第一篇：同濟六版上冊高數(shù)總結(jié)(一些重要公式及知識點)

同濟六版上冊高數(shù)總結(jié)

微分公式與積分公式

(tgx)??secx

(ctgx)???csc2x

(secx)??secx?tgx(cscx)???cscx?ctgx(ax)??axlna

1(logax)??xlna2(arcsinx)??1?x21(arccosx)????x21(arctgx)??1?x21(arcctgx)???1?x2?tgxdx??lncosx?C?ctgxdx?lnsinx?C?secxdx?lnsecx?tgx?C?cscxdx?lncscx?ctgx?Cdx1x?arctg?C?a2?x2aa

dx1x?a?ln?x2?a22ax?a?Cdx1a?x??a2?x22alna?x?Cdxx?arcsin?C?a2?x2a

?

2ndx2?cos2x??secxdx?tgx?Cdx2?csc2?sinx?xdx??ctgx?C?secx?tgxdx?secx?C?cscx?ctgxdx??cscx?Cax?adx?lna?Cx?shxdx?chx?C?chxdx?shx?C?dxx2?a2?ln(x?x2?a2)?C?

2In??sinxdx??cosnxdx?00n?1In?2n

?

?

?

x2a22x?adx?x?a?ln(x?x2?a2)?C22x2a2222x?adx?x?a?lnx?x2?a2?C22x2a2x222a?xdx?a?x?arcsin?C22a22

三角函數(shù)的有理式積分：

2u1?u2x2du

sinx?，cosx?，u?tg，dx?

21?u21?u21?u2

兩個重要極限：

公式1lim

sinx

?1公式2lim(1?x)1/x?e

x?0x?0x

有關(guān)三角函數(shù)的常用公式

和差角公式：

和差化積公式：

sin??sin??2sin

sin(???)?sin?cos??cos?sin?cos(???)?cos?cos??sin?sin?tg(???)?

tg??tg?1?tg??tg?ctg??ctg??

1ctg(???)?

ctg??ctg?

???

22??????

sin??sin??2cossin

22??????

cos??cos??2coscos

22??????

cos??cos??2sinsin

cos

???

三倍角公式:半角公式：

sin(3α)=3sinα-4sin^3(α)sin(α/2)=±√(1-cosα)/2cos(3α)=4cos^3(α)-3cosαCos(α/2)=±√(1+cosα)/2

降冪公式:萬能公式：

sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]

推導(dǎo)公式

tanα+cotα=2/sin2αtanα-cotα=-2cot2α1+cos2α=2cos^2α1-cos2α=2sin^2α1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2

abc

???2R正弦定理：

sinAsinBsinC

余弦定理： c2?a2?b2?2abcosC反三角函數(shù)性質(zhì)：arcsinx?arccosx?

?

arctgx?arcctgx?

?

(特別要注意這兩個恒等式，證明的話，只需做出左邊的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0即可）

高階導(dǎo)數(shù)公式——萊布尼茲（Leibniz）公式：

(uv)

(n)

k(n?k)(k)

??Cnuvk?0n

?u(n)v?nu(n?1)v??

n(n?1)(n?2)n(n?1)?(n?k?1)(n?k)(k)

uv?????uv???uv(n)

2!k!

中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用：

拉格朗日中值定理：f(b)?f(a)?f?(?)(b?a)f(b)?f(a)f?(?)

?

F(b)?F(a)F?(?)

當F(x)?x時，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。

曲率：

弧微分公式：ds??y?2dx,其中y??tg?平均曲率：K?

??

??:從M點到M?點，切線斜率的傾角變化量；?s：MM?弧長。?s

y????d?

M點的曲率：K?lim??.23?s?0?sds(1?y?)

直線：K?0;1

半徑為a的圓：K?.a

定積分的近似計算：

b

?f(x)?

ab

b?a

(y0?y1?L?yn?1)n

b?a1

[(y0?yn)?y1?L?yn?1] n2

?f(x)?

a

定積分應(yīng)用相關(guān)公式：

功：W?F?s

水壓力：F?p?A

mm

引力：F?k122,k為引力系數(shù)

r

b1

函數(shù)的平均值：y?f(x)dx?b?aa12f(t)dt?b?aa

b

微分方程的相關(guān)概念：

一階微分方程：y??f(x,y)或　P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0

可分離變量的微分方程：一階微分方程可以化為g(y)dy?f(x)dx的形式，解法：

?g(y)dy??f(x)dx得：G(y)?F(x)?C稱為隱式通解。

dyy

?f(x,y)??(x,y)，即寫成的函數(shù)，解法：dxx

ydydududxduy設(shè)u?，則?u?x，u???(u)，??代替u，xdxdxdxx?(u)?ux齊次方程：一階微分方即得齊次方程通解。

一階線性微分方程：

dy

1?P(x)y?Q(x)

dx

?P(x)dx

當Q(x)?0時,為齊次方程，y?Ce?

當Q(x)?0時，為非齊次方程，y?(?Q(x)e?dy

2?P(x)y?Q(x)yn，(n?0,1)

dx

P(x)dx

dx?C)e?

?P(x)dx

全微分方程：

如果P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0中左端是某函數(shù)的全微分方程，即：

?u?u

du(x,y)?P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0?P(x,y)?Q(x,y)

?x?y?u(x,y)?C應(yīng)該是該全微分方程的通解。

二階微分方程：

f(x)?0時為齊次d2ydy

?P(x)?Q(x)y?f(x)2

dxdxf(x)?0時為非齊次

二階常系數(shù)齊次線性微分方程及其解法：

(*)y???py??qy?0，其中p,q為常數(shù)；求解步驟：

1、寫出特征方程：(?)r2?pr?q?0，其中r2，r的系數(shù)及常數(shù)項恰好是(*)式中y??,y?,y的系數(shù)；

2、求出(?)式的兩個根r1,r23、根據(jù)r1,r2的不同情況，按下表寫出(*)式的通解：

二階常系數(shù)非齊次線性微分方程

y???py??qy?f(x)，p,q為常數(shù)f(x)?e?xPm(x)型，?為常數(shù)；f(x)?e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]型

第二篇：高數(shù)知識點總結(jié)(上冊)

