第一篇：§5.5 正弦定理、余弦定理的應(yīng)用(教案)

響水二中高三數(shù)學(xué)（理）一輪復(fù)習(xí)教案 第五編平面向量、解三角形 主備人 張靈芝 總第25期

§5.5 正弦定理、余弦定理的應(yīng)用

基礎(chǔ)自測(cè)

1.在某次測(cè)量中，在A處測(cè)得同一半平面方向的B點(diǎn)的仰角是60°,C點(diǎn)的俯角為70°，則∠BAC=.答案 130°

2.從A處望B處的仰角為?，從B處望A處的俯角為?，則?、?的大小關(guān)系為.答案 ?=?

3.在△ABC中，若(a+b+c)(a+b-c)=3ab,且sinC=2sinAcosB,則△ABC是 三角形.答案 等邊

4.已知A、B兩地的距離為10 km,B、C兩地的距離為20 km,現(xiàn)測(cè)得∠ABC=120°，則A、C兩地的距離為 km.答案 107

5.線段AB外有一點(diǎn)C，∠ABC=60°,AB=200 km,汽車(chē)以80 km/h的速度由A向B行駛，同時(shí)摩托車(chē)以 50 km/h的速度由B向C行駛，則運(yùn)動(dòng)開(kāi)始 h后，兩車(chē)的距離最小.答案 70 43例題精講

例1 要測(cè)量對(duì)岸A、B兩點(diǎn)之間的距離，選取相距3 km的C、D兩點(diǎn)，并測(cè)得∠ACB=75°，∠BCD= 45°，∠ADC=30°，∠ADB=45°，求A、B之間的距離.解 如圖所示，在△ACD中，∠ACD=120°，∠CAD=∠ADC=30°，∴AC=CD=3 km.在△BCD中，∠BCD=45°，∠BDC=75°，∠CBD=60°.∴BC=2AB=(3)+(3sin75?6?2=.△ABC中，由余弦定理，得

sin60?226?226?2)-2×3××cos75°=3+2+3-3=5，22∴AB=5(km).∴A、B之間的距離為5 km.159 例2．沿一條小路前進(jìn)，從A到B，方位角（從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到AB方向所成的角）是50°，距離是3 km，從B到C方位角是110°，距離是3 km，從C到D,方位角是140°，距離是（9+33）km.試畫(huà)出示意圖，并計(jì)算出從A到D的方位角和距離（結(jié)果保留根號(hào)）.解 示意圖如圖所示，連接AC，在△ABC中，∠ABC=50°+(180°-110°)=120°,又AB=BC=3，∴∠BAC=∠BCA=30°.由余弦定理可得

1AC=AB2?BC2?2AB?BCcos120?= 9?9?2?3?3?(?)

2=27=33(km)，在△ACD中，∠ACD=360°-140°-(70°+30°)=120°, CD=33+9.1由余弦定理得AD=AC2?CD2?2AC?CDcos120?= 27?(33?9)2?2?33?(33?9)?(?)

2=9(2?6)(km)2CD?sin?ACD=AD(33?9)?由正弦定理得sin∠CAD=

32=2.292?962∴∠CAD=45°,于是AD的方位角為50°+30°+45°=125°, 所以，從A到D的方位角是125°，距離為

9(2?6)km.2例3 如圖所示，已知半圓的直徑AB=2，點(diǎn)C在AB 的延長(zhǎng)線上，BC=1，點(diǎn)P為半圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以 DC為邊作等邊△PCD，且點(diǎn)D與圓心O分別在PC 的兩側(cè)，求四邊形OPDC面積的最大值.解 設(shè)∠POB=?，四邊形面積為y，則在△POC中，由余弦定理得

160 PC=OP+OC-2OP·OCcos?=5-4cos?.∴y=S△OPC+S△PCD=∴當(dāng)?-1?353×1×2sin?+（5-4cos?）=2sin(?-)+.3244222??5?53=，即?=時(shí)，ymax=2+.326453.4所以四邊形OPDC面積的最大值為2+鞏固練習(xí)

1.某觀測(cè)站C在A城的南偏西20°的方向.由A城出發(fā)的一條公路，走向是南偏東40°，在C處測(cè)得公路上B處有一人距C為31千米正沿公路向A城走去，走了20千米后到達(dá)D處，此時(shí)CD間的距離為21千米，問(wèn)這人還要走多少千米才能到達(dá)A城？ 解 設(shè)∠ACD=?，∠CDB=?.在△BCD中，由余弦定理得 cos?=

