第一篇：導(dǎo)數(shù)的概念教學(xué)設(shè)計

《導(dǎo)數(shù)的概念》教學(xué)設(shè)計

1.教學(xué)目標(biāo)

（1）知識與技能目標(biāo)：掌握導(dǎo)數(shù)的概念，并能夠利用導(dǎo)數(shù)的定義計算導(dǎo)數(shù).（2）過程與方法目標(biāo)：通過引入導(dǎo)數(shù)的概念這一過程，讓學(xué)生掌握從具體到抽象，特殊到一般的思維方法；領(lǐng)悟極限思想；提高類比歸納、抽象概括的思維能力．

（3）情感、態(tài)度與價值觀目標(biāo)：

通過合作與交流，讓學(xué)生感受探索的樂趣與成功的喜悅，體會數(shù)學(xué)的理性與嚴(yán)謹(jǐn)，激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的熱愛，養(yǎng)成實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度．

2.教學(xué)重、難點(diǎn)

重點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的定義和利用定義如何計算導(dǎo)數(shù)． 難點(diǎn)：對導(dǎo)數(shù)概念的理解．

3.教學(xué)方法

1.教法：引導(dǎo)式教學(xué)法

在提出問題的背景下，給學(xué)生創(chuàng)設(shè)自主探究、合作交流的空間，指導(dǎo)學(xué)生類比探究形成導(dǎo)數(shù)概念的形成．

2.教學(xué)手段：多媒體輔助教學(xué)

4.教學(xué)過程

（一）情境引入

導(dǎo)數(shù)的概念和其它的數(shù)學(xué)概念一樣是源于人類的實(shí)踐。導(dǎo)數(shù)的思想最初是由法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬（Fermat）為研究極值問題而引入的，但導(dǎo)數(shù)作為微積分的最主要的概念，卻是英國數(shù)學(xué)家牛頓（Newton）和德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲（Leibniz）在研究力學(xué)與幾何學(xué)的過程中建立起來的。

17世紀(jì)數(shù)學(xué)家遇到的三類問題：

一是光的反射問題。光的反射和折射在17世紀(jì)是一個十分盛行的研究課題，早在公元1世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家海倫（Heron）就已經(jīng)證明了光的反射定律：光射向平面時，入射角等于反射角。海倫還將該定律推廣到圓弧的情形，此時，入射光與反射光與圓弧的切線所成角相等。那么，對于其他曲線，光又如何反射呢？這就需要確定曲線的切線。

CBCBAA

圖 1 光在平面上的反射 圖 2 光在球面上的反射

二是曲線運(yùn)動的速度問題。對于直線運(yùn)動，速度方向與位移方向相同或相反，但如何確定曲線運(yùn)動的速度方向呢？這就需要確定曲線的切線。

三是曲線的交角問題。曲線的交角是一個古老的難題。自古希臘以來，人們對圓弧和直線構(gòu)成的角——牛頭角（圖3中AB弧與AC構(gòu)成的角）和弓形角（圖4中AB與ACB弧所構(gòu)成的角）即有過很多爭議。17世紀(jì)數(shù)學(xué)家遇到的更一般的問題是：如何求兩條相交曲線

所構(gòu)成的角呢？這就需要確定曲線在交點(diǎn)處的切線。(二)探索新知

問題1 已知：勻加速直線運(yùn)動方程為：s(t)?v0t?刻（t0?[0,T]）的瞬時速度。

問題解決：設(shè)t為t0的鄰近時刻，則落體在時間段[t0,t]（或[t,t0]）上的平均速度為

12at，t?[0,T]，求：物體在t0時2v?若t?t0時平均速度的極限存在，則極限

s(t)?s(t0)

t?t0v?limt?t0s(t)?s(t0)

t?t0為質(zhì)點(diǎn)在時刻t0的瞬時速度。

問題2已知：曲線y?f(x)上點(diǎn)M(x0,y0)，求：M點(diǎn)處切線的斜率。

下面給出切線的一般定義；設(shè)曲線C及曲線C上的一點(diǎn)M，如圖，在M外C上另外取一點(diǎn)N，作割線MN，當(dāng)N沿著C趨近點(diǎn)M時，如果割線MN繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)而趨于極限位置MT，直線MT就稱為曲線C在點(diǎn)M處的切線。

問題解決：取在C上M附近一點(diǎn)N(x,y)，于是割線PQ的斜率為

tan??y?y0f(x)?f(x0)（?為割線MN的傾角）?x?x0x?x0當(dāng)x?x0時，若上式極限存在，則極限

k?tan??為點(diǎn)M處的切線的斜率。

導(dǎo)數(shù)的定義

定義

設(shè)函數(shù)y?f(x)在x0的某鄰域內(nèi)有定義，若極限limx?x0f(x)?fx(0)（?為割線MT的傾角）limx?x0x?x0f(x)?f(x0）存在，則稱函數(shù)

x?x0

f在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，并稱該極限為f在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f'(x0)。

即 f'(x0)?（2）

也可記作y?x?x，of(x)?fx(0）

limx?x0x?x0dydx，x?xodf(x)。若上述極限不存在，則稱f在點(diǎn)x0處不可導(dǎo)。

dxx?xof在x0處可導(dǎo)的等價定義：

設(shè)x?x0??x,?y?f(x0??x)?f(x0)，若x?x0則等價于?x?0，如果 函數(shù)f在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，可等價表達(dá)成為以下幾種形式：

f'(x0)?limx?x0?yf(x)?f(x0）

?f'(x0)?lim?x?0?xx?x0?f'(x0)?lim?x?0f(x0??x)?f(x0）

?x單側(cè)導(dǎo)數(shù)的概念

在函數(shù)分段點(diǎn)處或區(qū)間端點(diǎn)等處，不得不考慮單側(cè)導(dǎo)數(shù)：

定義

設(shè)函數(shù)y?f(x)在點(diǎn)x0的某右鄰域(x0,x0??)上有定義，若右極限

?x?0lim?f(x0??x)?f(x0）?y?lim?（0??x??）?x?x?0?x存在，則稱該極限為f在點(diǎn)x0的右導(dǎo)數(shù)，記作f?'(x0)。

?左導(dǎo)數(shù)

f?'(x0)?yli?m。?x?0?x左、右導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為單側(cè)導(dǎo)數(shù)。

導(dǎo)數(shù)與左、右導(dǎo)數(shù)的關(guān)系：若函數(shù)y?f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)有定義，則f'(x0)存在?f?'(x0)，f?'(x0)都存在，且f?'(x0)=f?'(x0)。

（三）知識鞏固

2例題1 求f(x)?x在點(diǎn)x?1處的導(dǎo)數(shù)，并求曲線在點(diǎn)(1,1)處的切線方程。

解：由定義可得：

?yf(1??x)?f(1)(1??x)2?1f'(1)?lim?lim?lim

?x?0?x?x?0?x?0?x?x2?x??x2?lim?lim(2??x)?2 ?x?0?x?0?x附注：在解決切線問題時，要熟悉導(dǎo)數(shù)的定義，并能通過導(dǎo)數(shù)的幾何意義來解決一般問題

例題2設(shè)函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，f?(0)存在，證明：f?(0)?0。

證

'f(x)?f(?x)?f(?x)?f(??x)

f(0??x)?f(0)f(?x)?f(0)?lim ?x?0?x?xf(??x)?f(0)f[0?(??x)]?f(0)??lim??f?(0)