高數(shù)知識點總結(jié)（上冊）函數(shù)：

絕對值得性質(zhì)：(1)|a+b|?|a|+|b|

(2)|a-b|?|a|-|b|

(3)|ab|=|a||b|

a|a|(b?0)(4)|b|=|b|

函數(shù)的表示方法：

（1）表格法

（2）圖示法

函數(shù)的幾種性質(zhì)：

（1）函數(shù)的有界性（2）函數(shù)的單調(diào)性

（3）函數(shù)的奇偶性（4）函數(shù)的周期性 反函數(shù)：

（3）公式法（解析法）

?1y?f(x)y?f(x)存在，且是單定理：如果函數(shù)在區(qū)間[a,b]上是單調(diào)的，則它的反函數(shù)值、單調(diào)的。

基本初等函數(shù)：

（1）冪函數(shù)

（3）對數(shù)函數(shù)

（5）反三角函數(shù) 復(fù)合函數(shù)的應(yīng)用 極限與連續(xù)性： 數(shù)列的極限：

（2）指數(shù)函數(shù)（4）三角函數(shù)

定義：設(shè)?xn?是一個數(shù)列，a是一個定數(shù)。如果對于任意給定的正數(shù)?（不管它多么?。偞嬖谡麛?shù)N，使得對于n>N的一切xn，不等式

limxn??xn極限，或稱數(shù)列收斂于a，記做n???axn?a??都成立，則稱數(shù)a是數(shù)列?xn?的，或xn?a（n??）

收斂數(shù)列的有界性： 定理：如果數(shù)列?xn?收斂，則數(shù)列?xn?一定有界

推論：（1）無界一定發(fā)散（2）收斂一定有界（3）有界命題不一定收斂

函數(shù)的極限：

定義及幾何定義 函數(shù)極限的性質(zhì)：

limf(x)?Ax?x0（1）同號性定理：如果，而且A>0(或A<0),則必存在x0的某一鄰域，當x在該鄰域內(nèi)（點x0可除外），有f(x)?0（或f(x)?0）。（2）如果x?x0limf(x)?A，且在x0的某一鄰域內(nèi)（x?x0），恒有f(x)?0（或f(x)?0），則A?0（A?0）。

limf(x)limf(x)（3）如果x?x0存在，則極限值是唯一的

（4）如果存在，則在f(x)在點x0的某一鄰域內(nèi)（x?x0）是有界的。無窮小與無窮大：

注意：無窮小不是一個很小的數(shù)，而是一個以零位極限的變量。但是零是可作為無窮小x?x0f(x)??的唯一的常數(shù)，因為如果f(x)?0則對任給的??0，總有，即常數(shù)零滿足無窮小的定義。除此之外，任何無論多么小的數(shù)，都不滿足無窮小的定義，都不是無窮小。無窮小與無窮大之間的關(guān)系：

1（1）如果函數(shù)f(x)為無窮大，則f(x)為無窮小

1（2）如果函數(shù)f(x)為無窮小，且f(x)?0，則f(x)為無窮大

具有極限的函數(shù)與無窮小的關(guān)系：

（1）具有極限的函數(shù)等于極限值與一個無窮小的和

（2）如果函數(shù)可表為常數(shù)與無窮小的和，則該常數(shù)就是函數(shù)的極限 關(guān)于無窮小的幾個性質(zhì)：

定理：

（1）有限個無窮小的代數(shù)和也是無窮?。?）有界函數(shù)f(x)與無窮小a的乘積是無窮小

推論：

（1）常數(shù)與無窮小的乘積是無窮?。?）有限個無窮小的乘積是無窮小 極限的四則運算法則：

定理：兩個函數(shù)f(x)、g(x)的代數(shù)和的極限等于它們的極限的代數(shù)和 兩個函數(shù)f(x)、g(x)乘積的極限等于它們的極限的乘積

極限存在準則與兩個重要極限：

準則一（夾擠定理）

設(shè)函數(shù)f(x)、g(x)、h(x)在x?x0的某個鄰域內(nèi)（點x0可除外）滿足條件：

（1）g(x)?f(x)?h(x)（2）x?x0x?x0limg(x)?A，x?x0limh(x)?A

則 準則二

單調(diào)有界數(shù)列必有極限

定理：如果單調(diào)數(shù)列有界，則它的極限必存在 limf(x)?A

重要極限：

sinx?1x?0x（1）lim

1?cosx1?2x?02 x（2）

lim11xlim(1?)?elim(1?x)x?ex（3）x??或x?0

無窮小階的定義： 設(shè)?、?為同一過程的兩個無窮小。

lim

（1）如果??0?，則稱?是比?高階的無窮小，記做??o(?)????，則稱?是比?低階的無窮小

（2）如果lim

（3）如果lim??c(c?0,c?1)?，則稱?與?是同階無窮小 ??1?，則稱?與?是等階無窮小，記做?~?

（4）如果lim幾種等價無窮小：

對數(shù)函數(shù)中常用的等價無窮?。? x?0時，ln(1?x)~x(x?0)

loga(1?x)~1x(x?0)lna

三角函數(shù)及反三角函數(shù)中常用的等價無窮?。? x?0時，sinx~xtanx~x1?cosx~12x2arcsinx~xarctanx~x

指數(shù)函數(shù)中常用的等價無窮?。? x?0時，ex?1~xax?1?exlna?1~lna

xn 二項式中常用的等價無窮?。?/p>

x?0時，(1?x)?1~axan1?x?1~函數(shù)在某一點處連續(xù)的條件：

limf(x)?f(x0)x?x0 由連續(xù)定義可知，函數(shù)f(x)在點x0處連續(xù)必須同時滿足下列三個條件：（1）f(x)在點x0處有定義

limf(x)x?xf(x)x?x00（2）當時，的極限存在（3）極限值等于函數(shù)f(x)在點x0處的函數(shù)值f(x0)

如果函數(shù)f(x)在點x0處連續(xù)，由連續(xù)定義可知，當x?x0時，f(x)的極限一定存在，反極限與連續(xù)的關(guān)系：

之，則不一定成立

函數(shù)的間斷點：

分類：第一類間斷點(左右極限都存在)第二類間斷點(有一個極限不存在)連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商的連續(xù)性： 定理：如果函數(shù)f(x)、g(x)在點x0處連續(xù)，則他們的和、差、積、商（分母不為零）在點x0也連續(xù) 反函數(shù)的連續(xù)性： 定理：如果函數(shù)y?f(x)在某區(qū)間上是單調(diào)增（或單調(diào)減）的連續(xù)函數(shù)，則它的反函數(shù)x??(y)也在對應(yīng)的區(qū)間上是單調(diào)增（或單調(diào)減）的連續(xù)函數(shù)

