第一篇：排列組合綜合問題.

[文件] sxgdja0017.doc [科目] 數(shù)學(xué) [年級] 高中 [章節(jié)]

[關(guān)鍵詞] 排列/組合/綜合 [標(biāo)題] 排列組合綜合問題 [內(nèi)容]

北京市東直門中學(xué) 吳衛(wèi) 教學(xué)目標(biāo)

通過教學(xué)，學(xué)生在進(jìn)一步加深對排列、組合意義理解的基礎(chǔ)上，掌握有關(guān)排列、組合綜合題 的基本解法，提高分析問題和解決問題的能力，學(xué)會分類討論的思想． 教學(xué)重點與難點

重點：排列、組合綜合題的解法． 難點：正確的分類、分步． 教學(xué)用具 投影儀． 教學(xué)過程設(shè)計

（一）引入

師：現(xiàn)在我們大家已經(jīng)學(xué)習(xí)和掌握了一些排列問題和組合問題的求解方法．今天我們要在復(fù)習(xí)、鞏固已掌握的方法的基礎(chǔ)上，來學(xué)習(xí)和討論排列、組合綜合題的一般解法． 先請一位同學(xué)幫我們把解排列問題和組合問題的一般方法及注意事項說一下吧!生：解排列問題和組合問題的一般方法直接法、間接法、捆綁法、插空法等．求解過程中要 注意做到“不重”與“不漏”．

師：回答的不錯!解排列問題和組合問題時，當(dāng)問題分成互斥各類時，根據(jù)加法原理，可用 分類法；當(dāng)問題考慮先后次序時，根據(jù)乘法原理，可用位置法；這兩種方法又稱作直接法． 當(dāng)問題的反面簡單明了時，可通過求差排除采用間接法求解；另外，排列中“相鄰”問題可 以用“捆綁法”；“分離”問題可能用“插空法”等． 解排列問題和組合問題，一定要防止“重復(fù)”與“遺漏”．（教師邊講，邊板書）互斥分類——分類法 先后有序——位置法 反面明了——排除法 相鄰排列——捆綁法 分離排列——插空法

（二）舉例

師：我下面我們來分析和解決一些例題．（打出片子——例1）

例1 有12個人，按照下列要求分配，求不同的分法種數(shù)．（1）分為兩組，一組7人，一組5人；

（2）分為甲、乙兩組，甲組7人，乙組5人；（3）分為甲、乙兩組，一組7人，一組5人；（4）分為甲、乙兩組，每組6人；（5）分為兩組，每組6人；

52（6）分為三組，一組5人，一組4人，一組3人；

（7）分為甲、乙、丙三組，甲組5人，乙組4人，丙組3人；（8）分為甲、乙、丙三組，一組5人，一組4人，一組3人；（9）分為甲、乙、丙三組，每組4人；（10）分為三組，每組4人．

（教師慢速連續(xù)讀一遍例1，同時要求學(xué)生審清題意，仔細(xì)分析，周密考慮，獨立地求解． 這是一個層次分明的排列、組合題，涉及非平均分配、平均分配和排列組合綜合．各小題之 間有區(qū)別、有聯(lián)系，便于學(xué)生分析、比較、歸納，有利于學(xué)生加深理解，提高能力）師：請一位同學(xué)說一下各題的答案（只需要列式）．

7566生：（1），（2），（3）都是C12；（4），（5）都是C12；（6），（7），（8）C5C654344都是C12（9），（10）都是C12 C7C3；C84C4師：從這個同學(xué)的解答中，我們可以看出他對問題的考慮分先后次序，用位置法求解是掌握 了的．但是還請大家審清題意，看（3）與（1），（2）；（5）與（4）；（8）與（6），（7）；（10）與（9）是否分別相同，有沒有出現(xiàn)“重復(fù)”和“遺漏”的問題．（找班里水平較高的一位學(xué)生回答）生：（3）和（1），（2）；（5）和（4）；（8）和（6），（7）；（10）和（9）并不相 同．（3），（5），（8），（10）的答案都錯了，既出現(xiàn)了“重復(fù)”也出現(xiàn)了“遺漏”的問題．（3）的答案是CCP312552（5）是2；

6644C12C6C12C84C45433；（8）是C12C7C3P 3（10）是P22P33（教師在學(xué)生回答時板書各題答案）

師：回答的正確，請說出具體的分析． 生：（3）把12人分成甲、乙兩組，一組7人，一組5人，但并沒有指明甲、乙誰是7人，誰是5人，所以要考慮甲、乙的順序，再乘以P2；（8）也是同一道理．（5）把12人分成兩組，66每組6人，如果是分成甲組、乙組，那么共有C12種不同分法，但是（5）只要求平均分C62成兩組，這樣甲、乙組兩元素的所有不同排列順序，甲乙、乙甲共P22個就是同一種分組了，66C12C6所以（5）的答案是；（10）的道理相同． 2P2師：分析的很好!我們大家必須認(rèn)識到，題目中具體指明甲、乙與沒有具體指明是有區(qū)別的 ．如果在解題過程中不加以區(qū)別，就會出現(xiàn)“重復(fù)”和“遺漏”的問題，這是解決排列、組 合題時要特別注意的． 例1中，（1），（2），（6），（7）都是非平均分配問題，雖然（1），（6）都沒有指出 組名，而（2），（7）給出了組名，但是在非平均分配中是一樣的．這是因為（2），（7）不僅給出了組名，而且還指明了誰是幾個人，這一點上又與（3），（8）有差異．（3），（8）給了組名卻沒有指明誰是幾個人． 題中（4），（5），（9），（10）都屬于平均分配問題，在平均分配中，如果沒有給出組 名，一定要除以組數(shù)的階乘!如果12個人分成三組，其中一組2人，另外兩組都是5人，求所有不同的分法種數(shù)．這里有不平均（一組2人），又有平均（兩組都是是5人）．怎么辦? 53 生：分兩步完成．第一步：12個人中選2人的方法數(shù)C212；第二步：剩下的10個人平均分