?x?0?x??x 又f(0)?lim ?x?0 ?lim?x?0?f?(0)?0

附注：需要注意公式f'(x0)?limx?x0f(x)?f(x0)的靈活運(yùn)用，它可以變化成其他的形式。

x?x0例3 證明函數(shù)f(x)?|x|在x?0處不可導(dǎo)。

證明

x?0lim?f(x)?f(0)xf(x)?f(0)?x?lim?1lim?lim??1，???x?0x?0x?0x?0xx?0x?limx?0f(x)?f(0)極限不存在。

x?0故f(x)?|x|在x?0處不可導(dǎo)。

附注：判斷一個函數(shù)在某點(diǎn)處是否可導(dǎo)，只需要考慮該點(diǎn)處的左右導(dǎo)數(shù)是否相等即可。

（四）應(yīng)用提高 求曲線y?x在點(diǎn)（－1，－1）處的切線方程為(A)x?2A.y=2x＋1 B.y=2x－1 C.y=－2x－3 D.y=－2x－2

（五）小結(jié)

本節(jié)課主要學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的基本概念，在經(jīng)歷探究導(dǎo)數(shù)概念的過程中，讓學(xué)生感受導(dǎo)數(shù)的形成，并對導(dǎo)數(shù)的幾何意義有較深刻的認(rèn)識。

本節(jié)課中所用數(shù)學(xué)思想方法：逼近、類比、特殊到一般。

（六）作業(yè)布置

1．已知f'(1)?2012，計算：

f(1??x)?f(1)f(1??x)?f(1)(2)lim

?x?0?x?0?x??xf(1)?f(1??x)f(1?2?x)?f(1)(3)lim(4)lim

?x?0?x?04?x?x(1)lim2.計算函數(shù)f(x)??2x?3在點(diǎn)（1，1）處切線的方程。2

第二篇：導(dǎo)數(shù)的概念教案

【教學(xué)課題】：§2.1 導(dǎo)數(shù)的概念（第一課時）

【教學(xué)目的】：能使學(xué)生深刻理解在一點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的概念，能準(zhǔn)確表達(dá)其定義；明確其實(shí)際背景并給出物理、幾何解釋；能夠從定義出發(fā)求某些函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)；明確一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)與單側(cè)導(dǎo)數(shù)、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系。

【教學(xué)重點(diǎn)】：在一點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的定義?！窘虒W(xué)難點(diǎn)】：在一點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的幾種等價定義及其應(yīng)用?！窘虒W(xué)方法】：系統(tǒng)講授，問題教學(xué)，多媒體的利用等?！窘虒W(xué)過程】：

一）導(dǎo)數(shù)的思想的歷史回顧

導(dǎo)數(shù)的概念和其它的數(shù)學(xué)概念一樣是源于人類的實(shí)踐。導(dǎo)數(shù)的思想最初是由法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬（Fermat）為研究極值問題而引入的，但導(dǎo)數(shù)作為微積分的最主要的概念，卻是英國數(shù)學(xué)家牛頓（Newton）和德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲（Leibniz）在研究力學(xué)與幾何學(xué)的過程中建立起來的。

二）兩個來自物理學(xué)與幾何學(xué)的問題的解決

問題1（以變速直線運(yùn)動的瞬時速度的問題的解決為背景）已知：自由落體運(yùn)動方程為：s(t)?12gt，t?[0,T]，求：落體在t0時刻（t0?[0,T]）的瞬時速度。2t0t

問題解決：設(shè)t為t0的鄰近時刻，則落體在時間段[t0,t]（或[t,t0]）上的平均速度為

v?若t?t0時平均速度的極限存在，則極限

s(t)?s(t0)

t?t0v?limt?t0s(t)?s(t0)

t?t0為質(zhì)點(diǎn)在時刻t0的瞬時速度。

問題2（以曲線在某一點(diǎn)處切線的斜率的問題的解決為背景）已知：曲線y?f(x)上點(diǎn)M(x0,y0)，求：M點(diǎn)處切線的斜率。

下面給出切線的一般定義；設(shè)曲線C及曲線C上的一點(diǎn)M，如圖，在M外C上另外取一點(diǎn)N，作割線MN，當(dāng)N沿著C趨近點(diǎn)M時，如果割線MN繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)而趨于極 限位置MT，直線MT就稱為曲線C在點(diǎn)M處的切線。

問題解決：取在C上M附近一點(diǎn)N(x,y)，于是割線PQ的斜率為

tan??y?y0f(x)?f(x0)（?為割線MN的傾角）?x?x0x?x0當(dāng)x?x0時，若上式極限存在，則極限

k?tan??f(x)?fx(0)（?為割線MT的傾角）limx?x0x?x0為點(diǎn)M處的切線的斜率。

上述兩問題中，第一個是物理學(xué)的問題，后一個是幾何學(xué)問題，分屬不同的學(xué)科，但問 題的解決都?xì)w結(jié)到求形如

limx?x0f(x)?f(x0）

（1）

x?x0的極限問題。事實(shí)上，在學(xué)習(xí)物理學(xué)時會發(fā)現(xiàn)，在計算諸如物質(zhì)比熱、電流強(qiáng)度、線密度等問題中，盡管其背景各不相同，但最終都化歸為討論形如（1）的極限問題。也正是這類問題的研究，促使“導(dǎo)數(shù)”的概念的誕生。

三）導(dǎo)數(shù)的定義

定義

設(shè)函數(shù)y?f(x)在x0的某鄰域內(nèi)有定義，若極限

x?x0limf(x)?f(x0）

x?x0存在，則稱函數(shù)f在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，并稱該極限為f在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f'(x0)。即

f'(x0)?limx?x0f(x)?f(x0）

（2）

x?x0也可記作y?x?x，odydx，x?xodf(x)。若上述極限不存在，則稱f在點(diǎn)x0處不可導(dǎo)。

dxx?xof在x0處可導(dǎo)的等價定義：

設(shè)x?x0??x,?y?f(x0??x)?f(x0)，若x?x0則等價于?x?0，如果 函數(shù)f在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，可等價表達(dá)成為以下幾種形式： f'(x0)?limx?x0?yf(x)?f(x0）

（3）

?f'(x0)?lim?x?0?xx?x0?f'(x0)?lim?x?0f(x0??x)?f(x0）

（4）

?x?f'(x0)?lim四）

f(x0?)?f(x0）?0

（5）

利用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)的幾個例子

例1 求f(x)?x2在點(diǎn)x?1處的導(dǎo)數(shù)，并求曲線在點(diǎn)(1,1)處的切線方程。解 由定義

?yf(1??x)?f(1)(1??x)2?1f(1)?lim?lim?lim

?x?0?x?x?0?x?0?x?x'2?x??x2?lim?lim(2??x)?2 ?x?0?x?0?x于是曲線在(1,1)處的切線斜率為2，所以切線方程為y?1?2(x?1)，即y?2x?1。

例2 設(shè)函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，f?(0)存在，證明：f?(0)?0。

(x)

?f(?x)?f(??x)證

?f(x)?f? 又f(0)?lim

?lim?x?0'?x?0f(0??x)?f(0)f(?x)?f(0)?lim ?x?0?x?xf(??x)?f(0)f[0?(??x)]?f(0)??lim??f?(0)

?x?0?x??x?f?(0)?0

注意：f'(x0)?limf(x0?)?f(x0）這種形式的靈活應(yīng)用。此題的?0為??x。

1?xsin,x?0?x例3 討論函數(shù)f(x)?? 在x?0處的連續(xù)性，可導(dǎo)性。?0,x?0?解

首先討論f(x)在x?0處的連續(xù)性：limf(x)?limxsinx?0x?01?0?f(0)x即f(x)在x?0處連續(xù)。

再討論f(x)在x?0處的可導(dǎo)性：

?x?0limf(0??x)?f(0)?lim?x?0?x

?xsin1?01?x

此極限不存在 ?limsin?x?0?x?x即f(x)在x?0處不可導(dǎo)。

問

怎樣將此題的f(x)在x?0的表達(dá)式稍作修改，變?yōu)閒(x)在x?0處可導(dǎo)？

1?n?1xsinx,?0?x答 f(x)?? n?1,2,3?，即可。

?0,x?0?四）可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系

由上題可知；在一點(diǎn)處連續(xù)不一定可導(dǎo)。反之，若設(shè)f(x)在點(diǎn)x0可導(dǎo)，則

?y?f'(x0)

