第一篇：考研高數(shù)精華知識點總結：分段函數(shù)
凱程考研
歷史悠久，專注考研，科學應試，嚴格管理，成就學員！
考研高數(shù)精華知識點總結：分段函數(shù)
高等數(shù)學是考研數(shù)學考試中內容最多的一部分，分值所占比例也最高。為此我們?yōu)榇蠹艺矸窒砹丝佳懈邤?shù)精華知識點總結之分段函數(shù)。凱程考研將第一時間滿足莘莘學子對考研信息的需求，并及時進行權威發(fā)布，敬請關注!
分段函數(shù)：
1、分段函數(shù)：定義域中各段的x與y的對應法則不同，函數(shù)式是分兩段或幾段給出的;
分段函數(shù)是一個函數(shù)，定義域、值域都是各段的并集。
2、絕對值函數(shù)去掉絕對符號后就是分段函數(shù)。
3、分段函數(shù)中的問題一般是求解析式、反函數(shù)、值域或最值，討論奇偶性單調性等。
4、分段函數(shù)的處理方法：分段函數(shù)分段研究。
抽象函數(shù)：我們把沒有給出具體解析式的函數(shù)稱為抽象函數(shù);
一般形式為y=f(x)，或許還附有定義域、值域等，如：y=f(x)，(x>0，y>0)。
凱程考研，考研機構，10年高質量輔導，值得信賴！以學員的前途為已任，為學員提供高效、專業(yè)的服務，團隊合作,為學員服務，為學員引路。
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凱程考研：
凱程考研成立于2005年，具有悠久的考研輔導歷史，國內首家全日制集訓機構考研，一直從事高端全日制輔導，由李海洋教授、張鑫教授、盧營教授、王洋教授、楊武金教授、張釋然教授、索玉柱教授、方浩教授等一批高級考研教研隊伍組成，為學員全程高質量授課、答疑、測試、督導、報考指導、方法指導、聯(lián)系導師、復試等全方位的考研服務。凱程考研的宗旨：讓學習成為一種習慣； 凱程考研的價值觀：凱旋歸來，前程萬里； 信念：讓每個學員都有好最好的歸宿；
使命：完善全新的教育模式，做中國最專業(yè)的考研輔導機構； 激情：永不言棄，樂觀向上；
敬業(yè)：以專業(yè)的態(tài)度做非凡的事業(yè)；
服務：以學員的前途為已任，為學員提供高效、專業(yè)的服務，團隊合作，為學員服務，為學員引路。
特別說明：凱程學員經(jīng)驗談視頻在凱程官方網(wǎng)站有公布，同學們和家長可以查看。扎扎實實的輔導，真真實實的案例，凱程考研的價值觀：凱旋歸來，前程萬里。
如何選擇考研輔導班：
在考研準備的過程中，會遇到不少困難，尤其對于跨專業(yè)考生的專業(yè)課來說，通過報輔導班來彌補自己復習的不足，可以大大提高復習效率，節(jié)省復習時間，大家可以通過以下幾個方面來考察輔導班，或許能幫你找到適合你的輔導班。
師資力量：師資力量是考察輔導班的首要因素，考生可以針對輔導名師的輔導年限、輔導經(jīng)驗、歷年輔導效果、學員評價等因素進行綜合評價，詢問往屆學長然后選擇。判斷師資力量關鍵在于綜合實力，因為任何一門課程，都不是由
一、兩個教師包到底的，是一批教師配合的結果。還要深入了解教師的學術背景、資料著述成就、輔導成就等。凱程考研名師云集，李海洋、張鑫教授、方浩教授、盧營教授、孫浩教授等一大批名師在凱程授課。而有的機構只是很普通的老師授課，對知識點把握和命題方向，欠缺火候。
對該專業(yè)有輔導歷史：必須對該專業(yè)深刻理解，才能深入輔導學員考取該校。在考研輔導班
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中，從來見過如此輝煌的成績：凱程教育拿下2015五道口金融學院狀元，考取五道口15人，清華經(jīng)管金融碩士10人，人大金融碩士15個，中財和貿(mào)大金融碩士合計20人，北師大教育學7人，會計碩士保錄班考取30人，翻譯碩士接近20人，中傳狀元王園璐、鄭家威都是來自凱程，法學方面，凱程在人大、北大、貿(mào)大、政法、武漢大學、公安大學等院校斬獲多個法學和法碩狀元，更多專業(yè)成績請查看凱程網(wǎng)站。在凱程官方網(wǎng)站的光榮榜，成功學員經(jīng)驗談視頻特別多，都是凱程戰(zhàn)績的最好證明。對于如此高的成績，凱程集訓營班主任邢老師說，凱程如此優(yōu)異的成績，是與我們凱程嚴格的管理，全方位的輔導是分不開的，很多學生本科都不是名校，某些學生來自二本三本甚至不知名的院校，還有很多是工作了多年才回來考的，大多數(shù)是跨專業(yè)考研，他們的難度大，競爭激烈，沒有嚴格的訓練和同學們的刻苦學習，是很難達到優(yōu)異的成績。最好的辦法是直接和凱程老師詳細溝通一下就清楚了。
凱程考研歷年戰(zhàn)績輝煌，成就顯著！
