第一篇：高數(shù)上冊(cè)總結(jié)知識(shí)點(diǎn)修訂版

高等數(shù)學(xué)難點(diǎn)總結(jié)（上冊(cè)）

函數(shù)（高等數(shù)學(xué)的主要研究對(duì)象）

要著重掌握的常見(jiàn)函數(shù)類型：冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)

極限：數(shù)列的極限（特殊）——函數(shù)的極限（一般）

函數(shù)極限的可能情況有24種（自變量6種，因變量4種），對(duì)于這其中任一種情形，都應(yīng)該熟練掌握其分析定義（嚴(yán)格的數(shù)學(xué)表述）

極限的本質(zhì)是：已知某一個(gè)量（自變量）的變化趨勢(shì)，去考察另外一個(gè)量（因變量）的變化趨勢(shì)

由極限的概念可以推得的一些性質(zhì)：局部有界性、局部保號(hào)性等等，應(yīng)當(dāng)注意到，由極限概念所得到的性質(zhì)通常都是只在局部范圍內(nèi)成立

趨于零的極限稱之為無(wú)窮小量，不同的無(wú)窮小量之間有階的區(qū)別，類似可定義無(wú)窮大量 兩個(gè)判斷極限的重要準(zhǔn)則：

1、夾逼原理；

2、單調(diào)有界數(shù)列必有極限。它們分別對(duì)應(yīng)兩個(gè)重要極限。

各種典型極限的計(jì)算

在提出極限概念的時(shí)候并未涉及到函數(shù)在該點(diǎn)的具體情況，所以函數(shù)在某點(diǎn)的極限與函數(shù)在該點(diǎn)的取值并無(wú)必然聯(lián)系

連續(xù)：函數(shù)在某點(diǎn)的極限值 等于 函數(shù)在該點(diǎn)的取值 連續(xù)的本質(zhì)：自變量無(wú)限接近，因變量無(wú)限接近

連續(xù)的概念相當(dāng)于給我們提出了一種求極限的方法：代入法 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。

不連續(xù)的情形：間斷。其分類可根據(jù)連續(xù)不成立的條件逐一分析

導(dǎo)數(shù)的概念

本質(zhì)是函數(shù)增量與自變量增量的比值在自變量增量趨近于零時(shí)的極限，更簡(jiǎn)單的說(shuō)法是變化率

微分的概念：函數(shù)增量的線性主要部分，這個(gè)說(shuō)法有兩層意思，一、微分是一個(gè)線性近似，二、這個(gè)線性近似帶來(lái)的誤差是足夠小的，實(shí)際上所有函數(shù)在某點(diǎn)的增量我們都可以線性關(guān)系去近似它，但并不是任何時(shí)候這個(gè)近似都足夠好，只有當(dāng)誤差足夠小時(shí)，才能說(shuō)該函數(shù)在該點(diǎn)可微分

對(duì)一元函數(shù)，連續(xù)不一定可導(dǎo)，可導(dǎo)必連續(xù)，可導(dǎo)等價(jià)于微分 各種典型導(dǎo)數(shù)和微分的計(jì)算

導(dǎo)數(shù)反映了函數(shù)在某點(diǎn)附近的變化快慢程度，因此可用來(lái)作為研究函數(shù)某些性質(zhì)的工具，尤其是那些涉及討論函數(shù)變化情況的性質(zhì)。極值的概念，極值是局部而非整體性質(zhì)的體現(xiàn)

費(fèi)爾馬定理：一個(gè)函數(shù)的極值點(diǎn)，要么不可導(dǎo)，要么導(dǎo)數(shù)為零

微分中值的三個(gè)定理：羅爾定理、拉格朗日定理和柯西定理。它們是同一個(gè)數(shù)學(xué)事實(shí)在不同的坐標(biāo)系中的表達(dá)：對(duì)一個(gè)閉區(qū)間連續(xù)、開(kāi)區(qū)間可導(dǎo)的函數(shù)來(lái)說(shuō)，必存在區(qū)間內(nèi)的一點(diǎn)，該點(diǎn)切線的斜率等于兩端點(diǎn)連線的斜率。用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值情況

用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的增減性和凹凸性

泰勒定理：本質(zhì)是用多項(xiàng)式來(lái)逼近連續(xù)函數(shù)。要學(xué)好這部分內(nèi)容，需要考慮幾個(gè)問(wèn)題：

1、一個(gè)函數(shù)能夠用多項(xiàng)式來(lái)近似的條件是什么？

二、這個(gè)多項(xiàng)式的各系數(shù)如何求？

二、即使求出了這個(gè)多項(xiàng)式的系數(shù)，如何去評(píng)估這個(gè)多項(xiàng)式逼近連續(xù)函數(shù)的精確程度，即還需要求出誤差（余項(xiàng)），一般來(lái)說(shuō)，余項(xiàng)的選取不同，對(duì)函數(shù)的要求也不同，常見(jiàn)的有皮亞諾和拉格朗日兩種余項(xiàng)

不定積分：導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算 什么樣的函數(shù)有不定積分

求不定積分的若干典型方法：湊微分、換元和分部 各種典型不定積分的計(jì)算。

定積分：由具體例子引出，本質(zhì)是先分割、再綜合，其中分割的作用是把不規(guī)則的整體劃作規(guī)則的許多個(gè)小的部分，然后再綜合，最后求極限，當(dāng)極限存在時(shí)，近似成為精確 什么樣的函數(shù)有定積分 積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)

微積分基本定理，其最重要的作用是將定積分（一個(gè)復(fù)雜和式的極限）與不定積分（導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算）相聯(lián)系

積分中值定理，其對(duì)應(yīng)的意義是變量的平均值

定積分的幾何應(yīng)用和物理應(yīng)用

高等數(shù)學(xué)里最重要的數(shù)學(xué)思想方法：微元法

第二篇：高數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)(上冊(cè))

高數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)（上冊(cè)）函數(shù)：

絕對(duì)值得性質(zhì)：(1)|a+b|?|a|+|b|

(2)|a-b|?|a|-|b|

(3)|ab|=|a||b|

a|a|(b?0)(4)|b|=|b|

函數(shù)的表示方法：

（1）表格法

（2）圖示法

函數(shù)的幾種性質(zhì)：

（1）函數(shù)的有界性（2）函數(shù)的單調(diào)性

（3）函數(shù)的奇偶性（4）函數(shù)的周期性 反函數(shù)：

（3）公式法（解析法）

?1y?f(x)y?f(x)存在，且是單定理：如果函數(shù)在區(qū)間[a,b]上是單調(diào)的，則它的反函數(shù)值、單調(diào)的。

基本初等函數(shù)：

（1）冪函數(shù)

（3）對(duì)數(shù)函數(shù)

（5）反三角函數(shù) 復(fù)合函數(shù)的應(yīng)用 極限與連續(xù)性： 數(shù)列的極限：

（2）指數(shù)函數(shù)（4）三角函數(shù)