5555C10C5C10C52成兩組，每組5人的方法數(shù)，根據(jù)乘法原理得到，共有C12?種不同的分法． 22P2P2師：很好!大家已經(jīng)理解了不平均分配的、平均分配，以及部分平均分配的計算，部分平均

分配問題先考慮不平均分配，剩下的仍是平均分配，平均分配要商除．這樣分配問題已徹底 解決了． 請看例題2．

（打出片子——例2）

（1）6男2女排成一排，2女相鄰；（2）6男2女排成一排，2女不能相鄰；（3）4男4女排成一排，同性者相鄰；（4）4男4女排成一排，同性者不能相鄰．（教師讀題、巡視）師：請一位同學(xué)說出（1），（2）的答案．

872生甲：N1＝P77P22；N2＝P8?P7P2

師：完全正確!他是用捆綁法解決“相鄰”問題的，把2女“捆綁”在一起看成一組，與6男共7組，組外排列為P77，女生組內(nèi)排列為P2，得2女相鄰排法數(shù)N1＝P77?P22；（2）是用捆 綁法結(jié)合排除法來解得，從總體排列P88中排除N1得2女不相鄰的排法數(shù)N2＝

2P88?P77P22

（教師的復(fù)述是為了使水平較差學(xué)生明白解題思路，了解分析方法，真正理解解法）師：（2）的不相鄰的分離排列還有沒有其它解法? 生乙：可以用插空法直接求解．6男先排實位，再在7個空位中排2女，共有N2＝P66P72種不同排法．（板書（1），（2）算式）

師：對于（2）的兩種解法思路不同，但殊途同歸，結(jié)果一樣，都是正確的．兩種解法解決 分離問題是否都很方便呢?試想，如果“5男3女排成一排，3女都不能相鄰“P88?P66P33與P55P63一樣嗎?大家動手計算一下．

生：前者是36 000，后者是14 400，不一樣，肯定有問題． 師：P66P33是什么? 生：3女相鄰．

師：3女相鄰的反面是什么? 生：P8?P6P3是3女不都相鄰，其中有2女相鄰，不是3女都不相鄰．

師：這一例題說明什么? 生：不相鄰的分離排列還是用插空法要穩(wěn)妥一些．

師：請大家下課后想一想，用捆綁法結(jié)合排除法能否解決上述問題，如果能解決，應(yīng)該怎么 做?我們繼續(xù)分析和解決（3），（4）兩小題． 863 54 N3＝P33P44P44； N4＝2P44P44．（板書（3），（4）的算式）

834444師：非常正確!（4）吸取了（2）的教訓(xùn)，沒有用P8?P3P4P4，并且沒有簡單的用P4P5

插空，而是考慮到了男、女都要排實位，否則會出現(xiàn)．（板書）

（女男男女男女男女）兩男或兩女相鄰的問題．這時同性不相鄰必須男女都排好，即男奇數(shù) 位，女偶數(shù)位，或者對調(diào)．

（通過對例2的討論和分析，能夠幫助學(xué)生對于分離排列、排除法以及插空法有更清楚的認(rèn) 識，只有這樣學(xué)生才會找到合理的解法，提高分析和解決問題的能力．）師：我們再來看一個例題．（打出片子——例3）

例3 某乒乓球隊有8男7女共15名隊員，現(xiàn)進(jìn)行混合雙打練習(xí)，兩邊都必須是1男1女，共有多少種不同的搭配方法?（教師朗讀一遍例3后巡視）師：請同學(xué)說一下答案．

224生：N＝C8． C7P4（板書此式）師：怎么分析的呢?

22生：每一種搭配都需要2男2女，先把4名隊員選出來，有C8C7種選法，然后考慮4人的排法，故乘以P44

師：選出的4名隊員做全排列，那么（板書）男A男B、女A女B行嗎? 生：不行，有“重復(fù)”了，應(yīng)該乘以什么呢? 師：這就需要我們再把問題想想清楚了，當(dāng)選出2男2女隊員進(jìn)行混合雙打時，有幾種搭配方法呢?（板書）男——男女 ①Aa Bb ②Ab Ba ③Ba Ab ④Bb Aa 以上四種嗎? 生：不是!③與②，④與①屬于同一種，只有2種搭配，應(yīng)該乘以2．

22師：這就對了．N=2C8C7，還可以用下面的思路：先在8男中選2男各據(jù)一側(cè)，是排列問222題，有P82種方法；再在7女中選2女與之搭配，是組合問題，有C7種方法，一共有N=P8C7種搭配方法．（板書）

22解法1：N=2C8C7 22解法2：N=P8C7

師：最后看例4（打出片子——例4）

例4 高二（1）班要從7名運動員中選出4名組成4×100米接力隊，參加校運會，其中甲、乙二人都不跑中間兩棒的安排方法有多少種?（教師讀題，引導(dǎo)分析）

師：從7人中選4人分別安排第一、二、三、四棒這四個不同任務(wù)，一定與組合和排列有關(guān)，對甲、乙有特殊要求，這就有了不同情況，要分類相加了．先不考慮誰跑哪棒，就說4人的 選擇有幾類情況呢?

53生：三類，第一類，沒有甲乙，有C4種選法；第二類，有甲沒乙或有乙沒甲，有2C5種選

2法；第三類，既有甲也有乙，有C5種選法．

師：如果把上述三類選法數(shù)相加再乘以P44行不行? 生：不行，對于上面三類不同選法，并不能都有P44種安排方法．考慮甲、乙二人都不跑中

44313222間兩棒，應(yīng)有不同的安排方法數(shù)是：N=C5P4?2C5P2P3?C5P2P2．

師：第二項中的P21P33是什么意思呢? 生：第二類中甲、乙兩人只有1人選中時，甲（乙）的排法數(shù)量是P21，其他三人的排法數(shù)是P33．

師：很好，這個排列組合綜合題在求解中的分類十分重要，大家要認(rèn)真體會，了解其思路和 方法．

（三）小結(jié)