?x?0?xlim由極限與無窮小的關(guān)系得：

?y?f'(x0)?x?o(?x)，所以當(dāng)?x?0，有?y?0。即f在點(diǎn)x0連續(xù)。

故在一點(diǎn)處連續(xù)與可導(dǎo)的關(guān)系是：連續(xù)不一定可導(dǎo)，可導(dǎo)一定連續(xù)。

五）單側(cè)導(dǎo)數(shù)的概念

例4 證明函數(shù)f(x)?|x|在x?0處不可導(dǎo)。證明 ?lim?x?0f(x)?f(0)xf(x)?f(0)?x?lim?1lim?lim??1，x?0?xx?0?x?0?xx?0x?0?limx?0f(x)?f(0)極限不存在。

x?0故f(x)?|x|在x?0處不可導(dǎo)。

在函數(shù)分段點(diǎn)處或區(qū)間端點(diǎn)等處，不得不考慮單側(cè)導(dǎo)數(shù)：

定義

設(shè)函數(shù)y?f(x)在點(diǎn)x0的某右鄰域(x0,x0??)上有定義，若右極限

?x?0lim?f(x0??x)?f(x0）?y?lim?（0??x??）?x?0?x?x存在，則稱該極限為f在點(diǎn)x0的右導(dǎo)數(shù)，記作f?'(x0)。

?左導(dǎo)數(shù)

f?'(x0)?yli?m。?x?0?x左、右導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為單側(cè)導(dǎo)數(shù)。

導(dǎo)數(shù)與左、右導(dǎo)數(shù)的關(guān)系：若函數(shù)y?f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)有定義，則f'(x0)存在?f?'(x0)，f?'(x0)都存在，且f?'(x0)=f?'(x0)。例5 設(shè)f(x)??解 由于 ?1?cosx, x?0，討論f(x)在x?0處的可導(dǎo)性。

x?0?x , f?'(0)?lim??x?0f(x0??x)?f(x0)1?cos?x?lim??0 ?x?0?x?xf(x0??x)?f(x0)?x?lim??1 ?x?0?x?xf?'(0)?lim??x?0從而f?'(0)?f?'(0)，故f(x)在x?0處不可導(dǎo)。

六）小結(jié): 本課時的主要內(nèi)容要求：

① 深刻理解在一點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的概念，能準(zhǔn)確表達(dá)其定義；

② 注意f'(x0)?limf(x0?)?f(x0）這種形式的靈活應(yīng)用。

?0③ 明確其實(shí)際背景并給出物理、幾何解釋； ④ 能夠從定義出發(fā)求某些函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)；

⑤ 明確導(dǎo)數(shù)與單側(cè)導(dǎo)數(shù)、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系。

第三篇：數(shù)學(xué)說課稿：導(dǎo)數(shù)概念

數(shù)學(xué)說課稿：導(dǎo)數(shù)概念

作為一位兢兢業(yè)業(yè)的人民教師，就不得不需要編寫說課稿，說課稿有助于學(xué)生理解并掌握系統(tǒng)的知識。說課稿要怎么寫呢？以下是小編收集整理的數(shù)學(xué)說課稿：導(dǎo)數(shù)概念，歡迎閱讀與收藏。

導(dǎo)數(shù)是近代數(shù)學(xué)中微積分的核心概念之一，是一種思想方法，這種思想方法是人類智慧的驕傲?！秾?dǎo)數(shù)的概念》這一節(jié)內(nèi)容，大致分成四個課時，我主要針對第三課時的教學(xué)，談?wù)勎业睦斫馀c設(shè)計，敬請各位專家斧正。

一、教材分析

1.1編者意圖《導(dǎo)數(shù)的概念》分成四個部分展開，即：“曲線的切線”，“瞬時速度”，“導(dǎo)數(shù)的概念”，“導(dǎo)數(shù)的幾何意義”，編者意圖在哪里呢？用前兩部分作為背景，是為了引出導(dǎo)數(shù)的概念；介紹導(dǎo)數(shù)的幾何意義，是為了加深對導(dǎo)數(shù)的理解。從而充分借助直觀來引出導(dǎo)數(shù)的概念；用極限思想抽象出導(dǎo)數(shù)；用函數(shù)思想拓展、完善導(dǎo)數(shù)以及在應(yīng)用中鞏固、反思導(dǎo)數(shù)，教材的顯著特點(diǎn)是從具體經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，向抽象和普遍發(fā)展，使探究知識的過程簡單、經(jīng)濟(jì)、有效。

1.2導(dǎo)數(shù)概念在教材的地位和作用“導(dǎo)數(shù)的概念”是全章核心。不僅在于它自身具有非常嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕Y(jié)構(gòu)，更重要的是，導(dǎo)數(shù)運(yùn)算是一種高明的數(shù)學(xué)思維，用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算去處理函數(shù)的性質(zhì)更具一般性，獲得更為理想的結(jié)果；把運(yùn)算對象作用于導(dǎo)數(shù)上，可使我們擴(kuò)展知識面，感悟變量，極限等思想，運(yùn)用更高的觀點(diǎn)和更為一般的方法解決或簡化中學(xué)數(shù)學(xué)中的不少問題；導(dǎo)數(shù)的方法是今后全面研究微積分的重要方法和基本工具，在在其它學(xué)科中同樣具有十分重要的作用；在物理學(xué)，經(jīng)濟(jì)學(xué)等其它學(xué)科和生產(chǎn)、生活的各個領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。導(dǎo)數(shù)的出現(xiàn)推動了人類事業(yè)向前發(fā)展。

1.3教材的內(nèi)容剖析知識主體結(jié)構(gòu)的比較和知識的遷移類比如下表：

表1、知識主體結(jié)構(gòu)比較

通過比較發(fā)現(xiàn)：求切線的斜率和物體的瞬時速度，這兩個具體問題的解決都依賴于求函數(shù)的極限，一個是“微小直角三角形中兩直角邊之比”的極限，一個是“位置改變量與時間改變量之比”的極限，如果舍去問題的具體含義，都可以歸結(jié)為一種相同形式的極限，即“平均變化率”的極限。因此以兩個背景作為新知的生長點(diǎn)，不僅使新知引入變得自然，而且為新知建構(gòu)提供了有效的類比方法。

1.4重、難點(diǎn)剖析

重點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的概念的形成過程。

難點(diǎn)：對導(dǎo)數(shù)概念的理解。

為什么這樣確定呢？導(dǎo)數(shù)概念的形成分為三個的層次：f（x）在點(diǎn)x0可導(dǎo)→f（x）在開區(qū)間（，b）內(nèi)可導(dǎo)→f（x）在開區(qū)間（，b）內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)→導(dǎo)數(shù)，這三個層次是一個遞進(jìn)的過程，而不是專指哪一個層次，也不是幾個層次的簡單相加，因此導(dǎo)數(shù)概念的形成過程是重點(diǎn)；教材中出現(xiàn)了兩個“導(dǎo)數(shù)”，“兩個可導(dǎo)”，初學(xué)者往往會有這樣的困惑，“導(dǎo)數(shù)到底是個什么東西？一個函數(shù)是不是有兩種導(dǎo)數(shù)呢？”，“導(dǎo)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)是怎么統(tǒng)一的？”。事實(shí)上：

（1）f（x）在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)是這一點(diǎn)x0到x0+△x的變化率的極限，是一個常數(shù)，區(qū)別于導(dǎo)函數(shù)。

（2）f（x）的導(dǎo)數(shù)是對開區(qū)間內(nèi)任意點(diǎn)x而言，是x到x+△x的變化率的極限，是f（x）在任意點(diǎn)的變化率，其中滲透了函數(shù)思想。