最大值與最小值定理：

值 推論：如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)，則f(x)在?a,b?上有界

定理：設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)，兩端點處的函數(shù)值分別為f(a)?A,f(b)?B(A?B)，而?是介于A與B之間的任一值，則在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一點定理：設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)，則函數(shù)f(x)在閉區(qū)間?a,b?上必有最大值和最小介值定理：

?，使得

f(?)??(a???b)

推論（1）：在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)必能取得介于最大值與最小值之間的任何值

推論（2）：設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)，且f(a)?f(b)?0(兩端點的函數(shù)值異號)，則在(a,b)的內(nèi)部，至少存在一點?，使f(?)?0

導(dǎo)數(shù)與微分 導(dǎo)數(shù)： 定義：y'?lim?x?0f(x??x)?f(x)?x

導(dǎo)數(shù)的幾何定義：函數(shù)在圖形上表示為切線的斜率

函數(shù)可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的表示：

如果函數(shù)在x處可導(dǎo)，則在點x處連續(xù)，也即函數(shù)在點x處連續(xù)

一個數(shù)在某一點連續(xù)，它卻不一定在該點可導(dǎo) 據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)：（1）y'|x?x0?limf(x0??x)?f(x0)?y?lim?x?0?x?x?0?x

（2）y'|x?x0?limx?x0f(x)?f(x0)x?x0

f(x??x)?f(x)?x（3）y'|x?x0?lim?x?0基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：

（1）常數(shù)導(dǎo)數(shù)為零(c)'?0

nn?1(x)'?nx（2）冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

（3）三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

(sinx)'?cosx

(cosx)'??sinx 1(cotx)'????csc2x2(secx)'?secxtanx sinx

(cscx)'??cscxcotx

(tanx)'?1?sec2x2cosx

（4）對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：（5）指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：

xx(e)'?e（6）

(logax)'?11logae?xxlna

(ax)'?axlna

（7）反三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：

1?x2

1(arctanx)'?1?x2(arcsinx)'?1

(arccosx)'??11?x2 1(arccotx)'??1?x2

函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則： 法則一（具體內(nèi)容見書106）

(u?v)'?u'?v'

(u?v)'?u'?v'

函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則： 法則二（具體內(nèi)容見書108）

(uv)'?u'v?uv'

uu'v?uv'()'?vv2 函數(shù)商的求導(dǎo)法則： 法則三（具體內(nèi)容見書109）

復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則：（定理見書113頁）

反函數(shù)的求導(dǎo)法則：

反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù) 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：（見書121頁）

d2yddy?()2dxdx 高階導(dǎo)數(shù)：二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù) dx求n階導(dǎo)數(shù)：（不完全歸納法）

??(sinx)(n)?sin(x?n?）(cosx)(n)?cos(x?n?）2

2隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（見書126頁）

對隱函數(shù)求導(dǎo)時，首先將方程兩端同時對自變量求導(dǎo)，但方程中的y是x的函數(shù)，它的導(dǎo)dy'ydx數(shù)用記號（或表示）

對數(shù)求導(dǎo)法：先取對數(shù)，后求導(dǎo)（冪指函數(shù)）

?x??(t)(??t??)?y??(t)由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：?

dydydtdy1?'(t)?????dxdtdxdtdx?'(t)dt

微分概念：

函數(shù)可微的條件

如果函數(shù)f(x)在點x0可微，則f(x)在點x0一定可導(dǎo) 函數(shù)f(x)在點x0可微的必要充分條件是函數(shù)f(x)在點x0可導(dǎo) dy?f'(x0)?x

函數(shù)的微分dy是函數(shù)的增量?y的線性主部（當?x?0），從而，當

?x很小時，有?y?dy

通常把自變量x的增量?x稱為自變量的微分，記做dx。即于是函數(shù)的微分可記為

dy?f'(x)'dy?f(x)dx，從而有dx

基本初等函數(shù)的微分公式： 幾個常用的近似公式：

f(x)?f(0)?f'(0)x

n

1?x?1?1xn

sinx?x（x用弧度）

e2?1?x

tanx?x（x用弧度）

ln(1?x)?x

中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用

羅爾定理：如果函數(shù)f(x)滿足下列條件

（1）在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)（2）在開區(qū)間?a,b?內(nèi)具有導(dǎo)數(shù)

'（3）在端點處函數(shù)值相等，即f(a)?f(b)，則在?a,b?內(nèi)至少有一點?，使f(?)?0

拉格朗日中值定理：如果函數(shù)f(x)滿足下列條件

（1）在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)

（2）在開區(qū)間?a,b?內(nèi)具有導(dǎo)數(shù)，則在?a,b?內(nèi)至少有一點?，使得f(b)?f(a)?f'(?)(b?a)定理幾何意義是：如果連續(xù)曲線y?f(x)上的弧AB除端點處外處處具有不垂直于x軸的??切線，那么，在這弧上至少有一點c，使曲線在點c的切線平行于弧AB 推論：如果函數(shù)f(x)在區(qū)間?a,b?內(nèi)的導(dǎo)數(shù)恒為零，那么f(x)在?a,b?內(nèi)是一個常數(shù)

柯西中值定理：如果函數(shù)f(x)與F(x)滿足下列條件

（1）在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)（2）在開區(qū)間?a,b?內(nèi)具有導(dǎo)數(shù)

‘F（3）(x)在?a,b?內(nèi)的每一點處均不為零，則在?a,b?內(nèi)至少有一點?使得f(b)?f(a)f'(?)?'F(b)?F(a)F(?)

