第一篇：兩角差的余弦公式教案（小編推薦）

兩角差的余弦公式

———數(shù)學(xué)092葉鵬程

【知識與技能目標(biāo)】：理解兩角差的余弦公式的推導(dǎo)過程，熟記兩角差的余弦公式，運(yùn)用兩角和與差的余弦公式，解決相關(guān)數(shù)學(xué)問題。

【過程與方法】：培養(yǎng)自己嚴(yán)密而準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)表達(dá)能力；培養(yǎng)自己逆向思維和發(fā)【散思維能力】；培養(yǎng)自己的觀察能力，邏輯推理能力和合作學(xué)習(xí)能力。

【情感態(tài)度價(jià)值觀目標(biāo)】：通過觀察、培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)表達(dá)和思考的能力，學(xué)會從已有知識出發(fā)主動(dòng)探索未知世界的意識及對待新知識的良好情感態(tài)度

【教學(xué)重點(diǎn)】：兩角差的余弦公式的理解與靈活運(yùn)用?！窘虒W(xué)難點(diǎn)】：兩角差的余弦公式的推導(dǎo)。

【教材分析】：這節(jié)內(nèi)容是教材必修4的第三章《三角恒等變換》第一節(jié)，教材在學(xué)生掌握了任意角的三角函數(shù)的概念、向量的坐標(biāo)表示以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究用單角的三角函數(shù)表示的兩角差的三角函數(shù)．“兩角差的余弦公式”在教科書中采用了一種易于教學(xué)的推導(dǎo)方法，即先借助于單位圓中的三角函數(shù)線，推出α，β，α－β均為銳角時(shí)成立．對于α，β為任意角的情況，教材運(yùn)用向量的知識進(jìn)行了探究．同時(shí)，補(bǔ)充了用向量的方法推導(dǎo)過程中的不嚴(yán)謹(jǐn)之處，這樣，兩角差的余弦公式便具有了一般性。

【學(xué)情分析】：本課時(shí)面對的學(xué)生是高一年級的學(xué)生，數(shù)學(xué)表達(dá)能力和邏輯推理能力正處于高度發(fā)展的時(shí)期，學(xué)生對探索未知世界有主動(dòng)意識，對新知識充滿探求的渴望。他們經(jīng)過半個(gè)多學(xué)期的高中生活，儲備了一定的數(shù)學(xué)知識，掌握了一些高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)方法，這為本節(jié)課的學(xué)習(xí)建立了良好的知識基礎(chǔ)。而且，通過上節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)掌握了兩角和的余弦公式及推導(dǎo)方法?！窘虒W(xué)教法】： 獨(dú)立思考，生生交流探究，小組合作

【教學(xué)過程】：

一.自主探究，引發(fā)思考 層層深入，得出結(jié)論（8分鐘）1.獨(dú)立思考以下問題

怎樣利用單位圓中的三角函數(shù)線探究兩角差的余弦（試畫出圖像加以說明）

（目的：回憶單位圓表示角，同時(shí)推導(dǎo)公式）

2.繼續(xù)探究

怎樣利用向量數(shù)量積概念的計(jì)算公式探究兩角差的余弦。（試畫出圖像加以說明）

（目的：用向量的方式，推導(dǎo)公式）兩角差的余弦公式： cos(???)?_____________________

公式特點(diǎn)（記憶方法。）

二．互相交流 小組活動(dòng) 公式應(yīng)用闖關(guān)（20分鐘）

請用特殊角（可以使30?,45?,60?等）分別代替?、?你有幾種方法1.求cos15?：

(1)cos150?(2)cos150?

（目的：比較簡單的分解問題，為了加深運(yùn)用和理解）

?2.若β固定，分別用 ?, 代替α，你將會發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論呢？

2(1)cos(???)?

(2)cos(?2??)?

(3)cos(3???)? 2（目的：余弦誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)，強(qiáng)化理解運(yùn)用）

3.倘若讓你對C(α±β)公式中的α、β自由賦值，你又將發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論呢？(1)cos（?-?4）?