143BD2?CD2?CB2202?212?312==-，則sin?=，72BD?CD2?20?217而sin?=sin(?-60°)=sin?cos60°-cos?sin60° =1153433×+×=, 27142721AD21sin?=,∴AD==sin60?sin?sin60?21?在△ACD中，由正弦定理得

5314=15(千米).32答 這個(gè)人再走15千米就可到達(dá)A城.2.如圖所示，測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB時(shí)，可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)C與D，現(xiàn)測(cè)得 ∠BCD=?，∠BDC=?，CD=s，并在點(diǎn)C測(cè)得塔頂A的仰角為?，求塔高AB.解 在△BCD中，∠CBD=?-?-?，由正弦定理得所以BC=CDsin?BDCs?sin?=

sin?CBDsin(???)BCCD=，sin?BDCsin?CBD在Rt△ABC中，AB=BCtan∠ACB=

stan?sin?.sin(???)3.為了豎一塊廣告牌，要制造三角形支架.三角形支架如圖

161 所示，要求∠ACB=60°，BC的長(zhǎng)度大于1米，且AC比 AB長(zhǎng)0.5米.為了使廣告牌穩(wěn)固，要求AC的長(zhǎng)度越短越 好，求AC最短為多少米？且當(dāng)AC最短時(shí)，BC長(zhǎng)度為多 少米？

解 設(shè)BC=a（a＞1）,AB=c，AC=b，b-c=

12221122

2.c=a+b-2abcos60°，將c=b-代入得(b-)=a+b-ab, 222化簡(jiǎn)得b(a-1)=a-21.由a＞1,知a-1＞0.b=4a2?31(a?1)2?2a?2?34=(a-1)+4= 4(a?1)a?1a?1+2?3+2, 當(dāng)且僅當(dāng)a-1=33時(shí)，取“=”號(hào)，即a=1+時(shí)，b有最小值2+3.4(a?1)2答 AC最短為(2+3)米，此時(shí)，BC長(zhǎng)為(1+

3)米.2回顧總結(jié) 知識(shí) 方法 思想

課后作業(yè)

一、填空題

1.海上有A、B兩個(gè)小島相距10海里，從A島望C島和B島成60°的視角，從B島望C島和A島成 75°視角，則B、C的距離是 海里.答案 56

2.為測(cè)量某塔AB的高度，在一幢與塔AB相距20 m的樓頂處測(cè)得塔頂A的仰角為30°，測(cè)得塔基B的俯角為45°，那么塔AB的高度是 m.答案 20(1+3)33.如圖所示，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于a km, 162 燈塔A在觀察站C的北偏東20°，燈塔B在觀察站C的南偏東40°，則燈塔A與燈塔B的距離為 km.答案 3a

4.一船自西向東勻速航行，上午10時(shí)到達(dá)一座燈塔P的南偏西75°距塔68海里的M處，下午2時(shí)到達(dá)這座燈塔的東南方向的N處，則這只船的航行速度為 海里/小時(shí).答案 176 25.如圖所示，在河岸AC測(cè)量河的寬度BC，圖中所標(biāo)的數(shù)據(jù)a，b，c，?，?是可供測(cè)量的數(shù)據(jù).下面給出的四組數(shù)據(jù)中，對(duì)測(cè)量河寬較適宜 的是（填序號(hào)）.①c和?②c和b③c和?④b和? 答案 ④

6.如圖，一貨輪航行到M處，測(cè)得燈塔S在貨輪的北偏東15°,與燈塔S相 距20海里,隨后貨輪按北偏西30°的方向航行30分鐘后,又測(cè)得燈塔在 貨輪的東北方向,則貨輪的速度為 海里/小時(shí).答案 20(6-2)7.在△ABC中，若∠C=60°，則答案 1 8.（2008·蘇州模擬）在△ABC中，邊a,b,c所對(duì)角分別為A,B,C，且答案

nisaAab+=.b?cc?a=

cosBcosC

=,則∠A=.cb?

