第一篇：排列組合問題的解題策略的教學(xué)設(shè)計

《排列組合問題的解題策略》教學(xué)設(shè)計

河北圍場一中 王嘉偉

一、整體設(shè)計思路、指導(dǎo)依據(jù)：

《數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)》中指出好的數(shù)學(xué)教育要從學(xué)習(xí)者的已有知識和實際生活經(jīng)驗出發(fā)，提供給學(xué)生數(shù)學(xué)實踐和交流的機會?！睌?shù)學(xué)是解決生活中一些實際問題的工具，同時還開發(fā)智力，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力。面對實際問題時，能主動嘗試著從數(shù)學(xué)的角度運用所學(xué)知識和方法尋求解決問題的策略，是數(shù)學(xué)應(yīng)用意識的重要體現(xiàn)。為學(xué)生后面學(xué)習(xí)排列組合問題打下基礎(chǔ)。

二、教學(xué)背景分析： “排列組合問題的解題策略”是人教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）教科書選修2-3第一章計數(shù)原理中的內(nèi)容，排列和組合的思想方法不僅應(yīng)用廣泛，而且是學(xué)生學(xué)習(xí)概率統(tǒng)計的知識基礎(chǔ)，同時也是發(fā)展學(xué)生抽象能力和邏輯思維能力的好素材。在高考中也是考點之一，本節(jié)重點在向?qū)W生滲透分類討論，轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，并初步培養(yǎng)學(xué)生有順序地、全面地思考問題的意識，為學(xué)生今后學(xué)習(xí)組合數(shù)學(xué)和學(xué)習(xí)概率統(tǒng)計奠定基礎(chǔ)。簡單的兩種計數(shù)原理和排列組合 基本掌握了，由于本班學(xué)生的基礎(chǔ)不是很好，數(shù)學(xué)水平參差不齊，所以采取小組合作學(xué)習(xí)的方式合理分配學(xué)生資源，借助集體的智慧來解決問題。本節(jié)課是在學(xué)生掌握簡單的排列組合問題的基礎(chǔ)上的，對排列組合問題的一個拓展。

三、教學(xué)目標(biāo)：

知識目標(biāo)：1.掌握加法原理和乘法原理，并能用這兩個計數(shù)原理解決簡單問題。2.掌握排列、組合問題應(yīng)用的幾種常見方法。能力目標(biāo)：掌握有限制條件的排列組合的應(yīng)用題的常用分析方法。情感目標(biāo)：體會解決排列組合問題中運用的數(shù)學(xué)思想。

四、教學(xué)重點、難點分析：

重點：有限制條件的排列組合問題的綜合應(yīng)用。難點：解決較復(fù)雜的排列組合問題的思想與解題策略

五、教學(xué)過程設(shè)計：

1．課程引入：平安夜的故事：

“蘋果”是平平安安的諧音，象征著平安、祥和之意，所以說平安夜吃蘋果能保一年平安。時間：13年12月24日晚。地點：XX職校女生公寓樓302室。

人物：寢室所有成員，包括英亞、竹萍、陳燕、劉佳、徐紅、周甜、龔佳、錢麗共八人。在這個特別的夜晚，劉佳提議，準(zhǔn)時在十二點吃蘋果，可大家發(fā)現(xiàn)沒有準(zhǔn)備蘋果。陳燕說：“我這里有些蘋果。”她拿出一袋蘋果。大家一看，只有大小不一的五個。竹萍說：“我柜子里面還有幾個梨。”竹萍拿出來一清，有四個形狀各異的梨。大家說：“沒辦法了，拿三個梨來湊吧?！?/p>

出招：從四個形狀各異的梨中拿出三個，有多少種方法？ 竹萍從中拿出了三個最好看的梨。

徐紅說：“我不喜歡吃梨，我只喜歡吃蘋果，所以我一定要吃蘋果?！?英亞說：“好吧。我來負(fù)責(zé)分派?！?/p>

出招：要保證徐紅一定吃到蘋果，有多少種分派方法？ 周甜說：“我也要吃蘋果！平安夜當(dāng)然吃蘋果。”

出招：，徐紅和周甜兩人都吃到蘋果，有多少種分派方法？

竹萍出招：五個大小不一的蘋果和三個形狀各異的梨分給八個人，每人一個，其中周甜吃蘋果，徐紅吃梨，有多少種分派方法？

有人說，你們倆只能有一個人吃蘋果。徐紅說：“那讓周甜吃蘋果吧，我吃梨好了。錢麗說：“這樣吧，我們把八個水果放在桌上排成一排，然后關(guān)燈，每人摸一個。” 出招：八個不同的水果排成一排，有多少種排方法？

劉佳說：“平安夜，第一個一定要放蘋果以示平安?！背稣校何鍌€大小不一的蘋果和三個形狀各異的梨排成一排，第一個一定要放蘋果，有多少種排法？

陳燕說：“第一個放不放蘋果不要緊，大家只要盡量把蘋果和梨分開就好，就是不要讓任何兩個梨挨在一起?！?出招：五個大小不一的蘋果和三個形狀各異的梨排成一排，其中梨不能挨在一起，有多少種排方法？ 徐紅說：“這樣不好，分梨分離。我們寢室每個人都應(yīng)該團結(jié)，心不能分離。所以，應(yīng)該把這些梨全放在一起。出招：五個大小不一的蘋果和三個形狀各異的梨排成一排，其中梨必須放在一起有多少種排方法？ 正在大家討論得正熱烈的時間，響起了熄燈鈴聲。

“唉啊，快。”英亞低聲叫道：“睡覺時間到了！快去床上！”

英亞連忙關(guān)掉燈。黑暗中誰低聲叫了一句：“快拿水果！”大家連忙從桌上各自摸起一個水果，快速鉆入被窩。寢室迅速安靜下來。

漸漸地，八個同學(xué)都在安靜中睡著了。當(dāng)然，最終她們沒有破壞寢室的紀(jì)律，沒有在半夜起來吃蘋果。故事新編:(課下思考）

對＜平安夜的故事＞進行重新編排，要求在故事里穿插至少三個有關(guān)排列，組合，或基本計數(shù)原理的問題。

從上面的故事中找出我們所運用到的排列組合這一章所學(xué)的知識和方法。

設(shè)計意圖：用一則小故事引出排列組合常見的問題：相鄰，不相鄰，特殊元素，特殊位置安排的問題。

2、典例分析：（分組討論，學(xué)生講解，教師指導(dǎo)幫助總結(jié)）

（1）特殊元素和特殊位置優(yōu)先策略：

例

1、由0,1,2,3,4,5，可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的五位奇數(shù)。師：若改成偶數(shù)呢，又該如何分析？