定義：設(shè)?xn?是一個(gè)數(shù)列，a是一個(gè)定數(shù)。如果對(duì)于任意給定的正數(shù)?（不管它多么小），總存在正整數(shù)N，使得對(duì)于n>N的一切xn，不等式

limxn??xn極限，或稱數(shù)列收斂于a，記做n???axn?a??都成立，則稱數(shù)a是數(shù)列?xn?的，或xn?a（n??）

收斂數(shù)列的有界性： 定理：如果數(shù)列?xn?收斂，則數(shù)列?xn?一定有界

推論：（1）無(wú)界一定發(fā)散（2）收斂一定有界（3）有界命題不一定收斂

函數(shù)的極限：

定義及幾何定義 函數(shù)極限的性質(zhì)：

limf(x)?Ax?x0（1）同號(hào)性定理：如果，而且A>0(或A<0),則必存在x0的某一鄰域，當(dāng)x在該鄰域內(nèi)（點(diǎn)x0可除外），有f(x)?0（或f(x)?0）。（2）如果x?x0limf(x)?A，且在x0的某一鄰域內(nèi)（x?x0），恒有f(x)?0（或f(x)?0），則A?0（A?0）。

limf(x)limf(x)（3）如果x?x0存在，則極限值是唯一的

（4）如果存在，則在f(x)在點(diǎn)x0的某一鄰域內(nèi)（x?x0）是有界的。無(wú)窮小與無(wú)窮大：

注意：無(wú)窮小不是一個(gè)很小的數(shù)，而是一個(gè)以零位極限的變量。但是零是可作為無(wú)窮小x?x0f(x)??的唯一的常數(shù)，因?yàn)槿绻鹒(x)?0則對(duì)任給的??0，總有，即常數(shù)零滿足無(wú)窮小的定義。除此之外，任何無(wú)論多么小的數(shù)，都不滿足無(wú)窮小的定義，都不是無(wú)窮小。無(wú)窮小與無(wú)窮大之間的關(guān)系：

1（1）如果函數(shù)f(x)為無(wú)窮大，則f(x)為無(wú)窮小

1（2）如果函數(shù)f(x)為無(wú)窮小，且f(x)?0，則f(x)為無(wú)窮大

具有極限的函數(shù)與無(wú)窮小的關(guān)系：

（1）具有極限的函數(shù)等于極限值與一個(gè)無(wú)窮小的和

（2）如果函數(shù)可表為常數(shù)與無(wú)窮小的和，則該常數(shù)就是函數(shù)的極限 關(guān)于無(wú)窮小的幾個(gè)性質(zhì)：

定理：

（1）有限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和也是無(wú)窮小（2）有界函數(shù)f(x)與無(wú)窮小a的乘積是無(wú)窮小

推論：

（1）常數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮?。?）有限個(gè)無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小 極限的四則運(yùn)算法則：

定理：兩個(gè)函數(shù)f(x)、g(x)的代數(shù)和的極限等于它們的極限的代數(shù)和 兩個(gè)函數(shù)f(x)、g(x)乘積的極限等于它們的極限的乘積

極限存在準(zhǔn)則與兩個(gè)重要極限：

準(zhǔn)則一（夾擠定理）

設(shè)函數(shù)f(x)、g(x)、h(x)在x?x0的某個(gè)鄰域內(nèi)（點(diǎn)x0可除外）滿足條件：

（1）g(x)?f(x)?h(x)（2）x?x0x?x0limg(x)?A，x?x0limh(x)?A

則 準(zhǔn)則二

單調(diào)有界數(shù)列必有極限

定理：如果單調(diào)數(shù)列有界，則它的極限必存在 limf(x)?A

重要極限：

sinx?1x?0x（1）lim

1?cosx1?2x?02 x（2）

lim11xlim(1?)?elim(1?x)x?ex（3）x??或x?0

無(wú)窮小階的定義： 設(shè)?、?為同一過(guò)程的兩個(gè)無(wú)窮小。

lim

（1）如果??0?，則稱?是比?高階的無(wú)窮小，記做??o(?)????，則稱?是比?低階的無(wú)窮小

（2）如果lim

（3）如果lim??c(c?0,c?1)?，則稱?與?是同階無(wú)窮小 ??1?，則稱?與?是等階無(wú)窮小，記做?~?

（4）如果lim幾種等價(jià)無(wú)窮?。?/p>

對(duì)數(shù)函數(shù)中常用的等價(jià)無(wú)窮?。? x?0時(shí)，ln(1?x)~x(x?0)

loga(1?x)~1x(x?0)lna

三角函數(shù)及反三角函數(shù)中常用的等價(jià)無(wú)窮?。? x?0時(shí)，sinx~xtanx~x1?cosx~12x2arcsinx~xarctanx~x

指數(shù)函數(shù)中常用的等價(jià)無(wú)窮小： x?0時(shí)，ex?1~xax?1?exlna?1~lna

xn 二項(xiàng)式中常用的等價(jià)無(wú)窮小：

x?0時(shí)，(1?x)?1~axan1?x?1~函數(shù)在某一點(diǎn)處連續(xù)的條件：

limf(x)?f(x0)x?x0 由連續(xù)定義可知，函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)必須同時(shí)滿足下列三個(gè)條件：（1）f(x)在點(diǎn)x0處有定義

limf(x)x?xf(x)x?x00（2）當(dāng)時(shí)，的極限存在（3）極限值等于函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的函數(shù)值f(x0)

如果函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)，由連續(xù)定義可知，當(dāng)x?x0時(shí)，f(x)的極限一定存在，反極限與連續(xù)的關(guān)系：

之，則不一定成立

函數(shù)的間斷點(diǎn)：

分類：第一類間斷點(diǎn)(左右極限都存在)第二類間斷點(diǎn)(有一個(gè)極限不存在)連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商的連續(xù)性： 定理：如果函數(shù)f(x)、g(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)，則他們的和、差、積、商（分母不為零）在點(diǎn)x0也連續(xù) 反函數(shù)的連續(xù)性： 定理：如果函數(shù)y?f(x)在某區(qū)間上是單調(diào)增（或單調(diào)減）的連續(xù)函數(shù)，則它的反函數(shù)x??(y)也在對(duì)應(yīng)的區(qū)間上是單調(diào)增（或單調(diào)減）的連續(xù)函數(shù)

最大值與最小值定理：

值 推論：如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)，則f(x)在?a,b?上有界

定理：設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)，兩端點(diǎn)處的函數(shù)值分別為f(a)?A,f(b)?B(A?B)，而?是介于A與B之間的任一值，則在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)定理：設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)，則函數(shù)f(x)在閉區(qū)間?a,b?上必有最大值和最小介值定理：

?，使得

f(?)??(a???b)

