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      導(dǎo)數(shù)的概念教學(xué)設(shè)計(jì)

      時(shí)間:2019-05-13 01:12:27下載本文作者:會(huì)員上傳
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      第一篇:導(dǎo)數(shù)的概念教學(xué)設(shè)計(jì)

      《導(dǎo)數(shù)的概念》教學(xué)設(shè)計(jì)

      1.教學(xué)目標(biāo)

      (1)知識(shí)與技能目標(biāo):掌握導(dǎo)數(shù)的概念,并能夠利用導(dǎo)數(shù)的定義計(jì)算導(dǎo)數(shù).(2)過程與方法目標(biāo):通過引入導(dǎo)數(shù)的概念這一過程,讓學(xué)生掌握從具體到抽象,特殊到一般的思維方法;領(lǐng)悟極限思想;提高類比歸納、抽象概括的思維能力.

      (3)情感、態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo):

      通過合作與交流,讓學(xué)生感受探索的樂趣與成功的喜悅,體會(huì)數(shù)學(xué)的理性與嚴(yán)謹(jǐn),激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的熱愛,養(yǎng)成實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度.

      2.教學(xué)重、難點(diǎn)

      重點(diǎn):導(dǎo)數(shù)的定義和利用定義如何計(jì)算導(dǎo)數(shù). 難點(diǎn):對(duì)導(dǎo)數(shù)概念的理解.

      3.教學(xué)方法

      1.教法:引導(dǎo)式教學(xué)法

      在提出問題的背景下,給學(xué)生創(chuàng)設(shè)自主探究、合作交流的空間,指導(dǎo)學(xué)生類比探究形成導(dǎo)數(shù)概念的形成.

      2.教學(xué)手段:多媒體輔助教學(xué)

      4.教學(xué)過程

      (一)情境引入

      導(dǎo)數(shù)的概念和其它的數(shù)學(xué)概念一樣是源于人類的實(shí)踐。導(dǎo)數(shù)的思想最初是由法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬(Fermat)為研究極值問題而引入的,但導(dǎo)數(shù)作為微積分的最主要的概念,卻是英國(guó)數(shù)學(xué)家牛頓(Newton)和德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茲(Leibniz)在研究力學(xué)與幾何學(xué)的過程中建立起來的。

      17世紀(jì)數(shù)學(xué)家遇到的三類問題:

      一是光的反射問題。光的反射和折射在17世紀(jì)是一個(gè)十分盛行的研究課題,早在公元1世紀(jì),古希臘數(shù)學(xué)家海倫(Heron)就已經(jīng)證明了光的反射定律:光射向平面時(shí),入射角等于反射角。海倫還將該定律推廣到圓弧的情形,此時(shí),入射光與反射光與圓弧的切線所成角相等。那么,對(duì)于其他曲線,光又如何反射呢?這就需要確定曲線的切線。

      CBCBAA

      圖 1 光在平面上的反射 圖 2 光在球面上的反射

      二是曲線運(yùn)動(dòng)的速度問題。對(duì)于直線運(yùn)動(dòng),速度方向與位移方向相同或相反,但如何確定曲線運(yùn)動(dòng)的速度方向呢?這就需要確定曲線的切線。

      三是曲線的交角問題。曲線的交角是一個(gè)古老的難題。自古希臘以來,人們對(duì)圓弧和直線構(gòu)成的角——牛頭角(圖3中AB弧與AC構(gòu)成的角)和弓形角(圖4中AB與ACB弧所構(gòu)成的角)即有過很多爭(zhēng)議。17世紀(jì)數(shù)學(xué)家遇到的更一般的問題是:如何求兩條相交曲線

      所構(gòu)成的角呢?這就需要確定曲線在交點(diǎn)處的切線。(二)探索新知

      問題1 已知:勻加速直線運(yùn)動(dòng)方程為:s(t)?v0t?刻(t0?[0,T])的瞬時(shí)速度。

      問題解決:設(shè)t為t0的鄰近時(shí)刻,則落體在時(shí)間段[t0,t](或[t,t0])上的平均速度為

      12at,t?[0,T],求:物體在t0時(shí)2v?若t?t0時(shí)平均速度的極限存在,則極限

      s(t)?s(t0)

      t?t0v?limt?t0s(t)?s(t0)

      t?t0為質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻t0的瞬時(shí)速度。

      問題2已知:曲線y?f(x)上點(diǎn)M(x0,y0),求:M點(diǎn)處切線的斜率。

      下面給出切線的一般定義;設(shè)曲線C及曲線C上的一點(diǎn)M,如圖,在M外C上另外取一點(diǎn)N,作割線MN,當(dāng)N沿著C趨近點(diǎn)M時(shí),如果割線MN繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)而趨于極限位置MT,直線MT就稱為曲線C在點(diǎn)M處的切線。

      問題解決:取在C上M附近一點(diǎn)N(x,y),于是割線PQ的斜率為

      tan??y?y0f(x)?f(x0)(?為割線MN的傾角)?x?x0x?x0當(dāng)x?x0時(shí),若上式極限存在,則極限

      k?tan??為點(diǎn)M處的切線的斜率。

      導(dǎo)數(shù)的定義

      定義

      設(shè)函數(shù)y?f(x)在x0的某鄰域內(nèi)有定義,若極限limx?x0f(x)?fx(0)(?為割線MT的傾角)limx?x0x?x0f(x)?f(x0)存在,則稱函數(shù)

      x?x0

      f在點(diǎn)x0處可導(dǎo),并稱該極限為f在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù),記作f'(x0)。

      即 f'(x0)?(2)

      也可記作y?x?x,of(x)?fx(0)

      limx?x0x?x0dydx,x?xodf(x)。若上述極限不存在,則稱f在點(diǎn)x0處不可導(dǎo)。

      dxx?xof在x0處可導(dǎo)的等價(jià)定義:

      設(shè)x?x0??x,?y?f(x0??x)?f(x0),若x?x0則等價(jià)于?x?0,如果 函數(shù)f在點(diǎn)x0處可導(dǎo),可等價(jià)表達(dá)成為以下幾種形式:

      f'(x0)?limx?x0?yf(x)?f(x0)

      ?f'(x0)?lim?x?0?xx?x0?f'(x0)?lim?x?0f(x0??x)?f(x0)

      ?x單側(cè)導(dǎo)數(shù)的概念

      在函數(shù)分段點(diǎn)處或區(qū)間端點(diǎn)等處,不得不考慮單側(cè)導(dǎo)數(shù):

      定義

      設(shè)函數(shù)y?f(x)在點(diǎn)x0的某右鄰域(x0,x0??)上有定義,若右極限

      ?x?0lim?f(x0??x)?f(x0)?y?lim?(0??x??)?x?x?0?x存在,則稱該極限為f在點(diǎn)x0的右導(dǎo)數(shù),記作f?'(x0)。

      ?左導(dǎo)數(shù)

      f?'(x0)?yli?m。?x?0?x左、右導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為單側(cè)導(dǎo)數(shù)。

      導(dǎo)數(shù)與左、右導(dǎo)數(shù)的關(guān)系:若函數(shù)y?f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)有定義,則f'(x0)存在?f?'(x0),f?'(x0)都存在,且f?'(x0)=f?'(x0)。

      (三)知識(shí)鞏固

      2例題1 求f(x)?x在點(diǎn)x?1處的導(dǎo)數(shù),并求曲線在點(diǎn)(1,1)處的切線方程。

      解:由定義可得:

      ?yf(1??x)?f(1)(1??x)2?1f'(1)?lim?lim?lim

      ?x?0?x?x?0?x?0?x?x2?x??x2?lim?lim(2??x)?2 ?x?0?x?0?x附注:在解決切線問題時(shí),要熟悉導(dǎo)數(shù)的定義,并能通過導(dǎo)數(shù)的幾何意義來解決一般問題

      例題2設(shè)函數(shù)f(x)為偶函數(shù),f?(0)存在,證明:f?(0)?0。

      'f(x)?f(?x)?f(?x)?f(??x)

      f(0??x)?f(0)f(?x)?f(0)?lim ?x?0?x?xf(??x)?f(0)f[0?(??x)]?f(0)??lim??f?(0)