（?-?）?(2)cos(3)cos????）（????cos(_____)cos(_____)_____sin(_____)sin(_____)

????）??cos(_____)(4)cos（?（???）cos(_____)____sin(_____)sin(_____)

（目的：難度逐漸加深，體會理解公式的變形。）4.例題：如何應(yīng)用兩角差的余弦公式化簡求值

（1）cos80?cos20??sin80?sin20?(2)cos15??sin15?22(3)cos80?cos35??cos10?cos55?（目的：鞏固練習(xí)，靈活運(yùn)用公式）

三.師生共同活動(dòng) 數(shù)學(xué)運(yùn)用（12分鐘）例1．已知sin??的值.（目的：比較深入的公式運(yùn)用，鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。在講題的過程中，強(qiáng)調(diào)“象限角”）變式練習(xí)：

已知?,?都是銳角，cos??45,cos(???)??,求cos?的值。513(目的：例題1的變式，讓學(xué)生體會此類題目的靈活性)五．自我學(xué)習(xí)反思（4分鐘）

（首先教師回顧總結(jié)課堂內(nèi)容，然后讓學(xué)生自己來講講這節(jié)可學(xué)到什么。

主要目的是為了加深學(xué)生的記憶，同時(shí)，比較發(fā)散的討論，能讓學(xué)生真正參與到學(xué)習(xí)中來）

六．作業(yè)布置：

1.教材第142頁，課后練習(xí)45???，???,??,cos???,?是第三象限角，求cos?????513?2?2．課后自主探究：知道了cos(?-?)，你覺得sin(???)也有類似的規(guī)律嗎？（目的：給學(xué)有余力的同學(xué)做，一是預(yù)習(xí)，再是通過找規(guī)律，加深本節(jié)課的理解）

第二篇：3.1.1兩角差的余弦公式教案

3.1.1兩角差的余弦公式

一、教材分析

《兩角差的余弦公式》是人教A版高中數(shù)學(xué)必修4第三章《三角恒等變換》第一節(jié)《兩角和與差的正弦、余弦和正切公式》第一節(jié)課的內(nèi)容。本節(jié)主要給出了兩角差的余弦公式的推導(dǎo)，要引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與，獨(dú)立思索，自己得出相應(yīng)的結(jié)論。

二、教學(xué)目標(biāo)

1.引導(dǎo)學(xué)生建立兩角差的余弦公式。通過公式的簡單應(yīng)用，使學(xué)生初步理解公式的結(jié)構(gòu) 及其功能，并為建立其他和差公式打好基礎(chǔ)。

2.通過課題背景的設(shè)計(jì)，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。

3.在探究公式的過程中，逐步培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會分析問題、解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會合作交流的能力。

三、教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)

重點(diǎn)

兩角差余弦公式的探索和簡單應(yīng)用。難點(diǎn)

探索過程的組織和引導(dǎo)。

四、學(xué)情分析

之前學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的性質(zhì)，以及平面向量的運(yùn)算和應(yīng)用，在此基礎(chǔ)上，要考慮如何利用任意角?，?的正弦余弦值來表示cos(???)，牢固的掌握這個(gè)公式，并會靈活運(yùn)用公式進(jìn)行下一節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)。

五、教學(xué)方法

1.自主性學(xué)習(xí)法：通過自學(xué)掌握兩角差的余弦公式.2.探究式學(xué)習(xí)法：通過分析、探索、掌握兩角差的余弦公式的過程.3.反饋練習(xí)法：以練習(xí)來檢驗(yàn)知識的應(yīng)用情況，找出未掌握的內(nèi)容及其存在的差距

六、課前準(zhǔn)備

1.學(xué)生準(zhǔn)備：預(yù)習(xí)《兩角差的余弦公式》，理解兩種方法的推理過程。2.教師準(zhǔn)備：課前預(yù)習(xí)學(xué)案，課內(nèi)探究學(xué)案，課后延伸拓展學(xué)案。

七、課時(shí)安排：1課時(shí)

八、教學(xué)過程

（一）創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題

以學(xué)校教學(xué)樓為背景素材（見課件）引入問題。并針對問題中的cos15用計(jì)算器或不用計(jì)算器計(jì)算求值，以激趣激疑，導(dǎo)入課題。

教師問：想一想: 學(xué)校因某次活動(dòng)的需要,需從樓頂?shù)腃點(diǎn)處往該點(diǎn)正對的地面上的A點(diǎn)處拉一條鋼繩,為了在購買鋼繩時(shí)不至于浪費(fèi),你能算一算到底需要多長鋼繩嗎?(要求在地面上測量,測量工具:皮尺,測角器)

0

問題：（1）能不能不用計(jì)算器求值 ：cos45，cos30，cos15（2）cos(45?30)?cos45?cos30是否成立？

設(shè)計(jì)意圖：由給出的背景素材，使學(xué)生感受數(shù)學(xué)源于生活，又應(yīng)用于生活，喚起學(xué)生解決問題的興趣，和拋出新知識引起學(xué)生的疑惑，在興趣和疑惑中，激發(fā)學(xué)生的求知欲，引導(dǎo)學(xué)習(xí)方向。