推論（1）：在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)必能取得介于最大值與最小值之間的任何值

推論（2）：設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)，且f(a)?f(b)?0(兩端點(diǎn)的函數(shù)值異號(hào))，則在(a,b)的內(nèi)部，至少存在一點(diǎn)?，使f(?)?0

導(dǎo)數(shù)與微分 導(dǎo)數(shù)： 定義：y'?lim?x?0f(x??x)?f(x)?x

導(dǎo)數(shù)的幾何定義：函數(shù)在圖形上表示為切線的斜率

函數(shù)可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的表示：

如果函數(shù)在x處可導(dǎo)，則在點(diǎn)x處連續(xù)，也即函數(shù)在點(diǎn)x處連續(xù)

一個(gè)數(shù)在某一點(diǎn)連續(xù)，它卻不一定在該點(diǎn)可導(dǎo) 據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)：（1）y'|x?x0?limf(x0??x)?f(x0)?y?lim?x?0?x?x?0?x

（2）y'|x?x0?limx?x0f(x)?f(x0)x?x0

f(x??x)?f(x)?x（3）y'|x?x0?lim?x?0基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：

（1）常數(shù)導(dǎo)數(shù)為零(c)'?0

nn?1(x)'?nx（2）冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

（3）三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

(sinx)'?cosx

(cosx)'??sinx 1(cotx)'????csc2x2(secx)'?secxtanx sinx

(cscx)'??cscxcotx

(tanx)'?1?sec2x2cosx

（4）對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：（5）指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：

xx(e)'?e（6）

(logax)'?11logae?xxlna

(ax)'?axlna

（7）反三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：

1?x2

1(arctanx)'?1?x2(arcsinx)'?1

(arccosx)'??11?x2 1(arccotx)'??1?x2

函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則： 法則一（具體內(nèi)容見(jiàn)書(shū)106）

(u?v)'?u'?v'

(u?v)'?u'?v'

函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則： 法則二（具體內(nèi)容見(jiàn)書(shū)108）

(uv)'?u'v?uv'

uu'v?uv'()'?vv2 函數(shù)商的求導(dǎo)法則： 法則三（具體內(nèi)容見(jiàn)書(shū)109）

復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則：（定理見(jiàn)書(shū)113頁(yè)）

反函數(shù)的求導(dǎo)法則：

反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù) 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：（見(jiàn)書(shū)121頁(yè)）

d2yddy?()2dxdx 高階導(dǎo)數(shù)：二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù) dx求n階導(dǎo)數(shù)：（不完全歸納法）

??(sinx)(n)?sin(x?n?）(cosx)(n)?cos(x?n?）2

2隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（見(jiàn)書(shū)126頁(yè)）

對(duì)隱函數(shù)求導(dǎo)時(shí)，首先將方程兩端同時(shí)對(duì)自變量求導(dǎo)，但方程中的y是x的函數(shù)，它的導(dǎo)dy'ydx數(shù)用記號(hào)（或表示）

對(duì)數(shù)求導(dǎo)法：先取對(duì)數(shù)，后求導(dǎo)（冪指函數(shù)）

?x??(t)(??t??)?y??(t)由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：?

dydydtdy1?'(t)?????dxdtdxdtdx?'(t)dt

微分概念：

函數(shù)可微的條件

如果函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0可微，則f(x)在點(diǎn)x0一定可導(dǎo) 函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0可微的必要充分條件是函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0可導(dǎo) dy?f'(x0)?x

函數(shù)的微分dy是函數(shù)的增量?y的線性主部（當(dāng)?x?0），從而，當(dāng)

?x很小時(shí)，有?y?dy

通常把自變量x的增量?x稱為自變量的微分，記做dx。即于是函數(shù)的微分可記為

dy?f'(x)'dy?f(x)dx，從而有dx

基本初等函數(shù)的微分公式： 幾個(gè)常用的近似公式：

f(x)?f(0)?f'(0)x

n

1?x?1?1xn

sinx?x（x用弧度）

e2?1?x

tanx?x（x用弧度）

ln(1?x)?x

中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用

羅爾定理：如果函數(shù)f(x)滿足下列條件

（1）在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)（2）在開(kāi)區(qū)間?a,b?內(nèi)具有導(dǎo)數(shù)

'（3）在端點(diǎn)處函數(shù)值相等，即f(a)?f(b)，則在?a,b?內(nèi)至少有一點(diǎn)?，使f(?)?0

拉格朗日中值定理：如果函數(shù)f(x)滿足下列條件

（1）在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)

（2）在開(kāi)區(qū)間?a,b?內(nèi)具有導(dǎo)數(shù)，則在?a,b?內(nèi)至少有一點(diǎn)?，使得f(b)?f(a)?f'(?)(b?a)定理幾何意義是：如果連續(xù)曲線y?f(x)上的弧AB除端點(diǎn)處外處處具有不垂直于x軸的??切線，那么，在這弧上至少有一點(diǎn)c，使曲線在點(diǎn)c的切線平行于弧AB 推論：如果函數(shù)f(x)在區(qū)間?a,b?內(nèi)的導(dǎo)數(shù)恒為零，那么f(x)在?a,b?內(nèi)是一個(gè)常數(shù)

柯西中值定理：如果函數(shù)f(x)與F(x)滿足下列條件

（1）在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)（2）在開(kāi)區(qū)間?a,b?內(nèi)具有導(dǎo)數(shù)

‘F（3）(x)在?a,b?內(nèi)的每一點(diǎn)處均不為零，則在?a,b?內(nèi)至少有一點(diǎn)?使得f(b)?f(a)f'(?)?'F(b)?F(a)F(?)

羅爾定理是拉格朗日中值定理的特例，柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推廣 洛必達(dá)法則：（理論根據(jù)是柯西中值定理）

00未定式

1、x?a情形

定理：如果(1)當(dāng)x?a時(shí)，f(x)與?(x)都趨于零

'''f(x)?(x)?（2）在點(diǎn)a的某領(lǐng)域（點(diǎn)a可除外）內(nèi)，與都存在且(x)?0

f'(x)f(x)f(x)lim'limlimx?ax?a?(x)x?a?(x)（3）?(x)存在（或?yàn)?），則極限存在（或?yàn)?），且f'(x)lim'x?a?(x)=

在一定條件下通過(guò)分子、分母分別求導(dǎo)數(shù)再求極限來(lái)確定未定式的值的方法稱為洛必達(dá)法則

2、x??情形

推論：如果（1）當(dāng)x??時(shí)，f(x)與?(x)都趨于零

'''f(x)?(x)?（2）當(dāng)|x|>N時(shí)，與都存在且(x)?0

f'(x)f(x)f(x)lim'limlimx???(x)x???(x)x??（3）?(x)存在（或?yàn)?），則極限存在（或?yàn)?），且f'(x)lim'x???(x)=