2二、解答題

9.在△ABC中，a，b，c分別為角A、B、C的對(duì)邊，設(shè)f（x）=ax-（a-b）x-4c.（1）f（1）=0且B-C=

2?，求角C的大??；（2）若f（2）=0，求角C的取值范圍.3222

2解（1）∵f（1）=0，∴a-(a-b)-4c=0，∴b=4c，∴b=2c，∴sinB=2sinC，163 又B-C=????.∴sin(C+)=2sinC，∴sinC·cos+cosC·sin=2sinC，3333∴3???5??3sinC-cosC=0，∴sin(C-)=0，又∵-＜C-＜，∴C=.6666622222

2（2）若f（2）=0，則4a-2(a-b)-4c=0，∴a+b=2c，∴cosC=又2c=a+b≥2ab，∴ab≤c，∴cosC≥2222

a2?b2?c2c2=，2ab2ab1?，又∵C∈（0，?），∴0＜C≤.323.410.（2008·泰安模擬）在△ABC中，a,b,c分別為角A，B，C的對(duì)邊.已知a=1,b=2,cosC=(1)求邊c的值；（2）求sin(C-A)的值.解（1）c=a+b-2abcosC=1+2-2×1×2×22222

3=2，∴c=2.4（2）∵cosC=3ac17，∴sinC=.在△ABC中，=,即=

sinAsinCsinA44274.∴sinA==

5214,∵a＜b,∴A為銳角，cosA=.∴sin(C-A)=sinCcosA-cosCsinA

8852371414×-×=.48481611.如圖所示，扇形AOB，圓心角AOB等于60°，半徑為2，在弧

AB上有一動(dòng)點(diǎn)P，過(guò)P引平行于OB的直線和OA交于點(diǎn)C，設(shè)∠AOP=?，求△POC面積的最大值及此時(shí)?的值.解 ∵CP∥OB，∴∠CPO=∠POB=60°-?，∠OCP=120°.在△POC中，由正弦定理得又OPCP2CP4=，∴=，∴CP=sin?.sin?PCOsin?sin120?sin?32OC4=，∴OC=sin（60°-?）.因此△POC的面積為

sin(60???)sin120?3S（?）==11443CP·OCsin120°=·sin（60°-?）× sin?·2223343sin?sin（60°-?）=43sin?（1232

cos?-sin?)=2sin?·cos?-sin?

223=sin2?+

??332333cos2?-=sin(2?+)-.∴?=時(shí)，S（?）取得最大值為.6633333164 12.在海岸A處，發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向，距離A（3-1）n mile的B處 有一艘走私船，在A處北偏西75°的方向，距離A 2 n mile的C處的

緝私船奉命以103 n mile/h的速度追截走私船.此時(shí)，走私船正以 10 n mile/h的速度從B處向北偏東30°方向逃竄，問(wèn)緝私船沿什么方 向能最快追上走私船？

解 如圖所示，注意到最快追上走私船且兩船所用時(shí)間相等，若在D處相遇，則可先在△ABC中求出BC，再在△BCD中求∠BCD.設(shè)緝私船用t h在D處追上走私船，則有CD=103t，BD=10t.在△ABC中，222∵AB=3-1，AC=2，∠BAC=120°,∴由余弦定理，得BC=AB+AC-2AB·AC·cos∠BAC

22=(3-1)+2-2×(3-1)×2×cos120°=6, ∴BC=6，∵∠CBD=90°+30°=120°，在△BCD中，由正弦定理，得 sin∠BCD=BD?sin?CBD10tsin120?1==,∴∠BCD=30°.CD2103t即緝私船北偏東60°方向能最快追上走私船.165

第二篇：正弦定理余弦定理[推薦]

正弦定理 余弦定理

一、知識(shí)概述

主要學(xué)習(xí)了正弦定理、余弦定理的推導(dǎo)及其應(yīng)用，正弦定理是指在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等．即余弦定理是指三角形任何一邊的平方等于其它兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍，即a2=b2＋c2－2bccosA，b2=c2＋a2－2cacosB, c2=a2＋b2－2abcosC．通過(guò)兩定理的學(xué)習(xí)，掌握正弦定理和余弦定理，并能利用這兩個(gè)定理去解斜三角形，學(xué)會(huì)用計(jì)算器解決解斜三角形的計(jì)算問(wèn)題，熟悉兩定理各自解決不同類(lèi)型的解三角形的問(wèn)題．認(rèn)識(shí)在三角形中，已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形，產(chǎn)生多解的原因，并能準(zhǔn)確判斷解的情況．