（二）、研探新知 00000001.三角函數(shù)線法：

問：①怎樣作出角?、?、???的終邊。②怎樣作出角???的余弦線OM

③怎樣利用幾何直觀尋找OM的表示式。設(shè)計(jì)意圖：盡量用動(dòng)畫課件把探索過程展示出來，使學(xué)生能從幾何直觀角度加強(qiáng)對公式結(jié)構(gòu)形式的認(rèn)識。

Yp1A?CβαOBα-βMXP

（1）設(shè)角?終邊與單位圓地交點(diǎn)為P1，?POP1??,則?POx????。（2）過點(diǎn)P作PM⊥X軸于點(diǎn)M，那么OM就是 ???的余弦線。

（3）過點(diǎn)P作PA⊥OP1于A，過點(diǎn)A作AB⊥x軸于B，過點(diǎn)P作PC⊥AB于C

那么

OA表示

cos?，AP 表示sin?，并且?PAC??POx??.1于是

OM=OB+BM

=OB+CP

=OAcos?+APsin?

=cos?cos??sin?sin?

最后要提醒學(xué)生注意，公式推導(dǎo)的前提條件：

?、?、???都是銳角，且???

2.向量法：

問：①結(jié)合圖形，明確應(yīng)選哪幾個(gè)向量，它們怎么表示？ ② 怎樣利用向量數(shù)量積的概念和計(jì)算公式得到結(jié)果。③ 對探索的過程進(jìn)一步嚴(yán)謹(jǐn)性的思考和處理，從而得到合理的科學(xué)結(jié)論。設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生經(jīng)歷利用向量知識解決一個(gè)數(shù)學(xué)問題的過程，體會向量方法解決數(shù)學(xué)問題的簡潔性。

如圖,建立單位圓O ????????則OA??cos?,sin??,OB??cos?,sin??由向量數(shù)量積的概念,有A

由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示,有

因?yàn)??、?、都是任 意 角,所以???也是任意角,但由誘導(dǎo)公式以總可找到一個(gè)??[0,2?)，使得 cos??cos(???)。

例1.利用差角余弦公式求cos15的值

（求解過程讓學(xué)生獨(dú)立完成，注意引導(dǎo)學(xué)生多方向、多維度思考問題）解法1：

cos150?cos(450?300)?cos450cos300?sin450sin300?…=解法2：

?????B O x

于是對于任意角?、?都有

簡記C

（???）0y 6?24 cos150?cos(600?450)?cos600cos450?sin600sin450?…=變式訓(xùn)練：利用兩角差的余弦公式證明下列誘導(dǎo)公式：（1）cos(2?64

?2??)?sin?；（2）cos(2???)?cos?

4π5例2.已知sinα=，α?（，π），cosβ=-，β第三象限角，求cos（???）的值5213（讓學(xué)生聯(lián)系公式C?????和本題的條件，考慮清楚要計(jì)算cos?????，應(yīng)作那些準(zhǔn)備。）

34?4????2解：由sin??,???,??，得cos???1?sin???1?????

55?5??2?125?5?2又由cos???，?是第三象限角，得sin???1?cos???1?????

1313?13?3?5?4?12?33所以cos??????cos?cos??sin?sin??(?)???????????

5?13?5?13?65讓學(xué)生結(jié)合公式cos(???)?cos?cos??sin?sin?，明確需要再求哪些三角函數(shù)值，可使問題得到解決。變式訓(xùn)練：已知sin??2215?，?是第二象限角，求cos（??）的值 173

（三）、質(zhì)疑答辯，排難解惑，發(fā)展思維

1.利用兩角和（差）的余弦公式，求cos750,cos1050

【點(diǎn)評】：把一個(gè)具體角構(gòu)造成兩個(gè)角的和、差形式，有很多種構(gòu)造方法，例如：cos1050?cos(1500?450)，要學(xué)會靈活運(yùn)用.2)2.求值 cos75cos30?sin75sin30(200003．化簡cos(???)cos??sin(???)sin?(cos?)

115（）4.已知?，?為銳角，cos??，sin（???）?3，求cos?

