第一篇：導(dǎo)數(shù)的概念第一課時教案

數(shù)學(xué)歸納法第二課時教案（2010年4月7日）

課題 導(dǎo)數(shù)的概念第一課時

授課人

康玉梅

學(xué)校

三河市第二中學(xué)

1、知識目標(biāo)：掌握數(shù)學(xué)歸納法的定義，理解數(shù)學(xué)歸納法原理的兩個步驟，教學(xué)目標(biāo)： 會用數(shù)學(xué)歸納法證明簡單的與自然數(shù)有關(guān)的等式

2、能力目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力、理解能力和分析能力。

3、情感目標(biāo)：從理解學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法的必要性和重要性激發(fā)學(xué)生的求知欲

教學(xué)重點 教學(xué)難點 教學(xué)方法 教師活動

1、復(fù)習(xí)引入 明確數(shù)學(xué)歸納法的兩個原理缺一不可 對原理的準(zhǔn)確理解 講練結(jié)合

教

學(xué)

過

程

學(xué)

生活動

回顧 理解 記憶 記筆記

思考并回答問題

教具：多媒體

問題圓的切線與圓的關(guān)系

問題

2能否將圓的切線的概念推廣為一般曲線的切線：直線與曲線有唯一公共點時，直線叫曲線過該

點的切線？如果能，請說明理由；如果不能，請舉出反例。

問題

3為什么與拋物線對稱軸平行的直線不是拋物線的切線？ 111?11n?????1??2121?22?3n?(n?1)n?1

三、布置作業(yè)。練習(xí)冊 P337.338

四、板書設(shè)計

第二篇：《導(dǎo)數(shù)的概念》第一課時的教學(xué)反思6

《導(dǎo)數(shù)的概念》第一課時的教學(xué)反思

陳吾婷

在備《導(dǎo)數(shù)的概念》第一課時，對課本內(nèi)容作了一定的調(diào)整，設(shè)計了這樣的過程：由芝諾著名的一個悖論“飛矢不動”引入，然后利用瞬時速度來解釋飛矢在某一點的速度是存在的，然后再轉(zhuǎn)到曲線切線的討論上來。

應(yīng)該說，這樣的思路很自然，也很有趣。但是在第一節(jié)課實際的實施過程中，出現(xiàn)一些問題，使得學(xué)生在芝諾悖論之后，就慢慢地變成了“無聲”的狀態(tài)，這主要是一些推導(dǎo)中復(fù)雜的符號使然。第一節(jié)下課后，很快地做了一個反思，總結(jié)了如下幾點：

1．在推導(dǎo)瞬時速度時，應(yīng)該先講清楚牛頓的思路，即求位移的增量，求平均速度，再求極限。這樣再進(jìn)行推導(dǎo)，學(xué)生就有了方向，而不會象第一節(jié)課那樣，聽得慢，看著復(fù)雜的符號就頭暈。

在學(xué)習(xí)理論中，有個“先行組織者”的概念，“先行組織者”是先于學(xué)習(xí)任務(wù)本身呈現(xiàn)的一種引導(dǎo)性材料，它要比原學(xué)習(xí)任務(wù)本身有更高的抽象、概括和包容水平，并且能清晰地與認(rèn)知結(jié)構(gòu)中原有的觀念和新的學(xué)習(xí)任務(wù)關(guān)聯(lián)。可能在對于這樣牽涉到復(fù)雜符號的推導(dǎo)時，更需要有這樣的一個前提準(zhǔn)備。要不然學(xué)生就弄不清方向，從而被符號所困。

2．也是在推導(dǎo)瞬時速度時，應(yīng)該做一個圖解，使學(xué)生更清楚地看到增量的意義。第一節(jié)課正是沒有給出圖解，雖然對增量做了一定的強(qiáng)調(diào)，但是學(xué)生對增量的理解依然是抽象而非具體的。

3．推導(dǎo)完瞬時速度后，應(yīng)該點出對“飛矢不動”悖論的反駁，即在某一點是有速度的。第一節(jié)課中忘了說明這一點了，就使得學(xué)生不知道“飛矢不動”這個情境有什么用，也不知道與瞬時速度有什么聯(lián)系。