變式：7種不同的花種在排成一列的花盆里，若兩種葵花不種中間，也不種在兩端的花盆里，問有多少種不同的種法？

設(shè)計意圖： 位置分析法和元素分析法是解決排列組合問題最常用也是最基本的方法，要求學(xué)生熟練掌握。（2）相鄰元素捆綁策略：

例2.7人站成一排，其中甲乙相鄰且丙丁相鄰，共有多少種不同的排法。練習(xí)：5個男生3個女生排成一排，3個女生要排在一起，有多少種不同的排法？ 設(shè)計意圖：要求某幾個元素必須排在一起的問題,可以用捆綁法來解決問題.（3）不相鄰問題插空策略: 例3.一個晚會的節(jié)目有4個舞蹈，兩個相聲，三個獨唱，舞蹈節(jié)目不能連續(xù)出場，則節(jié)目的出場順序有多少種？

變式：某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目，如果將這兩個新節(jié)目插入原節(jié)目單中，且兩個新節(jié)目不相鄰，那么不同的插法種數(shù)為________.師：元素不相鄰問題可先把沒有位置要求的元素進行排隊再把不相鄰元素插入中間和兩端 拓展：請同學(xué)把上述兩個問題綜合在一起出道題，題中包含相鄰和不相鄰問題。

設(shè)計意圖：幫助學(xué)生分析這兩類問題的解決辦法，并進行延伸，通過小組討論解決問題，形成思路。（4）、定序問題：空位，插入；倍縮策略

例4.7人排隊，其中甲乙丙3人順序一定，共有多少種不同的排法？

練習(xí)：學(xué)考考試6門科目，歷史要排在化學(xué)前面考，有多少種不同的安排順序？ 師：定序問題可以用倍縮法，還可轉(zhuǎn)化為占位插入模型處理

設(shè)計意圖：通過演示，板書讓學(xué)生理解占位插入模型的含義，從而解決排列組合中相似的問題。（5）重排問題求冪策略：

例5.把6名實習(xí)生分配到7個車間實習(xí)，共有多少種不同的分法？ 練習(xí)：

1、4人爭奪3個比賽項目的冠軍，問冠軍得主的可能性。

2、某8層大樓，一樓電梯上來8名乘客，他們到各自的一層下電 梯，下電梯的方法有（）種。師：一般地n不同的元素沒有限制地安排在m個位置上的排列數(shù)為(6)排列組合混合問題先選后排策略：

種

例6.有5個不同小球，裝入4個不同的盒內(nèi)，每盒至少裝一球，共有多少種不同的裝法。

練習(xí)：一個班有6名戰(zhàn)士，其中正副班長各1人，現(xiàn)在從中選4人完成四種不同的任務(wù)，每人完成一種任務(wù)，且正副班長有且只有1人參加，則不同的選法有________種。師：解決排列組合的混合問題,先選后排是最基本的指導(dǎo)思想.設(shè)計意圖：近幾年高考中出現(xiàn)頻率較多的一類問題，通過典型例題找出解決問題的思路，引導(dǎo)學(xué)生尋求解題辦法。

(7)平均分組問題除法策略：

例8.6本不同的書，按如下方式分配，各有多少種不同的分法？ 1.分成一堆一本，一堆2本，一堆3本。2.甲得一本，乙得2本，丙得3本。3.一人得一本，一人得2本，一人得3本。4.平均分成3堆，每堆2本.5.分給甲乙丙三人，每人選2本。

練習(xí)：1.將13個球隊分成3組，一組5個隊，其他2組4個隊，有多少分法？

2.某校高二年級共有6個班級，現(xiàn)從外地轉(zhuǎn)入4名學(xué)生，要安排到該年級的兩個班級且每班安排2名，則不同的安排方案種數(shù)為__________.師：平均分成的組,不管它們的順序如何,都是一種情況,所以分組后要一定要除以(n為均分的組數(shù))避免重復(fù)計數(shù)。

設(shè)計意圖：學(xué)生對于這類問題容易把幾個問題混淆，通過解決這個例題讓學(xué)生理解平均分組問題的解決方案。

（8）合理分類與分步策略：

例8.在一次演唱會上共10名演員，其中8人能夠唱歌，5人會跳舞，現(xiàn)要演出一個2人唱歌2人伴舞的節(jié)目，有多少種選派方法？

師：請同學(xué)們選擇3個分類標(biāo)準(zhǔn)進行討論：

練習(xí)：從4名男生和3名女生中選4人參加某個座談會，若這4人中必須既有男生又有女生，則不同的選法共有________.設(shè)計意圖：解含有約束條件的排列組合問題，可按元素的性質(zhì)進行分類，按事件發(fā)生的連續(xù)過程分步，做到標(biāo)準(zhǔn)明確。分步層次清楚，不重不漏，分類標(biāo)準(zhǔn)一旦確定要貫穿于解題過程的始終。

課堂檢測：(考題重現(xiàn)）

1、(2014年廣西）有6名男醫(yī)生，5名女醫(yī)生，從中選出2名男醫(yī)生，1名女醫(yī)生，組成一個醫(yī)療小組，則不同的選法共有____種。

2、（2013大綱卷）6個人排成一行，其中甲乙兩人不相鄰的不同排法有____種。

3、（2013北京）將序號分別為1,2,3,4,5的5張參觀卷，全部分給4人，每人至少一張，如果分給同一人的2張參觀卷連號，那么不同的分法種數(shù)是_____種。

4、（2014北京）把5件不同產(chǎn)品擺成一排，若產(chǎn)品A與產(chǎn)品B相鄰，且產(chǎn)品A與產(chǎn)品C不相鄰，則不同的擺法有_____種。

5、（2014四川）6個人從左到右排成一排，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法有_____種。

6、（2014重慶理）某次聯(lián)歡會要安排3個歌舞類節(jié)目，兩個小品和一個相聲類節(jié)目的演出順序，則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是_____.小結(jié)：