我們通過對4個例題的分析和討論，總結(jié)了分配問題，分離排列問題的解法，以及排列、組 合綜合題的解法．

解排列、組合綜合題，一般應(yīng)遵循：先組后排的原則． 解題時一定要注意不重復(fù)、不遺漏．

（四）作業(yè)

1.四名優(yōu)秀生保送到三所學(xué)樣去，每所學(xué)樣至少得1名，則不同的保送方案總數(shù)是 種．（23C4P3?36）

2.有印著0，1，3，5，7，9的六張卡片，如果允許9當(dāng)作6用，那么從中任意以組成多少個不同的三位數(shù)?（6P或2C4P2P2?2C4P3?C4P2P2?P4?152）5?P4C1C4P2?152課堂教學(xué)設(shè)計說明

關(guān)于排列組合的應(yīng)用題，由于其內(nèi)容獨特，自成體系；種類繁多，題目多變；解法別致，思 維抽象；條件隱晦，難以捉摸；得數(shù)較大，不易檢驗．所以這一課歷來是學(xué)生學(xué)習(xí)中的難點．為了降低解題的難度，在教會學(xué)生基本方法的同時，一定要使學(xué)生學(xué)會轉(zhuǎn)化，分類的思想方法，將復(fù)雜的排列、組合綜合題轉(zhuǎn)化為若干個簡單的排列、組合問題．基于這一點，在例題的選排上，特別安排了例1，在復(fù)習(xí)鞏固前面所學(xué)基本解法的基礎(chǔ)上，總結(jié)了分配問題的解法，并引出了簡單的排列組合綜合問題．通過例2來討論排列中常見的相鄰排列和分離排列問題，21112112332122 56 以及排除法、插空法等解法在應(yīng)用中需注意的事項．例

3、例4是典型的排列、組合綜 合題，分別側(cè)重了分步和分類兩個難點．

教學(xué)方法上，以問答形式，通過討論分析，引導(dǎo)學(xué)生正確思維，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問 題的能力．操作過程中也要根據(jù)學(xué)生的具體情況，采取多變的方式．學(xué)生配合的好，就以學(xué) 生為主，學(xué)生回答問題不盡如人意時，就需要教師在提高語言、方式等方面多做文章，或以 教師的講授為主．

第二篇：08屆高三數(shù)學(xué)排列組合綜合問題

g3.1092 排列與組合的綜合問題

一、知識梳理

1.排列、組合都是研究事物在某種給定的模式下所有可能的配置的數(shù)目問題，它們之間的主要區(qū)別在于是否要考慮選出元素的先后順序，不需要考慮順序的是組合問題，需要考慮順序的是排列問題，排列是在組合的基礎(chǔ)上對入選的元素進(jìn)行排隊，因此，分析解決排列組合問題的基本思維是“先組，后排”.2.解排列組合的應(yīng)用題，要注意四點：

（1）仔細(xì)審題，判斷是組合問題還是排列問題；要按元素的性質(zhì)分類，按事件發(fā)生的過程進(jìn)行分步.（2）深入分析、嚴(yán)密周詳，注意分清是乘還是加，既不少也不多，辯證思．．維，多角度分析，全面考慮，這不僅有助于提高邏輯推理能力，也盡可能地避免出錯.（3）對于附有條件的比較復(fù)雜的排列組合應(yīng)用題，要周密分析，設(shè)計出合理的方案，把復(fù)雜問題分解成若干簡單的基本問題后應(yīng)用分類計數(shù)原理或分步計數(shù)原理來解決.（4）由于排列組合問題的答案一般數(shù)目較大，不易直接驗證，因此在檢查結(jié)果時，應(yīng)著重檢查所設(shè)計的解決問題的方案是否完備，有無重復(fù)或遺漏，也可采用多種不同的方法求解，看看是否相同.在對排列組合問題分類時，分類標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)統(tǒng)一，否則易出現(xiàn)遺漏或重復(fù).二、基礎(chǔ)訓(xùn)練

1.（04福建）某校高二年級共有六個班級，現(xiàn)從外地轉(zhuǎn)入4名學(xué)生，要安排到該年級的兩個班級且每班安排2名，則不同的安排方案種數(shù)為

2A.A6C2

4B.122A6C24

2C.A6A24D.2A6

2.從5名學(xué)生中選出4名分別參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、外語競賽，其中A不參加物理、化學(xué)競賽，則不同的參賽方案種數(shù)為

A.24

B.48

C.120

D.72 3.5本不同的書，全部分給四個學(xué)生，每個學(xué)生至少1本，不同分法的種數(shù)為

A.480

B.240

C.120

D.96 4.從1，3，5，7中任取2個數(shù)字，從0，2，4，6，8中任取2個數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中能被5整除的四位數(shù)共有_____________個.（用數(shù)字作答）

5.市內(nèi)某公共汽車站有10個候車位（成一排），現(xiàn)有4名乘客隨便坐在某個座位上候車，則恰好有5個連續(xù)空座位的候車方式共有_____________種.（用數(shù)字作答）

例1.從6名短跑運動員中選4人參加4×100 m接力，如果其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，問共有多少種參賽方法? 例2.對某種產(chǎn)品的6件不同正品和4件不同次品一一進(jìn)行測試，至區(qū)分出所有次品為止.若所有次品恰好在第5次測試時被全部發(fā)現(xiàn)，則這樣的測試方法有多少種可能? 思考討論 用類似的方法，討論如下問題.某種產(chǎn)品有5件不同的正品，4件不同的次品，現(xiàn)在一件件地進(jìn)行檢測，直到4件次品全部測出為止，則最后一件次品恰好在第6次檢測時被測出，這樣的檢測方案有多少種？

提示：問題相當(dāng)于從10件產(chǎn)品中取出6件的一個排列，第6位為次品，前五位有其余3件次品，可分三步：先從4件產(chǎn)品中留出1件次品排第6位，有