（3）導(dǎo)函數(shù)就是導(dǎo)數(shù)！是特殊的函數(shù)：先定義f（x）在x0處可導(dǎo)、再定義f（x）在開區(qū)間（，b）內(nèi)可導(dǎo)、最后定義f（x）在開區(qū)間的導(dǎo)函數(shù)。

（4）y=f（x）在x0處的導(dǎo)數(shù)就是導(dǎo)函數(shù)在x=x0處的函數(shù)值，表示為這也是求f′（x0）的一種方法。初學(xué)者最難理解導(dǎo)數(shù)的概念，是因?yàn)槌鯇W(xué)者最容易忽視或混淆概念形成過程中幾個關(guān)鍵詞的區(qū)別和聯(lián)系，會出現(xiàn)較大的分歧和差別，要突破難點(diǎn)，關(guān)鍵是找到“f（x）在點(diǎn)x0可導(dǎo)”、“f（x）在開區(qū)間的導(dǎo)函數(shù)”和“導(dǎo)數(shù)”之間的聯(lián)系，而要弄清這種聯(lián)系的最好方法就是類比！用“速度與導(dǎo)數(shù)”進(jìn)行類比。

二、目的分析

2.1學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)。在知識方面，對函數(shù)的極限已經(jīng)熟悉，加上兩個具體背景的學(xué)習(xí)，新知教學(xué)有很好的基礎(chǔ)；在技能方面，高三學(xué)生，有很強(qiáng)的概括能力和抽象思維能力；在情感方面，求知的欲望強(qiáng)烈，喜歡探求真理，具有積極的情感態(tài)度。

2.2教學(xué)目標(biāo)的擬定。鑒于這些特點(diǎn)，并結(jié)合教學(xué)大綱的要求以及對教材的分析，擬定如下的教學(xué)目標(biāo)：

知識目標(biāo)：

①理解導(dǎo)數(shù)的概念。

②掌握用定義求導(dǎo)數(shù)的方法。

③領(lǐng)悟函數(shù)思想和無限逼近的極限思想。

能力目標(biāo)：

①培養(yǎng)學(xué)生歸納、抽象和概括的能力。

②培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)符號表示和數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力。

情感目標(biāo)：通過導(dǎo)數(shù)概念的學(xué)習(xí)，使學(xué)生體驗(yàn)和認(rèn)同“有限和無限對立統(tǒng)一”的辯證觀點(diǎn)。接受用運(yùn)動變化的辯證唯物主義思想處理數(shù)學(xué)問題的積極態(tài)度。

三、過程分析

設(shè)計理念：遵循特殊到一般的認(rèn)知規(guī)律，結(jié)合可接受性和可操作性原則，把教學(xué)目標(biāo)的落實(shí)融入到教學(xué)過程之中，通過演繹導(dǎo)數(shù)的形成，發(fā)展和應(yīng)用過程，幫助學(xué)生主動建構(gòu)概念。

一、教材分析

導(dǎo)數(shù)的概念是高中新教材人教A版選修2-2第一章1.1.2的內(nèi)容,是在學(xué)生學(xué)習(xí)了物理的平均速度和瞬時速度的背景下，以及前節(jié)課所學(xué)的平均變化率基礎(chǔ)上，闡述了平均變化率和瞬時變化率的關(guān)系，從實(shí)例出發(fā)得到導(dǎo)數(shù)的概念，為以后更好地研究導(dǎo)數(shù)的幾何意義和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用奠定基礎(chǔ)。

新教材在這個問題的處理上有很大變化，它與舊教材的區(qū)別是從平均變化率入手，用形象直觀的“逼近”方法定義導(dǎo)數(shù)。

問題1氣球平均膨脹率--→瞬時膨脹率

問題2高臺跳水的平均速度--→瞬時速度--→

根據(jù)上述教材結(jié)構(gòu)與內(nèi)容分析，立足學(xué)生的認(rèn)知水平，制定如下教學(xué)目標(biāo)和重、難點(diǎn)

二、教學(xué)目標(biāo)

1、知識與技能：

通過大量的實(shí)例的分析，經(jīng)歷由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程，了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景，知道瞬時變化率就是導(dǎo)數(shù)。

2、過程與方法：

①通過動手計算培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、比較和歸納能力

②通過問題的探究體會逼近、類比、以已知探求未知、從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法

3、情感、態(tài)度與價值觀：

通過運(yùn)動的觀點(diǎn)體會導(dǎo)數(shù)的內(nèi)涵，使學(xué)生掌握導(dǎo)數(shù)的概念不再困難，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.三、重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)概念的形成，導(dǎo)數(shù)內(nèi)涵的理解

難點(diǎn)：在平均變化率的基礎(chǔ)上去探求瞬時變化率，深刻理解導(dǎo)數(shù)的內(nèi)涵通過逼近的方法，引導(dǎo)學(xué)生觀察來突破難點(diǎn)

四、教學(xué)設(shè)想(具體如下表)

教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容師生互動設(shè)計思路創(chuàng)設(shè)情景、引入新課幻燈片

回顧上節(jié)課留下的思考題：

在高臺跳水運(yùn)動中，運(yùn)動員相對水面的高度h(單位：m)與起跳后的時間t(單位：s)存在函數(shù)關(guān)系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.計算運(yùn)動員在這段時間里的平均速度，并思考下面的問題：

(1)運(yùn)動員在這段時間里是靜止的嗎?

(2)你認(rèn)為用平均速度描述運(yùn)動員的運(yùn)動狀態(tài)有什么問題嗎?

首先回顧上節(jié)課留下的思考題：

在學(xué)生相互討論，交流結(jié)果的基礎(chǔ)上，提出：大家得到運(yùn)動員在這段時間內(nèi)的平均速度為“0”，但我們知道運(yùn)動員在這段時間內(nèi)并沒有“靜止”。為什么會產(chǎn)生這樣的情況呢?

引起學(xué)生的好奇，意識到平均速度只能粗略地描述物體在某段時間內(nèi)的運(yùn)動狀態(tài)，為了能更精確地刻畫物體運(yùn)動，我們有必要研究某個時刻的速度即瞬時速度。

使學(xué)生帶著問題走進(jìn)課堂，激發(fā)學(xué)生求知欲初步探索、展示內(nèi)涵

根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知水平,概念的形成分了兩個層次：

結(jié)合跳水問題，明確瞬時速度的定義

問題一：請大家思考如何求運(yùn)動員的瞬時速度，如t=2時刻的瞬時速度?

提出問題一，組織學(xué)生討論，引導(dǎo)他們自然地想到選取一個具體時刻如t=2，研究它附近的平均速度變化情況來尋找到問題的思路，使抽象問題具體化

理解導(dǎo)數(shù)的內(nèi)涵是本節(jié)課的教學(xué)重難點(diǎn)，通過層層設(shè)疑，把學(xué)生推向問題的中心，讓學(xué)生動手操作，直觀感受來突出重點(diǎn)、突破難點(diǎn)

問題二：請大家繼續(xù)思考，當(dāng)Δt取不同值時,嘗試計算的'值?

Δt

Δt

-0.10.1

-0.010.01

-0.0010.001

-0.00010.0001

-0.000010.00001

……….….…….…

學(xué)生對概念的認(rèn)知需要借助大量的直觀數(shù)據(jù)，所以我讓學(xué)生利用計算器，分組完成問題二，幫助學(xué)生體會從平均速度出發(fā)，“以已知探求未知”的數(shù)學(xué)思想方法,培養(yǎng)學(xué)生的動手操作能力

問題三：當(dāng)Δt趨于0時，平均速度有怎樣的變化趨勢?