4．在介紹完曲線的切線后，給出一個很好的例子，即y=|x|在x=0處有沒有切線，可以先增加另一個變式——求x=1處的切線，這會使學(xué)生認(rèn)識得更深刻一點。最后最好能指出正如某一點的瞬時速度只有一個一樣，某一點的切線也應(yīng)該只有一條。

經(jīng)過課間幾分鐘的反思與調(diào)整，第二節(jié)課果然清晰了許多，也生動了許多。學(xué)生聽得也饒有興致。

課后，有兩個學(xué)生也分別提出了兩個很好的問題。第一個問題是在剛才這一例子中，沒有斜率難道就沒有切線嗎？第二個問題是如果切線垂直于x軸，按導(dǎo)數(shù)的解釋，如果斜率無窮大——即以前通常所說的極限不存在，那么切線不是也不存在嗎？

當(dāng)時給出了這樣的解釋：導(dǎo)數(shù)不存在，切線就不存在；導(dǎo)數(shù)無窮大實際上還是存在的，只不過是無窮大，而上面的例子中的在x=0的導(dǎo)數(shù)是真的不存在，這是有區(qū)別的?；丶衣飞舷肓艘幌拢⒉桓冶ＷC這樣的解釋的正確性，尤其是導(dǎo)數(shù)不存在，切線就不存在。到家一查，同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系主編的《高等數(shù)學(xué)》（第五版上冊）第82頁中就有切線的定義，包括了導(dǎo)數(shù)無窮大時的切線情況，在第85頁中就有y=|x|在x=0處切線不存在的例子。放心了！但是依然在思考的一個問題是：怎樣才能更加直觀地說明上例中的切線不存在呢？它又哪里去了呢？

第三篇：導(dǎo)數(shù)的概念教案

【教學(xué)課題】：§2.1 導(dǎo)數(shù)的概念（第一課時）

【教學(xué)目的】：能使學(xué)生深刻理解在一點處導(dǎo)數(shù)的概念，能準(zhǔn)確表達(dá)其定義；明確其實際背景并給出物理、幾何解釋；能夠從定義出發(fā)求某些函數(shù)在一點處的導(dǎo)數(shù)；明確一點處的導(dǎo)數(shù)與單側(cè)導(dǎo)數(shù)、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系。

【教學(xué)重點】：在一點處導(dǎo)數(shù)的定義。【教學(xué)難點】：在一點處導(dǎo)數(shù)的幾種等價定義及其應(yīng)用。【教學(xué)方法】：系統(tǒng)講授，問題教學(xué)，多媒體的利用等?！窘虒W(xué)過程】：

一）導(dǎo)數(shù)的思想的歷史回顧

導(dǎo)數(shù)的概念和其它的數(shù)學(xué)概念一樣是源于人類的實踐。導(dǎo)數(shù)的思想最初是由法國數(shù)學(xué)家費馬（Fermat）為研究極值問題而引入的，但導(dǎo)數(shù)作為微積分的最主要的概念，卻是英國數(shù)學(xué)家牛頓（Newton）和德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲（Leibniz）在研究力學(xué)與幾何學(xué)的過程中建立起來的。

二）兩個來自物理學(xué)與幾何學(xué)的問題的解決

問題1（以變速直線運(yùn)動的瞬時速度的問題的解決為背景）已知：自由落體運(yùn)動方程為：s(t)?12gt，t?[0,T]，求：落體在t0時刻（t0?[0,T]）的瞬時速度。2t0t