2714提示：利用拆角思想cos??cos[(???)??]的變換技巧

（設(shè)計(jì)意圖：通過變式訓(xùn)練，進(jìn)一步加深學(xué)生對公式的理解和應(yīng)用，體驗(yàn)公式既可正用、逆用，還可變用.還可使學(xué)生掌握“變角”和“拆角”的思想方法解決問題，培養(yǎng)了學(xué)生的靈活思維品質(zhì)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)交流能力，促進(jìn)思維的創(chuàng)新。）

（四）發(fā)導(dǎo)學(xué)案、布置預(yù)習(xí)

本節(jié)我們學(xué)習(xí)了兩角和與差的余弦公式，要求同學(xué)們掌握公式C(???)的推導(dǎo)，能熟練運(yùn)用公式C(???)，注意公式C(???)的逆用。在解題過程中注意角?、?的象限，也就是符號問題，學(xué)會靈活運(yùn)用.課下完成本節(jié)的課后練習(xí)以及課后延展作業(yè)，課本P137習(xí)題2.3.4(設(shè)計(jì)意圖：布置下節(jié)課的預(yù)習(xí)作業(yè)，并對本節(jié)課鞏固提高。教師課后及時(shí)批閱本節(jié)的延伸拓展訓(xùn)練。)

九、板書設(shè)計(jì)

兩角差的余弦公式

1.三角函數(shù)線法 2.向量法

例1 變式訓(xùn)練 例2 變式訓(xùn)練 當(dāng)堂訓(xùn)練1.2.3.4.十、教學(xué)反思

本節(jié)主要考察如何用任意角?，?的正弦余弦值來表示cos(???)，回顧公式

C（???）的推導(dǎo)過程，觀察公式的特征，注意符號區(qū)別以及公式中角?，?的任意性，特別要注意公式既可正用、逆用，還可變用(即要活用).還要注意掌握“變角”和“拆角”的思想方法解決問題.設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生通過自己小結(jié)，反思學(xué)習(xí)過程，加深對公式及其推導(dǎo)過程（包括發(fā)現(xiàn)、猜想、論證的數(shù)學(xué)化的過程）的理解。

第三篇：4-3.1.1 兩角差的余弦公式教案（定稿）

第三章 三角恒等變換

一、課標(biāo)要求：

本章學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容是兩角和與差的正弦、余弦、和正切公式，以及運(yùn)用這些公式進(jìn)行簡單的恒等變換.三角恒等變換位于三角函數(shù)與數(shù)學(xué)變換的結(jié)合點(diǎn)上.通過本章學(xué)習(xí)，要使學(xué)生在學(xué)習(xí)三角恒等變換的基本思想和方法的過程中，發(fā)展推理能力和運(yùn)算能力，使學(xué)生體會三角恒等變換的工具性作用，學(xué)會它們在數(shù)學(xué)中的一些應(yīng)用.1.了解用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式的過程，進(jìn)一步體會向量方法的作用； 2.理解以兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系；

3.運(yùn)用上述公式進(jìn)行簡單的恒等變換，以引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)半角公式，積化和差、和差化積公式（不要求記憶）作為基本訓(xùn)練，使學(xué)生進(jìn)一步提高運(yùn)用轉(zhuǎn)化的觀點(diǎn)去處理問題的自覺性，體會一般與特殊的思想，換元的思想，方程的思想等數(shù)學(xué)思想在三角恒等變換中的應(yīng)用.二、編寫意圖與特色

1.本章的內(nèi)容分為兩節(jié)：“兩角和與差的正弦、余弦和正切公式”，“簡單的三角恒等變換”，在學(xué)習(xí)本章之前我們學(xué)習(xí)了向量的相關(guān)知識，因此作者的意圖是選擇兩角差的余弦公式作為基礎(chǔ)，運(yùn)用向量的知識來予以證明，降低了難度，使學(xué)生容易接受； 2.本章是以兩角差的余弦公式作為基礎(chǔ)來推導(dǎo)其它的公式；

3.本章在內(nèi)容的安排上有明暗兩條線，明線是建立公式，學(xué)會變換，暗線是發(fā)展推理和運(yùn)算的能力，因此在本章全部內(nèi)容的安排上，特別注意恰時(shí)恰點(diǎn)的提出問題，引導(dǎo)學(xué)生用對比、聯(lián)系、化歸的觀點(diǎn)去分析、處理問題，強(qiáng)化運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法指導(dǎo)設(shè)計(jì)變換思路的意識； 4.本章在內(nèi)容的安排上貫徹“刪減繁瑣的計(jì)算、人為技巧化的難題和過分強(qiáng)調(diào)細(xì)枝末葉的內(nèi)容”的理念，嚴(yán)格控制了三角恒等變換及其應(yīng)用的繁、難程度，尤其注意不以半角公式、積化和差、和差化積公式作為變換的依據(jù)，而只把這些公式的推導(dǎo)作為變換的基本練習(xí).三、教學(xué)內(nèi)容及課時(shí)安排建議