Δt

Δt

-0.1-12.610.1-13.59

-0.01-13.0510.01-13.149

-0.001-13.09510.001-13.1049

-0.0001-130099510.0001-13.10049

-0.00001-13.0999510.00001-13.100049

……….….…….…

一方面分組討論，上臺板演，展示計算結(jié)果，同時口答：在t=2時刻,Δt趨于0時，平均速度趨于一個確定的值-13.1，即瞬時速度，第一次體會逼近思想;另一方面借助動畫多渠道地引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析、比較、歸納，第二次體會逼近思想，為了表述方便,數(shù)學(xué)中用簡潔的符號來表示,即

數(shù)形結(jié)合，掃清了學(xué)生的思維障礙，更好地突破了教學(xué)的重難點(diǎn)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的簡約美

問題四：運(yùn)動員在某個時刻的瞬時速度如何表示呢?

引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)思考:運(yùn)動員在某個時刻的瞬時速度如何表示?學(xué)生意識到將代替2,可類比得到

與舊教材相比,這里不提及極限概念,而是通過形象生動的逼近思想來定義時刻的瞬時速度,更符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律,提高了他們的思維能力,體現(xiàn)了特殊到一般的思維方法

借助其它實(shí)例，抽象導(dǎo)數(shù)的概念

問題五：氣球在體積時的瞬時膨脹率如何表示呢?

類比之前學(xué)習(xí)的瞬時速度問題,引導(dǎo)學(xué)生得到瞬時膨脹率的表示

積極的師生互動能幫助學(xué)生看到知識點(diǎn)之間的聯(lián)系，有助于知識的重組和遷移,尋找不同實(shí)際背景下的數(shù)學(xué)共性，即對于不同實(shí)際問題，瞬時變化率富于不同的實(shí)際意義

問題六：如果將這兩個變化率問題中的函數(shù)用來表示，那么函數(shù)在處的瞬時變化率如何呢?

在前面兩個問題的鋪墊下,進(jìn)一步提出，我們這里研究的函數(shù)在處的瞬時變化率即在處的導(dǎo)數(shù),記作

(也可記為)

引導(dǎo)學(xué)生舍棄具體問題的實(shí)際意義,抽象得到導(dǎo)數(shù)定義,由淺入深、由易到難、由特殊到一般，幫助學(xué)生完成了思維的飛躍;同時提及導(dǎo)數(shù)產(chǎn)生的時代背景，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)文化的熏陶，感受數(shù)學(xué)來源于生活，又服務(wù)于生活。

循序漸進(jìn)、延伸

拓展例1：將原油精煉為汽油、柴油、塑料等不同產(chǎn)品，需要對原油進(jìn)行冷卻和加熱。如果在第xh時候，原油溫度(單位：)為

(1)計算第2h和第6h時，原油溫度的瞬時變化率，并說明它的意義。

(2)計算第3h和第5h時，原油溫度的瞬時變化率，并說明它的意義。

步驟：

①啟發(fā)學(xué)生根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，再分別求出和

②既然我們得到了第2h和第6h的原油溫度的瞬時變化率分別為-3與5，大家能說明它的含義嗎?

③大家是否能用同樣方法來解決問題二?

④師生共同歸納得到，導(dǎo)數(shù)即瞬時變化率，可反映物體變化的快慢

步步設(shè)問，引導(dǎo)學(xué)生深入探究導(dǎo)數(shù)內(nèi)涵

發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識，是高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)所倡導(dǎo)的重要理念之一。在教學(xué)中以具體問題為載體,加深學(xué)生對導(dǎo)數(shù)內(nèi)涵的理解，體驗(yàn)數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中的應(yīng)用

變式練習(xí)：已知一個物體運(yùn)動的位移(m)與時間t(s)滿足關(guān)系S(t)=-2t2+5t(1)求物體第5秒和第6秒的瞬時速度

(2)求物體在t時刻的瞬時速度

(3)求物體t時刻運(yùn)動的加速度，并判斷物體作什么運(yùn)動?

學(xué)生獨(dú)立完成，上臺板演，第三次體會逼近思想

目的是讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光去看待物理模型，建立各學(xué)科之間的聯(lián)系，更深刻地把握事物變化的規(guī)律歸納總結(jié)、內(nèi)化知識

1、瞬時速度的概念

2、導(dǎo)數(shù)的概念

3、思想方法：“以已知探求未知”、逼近、類比、從特殊到一般

引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行討論，相互補(bǔ)充后進(jìn)行回答，老師評析，并用幻燈片給出

讓學(xué)生自己小結(jié)，不僅僅總結(jié)知識更重要地是總結(jié)數(shù)學(xué)思想方法。這是一個重組知識的過程，是一個多維整合的過程，是一個高層次的自我認(rèn)識過程，這樣可幫助學(xué)生自行構(gòu)建知識體系，理清知識脈絡(luò)，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣

作業(yè)安排、板書設(shè)計(必做)第10頁習(xí)題A組第2、3、4題

(選做)：思考第11頁習(xí)題B組第1題作業(yè)是學(xué)生信息的反饋，能在作業(yè)中發(fā)現(xiàn)和彌補(bǔ)教學(xué)中的不足，同時注重個體差異，因材施教

附后板書設(shè)計清楚整潔,便于突出知識目標(biāo)

五、學(xué)法與教法

學(xué)法與教學(xué)用具

學(xué)法：

(1)合作學(xué)習(xí)：引導(dǎo)學(xué)生分組討論，合作交流，共同探討問題。(如問題2的處理)

(2)自主學(xué)習(xí)：引導(dǎo)學(xué)生通過親身經(jīng)歷，動口、動腦、動手參與數(shù)學(xué)活動。(如問題3的處理)

(3)探究學(xué)習(xí)：引導(dǎo)學(xué)生發(fā)揮主觀能動性，主動探索新知。(如例題的處理)

教學(xué)用具：電腦、多媒體、計算器

教法：整堂課圍繞“一切為了學(xué)生發(fā)展”的教學(xué)原則，突出①動--師生互動、共同探索。②導(dǎo)--教師指導(dǎo)、循序漸進(jìn)

(1)新課引入--提出問題,激發(fā)學(xué)生的求知欲

(2)理解導(dǎo)數(shù)的內(nèi)涵--數(shù)形結(jié)合，動手計算,組織學(xué)生自主探索,獲得導(dǎo)數(shù)的定義

(3)例題處理--始終從問題出發(fā)，層層設(shè)疑，讓他們在探索中自得知識

(4)變式練習(xí)--深化對導(dǎo)數(shù)內(nèi)涵的理解，鞏固新知

六、評價分析

這堂課由平均速度到瞬時速度再到導(dǎo)數(shù)，展示了一個完整的數(shù)學(xué)探究過程。提出問題、計算觀察、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、給出定義，讓學(xué)生經(jīng)歷了知識再發(fā)現(xiàn)的過程，促進(jìn)了個性化學(xué)習(xí)。

從舊教材上看，導(dǎo)數(shù)概念學(xué)習(xí)的起點(diǎn)是極限，即從數(shù)列的極限，到函數(shù)的極限，再到導(dǎo)數(shù)。這種概念建立方式具有嚴(yán)密的邏輯性和系統(tǒng)性，但學(xué)生很難理解極限的形式化定義，因此也影響了對導(dǎo)數(shù)本質(zhì)的理解。

新教材不介紹極限的形式化定義及相關(guān)知識，而是用直觀形象的逼近方法定義導(dǎo)數(shù)。

通過列表計算、直觀地把握函數(shù)變化趨勢(蘊(yùn)涵著極限的描述性定義)，學(xué)生容易理解;

這樣定義導(dǎo)數(shù)的優(yōu)點(diǎn)：

1.避免學(xué)生認(rèn)知水平和知識學(xué)習(xí)間的矛盾;

2.將更多精力放在導(dǎo)數(shù)本質(zhì)的理解上;

3.學(xué)生對逼近思想有了豐富的直觀基礎(chǔ)和一定的理解，有利于在大學(xué)的初級階段學(xué)習(xí)嚴(yán)格的極限定義.(附)板書設(shè)計