??未定式

1、x?a情形

如果（1）x?a時(shí)，f(x)與?(x)都趨于無(wú)窮大

'''f(x)?(x)?（2）在點(diǎn)a的某領(lǐng)域（點(diǎn)a可除外）內(nèi)，與都存在且(x)?0

f'(x)f(x)f(x)lim'limlimx?a?(x)x?a?(x)x?a?(x)（3）存在（或?yàn)?），則則極限存在（或?yàn)?），且=f'(x)lim'x?a?(x)

2、x??情形 推論：如果（1）x??時(shí)，f(x)與?(x)都趨于無(wú)窮大

'''f(x)?(x)?（2）當(dāng)|x|>N時(shí)，與都存在且(x)?0

f'(x)f(x)lim'limx?a?(x)x?a?(x)（3）存在（或?yàn)?），則則極限存在（或?yàn)?），且f'(x)f(x)lim'limx?a?(x)x?a?(x)=

0?注意：

1、洛必達(dá)法則僅適用于0型及?型未定式

2、當(dāng)泰勒公式（略）

邁克勞林公式（略）函數(shù)單調(diào)性的判別法： f'(x)limx?a?'(x)(x??)不存在時(shí)，不能斷定

f(x)x?a?(x)(x??)lim不存在，此時(shí)不能應(yīng)用洛必達(dá)法則

必要條件：設(shè)函數(shù)f(x)在?a,b?上連續(xù)，在?a,b?內(nèi)具有導(dǎo)數(shù)，如果f(x)在?a,b?上單調(diào)增

''??a,bf(x)?0f加（減少），則在內(nèi)，（(x)?0）

充分條件：設(shè)函數(shù)f(x)在?a,b?上連續(xù)，在?a,b?內(nèi)具有導(dǎo)數(shù)，'??a,bf（1）如果在內(nèi)，(x)?0，則f(x)在?a,b?上單調(diào)增加 '??a,bf（2）如果在內(nèi)，(x)?0，則f(x)在?a,b?上單調(diào)減少

函數(shù)的極值及其求法

極值定義（見(jiàn)書(shū)176頁(yè)）極值存在的充分必要條件

'xxf(x)f00必要條件：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處具有導(dǎo)數(shù)，且在點(diǎn)處取得極值，則(x)?0

函數(shù)的極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn)

導(dǎo)數(shù)不存在也可能成為極值點(diǎn)

'f駐點(diǎn)：使(x)?0的點(diǎn)，稱為函數(shù)f(x)的駐點(diǎn)

充分條件（第一）：設(shè)連續(xù)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的一個(gè)鄰域（x0點(diǎn)可除外）內(nèi)具有導(dǎo)數(shù)，當(dāng)x由小增大經(jīng)過(guò)x0時(shí)，如果 'f（1）(x)由正變負(fù)，則x0是極大點(diǎn)

'f（2）(x)由負(fù)變正，則x0是極小點(diǎn) 'f（3）(x)不變號(hào)，則x0不是極值點(diǎn)

';;xf(x)?0ff(x)0充分條件（第二）：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)0處具有二階導(dǎo)數(shù)，且，(x0)?0

;;f（1）如果(x0)?0，則f(x)在x0點(diǎn)處取得極大值;;f（2）如果(x0)?0，則f(x)在x0點(diǎn)處取得極小值

函數(shù)的最大值和最小值（略）

曲線的凹凸性與拐點(diǎn)： 定義：設(shè)f(x)在?a,b?上連續(xù)，如果對(duì)于?a,b?上的任意兩點(diǎn)x1、x2恒有f(x1?x2f(x1?f(x2))?22，則稱f(x)在?a,b?上的圖形是（向上）凹的，反之，圖形是（向上）凸的。

判別法：

定理：設(shè)函數(shù)f(x)在?a,b?上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)

;;f(a,b)（1）如果在內(nèi)(x0)?0，那么f(x)的圖形在?a,b?上是凹的;;f(a,b)（2）如果在內(nèi)(x0)?0，那么f(x)的圖形在?a,b?上是凸的

拐點(diǎn)：凸弧與凹弧的分界點(diǎn)稱為該曲線的拐點(diǎn)。

不定積分

原函數(shù)：如果在某一區(qū)間上，函數(shù)F(x)與f(x)滿足關(guān)系式： F'(x)?f(x)或dF(x)?f(x)dx，則稱在這個(gè)區(qū)間上，函數(shù)F(x)是函數(shù)f(x)的一個(gè)原函數(shù) 結(jié)論：如果函數(shù)f(x)在某區(qū)間上連續(xù)，則在這個(gè)區(qū)間上f(x)必有原函數(shù)

定理：如果函數(shù)F(x)是f(x)的原函數(shù)，則F(x)?C（C為任意常數(shù)）也是f(x)的原函數(shù)，且f(x)的任一個(gè)原函數(shù)與F(x)相差為一個(gè)常數(shù) 不定積分的定義：

f(x)dx定義：函數(shù)f(x)的全體原函數(shù)稱為f(x)的不定積分，記做?

(?f(x)dx)'?f(x)d(?f(x)dx)?f(x)dx不定積分的性質(zhì)： 性質(zhì)一：

或

f及?'

(x)dx?f(x)?C或?df(x)?f(x)?C

性質(zhì)二：有限個(gè)函數(shù)的和的不定積分等于各個(gè)函數(shù)的不定積分的和。即

?[f1(x)?f2(x)???fn(x)]dx??f1(x)dx??f2(x)dx????fn(x)dx

性質(zhì)三：被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可以提到積分號(hào)外面來(lái)，即

?kf(x)dx?k?f(x)dx（k為常數(shù)，且k?0 kdx?kx?C基本積分表：（1）?（k是常數(shù)）

xa?1xdx??C(a??1)?a?1（2）

a 1dx?ln|x|?C?x（3）

x

e（4）?xdx?ex?C

axadx??C(a?0,a?1)?lna（5）

（6）?sinxdx??cosx?C

（7）?cosxdx?sinx?C

12dx?secxdx?tanx?C2??（8）cosx

1dx??csc2xdx??cotx?Csecxtanxdx?secx?C2?（9）sinx（10）?