本章教學(xué)時(shí)間約8課時(shí)，具體分配如下：

3.1兩角和與差的正弦、余弦、和正切公式

約3課時(shí) 3.2簡單的恒等變換

約3課時(shí) 復(fù)習(xí)

約2課時(shí)

§3.1 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式

一、課標(biāo)要求：

本節(jié)的中心內(nèi)容是建立相關(guān)的十一個(gè)公式，通過探索證明和初步應(yīng)用，體會和認(rèn)識公式的特征及作用.二、編寫意圖與特色

本節(jié)內(nèi)容可分為四個(gè)部分，即引入，兩角差的余弦公式的探索、證明及初步應(yīng)用，和差公式的探索、證明和初步應(yīng)用，倍角公式的探索、證明及初步應(yīng)用.三、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

1.重點(diǎn)：引導(dǎo)學(xué)生通過獨(dú)立探索和討論交流，導(dǎo)出兩角和差的三角函數(shù)的十一個(gè)公式，并了解它們的內(nèi)在聯(lián)系，為運(yùn)用這些公式進(jìn)行簡單的恒等變換打好基礎(chǔ)； 2.難點(diǎn)：兩角差的余弦公式的探索與證明.3.1.1 兩角差的余弦公式

一、教學(xué)目標(biāo)

掌握用向量方法建立兩角差的余弦公式.通過簡單運(yùn)用，使學(xué)生初步理解公式的結(jié)構(gòu)及其功能，為建立其它和（差）公式打好基礎(chǔ).二、教學(xué)重、難點(diǎn)

1.教學(xué)重點(diǎn)：通過探索得到兩角差的余弦公式；

2.教學(xué)難點(diǎn)：探索過程的組織和適當(dāng)引導(dǎo)，這里不僅有學(xué)習(xí)積極性的問題，還有探索過程必用的基礎(chǔ)知識是否已經(jīng)具備的問題，運(yùn)用已學(xué)知識和方法的能力問題，等等.三、學(xué)法與教學(xué)用具 1.學(xué)法：啟發(fā)式教學(xué) 2.教學(xué)用具：多媒體

四、教學(xué)設(shè)想：

（一）導(dǎo)入：我們在初中時(shí)就知道 cos45??23?，cos30?，由此我們能否得到22cos15??cos?45??30????大家可以猜想，是不是等于cos45??cos30?呢？

根據(jù)我們在第一章所學(xué)的知識可知我們的猜想是錯(cuò)誤的！下面我們就一起探討兩角差的余弦公式cos???????

（二）探討過程：

在第一章三角函數(shù)的學(xué)習(xí)當(dāng)中我們知道，在設(shè)角?的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P1，cos?等于角?與單位圓交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，也可以用角?的余弦線來表示，大家思考：怎樣構(gòu)造角?和角???？（注意：要與它們的正弦線、余弦線聯(lián)系起來.）

展示多媒體動(dòng)畫課件，通過正、余弦線及它們之間的幾何關(guān)系探索cos?????與cos?、cos?、sin?、sin?之間的關(guān)系，由此得到cos(???)?cos?cos??sin?sin?，認(rèn)識兩角差余弦公式的結(jié)構(gòu).思考：我們在第二章學(xué)習(xí)用向量的知識解決相關(guān)的幾何問題，兩角差余弦公式我們能否用向量的知識來證明？

提示：

1、結(jié)合圖形，明確應(yīng)該選擇哪幾個(gè)向量，它們是怎樣表示的？

2、怎樣利用向量的數(shù)量積的概念的計(jì)算公式得到探索結(jié)果？ 展示多媒體課件

比較用幾何知識和向量知識解決問題的不同之處，體會向量方法的作用與便利之處.思考：cos???????，cos??????cos??????????，再利用兩角差的余弦公式得出

cos??????cos???????????cos?cos?????sin?sin?????cos?cos??sin?sin?

（三）例題講解

例

1、利用和、差角余弦公式求cos75、cos15的值.解：分析：把75、15構(gòu)造成兩個(gè)特殊角的和、差.????cos75??cos?45??30???cos45?cos30??sin45?sin30??c?os??4523216?2????222241?2?6?

cos1?5??3?0?c?os45??cos30?232sin??45s?in30?22224點(diǎn)評：把一個(gè)具體角構(gòu)造成兩個(gè)角的和、差形式，有很多種構(gòu)造方法，例如：cos15??cos?60??45??，要學(xué)會靈活運(yùn)用.例

2、已知sin??45???，???,??,cos???,?是第三象限角，求cos?????的值.513?2?34?4????2解：因?yàn)???,??，sin??由此得cos???1?sin???1?????

55?5??2?125?5?2又因?yàn)閏os???,?是第三象限角，所以sin???1?cos???1??????