羅爾定理是拉格朗日中值定理的特例，柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推廣 洛必達法則：（理論根據(jù)是柯西中值定理）

00未定式

1、x?a情形

定理：如果(1)當x?a時，f(x)與?(x)都趨于零

'''f(x)?(x)?（2）在點a的某領(lǐng)域（點a可除外）內(nèi)，與都存在且(x)?0

f'(x)f(x)f(x)lim'limlimx?ax?a?(x)x?a?(x)（3）?(x)存在（或為?），則極限存在（或為?），且f'(x)lim'x?a?(x)=

在一定條件下通過分子、分母分別求導(dǎo)數(shù)再求極限來確定未定式的值的方法稱為洛必達法則

2、x??情形

推論：如果（1）當x??時，f(x)與?(x)都趨于零

'''f(x)?(x)?（2）當|x|>N時，與都存在且(x)?0

f'(x)f(x)f(x)lim'limlimx???(x)x???(x)x??（3）?(x)存在（或為?），則極限存在（或為?），且f'(x)lim'x???(x)=

??未定式

1、x?a情形

如果（1）x?a時，f(x)與?(x)都趨于無窮大

'''f(x)?(x)?（2）在點a的某領(lǐng)域（點a可除外）內(nèi)，與都存在且(x)?0

f'(x)f(x)f(x)lim'limlimx?a?(x)x?a?(x)x?a?(x)（3）存在（或為?），則則極限存在（或為?），且=f'(x)lim'x?a?(x)

2、x??情形 推論：如果（1）x??時，f(x)與?(x)都趨于無窮大

'''f(x)?(x)?（2）當|x|>N時，與都存在且(x)?0

f'(x)f(x)lim'limx?a?(x)x?a?(x)（3）存在（或為?），則則極限存在（或為?），且f'(x)f(x)lim'limx?a?(x)x?a?(x)=

0?注意：

1、洛必達法則僅適用于0型及?型未定式

2、當泰勒公式（略）

邁克勞林公式（略）函數(shù)單調(diào)性的判別法： f'(x)limx?a?'(x)(x??)不存在時，不能斷定

f(x)x?a?(x)(x??)lim不存在，此時不能應(yīng)用洛必達法則

必要條件：設(shè)函數(shù)f(x)在?a,b?上連續(xù)，在?a,b?內(nèi)具有導(dǎo)數(shù)，如果f(x)在?a,b?上單調(diào)增

''??a,bf(x)?0f加（減少），則在內(nèi)，（(x)?0）

充分條件：設(shè)函數(shù)f(x)在?a,b?上連續(xù)，在?a,b?內(nèi)具有導(dǎo)數(shù)，'??a,bf（1）如果在內(nèi)，(x)?0，則f(x)在?a,b?上單調(diào)增加 '??a,bf（2）如果在內(nèi)，(x)?0，則f(x)在?a,b?上單調(diào)減少

函數(shù)的極值及其求法

極值定義（見書176頁）極值存在的充分必要條件

'xxf(x)f00必要條件：設(shè)函數(shù)在點處具有導(dǎo)數(shù)，且在點處取得極值，則(x)?0

函數(shù)的極值點一定是駐點

導(dǎo)數(shù)不存在也可能成為極值點

'f駐點：使(x)?0的點，稱為函數(shù)f(x)的駐點

充分條件（第一）：設(shè)連續(xù)函數(shù)f(x)在點x0的一個鄰域（x0點可除外）內(nèi)具有導(dǎo)數(shù)，當x由小增大經(jīng)過x0時，如果 'f（1）(x)由正變負，則x0是極大點

'f（2）(x)由負變正，則x0是極小點 'f（3）(x)不變號，則x0不是極值點

';;xf(x)?0ff(x)0充分條件（第二）：設(shè)函數(shù)在點0處具有二階導(dǎo)數(shù)，且，(x0)?0

;;f（1）如果(x0)?0，則f(x)在x0點處取得極大值;;f（2）如果(x0)?0，則f(x)在x0點處取得極小值

函數(shù)的最大值和最小值（略）

曲線的凹凸性與拐點： 定義：設(shè)f(x)在?a,b?上連續(xù)，如果對于?a,b?上的任意兩點x1、x2恒有f(x1?x2f(x1?f(x2))?22，則稱f(x)在?a,b?上的圖形是（向上）凹的，反之，圖形是（向上）凸的。

判別法：

定理：設(shè)函數(shù)f(x)在?a,b?上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)

;;f(a,b)（1）如果在內(nèi)(x0)?0，那么f(x)的圖形在?a,b?上是凹的;;f(a,b)（2）如果在內(nèi)(x0)?0，那么f(x)的圖形在?a,b?上是凸的

拐點：凸弧與凹弧的分界點稱為該曲線的拐點。

不定積分

原函數(shù)：如果在某一區(qū)間上，函數(shù)F(x)與f(x)滿足關(guān)系式： F'(x)?f(x)或dF(x)?f(x)dx，則稱在這個區(qū)間上，函數(shù)F(x)是函數(shù)f(x)的一個原函數(shù) 結(jié)論：如果函數(shù)f(x)在某區(qū)間上連續(xù)，則在這個區(qū)間上f(x)必有原函數(shù)

定理：如果函數(shù)F(x)是f(x)的原函數(shù)，則F(x)?C（C為任意常數(shù)）也是f(x)的原函數(shù)，且f(x)的任一個原函數(shù)與F(x)相差為一個常數(shù) 不定積分的定義：

f(x)dx定義：函數(shù)f(x)的全體原函數(shù)稱為f(x)的不定積分，記做?

(?f(x)dx)'?f(x)d(?f(x)dx)?f(x)dx不定積分的性質(zhì)： 性質(zhì)一：

或

f及?'

(x)dx?f(x)?C或?df(x)?f(x)?C

性質(zhì)二：有限個函數(shù)的和的不定積分等于各個函數(shù)的不定積分的和。即

?[f1(x)?f2(x)???fn(x)]dx??f1(x)dx??f2(x)dx????fn(x)dx

性質(zhì)三：被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可以提到積分號外面來，即

?kf(x)dx?k?f(x)dx（k為常數(shù)，且k?0 kdx?kx?C基本積分表：（1）?（k是常數(shù)）

xa?1xdx??C(a??1)?a?1（2）

a 1dx?ln|x|?C?x（3）

x

e（4）?xdx?ex?C

axadx??C(a?0,a?1)?lna（5）

（6）?sinxdx??cosx?C

（7）?cosxdx?sinx?C

12dx?secxdx?tanx?C2??（8）cosx

1dx??csc2xdx??cotx?Csecxtanxdx?secx?C2?（9）sinx（10）?