問題解決：設(shè)t為t0的鄰近時刻，則落體在時間段[t0,t]（或[t,t0]）上的平均速度為

v?若t?t0時平均速度的極限存在，則極限

s(t)?s(t0)

t?t0v?limt?t0s(t)?s(t0)

t?t0為質(zhì)點在時刻t0的瞬時速度。

問題2（以曲線在某一點處切線的斜率的問題的解決為背景）已知：曲線y?f(x)上點M(x0,y0)，求：M點處切線的斜率。

下面給出切線的一般定義；設(shè)曲線C及曲線C上的一點M，如圖，在M外C上另外取一點N，作割線MN，當(dāng)N沿著C趨近點M時，如果割線MN繞點M旋轉(zhuǎn)而趨于極 限位置MT，直線MT就稱為曲線C在點M處的切線。

問題解決：取在C上M附近一點N(x,y)，于是割線PQ的斜率為

tan??y?y0f(x)?f(x0)（?為割線MN的傾角）?x?x0x?x0當(dāng)x?x0時，若上式極限存在，則極限

k?tan??f(x)?fx(0)（?為割線MT的傾角）limx?x0x?x0為點M處的切線的斜率。

上述兩問題中，第一個是物理學(xué)的問題，后一個是幾何學(xué)問題，分屬不同的學(xué)科，但問 題的解決都?xì)w結(jié)到求形如

limx?x0f(x)?f(x0）

（1）

x?x0的極限問題。事實上，在學(xué)習(xí)物理學(xué)時會發(fā)現(xiàn)，在計算諸如物質(zhì)比熱、電流強(qiáng)度、線密度等問題中，盡管其背景各不相同，但最終都化歸為討論形如（1）的極限問題。也正是這類問題的研究，促使“導(dǎo)數(shù)”的概念的誕生。

三）導(dǎo)數(shù)的定義

定義

設(shè)函數(shù)y?f(x)在x0的某鄰域內(nèi)有定義，若極限

x?x0limf(x)?f(x0）

x?x0存在，則稱函數(shù)f在點x0處可導(dǎo)，并稱該極限為f在點x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f'(x0)。即

f'(x0)?limx?x0f(x)?f(x0）

（2）

x?x0也可記作y?x?x，odydx，x?xodf(x)。若上述極限不存在，則稱f在點x0處不可導(dǎo)。

dxx?xof在x0處可導(dǎo)的等價定義：

設(shè)x?x0??x,?y?f(x0??x)?f(x0)，若x?x0則等價于?x?0，如果 函數(shù)f在點x0處可導(dǎo)，可等價表達(dá)成為以下幾種形式： f'(x0)?limx?x0?yf(x)?f(x0）

（3）

?f'(x0)?lim?x?0?xx?x0?f'(x0)?lim?x?0f(x0??x)?f(x0）

（4）

?x?f'(x0)?lim四）

f(x0?)?f(x0）?0

（5）

利用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)的幾個例子

例1 求f(x)?x2在點x?1處的導(dǎo)數(shù)，并求曲線在點(1,1)處的切線方程。解 由定義

?yf(1??x)?f(1)(1??x)2?1f(1)?lim?lim?lim

?x?0?x?x?0?x?0?x?x'2?x??x2?lim?lim(2??x)?2 ?x?0?x?0?x于是曲線在(1,1)處的切線斜率為2，所以切線方程為y?1?2(x?1)，即y?2x?1。

例2 設(shè)函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，f?(0)存在，證明：f?(0)?0。

(x)

?f(?x)?f(??x)證

?f(x)?f? 又f(0)?lim

?lim?x?0'?x?0f(0??x)?f(0)f(?x)?f(0)?lim ?x?0?x?xf(??x)?f(0)f[0?(??x)]?f(0)??lim??f?(0)

?x?0?x??x?f?(0)?0

注意：f'(x0)?limf(x0?)?f(x0）這種形式的靈活應(yīng)用。此題的?0為??x。

1?xsin,x?0?x例3 討論函數(shù)f(x)?? 在x?0處的連續(xù)性，可導(dǎo)性。?0,x?0?解

首先討論f(x)在x?0處的連續(xù)性：limf(x)?limxsinx?0x?01?0?f(0)x即f(x)在x?0處連續(xù)。

再討論f(x)在x?0處的可導(dǎo)性：

?x?0limf(0??x)?f(0)?lim?x?0?x

?xsin1?01?x

此極限不存在 ?limsin?x?0?x?x即f(x)在x?0處不可導(dǎo)。

問

怎樣將此題的f(x)在x?0的表達(dá)式稍作修改，變?yōu)閒(x)在x?0處可導(dǎo)？

1?n?1xsinx,?0?x答 f(x)?? n?1,2,3?，即可。

?0,x?0?四）可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系

由上題可知；在一點處連續(xù)不一定可導(dǎo)。反之，若設(shè)f(x)在點x0可導(dǎo)，則

?y?f'(x0)