回顧上述幾個例題的解答過程，我們可以看到一個共同的特點，就是利用一一對應(yīng)關(guān)系將一種不易直接求得其數(shù)目的計數(shù)模式轉(zhuǎn)化為另一種易于計算的模式，從而收到了簡化問題的效果，可以說，這種通過建立一一對應(yīng)關(guān)系而化難為易的方法是數(shù)學(xué)中一種常用的方法，并且在代數(shù)問題發(fā)揮著極大的作用。另外，我們還推出了幾個模型，大家回去后希繼續(xù)對這個模型進行研究，掌握這個模型的各種變化，并要善于把各種具體問題歸結(jié)成這個模型的某一種方式，那么解排列組合問題就有了一定的規(guī)律可循了。

六、教學(xué)評價與反思：

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程是知識建構(gòu)的過程，是思維訓(xùn)練的過程。本節(jié)課充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，通過精心設(shè)計排列組合中常見的問題，進行分類，讓學(xué)生去探索，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，總結(jié)方法，并能構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，通過小組合作和教師的點撥，使學(xué)生的思維拓展，本節(jié)課堂容量較大，通過學(xué)生提前做學(xué)案預(yù)習(xí)基本能順利完成，本節(jié)課設(shè)計較合理，環(huán)環(huán)相扣比較連貫，是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力和課堂開展研究性學(xué)習(xí)的典型范例。

第二篇：排列組合常見的解題策略

“排列組合常見的解題策略”課例

張玉華

一、教材分析

排列和組合是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的重要組成部分之一，它在解決實際問題以及科學(xué)技術(shù)的研究中都有廣泛的應(yīng)用；在排列組合問題中充分體現(xiàn)了分類、化歸的數(shù)學(xué)思想。它應(yīng)用性強，具有題型多變，條件隱晦，思維抽象，分類復(fù)雜，問題交錯，易出現(xiàn)重復(fù)和遺漏以及不易發(fā)現(xiàn)錯誤等特征。因而在這部分教學(xué)中，應(yīng)充分調(diào)動學(xué)生的積極性，強調(diào)學(xué)生的主體作用，明確基本原理，注重思維過程的分析，讓學(xué)生在問題解決的過程中不斷反思探索規(guī)律，體驗成功，從而提升學(xué)生的思維能力。而且是概率的基礎(chǔ)。

二、學(xué)情分析

高三(1)班的同學(xué)基礎(chǔ)差，但勤奮好學(xué)，有一定的潛力。

三、教學(xué)目的

1、認(rèn)知目標(biāo)：

使學(xué)生進一步理解并掌握處理排列組合問題的基本策略，進一步體會分類與化歸的數(shù)學(xué)思想方法以及分析與解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的探索創(chuàng)新意識。

2、技能目標(biāo)：

充分發(fā)揮教師的主導(dǎo)和學(xué)生的主體作用，使學(xué)生的自主意識、自學(xué)能力、探索創(chuàng)新意識得到發(fā)展。

3、情感目標(biāo)：

培養(yǎng)學(xué)生的自信心和學(xué)習(xí)興趣，樹立實事求是的科學(xué)態(tài)度和不怕困難的進取精神，積極探索，進而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。

四、教法分析

根據(jù)排列組合的知識特點“條件隱晦，思維抽象”，在教學(xué)中采用發(fā)現(xiàn)法，堅持“思路教學(xué)”，深鉆教材，注意從實驗入手，模擬發(fā)現(xiàn)，從特殊到一般，歸納出一般的規(guī)律，優(yōu)化學(xué)生的思路，激活學(xué)生的思維。

五、教學(xué)過程分析

1、復(fù)習(xí)思考

（1）處理排列組合問題的常見解題策略(提問學(xué)生作答)問題

一、街道旁有編號1、2、3、4、5、6、7、8、9、10共十只路燈，為節(jié)約用電又不影響照明，可以把其中的三只燈相滅，但不能同時熄滅相鄰兩只，在兩端的兩只路燈不熄滅的情況下，問不同的熄燈方法有多少種? ①通過復(fù)習(xí)提問總結(jié)解決排列組合問題的基本思路和方法。

②設(shè)置問題情景，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望。通過引導(dǎo)，學(xué)生得出多種解法，從而優(yōu)化思維，發(fā)現(xiàn)規(guī)律為構(gòu)造數(shù)學(xué)模型一做好鋪墊。

2、創(chuàng)設(shè)情景 練習(xí)（1）：四個相同蘋果分給三個人，沒人至少一個，有多少種分配方案?(提問，多解)，電腦演示。

（2）：把六個名額分給三個班級，沒班至少一個名額，有多少種分法?(提問多解)，電腦演示，介紹插板法。鞏固創(chuàng)設(shè)情景。

體現(xiàn)化歸思想，并將問題發(fā)散，從不同角度展示出問題的共性，給學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)、探索的空間，引入“插板”這一解決問題的策略。

3、提出猜想

你能編一道與本題意思相近的習(xí)題或?qū)⒈绢}推廣嗎? 學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，是課堂教學(xué)的探索者、發(fā)現(xiàn)者和創(chuàng)造者，讓他們的智慧火花充分閃亮。

4、探得索出分結(jié)析論 模型一：把n個相同的小球放入m個不同的盒子中，要求每盒至少有一個球，問有多少種不同的方法? 歸納出共性，推廣到一般，抽象出數(shù)學(xué)模型，使學(xué)生的思維得到提升。

5、問題解決進一步推廣 練習(xí)：(分組討論)（1）求方程x+y+z=16的正整數(shù)解的組數(shù)。

（2）15個蘋果分給三個人，每人至少兩個，有多少種分法?（3）把二十個相同的小球放入編號為1、2、3、4、的四個盒子中，要求每個盒子中的小球數(shù)目不少于編號數(shù)，求不同的放法種數(shù)。

弄清問題本質(zhì)，將問題轉(zhuǎn)化為模型，并能應(yīng)用模型解決問題。

6、新情境設(shè)計

（1）第二小題條件改為每人至少三個，有多少種分法?（2）學(xué)生總結(jié)規(guī)律。

（3）如果條件改為每人分得蘋果個數(shù)不限，有多少種分法種數(shù)?（4）你能將本題推廣嗎?（5）改變條件提出新問題，讓學(xué)生有一個再發(fā)現(xiàn)，再創(chuàng)造的過程。（6）培養(yǎng)學(xué)生自主探索創(chuàng)新意識。

