質(zhì)上稍有不同，但兩者在知識學(xué)習(xí)上有很多類似之處，在今后學(xué)習(xí)中要注意兩者之間的對比和類比；

（3）要求在用符號表示相似三角形時，對應(yīng)頂點的字母要寫在對應(yīng)的位置上，這樣就會很快地找到相似三角形的對應(yīng)角和對應(yīng)邊；

（4）相似比是帶有順序性和對應(yīng)性的（這一點也可以在上一節(jié)課中提出）：

如△ABC∽△A′B′C′的相似比AB?BC?CA?k，那么△A′B′C′∽△ABC

A?B?B?C?C?A???????的相似比就是AB?BC?CA?1，它們的關(guān)系是互為倒數(shù)．這

ABBCCAk一點在教學(xué)中科結(jié)合相似比“放大或縮小”的含義來讓學(xué)生理解；（5）“平行于三角形一邊的直線和其它兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似”定理也可以簡單稱為“三角形相似的預(yù)備定理”．這個定理揭示了有三角形一邊的平行線，必構(gòu)成相似三角形，因此在三角形相似的解題中，常作平行線構(gòu)造三角形與已知三角形相似．

三、例題的意圖

本節(jié)課的兩個例題均為補充的題目，其中例1是訓(xùn)練學(xué)生能正確去尋找相似三角形的對應(yīng)邊和對應(yīng)角，讓學(xué)生明確可類比全等三角形對應(yīng)邊、對應(yīng)角的關(guān)系來尋找相似三角形中的對應(yīng)元素：即（1）對頂角一定是對應(yīng)角；（2）公共角一定是對應(yīng)角；最大角或最小的角一定是對應(yīng)角；（3）對應(yīng)角所對的邊一定是對應(yīng)邊；（4）對應(yīng)邊所對的角一定是對應(yīng)角；對應(yīng)邊所夾的角一定是對應(yīng)角．

例2是讓學(xué)生會運用“三角形相似的預(yù)備定理”解決簡單的問題，這里要注意，此題兩次用到相似三角形的對應(yīng)邊成比例（也可以先寫出三個比例式，然后拆成兩個等式進行計算），學(xué)生剛開始可能不熟練，教學(xué)中要注意引導(dǎo)．

四、課堂引入

1．復(fù)習(xí)引入

（1）相似多邊形的主要特征是什么？

（2）在相似多邊形中，最簡單的就是相似三角形．

在△ABC與△A′B′C′中，如果∠A=∠A′, ∠B=∠B′, ∠C=∠C′, 且AB?BC?CA?k．

A?B?B?C?C?A?我們就說△ABC與△A′B′C′相似，記作△ABC∽△A′B′C′，k就是它們的相似比．

反之如果△ABC∽△A′B′C′，則有∠A=∠A′, ∠B=∠B′, ∠C=∠C′, 且AB?BC?CA．

A?B?B?C?C?A?（3）問題：如果k=1，這兩個三角形有怎樣的關(guān)系？ 2．教材P42的思考，并引導(dǎo)學(xué)生探索與證明． 3．【歸納】

三角形相似的預(yù)備定理平行于三角形一邊的直線和其它兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似．

五、例題講解

例1（補充）如圖△ABC∽△DCA，AD∥BC，∠B=∠DCA．

（1）寫出對應(yīng)邊的比例式；（2）寫出所有相等的角；

（3）若AB=10,BC=12,CA=6．求AD、DC的長．

分析：可類比全等三角形對應(yīng)邊、對應(yīng)角的關(guān)系來尋找相似三角形中的對應(yīng)元素．對于（3）可由相似三角形對應(yīng)邊的比相等求出AD與DC的長．

解：略（AD=3，DC=5）

例2（補充）如圖，在△ABC中，DE∥BC，AD=EC，DB=1cm，AE=4cm，BC=5cm，求DE的長．

分析：由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，再由相似三角形的性質(zhì)，有ADAE，又由?AD=EC可求出AD的長，再根據(jù)DE?AD求出DE的長．

ABACBCAB解：略（DE?103）．

六、課堂練習(xí)

1．（選擇）下列各組三角形一定相似的是（）

A．兩個直角三角形 B．兩個鈍角三角形

C．兩個等腰三角形 D．兩個等邊三角形

2．（選擇）如圖，DE∥BC，EF∥AB，則圖中相似三角形一共有（A．1對 B．2對 C．3對 D．4對 3．如圖，在□ABCD中，EF∥AB，DE:EA=2:3，EF=4，求CD的長．（CD= 10）

七、課后練習(xí)

1．如圖，△ABC∽△AED, 其中DE∥BC，寫出對應(yīng)邊的比例式． 2．如圖，△ABC∽△AED，其中∠ADE=∠B，寫出對應(yīng)邊的比例式．

3．如圖，DE∥BC，）

（1）如果AD=2，DB=3，求DE:BC的值；

（2）如果AD=8，DB=12，AC=15，DE=7，求AE和BC的長． 教學(xué)反思

第五篇：九年級數(shù)學(xué)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)教案23

九年級數(shù)學(xué)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)教案本資料為woRD文檔，請點擊下載地址下載全文下載地址

23.2二次函數(shù)y=ax2的圖象和性質(zhì)