      ?x?0?x??x 又f(0)?lim ?x?0 ?lim?x?0?f?(0)?0

      附注:需要注意公式f'(x0)?limx?x0f(x)?f(x0)的靈活運(yùn)用,它可以變化成其他的形式。

      x?x0例3 證明函數(shù)f(x)?|x|在x?0處不可導(dǎo)。

      證明

      x?0lim?f(x)?f(0)xf(x)?f(0)?x?lim?1lim?lim??1,???x?0x?0x?0x?0xx?0x?limx?0f(x)?f(0)極限不存在。

      x?0故f(x)?|x|在x?0處不可導(dǎo)。

      附注:判斷一個(gè)函數(shù)在某點(diǎn)處是否可導(dǎo),只需要考慮該點(diǎn)處的左右導(dǎo)數(shù)是否相等即可。

      (四)應(yīng)用提高 求曲線y?x在點(diǎn)(-1,-1)處的切線方程為(A)x?2A.y=2x+1 B.y=2x-1 C.y=-2x-3 D.y=-2x-2

      (五)小結(jié)

      本節(jié)課主要學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的基本概念,在經(jīng)歷探究導(dǎo)數(shù)概念的過程中,讓學(xué)生感受導(dǎo)數(shù)的形成,并對(duì)導(dǎo)數(shù)的幾何意義有較深刻的認(rèn)識(shí)。

      本節(jié)課中所用數(shù)學(xué)思想方法:逼近、類比、特殊到一般。

      (六)作業(yè)布置

      1.已知f'(1)?2012,計(jì)算:

      f(1??x)?f(1)f(1??x)?f(1)(2)lim

      ?x?0?x?0?x??xf(1)?f(1??x)f(1?2?x)?f(1)(3)lim(4)lim

      ?x?0?x?04?x?x(1)lim2.計(jì)算函數(shù)f(x)??2x?3在點(diǎn)(1,1)處切線的方程。2

      第二篇:導(dǎo)數(shù)的概念教案

      【教學(xué)課題】:§2.1 導(dǎo)數(shù)的概念(第一課時(shí))

      【教學(xué)目的】:能使學(xué)生深刻理解在一點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的概念,能準(zhǔn)確表達(dá)其定義;明確其實(shí)際背景并給出物理、幾何解釋;能夠從定義出發(fā)求某些函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù);明確一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)與單側(cè)導(dǎo)數(shù)、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系。

      【教學(xué)重點(diǎn)】:在一點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的定義。【教學(xué)難點(diǎn)】:在一點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的幾種等價(jià)定義及其應(yīng)用?!窘虒W(xué)方法】:系統(tǒng)講授,問題教學(xué),多媒體的利用等?!窘虒W(xué)過程】:

      一)導(dǎo)數(shù)的思想的歷史回顧

      導(dǎo)數(shù)的概念和其它的數(shù)學(xué)概念一樣是源于人類的實(shí)踐。導(dǎo)數(shù)的思想最初是由法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬(Fermat)為研究極值問題而引入的,但導(dǎo)數(shù)作為微積分的最主要的概念,卻是英國(guó)數(shù)學(xué)家牛頓(Newton)和德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茲(Leibniz)在研究力學(xué)與幾何學(xué)的過程中建立起來的。

      二)兩個(gè)來自物理學(xué)與幾何學(xué)的問題的解決

      問題1(以變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度的問題的解決為背景)已知:自由落體運(yùn)動(dòng)方程為:s(t)?12gt,t?[0,T],求:落體在t0時(shí)刻(t0?[0,T])的瞬時(shí)速度。2t0t

      問題解決:設(shè)t為t0的鄰近時(shí)刻,則落體在時(shí)間段[t0,t](或[t,t0])上的平均速度為

      v?若t?t0時(shí)平均速度的極限存在,則極限

      s(t)?s(t0)

      t?t0v?limt?t0s(t)?s(t0)

      t?t0為質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻t0的瞬時(shí)速度。

      問題2(以曲線在某一點(diǎn)處切線的斜率的問題的解決為背景)已知:曲線y?f(x)上點(diǎn)M(x0,y0),求:M點(diǎn)處切線的斜率。

      下面給出切線的一般定義;設(shè)曲線C及曲線C上的一點(diǎn)M,如圖,在M外C上另外取一點(diǎn)N,作割線MN,當(dāng)N沿著C趨近點(diǎn)M時(shí),如果割線MN繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)而趨于極 限位置MT,直線MT就稱為曲線C在點(diǎn)M處的切線。

      問題解決:取在C上M附近一點(diǎn)N(x,y),于是割線PQ的斜率為

      tan??y?y0f(x)?f(x0)(?為割線MN的傾角)?x?x0x?x0當(dāng)x?x0時(shí),若上式極限存在,則極限

      k?tan??f(x)?fx(0)(?為割線MT的傾角)limx?x0x?x0為點(diǎn)M處的切線的斜率。

      上述兩問題中,第一個(gè)是物理學(xué)的問題,后一個(gè)是幾何學(xué)問題,分屬不同的學(xué)科,但問 題的解決都?xì)w結(jié)到求形如

      limx?x0f(x)?f(x0)

      (1)

      x?x0的極限問題。事實(shí)上,在學(xué)習(xí)物理學(xué)時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn),在計(jì)算諸如物質(zhì)比熱、電流強(qiáng)度、線密度等問題中,盡管其背景各不相同,但最終都化歸為討論形如(1)的極限問題。也正是這類問題的研究,促使“導(dǎo)數(shù)”的概念的誕生。

      三)導(dǎo)數(shù)的定義

      定義

      設(shè)函數(shù)y?f(x)在x0的某鄰域內(nèi)有定義,若極限

      x?x0limf(x)?f(x0)

      x?x0存在,則稱函數(shù)f在點(diǎn)x0處可導(dǎo),并稱該極限為f在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù),記作f'(x0)。即

      f'(x0)?limx?x0f(x)?f(x0)

      (2)

      x?x0也可記作y?x?x,odydx,x?xodf(x)。若上述極限不存在,則稱f在點(diǎn)x0處不可導(dǎo)。

      dxx?xof在x0處可導(dǎo)的等價(jià)定義:

      設(shè)x?x0??x,?y?f(x0??x)?f(x0),若x?x0則等價(jià)于?x?0,如果 函數(shù)f在點(diǎn)x0處可導(dǎo),可等價(jià)表達(dá)成為以下幾種形式: f'(x0)?limx?x0?yf(x)?f(x0)

      (3)

      ?f'(x0)?lim?x?0?xx?x0?f'(x0)?lim?x?0f(x0??x)?f(x0)

      (4)

      ?x?f'(x0)?lim四)

      f(x0?)?f(x0)?0

      (5)

      利用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)的幾個(gè)例子

      例1 求f(x)?x2在點(diǎn)x?1處的導(dǎo)數(shù),并求曲線在點(diǎn)(1,1)處的切線方程。解 由定義

      ?yf(1??x)?f(1)(1??x)2?1f(1)?lim?lim?lim

      ?x?0?x?x?0?x?0?x?x'2?x??x2?lim?lim(2??x)?2 ?x?0?x?0?x于是曲線在(1,1)處的切線斜率為2,所以切線方程為y?1?2(x?1),即y?2x?1。

      例2 設(shè)函數(shù)f(x)為偶函數(shù),f?(0)存在,證明:f?(0)?0。

      (x)

      ?f(?x)?f(??x)證

      ?f(x)?f? 又f(0)?lim

      ?lim?x?0'?x?0f(0??x)?f(0)f(?x)?f(0)?lim ?x?0?x?xf(??x)?f(0)f[0?(??x)]?f(0)??lim??f?(0)

      ?x?0?x??x?f?(0)?0

      注意:f'(x0)?limf(x0?)?f(x0)這種形式的靈活應(yīng)用。此題的?0為??x。

      1?xsin,x?0?x例3 討論函數(shù)f(x)?? 在x?0處的連續(xù)性,可導(dǎo)性。?0,x?0?解

      首先討論f(x)在x?0處的連續(xù)性:limf(x)?limxsinx?0x?01?0?f(0)x即f(x)在x?0處連續(xù)。

      再討論f(x)在x?0處的可導(dǎo)性:

      ?x?0limf(0??x)?f(0)?lim?x?0?x

      ?xsin1?01?x

      此極限不存在 ?limsin?x?0?x?x即f(x)在x?0處不可導(dǎo)。

      怎樣將此題的f(x)在x?0的表達(dá)式稍作修改,變?yōu)閒(x)在x?0處可導(dǎo)?