1313?13?所以cos(???)?cos?cos??sin?sin????????2233?3??5?4?12? ????????51351365??????點(diǎn)評：注意角?、?的象限，也就是符號問題.（四）小結(jié)：本節(jié)我們學(xué)習(xí)了兩角差的余弦公式，首先要認(rèn)識公式結(jié)構(gòu)的特征，了解公式的推導(dǎo)過程，熟知由此衍變的兩角和的余弦公式.在解題過程中注意角?、?的象限，也就是符號問題，學(xué)會靈活運(yùn)用.（五）作業(yè)：P150.T1?T2

第四篇：兩角和差正余弦公式的證明

兩角和差正余弦公式的證明

北京四中數(shù)學(xué)組 皇甫力超

論文摘要：

本文對兩角和差的正余弦公式的推導(dǎo)進(jìn)行了探討。在單位圓的框架下 , 我們得到了和角余弦公式(方法 1)與差角余弦公式(方法 2)。在三角形的框架下 , 我們得到了和角正弦公式(方法 3 ~11)與差角正弦公式(方法 12,13)。

關(guān)鍵詞：

兩角和差的正余弦公式 正文：

兩角和差的正余弦公式是三角學(xué)中很重要的一組公式。下面我們就它們的推導(dǎo)證明方法進(jìn)行探討。

由角 , 的三角函數(shù)值表示 的正弦或余弦值 , 這正是兩角和差的正余弦公式的功能。換言之 , 要推導(dǎo)兩角和差的正余弦公式 , 就是希望能得到一個(gè)等式或方程 , 將 或

與 , 的三角函數(shù)聯(lián)系起來。的三角函數(shù)。因此 , 由和角公式容根據(jù)誘導(dǎo)公式 , 由角 的三角函數(shù)可以得到

易得到對應(yīng)的差角公式 , 也可以由差角公式得到對應(yīng)的和角公式。又因?yàn)?, 即原角的余弦等于其余角的正弦 , 據(jù)此 , 可以實(shí)現(xiàn)正弦公式和余弦公式的相互推導(dǎo)。因此 , 只要解決這組公式中的一個(gè) , 其余的公式將很容易得到。

(一)在單位圓的框架下推導(dǎo)和差角余弦公式 注意到單位圓比較容易表示 ，和 , 而且角的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)可

與 , 的三以用三角函數(shù)值表示 , 因此 , 我們可以用單位圓來構(gòu)造聯(lián)系 角函數(shù)值的等式。

1.和角余弦公式

(方法 1)如圖所示, 在直角坐標(biāo)系 角 的始邊為 于點(diǎn) C；角 , 交 始邊為 ,由兩點(diǎn)間距離公式得

；

于點(diǎn) A, 終邊交 , 終邊交

中作單位圓 , 并作角 , 和 , 使

于點(diǎn) B；角 始邊為 , 終邊交 ，于點(diǎn)。從而點(diǎn) A, B, C和 D的坐標(biāo)分別為,。

注意到 , 因此。

注記：這是教材上給出的經(jīng)典證法。它借助單位圓的框架 , 利用平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式表達(dá)兩條相等線段, 從而得到我們所要的等式。注意, 公式中的 和 為任意角。

2.差角余弦公式

仍然在單位圓的框架下 , 用平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式和余弦定理表達(dá)同一線段, 也可以得到我們希望的三角等式。這就是

(方法2)如圖所示, 在坐標(biāo)系 的始邊均為 , 交

于點(diǎn) C, 角 ,中作單位圓 終邊交

。, 并作角 和 , 使角 和

于點(diǎn) A,角 終邊交 于點(diǎn)。從而點(diǎn) A, B的坐標(biāo)為由兩點(diǎn)間距離公式得。

由余弦定理得。

從而有。

注記：方法 2 中用到了余弦定理 , 它依賴于 要補(bǔ)充討論角 和 的終邊共線, 以及 情形中依然成立。

在上邊的證明中 , 用余弦定理計(jì)算

是三角形的內(nèi)角。因此, 還需

大于 的情形。容易驗(yàn)證 , 公式在以上的過程也可以用勾股定理來進(jìn)行。

(二)在三角形的框架下推導(dǎo)和差角正弦公式

除了在單位圓的框架下推導(dǎo)和差角的余弦公式 , 還可以在三角形中構(gòu)造和角或差角來證明和差角的正弦公式。

1.和角正弦公式(一)