（11）?cscxcotxdx??cscx?C

（12）

?11?x2dx?arcsinx?C

（13）?11?x2dx?arctanx?C

'第一類換元法（湊微分法）?f[?(x)]?(x)dx?F[?(x)]?C

?tanxdx??ln|cosx|?C

?cotxdx?ln|sinx|?C

第二類換元法：變量代換

被積函數(shù)若函數(shù)有無理式，一般情況下導(dǎo)用第二類換元法。將無理式化為有理式 基本積分表添加公式：

結(jié)論：

22a?x如果被積函數(shù)含有，則進行變量代換x?asint化去根式

22如果被積函數(shù)含有x?a，則進行變量代換x?atant化去根式

22x?a如果被積函數(shù)含有，則進行變量代換x?asect化去根式

分部積分法：

對應(yīng)于兩個函數(shù)乘積的微分法，可推另一種基本微分法---------分部積分法 ?udv?uv??vdu

分部積分公式

三角函數(shù)指數(shù)函數(shù)

1、如果被積函數(shù)是冪函數(shù)與

令u等于冪函數(shù) 的積，可以利用分部積分法

對數(shù)函數(shù)

2、如果被積函數(shù)是冪函數(shù)與反三角函數(shù)的積，可使用分部積分法

對數(shù)函數(shù) 令u=反三角函數(shù)

3、如果被積函數(shù)是指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)的積，也可用分部積分法。定積分

定積分的定義

定理：如果函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上可積

定理：如果函數(shù)在[a,b]上只有有限個第一類間斷點，則f(x)在[a,b]上可積 定積分的幾何意義：

bf(x)dx

1、在[a,b]上f(x)?0，這時?a的值在幾何上表示由曲線y?f(x)、x軸及二直線x=a、x=b所圍成的曲邊梯形的面積

2、在[a,b]上f(x)?0，其表示曲邊梯形面積的負值

3、在[a,b]上，f(x)既取得正值又取得負值 幾何上表示由曲線y?f(x)、x軸及二直線x=a、x=b所圍成平面圖形位于x軸上方部分的面積減去x軸下方部分的面積 定積分的性質(zhì)：

性質(zhì)

一、函數(shù)和（差）的定積分等于他們的定積分的和（差），即

?aaa

性質(zhì)

二、被積函數(shù)中的常數(shù)因子可以提到積分號外面，即

b[f(x)?g(x)]dx??f(x)dx??g(x)dxkf(x)dx?k?f(x)dxabbb?ba（k是常數(shù)）

性質(zhì)

三、如果將區(qū)間[a,b]分成兩部分[a,c]和[c,b]，那么

?baf(x)dx??f(x)dx??f(x)dxacbcb、性質(zhì)

四、如果在[a,b]上，f(x)?1，那么?af(x)dx??dx?b?aab

f(x)dx?0性質(zhì)

五、如果在[a,b]上，f(x)?0，那么?a 性質(zhì)

六、如果在[a,b]上，f(x)?g(x)，那么

b?baf(x)dx??g(x)dxab

性質(zhì)

七、設(shè)M及m，分別是函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值及最小值，則

?f(x)dx?

m(b-a)?aM(b-a)(a

八、積分中值定理

bab ……估值定理

如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，那么在積分區(qū)間[a,b]上至少有一點?，使得 ? f(x)dx?f(?)(b?a)微積分基本公式

積分上限的函數(shù)：?(x)??f(t)dtax（a?x?b）

性質(zhì)：如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，那么積分上限的函數(shù)‘?(x)??f(t)dtax在[a,b]上dx?(x)?f(t)dt?f(x)?adx具有導(dǎo)數(shù)，且

定理：在區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)f(x)的原函數(shù)一定存在

如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且F(x)是f(x)的任意一個原函數(shù)，那么ba牛頓——萊布尼茨公式

?

f(x)dx?F(b)?F(a)

定積分的換元法

假設(shè)（1）函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)；

（2）函數(shù)x??(t)在區(qū)間[?,?]上單值，且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)；

x??(t)的值在[a,b]上變化，?a，?（?）?b，（3）當t在區(qū)間[?,?]上變化時，且?（?）b則有定積分的換元公式?a f(x)dx??f[?(t)]?'(t)dt??

設(shè)f(x)在區(qū)間[?a,a]上連續(xù)，則

?f(x)dx?0f(x)??a（1）如果函數(shù)為奇函數(shù)，則（2）如果函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，則??a?20aaf(x)dx?2?f(x)dx0a

0

定積分的分部積分法 ?sinxdx??2cosnxdxn

'''''[a,b]u(x)v(x)u(x)v(x)(uv)?uv?vu設(shè)、在上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)、，那么，在等式的兩邊

bbb(uv)?uv'dx?vu'dxaaa分別求a到b的定積分得

b……定積分的分部積分公式

bbb'bb'uvdx?(uv)?vudxudv?(uv)??vdu?a?a?aaaa即 或

無窮區(qū)間上的廣義積分

limf(x)dx定義：設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,??]上連續(xù)，取b>a，如果極限b????a存在，則稱此極

??b限為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,??]上的廣義積分，記做?a無界函數(shù)的廣義積分（見書279頁）定積分的應(yīng)用（見書286頁）

元素法

在極坐標系中的計算法

f(x)dx即?a??f(x)dx?lim?f(x)dxb???ab

第三篇：高數(shù)上冊歸納公式篇(完整)

公式篇

目錄

一、函數(shù)與極限 1.常用雙曲函數(shù) 2.常用等價無窮小 3.兩個重要極限

二、導(dǎo)數(shù)與微分

1.常用三角函數(shù)與反三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 2.n階導(dǎo)數(shù)公式

3.高階導(dǎo)數(shù)的萊布尼茨公式與牛頓二項式定理的比較 4.參數(shù)方程求導(dǎo)公式 5.微分近似計算

三、微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 1.一階中值定理 2.高階中值定理

3.部分函數(shù)使用麥克勞林公式展開 4.曲率

四、定積分

1.部分三角函數(shù)的不定積分 2.幾個簡單分式的不定積分

五、不定積分

1.利用定積分計算極限 2.積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

3.牛頓-萊布尼茨公式和積分中值定理 4.三角相關(guān)定積分

5.典型反常積分的斂散性 6.Γ函數(shù)(選)

六、定積分的應(yīng)用 1.平面圖形面積 2.體積

3.弧微分公式

七、微分方程 1.可降階方程

2.變系數(shù)線性微分方程

3.常系數(shù)齊次線性方程的通解

4.二階常系數(shù)非齊次線性方程(特定形式)的特解形式 5.特殊形式方程(選)

一、函數(shù)與極限

1.常用雙曲函數(shù)(sh(x).ch(x).th(x))

2.常用等價無窮小(x→0時)

3.兩個重要極限

二、導(dǎo)數(shù)與微分

1.常用三角函數(shù)與反三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

(凡是“余”求導(dǎo)都帶負號)