42種方法；再從5件正品中取2件，有C5種方法；再把3件次品和取出的2件正

2品排在前五位有A5種方法.所以檢測方案種數(shù)為4×C5·A5=4800.55例3.在一塊并排10壟的田地中，選擇2壟分別種植A、B兩種作物，每種作物種植一壟.為有利于作物生長，要求A、B兩種作物的間隔不小于6壟，則不同的種植方法共有多少種？

例4.有兩排座位，前排11個座位，后排12個座位，現(xiàn)安排2人就座，規(guī)定前排中間的3個座位不能坐，并且這2人不左右相鄰，那么不同排法的種數(shù)是

A.234

B.346

C.350

D.363 例5.（1）一條長椅上有9個座位，3個人坐，若相鄰2人之間至少有2個空椅子，共有幾種不同的坐法?（2）一條長椅上有7個座位，4個人坐，要求3個空位中，恰有2個空位相鄰，共有多少種不同的坐法? 例6.已知1（1+n）m.四、同步練習(xí)

g3.1092 排列與組合的綜合問題

1.從黃瓜、白菜、油菜、扁豆4種蔬菜品種中選出3種，分別種在不同土質(zhì)的三塊土地上，其中黃瓜必須種植.不同的種植方法共有

A.24種

B.18種

C.12種

D.6種

2.四個不同的小球全部隨意放入三個不同的盒子中，使每個盒子都不空的放法種數(shù)為

A.A13A34

3B.C24A3

2C.C34A2

2D.C14C34C2

3．（05湖北卷）把一同排6張座位編號為1，2，3，4，5，6的電影票全部分給4個人，每人至少分1張，至多分2張，且這兩張票具有連續(xù)的編號，那么不同的分法種數(shù) A．168 B．96 C．72 D．144 4.（05江蘇卷）四棱錐的8條棱代表8種不同的化工產(chǎn)品,有公共點的兩條棱代表的化工產(chǎn)品放在同一倉庫是危險的,沒有公共頂點的兩條棱多代表的化工產(chǎn)品放在同一倉庫是安全的,現(xiàn)打算用編號為①、②、③、④的4個倉庫存放這8種化工產(chǎn)品,那么安全存放的不同方法種數(shù)為

（A）96

（B）48

（C）24

（D）0 5．從6名短跑運動員中選出4人參加4 × 100米接力賽，如果甲、乙兩人都不跑第一棒，那么不同的參賽方案有 A．180種

B．240種

C．300種

D．360種

6.書架上原有5本書，再放上2本，但要求原有書的相對順序不變，則不同的放法有_____________種.7.（04浙江）設(shè)坐標(biāo)平面內(nèi)有一個質(zhì)點從原點出發(fā)，沿x軸跳動，每次向正方向或負(fù)方向跳1個單位，經(jīng)過5次跳動質(zhì)點落在點（3，0）（允許重復(fù)過此點）處，．．則質(zhì)點不同的運動方法共有__________種.（用數(shù)字作答）

8.在一張節(jié)目表上原有6個節(jié)目，如果保持這些節(jié)目的相對順序不變，再添加進(jìn)去三個節(jié)目，求共有多少種安排方法?

9.18人的旅游團(tuán)要選一男一女參加生活服務(wù)工作，有兩位老年男人不在推選之列，共有64種不同選法，問這個團(tuán)中男女各幾人?

10.如下圖，矩形的對角線把矩形分成A、B、C、D四部分，現(xiàn)用五種不同色彩給四部分涂色，每部分涂1種顏色，要求共邊的兩部分顏色互異，共有多少種不同的涂色方法?

ABCD

11.6名運動員分到4所學(xué)校去做教練，每校至少1人，有多少種不同的分配方法?

參與答案

基本訓(xùn)練

1.將4名學(xué)生均分成兩組，方法數(shù)為C24，再分配給6個年級中的2個，222分配方法數(shù)為A6，∴合要求的安排方法數(shù)為C24·A6.112答案：B

432.若不含A，則有A4若含有A，則有C3C12·A3C12·A34種；4·3種.∴A4+C4·3=72.答案：D

23.先把5本書中的兩本捆起來（C5），再分成四份（A4，∴分法種數(shù)為4）2C5·A44=240.答案：B 4.①四位數(shù)中包含5和0的情況：

12C13·C14·（A33+A2·A2）=120.②四位數(shù)中包含5，不含0的情況：

3C13·C24·A3=108.③四位數(shù)中包含0，不含5的情況： 2C3C14A3=72.3綜上，四位數(shù)總數(shù)為120+108+72=300.答案：300 5.把四位乘客當(dāng)作4個元素作全排列有A4種排法，將一個空位和余下的4422個空位作為一個元素插空有A5種排法.∴A4·A5=480.4答案：480 例題分析

例1.解法一：問題分成三類：（1）甲、乙兩人均不參加，有A4種；（2）甲、4乙兩人有且僅有一人參加，有2C3（A4－A3）種；（3）甲、乙兩人均參加，有443C2（A4－2A3＋A2）種.故共有252種.44324解法二：六人中取四人參加的種數(shù)為A6，除去甲、乙兩人中至少有一人不排在恰當(dāng)位置的有C12 A3種，因前后把甲、乙兩人都不在恰當(dāng)位置的種數(shù)A2減544去了兩次.故共有A6－C12 A3＋A2=252種.54評述：對于帶有限制條件的排列、組合綜合題，一般用分類討論或間接法兩種方法處理.4例2.解：C14（C16C33）A4=576，第5次必測出一次品，余下3件在前4次被測出，從4件中確定最后一件品有C14種方法，前4次中應(yīng)有1正品、3次品，4有C16C33種，前4次測試中的順序有A4種，由分步計數(shù)原理即得.評述：本題涉及一類重要問題，即問題中既有元素的限制，又有排列的問題，一般是先選元素（即組合）后排列.例3.解：依題意，A、B兩種作物的間隔至少6壟，至多8壟.（1）間隔6