7、探索分析

用電腦演示每人至少分得一個蘋果、二個蘋果和三個蘋果的情形，并由學(xué)生總結(jié)規(guī)律。體現(xiàn)從特殊到一般的思維方法，模擬發(fā)現(xiàn)，激勵探索，激活思路。

8、得出結(jié)論

模型

二、把n個相同的小球放入m個不同盒子(n≥m≥1)，每個盒子容量不限，有多少種不同方法? 比較差異，將模型一進一步推廣，使學(xué)生在“好奇”中產(chǎn)生“內(nèi)驅(qū)力”，進而產(chǎn)生不斷探索的愿望。

9、問題

（1）中日圍棋擂臺賽規(guī)定各國各出7名隊員，按事先排好的順序出場參加圍棋擂臺賽，雙方先由1號隊員比賽，負(fù)者被淘汰，勝者再與負(fù)方2號隊員比賽?，直到有一方隊員全被淘汰為止，另一方獲得勝利，形成一個比賽過程，試求中方獲勝的所有可能出現(xiàn)的比賽過程的種數(shù)?（2）從7個學(xué)校選出12人組成足球聯(lián)隊，要求每校至少有一個人參加，問各校名額分配共有多少種不同情況? 將問題綜合，讓學(xué)生分享探索帶來的成果，感受問題解決的成功喜悅，同時也使他們進一步掌握分類的數(shù)學(xué)思想和化歸的方法，激發(fā)探索的欲望。

10、小結(jié)

小結(jié)：回顧上述幾個例題的解答過程，我們可以看到一個共同的特點，就是利用一一對應(yīng)關(guān)系將一種不易直接求得其數(shù)目的計數(shù)模式轉(zhuǎn)化為另一種易于計算的模式，從而收到了簡化問題的效果，可以說，這種通過建立一一對應(yīng)關(guān)系而化難為易的方法是數(shù)學(xué)中一種常用的方法，并且在代數(shù)問題發(fā)揮著極大的作用。另外，我們還推出了兩個模型，大家回去后希繼續(xù)對這個模型進行研究，掌握這個模型的各種變化，并要善于把各種具體問題歸結(jié)成這個模型的某一種方式，那么解排列組合問題就有了一定的規(guī)律可循了。

六、課題后記

1、本著堅持以學(xué)生是探索發(fā)現(xiàn)的主體這一教學(xué)原則，教師的角色從知識的傳播者轉(zhuǎn)化為學(xué)生主動學(xué)習(xí)，主動探索的引導(dǎo)者和促進者：學(xué)生以被動接受知識轉(zhuǎn)到主動參與，在討論探索中獲取知識。學(xué)生在教師的適時點撥下，通過自己動腦，探索出兩個模型。由于學(xué)生親自品嘗了自己發(fā)現(xiàn)的樂趣，更激起了他們強烈的求知欲和創(chuàng)造欲。

2、體現(xiàn)循序漸進原則。本課例的例題，練習(xí)題的安排體現(xiàn)了思維的階梯性，一步一個臺階，逐步引向深入。由于問題處在學(xué)生思維水平的“最近發(fā)展區(qū)”，因而為學(xué)生提供了自由想象的空間，最后指引學(xué)生進行變式練習(xí)，提出了新的探索目標(biāo)，從而滿足了不同層次學(xué)生的需要，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)素質(zhì)教育的思想。同時充分肯定學(xué)生的每一點進步，使學(xué)生增強學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。

3、通過現(xiàn)代化教育技術(shù)，以電腦動畫方式模擬思維的動態(tài)過程，將抽象內(nèi)容形象化，激發(fā)學(xué)生興趣，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析和抽象概括能力。學(xué)生的“再發(fā)現(xiàn)”不是放任自流，而是在教師精心設(shè)計教學(xué)過程，創(chuàng)設(shè)問題情境，讓學(xué)生自己從知識的發(fā)生，發(fā)展過程中去發(fā)現(xiàn)新知識，認(rèn)識新知識，從而積極主動地參與學(xué)習(xí)，充分體現(xiàn)教師的主導(dǎo)作用。

4、層層建構(gòu)，分層遞進，引導(dǎo)學(xué)生逐步深入，符合學(xué)生的認(rèn)知特點使學(xué)生易于理解，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神，優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)。解決重點，突破難點，通過分層遞進，既可照顧后進生，又可促進優(yōu)等生，達到面向全體學(xué)生的目的，使不同的學(xué)生都能得到發(fā)展。

七、點評

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程是知識建構(gòu)的過程，是思維訓(xùn)練的過程。本節(jié)課充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，通過精心設(shè)計問題，讓學(xué)生去探索，發(fā)現(xiàn)從特殊到一般，歸納規(guī)律，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，掌握分類的數(shù)學(xué)思想和化歸的方法，分層遞進不斷深化。課堂思維密度大，高潮迭起，是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力和課堂開展研究性學(xué)習(xí)的典型范例。

第三篇：高中數(shù)學(xué)教學(xué)論文 排列組合的解題策略（本站推薦）

高中數(shù)學(xué)教學(xué)論文：排列組合的解題策略

讓學(xué)生成為“演員”——也談排列組合的解題策略

排列組合作為高中代數(shù)課本的一個獨立分支，因為極具抽象性而成為“教”與“學(xué)”難點。有相當(dāng)一部分題目教者很難用比較清晰簡潔的語言講給學(xué)生聽，有的即使教者覺得講清楚了，但是由于學(xué)生的認(rèn)知水平，思維能力在一定程度上受到限制，還不太適應(yīng)。從而導(dǎo)致學(xué)生對題目一知半解，甚至覺得“云里霧里”.針對這一現(xiàn)象，筆者在日常教學(xué)過程中經(jīng)過嘗試總結(jié)出一些個人的想法跟各位同行交流一下。

筆者認(rèn)為之所以學(xué)生“怕”學(xué)排列組合，主要還是因為排列組合的抽象性，那么解決問題的關(guān)鍵就是將抽象問題具體化，我們不妨將原題進行一下轉(zhuǎn)換，讓學(xué)生走進題目當(dāng)中，成為“演員”，成為解決問題的決策者。這樣做不僅激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，活躍了課堂氣氛，還充分發(fā)揮學(xué)生的主體意識和主觀能動性，能讓學(xué)生從具體問題的分析過程中得到啟發(fā)，逐步適應(yīng)排列組合題的解題規(guī)律，從而做到以不變應(yīng)萬變。當(dāng)然，在具體的教學(xué)過程中一定要注意題目轉(zhuǎn)換的等價性，可操作性。