?x?0?xlim由極限與無窮小的關(guān)系得：

?y?f'(x0)?x?o(?x)，所以當(dāng)?x?0，有?y?0。即f在點x0連續(xù)。

故在一點處連續(xù)與可導(dǎo)的關(guān)系是：連續(xù)不一定可導(dǎo)，可導(dǎo)一定連續(xù)。

五）單側(cè)導(dǎo)數(shù)的概念

例4 證明函數(shù)f(x)?|x|在x?0處不可導(dǎo)。證明 ?lim?x?0f(x)?f(0)xf(x)?f(0)?x?lim?1lim?lim??1，x?0?xx?0?x?0?xx?0x?0?limx?0f(x)?f(0)極限不存在。

x?0故f(x)?|x|在x?0處不可導(dǎo)。

在函數(shù)分段點處或區(qū)間端點等處，不得不考慮單側(cè)導(dǎo)數(shù)：

定義

設(shè)函數(shù)y?f(x)在點x0的某右鄰域(x0,x0??)上有定義，若右極限

?x?0lim?f(x0??x)?f(x0）?y?lim?（0??x??）?x?0?x?x存在，則稱該極限為f在點x0的右導(dǎo)數(shù)，記作f?'(x0)。

?左導(dǎo)數(shù)

f?'(x0)?yli?m。?x?0?x左、右導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為單側(cè)導(dǎo)數(shù)。

導(dǎo)數(shù)與左、右導(dǎo)數(shù)的關(guān)系：若函數(shù)y?f(x)在點x0的某鄰域內(nèi)有定義，則f'(x0)存在?f?'(x0)，f?'(x0)都存在，且f?'(x0)=f?'(x0)。例5 設(shè)f(x)??解 由于 ?1?cosx, x?0，討論f(x)在x?0處的可導(dǎo)性。

x?0?x , f?'(0)?lim??x?0f(x0??x)?f(x0)1?cos?x?lim??0 ?x?0?x?xf(x0??x)?f(x0)?x?lim??1 ?x?0?x?xf?'(0)?lim??x?0從而f?'(0)?f?'(0)，故f(x)在x?0處不可導(dǎo)。

六）小結(jié): 本課時的主要內(nèi)容要求：

① 深刻理解在一點處導(dǎo)數(shù)的概念，能準(zhǔn)確表達(dá)其定義；

② 注意f'(x0)?limf(x0?)?f(x0）這種形式的靈活應(yīng)用。

?0③ 明確其實際背景并給出物理、幾何解釋； ④ 能夠從定義出發(fā)求某些函數(shù)在一點處的導(dǎo)數(shù)；

⑤ 明確導(dǎo)數(shù)與單側(cè)導(dǎo)數(shù)、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系。

第四篇：《數(shù)列概念》(第一課時)教案

數(shù)列概念學(xué)案

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

設(shè)計人：李九根

了解數(shù)列的概念和數(shù)列幾種常見表示方法（列表、圖像、通項公式）并能根據(jù)一定條件求數(shù)列的通項公式。學(xué)習(xí)重點：數(shù)列概念

學(xué)習(xí)難點：根據(jù)條件求數(shù)列的通項公式 學(xué)習(xí)過程：

一、課前準(zhǔn)備：閱讀P3—4

二、新課導(dǎo)入：

①什么是數(shù)列數(shù)： ②數(shù)列項是： ③按項分類數(shù)列分為： 和 ④數(shù)列通項公式： 自主測評

1、判斷下列是否有通項公式若有，寫出其通項公式。①3，3，3，3……

②2，4，6，8，10…… ③1，3，5，7，9……

④0，1，0，1，0，1…… ⑤0，1，-2，4，-7，6，10，5，9……

2、數(shù)列{an}中，an=log2(n2+3)-2,寫出數(shù)列前五項，log32是這個數(shù)列的第幾項 探究：（1）是不是所有數(shù)列都有通項公式，能否舉例說明