二、重點(diǎn)知識(shí)講解

1、三角形中的邊角關(guān)系

在△ABC中，設(shè)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，則有

（1）角與角之間的關(guān)系：A＋B＋C＝180°；

（2）邊與角之間的關(guān)系：

正弦定理：

余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA

b2＝c2＋a2－2accosB

c2＝a2＋b2－2abcosC

射影定理：a＝bcosC＋ccosB

b＝ccosA＋acosC c＝acosB＋

bcosA

2、正弦定理的另三種表示形式：

3、余弦定理的另一種表示形式：

4、正弦定理的另一種推導(dǎo)方法——面積推導(dǎo)法

在△ABC中，易證明再在上式各邊同時(shí)除

以在此方法推導(dǎo)過(guò)程中，要注意對(duì)

面積公式的應(yīng)用．

例

1、在△ABC中，ab=60, sinB=cosB．面積S=15，求△ABC的三個(gè)內(nèi)角． 分析：

在正弦定理中，由

進(jìn)而可以利用三角函數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行解題． 解：

可以把面積進(jìn)行轉(zhuǎn)化，由公式

∴C=30°或150°

又sinA=cosB∴A＋B=90°或A－B=90°顯然A＋B=90°不可能成立

當(dāng)C=30°時(shí)，由A＋B=150°，A－B=90°得A=120°B=30°

當(dāng)C=150°時(shí)，由A－B=90°得B為負(fù)值，不合題意故所求解為A=120°，B=30°，C=30°.例

2、在△ABC中，a、b、c分別是內(nèi)角A、B、C的外邊，若b=2a，B=A＋60°，求A的值． 分析：

把題中的邊的關(guān)系b=2a利用正弦定理化為角的關(guān)系，2RsinB=4RsinA，即sinB=2sinA． 解：

∵B=A＋60°

∴sinB=sin(A＋60°)=sinAcos60°＋cosAsin60°

=

又∵b=2a

∴2RsinB=4RsinA，∴sinB=2sinA

例

3、在△ABC中，若tanA︰tanB＝a2︰b2，試判斷△ABC的形狀． 分析：

三角形分類(lèi)是按邊或角進(jìn)行的，所以判定三角形形狀時(shí)一般要把條件轉(zhuǎn)化為邊之間關(guān)系或角之間關(guān)系式，從而得到諸如a＋b＝c，a＋b>c（銳角三角形），a＋b＜c（鈍角三角形）或sin(A－B)＝0，sinA＝sinB，sinC＝1或cosC＝0等一些等式，進(jìn)而判定其形狀，但在選擇轉(zhuǎn)化為邊或是角的關(guān)系上，要進(jìn)行探索．

解法一：由同角三角函數(shù)關(guān)系及正弦定理可推得，∵A、B為三角形的內(nèi)角，∴sinA≠0，sinB≠0．

．

∴2A＝2B或2A＝π－2B，∴A＝B或A＋B＝所以△ABC為等腰三角形或直角三角形．解法二：由已知和正弦定理可得：

整理得a－ac＋bc－b＝0，即（a－b)（a＋b－c）＝0，于是a＝b或a＋b－c＝0，∴a＝b或a＋b＝c．∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．

5、利用正弦定理和余弦定理判定三角形形狀，此類(lèi)問(wèn)題主要考查邊角互化、要么同時(shí)化邊為角，要么同時(shí)化角為邊，然后再找出它們之間的關(guān)系，注意解答問(wèn)題要周密、嚴(yán)謹(jǐn)．

例

4、若acosA=bcosB，試判斷△ABC的形狀． 分析：

本題既可以利用正弦定理化邊為角，也可以利用余弦定理化角為邊． 解：

解法一：由正弦定理得：2RsinAcosA=2RsinBcosB∴sin2A=sin2B

∴2A=2B或2A＋2B=180°∴A=B或A＋B=90°

故△ABC為等腰三角形或直角三角形解法二：由余弦定理得

∴a(b＋c－a)=b(a＋c－b)∴(a－b)(a＋b－c)=0∴a=b或a＋b=c

故△ABC為等腰三角形或直角三角形．

6、正弦定理，余弦定理與函數(shù)之間的相結(jié)合，注意運(yùn)用方程的思想．

例

5、如圖，設(shè)P是正方形ABCD的一點(diǎn)，點(diǎn)P到頂點(diǎn)A、B、C的距離分別是

1，2，3，求正方形的邊長(zhǎng)．

分析：

本題運(yùn)用方程的思想，列方程求未知數(shù)． 解：

設(shè)邊長(zhǎng)為x(1

設(shè)x=t，則1

－5)=16t

三、難點(diǎn)剖析

1、已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，解三角形時(shí)，將出現(xiàn)無(wú)解、一解和兩解的情況，應(yīng)分情況予以討論．