下面筆者將就教學(xué)過程中的兩個難點通過兩個特例作進一步的說明：

1、占位子問題例1：將編號為1、2、3、4、5的5個小球放進編號為1、2、3、4、5的5個盒子中，要求只有兩個小球與其所在的盒子編號相同，問有多少種不同的方法？

① 仔細(xì)審題：在轉(zhuǎn)換題目之前先讓學(xué)生仔細(xì)審題，從特殊字眼小球和盒子都已“編號”著手，清楚這是一個“排列問題”，然后對題目進行等價轉(zhuǎn)換。

② 轉(zhuǎn)換題目：在審題的基礎(chǔ)上，為了激發(fā)學(xué)生興趣進入角色，我將題目轉(zhuǎn)換為：讓學(xué)號為1、2、3、4、5的學(xué)生坐到編號為1、2、3、4、5的五張凳子上（已準(zhǔn)備好放在講臺前），要求只有兩個學(xué)生與其所坐的凳子編號相同，問有多少種不同的坐法？

③ 解決問題：這時我在選另一名學(xué)生來安排這5位學(xué)生坐位子（學(xué)生爭著上臺，積極性已經(jīng)得到了極大的提高），班上其他同學(xué)也都積極思考（充分發(fā)揮了學(xué)生的主體地位和主觀能動性），努力地“出謀劃策”，不到兩分鐘的時間，同學(xué)們有了統(tǒng)一的看法：先選定符合題目特殊條件“兩個學(xué)生與其所坐的凳子編號相同”的兩位同學(xué)，有C 種方法，讓他們坐到與自己編號相同的凳子上，然后剩下的三位同學(xué)不坐編號相同的凳子有2種排法，最后根據(jù)乘法原理得到結(jié)果為2×C =20（種）。這樣原題也就得到了解決。

④ 學(xué)生小結(jié)：接著我讓學(xué)生之間互相討論，根據(jù)自己的分析方法對這一類問題提出一個好的解決方案。（課堂氣氛又一次活躍起來）

⑤ 老師總結(jié)：對于這一類占位子問題，關(guān)鍵是抓住題目中的特殊條件，先從特殊對象或者特殊位子入手，再考慮一般對象，從而最終解決問題。

2、分組問題例2：從1、3、5、7、9和2、4、6、8兩組數(shù)中分別選出3個和2個數(shù)組成五位數(shù)，問這樣的五位數(shù)有幾個？

用心

愛心

專心 1

（本題我是先讓學(xué)生計算，有很多同學(xué)得出的結(jié)論是P ×P）

① 仔細(xì)審題：先由學(xué)生審題，明確組成五位數(shù)是一個排列問題，但是由于這五個數(shù)來自兩個不同的組，因此是一個“分組排列問題”，然后對題目進行等價轉(zhuǎn)換。

② 轉(zhuǎn)換題目：在學(xué)生充分審題后，我讓學(xué)生自己對題目進行等價轉(zhuǎn)換，有一位同學(xué)A將題目轉(zhuǎn)換如下：從班級的第一組（12人）和第二組（10人）中分別選3位和2位同學(xué)分別去參加蘇州市舉辦的語文、數(shù)學(xué)、英語、物理、化學(xué)競賽，問有多少種不同的選法？

③ 解決問題：接著我就讓同學(xué)A來提出選人的方案同學(xué)A說：先從第一組的12個人中選出3人參加其中的3科競賽，有P ×P 種選法；再從第二組的10人中選出2人參加其中2科競賽有P ×P 種選法；最后由乘法原理得出結(jié)論為（P ×P）×（P ×P）（種）。（這時同學(xué)B表示反對）

同學(xué)B說：如果第一組的3個人先選了3門科目，那么第二組的2人就沒有選擇的余地。所以第二步應(yīng)該是P ×P.（同學(xué)們都表示同意，但是同學(xué)C說太蘩）

同學(xué)C說：可以先分別從兩組中把5個人選出來，然后將這5個人在5門學(xué)科中排列，他列出的計算式是C ×C ×P（種）。（再次通過互相討論，都表示贊賞）

這樣原題的解答結(jié)果就“浮現(xiàn)”出來C ×C ×P（種）。

④ 老師總結(jié)：針對這樣的“分組排列”題，我們多采用“先選后排”的方法：先將需要排列的對象選定，再對它們進行排列。

以上是我一節(jié)課兩個例題的分析過程，旨在通過這種方法的嘗試（教學(xué)效果比較明顯），進一步活躍課堂氣氛，更全面地調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體作用，讓學(xué)生在互相討論的過程中學(xué)會自己分析轉(zhuǎn)換問題，解決問題。

用心

愛心

專心 2

第四篇：2016(好)高中數(shù)學(xué)排列組合問題常用的解題方法

初高中理科專業(yè)教學(xué)機構(gòu)

高中數(shù)學(xué)排列組合問題常用的解題方法

一、相鄰問題捆綁法

題目中規(guī)定相鄰的幾個元素并為一個組(當(dāng)作一個元素)參與排列． 例1 五人并排站成一排，如果甲、乙必須相鄰且乙在甲的右邊，那么不同的排法種數(shù)有 種。

分析：把甲、乙視為一人，并且乙固定在甲的右邊，則本題相當(dāng)于4人4的全排列，A4?24種。

二、相離問題插空法

元素相離(即不相鄰)問題，可先把無位置要求的幾個元素全排列，再把規(guī)定相離的幾個元素插入上述幾個元素間的空位和兩端．

例2 七個人并排站成一行，如果甲乙兩個必須不相鄰，那么不同排法的種數(shù)是。

分析：除甲乙外，其余5個排列數(shù)為A5種，再用甲乙去插6個空位有A652種，不同的排法種數(shù)是A5A6?3600種。

三、定序問題縮倍法

在排列問題中限制某幾個元素必須保持一定順序，可用縮小倍數(shù)的方法． 例3 A、B、C、D、E五個人并排站成一排，如果 B必須站A的右邊(A、B可不相鄰)，那么不同的排法種數(shù)有。