第四篇：“導(dǎo)數(shù)的概念(起始課)”的教學(xué)設(shè)計、反思與點(diǎn)評

“導(dǎo)數(shù)的概念(起始課)”的教學(xué)設(shè)計、反思與點(diǎn)評

1教學(xué)預(yù)設(shè)

1.1教學(xué)標(biāo)準(zhǔn)

（1）通過情境的介紹，讓學(xué)生知道導(dǎo)數(shù)的實(shí)際背景，體驗(yàn)學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的必要性；

（2）通過大量的實(shí)例的分析，讓學(xué)生知道平均變化率的意義，體會平均變化率的思想及內(nèi)涵，為后續(xù)建立瞬時變化率和導(dǎo)數(shù)的數(shù)學(xué)模型提供豐富的背景；

（3）通過實(shí)例的分析，讓學(xué)生感受平均變化率廣泛存在于日常生活之中，經(jīng)歷運(yùn)用數(shù)學(xué)描述刻畫現(xiàn)實(shí)世界的過程，體會數(shù)學(xué)知識來源于生活，又服務(wù)于生活，感悟數(shù)學(xué)的價值；

（4）通過問題探索、觀察分析、歸納總結(jié)等方式，引導(dǎo)學(xué)生從變量和函數(shù)的角度來描述變化率，進(jìn)而抽象概括出函數(shù)的平均變化率，會求函數(shù)的平均變化率.1.2標(biāo)準(zhǔn)解析

1.21內(nèi)容解析

本節(jié)是導(dǎo)數(shù)的起始課，主要包括三方面的內(nèi)容：變化率、導(dǎo)數(shù)的概念、導(dǎo)數(shù)的幾何意義.實(shí)際上，它們是理解導(dǎo)數(shù)思想及其內(nèi)涵的不同角度.首先，從平均變化率開始，利用平均變化率探求瞬時變化率，并從數(shù)學(xué)上給予各種不同變化率在數(shù)量上精確描述，即導(dǎo)數(shù)；然后，從數(shù)轉(zhuǎn)向形，借助函數(shù)圖象，探求切線斜率和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，說明導(dǎo)數(shù)的幾何意義.根據(jù)教材的安排，本節(jié)內(nèi)容分4課時完成.第一課時介紹平均變化率問題，在“氣球膨脹率”、“高臺跳水”兩個問題的基礎(chǔ)上，歸納出它們的共同特征，用f（x）表示其中的函數(shù)關(guān)系，定義了一般的平均變化率，并給出符號表示.本節(jié)內(nèi)容通過分析研究氣球膨脹率問題、高臺跳水問題，總結(jié)歸納出一般函數(shù)的平均變化率概念，在此基礎(chǔ)上，要求學(xué)生掌握函數(shù)平均變化率解法的一般步驟.平均變化率是個核心概念，它在整個高中數(shù)學(xué)中占有極其重要的地位，是研究瞬時變化率及其導(dǎo)數(shù)概念的基礎(chǔ).在這個過程中，注意特殊到一般、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法的滲透.教學(xué)重點(diǎn)在實(shí)際背景下直觀地解釋函數(shù)的變化率、平均變化率.1.22學(xué)情診斷

吹氣球是很多人具有的生活經(jīng)驗(yàn)，運(yùn)動速度是學(xué)生非常熟悉的物理知識，這兩個實(shí)例的共同點(diǎn)是背景簡單.從簡單的背景出發(fā)，既可以利用學(xué)生原有的知識經(jīng)驗(yàn)，又可以減少因?yàn)楸尘暗膹?fù)雜而可能引起的對數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)的干擾，這是有利的方面.但是如何從具體實(shí)例中抽象出共同的數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)是本節(jié)課教學(xué)的關(guān)鍵.而對本節(jié)課（導(dǎo)數(shù)的概念），學(xué)生是在充滿好奇卻又一無所知的狀態(tài)下開始學(xué)習(xí)的，因此若能讓學(xué)生主動參與到導(dǎo)數(shù)的起始課學(xué)習(xí)過程，讓學(xué)生體會到自己在學(xué)“有價值的數(shù)學(xué)”，必能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心.教學(xué)難點(diǎn)如何從兩個具體的實(shí)例歸納總結(jié)出函數(shù)平均變化率的概念，對生活現(xiàn)象作出數(shù)學(xué)解釋.1.23教學(xué)對策

本節(jié)作為導(dǎo)數(shù)的起始課，同時也是個概念課，如何自然引入導(dǎo)數(shù)的概念是至關(guān)重要的.為了有效實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)，準(zhǔn)備投影儀、多媒體課件等.①在信息技術(shù)環(huán)境下，可以使兩個實(shí)例的背景更形象、更逼真，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，通過演示平均變化率的幾何意義讓學(xué)生更好地體會數(shù)形結(jié)合思想.②通過應(yīng)用舉例的教學(xué)，不斷地提供給學(xué)生比較、分析、歸納、綜合的機(jī)會，體現(xiàn)了從特殊到一般的思維過程，既關(guān)注了學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，又促使學(xué)生在原有認(rèn)知基礎(chǔ)上獲取知識，提高思維能力，保持高水平的思維活動，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.1.24教學(xué)流程設(shè)置情境→提出問題→知識遷移→概括小結(jié)→課后延伸

2教學(xué)簡錄

2.1創(chuàng)設(shè)情境，引入課題

為了描述現(xiàn)實(shí)世界中運(yùn)動、過程等變化著的現(xiàn)象，在數(shù)學(xué)中引入了函數(shù)，隨著對函數(shù)的研究，產(chǎn)生了微積分，微積分的創(chuàng)立與自然科學(xué)中四類問題的處理直接相關(guān)：（課件演示相關(guān)問題情境）

（1）已知物體運(yùn)動的路程作為時間的函數(shù)，求物體在任意時刻的速度與加速度等；

（2）求曲線的切線；

（3）求已知函數(shù)的最大值與最小值；

（4）求長度、面積、體積和重心等.導(dǎo)數(shù)是微積分的核心概念之一，它是研究函數(shù)增減、變化快慢、最大（小）值等問題最一般、最有效的工具.導(dǎo)數(shù)研究的問題即變化率問題：研究某個變量相對于另一個變量變化的快慢程度.評析充分利用章引言中提示的微積分史料，引導(dǎo)學(xué)生探尋微積分發(fā)展的線索，體會微積分的創(chuàng)立與人類科技發(fā)展之間的緊密聯(lián)系，初步了解本章的學(xué)習(xí)內(nèi)容，從而激發(fā)他們學(xué)習(xí)本章內(nèi)容的興趣.2.2提出問題，探求新知

問題1氣球膨脹率（課件演示“吹氣球”）

我們都吹過氣球，回憶一下吹氣球的過程，可以發(fā)現(xiàn)，隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加，氣球的半徑增加越來越慢.從數(shù)學(xué)角度，如何描述這種現(xiàn)象呢？

氣球的體積V（單位：L）與半徑r（單位：dm）之間的函數(shù)關(guān)系是V（r）=43πr3；

如果將半徑r表示為體積V的函數(shù)，那么r（V）=33V4π.師：當(dāng)V從0增加到1時，氣球半徑增加了多少？如何表示？

生：r（1）-r（0）≈0.62（dm）.師：氣球的平均膨脹率為多少？如何刻畫？

生：r（1）-r（0）1-0≈0.62（dm/L）.師：當(dāng)V從1增加到2時，氣球半徑增加了多少？如何表示？

生：r（2）-r（1）≈0.16（dm）.師：氣球的平均膨脹率為多少？如何刻畫？

生：r（2）-r（1）2-1≈0.16（dm/L）.師：非常好！可以看出，隨著氣球體積逐漸增大，它的平均膨脹率逐漸變小了.歸納到一般情形，當(dāng)空氣容量從V1增加到V2時，氣球的平均膨脹率是多少？