      1?n?1xsinx,?0?x答 f(x)?? n?1,2,3?,即可。

      ?0,x?0?四)可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系

      由上題可知;在一點(diǎn)處連續(xù)不一定可導(dǎo)。反之,若設(shè)f(x)在點(diǎn)x0可導(dǎo),則

      ?y?f'(x0)

      ?x?0?xlim由極限與無窮小的關(guān)系得:

      ?y?f'(x0)?x?o(?x),所以當(dāng)?x?0,有?y?0。即f在點(diǎn)x0連續(xù)。

      故在一點(diǎn)處連續(xù)與可導(dǎo)的關(guān)系是:連續(xù)不一定可導(dǎo),可導(dǎo)一定連續(xù)。

      五)單側(cè)導(dǎo)數(shù)的概念

      例4 證明函數(shù)f(x)?|x|在x?0處不可導(dǎo)。證明 ?lim?x?0f(x)?f(0)xf(x)?f(0)?x?lim?1lim?lim??1,x?0?xx?0?x?0?xx?0x?0?limx?0f(x)?f(0)極限不存在。

      x?0故f(x)?|x|在x?0處不可導(dǎo)。

      在函數(shù)分段點(diǎn)處或區(qū)間端點(diǎn)等處,不得不考慮單側(cè)導(dǎo)數(shù):

      定義

      設(shè)函數(shù)y?f(x)在點(diǎn)x0的某右鄰域(x0,x0??)上有定義,若右極限

      ?x?0lim?f(x0??x)?f(x0)?y?lim?(0??x??)?x?0?x?x存在,則稱該極限為f在點(diǎn)x0的右導(dǎo)數(shù),記作f?'(x0)。

      ?左導(dǎo)數(shù)

      f?'(x0)?yli?m。?x?0?x左、右導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為單側(cè)導(dǎo)數(shù)。

      導(dǎo)數(shù)與左、右導(dǎo)數(shù)的關(guān)系:若函數(shù)y?f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)有定義,則f'(x0)存在?f?'(x0),f?'(x0)都存在,且f?'(x0)=f?'(x0)。例5 設(shè)f(x)??解 由于 ?1?cosx, x?0,討論f(x)在x?0處的可導(dǎo)性。

      x?0?x , f?'(0)?lim??x?0f(x0??x)?f(x0)1?cos?x?lim??0 ?x?0?x?xf(x0??x)?f(x0)?x?lim??1 ?x?0?x?xf?'(0)?lim??x?0從而f?'(0)?f?'(0),故f(x)在x?0處不可導(dǎo)。

      六)小結(jié): 本課時(shí)的主要內(nèi)容要求:

      ① 深刻理解在一點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的概念,能準(zhǔn)確表達(dá)其定義;

      ② 注意f'(x0)?limf(x0?)?f(x0)這種形式的靈活應(yīng)用。

      ?0③ 明確其實(shí)際背景并給出物理、幾何解釋; ④ 能夠從定義出發(fā)求某些函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù);

      ⑤ 明確導(dǎo)數(shù)與單側(cè)導(dǎo)數(shù)、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系。

      第三篇:數(shù)學(xué)說課稿:導(dǎo)數(shù)概念

      數(shù)學(xué)說課稿:導(dǎo)數(shù)概念

      作為一位兢兢業(yè)業(yè)的人民教師,就不得不需要編寫說課稿,說課稿有助于學(xué)生理解并掌握系統(tǒng)的知識(shí)。說課稿要怎么寫呢?以下是小編收集整理的數(shù)學(xué)說課稿:導(dǎo)數(shù)概念,歡迎閱讀與收藏。

      數(shù)學(xué)說課稿:導(dǎo)數(shù)概念1

      導(dǎo)數(shù)是近代數(shù)學(xué)中微積分的核心概念之一,是一種思想方法,這種思想方法是人類智慧的驕傲?!秾?dǎo)數(shù)的概念》這一節(jié)內(nèi)容,大致分成四個(gè)課時(shí),我主要針對(duì)第三課時(shí)的教學(xué),談?wù)勎业睦斫馀c設(shè)計(jì),敬請(qǐng)各位專家斧正。

      一、教材分析

      1.1編者意圖《導(dǎo)數(shù)的概念》分成四個(gè)部分展開,即:“曲線的切線”,“瞬時(shí)速度”,“導(dǎo)數(shù)的概念”,“導(dǎo)數(shù)的幾何意義”,編者意圖在哪里呢?用前兩部分作為背景,是為了引出導(dǎo)數(shù)的概念;介紹導(dǎo)數(shù)的幾何意義,是為了加深對(duì)導(dǎo)數(shù)的理解。從而充分借助直觀來引出導(dǎo)數(shù)的概念;用極限思想抽象出導(dǎo)數(shù);用函數(shù)思想拓展、完善導(dǎo)數(shù)以及在應(yīng)用中鞏固、反思導(dǎo)數(shù),教材的顯著特點(diǎn)是從具體經(jīng)驗(yàn)出發(fā),向抽象和普遍發(fā)展,使探究知識(shí)的過程簡(jiǎn)單、經(jīng)濟(jì)、有效。

      1.2導(dǎo)數(shù)概念在教材的地位和作用“導(dǎo)數(shù)的概念”是全章核心。不僅在于它自身具有非常嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕Y(jié)構(gòu),更重要的是,導(dǎo)數(shù)運(yùn)算是一種高明的數(shù)學(xué)思維,用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算去處理函數(shù)的性質(zhì)更具一般性,獲得更為理想的結(jié)果;把運(yùn)算對(duì)象作用于導(dǎo)數(shù)上,可使我們擴(kuò)展知識(shí)面,感悟變量,極限等思想,運(yùn)用更高的觀點(diǎn)和更為一般的方法解決或簡(jiǎn)化中學(xué)數(shù)學(xué)中的不少問題;導(dǎo)數(shù)的方法是今后全面研究微積分的重要方法和基本工具,在在其它學(xué)科中同樣具有十分重要的作用;在物理學(xué),經(jīng)濟(jì)學(xué)等其它學(xué)科和生產(chǎn)、生活的各個(gè)領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。導(dǎo)數(shù)的出現(xiàn)推動(dòng)了人類事業(yè)向前發(fā)展。

      1.3教材的內(nèi)容剖析知識(shí)主體結(jié)構(gòu)的比較和知識(shí)的遷移類比如下表:

      表1、知識(shí)主體結(jié)構(gòu)比較

      通過比較發(fā)現(xiàn):求切線的斜率和物體的瞬時(shí)速度,這兩個(gè)具體問題的解決都依賴于求函數(shù)的極限,一個(gè)是“微小直角三角形中兩直角邊之比”的極限,一個(gè)是“位置改變量與時(shí)間改變量之比”的極限,如果舍去問題的具體含義,都可以歸結(jié)為一種相同形式的極限,即“平均變化率”的極限。因此以兩個(gè)背景作為新知的生長(zhǎng)點(diǎn),不僅使新知引入變得自然,而且為新知建構(gòu)提供了有效的類比方法。

      1.4重、難點(diǎn)剖析

      重點(diǎn):導(dǎo)數(shù)的概念的形成過程。

      難點(diǎn):對(duì)導(dǎo)數(shù)概念的理解。

      為什么這樣確定呢?導(dǎo)數(shù)概念的形成分為三個(gè)的層次:f(x)在點(diǎn)x0可導(dǎo)→f(x)在開區(qū)間(,b)內(nèi)可導(dǎo)→f(x)在開區(qū)間(,b)內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)→導(dǎo)數(shù),這三個(gè)層次是一個(gè)遞進(jìn)的過程,而不是專指哪一個(gè)層次,也不是幾個(gè)層次的簡(jiǎn)單相加,因此導(dǎo)數(shù)概念的形成過程是重點(diǎn);教材中出現(xiàn)了兩個(gè)“導(dǎo)數(shù)”,“兩個(gè)可導(dǎo)”,初學(xué)者往往會(huì)有這樣的困惑,“導(dǎo)數(shù)到底是個(gè)什么東西?一個(gè)函數(shù)是不是有兩種導(dǎo)數(shù)呢?”,“導(dǎo)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)是怎么統(tǒng)一的?”。事實(shí)上:

      (1)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)是這一點(diǎn)x0到x0+△x的變化率的極限,是一個(gè)常數(shù),區(qū)別于導(dǎo)函數(shù)。

      (2)f(x)的導(dǎo)數(shù)是對(duì)開區(qū)間內(nèi)任意點(diǎn)x而言,是x到x+△x的變化率的極限,是f(x)在任意點(diǎn)的變化率,其中滲透了函數(shù)思想。

      (3)導(dǎo)函數(shù)就是導(dǎo)數(shù)!是特殊的函數(shù):先定義f(x)在x0處可導(dǎo)、再定義f(x)在開區(qū)間(,b)內(nèi)可導(dǎo)、最后定義f(x)在開區(qū)間的導(dǎo)函數(shù)。