分析：B在A的右邊與B在A的左邊排法數(shù)相同，所以題設(shè)的排法只是5個元

15?60種。素全排列數(shù)的一半，即A

52四、標(biāo)號排位問題分步法

把元素排到指定號碼的位置上，可先把某個元素按規(guī)定排入，第二步再排另一個元素，如此繼續(xù)下去，依次即可完成．

例4 將數(shù)字1、2、3、4填入標(biāo)號為1、2、3、4的四個方格里，每格填一個數(shù)，則每個方格的標(biāo)號與所填數(shù)字均不相同的填法有。

分析：先把1填入方格中，符合條件的有3種方法，第二步把被填入方格的對應(yīng)數(shù)字填入其它三個方格，又有三種方法；第三步填余下的兩個數(shù)字，只有一種填法，共有3×3×1=9種填法。

五、有序分配問題逐分法

有序分配問題是指把元素按要求分成若干組，可用逐步下量分組法。例5 有甲、乙、丙三項任務(wù)，甲需2人承擔(dān)，乙丙各需1人承擔(dān)，從10人中選出4人承擔(dān)這三項任務(wù)，不同的選法總數(shù)有。

分析：先從10人中選出2人承擔(dān)甲項任務(wù)，再從剩下的8人中選1人承擔(dān)乙項任務(wù)，第三步從另外的7人中選1人承擔(dān)丙項任務(wù)，不同的選法共有211C10C8C7?2520種。

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六、多元問題分類法

元素多，取出的情況也有多種，可按結(jié)果要求，分成不相容的幾類情況分別計算，最后總計。

例6 由數(shù)字 0，1，2，3，4，5組成且沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有 個。

分析：按題意，個位數(shù)字只可能是0，1，2，3，4共5種情況，分別有511311311313個，A4A5A3A3,A3A3A3,A2A3A3,A3A3個，合并總計300個。

例7 從1，2，3，?100這100個數(shù)中，任取兩個數(shù)，使它們的乘積能被7整除，這兩個數(shù)的取法(不計順序)共有多少種？

分析：被取的兩個數(shù)中至少有一個能被7整除時，他們的乘積就能被7整除，將這100個數(shù)組成的集合視為全集I,能被7整除的數(shù)的集合記做A??7,14,21,98?共有14個元素,不能被7整除的數(shù)組成的集合記做A??1,2,3,4，10086個元素；由此可知，從A中任取2個元素的取法有?共有211，從A中任取一個，又從A中任取一個共有C14，兩種情形共符合要求的C14C86211取法有C14?C14C86?1295種。

例8 從1，2，?100這100個數(shù)中，任取兩個數(shù)，使其和能被4整除的取法(不計順序)有多少種？

分析：將I??1,2,3,100?分成四個不相交的子集，能被4整除的數(shù)集

97?，能被4除余2的數(shù)99?，易見這四個集合中A??4,8,12,集C??2,6,100?；能被4除余1的數(shù)集B??1,5,9，98?，能被4除余3的數(shù)集D??3,7,11,每一個有25個元素；從A中任取兩個數(shù)符合要；從B,D中各取一個數(shù)也符合要求；從C中任取兩個數(shù)也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求2112的取法共有C25種。?C25C25?C2

5七、交叉問題集合法

某些排列組合問題幾部分之間有交集，可用集合中求元素個數(shù)公式n(A?B)?n(A)?n(B)?n(A?B。)

例 9 從6名運動員中選出4個參加4×100m接力賽，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少種不同參賽方法？

分析：設(shè)全集Ⅰ＝｛6人中任取4人參賽的排列｝，A＝｛甲第一棒的排列｝，B＝｛乙跑第四棒的排列｝，根據(jù)求集合元素個數(shù)的公式得參賽方法共有：

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n(Ⅰ)－n(A)－ n(B)＋n(A∩B)＝P64?P53?P53?P42＝252(種)．

八、定位問題優(yōu)先法

某個(或幾個)元素要排在指定位置，可先排這個(幾個)元素，再排其他元素。

例10 1名老師和4名獲獎同學(xué)排成一排照像留念，若老師不在兩端，則有不同的排法有_______ _種。

41分析：老師在中間三個位置上選一個有A3種，4名同學(xué)在其余4個位置上有A414種方法；所以共有A3A4?72種。

九、多排問題單排法

把元素排成幾排的問題，可歸結(jié)為一排考慮，再分段處理。

例11 6個不同的元素排成前后兩排，每排3個元素，那么不同的排法種數(shù)是。

分析：前后兩排可看成一排的兩段，因此本題可看成6個不同的元素排6成一排，共A6?720種。

例12 8個不同的元素排成前后兩排，每排4個元素，其中某2個元素要排在前排，某 1個元素要排在后排，有多少種排法？

2分析：看成一排，某2個元素在前半段四個位置中選排2個，有A4種，某11個元素排在后半段的四個位置中選一個有A4種，其余5個元素任排5個位置上5125有A5種，故共有A4A4A5?5760種排法。

十、“至少”問題間接法

關(guān)于“至少”類型組合問題，用間接法較方便。例13 從4臺甲型和5臺乙型電視機中任取出3臺，其中至少要甲型和乙型電視機各一臺，則不同取法共有 種。

分析1：逆向思考，至少各一臺的反面就是分別只取一種型號，不取另一種

333型號的電視機，故不同的取法共有C9?C4?C5?70種。

分析2：至少要甲型和乙 型電視機各一臺可分兩種情況：甲型1臺乙型2臺；

2112甲型2臺乙型1臺；故不同的取法有C5C4?C5C4?70種。

十一、選排問題先取后排法

從幾類元素中取出符合題意的幾個元素，再安排到一定位置上，可用先取后排法。

例14 四個不同的球放入編號為1，2，3，4的四個盒中，則恰有一個空盒的放法共有_____ ___種

2分析：先取四個球中二個為一組，另二組各一個球的方法有C4種，再排：在 3

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323四個盒中每次排3個有A4種，故共有C4A4?144種。

例15 9名乒乓球運動員，其中男5名，女4名，現(xiàn)在要進行混合雙打訓(xùn)練，有多少種不同分組法？

22分析：先取男女運動員各2名，有C52C4種，這四名運動員混和雙打練習(xí)有A2222中排法，故共有C5C4A2?120種。

十二、部分合條件問題排除法

在選取總數(shù)中，只有一部分合條件，可從總數(shù)中減去不合條件數(shù)，即為所求。

例16 以一個正方體頂點為頂點的四面體共有 個。分析：正方體8個頂點從中每次取四點，理論上可構(gòu)成C84四面體，但6個表面和6個對角面的四個頂點共面都不能構(gòu)成四面體，所以四面體實際共有C84?12?58個。