2.n階導(dǎo)數(shù)公式

特別地,若??n

3.高階導(dǎo)數(shù)的萊布尼茨公式與牛頓二項式定理的比較

函數(shù)的0階導(dǎo)數(shù)可視為函數(shù)本身

4.參數(shù)方程求導(dǎo)公式

5.微分近似計算(?x很小時)

(注意與拉格朗日中值定理比較)常用:

(與等價無窮小相聯(lián)記憶)

三、微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

1.一階中值定理

(f(x)在[a,b]連續(xù),(a,b)可導(dǎo))羅爾定理(端點值相等f(a)?f(b))

拉格朗日中值定理

柯西中值定理(g'(x)?0≠0)

2.高階中值定理(f(x)在(a,b)上有直到(n?1)階導(dǎo)數(shù))泰勒中值定理

Rn為余項

(ξ在x和x0之間)令x0?0,得到麥克勞林公式

3.部分函數(shù)使用麥克勞林公式展開(皮亞諾型余項)

4.曲率

四、不定積分

1.部分三角函數(shù)的不定積分

2.幾個簡單分式的不定積分

五、定積分

1.利用定積分計算極限

2.積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

推廣得

3.牛頓-萊布尼茨公式和積分中值定理(1)牛頓-萊布尼茨公式(微積分基本公式)

(2)積分中值定理 函數(shù)f(x)在[a,b]上可積

f(?)稱為f(x)在[a,b]上的平均值

4.三角相關(guān)定積分

三角函數(shù)系的正交性

5.典型反常積分的斂散性(1)無窮限的反常積分

推論1

(2)瑕積分(無界函數(shù)的反常積分)

推論2

Convergence:收斂,Divergence:發(fā)散

6.Γ函數(shù)(選)

(1)遞推公式:推論:(2)歐拉反射公式(余元公式)

六、定積分的應(yīng)用 1.平面圖形面積(1)直角坐標: 由曲線y?f(x)?0及x?a,x?b與x軸圍成圖形

(2)極坐標: 有曲線???(?)及???,???圍成圖形

2.體積

(1)繞x軸旋轉(zhuǎn)體體積

(2)平行截面面積已知的立體的體積

平行截面(與x軸垂直)面積為A(x)

3.弧微分公式(1)直角坐標:

(2)極坐標:

七、微分方程 1.可降階方程(1)y(n)

?f(x)型

n次積分得

(2)y“?f(x,y')型

作換元p?y'得p'?f(x,p)得通解p??(x,C1)則y??(x,C1)dx?C2 ?(3)y”?f(y,y')型

dpdpdp?p,p?f(y,p)dxdxdxdy得通解p??(y,C1)?

dx作換元p?y',y“?則dy??(y,C1)?x?C2

2.變系數(shù)線性微分方程

(1)一階線性微分方程:y'?P(x)y?Q(x)

?P(x)dx對應(yīng)齊次方程: y'?P(x)y?0的通解為Y?Ce?

原方程y'?P(x)y?Q(x)的通解為

y?(?Q(x)e?P(x)dx?P(x)dxdx?C)e?

一階線性非齊次方程的通解等于相應(yīng)齊次方程的通解和非齊次方程一個特解的和

(2)高階線性微分方程

(n?1)y(n)?P(x)y???Pn?1(x)y'?Pn(x)y?Q(x)1(n?1)對應(yīng)齊次方程為y(n)?P???Pn?1(x)y'?Pn(x)y?0 1(x)y若y1(x),y2(x),?,yn(x)為齊次方程n個線性無關(guān)解

則齊次方程的通解為Y(x)?C1y1(x)?C2y2(x)???Cnyn(x)若y*(x)為非齊次方程的一個特解 則非齊次方程的通解為y?Y(x)?y*(x)

3.常系數(shù)齊次線性方程的通解(1)二階方程y”?py?q?0 特征方程為r?pr?q?0 2①??0,兩個不等實根r1?通解為y?C1e1?C2e2 rxrx?b???b??,r2? 2a2a②??0,兩個相等實根r1?r2??通解為y?(C1?C2x)e1 rxp 2③??0,一對共軛復(fù)根r1????i,r2????i,???通解為y?e?x(C1cos?x?C2sin?x)

(2)高階方程y(n)?p1y(n?1)???pn?1y'?pny?0 特征方程為rn?p1rn?1???pn?1r?pn?0 對于其中的根r的對應(yīng)項 ①實根r 一個單實根:Ce

一個k重實根:(C1?C2x???Ckxk?1)erx ②復(fù)根r1,2????i

一對單復(fù)根:e?x(C1cos?x?C2sin?x)rxp,??2?? 2一對k重復(fù)根: e?x[(C1?C2x???Ckxk?1)cos?x?(D1?D2x???Dkxk?1)sin?x] 通解為對應(yīng)項之和

4.二階常系數(shù)非齊次線性方程(特定形式)的特解形式

y“?py'?qy?f(x),對應(yīng)的特征方程為r2?pr?q?0

(1)f(x)?e?xPm(x)

Pm(x)為x的m次多項式 特解形式為y*?xkQm(x)e?x

k?0(?非特征根)1(?為特征單根)2(?為特征重根)

Qm(x)是x的m次多項式

(1)(2)(2)f(x)?e[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]

Pl(x),Pn(x)分別為x的l,n次多項式 ?x(1)(2)特解形式為y*?x[Qm(x)cos?x?Rm(x)sin?x]e k?xm?max{l,n},Qm(x),Rm(x)為x的m次多項式 記z????i

k?0(z非特征根)1(z為特征復(fù)根)

5.特殊形式方程(選)(1)伯努利方程

dy?P(x)y?Q(x)yn

(n?0,1)dxdyy?n?P(x)y1?n?Q(x)

dxdzdy?(1?n)y?n令z?y1?n, dxdxdz?(1?n)P(x)z?(1?n)Q(x)

dx得通解z??(x,C)

y?[?(x,C)]

(2)歐拉方程 11?n

xny(n)?p1xn?1y(n?1)???pn?1xy'?pny?f(x)

t作變換x?e或t?lnx,記D?d dtdydydtdy?x??Dydxdtdxdt2d2ydy22dyxy”?x?2??D(D?1)y 2dtdxdt?xy'?xxky(k)?D(D?1)?(D?k?1)y將上各式代入原方程得到

Dny?a1Dn?1y???an?1Dy?any?f(t)

此為常系數(shù)線性微分方程 可得通解y??(t,C1,C2,?,Cn)

即可得原方程通解y??(x,C1,C2,?,Cn)

第四篇：高數(shù)上冊知識點總結(jié)

