第一篇：13252ja_1.1.2導數(shù)的概念教案

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§1.1.2導數(shù)的概念

教學目標

1．了解瞬時速度、瞬時變化率的概念；

2．理解導數(shù)的概念，知道瞬時變化率就是導數(shù)，體會導數(shù)的思想及其內涵； 3．會求函數(shù)在某點的導數(shù)

教學重點：瞬時速度、瞬時變化率的概念、導數(shù)的概念； 教學難點：導數(shù)的概念． 教學過程： 一．創(chuàng)設情景

（一）平均變化率

（二）探究：計算運動員在0?t?6549這段時間里的平均速度，并思考以下問題：

⑴運動員在這段時間內使靜止的嗎？

⑵你認為用平均速度描述運動員的運動狀態(tài)有什么問題嗎？

探究過程：如圖是函數(shù)h(t)=-4.9t2+6.5t+10的圖像，結合圖形可知，h(h(65)?h(0)?0(s/m)，?065496549)?h(0)，h 所以v?496549雖然運動員在0?t?這段時間里的平均速度為0(s/m)，但實際情況是運動員仍然運動，并非靜止，可以說明用平均速度不能精確描述運動員的運動狀態(tài)． 二．新課講授 1．瞬時速度

我們把物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度。運動員的平均速度不能反映他在某一時刻的瞬時速度，那么，如何求運動員的瞬時速度呢？比如，t?2時的瞬時速度是多少？

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考察t?2附近的情況：

思考：當?t趨近于0時，平均速度v有什么樣的變化趨勢？

結論：當?t趨近于0時，即無論t從小于2的一邊，還是從大于2的一邊趨近于2時，平均速度v都趨近于一個確定的值?13.1．

從物理的角度看，時間?t間隔無限變小時，平均速度v就無限趨近于史的瞬時速度，因此，運動員在t?2時的瞬時速度是?13.1m/s 為了表述方便，我們用limh(2??t)?h(2)?t?t?0??13.1

表示“當t?2，?t趨近于0時，平均速度v趨近于定值?13.1”

小結：局部以勻速代替變速，以平均速度代替瞬時速度，然后通過取極限，從瞬時速度的近似值過渡到瞬時速度的精確值。2 導數(shù)的概念

從函數(shù)y=f(x)在x=x0處的瞬時變化率是: ?x?0limf(x0??x)?f(x0)?x?lim?f?x

'?x?0'我們稱它為函數(shù)y?f(x)在x?x0出的導數(shù)，記作f(x0)或y|x?x，即

0 f?(x0)?limf(x0??x)?f(x0)?x

?x?0說明：（1）導數(shù)即為函數(shù)y=f(x)在x=x0處的瞬時變化率

（2）?x?x?x0，當?x?0時，x?x0，所以f?(x0)?lim三．典例分析

例1．（1）求函數(shù)y=3x2在x=1處的導數(shù).分析：先求Δf=Δy=f(１＋Δx)-f(１)=6Δx+(Δx)再求?f?x?6??x再求lim?f?x?6

f(x)?f(x0)x?x0

?x?0?x?0解：法一（略）

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上教考資源網(wǎng) 助您教考無憂 法二：y?|x?1?lim3x?3?1x?122x?1?lim3(x?1)x?1x?1?lim3(x?1)?6

x?12（2）求函數(shù)f(x)=?x?x在x??1附近的平均變化率，并求出在該點處的導數(shù)．

解：?y?x??(?1??x)?(?1??x)?2?x?y?x22?3??x

f?(?1)?lim?x?0??(?1??x)?(?1??x)?2?x?lim(3??x)?3

?x?0例2．（課本例1）將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品，需要對原油進行冷卻和加熱，如果第xh時，原油的溫度（單位：?C）為f(x)?x2?7x?15(0?x?8)和第6h時，原油溫度的瞬時變化率，并說明它們的意義．

解：在第2h時和第6h時，原油溫度的瞬時變化率就是f'(2)和f'(6)根據(jù)導數(shù)定義，2，計算第2h時?f?x?f(2??x)?f(x0)?x2

?(2??x)?7(2??x)?15?(2?7?2?15)?x?f?lim(?x?3)??3

?x?0??x?3

所以f?(2)?lim?x同理可得:f?(6)?5 ?x?0在第2h時和第6h時，原油溫度的瞬時變化率分別為?3和5，說明在2h附近，原油溫度大約以3C/h的速率下降，在第6h附近，原油溫度大約以5C/h的速率上升．

'注：一般地，f(x0)反映了原油溫度在時刻x0附近的變化情況． ??四．課堂練習

21．質點運動規(guī)律為s?t?3，求質點在t?3的瞬時速度為．

2．求曲線y=f(x)=x3在x?1時的導數(shù)．

3．例2中，計算第3h時和第5h時，原油溫度的瞬時變化率，并說明它們的意義． 五．回顧總結

1．瞬時速度、瞬時變化率的概念

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2．導數(shù)的概念

六．布置作業(yè)