2壟時，有3×A2（2）間隔7壟時，有2×A22種；2種.（3）間隔8壟時，有A2種.22所以共有3A22+2A2+A2=12種種植方法.例4.解法一：分類討論法.（1）前排一個，后排一個，2C18·C112=192.（2）后排坐兩個（不相鄰），2（10+9+8+?+1）=110.（3）前排坐兩個，2·（6+5+?+1）+2=44個.∴總共有192+110+44=346個.解法二：考慮中間三個位置不坐，4號座位與8號座位不算相鄰.2∴總共有A19+2+2=346個.答案：B 評述：本題考查分類討論在解排列組合應(yīng)用題中的運用.這是一道難度較大的小綜合題.例5.解：（1）先將3人（用×表示）與4張空椅子（用□表示）排列如圖（×□□×□□×），這時共占據(jù)了7張椅子，還有2張空椅子，一是分開插入，如圖中箭頭所示（↓×□↓□×□↓□×↓），從4個空當(dāng)中選2個插入，有C2種4插法；二是2張同時插入，有C14種插法，再考慮3人可交換有A3種方法.3所以，共有A3（C2+C14）=60（種）.34下面再看另一種構(gòu)造方法：

先將3人與2張空椅子排成一排，從5個位置中選出3個位置排人，另2個位置排空椅子，有A3C2種排法，再將4張空椅子中的每兩張插入每兩人之間，52只有1種插法，所以所求的坐法數(shù)為A3·C2=60.52（2）可先讓4人坐在4個位置上，有A4種排法，再讓2個“元素”（一個4是兩個作為一個整體的空位，另一個是單獨的空位）插入4個人形成的5個“空22當(dāng)”之間，有A5種插法，所以所求的坐法數(shù)為A44·A5=480.01n1n例6.證法一：由二項式定理（1+m）n=C0nm+Cnm+?+Cnm，011mm（1+n）m=C0，mn+Cmn+?+Cmn又因為Cinmi=Anmi!ii，C

imni=

Amni!ii，2322333mmm而Ainmi>Aimni，所以C2>Cm.nm>Cmn，Cnm>Cmn，?，Cnmmn0001111又因為C0nm=Cmn，Cnm=Cmn，所以（1+m）n>（1+n）m.證法二：（1+m）n>（1+n）m

?nln（1+m）>mln（1+n）

?ln(1?m)mx>

ln(1?n)n.令f（x）=ln(1?x)，x∈［2，+∞］，只要證f（x）在［2，+∞］上單調(diào)遞減，只要證f ′（x）<0.f ′（x）=[ln(1?x)]?x?x??ln(1?x)x2=

x?ln(1?x)2(1?x)x(1?x).當(dāng)x≥2時，x－lg（1+x）(1?x)<0，x2（1+x）>0，得f ′（x）<0，即x∈［2,+∞］時，f ′（x）<0.以上各步都可逆推，得（1+m）n>（1+n）m.作業(yè)：1—4 BBDBB

6.42

7.5 8.解法一：添加的三個節(jié)目有三類辦法排進(jìn)去：①三個節(jié)目連排，有C17A33種方法；②三個節(jié)目互不相鄰，有A3種方法；③有且僅有兩個節(jié)目連排，有7C13C17C16A2種方法.根據(jù)分類計數(shù)原理共有C17A3+A3+C13C17C16A2=504種.2372解法二：從結(jié)果考慮，排好的節(jié)目表中有9個位置，先排入三個添加節(jié)目有A3種方法，余下的六個位置上按6個節(jié)目的原有順序排入只有一種方法.故所求9排法為A3=504種.9解法三：A9A669=504.評述：插空法是處理排列、組合問題常用的方法.9.解：設(shè)這個團(tuán)中有男人x人，則有女人18－x人，根據(jù)題意得C1x?2· C118?x=64.解得x=10.∴這個團(tuán)中有男10人，女8人.10.解法一：依題意，給四部分涂色，至少要用兩種顏色，故可分成三類涂色：

4第一類，用4種顏色涂色，有A5種方法；

第二類，用3種顏色涂色，選3種顏色的方法有C35種；在涂的過程中，選對頂?shù)膬刹糠郑ˋ、C或B、D）涂同色，另兩部分涂異色有C12種選法；3種顏

313色涂上去有A33種涂法.共C5·C2·A3種涂法；

2第三類，用兩種顏色涂色.選顏色有C5種選法；A、C與B、D各涂一色有22A22種涂法.共C5·A2種涂法.41322所以共有涂色方法A5+C35·C2·A3+C5·A2=260種.解法二：區(qū)域A有5種涂色法；區(qū)域B有4種涂色法；區(qū)域C的涂色法有2類：若C與A涂同色，區(qū)域D有4種涂色法；若C與A涂不同色，此時區(qū)域C有3種涂色法，區(qū)域D也有3種涂色法.所以共有5×4×4+5×4×3×3=260種涂色法.11.解法一：先取人，后取位子.1，1，1，3：6人中先取3人有C3種取法，與剩余3人分到4所學(xué)校去有6A4種不同分法，∴共C3A4種分法； 46421，1，2，2：6人中取2人、2人、1人、1人的取法有C6·C2·C12種，4然后分到4所學(xué)校去，有

A4A2?A2224種不同的分法，共C·C·C·

262412A4A2?A2224種分法.所以符合條件的分配方法有CA+C·C·C·

3644262412A4A22422?A=1560種.解法二：先取位子，后取人.1，1，1，3：取一個位子放3個人，有C14種取法，6人中分別取3人、1人、1人、1人的取法有C3·C13·C12·C1種，∴共有C14·C3·C13·C12·C1種.61611，1，2，2：先取2個位子放2（其余2個位子放1）有C24種取法，6人中

22分別取2人，2人，1人，1人的取法有C6·C2C12·C1共有C2C6·C2C12·C14·1種，4·4·1種.112221所以符合條件的分配方法有C14·C36·C3·C2+C4·C6·C4·C2=1560種.