（11）?cscxcotxdx??cscx?C

（12）

?11?x2dx?arcsinx?C

（13）?11?x2dx?arctanx?C

'第一類換元法（湊微分法）?f[?(x)]?(x)dx?F[?(x)]?C

?tanxdx??ln|cosx|?C

?cotxdx?ln|sinx|?C

第二類換元法：變量代換

被積函數(shù)若函數(shù)有無(wú)理式，一般情況下導(dǎo)用第二類換元法。將無(wú)理式化為有理式 基本積分表添加公式：

結(jié)論：

22a?x如果被積函數(shù)含有，則進(jìn)行變量代換x?asint化去根式

22如果被積函數(shù)含有x?a，則進(jìn)行變量代換x?atant化去根式

22x?a如果被積函數(shù)含有，則進(jìn)行變量代換x?asect化去根式

分部積分法：

對(duì)應(yīng)于兩個(gè)函數(shù)乘積的微分法，可推另一種基本微分法---------分部積分法 ?udv?uv??vdu

分部積分公式

三角函數(shù)指數(shù)函數(shù)

1、如果被積函數(shù)是冪函數(shù)與

令u等于冪函數(shù) 的積，可以利用分部積分法

對(duì)數(shù)函數(shù)

2、如果被積函數(shù)是冪函數(shù)與反三角函數(shù)的積，可使用分部積分法

對(duì)數(shù)函數(shù) 令u=反三角函數(shù)

3、如果被積函數(shù)是指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)的積，也可用分部積分法。定積分

定積分的定義

定理：如果函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上可積

定理：如果函數(shù)在[a,b]上只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)，則f(x)在[a,b]上可積 定積分的幾何意義：

bf(x)dx

1、在[a,b]上f(x)?0，這時(shí)?a的值在幾何上表示由曲線y?f(x)、x軸及二直線x=a、x=b所圍成的曲邊梯形的面積

2、在[a,b]上f(x)?0，其表示曲邊梯形面積的負(fù)值

3、在[a,b]上，f(x)既取得正值又取得負(fù)值 幾何上表示由曲線y?f(x)、x軸及二直線x=a、x=b所圍成平面圖形位于x軸上方部分的面積減去x軸下方部分的面積 定積分的性質(zhì)：

性質(zhì)

一、函數(shù)和（差）的定積分等于他們的定積分的和（差），即

?aaa

性質(zhì)

二、被積函數(shù)中的常數(shù)因子可以提到積分號(hào)外面，即

b[f(x)?g(x)]dx??f(x)dx??g(x)dxkf(x)dx?k?f(x)dxabbb?ba（k是常數(shù)）

性質(zhì)

三、如果將區(qū)間[a,b]分成兩部分[a,c]和[c,b]，那么

?baf(x)dx??f(x)dx??f(x)dxacbcb、性質(zhì)

四、如果在[a,b]上，f(x)?1，那么?af(x)dx??dx?b?aab

f(x)dx?0性質(zhì)

五、如果在[a,b]上，f(x)?0，那么?a 性質(zhì)

六、如果在[a,b]上，f(x)?g(x)，那么

b?baf(x)dx??g(x)dxab

性質(zhì)

七、設(shè)M及m，分別是函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值及最小值，則

?f(x)dx?

m(b-a)?aM(b-a)(a

八、積分中值定理

bab ……估值定理

如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，那么在積分區(qū)間[a,b]上至少有一點(diǎn)?，使得 ? f(x)dx?f(?)(b?a)微積分基本公式

積分上限的函數(shù)：?(x)??f(t)dtax（a?x?b）

性質(zhì)：如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，那么積分上限的函數(shù)‘?(x)??f(t)dtax在[a,b]上dx?(x)?f(t)dt?f(x)?adx具有導(dǎo)數(shù)，且

定理：在區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)f(x)的原函數(shù)一定存在

如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且F(x)是f(x)的任意一個(gè)原函數(shù)，那么ba牛頓——萊布尼茨公式

?

f(x)dx?F(b)?F(a)

定積分的換元法

假設(shè)（1）函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)；

（2）函數(shù)x??(t)在區(qū)間[?,?]上單值，且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)；

x??(t)的值在[a,b]上變化，?a，?（?）?b，（3）當(dāng)t在區(qū)間[?,?]上變化時(shí)，且?（?）b則有定積分的換元公式?a f(x)dx??f[?(t)]?'(t)dt??

設(shè)f(x)在區(qū)間[?a,a]上連續(xù)，則

?f(x)dx?0f(x)??a（1）如果函數(shù)為奇函數(shù)，則（2）如果函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，則??a?20aaf(x)dx?2?f(x)dx0a

0

定積分的分部積分法 ?sinxdx??2cosnxdxn

'''''[a,b]u(x)v(x)u(x)v(x)(uv)?uv?vu設(shè)、在上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)、，那么，在等式的兩邊

bbb(uv)?uv'dx?vu'dxaaa分別求a到b的定積分得

b……定積分的分部積分公式

bbb'bb'uvdx?(uv)?vudxudv?(uv)??vdu?a?a?aaaa即 或

無(wú)窮區(qū)間上的廣義積分

limf(x)dx定義：設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,??]上連續(xù)，取b>a，如果極限b????a存在，則稱此極

??b限為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,??]上的廣義積分，記做?a無(wú)界函數(shù)的廣義積分（見(jiàn)書(shū)279頁(yè)）定積分的應(yīng)用（見(jiàn)書(shū)286頁(yè)）

元素法

在極坐標(biāo)系中的計(jì)算法

f(x)dx即?a??f(x)dx?lim?f(x)dxb???ab

第三篇：高數(shù)上冊(cè)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

高數(shù)重點(diǎn)知識(shí)總結(jié)

1、基本初等函數(shù)：反函數(shù)(y=arctanx)，對(duì)數(shù)函數(shù)(y=lnx)，冪函數(shù)(y=x)，指數(shù)函數(shù)(y?ax)，三角函數(shù)(y=sinx)，常數(shù)函數(shù)(y=c)

2、分段函數(shù)不是初等函數(shù)。

x2?xx?lim?1

3、無(wú)窮?。焊唠A+低階=低階

例如：limx?0x?0xxsinx4、兩個(gè)重要極限：(1)lim?1x?0x(2)lim?1?x??ex?01x?1?lim?1???e x???x?g(x)x經(jīng)驗(yàn)公式：當(dāng)x?x0,f(x)?0,g(x)??，lim?1?f(x)?x?x0?ex?x0limf(x)g(x)

例如：lim?1?3x??ex?01xx?0??3x?lim???x??e?3

5、可導(dǎo)必定連續(xù)，連續(xù)未必可導(dǎo)。例如：y?|x|連續(xù)但不可導(dǎo)。

6、導(dǎo)數(shù)的定義：lim?x?0f(x??x)?f(x)?f'(x)?xx?x0limf(x)?f(x0)?f'?x0?

x?x07、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)：df?g(x)??f'?g(x)??g'(x)dx

例如：y?x?x,y'?2x?2x?1 2x?x4x2?xx1?

18、隱函數(shù)求導(dǎo)：(1)直接求導(dǎo)法；(2)方程兩邊同時(shí)微分，再求出dy/dx x2?y2?1例如：解：法(1),左右兩邊同時(shí)求導(dǎo),2x?2yy'?0?y'??x ydyx法(2),左右兩邊同時(shí)微分,2xdx?2ydy???dxy9、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)求導(dǎo)：若??y?g(t)dydy/dtg'(t)??，則，其二階導(dǎo)數(shù)：dxdx/dth'(t)?x?h(t)d(dy/dx)d?g'(t)/h'(t)?dyd?dy/dx?dtdt??? 2dxdxdx/dth'(t)

210、微分的近似計(jì)算：f(x0??x)?f(x0)??x?f'(x0)例如：計(jì)算 sin31?