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第二篇：導數(shù)的概念教案

【教學課題】：§2.1 導數(shù)的概念（第一課時）

【教學目的】：能使學生深刻理解在一點處導數(shù)的概念，能準確表達其定義；明確其實際背景并給出物理、幾何解釋；能夠從定義出發(fā)求某些函數(shù)在一點處的導數(shù)；明確一點處的導數(shù)與單側導數(shù)、可導與連續(xù)的關系。

【教學重點】：在一點處導數(shù)的定義?！窘虒W難點】：在一點處導數(shù)的幾種等價定義及其應用。【教學方法】：系統(tǒng)講授，問題教學，多媒體的利用等?！窘虒W過程】：

一）導數(shù)的思想的歷史回顧

導數(shù)的概念和其它的數(shù)學概念一樣是源于人類的實踐。導數(shù)的思想最初是由法國數(shù)學家費馬（Fermat）為研究極值問題而引入的，但導數(shù)作為微積分的最主要的概念，卻是英國數(shù)學家牛頓（Newton）和德國數(shù)學家萊布尼茲（Leibniz）在研究力學與幾何學的過程中建立起來的。

二）兩個來自物理學與幾何學的問題的解決

問題1（以變速直線運動的瞬時速度的問題的解決為背景）已知：自由落體運動方程為：s(t)?12gt，t?[0,T]，求：落體在t0時刻（t0?[0,T]）的瞬時速度。2t0t

問題解決：設t為t0的鄰近時刻，則落體在時間段[t0,t]（或[t,t0]）上的平均速度為

v?若t?t0時平均速度的極限存在，則極限

s(t)?s(t0)

t?t0v?limt?t0s(t)?s(t0)

t?t0為質點在時刻t0的瞬時速度。

問題2（以曲線在某一點處切線的斜率的問題的解決為背景）已知：曲線y?f(x)上點M(x0,y0)，求：M點處切線的斜率。

下面給出切線的一般定義；設曲線C及曲線C上的一點M，如圖，在M外C上另外取一點N，作割線MN，當N沿著C趨近點M時，如果割線MN繞點M旋轉而趨于極 限位置MT，直線MT就稱為曲線C在點M處的切線。

問題解決：取在C上M附近一點N(x,y)，于是割線PQ的斜率為

tan??y?y0f(x)?f(x0)（?為割線MN的傾角）?x?x0x?x0當x?x0時，若上式極限存在，則極限

k?tan??f(x)?fx(0)（?為割線MT的傾角）limx?x0x?x0為點M處的切線的斜率。

上述兩問題中，第一個是物理學的問題，后一個是幾何學問題，分屬不同的學科，但問 題的解決都歸結到求形如

limx?x0f(x)?f(x0）

（1）

x?x0的極限問題。事實上，在學習物理學時會發(fā)現(xiàn)，在計算諸如物質比熱、電流強度、線密度等問題中，盡管其背景各不相同，但最終都化歸為討論形如（1）的極限問題。也正是這類問題的研究，促使“導數(shù)”的概念的誕生。

三）導數(shù)的定義

定義

設函數(shù)y?f(x)在x0的某鄰域內有定義，若極限

x?x0limf(x)?f(x0）

x?x0存在，則稱函數(shù)f在點x0處可導，并稱該極限為f在點x0處的導數(shù)，記作f'(x0)。即

f'(x0)?limx?x0f(x)?f(x0）

（2）

x?x0也可記作y?x?x，odydx，x?xodf(x)。若上述極限不存在，則稱f在點x0處不可導。

dxx?xof在x0處可導的等價定義：

設x?x0??x,?y?f(x0??x)?f(x0)，若x?x0則等價于?x?0，如果 函數(shù)f在點x0處可導，可等價表達成為以下幾種形式： f'(x0)?limx?x0?yf(x)?f(x0）

（3）

?f'(x0)?lim?x?0?xx?x0?f'(x0)?lim?x?0f(x0??x)?f(x0）

（4）

?x?f'(x0)?lim四）

f(x0?)?f(x0）?0

（5）

利用導數(shù)定義求導數(shù)的幾個例子

例1 求f(x)?x2在點x?1處的導數(shù)，并求曲線在點(1,1)處的切線方程。解 由定義

?yf(1??x)?f(1)(1??x)2?1f(1)?lim?lim?lim

?x?0?x?x?0?x?0?x?x'2?x??x2?lim?lim(2??x)?2 ?x?0?x?0?x于是曲線在(1,1)處的切線斜率為2，所以切線方程為y?1?2(x?1)，即y?2x?1。

例2 設函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，f?(0)存在，證明：f?(0)?0。

(x)

?f(?x)?f(??x)證

?f(x)?f? 又f(0)?lim

?lim?x?0'?x?0f(0??x)?f(0)f(?x)?f(0)?lim ?x?0?x?xf(??x)?f(0)f[0?(??x)]?f(0)??lim??f?(0)