      (4)y=f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)就是導(dǎo)函數(shù)在x=x0處的函數(shù)值,表示為這也是求f′(x0)的一種方法。初學(xué)者最難理解導(dǎo)數(shù)的概念,是因?yàn)槌鯇W(xué)者最容易忽視或混淆概念形成過程中幾個(gè)關(guān)鍵詞的區(qū)別和聯(lián)系,會(huì)出現(xiàn)較大的分歧和差別,要突破難點(diǎn),關(guān)鍵是找到“f(x)在點(diǎn)x0可導(dǎo)”、“f(x)在開區(qū)間的導(dǎo)函數(shù)”和“導(dǎo)數(shù)”之間的聯(lián)系,而要弄清這種聯(lián)系的最好方法就是類比!用“速度與導(dǎo)數(shù)”進(jìn)行類比。

      二、目的分析

      2.1學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)。在知識(shí)方面,對(duì)函數(shù)的極限已經(jīng)熟悉,加上兩個(gè)具體背景的學(xué)習(xí),新知教學(xué)有很好的基礎(chǔ);在技能方面,高三學(xué)生,有很強(qiáng)的概括能力和抽象思維能力;在情感方面,求知的欲望強(qiáng)烈,喜歡探求真理,具有積極的情感態(tài)度。

      2.2教學(xué)目標(biāo)的擬定。鑒于這些特點(diǎn),并結(jié)合教學(xué)大綱的要求以及對(duì)教材的分析,擬定如下的教學(xué)目標(biāo):

      知識(shí)目標(biāo):

      ①理解導(dǎo)數(shù)的概念。

      ②掌握用定義求導(dǎo)數(shù)的方法。

      ③領(lǐng)悟函數(shù)思想和無限逼近的極限思想。

      能力目標(biāo):

      ①培養(yǎng)學(xué)生歸納、抽象和概括的能力。

      ②培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)符號(hào)表示和數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力。

      情感目標(biāo):通過導(dǎo)數(shù)概念的學(xué)習(xí),使學(xué)生體驗(yàn)和認(rèn)同“有限和無限對(duì)立統(tǒng)一”的辯證觀點(diǎn)。接受用運(yùn)動(dòng)變化的辯證唯物主義思想處理數(shù)學(xué)問題的積極態(tài)度。

      三、過程分析

      設(shè)計(jì)理念:遵循特殊到一般的認(rèn)知規(guī)律,結(jié)合可接受性和可操作性原則,把教學(xué)目標(biāo)的落實(shí)融入到教學(xué)過程之中,通過演繹導(dǎo)數(shù)的形成,發(fā)展和應(yīng)用過程,幫助學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)概念。

      數(shù)學(xué)說課稿:導(dǎo)數(shù)概念2

      一、教材分析

      導(dǎo)數(shù)的概念是高中新教材人教A版選修2-2第一章1.1.2的內(nèi)容,是在學(xué)生學(xué)習(xí)了物理的平均速度和瞬時(shí)速度的背景下,以及前節(jié)課所學(xué)的平均變化率基礎(chǔ)上,闡述了平均變化率和瞬時(shí)變化率的關(guān)系,從實(shí)例出發(fā)得到導(dǎo)數(shù)的概念,為以后更好地研究導(dǎo)數(shù)的幾何意義和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用奠定基礎(chǔ)。

      新教材在這個(gè)問題的處理上有很大變化,它與舊教材的區(qū)別是從平均變化率入手,用形象直觀的“逼近”方法定義導(dǎo)數(shù)。

      問題1氣球平均膨脹率--→瞬時(shí)膨脹率

      問題2高臺(tái)跳水的平均速度--→瞬時(shí)速度--→

      根據(jù)上述教材結(jié)構(gòu)與內(nèi)容分析,立足學(xué)生的認(rèn)知水平,制定如下教學(xué)目標(biāo)和重、難點(diǎn)

      二、教學(xué)目標(biāo)

      1、知識(shí)與技能:

      通過大量的實(shí)例的分析,經(jīng)歷由平均變化率過渡到瞬時(shí)變化率的過程,了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景,知道瞬時(shí)變化率就是導(dǎo)數(shù)。

      2、過程與方法:

      ①通過動(dòng)手計(jì)算培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、比較和歸納能力

      ②通過問題的探究體會(huì)逼近、類比、以已知探求未知、從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法

      3、情感、態(tài)度與價(jià)值觀:

      通過運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)體會(huì)導(dǎo)數(shù)的內(nèi)涵,使學(xué)生掌握導(dǎo)數(shù)的概念不再困難,從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.三、重點(diǎn)、難點(diǎn)

      重點(diǎn):導(dǎo)數(shù)概念的形成,導(dǎo)數(shù)內(nèi)涵的理解

      難點(diǎn):在平均變化率的基礎(chǔ)上去探求瞬時(shí)變化率,深刻理解導(dǎo)數(shù)的內(nèi)涵通過逼近的方法,引導(dǎo)學(xué)生觀察來突破難點(diǎn)

      四、教學(xué)設(shè)想(具體如下表)

      教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容師生互動(dòng)設(shè)計(jì)思路創(chuàng)設(shè)情景、引入新課幻燈片

      回顧上節(jié)課留下的思考題:

      在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中,運(yùn)動(dòng)員相對(duì)水面的高度h(單位:m)與起跳后的時(shí)間t(單位:s)存在函數(shù)關(guān)系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.計(jì)算運(yùn)動(dòng)員在這段時(shí)間里的平均速度,并思考下面的問題:

      (1)運(yùn)動(dòng)員在這段時(shí)間里是靜止的嗎?

      (2)你認(rèn)為用平均速度描述運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有什么問題嗎?

      首先回顧上節(jié)課留下的思考題:

      在學(xué)生相互討論,交流結(jié)果的基礎(chǔ)上,提出:大家得到運(yùn)動(dòng)員在這段時(shí)間內(nèi)的平均速度為“0”,但我們知道運(yùn)動(dòng)員在這段時(shí)間內(nèi)并沒有“靜止”。為什么會(huì)產(chǎn)生這樣的情況呢?

      引起學(xué)生的好奇,意識(shí)到平均速度只能粗略地描述物體在某段時(shí)間內(nèi)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài),為了能更精確地刻畫物體運(yùn)動(dòng),我們有必要研究某個(gè)時(shí)刻的速度即瞬時(shí)速度。

      使學(xué)生帶著問題走進(jìn)課堂,激發(fā)學(xué)生求知欲初步探索、展示內(nèi)涵

      根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知水平,概念的形成分了兩個(gè)層次:

      結(jié)合跳水問題,明確瞬時(shí)速度的定義

      問題一:請(qǐng)大家思考如何求運(yùn)動(dòng)員的瞬時(shí)速度,如t=2時(shí)刻的瞬時(shí)速度?

      提出問題一,組織學(xué)生討論,引導(dǎo)他們自然地想到選取一個(gè)具體時(shí)刻如t=2,研究它附近的平均速度變化情況來尋找到問題的思路,使抽象問題具體化

      理解導(dǎo)數(shù)的內(nèi)涵是本節(jié)課的教學(xué)重難點(diǎn),通過層層設(shè)疑,把學(xué)生推向問題的中心,讓學(xué)生動(dòng)手操作,直觀感受來突出重點(diǎn)、突破難點(diǎn)

      問題二:請(qǐng)大家繼續(xù)思考,當(dāng)Δt取不同值時(shí),嘗試計(jì)算的'值?

      Δt

      Δt

      -0.10.1

      -0.010.01

      -0.0010.001

      -0.00010.0001

      -0.000010.00001

      ……….….…….…

      學(xué)生對(duì)概念的認(rèn)知需要借助大量的直觀數(shù)據(jù),所以我讓學(xué)生利用計(jì)算器,分組完成問題二,幫助學(xué)生體會(huì)從平均速度出發(fā),“以已知探求未知”的數(shù)學(xué)思想方法,培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手操作能力

      問題三:當(dāng)Δt趨于0時(shí),平均速度有怎樣的變化趨勢(shì)?