生：r（V2）-r（V1）V2-V1.師生活動：教師播放多媒體，學(xué)生可以直接回答問題，教師板書其正確答案.評析通過熟悉的生活體驗(yàn)，提煉出數(shù)學(xué)模型，從而為歸納函數(shù)平均變化率概念提供具體背景.自然合理地提出問題，讓學(xué)生體會“數(shù)學(xué)來源于生活”，創(chuàng)造和諧積極的學(xué)習(xí)氛圍，讓學(xué)生能通過感知表象后，學(xué)會進(jìn)一步探討問題的本質(zhì)，學(xué)會使用數(shù)學(xué)語言和數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)分析問題，避免淺嘗輒止和過分依賴?yán)蠋?問題2高臺跳水（觀看多媒體視頻）

在高臺跳水運(yùn)動中，運(yùn)動員相對于水面的高度h（單位：m）與起跳后的時間t（單位：s）存在函數(shù)關(guān)系h（t）=-4.9t2+6.5t+10.如何用運(yùn)動員在某些時間段內(nèi)的平均速度粗略地描述其運(yùn)動狀態(tài)？

師：請同學(xué)們分組，思考計算：0≤t≤0.5和1≤t≤2的平均速度.生：（第一組）在0≤t≤0.5這段時間里，=h（0.5）-h（0）0.5-0=4.05（m/s）；

生：（第二組）在1≤t≤2這段時間里，=h（2）-h（1）2-1=-8.2（m/s）

師生活動：教師播放多媒體，學(xué)生通過計算回答問題.對第（2）小題的答案說明其物理意義.評析高臺跳水展示了生活中最常見的一種變化率――運(yùn)動速度，而運(yùn)動速度是學(xué)生非常熟悉的物理知識，這樣可以減少因?yàn)楸尘暗膹?fù)雜而可能引起的對數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)的干擾.通過計算為歸納函數(shù)平均變化率概念提供又一重要背景.師：（探究）計算運(yùn)動員在0≤t≤6549這段時間里的平均速度，并思考以下問題：

（1）運(yùn)動員在這段時間內(nèi)是靜止的嗎？

（2）你認(rèn)為用平均速度描述運(yùn)動員的運(yùn)動狀態(tài)有什么問題嗎？

師生活動：教師播放多媒體，學(xué)生通過計算回答問題.對答案加以說明其物理意義（可以結(jié)合圖像說明）.評析通過計算得出平均速度只能粗略地描述運(yùn)動狀態(tài)，從而為瞬時速度的提出埋下伏筆即為導(dǎo)數(shù)的概念作了鋪墊，利用圖像解釋的過程體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.（1）讓學(xué)生親自計算和思考，展開討論；

（2）老師慢慢引導(dǎo)學(xué)生說出自己的發(fā)現(xiàn)，并初步修正到最終的結(jié)論上；

（3）得到結(jié)論是：①平均速度只能粗略地描述運(yùn)動員的運(yùn)動狀態(tài)，它并不能反映某一刻的運(yùn)動狀態(tài)；②需要尋找一個量，能更精細(xì)地刻畫運(yùn)動員的運(yùn)動狀態(tài).思考：當(dāng)運(yùn)動員起跳后的時間從t1增加到t2時，運(yùn)動員的平均速度是多少？

師生活動：教師播放多媒體，學(xué)生可以直接回答問題，教師板書其正確答案.通過引導(dǎo)，使學(xué)生逐步歸納出問題1、2的共性.評析把問題2中的具體數(shù)據(jù)運(yùn)算提升到一般的字母表示，體現(xiàn)從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，同時為歸納函數(shù)平均變化率概念作鋪墊.2.3知識遷移，把握本質(zhì)

（1）上述問題中的變化率可用式子f（x2）-f（x1）x2-x1表示，稱為函數(shù)f（x）從x1到x2的平均變化率.（2）若設(shè)Δx=x2-x1，Δy=f（x2）-f（x1）.（這里Δx看作是對于x1的一個“增量”，可用x1+Δx代替x2）.（3）則平均變化率為ΔyΔx=f（x2）-f（x1）x2-x1=f（x1+Δx）-f（x1）Δx.思考：觀察函數(shù)f（x）的圖象，平均變化率ΔyΔx=f（x2）-f（x1）x2-x1表示什么？

生：曲線y=f（x）上兩點(diǎn)（x1，f（x1））、（x2，f（x2））連線的斜率（割線的斜率）.生：（補(bǔ)充）平均變化率反映了函數(shù)在某個區(qū)間上平均變化的趨勢（變化快慢），即在某個區(qū)間上曲線陡峭的程度.師：兩位同學(xué)回答得非常好！那么，計算平均變化率的步驟是什么？

生：①求自變量的增量Δx=x2-x1；②求函數(shù)的增量Δy=f（x2）-f（x1）；③求平均變化率ΔyΔx=f（x2）-f（x1）x2-x1.評析通過對一些熟悉的實(shí)例中變化率的理解，逐步推廣到一般情況，即從函數(shù)的角度去分析、應(yīng)用變化率，并結(jié)合圖形直觀理解變化率的幾何意義，從幾何角度理解平均變化率的概念即平均變化率的幾何意義，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.為進(jìn)一步加深理解變化率與導(dǎo)數(shù)作好鋪墊.2.4知識應(yīng)用，提高能力

例1已知函數(shù)f（x）=-x2+x圖象上的一點(diǎn)A（-1，-2）及臨近一點(diǎn)B（-1+Δx，-2+Δy），則ΔyΔx=.例2求y=x2在x=x0附近的平均變化率.2.5課堂練習(xí)，自我檢測

（1）質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動規(guī)律為s=t2+3，則在時間（3，3+Δt）中相應(yīng)的平均速度為.（2）物體按照s（t）=3t2+t+4的規(guī)律作運(yùn)動，求在4s附近的平均變化率.（3）過曲線f（x）=x3上兩點(diǎn)P（1，1）和P′（1+Δx，1+Δy）作曲線的割線，求出當(dāng)Δx=0.1時割線的斜率.評析概念的簡單應(yīng)用，體現(xiàn)了由易到難，由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.2.6課堂小結(jié)，知識再現(xiàn)

（1）函數(shù)平均變化率的概念是什么？它是通過什么實(shí)例歸納總結(jié)出來的？

（2）求函數(shù)平均變化率的一般步驟是怎樣的？

（3）這節(jié)課主要用了哪些數(shù)學(xué)思想？

師生活動：最后師生共同歸納總結(jié)：函數(shù)平均變化率的概念、吹氣球及高臺跳水兩個實(shí)例、求函數(shù)平均變化率的一般步驟、主要的數(shù)學(xué)思想有：從特殊到一般，數(shù)形結(jié)合.評析復(fù)習(xí)重點(diǎn)知識、思想方法，完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu).2.7布置作業(yè)，課后延伸

（1）課本第10頁：習(xí)題A組：第1題.（2）課后思考問題：需要尋找一個量，能更精細(xì)地刻畫運(yùn)動員的運(yùn)動狀態(tài)，那么該量應(yīng)如何定義？

3教學(xué)反思

在教學(xué)設(shè)計時，我把“平均變化率”當(dāng)成本節(jié)課的核心概念.教學(xué)的預(yù)設(shè)目標(biāo)基本完成，特別是知識目標(biāo)，學(xué)生能較好地掌握“平均變化率”這一概念，并會利用概念求平均變化率.根據(jù)這一節(jié)課的內(nèi)容特點(diǎn)以及學(xué)生的實(shí)際情況，在教學(xué)過程中讓學(xué)生自己去感受問題情境中提出的問題，并以此作為突破口，啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生得出函數(shù)的平均變化率.成功之處：通過生活中的實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生分析和歸納，讓學(xué)生在已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上建構(gòu)新知識，從而達(dá)到概念的自然形成，進(jìn)而從數(shù)學(xué)的外部到數(shù)學(xué)的內(nèi)部，啟發(fā)學(xué)生運(yùn)用概念探究新問題.這樣學(xué)生不會感到突兀，并能進(jìn)一步感受到數(shù)學(xué)來源于生活，生活中處處蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)化的知識，同時可以提高他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主觀能動性.教學(xué)的預(yù)設(shè)目標(biāo)基本完成，特別是知識目標(biāo)，學(xué)生能較好地掌握“平均變化率”這一概念，并會利用概念求平均變化率.改進(jìn)之處：課堂實(shí)施過程中，雖然在形式上沒有將知識直接拋給學(xué)生，但自己的“引導(dǎo)”具有明顯的“牽”的味道.在教學(xué)過程中，雖然能關(guān)注到適當(dāng)?shù)挠嬎懔?，但激發(fā)學(xué)生思維的好問題不多.整堂課學(xué)生的思維量不夠，學(xué)生缺少思辯，同時留給學(xué)生判斷和分析的成分、時間都不夠.4教學(xué)點(diǎn)評