?x?0?x??x?f?(0)?0

注意：f'(x0)?limf(x0?)?f(x0）這種形式的靈活應用。此題的?0為??x。

1?xsin,x?0?x例3 討論函數(shù)f(x)?? 在x?0處的連續(xù)性，可導性。?0,x?0?解

首先討論f(x)在x?0處的連續(xù)性：limf(x)?limxsinx?0x?01?0?f(0)x即f(x)在x?0處連續(xù)。

再討論f(x)在x?0處的可導性：

?x?0limf(0??x)?f(0)?lim?x?0?x

?xsin1?01?x

此極限不存在 ?limsin?x?0?x?x即f(x)在x?0處不可導。

問

怎樣將此題的f(x)在x?0的表達式稍作修改，變?yōu)閒(x)在x?0處可導？

1?n?1xsinx,?0?x答 f(x)?? n?1,2,3?，即可。

?0,x?0?四）可導與連續(xù)的關系

由上題可知；在一點處連續(xù)不一定可導。反之，若設f(x)在點x0可導，則

?y?f'(x0)

?x?0?xlim由極限與無窮小的關系得：

?y?f'(x0)?x?o(?x)，所以當?x?0，有?y?0。即f在點x0連續(xù)。

故在一點處連續(xù)與可導的關系是：連續(xù)不一定可導，可導一定連續(xù)。

五）單側導數(shù)的概念

例4 證明函數(shù)f(x)?|x|在x?0處不可導。證明 ?lim?x?0f(x)?f(0)xf(x)?f(0)?x?lim?1lim?lim??1，x?0?xx?0?x?0?xx?0x?0?limx?0f(x)?f(0)極限不存在。

x?0故f(x)?|x|在x?0處不可導。

在函數(shù)分段點處或區(qū)間端點等處，不得不考慮單側導數(shù)：

定義

設函數(shù)y?f(x)在點x0的某右鄰域(x0,x0??)上有定義，若右極限

?x?0lim?f(x0??x)?f(x0）?y?lim?（0??x??）?x?0?x?x存在，則稱該極限為f在點x0的右導數(shù)，記作f?'(x0)。

?左導數(shù)

f?'(x0)?yli?m。?x?0?x左、右導數(shù)統(tǒng)稱為單側導數(shù)。

導數(shù)與左、右導數(shù)的關系：若函數(shù)y?f(x)在點x0的某鄰域內有定義，則f'(x0)存在?f?'(x0)，f?'(x0)都存在，且f?'(x0)=f?'(x0)。例5 設f(x)??解 由于 ?1?cosx, x?0，討論f(x)在x?0處的可導性。

x?0?x , f?'(0)?lim??x?0f(x0??x)?f(x0)1?cos?x?lim??0 ?x?0?x?xf(x0??x)?f(x0)?x?lim??1 ?x?0?x?xf?'(0)?lim??x?0從而f?'(0)?f?'(0)，故f(x)在x?0處不可導。

六）小結: 本課時的主要內容要求：

① 深刻理解在一點處導數(shù)的概念，能準確表達其定義；

② 注意f'(x0)?limf(x0?)?f(x0）這種形式的靈活應用。

?0③ 明確其實際背景并給出物理、幾何解釋； ④ 能夠從定義出發(fā)求某些函數(shù)在一點處的導數(shù)；

⑤ 明確導數(shù)與單側導數(shù)、可導與連續(xù)的關系。

第三篇：導數(shù)的概念第一課時教案

數(shù)學歸納法第二課時教案（2010年4月7日）

課題 導數(shù)的概念第一課時

授課人

康玉梅

學校

三河市第二中學

1、知識目標：掌握數(shù)學歸納法的定義，理解數(shù)學歸納法原理的兩個步驟，教學目標： 會用數(shù)學歸納法證明簡單的與自然數(shù)有關的等式

2、能力目標：培養(yǎng)學生的觀察能力、理解能力和分析能力。

3、情感目標：從理解學習數(shù)學歸納法的必要性和重要性激發(fā)學生的求知欲

教學重點 教學難點 教學方法 教師活動

1、復習引入 明確數(shù)學歸納法的兩個原理缺一不可 對原理的準確理解 講練結合

教

學

過

程

學

生活動

回顧 理解 記憶 記筆記

思考并回答問題

教具：多媒體

問題圓的切線與圓的關系

問題

2能否將圓的切線的概念推廣為一般曲線的切線：直線與曲線有唯一公共點時，直線叫曲線過該

點的切線？如果能，請說明理由；如果不能，請舉出反例。

問題

3為什么與拋物線對稱軸平行的直線不是拋物線的切線？ 111?11n?????1??2121?22?3n?(n?1)n?1

三、布置作業(yè)。練習冊 P337.338

四、板書設計

第四篇：數(shù)學說課稿：導數(shù)概念

數(shù)學說課稿：導數(shù)概念

作為一位兢兢業(yè)業(yè)的人民教師，就不得不需要編寫說課稿，說課稿有助于學生理解并掌握系統(tǒng)的知識。說課稿要怎么寫呢？以下是小編收集整理的數(shù)學說課稿：導數(shù)概念，歡迎閱讀與收藏。