11、函數(shù)間斷點(diǎn)的類型：(1)第一類：可去間斷點(diǎn)和跳躍間斷點(diǎn)；例如：y?sinx（x=0是x函數(shù)可去間斷點(diǎn)），y?sgn(x)（x=0是函數(shù)的跳躍間斷點(diǎn)）(2)第二類：振蕩間斷點(diǎn)和無(wú)窮間斷點(diǎn)；例如：f(x)?sin??（x=0是函數(shù)的振蕩間斷點(diǎn)），y?斷點(diǎn)）

12、漸近線：

水平漸近線：y?limf(x)?c

x???1??x?1（x=0是函數(shù)的無(wú)窮間xlimf(x)??，則x?a是鉛直漸近線.鉛直漸近線：若，x?a斜漸近線：設(shè)斜漸近線為y?ax?b,即求a?limx??f(x),b?lim?f(x)?ax?

x??xx3?x2?x?1例如：求函數(shù)y?的漸近線

x2?113、駐點(diǎn)：令函數(shù)y=f(x)，若f'(x0)=0，稱x0是駐點(diǎn)。

14、極值點(diǎn)：令函數(shù)y=f(x)，給定x0的一個(gè)小鄰域u(x0,δ),對(duì)于任意x∈u(x0,δ)，都有f(x)≥f(x0)，稱x0是f(x)的極小值點(diǎn)；否則，稱x0是f(x)的極大值點(diǎn)。極小值點(diǎn)與極大值點(diǎn)統(tǒng)稱極值點(diǎn)。

15、拐點(diǎn)：連續(xù)曲線弧上的上凹弧與下凹弧的分界點(diǎn)，稱為曲線弧的拐點(diǎn)。

16、拐點(diǎn)的判定定理：令函數(shù)y=f(x)，若f“(x0)=0，且x0；x>x0時(shí)，f“(x)<0或xx0時(shí)，f“(x)>0，稱點(diǎn)(x0，f(x0))為f(x)的拐點(diǎn)。

17、極值點(diǎn)的必要條件：令函數(shù)y=f(x)，在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，且x0是極值點(diǎn)，則f'(x0)=0。

18、改變單調(diào)性的點(diǎn)：f'(x0)?0，f'(x0)不存在，間斷點(diǎn)（換句話說(shuō)，極值點(diǎn)可能是駐點(diǎn)，也可能是不可導(dǎo)點(diǎn)）

19、改變凹凸性的點(diǎn)：f”(x0)?0，f''(x0)不存在（換句話說(shuō)，拐點(diǎn)可能是二階導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)，也可能是二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)）

20、可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)必定是駐點(diǎn)，但函數(shù)的駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)。

21、中值定理：

(1)羅爾定理：f(x)在[a,b]上連續(xù)，(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則至少存在一點(diǎn)?，使得f'(?)?0

(2)拉格朗日中值定理：f(x)在[a,b]上連續(xù)，(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則至少存在一點(diǎn)?，使得f(b)?f(a)?(b?a)f'(?)

(3)積分中值定理：f(x)在區(qū)間[a,b]上可積，至少存在一點(diǎn)?，使得b?f(x)dx?(b?a)f(?)

a22、常用的等價(jià)無(wú)窮小代換：

x~sinx~arcsinx~arctanx~tanx~ex?1~2(1?x?1)~ln(1?x)1?cosx~12x2111tanx?sinx~x3,x?sinx~x3,tanx?x~x3263

23、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法：例如，y?xx，解：lny?xlnx?1y'?lnx?1?y'?xx?lnx?1? y24、洛必達(dá)法則：適用于“

0?”型，“”型，“0??”型等。當(dāng)0?x?x0,f(x)?0/?,g(x)?0/?，f'(x),g'(x)皆存在，且g'(x)?0，則f(x)f'(x)ex?sinx?10ex?cosx0ex?sinx1lim?lim

例如，limlimlim? 2x?x0g(x)x?x0g'(x)x?0x?0x?0x02x02225、無(wú)窮大：高階+低階=高階

例如，26、不定積分的求法

(1)公式法

(2)第一類換元法（湊微分法）

(3)第二類換元法：哪里復(fù)雜換哪里，常用的換元：1)三角換元：

23?x?1??2x?3?lim?x???2x5x2?2x?lim?4

x???2x53a2?x2，可令x?asint；x2?a2，可令x?atant；x2?a2，可令x?asect

2)當(dāng)有理分式函數(shù)中分母的階較高時(shí)，常采用倒代換x?1 t27、分部積分法：udv?uv?vdu，選取u的規(guī)則“反對(duì)冪指三”，剩下的作v。分部積

x3分出現(xiàn)循環(huán)形式的情況，例如：ecosxdx,secxdx ????

28、有理函數(shù)的積分：

例如：3x?22(x?1)?x11dx?dx?2dx??x(x?1)3?x(x?1)3?x(x?1)2??x?1?3dx

11x?1?xx?1?x1dx???需要進(jìn)行拆分，令 ?x(x?1)2x(x?1)2x(x?1)2x(x?1)(x?1)2其中，前部分?111?? 2xx?1(x?1)

29、定積分的定義：

?f(?)?x ?f(x)dx?lim?a?0iii?1bn30、定積分的性質(zhì)：

b(1)當(dāng)a=b時(shí)，?f(x)dx?0；

aba(2)當(dāng)a>b時(shí)，?f(x)dx???f(x)dx

aba?aa(3)當(dāng)f(x)是奇函數(shù)，?f(x)dx?0,a?0

a(4)當(dāng)f(x)是偶函數(shù)，b?a?f(x)dx?2?f(x)dx

0cb(5)可加性：?f(x)dx??f(x)dx??f(x)dx

aacxxd31、變上限積分：?(x)??f(t)dt??'(x)?f(t)dt?f(x)?dxaad推廣：dxu(x)?f(t)dt?f?u(x)?u'(x)

ab32、定積分的計(jì)算（牛頓—萊布尼茨公式）：

bb?f(x)dx?F(b)?F(a)

a33、定積分的分部積分法：udv??uv??vdu

例如：xlnxdx

?aba?a???bb???

34、反常積分：(1)無(wú)窮限的反常積分：

?f(x)dx?lim?f(x)dx

aabbt?a?

(2)無(wú)界函數(shù)的反常積分：

35、平面圖形的面積：

(1)A??f(x)dx?lim?f(x)dx

atd??f(x)?f(x)?dx

(2)A????(y)??(y)?dy 2121ac(2)繞y軸旋轉(zhuǎn)，????f(x)dxV???(y)dy ??2acbdb36、旋轉(zhuǎn)體的體積：

(1)繞x軸旋轉(zhuǎn)，V??