采用相互討論、探究規(guī)律和引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)的教學(xué)方法，通過不斷出現(xiàn)的一個個問題，一步步創(chuàng)設(shè)出使學(xué)生有興趣探索知識的“情境”，營造生動活潑的課堂教學(xué)氣氛，充分發(fā)揮學(xué)生的主體地位，通過實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷由平均變化率到瞬時變化率的過程，從而更好地理解變化率問題.4.1注重情境創(chuàng)設(shè)，適度使數(shù)學(xué)生活化、情境化

注重情境創(chuàng)設(shè)，適度使數(shù)學(xué)生活化、情境化而又不失濃厚的數(shù)學(xué)味，可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)在需要，把學(xué)生引入到身臨其境的環(huán)境中去，自然地生發(fā)學(xué)習(xí)需求.因此，本節(jié)課以兩個實(shí)際問題（吹氣球和高臺跳水）為情景，在激發(fā)主體興趣的前提下，引導(dǎo)學(xué)生在生活感受的基礎(chǔ)之上從數(shù)學(xué)的角度刻畫“吹氣球”和“高臺跳水”，并注重數(shù)形結(jié)合思想方法的滲透.4.2準(zhǔn)確定位，精心設(shè)問，注重學(xué)生合作交流

教師的角色始終是數(shù)學(xué)活動的組織者，參與并引導(dǎo)學(xué)生從事有效的學(xué)習(xí)活動，并在學(xué)生遇到困難時，適時點(diǎn)撥，讓學(xué)生體會到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程是人生的一種有意義的經(jīng)歷和體驗(yàn)，從而發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能動性和創(chuàng)造性.教師精心設(shè)計好問題，從而更好地激發(fā)每個學(xué)生積極主動地參與到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中來，讓學(xué)生在解決問題時又不斷產(chǎn)生新的思維火花，在解決問題的過程中達(dá)到學(xué)習(xí)新知識的目的和激發(fā)創(chuàng)新的意識.因此，本課采用自主探索、合作交流的探究式學(xué)習(xí)方式，使學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主人.4.3借用信息技術(shù)輔助，強(qiáng)化直觀感知

在信息技術(shù)環(huán)境下，可以使兩個實(shí)例（吹氣球和高臺跳水）的背景更形象、更逼真，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，通過演示平均變化率的幾何意義讓學(xué)生更好地體會數(shù)形結(jié)合思想.同時幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，使探究落到實(shí)處.作者簡介楊瑞強(qiáng)，男，1979年生，湖北黃岡人，中學(xué)一級教師.主要從事數(shù)學(xué)教育與中學(xué)教學(xué)研究.發(fā)表論文60余篇.

第五篇：《導(dǎo)數(shù)的概念》第一課時的教學(xué)反思6

《導(dǎo)數(shù)的概念》第一課時的教學(xué)反思

陳吾婷

在備《導(dǎo)數(shù)的概念》第一課時，對課本內(nèi)容作了一定的調(diào)整，設(shè)計了這樣的過程：由芝諾著名的一個悖論“飛矢不動”引入，然后利用瞬時速度來解釋飛矢在某一點(diǎn)的速度是存在的，然后再轉(zhuǎn)到曲線切線的討論上來。

應(yīng)該說，這樣的思路很自然，也很有趣。但是在第一節(jié)課實(shí)際的實(shí)施過程中，出現(xiàn)一些問題，使得學(xué)生在芝諾悖論之后，就慢慢地變成了“無聲”的狀態(tài)，這主要是一些推導(dǎo)中復(fù)雜的符號使然。第一節(jié)下課后，很快地做了一個反思，總結(jié)了如下幾點(diǎn)：

1．在推導(dǎo)瞬時速度時，應(yīng)該先講清楚牛頓的思路，即求位移的增量，求平均速度，再求極限。這樣再進(jìn)行推導(dǎo)，學(xué)生就有了方向，而不會象第一節(jié)課那樣，聽得慢，看著復(fù)雜的符號就頭暈。

在學(xué)習(xí)理論中，有個“先行組織者”的概念，“先行組織者”是先于學(xué)習(xí)任務(wù)本身呈現(xiàn)的一種引導(dǎo)性材料，它要比原學(xué)習(xí)任務(wù)本身有更高的抽象、概括和包容水平，并且能清晰地與認(rèn)知結(jié)構(gòu)中原有的觀念和新的學(xué)習(xí)任務(wù)關(guān)聯(lián)。可能在對于這樣牽涉到復(fù)雜符號的推導(dǎo)時，更需要有這樣的一個前提準(zhǔn)備。要不然學(xué)生就弄不清方向，從而被符號所困。

2．也是在推導(dǎo)瞬時速度時，應(yīng)該做一個圖解，使學(xué)生更清楚地看到增量的意義。第一節(jié)課正是沒有給出圖解，雖然對增量做了一定的強(qiáng)調(diào)，但是學(xué)生對增量的理解依然是抽象而非具體的。

3．推導(dǎo)完瞬時速度后，應(yīng)該點(diǎn)出對“飛矢不動”悖論的反駁，即在某一點(diǎn)是有速度的。第一節(jié)課中忘了說明這一點(diǎn)了，就使得學(xué)生不知道“飛矢不動”這個情境有什么用，也不知道與瞬時速度有什么聯(lián)系。

4．在介紹完曲線的切線后，給出一個很好的例子，即y=|x|在x=0處有沒有切線，可以先增加另一個變式——求x=1處的切線，這會使學(xué)生認(rèn)識得更深刻一點(diǎn)。最后最好能指出正如某一點(diǎn)的瞬時速度只有一個一樣，某一點(diǎn)的切線也應(yīng)該只有一條。

經(jīng)過課間幾分鐘的反思與調(diào)整，第二節(jié)課果然清晰了許多，也生動了許多。學(xué)生聽得也饒有興致。

課后，有兩個學(xué)生也分別提出了兩個很好的問題。第一個問題是在剛才這一例子中，沒有斜率難道就沒有切線嗎？第二個問題是如果切線垂直于x軸，按導(dǎo)數(shù)的解釋，如果斜率無窮大——即以前通常所說的極限不存在，那么切線不是也不存在嗎？

當(dāng)時給出了這樣的解釋：導(dǎo)數(shù)不存在，切線就不存在；導(dǎo)數(shù)無窮大實(shí)際上還是存在的，只不過是無窮大，而上面的例子中的在x=0的導(dǎo)數(shù)是真的不存在，這是有區(qū)別的?；丶衣飞舷肓艘幌?，并不敢保證這樣的解釋的正確性，尤其是導(dǎo)數(shù)不存在，切線就不存在。到家一查，同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系主編的《高等數(shù)學(xué)》（第五版上冊）第82頁中就有切線的定義，包括了導(dǎo)數(shù)無窮大時的切線情況，在第85頁中就有y=|x|在x=0處切線不存在的例子。放心了！但是依然在思考的一個問題是：怎樣才能更加直觀地說明上例中的切線不存在呢？它又哪里去了呢？