導數(shù)是近代數(shù)學中微積分的核心概念之一，是一種思想方法，這種思想方法是人類智慧的驕傲?！秾?shù)的概念》這一節(jié)內容，大致分成四個課時，我主要針對第三課時的教學，談談我的理解與設計，敬請各位專家斧正。

一、教材分析

1.1編者意圖《導數(shù)的概念》分成四個部分展開，即：“曲線的切線”，“瞬時速度”，“導數(shù)的概念”，“導數(shù)的幾何意義”，編者意圖在哪里呢？用前兩部分作為背景，是為了引出導數(shù)的概念；介紹導數(shù)的幾何意義，是為了加深對導數(shù)的理解。從而充分借助直觀來引出導數(shù)的概念；用極限思想抽象出導數(shù)；用函數(shù)思想拓展、完善導數(shù)以及在應用中鞏固、反思導數(shù)，教材的顯著特點是從具體經(jīng)驗出發(fā)，向抽象和普遍發(fā)展，使探究知識的過程簡單、經(jīng)濟、有效。

1.2導數(shù)概念在教材的地位和作用“導數(shù)的概念”是全章核心。不僅在于它自身具有非常嚴謹?shù)慕Y構，更重要的是，導數(shù)運算是一種高明的數(shù)學思維，用導數(shù)的運算去處理函數(shù)的性質更具一般性，獲得更為理想的結果；把運算對象作用于導數(shù)上，可使我們擴展知識面，感悟變量，極限等思想，運用更高的觀點和更為一般的方法解決或簡化中學數(shù)學中的不少問題；導數(shù)的方法是今后全面研究微積分的重要方法和基本工具，在在其它學科中同樣具有十分重要的作用；在物理學，經(jīng)濟學等其它學科和生產(chǎn)、生活的各個領域都有廣泛的應用。導數(shù)的出現(xiàn)推動了人類事業(yè)向前發(fā)展。

1.3教材的內容剖析知識主體結構的比較和知識的遷移類比如下表：

表1、知識主體結構比較

通過比較發(fā)現(xiàn)：求切線的斜率和物體的瞬時速度，這兩個具體問題的解決都依賴于求函數(shù)的極限，一個是“微小直角三角形中兩直角邊之比”的極限，一個是“位置改變量與時間改變量之比”的極限，如果舍去問題的具體含義，都可以歸結為一種相同形式的極限，即“平均變化率”的極限。因此以兩個背景作為新知的生長點，不僅使新知引入變得自然，而且為新知建構提供了有效的類比方法。

1.4重、難點剖析

重點：導數(shù)的概念的形成過程。

難點：對導數(shù)概念的理解。

為什么這樣確定呢？導數(shù)概念的形成分為三個的層次：f（x）在點x0可導→f（x）在開區(qū)間（，b）內可導→f（x）在開區(qū)間（，b）內的導函數(shù)→導數(shù)，這三個層次是一個遞進的過程，而不是專指哪一個層次，也不是幾個層次的簡單相加，因此導數(shù)概念的形成過程是重點；教材中出現(xiàn)了兩個“導數(shù)”，“兩個可導”，初學者往往會有這樣的困惑，“導數(shù)到底是個什么東西？一個函數(shù)是不是有兩種導數(shù)呢？”，“導函數(shù)與導數(shù)是怎么統(tǒng)一的？”。事實上：

（1）f（x）在點x0處的導數(shù)是這一點x0到x0+△x的變化率的極限，是一個常數(shù)，區(qū)別于導函數(shù)。

（2）f（x）的導數(shù)是對開區(qū)間內任意點x而言，是x到x+△x的變化率的極限，是f（x）在任意點的變化率，其中滲透了函數(shù)思想。

（3）導函數(shù)就是導數(shù)！是特殊的函數(shù)：先定義f（x）在x0處可導、再定義f（x）在開區(qū)間（，b）內可導、最后定義f（x）在開區(qū)間的導函數(shù)。

（4）y=f（x）在x0處的導數(shù)就是導函數(shù)在x=x0處的函數(shù)值，表示為這也是求f′（x0）的一種方法。初學者最難理解導數(shù)的概念，是因為初學者最容易忽視或混淆概念形成過程中幾個關鍵詞的區(qū)別和聯(lián)系，會出現(xiàn)較大的分歧和差別，要突破難點，關鍵是找到“f（x）在點x0可導”、“f（x）在開區(qū)間的導函數(shù)”和“導數(shù)”之間的聯(lián)系，而要弄清這種聯(lián)系的最好方法就是類比！用“速度與導數(shù)”進行類比。

二、目的分析

2.1學生的認知特點。在知識方面，對函數(shù)的極限已經(jīng)熟悉，加上兩個具體背景的學習，新知教學有很好的基礎；在技能方面，高三學生，有很強的概括能力和抽象思維能力；在情感方面，求知的欲望強烈，喜歡探求真理，具有積極的情感態(tài)度。