第四篇：高數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

高數(shù)重點(diǎn)知識(shí)總結(jié)

1、基本初等函數(shù)：反函數(shù)(y=arctanx)，對(duì)數(shù)函數(shù)(y=lnx)，冪函數(shù)(y=x)，指數(shù)函數(shù)(y?ax)，三角函數(shù)(y=sinx)，常數(shù)函數(shù)(y=c)

2、分段函數(shù)不是初等函數(shù)。

x2?xx?lim?1

3、無(wú)窮小：高階+低階=低階

例如：limx?0x?0xxsinx4、兩個(gè)重要極限：(1)lim?1x?0x(2)lim?1?x??ex?01x?1?lim?1???e x???x?g(x)x經(jīng)驗(yàn)公式：當(dāng)x?x0,f(x)?0,g(x)??，lim?1?f(x)?x?x0?ex?x0limf(x)g(x)

例如：lim?1?3x??ex?01xx?0??3x?lim???x??e?3

5、可導(dǎo)必定連續(xù)，連續(xù)未必可導(dǎo)。例如：y?|x|連續(xù)但不可導(dǎo)。

6、導(dǎo)數(shù)的定義：lim?x?0f(x??x)?f(x)?f'(x)?xx?x0limf(x)?f(x0)?f'?x0?

x?x07、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)：df?g(x)??f'?g(x)??g'(x)dx

例如：y?x?x,y'?2x?2x?1 2x?x4x2?xx1?

18、隱函數(shù)求導(dǎo)：(1)直接求導(dǎo)法；(2)方程兩邊同時(shí)微分，再求出dy/dx x2?y2?1例如：解：法(1),左右兩邊同時(shí)求導(dǎo),2x?2yy'?0?y'??x ydyx法(2),左右兩邊同時(shí)微分,2xdx?2ydy???dxy9、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)求導(dǎo)：若??y?g(t)dydy/dtg'(t)??，則，其二階導(dǎo)數(shù)：dxdx/dth'(t)?x?h(t)d(dy/dx)d?g'(t)/h'(t)?dyd?dy/dx?dtdt??? 2dxdxdx/dth'(t)

210、微分的近似計(jì)算：f(x0??x)?f(x0)??x?f'(x0)例如：計(jì)算 sin31?

11、函數(shù)間斷點(diǎn)的類型：(1)第一類：可去間斷點(diǎn)和跳躍間斷點(diǎn)；例如：y?sinx（x=0x是函數(shù)可去間斷點(diǎn)），y?sgn(x)（x=0是函數(shù)的跳躍間斷點(diǎn)）(2)第二類：振蕩間斷點(diǎn)和無(wú)窮間斷點(diǎn)；例如：f(x)?sin??（x=0是函數(shù)的振蕩間斷點(diǎn)），y?數(shù)的無(wú)窮間斷點(diǎn)）

12、漸近線：

水平漸近線：y?limf(x)?c

x???1??x?1（x=0是函xlimf(x)??，則x?a是鉛直漸近線.鉛直漸近線：若，x?a斜漸近線：設(shè)斜漸近線為y?ax?b,即求a?limx??f(x),b?lim?f(x)?ax?

x??xx3?x2?x?1例如：求函數(shù)y?的漸近線

x2?113、駐點(diǎn)：令函數(shù)y=f(x)，若f'(x0)=0，稱x0是駐點(diǎn)。

14、極值點(diǎn)：令函數(shù)y=f(x)，給定x0的一個(gè)小鄰域u(x0,δ),對(duì)于任意x∈u(x0,δ)，都有f(x)≥f(x0)，稱x0是f(x)的極小值點(diǎn)；否則，稱x0是f(x)的極大值點(diǎn)。極小值點(diǎn)與極大值點(diǎn)統(tǒng)稱極值點(diǎn)。

15、拐點(diǎn)：連續(xù)曲線弧上的上凹弧與下凹弧的分界點(diǎn)，稱為曲線弧的拐點(diǎn)。

16、拐點(diǎn)的判定定理：令函數(shù)y=f(x)，若f“(x0)=0，且x0；x>x0時(shí)，f“(x)<0或xx0時(shí)，f“(x)>0，稱點(diǎn)(x0，f(x0))為f(x)的拐點(diǎn)。

17、極值點(diǎn)的必要條件：令函數(shù)y=f(x)，在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，且x0是極值點(diǎn)，則f'(x0)=0。

18、改變單調(diào)性的點(diǎn)：f'(x0)?0，f'(x0)不存在，間斷點(diǎn)（換句話說(shuō)，極值點(diǎn)可能是駐點(diǎn)，也可能是不可導(dǎo)點(diǎn)）

19、改變凹凸性的點(diǎn)：f”(x0)?0，f''(x0)不存在（換句話說(shuō)，拐點(diǎn)可能是二階導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)，也可能是二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)）

20、可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)必定是駐點(diǎn)，但函數(shù)的駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)。

21、中值定理：

(1)羅爾定理：f(x)在[a,b]上連續(xù)，(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則至少存在一點(diǎn)?，使得f'(?)?0

(2)拉格朗日中值定理：f(x)在[a,b]上連續(xù)，(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則至少存在一點(diǎn)?，使得f(b)?f(a)?(b?a)f'(?)

(3)積分中值定理：f(x)在區(qū)間[a,b]上可積，至少存在一點(diǎn)?，使得b?f(x)dx?(b?a)f(?)

a22、常用的等價(jià)無(wú)窮小代換：

x~sinx~arcsinx~arctanx~tanx~ex?1~2(1?x?1)~ln(1?x)1?cosx~12x2111tanx?sinx~x3,x?sinx~x3,tanx?x~x3263

23、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法：例如，y?xx，解：lny?xlnx?1y'?lnx?1?y'?xx?lnx?1? y24、洛必達(dá)法則：適用于“

0?”型，“”型，“0??”型等。當(dāng)0?x?x0,f(x)?0/?,g(x)?0/?，f'(x),g'(x)皆存在，且g'(x)?0，則limf(x)f'(x)?limg(x)x?x0g'(x)

例

如，x?x0ex?sinx?10ex?cosx0ex?sx1ilimlimlim? x?0x20x?02x0x?02225、無(wú)窮大：高階+低階=高階

例如，26、不定積分的求法

(1)公式法

(2)第一類換元法（湊微分法）

23?x?1??2x?3?lim?nx???2x5x2?2x?lim?4 5x???2x3(3)第二類換元法：哪里復(fù)雜換哪里，常用的換元：1)三角換元：a2?x2，可令x?asint；x2?a2，可令x?atant；x2?a2，可令x?asect

2)當(dāng)有理分式函數(shù)中分母的階較高時(shí)，常采用倒代換x?