      Δt

      Δt

      -0.1-12.610.1-13.59

      -0.01-13.0510.01-13.149

      -0.001-13.09510.001-13.1049

      -0.0001-130099510.0001-13.10049

      -0.00001-13.0999510.00001-13.100049

      ……….….…….…

      一方面分組討論,上臺(tái)板演,展示計(jì)算結(jié)果,同時(shí)口答:在t=2時(shí)刻,Δt趨于0時(shí),平均速度趨于一個(gè)確定的值-13.1,即瞬時(shí)速度,第一次體會(huì)逼近思想;另一方面借助動(dòng)畫多渠道地引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析、比較、歸納,第二次體會(huì)逼近思想,為了表述方便,數(shù)學(xué)中用簡(jiǎn)潔的符號(hào)來表示,即

      數(shù)形結(jié)合,掃清了學(xué)生的思維障礙,更好地突破了教學(xué)的重難點(diǎn),體驗(yàn)數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)約美

      問題四:運(yùn)動(dòng)員在某個(gè)時(shí)刻的瞬時(shí)速度如何表示呢?

      引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)思考:運(yùn)動(dòng)員在某個(gè)時(shí)刻的瞬時(shí)速度如何表示?學(xué)生意識(shí)到將代替2,可類比得到

      與舊教材相比,這里不提及極限概念,而是通過形象生動(dòng)的逼近思想來定義時(shí)刻的瞬時(shí)速度,更符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律,提高了他們的思維能力,體現(xiàn)了特殊到一般的思維方法

      借助其它實(shí)例,抽象導(dǎo)數(shù)的概念

      問題五:氣球在體積時(shí)的瞬時(shí)膨脹率如何表示呢?

      類比之前學(xué)習(xí)的瞬時(shí)速度問題,引導(dǎo)學(xué)生得到瞬時(shí)膨脹率的表示

      積極的師生互動(dòng)能幫助學(xué)生看到知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系,有助于知識(shí)的重組和遷移,尋找不同實(shí)際背景下的數(shù)學(xué)共性,即對(duì)于不同實(shí)際問題,瞬時(shí)變化率富于不同的實(shí)際意義

      問題六:如果將這兩個(gè)變化率問題中的函數(shù)用來表示,那么函數(shù)在處的瞬時(shí)變化率如何呢?

      在前面兩個(gè)問題的鋪墊下,進(jìn)一步提出,我們這里研究的函數(shù)在處的瞬時(shí)變化率即在處的導(dǎo)數(shù),記作

      (也可記為)

      引導(dǎo)學(xué)生舍棄具體問題的實(shí)際意義,抽象得到導(dǎo)數(shù)定義,由淺入深、由易到難、由特殊到一般,幫助學(xué)生完成了思維的飛躍;同時(shí)提及導(dǎo)數(shù)產(chǎn)生的時(shí)代背景,讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)文化的熏陶,感受數(shù)學(xué)來源于生活,又服務(wù)于生活。

      循序漸進(jìn)、延伸

      拓展例1:將原油精煉為汽油、柴油、塑料等不同產(chǎn)品,需要對(duì)原油進(jìn)行冷卻和加熱。如果在第xh時(shí)候,原油溫度(單位:)為

      (1)計(jì)算第2h和第6h時(shí),原油溫度的瞬時(shí)變化率,并說明它的意義。

      (2)計(jì)算第3h和第5h時(shí),原油溫度的瞬時(shí)變化率,并說明它的意義。

      步驟:

      ①啟發(fā)學(xué)生根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義,再分別求出和

      ②既然我們得到了第2h和第6h的原油溫度的瞬時(shí)變化率分別為-3與5,大家能說明它的含義嗎?

      ③大家是否能用同樣方法來解決問題二?

      ④師生共同歸納得到,導(dǎo)數(shù)即瞬時(shí)變化率,可反映物體變化的快慢

      步步設(shè)問,引導(dǎo)學(xué)生深入探究導(dǎo)數(shù)內(nèi)涵

      發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識(shí),是高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)所倡導(dǎo)的重要理念之一。在教學(xué)中以具體問題為載體,加深學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)內(nèi)涵的理解,體驗(yàn)數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中的應(yīng)用

      變式練習(xí):已知一個(gè)物體運(yùn)動(dòng)的位移(m)與時(shí)間t(s)滿足關(guān)系S(t)=-2t2+5t(1)求物體第5秒和第6秒的瞬時(shí)速度

      (2)求物體在t時(shí)刻的瞬時(shí)速度

      (3)求物體t時(shí)刻運(yùn)動(dòng)的加速度,并判斷物體作什么運(yùn)動(dòng)?

      學(xué)生獨(dú)立完成,上臺(tái)板演,第三次體會(huì)逼近思想

      目的是讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光去看待物理模型,建立各學(xué)科之間的聯(lián)系,更深刻地把握事物變化的規(guī)律歸納總結(jié)、內(nèi)化知識(shí)

      1、瞬時(shí)速度的概念

      2、導(dǎo)數(shù)的概念

      3、思想方法:“以已知探求未知”、逼近、類比、從特殊到一般

      引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行討論,相互補(bǔ)充后進(jìn)行回答,老師評(píng)析,并用幻燈片給出

      讓學(xué)生自己小結(jié),不僅僅總結(jié)知識(shí)更重要地是總結(jié)數(shù)學(xué)思想方法。這是一個(gè)重組知識(shí)的過程,是一個(gè)多維整合的過程,是一個(gè)高層次的自我認(rèn)識(shí)過程,這樣可幫助學(xué)生自行構(gòu)建知識(shí)體系,理清知識(shí)脈絡(luò),養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣

      作業(yè)安排、板書設(shè)計(jì)(必做)第10頁習(xí)題A組第2、3、4題

      (選做):思考第11頁習(xí)題B組第1題作業(yè)是學(xué)生信息的反饋,能在作業(yè)中發(fā)現(xiàn)和彌補(bǔ)教學(xué)中的不足,同時(shí)注重個(gè)體差異,因材施教

      附后板書設(shè)計(jì)清楚整潔,便于突出知識(shí)目標(biāo)

      五、學(xué)法與教法

      學(xué)法與教學(xué)用具

      學(xué)法:

      (1)合作學(xué)習(xí):引導(dǎo)學(xué)生分組討論,合作交流,共同探討問題。(如問題2的處理)

      (2)自主學(xué)習(xí):引導(dǎo)學(xué)生通過親身經(jīng)歷,動(dòng)口、動(dòng)腦、動(dòng)手參與數(shù)學(xué)活動(dòng)。(如問題3的處理)

      (3)探究學(xué)習(xí):引導(dǎo)學(xué)生發(fā)揮主觀能動(dòng)性,主動(dòng)探索新知。(如例題的處理)

      教學(xué)用具:電腦、多媒體、計(jì)算器

      教法:整堂課圍繞“一切為了學(xué)生發(fā)展”的教學(xué)原則,突出①動(dòng)--師生互動(dòng)、共同探索。②導(dǎo)--教師指導(dǎo)、循序漸進(jìn)

      (1)新課引入--提出問題,激發(fā)學(xué)生的求知欲

      (2)理解導(dǎo)數(shù)的內(nèi)涵--數(shù)形結(jié)合,動(dòng)手計(jì)算,組織學(xué)生自主探索,獲得導(dǎo)數(shù)的定義

      (3)例題處理--始終從問題出發(fā),層層設(shè)疑,讓他們?cè)谔剿髦凶缘弥R(shí)

      (4)變式練習(xí)--深化對(duì)導(dǎo)數(shù)內(nèi)涵的理解,鞏固新知

      六、評(píng)價(jià)分析

      這堂課由平均速度到瞬時(shí)速度再到導(dǎo)數(shù),展示了一個(gè)完整的數(shù)學(xué)探究過程。提出問題、計(jì)算觀察、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、給出定義,讓學(xué)生經(jīng)歷了知識(shí)再發(fā)現(xiàn)的過程,促進(jìn)了個(gè)性化學(xué)習(xí)。

      從舊教材上看,導(dǎo)數(shù)概念學(xué)習(xí)的起點(diǎn)是極限,即從數(shù)列的極限,到函數(shù)的極限,再到導(dǎo)數(shù)。這種概念建立方式具有嚴(yán)密的邏輯性和系統(tǒng)性,但學(xué)生很難理解極限的形式化定義,因此也影響了對(duì)導(dǎo)數(shù)本質(zhì)的理解。

      新教材不介紹極限的形式化定義及相關(guān)知識(shí),而是用直觀形象的逼近方法定義導(dǎo)數(shù)。

      通過列表計(jì)算、直觀地把握函數(shù)變化趨勢(shì)(蘊(yùn)涵著極限的描述性定義),學(xué)生容易理解;

      這樣定義導(dǎo)數(shù)的優(yōu)點(diǎn):

      1.避免學(xué)生認(rèn)知水平和知識(shí)學(xué)習(xí)間的矛盾;

      2.將更多精力放在導(dǎo)數(shù)本質(zhì)的理解上;