第三篇：數(shù)學(xué)廣角----簡單的排列組合問題

數(shù)學(xué)廣角----簡單的排列組合問題

教學(xué)目標(biāo) ：

l、使學(xué)生通過觀察、操作、實驗等活動，找出簡單事物的排列組合規(guī)律。

2、培養(yǎng)學(xué)生初步的觀察、分析和推理能力以及有順序地、全面地思考問題的意識。

3、使學(xué)生感受數(shù)學(xué)在現(xiàn)實生活中的廣泛應(yīng)用，嘗試用數(shù)學(xué)的方法來解決實際生活中的問題。使學(xué)生在數(shù)學(xué)活動中養(yǎng)成與人合作的良好習(xí)慣。

教學(xué)過程 ：

一、創(chuàng)設(shè)增境，激發(fā)興趣。

師：今天我們要去數(shù)學(xué)廣角樂園游玩，你們想去嗎？

二、操作探究，學(xué)習(xí)新知。

＜一＞組合問題 l、看一看，說一說

師：那我們先在家里挑選穿上漂亮的衣服吧。（課件出示主題圖）

師引導(dǎo)思考：這么多漂亮的衣服，你們用一件上裝在搭配一件下裝可以怎么穿呢？(指名學(xué)生說一說）

2、想一想，擺一擺

（l）引導(dǎo)討論：有這么多種不同的穿法，那怎樣才能做到不遺漏、不重復(fù)呢？

①學(xué)生小組討論交流，老師參與小組討論。

②學(xué)生匯報

（2）引導(dǎo)操作：小組同學(xué)互相合作，把你們設(shè)計的穿法有序的貼在展示板上。（要求：小組長拿出學(xué)具衣服圖片、展示板）

①學(xué)生小組合作操作擺，教師巡視參與小組活動。

②學(xué)生展示作品，介紹搭配方案。

③生生互相評價。

（3）師引導(dǎo)觀察：

第一種方案(按上裝搭配下裝)有幾種穿法？（４種）第二種方案(按下裝搭配上裝)有幾種穿法?（４種）

師小結(jié)：不管是用上裝搭配下裝，還是用下裝搭配上裝，只要做到有序搭配就能夠不重復(fù)、不遺漏的把所有的方法找出來。在今后的學(xué)習(xí)和生活中，我們還會遇到許多這樣的問題，我們都可以運用有序的思考方法來解決它們。

＜二＞、排列問題

師：數(shù)學(xué)廣角樂園到了，不過進(jìn)門之前我們必須找到開門密碼.（課件出示課件密碼門）

密碼是由１、２、3 組成的兩位數(shù)．

（1）小組討論擺出不同的兩位數(shù)，并記下結(jié)果。

（2）學(xué)生匯報交流（老師根據(jù)學(xué)生的回答，點擊課件展示密碼）

（3）生生相互評價。方法一：每次拿出兩張數(shù)字卡片能擺出不同的兩位數(shù)； 方法二：固定十位上的數(shù)字，交換個位數(shù)字得到不同的兩位數(shù)； 方法三：固定個位上的數(shù)字，交換十位數(shù)字得到不同的兩位數(shù)．

師小結(jié)：三種方法雖然不同，但都能正確并有序地擺出６個不同的兩位數(shù)，同學(xué)們可以用自己喜歡的方法．

三、課堂實踐，鞏固新知。１、乒乓球賽場次安排。

師：我們先去活動樂園看看，這兒正好有乒乓球比賽呢．（課件出示情境圖）（l）老師提出要求：每兩個運動員之間打一場球賽，一共要比幾場？

（2）學(xué)生獨立思考．

（3）指名學(xué)生匯報．規(guī)

２、路線選擇。（課件展示游玩景點圖）師:我們?nèi)ス珗@看看吧.途中要經(jīng)過游戲樂園.（l）師引導(dǎo)觀察：從活動樂園到游戲樂園有幾條路線？哪幾條？(甲,乙兩條)從游戲樂園去公園有幾條路線？哪幾條？(A,B,C三條)（根據(jù)學(xué)生的回答課件展示）

從活動樂園到時公園到底有幾種不同的走法?（2）學(xué)生獨立思索后小組交流.（3）全班同學(xué)互相交流.３、照像活動。

師：我們來到公園，這兒的景色真不錯，大家照幾張像吧．

師提出要求：攝影師要求三名同學(xué)站成一排照像，每小組根據(jù)每次合影人數(shù)（雙人照或三人照）設(shè)計排列方案，由組長作好活動記錄。（1）小組活動，老師參與小組活動.（2）各小組展示記錄方案.（3）師生共同評價.４、欣賞照片．

師：在同學(xué)們照像的同時，小麗一家三口人也正在照像呢，看看她們是怎樣照的．（課件展示照片集欣賞）

四、總結(jié)

今天的游玩到此結(jié)束，同學(xué)們互相握手告別好嗎？如果小組里的四個同學(xué)每兩人握一次手，一共要握幾次手？

數(shù)學(xué)教案－人教版小學(xué)數(shù)學(xué)第三冊《數(shù)學(xué)廣角-----簡單的排列組合問題》

第四篇：排列組合中的分組問題

排列組合中的分組問題

山西省交城中學(xué)校

王峰峰

分組問題是排列組合教學(xué)中的一個重點和難點。某些排列組合問題看似非分組問題，實際上可運用分組問題的方法來解決。

一、分組與分配的區(qū)別

將n個不同元素按照某些條件分配給k個不同的對象，稱為分配問題。分定向分配和不定向分配兩種情況。

將n不同元素按照某些條件分成k組，稱為分組問題。分組問題有整體平均分組、部分平均分組、不平均分組三種情況。

分組問題和分配問題是有區(qū)別的，前者組與組之間只要元素個數(shù)相同是不區(qū)分的；而后者即使兩組元素個數(shù)相同，但因?qū)ο蟛煌?，仍然要區(qū)分的。對于后者必須先分組后排列。