高數(shù)重點知識總結(jié)

1、基本初等函數(shù)：反函數(shù)(y=arctanx)，對數(shù)函數(shù)(y=lnx)，冪函數(shù)(y=x)，指數(shù)函數(shù)(y?ax)，三角函數(shù)(y=sinx)，常數(shù)函數(shù)(y=c)

2、分段函數(shù)不是初等函數(shù)。

x2?xx?lim?1

3、無窮?。焊唠A+低階=低階

例如：limx?0x?0xxsinx4、兩個重要極限：(1)lim?1x?0x(2)lim?1?x??ex?01x?1?lim?1???e x???x?g(x)x經(jīng)驗公式：當x?x0,f(x)?0,g(x)??，lim?1?f(x)?x?x0?ex?x0limf(x)g(x)

例如：lim?1?3x??ex?01xx?0??3x?lim???x??e?3

5、可導(dǎo)必定連續(xù)，連續(xù)未必可導(dǎo)。例如：y?|x|連續(xù)但不可導(dǎo)。

6、導(dǎo)數(shù)的定義：lim?x?0f(x??x)?f(x)?f'(x)?xx?x0limf(x)?f(x0)?f'?x0?

x?x07、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)：df?g(x)??f'?g(x)??g'(x)dx

例如：y?x?x,y'?2x?2x?1 2x?x4x2?xx1?

18、隱函數(shù)求導(dǎo)：(1)直接求導(dǎo)法；(2)方程兩邊同時微分，再求出dy/dx x2?y2?1例如：解：法(1),左右兩邊同時求導(dǎo),2x?2yy'?0?y'??x ydyx法(2),左右兩邊同時微分,2xdx?2ydy???dxy9、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)求導(dǎo)：若??y?g(t)dydy/dtg'(t)??，則，其二階導(dǎo)數(shù)：dxdx/dth'(t)?x?h(t)d(dy/dx)d?g'(t)/h'(t)?dyd?dy/dx?dtdt??? 2dxdxdx/dth'(t)

210、微分的近似計算：f(x0??x)?f(x0)??x?f'(x0)例如：計算 sin31?

11、函數(shù)間斷點的類型：(1)第一類：可去間斷點和跳躍間斷點；例如：y?sinx（x=0是x函數(shù)可去間斷點），y?sgn(x)（x=0是函數(shù)的跳躍間斷點）(2)第二類：振蕩間斷點和無窮間斷點；例如：f(x)?sin??（x=0是函數(shù)的振蕩間斷點），y?斷點）

12、漸近線：

水平漸近線：y?limf(x)?c

x???1??x?1（x=0是函數(shù)的無窮間xlimf(x)??，則x?a是鉛直漸近線.鉛直漸近線：若，x?a斜漸近線：設(shè)斜漸近線為y?ax?b,即求a?limx??f(x),b?lim?f(x)?ax?

x??xx3?x2?x?1例如：求函數(shù)y?的漸近線

x2?113、駐點：令函數(shù)y=f(x)，若f'(x0)=0，稱x0是駐點。

14、極值點：令函數(shù)y=f(x)，給定x0的一個小鄰域u(x0,δ),對于任意x∈u(x0,δ)，都有f(x)≥f(x0)，稱x0是f(x)的極小值點；否則，稱x0是f(x)的極大值點。極小值點與極大值點統(tǒng)稱極值點。

15、拐點：連續(xù)曲線弧上的上凹弧與下凹弧的分界點，稱為曲線弧的拐點。

16、拐點的判定定理：令函數(shù)y=f(x)，若f“(x0)=0，且x0；x>x0時，f“(x)<0或xx0時，f“(x)>0，稱點(x0，f(x0))為f(x)的拐點。

17、極值點的必要條件：令函數(shù)y=f(x)，在點x0處可導(dǎo)，且x0是極值點，則f'(x0)=0。

18、改變單調(diào)性的點：f'(x0)?0，f'(x0)不存在，間斷點（換句話說，極值點可能是駐點，也可能是不可導(dǎo)點）

19、改變凹凸性的點：f”(x0)?0，f''(x0)不存在（換句話說，拐點可能是二階導(dǎo)數(shù)等于零的點，也可能是二階導(dǎo)數(shù)不存在的點）

20、可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值點必定是駐點，但函數(shù)的駐點不一定是極值點。

21、中值定理：

(1)羅爾定理：f(x)在[a,b]上連續(xù)，(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則至少存在一點?，使得f'(?)?0

(2)拉格朗日中值定理：f(x)在[a,b]上連續(xù)，(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則至少存在一點?，使得f(b)?f(a)?(b?a)f'(?)

(3)積分中值定理：f(x)在區(qū)間[a,b]上可積，至少存在一點?，使得b?f(x)dx?(b?a)f(?)

a22、常用的等價無窮小代換：

x~sinx~arcsinx~arctanx~tanx~ex?1~2(1?x?1)~ln(1?x)1?cosx~12x2111tanx?sinx~x3,x?sinx~x3,tanx?x~x3263

23、對數(shù)求導(dǎo)法：例如，y?xx，解：lny?xlnx?1y'?lnx?1?y'?xx?lnx?1? y24、洛必達法則：適用于“

0?”型，“”型，“0??”型等。當0?x?x0,f(x)?0/?,g(x)?0/?，f'(x),g'(x)皆存在，且g'(x)?0，則f(x)f'(x)ex?sinx?10ex?cosx0ex?sinx1lim?lim

例如，limlimlim? 2x?x0g(x)x?x0g'(x)x?0x?0x?0x02x02225、無窮大：高階+低階=高階

例如，26、不定積分的求法

(1)公式法

(2)第一類換元法（湊微分法）

(3)第二類換元法：哪里復(fù)雜換哪里，常用的換元：1)三角換元：

23?x?1??2x?3?lim?x???2x5x2?2x?lim?4

x???2x53a2?x2，可令x?asint；x2?a2，可令x?atant；x2?a2，可令x?asect

2)當有理分式函數(shù)中分母的階較高時，常采用倒代換x?1 t27、分部積分法：udv?uv?vdu，選取u的規(guī)則“反對冪指三”，剩下的作v。分部積

x3分出現(xiàn)循環(huán)形式的情況，例如：ecosxdx,secxdx ????