2.2教學目標的擬定。鑒于這些特點，并結合教學大綱的要求以及對教材的分析，擬定如下的教學目標：

知識目標：

①理解導數(shù)的概念。

②掌握用定義求導數(shù)的方法。

③領悟函數(shù)思想和無限逼近的極限思想。

能力目標：

①培養(yǎng)學生歸納、抽象和概括的能力。

②培養(yǎng)學生的數(shù)學符號表示和數(shù)學語言表達能力。

情感目標：通過導數(shù)概念的學習，使學生體驗和認同“有限和無限對立統(tǒng)一”的辯證觀點。接受用運動變化的辯證唯物主義思想處理數(shù)學問題的積極態(tài)度。

三、過程分析

設計理念：遵循特殊到一般的認知規(guī)律，結合可接受性和可操作性原則，把教學目標的落實融入到教學過程之中，通過演繹導數(shù)的形成，發(fā)展和應用過程，幫助學生主動建構概念。

一、教材分析

導數(shù)的概念是高中新教材人教A版選修2-2第一章1.1.2的內容,是在學生學習了物理的平均速度和瞬時速度的背景下，以及前節(jié)課所學的平均變化率基礎上，闡述了平均變化率和瞬時變化率的關系，從實例出發(fā)得到導數(shù)的概念，為以后更好地研究導數(shù)的幾何意義和導數(shù)的應用奠定基礎。

新教材在這個問題的處理上有很大變化，它與舊教材的區(qū)別是從平均變化率入手，用形象直觀的“逼近”方法定義導數(shù)。

問題1氣球平均膨脹率--→瞬時膨脹率

問題2高臺跳水的平均速度--→瞬時速度--→

根據(jù)上述教材結構與內容分析，立足學生的認知水平，制定如下教學目標和重、難點

二、教學目標

1、知識與技能：

通過大量的實例的分析，經(jīng)歷由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程，了解導數(shù)概念的實際背景，知道瞬時變化率就是導數(shù)。

2、過程與方法：

①通過動手計算培養(yǎng)學生觀察、分析、比較和歸納能力

②通過問題的探究體會逼近、類比、以已知探求未知、從特殊到一般的數(shù)學思想方法

3、情感、態(tài)度與價值觀：

通過運動的觀點體會導數(shù)的內涵，使學生掌握導數(shù)的概念不再困難，從而激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣.三、重點、難點

重點：導數(shù)概念的形成，導數(shù)內涵的理解

難點：在平均變化率的基礎上去探求瞬時變化率，深刻理解導數(shù)的內涵通過逼近的方法，引導學生觀察來突破難點

四、教學設想(具體如下表)

教學環(huán)節(jié)教學內容師生互動設計思路創(chuàng)設情景、引入新課幻燈片

回顧上節(jié)課留下的思考題：

在高臺跳水運動中，運動員相對水面的高度h(單位：m)與起跳后的時間t(單位：s)存在函數(shù)關系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.計算運動員在這段時間里的平均速度，并思考下面的問題：

(1)運動員在這段時間里是靜止的嗎?

(2)你認為用平均速度描述運動員的運動狀態(tài)有什么問題嗎?

首先回顧上節(jié)課留下的思考題：

在學生相互討論，交流結果的基礎上，提出：大家得到運動員在這段時間內的平均速度為“0”，但我們知道運動員在這段時間內并沒有“靜止”。為什么會產(chǎn)生這樣的情況呢?

引起學生的好奇，意識到平均速度只能粗略地描述物體在某段時間內的運動狀態(tài)，為了能更精確地刻畫物體運動，我們有必要研究某個時刻的速度即瞬時速度。

使學生帶著問題走進課堂，激發(fā)學生求知欲初步探索、展示內涵

根據(jù)學生的認知水平,概念的形成分了兩個層次：

結合跳水問題，明確瞬時速度的定義

問題一：請大家思考如何求運動員的瞬時速度，如t=2時刻的瞬時速度?

提出問題一，組織學生討論，引導他們自然地想到選取一個具體時刻如t=2，研究它附近的平均速度變化情況來尋找到問題的思路，使抽象問題具體化

理解導數(shù)的內涵是本節(jié)課的教學重難點，通過層層設疑，把學生推向問題的中心，讓學生動手操作，直觀感受來突出重點、突破難點

問題二：請大家繼續(xù)思考，當Δt取不同值時,嘗試計算的'值?

Δt

Δt

-0.10.1

-0.010.01

-0.0010.001

-0.00010.0001

-0.000010.00001

……….….…….…

學生對概念的認知需要借助大量的直觀數(shù)據(jù)，所以我讓學生利用計算器，分組完成問題二，幫助學生體會從平均速度出發(fā)，“以已知探求未知”的數(shù)學思想方法,培養(yǎng)學生的動手操作能力

問題三：當Δt趨于0時，平均速度有怎樣的變化趨勢?