      3.學(xué)生對(duì)逼近思想有了豐富的直觀基礎(chǔ)和一定的理解,有利于在大學(xué)的初級(jí)階段學(xué)習(xí)嚴(yán)格的極限定義.(附)板書設(shè)計(jì)

      第四篇:“導(dǎo)數(shù)的概念(起始課)”的教學(xué)設(shè)計(jì)、反思與點(diǎn)評(píng)

      “導(dǎo)數(shù)的概念(起始課)”的教學(xué)設(shè)計(jì)、反思與點(diǎn)評(píng)

      1教學(xué)預(yù)設(shè)

      1.1教學(xué)標(biāo)準(zhǔn)

      (1)通過情境的介紹,讓學(xué)生知道導(dǎo)數(shù)的實(shí)際背景,體驗(yàn)學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的必要性;

      (2)通過大量的實(shí)例的分析,讓學(xué)生知道平均變化率的意義,體會(huì)平均變化率的思想及內(nèi)涵,為后續(xù)建立瞬時(shí)變化率和導(dǎo)數(shù)的數(shù)學(xué)模型提供豐富的背景;

      (3)通過實(shí)例的分析,讓學(xué)生感受平均變化率廣泛存在于日常生活之中,經(jīng)歷運(yùn)用數(shù)學(xué)描述刻畫現(xiàn)實(shí)世界的過程,體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)來源于生活,又服務(wù)于生活,感悟數(shù)學(xué)的價(jià)值;

      (4)通過問題探索、觀察分析、歸納總結(jié)等方式,引導(dǎo)學(xué)生從變量和函數(shù)的角度來描述變化率,進(jìn)而抽象概括出函數(shù)的平均變化率,會(huì)求函數(shù)的平均變化率.1.2標(biāo)準(zhǔn)解析

      1.21內(nèi)容解析

      本節(jié)是導(dǎo)數(shù)的起始課,主要包括三方面的內(nèi)容:變化率、導(dǎo)數(shù)的概念、導(dǎo)數(shù)的幾何意義.實(shí)際上,它們是理解導(dǎo)數(shù)思想及其內(nèi)涵的不同角度.首先,從平均變化率開始,利用平均變化率探求瞬時(shí)變化率,并從數(shù)學(xué)上給予各種不同變化率在數(shù)量上精確描述,即導(dǎo)數(shù);然后,從數(shù)轉(zhuǎn)向形,借助函數(shù)圖象,探求切線斜率和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系,說明導(dǎo)數(shù)的幾何意義.根據(jù)教材的安排,本節(jié)內(nèi)容分4課時(shí)完成.第一課時(shí)介紹平均變化率問題,在“氣球膨脹率”、“高臺(tái)跳水”兩個(gè)問題的基礎(chǔ)上,歸納出它們的共同特征,用f(x)表示其中的函數(shù)關(guān)系,定義了一般的平均變化率,并給出符號(hào)表示.本節(jié)內(nèi)容通過分析研究氣球膨脹率問題、高臺(tái)跳水問題,總結(jié)歸納出一般函數(shù)的平均變化率概念,在此基礎(chǔ)上,要求學(xué)生掌握函數(shù)平均變化率解法的一般步驟.平均變化率是個(gè)核心概念,它在整個(gè)高中數(shù)學(xué)中占有極其重要的地位,是研究瞬時(shí)變化率及其導(dǎo)數(shù)概念的基礎(chǔ).在這個(gè)過程中,注意特殊到一般、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法的滲透.教學(xué)重點(diǎn)在實(shí)際背景下直觀地解釋函數(shù)的變化率、平均變化率.1.22學(xué)情診斷

      吹氣球是很多人具有的生活經(jīng)驗(yàn),運(yùn)動(dòng)速度是學(xué)生非常熟悉的物理知識(shí),這兩個(gè)實(shí)例的共同點(diǎn)是背景簡(jiǎn)單.從簡(jiǎn)單的背景出發(fā),既可以利用學(xué)生原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn),又可以減少因?yàn)楸尘暗膹?fù)雜而可能引起的對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)的干擾,這是有利的方面.但是如何從具體實(shí)例中抽象出共同的數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)是本節(jié)課教學(xué)的關(guān)鍵.而對(duì)本節(jié)課(導(dǎo)數(shù)的概念),學(xué)生是在充滿好奇卻又一無所知的狀態(tài)下開始學(xué)習(xí)的,因此若能讓學(xué)生主動(dòng)參與到導(dǎo)數(shù)的起始課學(xué)習(xí)過程,讓學(xué)生體會(huì)到自己在學(xué)“有價(jià)值的數(shù)學(xué)”,必能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心.教學(xué)難點(diǎn)如何從兩個(gè)具體的實(shí)例歸納總結(jié)出函數(shù)平均變化率的概念,對(duì)生活現(xiàn)象作出數(shù)學(xué)解釋.1.23教學(xué)對(duì)策

      本節(jié)作為導(dǎo)數(shù)的起始課,同時(shí)也是個(gè)概念課,如何自然引入導(dǎo)數(shù)的概念是至關(guān)重要的.為了有效實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo),準(zhǔn)備投影儀、多媒體課件等.①在信息技術(shù)環(huán)境下,可以使兩個(gè)實(shí)例的背景更形象、更逼真,從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,通過演示平均變化率的幾何意義讓學(xué)生更好地體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想.②通過應(yīng)用舉例的教學(xué),不斷地提供給學(xué)生比較、分析、歸納、綜合的機(jī)會(huì),體現(xiàn)了從特殊到一般的思維過程,既關(guān)注了學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ),又促使學(xué)生在原有認(rèn)知基礎(chǔ)上獲取知識(shí),提高思維能力,保持高水平的思維活動(dòng),符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.1.24教學(xué)流程設(shè)置情境→提出問題→知識(shí)遷移→概括小結(jié)→課后延伸

      2教學(xué)簡(jiǎn)錄

      2.1創(chuàng)設(shè)情境,引入課題

      為了描述現(xiàn)實(shí)世界中運(yùn)動(dòng)、過程等變化著的現(xiàn)象,在數(shù)學(xué)中引入了函數(shù),隨著對(duì)函數(shù)的研究,產(chǎn)生了微積分,微積分的創(chuàng)立與自然科學(xué)中四類問題的處理直接相關(guān):(課件演示相關(guān)問題情境)

      (1)已知物體運(yùn)動(dòng)的路程作為時(shí)間的函數(shù),求物體在任意時(shí)刻的速度與加速度等;

      (2)求曲線的切線;

      (3)求已知函數(shù)的最大值與最小值;

      (4)求長(zhǎng)度、面積、體積和重心等.導(dǎo)數(shù)是微積分的核心概念之一,它是研究函數(shù)增減、變化快慢、最大(小)值等問題最一般、最有效的工具.導(dǎo)數(shù)研究的問題即變化率問題:研究某個(gè)變量相對(duì)于另一個(gè)變量變化的快慢程度.評(píng)析充分利用章引言中提示的微積分史料,引導(dǎo)學(xué)生探尋微積分發(fā)展的線索,體會(huì)微積分的創(chuàng)立與人類科技發(fā)展之間的緊密聯(lián)系,初步了解本章的學(xué)習(xí)內(nèi)容,從而激發(fā)他們學(xué)習(xí)本章內(nèi)容的興趣.2.2提出問題,探求新知

      問題1氣球膨脹率(課件演示“吹氣球”)

      我們都吹過氣球,回憶一下吹氣球的過程,可以發(fā)現(xiàn),隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加,氣球的半徑增加越來越慢.從數(shù)學(xué)角度,如何描述這種現(xiàn)象呢?

      氣球的體積V(單位:L)與半徑r(單位:dm)之間的函數(shù)關(guān)系是V(r)=43πr3;

      如果將半徑r表示為體積V的函數(shù),那么r(V)=33V4π.師:當(dāng)V從0增加到1時(shí),氣球半徑增加了多少?如何表示?

      生:r(1)-r(0)≈0.62(dm).師:氣球的平均膨脹率為多少?如何刻畫?

      生:r(1)-r(0)1-0≈0.62(dm/L).師:當(dāng)V從1增加到2時(shí),氣球半徑增加了多少?如何表示?

      生:r(2)-r(1)≈0.16(dm).師:氣球的平均膨脹率為多少?如何刻畫?

      生:r(2)-r(1)2-1≈0.16(dm/L).師:非常好!可以看出,隨著氣球體積逐漸增大,它的平均膨脹率逐漸變小了.歸納到一般情形,當(dāng)空氣容量從V1增加到V2時(shí),氣球的平均膨脹率是多少?