(方法3)如圖所示, , ，為 的

邊上的高 ，為

邊上的高。設(shè) , 則。從而有 , , 。

因此 。

注意到 從而有 , , 整理可得。

注記：在方法 3 中 , 用 邊上高

和與底角 , 相關(guān)的三角函數(shù), 從兩個(gè)角度來表示 , 從而得到所希望的等式關(guān)系。這一證明所用的圖形是基于鈍角三角形的 , 對基于直角或銳角三角形的情形 , 證明過程類似。

利用方法 3 中的圖形 , 我們用類似于恒等變形的方式 , 可以得到下面的

(方法 4)如圖所示, , , 則

為 的。

邊上的高 ，為

邊上的高。設(shè)

注意到 , 則有,即。從而有。

利用正弦定理和射影定理 , 將得到下面這個(gè)非常簡潔的證法。注意證明利用的圖形框架與方法 3,4 所用的圖形框架是相同的。

(方法 5)如圖所示 , 則有

為 的

邊上的高。設(shè) , , ,。由正弦定理可得 , 其中 d為 的外接圓直徑。

由 得 , 從而有。

2.和角正弦公式(二)方法 3,4 和 5 利用的圖形框架是將角 , 放在三角形的兩個(gè)底角上。如果將這兩個(gè)角的和作為三角形的一個(gè)內(nèi)角 , 將會有下面的幾種證法(方法 6~11)。

(方法 6)如圖所示 , 作 , , 則

于D, 交 , ,外接圓于 E, 連。

和

。設(shè)設(shè) 的外接,圓直徑,為 d, 則有。

所以有。

注意到 , 從而。

(方法 7)如圖所示 , , , 則

為 的

邊上的高 , , 則

為

邊上的高。設(shè)

。設(shè) , , ,。, 又

從而。整理可得。

(方法 8)如圖所示 , 作 設(shè) 。

于D, 過 D作 , 則 ,于 F, ,設(shè)

于G。, 從而 ,所以。

注意到 , 則有。

注記：我們用兩種不同的方法計(jì)算 法來計(jì)算 , 得到了和角的正弦公式。如果我們用兩種方, 則可以得到和角的余弦公式。由上圖可得 , , 從而有而可得。

。注意到 , 從方法 6,7 和 8 都是用角 , 的三角函數(shù)從兩個(gè)角度表示圖形中的同一線段 , 從而構(gòu)造出我們所希望的等式關(guān)系。

(方法 9)如圖所示 , 設(shè) ,，為 的

邊上的高。設(shè) , , 從而有

方法 9 利用面積關(guān)系構(gòu)造三角恒等式。下面這兩個(gè)證法的思路則有所不同。

(方法 10)如圖所示 , 設(shè) , 則

為 , 從而 的外接圓直徑d, 長度為d。設(shè) ，注記：這一證明用到了托勒密定理：若 和。

是圓內(nèi)接四邊形的對角線 , 則有

(方法 11)如圖所示 , 則。設(shè)

為 , 則 的

邊上的高。設(shè) , ，方法 10 和 11 將某一線段作為基本量 , 利用與角 ，相關(guān)的三角函數(shù)表示其它線段 , 再通過聯(lián)系這些線段的幾何定理(托勒密定理或正弦定理), 構(gòu)造出我們希望的等式關(guān)系。

3.差角正弦公式

仍然還是在三角形中 , 我們可以在三角形的內(nèi)角里構(gòu)造出差角來。方法 12 和 13 便是用這種想法來證明的。

(方法 12)如圖所示 ,于 E, 則 。設(shè) , , 從而有 , 記 , 作

(方法 13)如圖所示 , , 則 ，為 的外接圓直徑 , 長度為 d。設(shè)。從而 ，方法 12 和 13 的基本思路仍然是用兩種不同方法計(jì)算同一線段 , 借此來構(gòu)造等式關(guān)系。

很顯然 , 在這十二種證法中 , 方法 1 和 2 更具普遍性。換言之 , 這兩種方法中出現(xiàn)的角 , 是任意角。而其余方法中 , 角 和 則有一定的限制 , 它們都是三角形的內(nèi)角(甚至都是銳角)。因此 , 對于方法 3~13, 我們需要將我們的結(jié)果推廣到角 和

是任意角的情形。具體而言 , 我們要證明：如果公式對任意 任意角也成立。

容易驗(yàn)證 , 角 和

成立 , 則對

中至少有一個(gè)是軸上角(即終邊在坐標(biāo)軸上的角), 我們的公式是成立的。下面證明 , 角 和 都是象限角(即終邊在坐標(biāo)系的某一象限中的角)時(shí) , 我們的公式也成立。不妨設(shè) 為第二象限角 , 為第三象限角 , 從而有