二、基本的分組問題

例1.六本不同的書，分為三組，每組兩本，有多少種分法？

22分析：分組與順序無關(guān)，是組合問題。分組數(shù)是C26C4C2=90(種)，這90種分組實際上重復(fù)了6次。我們不妨把六本不同的書寫上1、2、3、4、5、6六個號碼，考察以下兩種分法：(1，2)(3，4)(5，6)與(3，4)(1，2)(5，6)，由于書是均勻分組的，三組的本數(shù)一樣，又與順序無關(guān)，所以這兩種分法是同一種分法。以上的分組方法實際上加入了組的順序，因此還應(yīng)取消分組的順序，即除以組數(shù)的全排列數(shù)A33，所以分法是222C6C4C2=15(種)。

3A3整體平均分組是指將所有元素分成所有組元素個數(shù)相等的組。

例2.六本不同的書，分為三組，一組四本，另外兩組各一本，有多少種分法？

11分析：先分組，方法是C4那么其中有沒有重復(fù)的分法呢？我們發(fā)現(xiàn)，6C2C1=30(種)，其中兩組的書的本數(shù)都是一本，因此這兩組有了順序，而與四本書的那一組，由于書的411C6C2C1本數(shù)不一樣，不可能重復(fù)。所以實際分法是=15(種)。2A2部分平均分組是指將所有元素分成部分組元素個數(shù)相等的組。

例3.六本不同的書，分為三組，一組一本，一組二本，一組三本，有多少種分法？

233分析：先分組，方法是C16C5C3，那么還要不要除以A3？我們發(fā)現(xiàn)，由于每組的書

23的本數(shù)是不一樣的，因此不會出現(xiàn)相同的分法，即共有C16C5C3=60(種)分法。

不平均分組是指將所有元素分成元素個數(shù)彼此不相等的組。

通過以上三個例題的分析，我們可以得出分組問題的一般方法。

一般地，n個不同的元素分成p組，各組內(nèi)元素數(shù)目分別為m1,m2,m3,?,mp，其中k組內(nèi)元素數(shù)目相等，那么分組方案是

23pCn1Cn?m1Cn?m1?m2?CmpmmmmAkk。

三、基本的分配問題 1.定向分配問題

例1.六本不同的書，分給甲、乙、丙三人，求在下列條件下各有多少種不同的分配方法？

（1）甲兩本、乙兩本、丙兩本；（2）甲一本、乙兩本、丙三本；（3）甲四本、乙一本、丙一本。

分析：由于分配給三人，每人分幾本是一定的，屬分配問題中的定向分配問題，由分布計數(shù)原理不難解出：

222（1）C6C4C??90

123（2）C6C5C3?60 411（3）C6C2C1?30

2.不定向分配問題

例2.六本不同的書，分給甲、乙、丙三人，求在下列條件下各有多少種不同的分配方法？

（1）每人兩本；

（2）一人一本、一人兩本、一人三本；（3）一人四本、一人一本、一人一本。

分析：此題屬于分配中的不定向分配問題。由于分配給三人，同一本書給不同的人是不同的分法，所以是排列問題。實際上可看作“分為三組，再將這三組分給甲、乙、3丙三人”，因此需要將分組方法數(shù)再乘以A3?6，即

222C6C4C?3（1）?A3?90 3A31233（2）C6C5C3?A3?360 32C1（3）C6C2?A3?90

A2411結(jié)論:一般地，如果把不同的元素分配給幾個不同對象，并且每個不同對象可接受的元素個數(shù)沒有限制，那么實際上是先分組后排列的問題，即分組方案數(shù)乘以不同對象數(shù)的全排列數(shù)。（解不定向分配題的一般原則：先分組后排列）

例3.六本不同的書，分給甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少種分法？

分析：六本書和甲、乙、丙三人都有“歸宿”，即書要分完，人不能空手。因此，考慮先分組，后排列。先分組，六本書怎么分為三組呢？有三類分法：(1)每組兩本，(2)分別為一本、二本、三本，(3)兩組各一本，另一組四本。所以根據(jù)加法原理，分組法是222411C6C4C2+123+C6C2C1=90(種)。再考慮排列，即再乘以3。所以一共有540種不C6C5C3A332A3A2同的分法。

四、分組、分配問題的變形問題

例1.四個不同的小球放入編號為1，2，3，4的四個盒子中，恰有一個空盒的放法有多少種？

分析：恰有一個空盒，則另外三個盒子中小球數(shù)分別為1，1，2。實際上可轉(zhuǎn)化為

112C4C3C2先將四個不同的小球分為三組，兩組各1個，另一組2個，分組方法有(種)，2A2112C4C3C24然后將這三組再加上一個空盒進(jìn)行全排列，即共有A4=144(種)。2A2例2.有甲、乙、丙三項任務(wù)，甲需2人承擔(dān)，乙、丙各需1人承擔(dān)，從10人中選派4人承擔(dān)這三項任務(wù)，不同的選法有多少種？

分析：先考慮分組，即10人中選4人分為三組，其中兩組各一人，另一組二人，112C10C9C8共有(種)分法。再考慮排列，甲任務(wù)需2人承擔(dān)，因此2人的那個組只能承擔(dān)2A2甲任務(wù)，而一個人的兩組既可承擔(dān)乙任務(wù)又可承擔(dān)丙任務(wù)，所以共有112C10C9C82=2520(種)不同的選法。A22A2例3.設(shè)集合A??1,2,3,4?，B??6,7,8?，A為定義域，B為值域，則從集合A到集合B的不同的函數(shù)有多少個？

分析：由于集合A為定義域，B為值域，即集合A、B中的每個元素都有“歸宿”，而集合B的每個元素接受集合A中對應(yīng)的元素的數(shù)目不限，所以此問題實際上還是分組后分配的問題。先考慮分組，集合A中4個元素分為三組，各組的元素數(shù)目分別為1、112C4C3C21、2，則共有(種)分組方法。再考慮分配，即排列，再乘以A33，所以共有2A2112C4C3C23=36(個)不同的函數(shù)。A32A2

練習(xí)：

1.[2014·浙江卷] 在8張獎券中有一、二、三等獎各1張，其余5張無獎．將這8張獎券分配給4個人，每人2張，不同的獲獎情況有________種．(用數(shù)字作答)2.[2014·全國卷] 有6名男醫(yī)生、5名女醫(yī)生，從中選出2名男醫(yī)生、1名女醫(yī)生組成一個醫(yī)療小組，則不同的選法共有（）A．60種