下圖即是表示在△ABC中，已知a、b和A時(shí)解三角形的各種情況．

（1）當(dāng)A為銳角時(shí)（如下圖），（2）當(dāng)A為直角或鈍角時(shí)（如下圖），也可利用正弦定理進(jìn)行討論．

如果sinB>1，則問(wèn)題無(wú)解； 如果sinB＝1，則問(wèn)題有一解；

如果求出sinB<1，則可得B的兩個(gè)值，但要通過(guò)“三角形內(nèi)角和定理”或“大邊對(duì)大角”等三角形有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行判斷．

2、用方程的思想理解和運(yùn)用余弦定理：當(dāng)?shù)仁絘2＝b2＋c2－2bccosA中含有未知數(shù)時(shí)，等式便成為方程．式中有四個(gè)量，知道任意三個(gè)，便可以解出另一個(gè)，運(yùn)用此式可以求a或b或c或cosA．

3、向量方法證明三角形中的射影定理

在△ABC中，設(shè)三內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c．

4、正弦定理解三角形可解決的類(lèi)型：（1）已知兩角和任一邊解三角形；

（2）已知兩邊和一邊的對(duì)角解三角形．

5、余弦定理解三角形可解決的類(lèi)型：（1）已知三邊解三角形；

（2）已知兩邊和夾角解三角形．

6、三角形面積公式：

例

6、不解三角形，判斷三角形的個(gè)數(shù)． ①a＝5，b＝4，A＝120° ②a＝30，b＝30，A＝50° ③a＝7，b＝14，A＝30° ④a＝9，b＝10，A＝60° ⑤a＝6，b＝9，A＝45° ⑥c＝50，b＝72，C＝135° 解析：

①a>b，A＝120°，∴△ABC有一解．②a＝b，A＝50°<90°，∴△ABC有一解．

③a

④a0 ∴△ABC有兩解．

⑤b>c，C＝45°，∴△ABC無(wú)解（不存在）．⑥b>c，C＝135°>90°，又由b>c知∠B>∠C＝135°，這樣B＋C>180°，∴△ABC無(wú)解．

第三篇：正弦余弦定理應(yīng)用定理

正弦定理、余弦定理練習(xí)題

一、選擇題(共20題，題分合計(jì)100分)

1.已知在△ABC中,sinA:sinB:sinC=3:2:4,那么cosC的值為

A.?

14B.14C.23D.?23

2.在△ABC中，a=λ,b=

λ,A=45°,則滿足此條件的三角形的個(gè)數(shù)是

A.0 個(gè)B.1 個(gè)C.2個(gè)D.無(wú)數(shù)個(gè)