      生:r(V2)-r(V1)V2-V1.師生活動(dòng):教師播放多媒體,學(xué)生可以直接回答問題,教師板書其正確答案.評(píng)析通過熟悉的生活體驗(yàn),提煉出數(shù)學(xué)模型,從而為歸納函數(shù)平均變化率概念提供具體背景.自然合理地提出問題,讓學(xué)生體會(huì)“數(shù)學(xué)來源于生活”,創(chuàng)造和諧積極的學(xué)習(xí)氛圍,讓學(xué)生能通過感知表象后,學(xué)會(huì)進(jìn)一步探討問題的本質(zhì),學(xué)會(huì)使用數(shù)學(xué)語言和數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)分析問題,避免淺嘗輒止和過分依賴?yán)蠋?問題2高臺(tái)跳水(觀看多媒體視頻)

      在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中,運(yùn)動(dòng)員相對(duì)于水面的高度h(單位:m)與起跳后的時(shí)間t(單位:s)存在函數(shù)關(guān)系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用運(yùn)動(dòng)員在某些時(shí)間段內(nèi)的平均速度粗略地描述其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)?

      師:請(qǐng)同學(xué)們分組,思考計(jì)算:0≤t≤0.5和1≤t≤2的平均速度.生:(第一組)在0≤t≤0.5這段時(shí)間里,=h(0.5)-h(0)0.5-0=4.05(m/s);

      生:(第二組)在1≤t≤2這段時(shí)間里,=h(2)-h(1)2-1=-8.2(m/s)

      師生活動(dòng):教師播放多媒體,學(xué)生通過計(jì)算回答問題.對(duì)第(2)小題的答案說明其物理意義.評(píng)析高臺(tái)跳水展示了生活中最常見的一種變化率――運(yùn)動(dòng)速度,而運(yùn)動(dòng)速度是學(xué)生非常熟悉的物理知識(shí),這樣可以減少因?yàn)楸尘暗膹?fù)雜而可能引起的對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)的干擾.通過計(jì)算為歸納函數(shù)平均變化率概念提供又一重要背景.師:(探究)計(jì)算運(yùn)動(dòng)員在0≤t≤6549這段時(shí)間里的平均速度,并思考以下問題:

      (1)運(yùn)動(dòng)員在這段時(shí)間內(nèi)是靜止的嗎?

      (2)你認(rèn)為用平均速度描述運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有什么問題嗎?

      師生活動(dòng):教師播放多媒體,學(xué)生通過計(jì)算回答問題.對(duì)答案加以說明其物理意義(可以結(jié)合圖像說明).評(píng)析通過計(jì)算得出平均速度只能粗略地描述運(yùn)動(dòng)狀態(tài),從而為瞬時(shí)速度的提出埋下伏筆即為導(dǎo)數(shù)的概念作了鋪墊,利用圖像解釋的過程體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.(1)讓學(xué)生親自計(jì)算和思考,展開討論;

      (2)老師慢慢引導(dǎo)學(xué)生說出自己的發(fā)現(xiàn),并初步修正到最終的結(jié)論上;

      (3)得到結(jié)論是:①平均速度只能粗略地描述運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài),它并不能反映某一刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài);②需要尋找一個(gè)量,能更精細(xì)地刻畫運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài).思考:當(dāng)運(yùn)動(dòng)員起跳后的時(shí)間從t1增加到t2時(shí),運(yùn)動(dòng)員的平均速度是多少?

      師生活動(dòng):教師播放多媒體,學(xué)生可以直接回答問題,教師板書其正確答案.通過引導(dǎo),使學(xué)生逐步歸納出問題1、2的共性.評(píng)析把問題2中的具體數(shù)據(jù)運(yùn)算提升到一般的字母表示,體現(xiàn)從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想,同時(shí)為歸納函數(shù)平均變化率概念作鋪墊.2.3知識(shí)遷移,把握本質(zhì)

      (1)上述問題中的變化率可用式子f(x2)-f(x1)x2-x1表示,稱為函數(shù)f(x)從x1到x2的平均變化率.(2)若設(shè)Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1).(這里Δx看作是對(duì)于x1的一個(gè)“增量”,可用x1+Δx代替x2).(3)則平均變化率為ΔyΔx=f(x2)-f(x1)x2-x1=f(x1+Δx)-f(x1)Δx.思考:觀察函數(shù)f(x)的圖象,平均變化率ΔyΔx=f(x2)-f(x1)x2-x1表示什么?

      生:曲線y=f(x)上兩點(diǎn)(x1,f(x1))、(x2,f(x2))連線的斜率(割線的斜率).生:(補(bǔ)充)平均變化率反映了函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上平均變化的趨勢(shì)(變化快慢),即在某個(gè)區(qū)間上曲線陡峭的程度.師:兩位同學(xué)回答得非常好!那么,計(jì)算平均變化率的步驟是什么?

      生:①求自變量的增量Δx=x2-x1;②求函數(shù)的增量Δy=f(x2)-f(x1);③求平均變化率ΔyΔx=f(x2)-f(x1)x2-x1.評(píng)析通過對(duì)一些熟悉的實(shí)例中變化率的理解,逐步推廣到一般情況,即從函數(shù)的角度去分析、應(yīng)用變化率,并結(jié)合圖形直觀理解變化率的幾何意義,從幾何角度理解平均變化率的概念即平均變化率的幾何意義,體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.為進(jìn)一步加深理解變化率與導(dǎo)數(shù)作好鋪墊.2.4知識(shí)應(yīng)用,提高能力

      例1已知函數(shù)f(x)=-x2+x圖象上的一點(diǎn)A(-1,-2)及臨近一點(diǎn)B(-1+Δx,-2+Δy),則ΔyΔx=.例2求y=x2在x=x0附近的平均變化率.2.5課堂練習(xí),自我檢測(cè)

      (1)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律為s=t2+3,則在時(shí)間(3,3+Δt)中相應(yīng)的平均速度為.(2)物體按照s(t)=3t2+t+4的規(guī)律作運(yùn)動(dòng),求在4s附近的平均變化率.(3)過曲線f(x)=x3上兩點(diǎn)P(1,1)和P′(1+Δx,1+Δy)作曲線的割線,求出當(dāng)Δx=0.1時(shí)割線的斜率.評(píng)析概念的簡(jiǎn)單應(yīng)用,體現(xiàn)了由易到難,由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想,符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.2.6課堂小結(jié),知識(shí)再現(xiàn)

      (1)函數(shù)平均變化率的概念是什么?它是通過什么實(shí)例歸納總結(jié)出來的?

      (2)求函數(shù)平均變化率的一般步驟是怎樣的?

      (3)這節(jié)課主要用了哪些數(shù)學(xué)思想?

      師生活動(dòng):最后師生共同歸納總結(jié):函數(shù)平均變化率的概念、吹氣球及高臺(tái)跳水兩個(gè)實(shí)例、求函數(shù)平均變化率的一般步驟、主要的數(shù)學(xué)思想有:從特殊到一般,數(shù)形結(jié)合.評(píng)析復(fù)習(xí)重點(diǎn)知識(shí)、思想方法,完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu).2.7布置作業(yè),課后延伸

      (1)課本第10頁:習(xí)題A組:第1題.(2)課后思考問題:需要尋找一個(gè)量,能更精細(xì)地刻畫運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài),那么該量應(yīng)如何定義?