例17 四面體的頂點和各棱中點共10點，在其中取4個不共面的點，不同的取法共有 種。

4分析：10個點中任取4個點共有C10種，其中四點共面的有三種情況：①在44四面體的四個面上，每面內(nèi)四點共面的情況為C6，四個面共有4C6個；②過空間四邊形各邊中點的平行四邊形共3個；③過棱上三點與對棱中點的三角形共6

44個；所以四點不共面的情況的種數(shù)是C10?4C6?3?6?141種。

十三、復(fù)雜排列組合問題構(gòu)造模型法

例18馬路上有編號為1，2，3?9九只路燈，現(xiàn)要關(guān)掉其中的三盞，但不能關(guān)掉相鄰的二盞或三盞，也不能關(guān)掉兩端的兩盞，求滿足條件的關(guān)燈方案有多少種？

分析：把此問題當(dāng)作一個排對模型，在6盞亮燈的5個空隙中插入3盞不亮3的燈C5種方法。所以滿足條件的關(guān)燈方案有10種。

十四、利用對應(yīng)思想轉(zhuǎn)化法

例19 圓周上有10點，以這些點為端點的弦相交于圓內(nèi)的交點有多少個？ 分析：因為圓的一個內(nèi)接四邊形的兩條對角線相交于圓內(nèi)一點，一個圓的內(nèi)接四邊形就對應(yīng)著兩條弦相交于圓內(nèi)的一個交點，于是問題就轉(zhuǎn)化為圓周上的410個點可以確定多少個不同的四邊形，顯然有C10個，所以圓周上有10點，以4這些點為端點的弦相交于圓內(nèi)的交點有C10個。

第五篇：2012(好)高中數(shù)學(xué)排列組合問題常用的解題方法

高中數(shù)學(xué)排列組合問題常用的解題方法

江蘇省濱海縣五汛中學(xué) 王玉娟

排列組合是高中數(shù)學(xué)的重點和難點之一，是進一步學(xué)習(xí)概率的基礎(chǔ)。排列組合問題通常聯(lián)系實際，生動有趣，并且能夠鍛煉同學(xué)們的邏輯推理能力和思維的縝密性，但題型多樣，思路靈活，不易掌握。實踐證明，備考有效方法是題型與解法歸類、識別模式、熟練運用，現(xiàn)將高中階段常用的排列問題和組合問題的解題方法歸納如下：

一、相鄰問題捆綁法

題目中規(guī)定相鄰的幾個元素并為一個組(當(dāng)作一個元素)參與排列． 例1 五人并排站成一排，如果甲、乙必須相鄰且乙在甲的右邊，那么不同的排法種數(shù)有 種。

分析：把甲、乙視為一人，并且乙固定在甲的右邊，則本題相當(dāng)于4人4的全排列，A4?24種。

二、相離問題插空法

元素相離(即不相鄰)問題，可先把無位置要求的幾個元素全排列，再把規(guī)定相離的幾個元素插入上述幾個元素間的空位和兩端．

例2 七個人并排站成一行，如果甲乙兩個必須不相鄰，那么不同排法的種數(shù)是。

分析：除甲乙外，其余5個排列數(shù)為A5種，再用甲乙去插6個空位有A652種，不同的排法種數(shù)是A5A6?3600種。

三、定序問題縮倍法

在排列問題中限制某幾個元素必須保持一定順序，可用縮小倍數(shù)的方法． 例3 A、B、C、D、E五個人并排站成一排，如果 B必須站A的右邊(A、B可不相鄰)，那么不同的排法種數(shù)有。

分析：B在A的右邊與B在A的左邊排法數(shù)相同，所以題設(shè)的排法只是5個元

15?60種。素全排列數(shù)的一半，即A

52四、標(biāo)號排位問題分步法

把元素排到指定號碼的位置上，可先把某個元素按規(guī)定排入，第二步再排另一個元素，如此繼續(xù)下去，依次即可完成．

例4 將數(shù)字1、2、3、4填入標(biāo)號為1、2、3、4的四個方格里，每格填一個數(shù)，則每個方格的標(biāo)號與所填數(shù)字均不相同的填法有。

分析：先把1填入方格中，符合條件的有3種方法，第二步把被填入方格的對應(yīng)數(shù)字填入其它三個方格，又有三種方法；第三步填余下的兩個數(shù)字，只有一種填法，共有3×3×1=9種填法。

五、有序分配問題逐分法

有序分配問題是指把元素按要求分成若干組，可用逐步下量分組法。例5 有甲、乙、丙三項任務(wù)，甲需2人承擔(dān)，乙丙各需1人承擔(dān)，從10人中選出4人承擔(dān)這三項任務(wù)，不同的選法總數(shù)有。

分析：先從10人中選出2人承擔(dān)甲項任務(wù)，再從剩下的8人中選1人承 擔(dān)乙項任務(wù)，第三步從另外的7人中選1人承擔(dān)丙項任務(wù)，不同的選法共有211C10C8C7?2520種。

六、多元問題分類法

元素多，取出的情況也有多種，可按結(jié)果要求，分成不相容的幾類情況分別計算，最后總計。

例6 由數(shù)字 0，1，2，3，4，5組成且沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有 個。

分析：按題意，個位數(shù)字只可能是0，1，2，3，4共5種情況，分別有1***個，A4A3A3,A3A3A3,A2A3A3,A3A3個，合并總計300個。A5例7 從1，2，3，?100這100個數(shù)中，任取兩個數(shù)，使它們的乘積能被7整除，這兩個數(shù)的取法(不計順序)共有多少種？

分析：被取的兩個數(shù)中至少有一個能被7整除時，他們的乘積就能被7整除，將這100個數(shù)組成的集合視為全集I,能被7整除的數(shù)的集合記做A??7,14,21,?98?共有14個元素,不能被7整除的數(shù)組成的集合記做A??1,2,3,?4，10086個元素；由此可知，從A中任取2個元素的取法有?共有211，從A中任取一個，又從A中任取一個共有C14，兩種情形共符合要求的C14C86211取法有C14?C14C86?1295種。