教學(xué)目標(biāo)：

.經(jīng)歷探索二次函數(shù)y=ax2的圖象的作法和性質(zhì)的過程，獲得利用圖象研究函數(shù)性質(zhì)的經(jīng)驗。

2.能夠利用描點法作出函數(shù)y=ax2的圖象，并能根據(jù)圖象認(rèn)識和理解二次函數(shù)y=ax2的性質(zhì)，初步建立二次函數(shù)表達式與圖象之間的聯(lián)系。

3.能根據(jù)二次函數(shù)y=ax2的圖象，探索二次函數(shù)的性質(zhì)（開口方向、對稱軸、頂點坐標(biāo)）。

教學(xué)重點：二次函數(shù)y=ax2的圖象的作法和性質(zhì)

教學(xué)難點：建立二次函數(shù)表達式與圖象之間的聯(lián)系

教學(xué)方法：自主探索，數(shù)形結(jié)合 教學(xué)建議：

利用具體的二次函數(shù)圖象討論二次函數(shù)y=ax2的性質(zhì)時，應(yīng)盡可能多地運用小組活動的形式，通過學(xué)生之間的合作與交流，進行圖象和圖象之間的比較，表達式和表達式之間的比較，建立圖象和表達式之間的聯(lián)系，以達到學(xué)生對二次函數(shù)性質(zhì)的真正理解。

教學(xué)過程：

一、認(rèn)知準(zhǔn)備：

．正比例函數(shù)、一次函數(shù)、反比例函數(shù)的圖象分別是什么？

2．畫函數(shù)圖象的方法和步驟是什么？（學(xué)生口答）

你會作二次函數(shù)y=ax2的圖象嗎？你想直觀地了解它的性質(zhì)嗎？本節(jié)課我們一起探索。

二、新授：

（一）動手實踐：作二次函數(shù)

y=x2和y=-x2的圖象

（同桌二人，南邊作二次函數(shù)

y=x2的圖象，北邊作二次函數(shù)y=-x2的圖象，兩名學(xué)生黑板完成）

（二）對照黑板圖象議一議：

.你能描述該圖象的形狀嗎？

2.該圖象與x軸有公共點嗎？如果有公共點坐標(biāo)是什么？

3.當(dāng)x<0時，隨著x的增大，y如何變化？當(dāng)x>0時呢？

4.當(dāng)x取什么值時，y值最?。孔钚≈凳鞘裁?？你是如何知道的？

5.該圖象是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？請你找出幾對對稱點。

（三）學(xué)生交流：

.交流上面的五個問題（由問題1引出拋物線的概念，由問題2引出拋物線的頂點）

2.二次函數(shù)y=x2和y=-x2的圖象有哪些相同點和不同點？

3．教師出示同一直角坐標(biāo)系中的兩個函數(shù)y=x2

和y=-x2圖象，根據(jù)圖象回答：

（1）二次函數(shù)y=x2和y=-x2的圖象關(guān)于哪條直線對稱？

（2）兩個圖象關(guān)于哪個點對稱？

（3）由y=x2的圖象如何得到y(tǒng)=-x2的圖象？

（四）動手做一做：

1．作出函數(shù)y=2x2

和

y=-2x2的圖象

（同桌二人，南邊作二次函數(shù)y=-2x2的圖象，北邊作二次函數(shù)y=2x2的圖象，兩名學(xué)生黑板完成）

2．對照黑板圖象，數(shù)形結(jié)合，研討性質(zhì)：

（1）你能說出二次函數(shù)y=2x2具有哪些性質(zhì)嗎？

（2）你能說出二次函數(shù)y=-2x2具有哪些性質(zhì)嗎？

（3）你能發(fā)現(xiàn)二次函數(shù)y=ax2的圖象有什么性質(zhì)嗎？

（學(xué)生分小組活動，交流各自的發(fā)現(xiàn)）

3．師生歸納總結(jié)二次函數(shù)y=ax2的圖象及性質(zhì)：

（1）二次函數(shù)y=ax2的圖象是一條拋物線

（2）性質(zhì)

a:開口方向:a>0，拋物線開口向上，a〈0，拋物線開口向下[

b:頂點坐標(biāo)是（0，0）

c:對稱軸是y軸

d:最值：a>0，當(dāng)x=0時，y的最小值=0，a〈0，當(dāng)x=0時，y的最大值=0

e:增減性：a>0時，在對稱軸的左側(cè)（X＜0)，y隨x的增大而減小，在對稱軸的右側(cè)（x＞0），y隨x的增大而增大，a〈0時，在對稱軸的左側(cè)（X＜0)，y隨x的增大而增大，在對稱軸的右側(cè)（x＞0），y隨x的增大而減小。

4．應(yīng)用：（1）說出二次函數(shù)y=1/3x2

和

y=-5x2

有哪些性質(zhì)

（2）說出二次函數(shù)y=4

x2和

y=-1/4x2有哪些相同點和不同點？

三、小結(jié)：

通過本節(jié)課學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？（學(xué)生小結(jié)）

．會畫二次函數(shù)y=ax2的圖象，知道它的圖象是一條拋物線

2．知道二次函數(shù)y=ax2的性質(zhì)：

a:開口方向:a>0，拋物線開口向上，a〈0，拋物線開口向下

b:頂點坐標(biāo)是（0，0）

c:對稱軸是y軸

d:最值：a>0，當(dāng)x=0時，y的最小值=0，a〈0，當(dāng)x=0時，y的最大值=0

e:增減性：a>0時，在對稱軸的左側(cè)，y隨x的增大而增大，a〈0時，在對稱軸的左側(cè)，y隨x的增大而增大，在對稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而減小。