      3教學(xué)反思

      在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí),我把“平均變化率”當(dāng)成本節(jié)課的核心概念.教學(xué)的預(yù)設(shè)目標(biāo)基本完成,特別是知識(shí)目標(biāo),學(xué)生能較好地掌握“平均變化率”這一概念,并會(huì)利用概念求平均變化率.根據(jù)這一節(jié)課的內(nèi)容特點(diǎn)以及學(xué)生的實(shí)際情況,在教學(xué)過程中讓學(xué)生自己去感受問題情境中提出的問題,并以此作為突破口,啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生得出函數(shù)的平均變化率.成功之處:通過生活中的實(shí)例,引導(dǎo)學(xué)生分析和歸納,讓學(xué)生在已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上建構(gòu)新知識(shí),從而達(dá)到概念的自然形成,進(jìn)而從數(shù)學(xué)的外部到數(shù)學(xué)的內(nèi)部,啟發(fā)學(xué)生運(yùn)用概念探究新問題.這樣學(xué)生不會(huì)感到突兀,并能進(jìn)一步感受到數(shù)學(xué)來源于生活,生活中處處蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)化的知識(shí),同時(shí)可以提高他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主觀能動(dòng)性.教學(xué)的預(yù)設(shè)目標(biāo)基本完成,特別是知識(shí)目標(biāo),學(xué)生能較好地掌握“平均變化率”這一概念,并會(huì)利用概念求平均變化率.改進(jìn)之處:課堂實(shí)施過程中,雖然在形式上沒有將知識(shí)直接拋給學(xué)生,但自己的“引導(dǎo)”具有明顯的“牽”的味道.在教學(xué)過程中,雖然能關(guān)注到適當(dāng)?shù)挠?jì)算量,但激發(fā)學(xué)生思維的好問題不多.整堂課學(xué)生的思維量不夠,學(xué)生缺少思辯,同時(shí)留給學(xué)生判斷和分析的成分、時(shí)間都不夠.4教學(xué)點(diǎn)評(píng)

      采用相互討論、探究規(guī)律和引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)的教學(xué)方法,通過不斷出現(xiàn)的一個(gè)個(gè)問題,一步步創(chuàng)設(shè)出使學(xué)生有興趣探索知識(shí)的“情境”,營(yíng)造生動(dòng)活潑的課堂教學(xué)氣氛,充分發(fā)揮學(xué)生的主體地位,通過實(shí)例,引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷由平均變化率到瞬時(shí)變化率的過程,從而更好地理解變化率問題.4.1注重情境創(chuàng)設(shè),適度使數(shù)學(xué)生活化、情境化

      注重情境創(chuàng)設(shè),適度使數(shù)學(xué)生活化、情境化而又不失濃厚的數(shù)學(xué)味,可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)在需要,把學(xué)生引入到身臨其境的環(huán)境中去,自然地生發(fā)學(xué)習(xí)需求.因此,本節(jié)課以兩個(gè)實(shí)際問題(吹氣球和高臺(tái)跳水)為情景,在激發(fā)主體興趣的前提下,引導(dǎo)學(xué)生在生活感受的基礎(chǔ)之上從數(shù)學(xué)的角度刻畫“吹氣球”和“高臺(tái)跳水”,并注重?cái)?shù)形結(jié)合思想方法的滲透.4.2準(zhǔn)確定位,精心設(shè)問,注重學(xué)生合作交流

      教師的角色始終是數(shù)學(xué)活動(dòng)的組織者,參與并引導(dǎo)學(xué)生從事有效的學(xué)習(xí)活動(dòng),并在學(xué)生遇到困難時(shí),適時(shí)點(diǎn)撥,讓學(xué)生體會(huì)到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程是人生的一種有意義的經(jīng)歷和體驗(yàn),從而發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能動(dòng)性和創(chuàng)造性.教師精心設(shè)計(jì)好問題,從而更好地激發(fā)每個(gè)學(xué)生積極主動(dòng)地參與到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中來,讓學(xué)生在解決問題時(shí)又不斷產(chǎn)生新的思維火花,在解決問題的過程中達(dá)到學(xué)習(xí)新知識(shí)的目的和激發(fā)創(chuàng)新的意識(shí).因此,本課采用自主探索、合作交流的探究式學(xué)習(xí)方式,使學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主人.4.3借用信息技術(shù)輔助,強(qiáng)化直觀感知

      在信息技術(shù)環(huán)境下,可以使兩個(gè)實(shí)例(吹氣球和高臺(tái)跳水)的背景更形象、更逼真,從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,通過演示平均變化率的幾何意義讓學(xué)生更好地體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想.同時(shí)幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律,使探究落到實(shí)處.作者簡(jiǎn)介楊瑞強(qiáng),男,1979年生,湖北黃岡人,中學(xué)一級(jí)教師.主要從事數(shù)學(xué)教育與中學(xué)教學(xué)研究.發(fā)表論文60余篇.

      第五篇:《導(dǎo)數(shù)的概念》第一課時(shí)的教學(xué)反思6

      《導(dǎo)數(shù)的概念》第一課時(shí)的教學(xué)反思

      陳吾婷

      在備《導(dǎo)數(shù)的概念》第一課時(shí),對(duì)課本內(nèi)容作了一定的調(diào)整,設(shè)計(jì)了這樣的過程:由芝諾著名的一個(gè)悖論“飛矢不動(dòng)”引入,然后利用瞬時(shí)速度來解釋飛矢在某一點(diǎn)的速度是存在的,然后再轉(zhuǎn)到曲線切線的討論上來。

      應(yīng)該說,這樣的思路很自然,也很有趣。但是在第一節(jié)課實(shí)際的實(shí)施過程中,出現(xiàn)一些問題,使得學(xué)生在芝諾悖論之后,就慢慢地變成了“無聲”的狀態(tài),這主要是一些推導(dǎo)中復(fù)雜的符號(hào)使然。第一節(jié)下課后,很快地做了一個(gè)反思,總結(jié)了如下幾點(diǎn):

      1.在推導(dǎo)瞬時(shí)速度時(shí),應(yīng)該先講清楚牛頓的思路,即求位移的增量,求平均速度,再求極限。這樣再進(jìn)行推導(dǎo),學(xué)生就有了方向,而不會(huì)象第一節(jié)課那樣,聽得慢,看著復(fù)雜的符號(hào)就頭暈。

      在學(xué)習(xí)理論中,有個(gè)“先行組織者”的概念,“先行組織者”是先于學(xué)習(xí)任務(wù)本身呈現(xiàn)的一種引導(dǎo)性材料,它要比原學(xué)習(xí)任務(wù)本身有更高的抽象、概括和包容水平,并且能清晰地與認(rèn)知結(jié)構(gòu)中原有的觀念和新的學(xué)習(xí)任務(wù)關(guān)聯(lián)??赡茉趯?duì)于這樣牽涉到復(fù)雜符號(hào)的推導(dǎo)時(shí),更需要有這樣的一個(gè)前提準(zhǔn)備。要不然學(xué)生就弄不清方向,從而被符號(hào)所困。

      2.也是在推導(dǎo)瞬時(shí)速度時(shí),應(yīng)該做一個(gè)圖解,使學(xué)生更清楚地看到增量的意義。第一節(jié)課正是沒有給出圖解,雖然對(duì)增量做了一定的強(qiáng)調(diào),但是學(xué)生對(duì)增量的理解依然是抽象而非具體的。

      3.推導(dǎo)完瞬時(shí)速度后,應(yīng)該點(diǎn)出對(duì)“飛矢不動(dòng)”悖論的反駁,即在某一點(diǎn)是有速度的。第一節(jié)課中忘了說明這一點(diǎn)了,就使得學(xué)生不知道“飛矢不動(dòng)”這個(gè)情境有什么用,也不知道與瞬時(shí)速度有什么聯(lián)系。

      4.在介紹完曲線的切線后,給出一個(gè)很好的例子,即y=|x|在x=0處有沒有切線,可以先增加另一個(gè)變式——求x=1處的切線,這會(huì)使學(xué)生認(rèn)識(shí)得更深刻一點(diǎn)。最后最好能指出正如某一點(diǎn)的瞬時(shí)速度只有一個(gè)一樣,某一點(diǎn)的切線也應(yīng)該只有一條。

      經(jīng)過課間幾分鐘的反思與調(diào)整,第二節(jié)課果然清晰了許多,也生動(dòng)了許多。學(xué)生聽得也饒有興致。

      課后,有兩個(gè)學(xué)生也分別提出了兩個(gè)很好的問題。第一個(gè)問題是在剛才這一例子中,沒有斜率難道就沒有切線嗎?第二個(gè)問題是如果切線垂直于x軸,按導(dǎo)數(shù)的解釋,如果斜率無窮大——即以前通常所說的極限不存在,那么切線不是也不存在嗎?

      當(dāng)時(shí)給出了這樣的解釋:導(dǎo)數(shù)不存在,切線就不存在;導(dǎo)數(shù)無窮大實(shí)際上還是存在的,只不過是無窮大,而上面的例子中的在x=0的導(dǎo)數(shù)是真的不存在,這是有區(qū)別的?;丶衣飞舷肓艘幌?,并不敢保證這樣的解釋的正確性,尤其是導(dǎo)數(shù)不存在,切線就不存在。到家一查,同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系主編的《高等數(shù)學(xué)》(第五版上冊(cè))第82頁中就有切線的定義,包括了導(dǎo)數(shù)無窮大時(shí)的切線情況,在第85頁中就有y=|x|在x=0處切線不存在的例子。放心了!但是依然在思考的一個(gè)問題是:怎樣才能更加直觀地說明上例中的切線不存在呢?它又哪里去了呢?

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