例8 從1，2，?100這100個數(shù)中，任取兩個數(shù)，使其和能被4整除的取法(不計順序)有多少種？

分析：將I??1,2,3?,100?分成四個不相交的子集，能被4整除的數(shù)集A??4,8,12,?100?；能被4除余1的數(shù)集B??1,5,9,?97?，能被4除余2的數(shù)集C??2,6,?,98?，能被4除余3的數(shù)集D??3,7,11,?99?，易見這四個集合中每一個有25個元素；從A中任取兩個數(shù)符合要；從B,D中各取一個數(shù)也符合要求；從C中任取兩個數(shù)也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求2112的取法共有C25種。?C25C25?C2

5七、交叉問題集合法

某些排列組合問題幾部分之間有交集，可用集合中求元素個數(shù)公式n(A?B)?n(A)?n(B)?n(A?B)。

例 9 從6名運動員中選出4個參加4×100m接力賽，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少種不同參賽方法？

分析：設(shè)全集Ⅰ＝｛6人中任取4人參賽的排列｝，A＝｛甲第一棒的排列｝，B＝｛乙跑第四棒的排列｝，根據(jù)求集合元素個數(shù)的公式得參賽方法共有： n(Ⅰ)－n(A)－ n(B)＋n(A∩B)＝P64?P53?P53?P42＝252(種)．

八、定位問題優(yōu)先法

某個(或幾個)元素要排在指定位置，可先排這個(幾個)元素，再排其他元素。

例10 1名老師和4名獲獎同學(xué)排成一排照像留念，若老師不在兩端，則有不同的排法有_______ _種。

14分析：老師在中間三個位置上選一個有A3種，4名同學(xué)在其余4個位置上有A414種方法；所以共有A3A4?72種。

九、多排問題單排法

把元素排成幾排的問題，可歸結(jié)為一排考慮，再分段處理。

例11 6個不同的元素排成前后兩排，每排3個元素，那么不同的排法種數(shù)是。

分析：前后兩排可看成一排的兩段，因此本題可看成6個不同的元素排6成一排，共A6?720種。

例12 8個不同的元素排成前后兩排，每排4個元素，其中某2個元素要排在前排，某 1個元素要排在后排，有多少種排法？

2分析：看成一排，某2個元素在前半段四個位置中選排2個，有A4種，某11個元素排在后半段的四個位置中選一個有A4種，其余5個元素任排5個位置上1255有A5種，故共有A4A4A5?5760種排法。

十、“至少”問題間接法

關(guān)于“至少”類型組合問題，用間接法較方便。例13 從4臺甲型和5臺乙型電視機中任取出3臺，其中至少要甲型和乙型電視機各一臺，則不同取法共有 種。

分析1：逆向思考，至少各一臺的反面就是分別只取一種型號，不取另一種

333型號的電視機，故不同的取法共有C9?C4?C5?70種。

分析2：至少要甲型和乙 型電視機各一臺可分兩種情況：甲型1臺乙型2臺；

2112甲型2臺乙型1臺；故不同的取法有C5C4?C5C4?70種。

十一、選排問題先取后排法

從幾類元素中取出符合題意的幾個元素，再安排到一定位置上，可用先取后排法。

例14 四個不同的球放入編號為1，2，3，4的四個盒中，則恰有一個空盒的放法共有_____ ___種

2分析：先取四個球中二個為一組，另二組各一個球的方法有C4種，再排：在233四個盒中每次排3個有A4種，故共有C4A4?144種。

例15 9名乒乓球運動員，其中男5名，女4名，現(xiàn)在要進行混合雙打訓(xùn)練，有多少種不同分組法？

22分析：先取男女運動員各2名，有C52C4種，這四名運動員混和雙打練習(xí)有A2222中排法，故共有C5C4A2?120種。

十二、部分合條件問題排除法

在選取總數(shù)中，只有一部分合條件，可從總數(shù)中減去不合條件數(shù)，即為所求。

例16 以一個正方體頂點為頂點的四面體共有 個。分析：正方體8個頂點從中每次取四點，理論上可構(gòu)成C84四面體，但6個表面和6個對角面的四個頂點共面都不能構(gòu)成四面體，所以四面體實際共有C84?12?58個。

例17 四面體的頂點和各棱中點共10點，在其中取4個不共面的點，不同的取法共有 種。

4分析：10個點中任取4個點共有C10種，其中四點共面的有三種情況：①在44四面體的四個面上，每面內(nèi)四點共面的情況為C6，四個面共有4C6個；②過空間四邊形各邊中點的平行四邊形共3個；③過棱上三點與對棱中點的三角形共6

44個；所以四點不共面的情況的種數(shù)是C10?4C6?3?6?141種。

十三、復(fù)雜排列組合問題構(gòu)造模型法

例18馬路上有編號為1，2，3?9九只路燈，現(xiàn)要關(guān)掉其中的三盞，但不能關(guān)掉相鄰的二盞或三盞，也不能關(guān)掉兩端的兩盞，求滿足條件的關(guān)燈方案有多少種？

分析：把此問題當(dāng)作一個排對模型，在6盞亮燈的5個空隙中插入3盞不亮3的燈C5種方法。所以滿足條件的關(guān)燈方案有10種。

說明：一些不易理解的排列組合題，如果能轉(zhuǎn)化為熟悉的模型如填空模型，排隊模型，裝盒模型可使問題容易解決。

十四、利用對應(yīng)思想轉(zhuǎn)化法

對應(yīng)思想是教材中滲透的一種重要的解題方法，它可以將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單問題處理。

例19 圓周上有10點，以這些點為端點的弦相交于圓內(nèi)的交點有多少個？ 分析：因為圓的一個內(nèi)接四邊形的兩條對角線相交于圓內(nèi)一點，一個圓的內(nèi)接四邊形就對應(yīng)著兩條弦相交于圓內(nèi)的一個交點，于是問題就轉(zhuǎn)化為圓周上的410個點可以確定多少個不同的四邊形，顯然有C10個，所以圓周上有10點，以4這些點為端點的弦相交于圓內(nèi)的交點有C10個。

以上介紹的各種方法是解決一般排列組合問題常用方法，并非絕對的。數(shù)學(xué)是一門非常靈活的課程，同一問題有時會有多種解法，所以解題時要注意不斷積 累經(jīng)驗，總結(jié)解題規(guī)律，掌握更多的解題技巧。