3.在△ABC中，bcosA=acosB，則三角形為

A.直角三角形B.銳角三角形C.等腰三角形D.等邊三角形

4.已知三角形的三邊長(zhǎng)分別為x2

+x+1,x2

-1和2x+1(x＞1)，則最大角為

A.150°B.120°C.60°D.75°

5.在△ABC中，=1，=2，（+）·（+）=5+23則邊|

|等于

A.5B.5-23C.5?2D.5?23

6.在△ABC中，已知B=30°,b=50,c=150，那么這個(gè)三角形是

A.等邊三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形

7.在△ABC中，若b2

sin2

C+c2

sin2

B=2bccosBcosC，則此三角形為

A.直角三角形B.等腰三角形C.等邊三角形D.等腰直角三角形

8.正弦定理適應(yīng)的范圍是

A.Rt△B.銳角△C.鈍角△D.任意△

9.已知△ABC中，a=10,B=60°,C=45°，則c=

A.10+B.10（-1）C.（3+1）D.103

10.在△ABC中，bsinA＜a＜b，則此三角形有

A.一解B.兩解C.無(wú)解D.不確定

11.三角形的兩邊分別為5和3，它們夾角的余弦是方程5x2

-7x-6=0的根，則三角形的另一邊長(zhǎng)為A.52B.2C.16D.4

12.在△ABC中，a2

=b2

+c2

+bc，則A等于

A.60°B.45°C.120

D.30°

13.在△ABC中，則△ABC是

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.任意三角形

14.在△ABC中，a=2，A=30°,C=45°，則△ABC的面積S△ABC等于

A.2B.22C.+1D.(?1)15.已知三角形ABC的三邊a、b、c成等比數(shù)列，它們的對(duì)角分別是A、B、C，則sinAsinC等于

A.cos2BB.1-cos2BC.1+cos2BD.1+sin2B

17.在△ABC中，bCosA=acosB，則三角形為

A.直角三角形B.銳角三角形C.等腰三角形D.等邊三角形

18.△ABC中，sin2

A=sin2

B+sin2

C，則△ABC為

A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等邊三角形D.等腰三角形

19.△ABC中,A=60°,b=1,這個(gè)三角形的面積為,則△ABC外接圓的直徑為

A.B.C.D.20.在△ABC中，,則k為

A.2RB.RC.4RD.(R為△ABC外接圓半徑)

第四篇：《正弦定理和余弦定理》測(cè)試卷

《正弦定理和余弦定理》學(xué)習(xí)成果測(cè)評(píng)

基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)：

1.在△ABC中，a=18，b=24，∠A=45°，此三角形解的情況為()

A.一個(gè)解B.二個(gè)解C.無(wú)解D.無(wú)法確定

2．在△ABC

中，若a?2,b?c??A的度數(shù)是()

A.30°B.45°C.60°D.75°

2223．ΔABC中，若a=b+c+bc，則∠A=()

A.60?B.45?C.120?D.30?

4．邊長(zhǎng)為5、7、8的三角形的最大角與最小角之和為()

A.90°B.120°C.135°D.150°

5.在△ABC中，已知a?3，b?2，B=45?.求A、C及c.06．在?ABC中，若B?

45，c?

b?A.7.在?ABC中，已知a?134.6cm，b?87.8cm，c?161.7cm，解三角形.8．在?ABC中，若a2?b2?c2?bc，求A.能力提升：

AB的取值范圍是()AC

A.(0，2)B.(2,2)C.(2,)D.(,2)9．銳角ΔABC中，若C=2B，則

10.已知在△ABC中，sinA:sinB:sinC=3:2:4，那么cosC的值為()A.?

14B.1

422ABC.?D.銳角ΔABC中，若C=2B，則的取值范圍是 33AC

11.等腰三角形底邊長(zhǎng)為6，一條腰長(zhǎng)12，則它的外接圓半徑為()

12．在?ABC中，已知三邊a、b、c滿足?a?b?c??a?b?c??3ab，則C＝()

A．15B．30C．45D．60

13．鈍角?ABC的三邊長(zhǎng)為連續(xù)自然數(shù)，則這三邊長(zhǎng)為（）。

A、1、2、3B、2、3、4C、3、4、5D、4、5、6 ????

sinC2?(6?1)，則∠A=_______.sinB

5a?b?c?_____.15.在△ABC中，∠A=60°，b=1，c=4，則sinA?sinB?sinC14．在ΔABC中，BC=3，AB=2，16.在△ABC中，∠B=120°，sinA:sinC=3:5，b=14，則a，c長(zhǎng)為_(kāi)____.綜合探究：

17．已知鈍角?ABC的三邊為：a?k,b?k?2,c?k?4,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.a2?b2sin(A?B)?18.在?ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，證明:.2sinCc

參考答案：

基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)：

1.B2.A3.C4.B

5.解析：

asinB3sin45?解法1：由正弦定理得：sinA? ??b22

∴∠A=60?或120?

bsinC2sin75?6?2當(dāng)∠A=60?時(shí)，∠C=75?，c?； ??sinB2sin45?

bsinC2sin15?6?2當(dāng)∠A=120?時(shí)，∠C=15?，c?.???sinB2sin45

解法2：設(shè)c=x，由余弦定理b?a?c?2accosB 將已知條件代入，整理：x?x?1?0 解之：x?22226?2 2

222?22)?3b?c?a1?3??2??? 當(dāng)c?時(shí)，cosA?2bc26?22(?1)22?2?22?（從而∠A=60?，∠C=75?； ?2時(shí)，同理可求得：∠A=120?，∠C=15?.2

bc?6.∵，sinBsinC當(dāng)c?

csinBsin45???∴sinC?，b∵0?C?180，∴C?60或C?120

∴當(dāng)C?60時(shí)，A?75； ?????