（2）若數(shù)列有通項公式，通項公式是不是唯一的，若不是能否舉例說明

三、鞏固應(yīng)用

例1.P5 試一試：P6 T1-2 例2.P5 試一試：P6 T3、寫出下列數(shù)列的一個通項公式 ①-2，-2，-2，-2……

②7，77，777，7777…… ③0.7，0.77，0.777，0.7777……

④3，5，9，17，33……

⑤0，-1，0，1，0，-1，0，1……

⑥11126,3,2,3……

四、總結(jié)提升

1、探究新知：

2、數(shù)列通項公式an與函數(shù)有何聯(lián)系

五、知識拓展

數(shù)列前幾項和Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an 且

a???a1(n?1)n?sn?sn?1(n≥2)

六、能力拓展

1、數(shù)列1g2101×2,1g2102×3,……1g210n(n+1),……中首次出現(xiàn)負(fù)值的項是第幾項≥≤

2、已知數(shù)例{a2n}的通項公式an=n-5n+4（1）數(shù)列{an}中有多少項是負(fù)項？

（2）當(dāng)n為何值時，an有最小值，最小值是多少？

3、已知數(shù)列{an}的前n項和sn=2n2+n+1，求數(shù)列{an}的通項公式？

自我評價：這節(jié)課你學(xué)到了什么，你認(rèn)為做自己的好的地方在哪里？

作業(yè)：P9

A：T4

T6

B：T1

第五篇：《導(dǎo)數(shù)的概念》(第1課時)教案1

導(dǎo)數(shù)的概念（第1課時）

一、教學(xué)目標(biāo)：

1．了解曲線的切線的概念．

2．在了解瞬時速度的基礎(chǔ)上，抽象出變化率的概念．

3．掌握切線的斜率、瞬時速度，它們都是一種特殊的極限，為學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的定義奠定基礎(chǔ)．

二、教學(xué)重點：切線的概念和瞬時速度的概念．

教學(xué)難點：在了解曲線的切線和瞬時速度的基礎(chǔ)上抽象出變化率的概念．

三、教學(xué)用具：多媒體

四、教學(xué)過程： 1．曲線的切線

如圖，設(shè)曲線C是函數(shù)y?f(x)的圖像，點P(x0,y0)是曲線C上一點，點Q(x0??x,y0??y)是曲線C上與點P鄰近的任一點．作割線PQ，當(dāng)點Q沿著曲線C無限地趨近于點P，割線PQ便無限地趨近于某一極限位置PT．我們就把極限位置上的直線PT，叫做曲線C在點P處的切線．

問：怎樣確定曲線C在點P處的切線呢？因為P是給定的，根據(jù)解析幾何中直線的點斜式方程的知識，只要求出切線的斜率就夠了．設(shè)割線PQ的傾斜角為?，切線PT的傾斜角為?，既然割線PQ的極限位置上的直線PT是切線，所以割線PQ斜率的極限就是切線PT的斜率tan?，即tan??lim2f(x0??x)?f(x0)?y?lim.?x?0?x?x?0?x例題

求曲線y?x?1在點P（1，2）處的切線的斜率k．

解：?y?f(x0??x)?f(x0)?f(1??x)?f(1)?(1??x)2?1?(1?1)??x2?2?x

?y?x2?2?x???x?2 ?x?x∴k?lim?y?lim(?x?2)?2，即k?2．

?x?0?x?x?02．瞬時速度

我們知道，物體作直線運(yùn)動時，它的運(yùn)動規(guī)律可用函數(shù)s?s(t)描述． 下面以自由落體運(yùn)動為例進(jìn)行分析． 已知s?12gt． 2（1）計算t從3秒到3.1秒、3.01秒、3.001秒、3.0001秒……各段內(nèi)平均速度．（2）求t?3秒時的瞬時速度．