B．70種

C．75種

D．150種

3.（2013年北京卷）將序號分別為1,2,3,4,5的5張參觀券全部分給4人,每人至少1張,如果分給同一人的2張參觀券連號,那么不同的分法種數(shù)是_________.4.（2012年新課標(biāo)卷）將2名教師，4名學(xué)生分成2個小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會實踐活動，每個小組由1名教師和2名學(xué)生組成，不同的安排方案共有（）（A）12種

（B）10種

(C)9種

（D）8種

第五篇：排列組合教案

課題：數(shù)學(xué)廣角—搭配

（二）第一課時 簡單的排列問題 授課教師：魏亞楠

教學(xué)內(nèi)容：教材101頁例1及做一做第1題、第2題、104頁練習(xí)二十二第1題 教學(xué)目標(biāo)：

1、通過觀察、猜測、實驗等活動，使學(xué)生找出簡單事物的排列和組合方式。

2、經(jīng)歷探索簡單事物排列組合的過程，培養(yǎng)初步的觀察，分析和推理的能力以及有順序地全面思考問題的意識。

3、在解決實際問題的過程中，體驗成功的樂趣，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣。教學(xué)重點：經(jīng)歷探索簡單事物排列組合的過程，學(xué)會有序思考的方法。

教學(xué)難點：讓學(xué)生初步感悟簡單的排列組合的數(shù)學(xué)思想方法，用有序思考的方法解決實際問題。

教學(xué)過程：

一、探究新知

（一）創(chuàng)設(shè)問題情境

師：今天我們要學(xué)習(xí)的內(nèi)容是數(shù)學(xué)廣角中的簡單排列組合問題。

（二）提出研討問題

1、回憶下二年級的時候有沒有學(xué)過兩位數(shù)的排列組合呢？

要求：無重復(fù)、無遺漏

2、現(xiàn)在老師手里有三張卡片1、3、5 請同學(xué)們想想怎么將這三個數(shù)排列為沒有重復(fù)的兩位數(shù)呢？

3、現(xiàn)在老師手里又多了一張卡片“0”請結(jié)合剛學(xué)過的表示方法，看一看能排列出多少個無重復(fù)的兩位數(shù)呢？

（三）提出研討要求

師：請大家拿出筆和紙和老師一起驗證一下。

（四）暴露學(xué)生資源

預(yù)設(shè)①：01、03、05、10、13、15、30、31、35、50、51、53 共12種 預(yù)設(shè)②：10、30、50、13、31、15、51、35、53 共9種

預(yù)設(shè)③：十 個（固定十位法）預(yù)設(shè)④：十 個（固定個位法）1 0 1 3 1 5 3 0 3 1 3 5 5 0 5 1 5 3 共9種

（五）組織互動研討 3 5 3 5 1

0 0 0 1 1 3

3 1 5 共9種

同學(xué)們我們在上二年級的時候有沒有學(xué)過兩位數(shù)的排列組合呢，不記得也沒關(guān)系，今天老師就帶領(lǐng)大家，在回憶一下～

看老師手里有兩張卡片，3、5 同學(xué)們?nèi)绻覍⑦@兩個數(shù)字用“個十”的表示方法進(jìn)行排列的話，會有幾種排列結(jié)果呢，在這里老師有一個要求:就是要做到無重復(fù)，無遺漏！首先我們可將3放在十位上，那么5就在各位上，這樣的組合結(jié)果為35。接下來我們將5放在十位上，3放在個位上，那么這樣的組合結(jié)果為53。通過交換兩個數(shù)字的位置就可以得到不同的排列結(jié)果，這樣的方法我們可以將它定義為:交換法。

同學(xué)們剛才老師是針對兩個數(shù)字進(jìn)行的排列，那同學(xué)們想一想如果是三位數(shù)字，怎么將他們進(jìn)行排列，才能做到無重復(fù)，無遺漏呢？

現(xiàn)在老師手里有三張卡片 1、3、5，接下來請同學(xué)們想想怎么將這三個數(shù)排列為沒有重復(fù)的兩位數(shù)呢？

我們可以先把其中一個數(shù)固定不變，剩下的兩個數(shù)拿來分別組合。同樣我們用“個十”的表示方法進(jìn)行排列，首先我們可以先將1固定不變，放到十位上，那么就可以將剩下的3、5分別和1進(jìn)行組合，這樣我們就找到了兩個十位數(shù)13和15。接下來我們再將3固定不變放到十位上，就可以得到31和35兩個十位數(shù)。最后我們將5固定不變放到十位上也可以得到兩個十位數(shù)，51和53，這樣我們就得到了6個無重復(fù)且無遺漏的兩位數(shù)。分別是13、15、31、35、51、53有沒有細(xì)心的同學(xué)觀察到，老師總是將固定不變的數(shù)放到十位上呀，那么放到個位上，是不是同樣能夠得到上面的數(shù)字，并且得到的結(jié)果是不是一樣呢，下面我們就一起來驗證一下。綜合兩種組合結(jié)果，我們又可以得到兩種排列方法:固定十位法、固定個位。

接下來老師要考考你們了，現(xiàn)在老師手里又多出了一張卡片0 1 3 5 請結(jié)合咱們以上學(xué)過的三種方法將這四張卡片用“個十”的表示方法，看一看能排列出多少個無重復(fù)的兩位數(shù)呢。

四、課堂小結(jié)

同學(xué)們，這節(jié)課大家一起發(fā)現(xiàn)排列組合問題的一些規(guī)律。我們在解決此類問題的時候一定要做到有序、全面思考，做到不重復(fù)不遺漏。排列的問題在生活中有著廣泛的應(yīng)用，還有更多的規(guī)律我們沒有發(fā)現(xiàn)，老師相信你們，一定會動腦筋找到和解決這些數(shù)學(xué)問題的規(guī)律。

板書設(shè)計：

簡單的排列問題

0不能作最高位

有序、全面