當(dāng)C?120時(shí)，A?15，；

所以A?75或A?15．

7.由余弦定理的推論得： ????

b2?c2?a287.82?161.72?134.62

?0.5543,?cosA?A?56020?；

c2?a2?b2134.62?161.72?87.82

? cosB?B?32053?；

? C?1800?(A?B)?1800?(56020??32053)

8.∵bc?b2?c2?a2，?0.8398,b2?c2?a21∴由余弦定理的推論得：cosA?? ∵0?A?180，∴A?60.能力提升：

9.C10.A11.C

12.D．由?a?b?c??a?b?c??3ab，得a?b?2ab?c?3ab 222??

a2?b2?c21?，∴由余弦定理的推論得：cosC?2ab2

∵0?C?180，∴C?60.13.B；只需要判定最大角的余弦值的符號(hào)即可。

選項(xiàng)A不能構(gòu)成三角形； ??

22?32?421???0，故該三角形為鈍角三角形； 選項(xiàng)B中最大角的余弦值為2?2?34

32?42?52

?0，故該三角形為直角三角形； 選項(xiàng)C中最大角的余弦值為：2?4?3

42?52?621??0，故該三角形為銳角三角形.選項(xiàng)D中最大角的余弦值為2?4?58

14.120?

1516.4綜合探究：

17.∵?ABC中邊a?k,b?k?2,c?k?4，∴a?k?0，且邊c最長(zhǎng)，∵?ABC為鈍角三角形

∴當(dāng)C為鈍角時(shí) a2?b2?c2

?0，∴cosC?2ab

∴a?b?c?0, 即a?b?c

∴k2?(k?2)2?(k?4)2, 解得?2?k?6,又由三角形兩邊之和大于第三邊：k?(k?2)?k?4,得到k?2，故實(shí)數(shù)k的取值范圍：2?k?6.18.證法一:由正弦定理得： 222222

a2?b2sin2A?sin2Bcos2B?cos2A?? c2sin2C2sin2C

=?2sin(B?A)sin(B?A)sinCsin(A?B)sin(A?B)==.222sinCsinCsinC

222證法二:由余弦定理得a=b+c-2bccosA，a2?b2c2?2bccosA2b??1??cosA，則22ccc

又由正弦定理得bsinB?，csinC

a2?b22sinBsinC?2sinBcosA?1??cosA?∴ 2csinCsinC

sin(A?B)?2sinBcosA sinC

sinAcosB?sinBcosAsin(A?B)??.sinCsinC

sin(A?B)sinAcosB?sinBcosA?證法三:.sinCsinC

sinAasinBb?,?，由正弦定理得sinCcsinCc

sin(A?B)acosB?bcosA?∴，sinCc?

又由余弦定理得

a2?c2?b2b2?c2?a2a??b?sin(A?B)?sinCc

(a2?c2?b2)?(b2?c2?a2)? 22c

a2?b2

?.c2

第五篇：正弦定理余弦定理練習(xí)

正弦定理和余弦定理練習(xí)

一、選擇題

1、已知?ABC中，a?4,b?43,A?300,則B=（）

A.300B.300或1500 C.600D.600或12002、已知?ABC中，AB?6,A?300,B?1200,則S?ABC?()

A.9B.18C.93D.1833、已知?ABC中，a:b:c?1:3:2，則A:B:C?（）

A.1:2:3B.2:3:1C.1:3:2D.3:1:24、已知?ABC中，sinA:sinB:sinC?k:(k?1):2k(k?0)，則k的取值范圍是（）

A.?2,???B.???,0?C.二、填空題

1、已知?ABC中，B?300,AB?23,AC?2,則S?ABC?

2、已知?ABC中，b?2csinB,則角

3、設(shè)?ABC的外接圓的半徑為R，且AB?4,C?450,則R=

4、已知S?ABC?32,b?2,c?3,則角1??,0???2??D.?1?,????2?? A=

5、已知?ABC中，B?450,C?600,a?2(3?1)，則S?ABC?

三、簡(jiǎn)答題

01、在?ABC中，若B?30,AB?23,AC?2,求S?ABC.2、已知?ABC中，C?60,BC?a,AC?b,a?b?6.(1)寫(xiě)出?ABC的面積S與a的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)a等于多少時(shí)，Smax？并求出Smax.23、已知?ABC中，a?a?2(b?c),a?2b?2c?3,若sinC:sinA?4:，求a,b,c.04、a,b,c是?ABC的三內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，4sin

(1)求角A；(2)若a?3,b?c?3,2B?C2?cos2A?72.求b,c的值.