解：（1）?3,3.1?,?t?3.1?3?0.1,?t指時間改變量．

?s?s(3.1)?s(3)?v?11g?3.12?g?32?0.3059.?s指位置改變量． 22?s0.3059??3.059.?t0.1其余各段時間內(nèi)的平均速度，事先刻在光碟上，待學(xué)生回答完第一時間內(nèi)的平均速度后，即用多媒體出示，讓學(xué)生思考在各段時間內(nèi)平均速度的變化情況．

?s?s隨?t變化而變化，?t越小，越接近?t?t?s于一個定值，由極限定義可知，這個值就是?t?0時，的極限．

?t11g?(3??t)2?g?32?ss(3??t)?s(3)2 v?lim?lim?lim2?t?0?t?t?0?t?0?t?t1 ?glim(6??t)?3g?29.4（米/秒）

2?t?0?s問：非勻速直線運(yùn)動的瞬時速度是怎樣定義的？（當(dāng)?t?0時，平均速度的極限）

?t（2）從（1）可見某段時間內(nèi)的平均速度教師引導(dǎo)，學(xué)生進(jìn)行歸納：求非勻速直線運(yùn)動在時刻t0的瞬時速度的方法如下： 非勻速直線運(yùn)動的規(guī)律s?s(t)

時間改變量?t，位置改變量?s?s(t0?t)?s(t0)平均速度v??s?s，瞬時速度v?lim．

?t?0?t?t一般地，如果物體的運(yùn)動規(guī)律是s?s(t)，物體在時刻t的瞬時速度v，就是物體在t到t??t這段時間內(nèi)，當(dāng)?t?0時，平均速度的極限，即

v?lim?ss(t??t)?s(t)?lim

?t?0?t?t?0?t例題

若一物體運(yùn)動方程如下：

2?(0?t?3)(1)?3t?2 s?? 2?(2)?29?3(t?3)(t?3)求此物體在t?1和t?3時的瞬時速度．

2解：當(dāng)t?1時，s?3t?2 ?ss(t??t)?s(t)3(1??t)2?2?3?12?2v??lim?lim?t?0?t?0?t?t?t 26?t?3?t ?lim?lim(6?3?t)?6.?t?0?t?0?t當(dāng)t?3時，s?29?3(t?3)2

?ss(t??t)?s(t)29?3(3??t?3)2?29?3(3?3)23(?t)2v??lim?lim?lim?t?0?t?0?t?t?0?t?t?t

?lim3?t?0.?t?0所以，物體在t?1和t?3時的瞬時速度分別是6和0． 3．課堂練習(xí)（學(xué)生練習(xí)后教師再講評）

（1）求y?x3?2x?2在x?2處的切線的斜率． 解：?y?f(x0??x)?f(x0)

?f(2??x)?f(2)

?(2??x)3?2(2??x)?2?(23?2?2?2)

?10?x?6(?x)2?(?x)3?y?10?6?x?(?x)2 ?x?y?lim(10?6?x??x2)?10.∴k?lim?x?0?x?x?0（2）教科書第111頁練習(xí)第1、2題． 4．課堂小結(jié)

（1）曲線的切線．（2）瞬時速度．

（3）求切線的斜率、瞬時速度的步驟．

五、布置作業(yè)

1．求下列曲線在指定點處的切線斜率．（1）y??x?2,x?2處，（2）y?231,x?0處． x?12．已知某質(zhì)點按規(guī)律s?2t?2t（米）作直線運(yùn)動．求：（1）該質(zhì)點在運(yùn)動前3秒內(nèi)的平均速度；（2）質(zhì)點在2秒到3秒內(nèi)的平均速度；（3）質(zhì)點在3秒時的瞬時速度． 解：1．（1）k??12，（2）k??1；

2．（1）8米/秒，（2）12米/秒，（3）14米/秒．