從而

同理可證, 公式對于象限角 3~13 推導(dǎo)的公式推廣到角

和 的其它組合方式都成立。因此 , 我們可以將方法 , 是任意角的情形。

兩角和差的正余弦公式是三角學(xué)中很基本的一組公式。其推導(dǎo)證明對指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究性學(xué)習(xí)很有幫助。從上文中可以看到 , 這一探究過程可分為四個(gè)步驟：

(1)明確推導(dǎo)證明的目標(biāo)：構(gòu)造聯(lián)系 和 等式或方程 ；

(2)簡化課題：四個(gè)公式只要解決一個(gè) , 其余的都可由它推出 ；(3)解決問題：利用單位圓或三角形作為聯(lián)系

和

三角函數(shù)與

或

三角函數(shù)與

或 的的工具 , 尋找我們希望的等式關(guān)系 ；

(4)完善解決問題的方法：考察方法是否有普遍性。如果普遍性有欠缺 , 可考慮將其化歸為已解決的情形 , 必要時(shí)還要進(jìn)行分類討論。

參考文獻(xiàn)：

1.谷丹：全面數(shù)學(xué)教育觀與知識形成過程的教學(xué)——三個(gè)教學(xué)個(gè)案及分析 , 《開放的視野 , 務(wù)實(shí)的努力》, 中央民族大學(xué)出版社 ,2006 年 3 月第 27 ~32 頁。

2.人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)室：全日制普通高級中學(xué)教科書 << 數(shù)學(xué)(第一冊下)>>(必修), 人民教育出版社 ,2003 年 12 月第 34 ~ 35 頁。

第五篇：兩角差的余弦公式教學(xué)反思

兩角差的余弦公式教學(xué)反思

兩角差的余弦公式是任意角三角函數(shù)知識的延伸，是后繼內(nèi)容兩角和與差的正弦、余弦、正切，以及二倍角公式的知識基礎(chǔ)。

之前我在新舊教材中都講過這個(gè)內(nèi)容，經(jīng)過這次培訓(xùn)，我又對這一內(nèi)容進(jìn)行了設(shè)計(jì)，重新備課。就之前與之后的教學(xué)，我進(jìn)行了反思。

一、反思教學(xué)理念：新課程理念的靈魂是三個(gè)教學(xué)目標(biāo)的整合，關(guān)注學(xué)生的發(fā)展。知識可以通過傳授獲得，技能可以通過訓(xùn)練掌握。態(tài)度和情感價(jià)值觀需要學(xué)生參與獲得。這樣，課堂教學(xué)中，要重視學(xué)生的參與、體驗(yàn)過程。但老師的指導(dǎo)作用也不可忽視，沒有老師的引導(dǎo)，學(xué)生的行動(dòng)、思維就很難達(dá)到一個(gè)較高的程度。教師通過創(chuàng)設(shè)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)欲望的數(shù)學(xué)情境，營造積極的活躍的學(xué)習(xí)氛圍，才能使學(xué)生參與我們的教學(xué)中來。

二、反思教學(xué)過程：

（一）創(chuàng)設(shè)問題情境：之前舊教材的教學(xué)，我們只關(guān)注公式的應(yīng)用，而輕視公式的由來，這樣符合公式的發(fā)生發(fā)展過程。這次的教學(xué)設(shè)計(jì)我從如何解決一個(gè)實(shí)際問題出發(fā)，調(diào)動(dòng)學(xué)生的思維與學(xué)習(xí)積極性，抓住學(xué)生的興趣。

（二）兩角差的余弦公式的探究過程：之前舊教材的教學(xué)是用兩點(diǎn)間的距離公式來推導(dǎo)兩角和的余弦，再賦值得到兩角差的余弦公式，這一過程中對學(xué)生的思維訓(xùn)練不是很多。而新教材采用了一種學(xué)生易于接受的推導(dǎo)方法，即先用數(shù)形結(jié)合的思想，借助于單位圓中的三角函數(shù)線，推出α，β，α－β均為銳角時(shí)公式成立。對于α，β為任意角時(shí)的情況，教材運(yùn)用向量的知識進(jìn)行了探究，使得公式的得出成為一個(gè)純粹的代數(shù)運(yùn)算過程，學(xué)生易于理解和掌握，同時(shí)也有利于提高學(xué)生運(yùn)用向量解決相關(guān)問題的意識和能力。我采用了新教材的思路。

(三)兩角差的余弦公式的簡單應(yīng)用。除了課本上的例題、習(xí)題，我補(bǔ)充了課堂練習(xí)、及課后作業(yè)，針對性較強(qiáng)。