Δt

Δt

-0.1-12.610.1-13.59

-0.01-13.0510.01-13.149

-0.001-13.09510.001-13.1049

-0.0001-130099510.0001-13.10049

-0.00001-13.0999510.00001-13.100049

……….….…….…

一方面分組討論，上臺板演，展示計算結果，同時口答：在t=2時刻,Δt趨于0時，平均速度趨于一個確定的值-13.1，即瞬時速度，第一次體會逼近思想;另一方面借助動畫多渠道地引導學生觀察、分析、比較、歸納，第二次體會逼近思想，為了表述方便,數(shù)學中用簡潔的符號來表示,即

數(shù)形結合，掃清了學生的思維障礙，更好地突破了教學的重難點，體驗數(shù)學的簡約美

問題四：運動員在某個時刻的瞬時速度如何表示呢?

引導學生繼續(xù)思考:運動員在某個時刻的瞬時速度如何表示?學生意識到將代替2,可類比得到

與舊教材相比,這里不提及極限概念,而是通過形象生動的逼近思想來定義時刻的瞬時速度,更符合學生的認知規(guī)律,提高了他們的思維能力,體現(xiàn)了特殊到一般的思維方法

借助其它實例，抽象導數(shù)的概念

問題五：氣球在體積時的瞬時膨脹率如何表示呢?

類比之前學習的瞬時速度問題,引導學生得到瞬時膨脹率的表示

積極的師生互動能幫助學生看到知識點之間的聯(lián)系，有助于知識的重組和遷移,尋找不同實際背景下的數(shù)學共性，即對于不同實際問題，瞬時變化率富于不同的實際意義

問題六：如果將這兩個變化率問題中的函數(shù)用來表示，那么函數(shù)在處的瞬時變化率如何呢?

在前面兩個問題的鋪墊下,進一步提出，我們這里研究的函數(shù)在處的瞬時變化率即在處的導數(shù),記作

(也可記為)

引導學生舍棄具體問題的實際意義,抽象得到導數(shù)定義,由淺入深、由易到難、由特殊到一般，幫助學生完成了思維的飛躍;同時提及導數(shù)產(chǎn)生的時代背景，讓學生感受數(shù)學文化的熏陶，感受數(shù)學來源于生活，又服務于生活。

循序漸進、延伸

拓展例1：將原油精煉為汽油、柴油、塑料等不同產(chǎn)品，需要對原油進行冷卻和加熱。如果在第xh時候，原油溫度(單位：)為

(1)計算第2h和第6h時，原油溫度的瞬時變化率，并說明它的意義。

(2)計算第3h和第5h時，原油溫度的瞬時變化率，并說明它的意義。

步驟：

①啟發(fā)學生根據(jù)導數(shù)定義，再分別求出和

②既然我們得到了第2h和第6h的原油溫度的瞬時變化率分別為-3與5，大家能說明它的含義嗎?

③大家是否能用同樣方法來解決問題二?

④師生共同歸納得到，導數(shù)即瞬時變化率，可反映物體變化的快慢

步步設問，引導學生深入探究導數(shù)內涵

發(fā)展學生的應用意識，是高中數(shù)學課程標準所倡導的重要理念之一。在教學中以具體問題為載體,加深學生對導數(shù)內涵的理解，體驗數(shù)學在實際生活中的應用

變式練習：已知一個物體運動的位移(m)與時間t(s)滿足關系S(t)=-2t2+5t(1)求物體第5秒和第6秒的瞬時速度

(2)求物體在t時刻的瞬時速度

(3)求物體t時刻運動的加速度，并判斷物體作什么運動?

學生獨立完成，上臺板演，第三次體會逼近思想

目的是讓學生學會用數(shù)學的眼光去看待物理模型，建立各學科之間的聯(lián)系，更深刻地把握事物變化的規(guī)律歸納總結、內化知識

1、瞬時速度的概念

2、導數(shù)的概念

3、思想方法：“以已知探求未知”、逼近、類比、從特殊到一般

引導學生進行討論，相互補充后進行回答，老師評析，并用幻燈片給出

讓學生自己小結，不僅僅總結知識更重要地是總結數(shù)學思想方法。這是一個重組知識的過程，是一個多維整合的過程，是一個高層次的自我認識過程，這樣可幫助學生自行構建知識體系，理清知識脈絡，養(yǎng)成良好的學習習慣

作業(yè)安排、板書設計(必做)第10頁習題A組第2、3、4題

(選做)：思考第11頁習題B組第1題作業(yè)是學生信息的反饋，能在作業(yè)中發(fā)現(xiàn)和彌補教學中的不足，同時注重個體差異，因材施教

附后板書設計清楚整潔,便于突出知識目標

五、學法與教法

學法與教學用具

學法：

(1)合作學習：引導學生分組討論，合作交流，共同探討問題。(如問題2的處理)

(2)自主學習：引導學生通過親身經(jīng)歷，動口、動腦、動手參與數(shù)學活動。(如問題3的處理)