28、有理函數(shù)的積分：

例如：3x?22(x?1)?x11dx?dx?2dx??x(x?1)3?x(x?1)3?x(x?1)2??x?1?3dx

11x?1?xx?1?x1dx???需要進行拆分，令 ?x(x?1)2x(x?1)2x(x?1)2x(x?1)(x?1)2其中，前部分?111?? 2xx?1(x?1)

29、定積分的定義：

?f(?)?x ?f(x)dx?lim?a?0iii?1bn30、定積分的性質(zhì)：

b(1)當a=b時，?f(x)dx?0；

aba(2)當a>b時，?f(x)dx???f(x)dx

aba?aa(3)當f(x)是奇函數(shù)，?f(x)dx?0,a?0

a(4)當f(x)是偶函數(shù)，b?a?f(x)dx?2?f(x)dx

0cb(5)可加性：?f(x)dx??f(x)dx??f(x)dx

aacxxd31、變上限積分：?(x)??f(t)dt??'(x)?f(t)dt?f(x)?dxaad推廣：dxu(x)?f(t)dt?f?u(x)?u'(x)

ab32、定積分的計算（牛頓—萊布尼茨公式）：

bb?f(x)dx?F(b)?F(a)

a33、定積分的分部積分法：udv??uv??vdu

例如：xlnxdx

?aba?a???bb???

34、反常積分：(1)無窮限的反常積分：

?f(x)dx?lim?f(x)dx

aabbt?a?

(2)無界函數(shù)的反常積分：

35、平面圖形的面積：

(1)A??f(x)dx?lim?f(x)dx

atd??f(x)?f(x)?dx

(2)A????(y)??(y)?dy 2121ac(2)繞y軸旋轉(zhuǎn)，????f(x)dxV???(y)dy ??2acbdb36、旋轉(zhuǎn)體的體積：

(1)繞x軸旋轉(zhuǎn)，V??

第五篇：高數(shù)上冊總結(jié)知識點修訂版

高等數(shù)學(xué)難點總結(jié)（上冊）

函數(shù)（高等數(shù)學(xué)的主要研究對象）

要著重掌握的常見函數(shù)類型：冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)

極限：數(shù)列的極限（特殊）——函數(shù)的極限（一般）

函數(shù)極限的可能情況有24種（自變量6種，因變量4種），對于這其中任一種情形，都應(yīng)該熟練掌握其分析定義（嚴格的數(shù)學(xué)表述）

極限的本質(zhì)是：已知某一個量（自變量）的變化趨勢，去考察另外一個量（因變量）的變化趨勢

由極限的概念可以推得的一些性質(zhì)：局部有界性、局部保號性等等，應(yīng)當注意到，由極限概念所得到的性質(zhì)通常都是只在局部范圍內(nèi)成立

趨于零的極限稱之為無窮小量，不同的無窮小量之間有階的區(qū)別，類似可定義無窮大量 兩個判斷極限的重要準則：

1、夾逼原理；

2、單調(diào)有界數(shù)列必有極限。它們分別對應(yīng)兩個重要極限。

各種典型極限的計算

在提出極限概念的時候并未涉及到函數(shù)在該點的具體情況，所以函數(shù)在某點的極限與函數(shù)在該點的取值并無必然聯(lián)系

連續(xù)：函數(shù)在某點的極限值 等于 函數(shù)在該點的取值 連續(xù)的本質(zhì)：自變量無限接近，因變量無限接近

連續(xù)的概念相當于給我們提出了一種求極限的方法：代入法 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。

不連續(xù)的情形：間斷。其分類可根據(jù)連續(xù)不成立的條件逐一分析

導(dǎo)數(shù)的概念

本質(zhì)是函數(shù)增量與自變量增量的比值在自變量增量趨近于零時的極限，更簡單的說法是變化率

微分的概念：函數(shù)增量的線性主要部分，這個說法有兩層意思，一、微分是一個線性近似，二、這個線性近似帶來的誤差是足夠小的，實際上所有函數(shù)在某點的增量我們都可以線性關(guān)系去近似它，但并不是任何時候這個近似都足夠好，只有當誤差足夠小時，才能說該函數(shù)在該點可微分

對一元函數(shù)，連續(xù)不一定可導(dǎo)，可導(dǎo)必連續(xù)，可導(dǎo)等價于微分 各種典型導(dǎo)數(shù)和微分的計算

導(dǎo)數(shù)反映了函數(shù)在某點附近的變化快慢程度，因此可用來作為研究函數(shù)某些性質(zhì)的工具，尤其是那些涉及討論函數(shù)變化情況的性質(zhì)。極值的概念，極值是局部而非整體性質(zhì)的體現(xiàn)

費爾馬定理：一個函數(shù)的極值點，要么不可導(dǎo)，要么導(dǎo)數(shù)為零

微分中值的三個定理：羅爾定理、拉格朗日定理和柯西定理。它們是同一個數(shù)學(xué)事實在不同的坐標系中的表達：對一個閉區(qū)間連續(xù)、開區(qū)間可導(dǎo)的函數(shù)來說，必存在區(qū)間內(nèi)的一點，該點切線的斜率等于兩端點連線的斜率。用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值情況

用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的增減性和凹凸性

泰勒定理：本質(zhì)是用多項式來逼近連續(xù)函數(shù)。要學(xué)好這部分內(nèi)容，需要考慮幾個問題：

1、一個函數(shù)能夠用多項式來近似的條件是什么？

二、這個多項式的各系數(shù)如何求？

二、即使求出了這個多項式的系數(shù)，如何去評估這個多項式逼近連續(xù)函數(shù)的精確程度，即還需要求出誤差（余項），一般來說，余項的選取不同，對函數(shù)的要求也不同，常見的有皮亞諾和拉格朗日兩種余項

不定積分：導(dǎo)數(shù)的逆運算 什么樣的函數(shù)有不定積分

求不定積分的若干典型方法：湊微分、換元和分部 各種典型不定積分的計算。

定積分：由具體例子引出，本質(zhì)是先分割、再綜合，其中分割的作用是把不規(guī)則的整體劃作規(guī)則的許多個小的部分，然后再綜合，最后求極限，當極限存在時，近似成為精確 什么樣的函數(shù)有定積分 積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)

微積分基本定理，其最重要的作用是將定積分（一個復(fù)雜和式的極限）與不定積分（導(dǎo)數(shù)的逆運算）相聯(lián)系

積分中值定理，其對應(yīng)的意義是變量的平均值

定積分的幾何應(yīng)用和物理應(yīng)用

高等數(shù)學(xué)里最重要的數(shù)學(xué)思想方法：微元法