27、分部積分法：?udv?uv??vdu，選取u的規(guī)則“反對(duì)冪指三”，剩下的作v。分部積分出現(xiàn)循環(huán)形式的情況，例如：?excosxdx,?sec3xdx

1t

第五篇：高數(shù)二下知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

考試之前我們及時(shí)的總結(jié)，羅列，能夠幫助我們梳理知識(shí)點(diǎn)，有效應(yīng)對(duì)考試，小編為大家整理了高二語(yǔ)文下冊(cè)期末知識(shí)點(diǎn)總結(jié)，歡迎大家閱讀。

第一版塊：古詩(shī)文閱讀與鑒賞（7題33分）

1。名句名篇默寫(xiě)題與文學(xué)常識(shí)題

知識(shí)范圍：課標(biāo)建議的60個(gè)背誦篇目;文學(xué)常識(shí)以中國(guó)古代作家為主及60個(gè)背誦篇目名稱、作家及朝代。

默寫(xiě)時(shí)要注意：

（1）今年高考是四選三選默，選擇最有把握的幾句來(lái)填寫(xiě)，千萬(wàn)不要多默。

（2）字跡一定要工整清楚，嚴(yán)禁潦草，切勿賣弄書(shū)法。（建議拿到試卷就先填寫(xiě)默寫(xiě)內(nèi)容）

（3）要求“一字不差”。如默寫(xiě)內(nèi)容印象不深，可先記得幾個(gè)字默幾個(gè)字，后面想起來(lái)了再默。

注意詩(shī)歌中有固定含義的意象：

⒈離別類：雙鯉、尺素（遠(yuǎn)方來(lái)信），月亮（思鄉(xiāng)或團(tuán)圓），鴻雁（游子思鄉(xiāng)懷親或羈旅傷感），寒蟬（悲涼），柳（喻離別留念或代故鄉(xiāng)），芳草（離愁別恨），鷓鴣鳥(niǎo)（叫聲似“行不得也哥哥”，指旅途艱辛或離愁別緒），南浦（送別之地），芭蕉（離情別緒），燕（惜春或戀人思念或物是人非的變遷，或傳書(shū)敘離情或游子漂泊），關(guān)山（思家），長(zhǎng)亭短亭（送別），陽(yáng)關(guān)曲（送別的歌聲）。

⒉情愛(ài)類：蓮（音同“憐”表達(dá)愛(ài)情），紅豆（男女愛(ài)情或友誼），紅葉（傳情之物）。

⒊人格類：菊花（清高），梅花（不怕摧殘敢為人先或保持冰清玉潔），松（傲霜斗雪堅(jiān)守節(jié)操），⒋悲情類：梧桐（象征悲涼），烏鴉（衰敗荒涼），杜鵑鳥(niǎo)或子規(guī)（象征凄涼哀傷或思家思?xì)w），⒌其它類：昆山玉（人才），折桂（科舉及第），采薇（隱居生活），南冠（囚犯），柳營(yíng)（軍營(yíng)）。東籬（高雅，潔身自好）

■第一種類型：分析主旨型（含情感及寄寓義）

詩(shī)歌就題材（內(nèi)容）的不同，可分以下10類，據(jù)此可了解詩(shī)歌主旨：

⑴詠史懷古詩(shī)：憑吊古跡古人來(lái)借古諷今;或感慨昔盛今衰，今不如昔;或渴望像古人一樣建功立業(yè)。（寫(xiě)古跡古人，多用典故）

⑵托物言志詩(shī)：不直接表露思想情感，而是運(yùn)用比喻象征擬人手法把自己的理想和人格融入一物象中。（常有松、竹、梅等意象）

⑶邊塞征戰(zhàn)詩(shī)：或抒寫(xiě)報(bào)國(guó)立功壯志;或征夫思家的思念;或?qū)﹂_(kāi)邊拓土窮兵黷武的統(tǒng)治者的諷刺和規(guī)勸。

⑷羈旅思鄉(xiāng)詩(shī)：寫(xiě)游子漂泊的羈旅愁苦;或所見(jiàn)所聞所感觸發(fā)的思念故鄉(xiāng)的鄉(xiāng)愁。（常有月、柳、雁、書(shū)信及夢(mèng)境幻覺(jué)的描寫(xiě)

⑸送別留念詩(shī)：或表達(dá)別時(shí)留戀;或表達(dá)別后思念;或表白理想信念;或表達(dá)彼此勉勵(lì)。

⑹田園山水詩(shī)：借寫(xiě)山林田園的閑適美好，表達(dá)對(duì)世俗與現(xiàn)實(shí)的不滿、向往寧?kù)o平和的歸隱思想，或表達(dá)自己遺世獨(dú)立，保持節(jié)操品性的情懷。

⑺即事感懷詩(shī)：或憂國(guó)憂民;或反映離亂;或渴望建功立業(yè);或仕途失意閨中懷人;或謳歌河山。

⑻閨怨閨愁詩(shī)：或表達(dá)對(duì)戍邊丈夫的思念，或?qū)懘汗猓ㄇ啻海┮资牛怅幉辉俚母袀?，或表達(dá)對(duì)戰(zhàn)爭(zhēng)的厭惡。（我們認(rèn)為不會(huì)考，但是課本中有，我們還是要了解一點(diǎn)。）

■第二種類型：分析意境類（意境=意象+情感）

常式問(wèn)：這首詩(shī)歌營(yíng)造了一個(gè)怎樣的意境氛圍？

變式問(wèn)：這首詩(shī)歌為我們展現(xiàn)了一幅怎樣的畫(huà)面？表達(dá)了詩(shī)人什么樣的思想？

這首詩(shī)歌描寫(xiě)了什么樣的景物？抒發(fā)了詩(shī)人怎樣的情懷？

A。意境（氛圍）特點(diǎn)術(shù)語(yǔ)有：

孤寂冷清、恬靜優(yōu)美、雄渾壯闊、蕭瑟凄涼，恬靜安謐，雄奇優(yōu)美生機(jī)勃勃，富麗堂皇，肅殺荒寒瑰麗雄壯，虛幻飄渺凄寒蕭條繁華熱鬧等。

B。思想感情術(shù)語(yǔ)：

迷戀、憂愁、惆悵、寂寞、傷感、孤獨(dú)、煩悶、恬淡、閑適、歡樂(lè)、仰慕、激憤，堅(jiān)守節(jié)操、憂國(guó)憂民等。

■第三種類型：表達(dá)技巧類（著眼于全篇整體或局部）

常式問(wèn)：這首詩(shī)歌采用了何種寫(xiě)作手法？

變式問(wèn)：這首詩(shī)歌運(yùn)用了怎樣的藝術(shù)手法（技巧）？或：詩(shī)人是怎樣來(lái)抒發(fā)自己的情感的？