(3)探究學習：引導學生發(fā)揮主觀能動性，主動探索新知。(如例題的處理)

教學用具：電腦、多媒體、計算器

教法：整堂課圍繞“一切為了學生發(fā)展”的教學原則，突出①動--師生互動、共同探索。②導--教師指導、循序漸進

(1)新課引入--提出問題,激發(fā)學生的求知欲

(2)理解導數(shù)的內涵--數(shù)形結合，動手計算,組織學生自主探索,獲得導數(shù)的定義

(3)例題處理--始終從問題出發(fā)，層層設疑，讓他們在探索中自得知識

(4)變式練習--深化對導數(shù)內涵的理解，鞏固新知

六、評價分析

這堂課由平均速度到瞬時速度再到導數(shù)，展示了一個完整的數(shù)學探究過程。提出問題、計算觀察、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、給出定義，讓學生經(jīng)歷了知識再發(fā)現(xiàn)的過程，促進了個性化學習。

從舊教材上看，導數(shù)概念學習的起點是極限，即從數(shù)列的極限，到函數(shù)的極限，再到導數(shù)。這種概念建立方式具有嚴密的邏輯性和系統(tǒng)性，但學生很難理解極限的形式化定義，因此也影響了對導數(shù)本質的理解。

新教材不介紹極限的形式化定義及相關知識，而是用直觀形象的逼近方法定義導數(shù)。

通過列表計算、直觀地把握函數(shù)變化趨勢(蘊涵著極限的描述性定義)，學生容易理解;

這樣定義導數(shù)的優(yōu)點：

1.避免學生認知水平和知識學習間的矛盾;

2.將更多精力放在導數(shù)本質的理解上;

3.學生對逼近思想有了豐富的直觀基礎和一定的理解，有利于在大學的初級階段學習嚴格的極限定義.(附)板書設計

第五篇：導數(shù)的概念教學設計

《導數(shù)的概念》教學設計

1.教學目標

（1）知識與技能目標：掌握導數(shù)的概念，并能夠利用導數(shù)的定義計算導數(shù).（2）過程與方法目標：通過引入導數(shù)的概念這一過程，讓學生掌握從具體到抽象，特殊到一般的思維方法；領悟極限思想；提高類比歸納、抽象概括的思維能力．

（3）情感、態(tài)度與價值觀目標：

通過合作與交流，讓學生感受探索的樂趣與成功的喜悅，體會數(shù)學的理性與嚴謹，激發(fā)學生對數(shù)學知識的熱愛，養(yǎng)成實事求是的科學態(tài)度．

2.教學重、難點

重點：導數(shù)的定義和利用定義如何計算導數(shù)． 難點：對導數(shù)概念的理解．

3.教學方法

1.教法：引導式教學法

在提出問題的背景下，給學生創(chuàng)設自主探究、合作交流的空間，指導學生類比探究形成導數(shù)概念的形成．

2.教學手段：多媒體輔助教學

4.教學過程

（一）情境引入

導數(shù)的概念和其它的數(shù)學概念一樣是源于人類的實踐。導數(shù)的思想最初是由法國數(shù)學家費馬（Fermat）為研究極值問題而引入的，但導數(shù)作為微積分的最主要的概念，卻是英國數(shù)學家牛頓（Newton）和德國數(shù)學家萊布尼茲（Leibniz）在研究力學與幾何學的過程中建立起來的。

17世紀數(shù)學家遇到的三類問題：

一是光的反射問題。光的反射和折射在17世紀是一個十分盛行的研究課題，早在公元1世紀，古希臘數(shù)學家海倫（Heron）就已經(jīng)證明了光的反射定律：光射向平面時，入射角等于反射角。海倫還將該定律推廣到圓弧的情形，此時，入射光與反射光與圓弧的切線所成角相等。那么，對于其他曲線，光又如何反射呢？這就需要確定曲線的切線。

CBCBAA

圖 1 光在平面上的反射 圖 2 光在球面上的反射

二是曲線運動的速度問題。對于直線運動，速度方向與位移方向相同或相反，但如何確定曲線運動的速度方向呢？這就需要確定曲線的切線。

三是曲線的交角問題。曲線的交角是一個古老的難題。自古希臘以來，人們對圓弧和直線構成的角——牛頭角（圖3中AB弧與AC構成的角）和弓形角（圖4中AB與ACB弧所構成的角）即有過很多爭議。17世紀數(shù)學家遇到的更一般的問題是：如何求兩條相交曲線

所構成的角呢？這就需要確定曲線在交點處的切線。(二)探索新知

問題1 已知：勻加速直線運動方程為：s(t)?v0t?刻（t0?[0,T]）的瞬時速度。

問題解決：設t為t0的鄰近時刻，則落體在時間段[t0,t]（或[t,t0]）上的平均速度為

12at，t?[0,T]，求：物體在t0時2v?若t?t0時平均速度的極限存在，則極限

s(t)?s(t0)

t?t0v?limt?t0s(t)?s(t0)

t?t0為質點在時刻t0的瞬時速度。

問題2已知：曲線y?f(x)上點M(x0,y0)，求：M點處切線的斜率。

下面給出切線的一般定義；設曲線C及曲線C上的一點M，如圖，在M外C上另外取一點N，作割線MN，當N沿著C趨近點M時，如果割線MN繞點M旋轉而趨于極限位置MT，直線MT就稱為曲線C在點M處的切線。

問題解決：取在C上M附近一點N(x,y)，于是割線PQ的斜率為

tan??y?y0f(x)?f(x0)（?為割線MN的傾角）?x?x0x?x0當x?x0時，若上式極限存在，則極限

k?tan??為點M處的切線的斜率。

導數(shù)的定義

定義

設函數(shù)y?f(x)在x0的某鄰域內有定義，若極限limx?x0f(x)?fx(0)（?為割線MT的傾角）limx?x0x?x0f(x)?f(x0）存在，則稱函數(shù)

x?x0

f在點x0處可導，并稱該極限為f在點x0處的導數(shù)，記作f'(x0)。

即 f'(x0)?（2）

也可記作y?x?x，of(x)?fx(0）

limx?x0x?x0dydx，x?xodf(x)。若上述極限不存在，則稱f在點x0處不可導。

dxx?xof在x0處可導的等價定義：

設x?x0??x,?y?f(x0??x)?f(x0)，若x?x0則等價于?x?0，如果 函數(shù)f在點x0處可導，可等價表達成為以下幾種形式：

f'(x0)?limx?x0?yf(x)?f(x0）

?f'(x0)?lim?x?0?xx?x0?f'(x0)?lim?x?0f(x0??x)?f(x0）

?x單側導數(shù)的概念

在函數(shù)分段點處或區(qū)間端點等處，不得不考慮單側導數(shù)：

定義

設函數(shù)y?f(x)在點x0的某右鄰域(x0,x0??)上有定義，若右極限

?x?0lim?f(x0??x)?f(x0）?y?lim?（0??x??）?x?x?0?x存在，則稱該極限為f在點x0的右導數(shù)，記作f?'(x0)。

?左導數(shù)

f?'(x0)?yli?m。?x?0?x左、右導數(shù)統(tǒng)稱為單側導數(shù)。

導數(shù)與左、右導數(shù)的關系：若函數(shù)y?f(x)在點x0的某鄰域內有定義，則f'(x0)存在?f?'(x0)，f?'(x0)都存在，且f?'(x0)=f?'(x0)。

（三）知識鞏固

2例題1 求f(x)?x在點x?1處的導數(shù)，并求曲線在點(1,1)處的切線方程。

解：由定義可得：

?yf(1??x)?f(1)(1??x)2?1f'(1)?lim?lim?lim

?x?0?x?x?0?x?0?x?x2?x??x2?lim?lim(2??x)?2 ?x?0?x?0?x附注：在解決切線問題時，要熟悉導數(shù)的定義，并能通過導數(shù)的幾何意義來解決一般問題

例題2設函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，f?(0)存在，證明：f?(0)?0。

證

'f(x)?f(?x)?f(?x)?f(??x)

f(0??x)?f(0)f(?x)?f(0)?lim ?x?0?x?xf(??x)?f(0)f[0?(??x)]?f(0)??lim??f?(0)

?x?0?x??x 又f(0)?lim ?x?0 ?lim?x?0?f?(0)?0

附注：需要注意公式f'(x0)?limx?x0f(x)?f(x0)的靈活運用，它可以變化成其他的形式。

x?x0例3 證明函數(shù)f(x)?|x|在x?0處不可導。

證明

x?0lim?f(x)?f(0)xf(x)?f(0)?x?lim?1lim?lim??1，???x?0x?0x?0x?0xx?0x?limx?0f(x)?f(0)極限不存在。

x?0故f(x)?|x|在x?0處不可導。

附注：判斷一個函數(shù)在某點處是否可導，只需要考慮該點處的左右導數(shù)是否相等即可。

（四）應用提高 求曲線y?x在點（－1，－1）處的切線方程為(A)x?2A.y=2x＋1 B.y=2x－1 C.y=－2x－3 D.y=－2x－2

（五）小結

本節(jié)課主要學習導數(shù)的基本概念，在經(jīng)歷探究導數(shù)概念的過程中，讓學生感受導數(shù)的形成，并對導數(shù)的幾何意義有較深刻的認識。

本節(jié)課中所用數(shù)學思想方法：逼近、類比、特殊到一般。

（六）作業(yè)布置

1．已知f'(1)?2012，計算：

f(1??x)?f(1)f(1??x)?f(1)(2)lim

?x?0?x?0?x??xf(1)?f(1??x)f(1?2?x)?f(1)(3)lim(4)lim

?x?0?x?04?x?x(1)lim2.計算函數(shù)f(x)??2x?3在點（1，1）處切線的方程。2