在考研輔導班中，從來見過如此輝煌的成績：凱程教育拿下國內最高學府清華大學五道口金融學院金融碩士29人，占五道口金融學院錄取總人數(shù)的約50%，五道口金融學院歷年狀元均出自凱程.例如，2014年狀元武玄宇,2013年狀元李少華，2012年狀元馬佳偉，2011年狀元陳玉倩;考入北大經(jīng)院、人大、中財、外經(jīng)貿(mào)、復旦、上財、上交、社科院、中科院金融碩士的同學更是喜報連連，總計達到150人以上，此外，還有考入北大清華人大法碩的張博等10人，北大法學考研王少棠，北大法學經(jīng)濟法狀元王yuheng等5人成功考入北大法學院，另外有數(shù)10人考入人大貿(mào)大政法公安大學等名校法學院。北師大教育學和全日制教育碩士輔導班學員考入15人，創(chuàng)造了歷年最高成績。會計碩士保錄班考取30多人，中傳鄭家威勇奪中傳新聞傳播碩士狀元，王園璐勇奪中傳全日制藝術碩士狀元，（他們的經(jīng)驗談視頻在凱程官方網(wǎng)站有公布，隨時可以查看播放。）對于如此優(yōu)異的成績，凱程輔導班班主任邢老師說，凱程如此優(yōu)異的成績，是與我們凱程嚴格的管理，全方位的輔導是分不開的，很多學生本科都不是名校，某些學生來自二本三本甚至不知名的院校，還有很多是工作了多年才回來考的，大多數(shù)是跨專業(yè)考研，他們的難度大，競爭激烈，沒有嚴格的訓練和同學們的刻苦學習，是很難達到優(yōu)異的成績。
考研路上，拼搏和堅持，是我們成功的必備要素。
王少棠
本科學校：南開大學法學
錄取學校：北大法學國際經(jīng)濟法方向第一名 總分：380+ 在來到凱程輔導之前，王少棠已經(jīng)決定了要拼搏北大法學院，他有自己的理想，對法學的癡迷的追求，決定到最高學府北大進行深造，他的北大的夢想一直激勵著他前進，在凱程凱程考研，考研機構，10年高質量輔導，值得信賴！以學員的前途為已任，為學員提供高效、專業(yè)的服務，團隊合作,為學員服務，為學員引路。
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輔導班的每一刻，他都認真聽課、與老師溝通，每一個重點知識點都不放過，對于少棠來說，無疑是無比高興的是，圓夢北大法學院。在復試之后，王少棠與凱程老師進行了深入溝通，講解了自己的考研經(jīng)驗，與廣大考北大法學，人大法學、貿(mào)大法學等同學們進行了交流，錄制為經(jīng)驗談，在凱程官方網(wǎng)站能夠看到。
王少棠參加的是凱程考研輔導班，回憶自己的輔導班的經(jīng)歷，他說：“這是我一輩子也許學習最投入、最踏實的地方，我有明確的復習目標，有老師制定的學習計劃、有生活老師、班主任、授課老師的管理，每天6點半就起床了，然后是吃早餐，進教室里早讀，8點開始單詞與長難句測試，9點開始上課，中午半小時吃飯，然后又回到教室里學習了，夏天比較困了就在桌子上睡一會，下午接著上課，晚上自習、測試、答疑之類，晚上11點30熄燈睡覺?！?/p>
這樣的生活，貫穿了我在輔導班的整個過程，王少棠對他的北大夢想是如此的堅持，無疑，讓他忘記了在考研路上的辛苦，只有堅持的信念，只有對夢想的勇敢追求。
龔輝堂
本科西北工業(yè)大學物理
考入:五道口金融學院金融碩士(原中國人民銀行研究生部)作為跨地區(qū)跨?？鐚I(yè)的三凱程生,在凱程輔導班里經(jīng)常遇到的,五道口金融學院本身公平的的傳統(tǒng),讓他對五道口充滿了向往,所以他來到了凱程輔導班,在這里嚴格的訓練,近乎嚴苛的要求,使他一個跨專業(yè)的學生,成功考入金融界的黃埔軍校,成為五道口金融學院一名優(yōu)秀的學生,實現(xiàn)了人生的重大轉折。
在凱程考研輔導班，雖然學習很辛苦，但是每天他都能感覺到自己在進步，改變了自己以往在大學期間散漫的學習狀態(tài)，進入了高強度學習狀態(tài)。在這里很多課程讓他收獲巨大，例如公司理財老師，推理演算，非常純熟到位，也是每個學生學習的榜樣，公司理財老師帶過很多學生，考的非常好。在學習過程中，拿下了這塊知識，去食堂午餐時候加一塊雞翅，經(jīng)常用小小的獎勵激勵自己，尋找學習的樂趣。在輔導班里，學習成績顯著上升。
在暑期，輔導班的課程排得非常滿，公共課、專業(yè)課、晚自習、答疑、測試，一天至少12個小時及以上。但是他們仍然特別認真，在這個沒有任何干擾的考研氛圍里，充實地學習。
在經(jīng)過暑期嚴格的訓練之后，龔對自己考入五道口更有信心了。在與老師溝通之后，最終確定了五道口金融學院作為自己最后的抉擇，決定之后，讓他更加發(fā)奮努力。
五道口成績公布，龔輝堂成功了。這個封閉的考研集訓，優(yōu)秀的學習氛圍，讓他感覺有質的飛躍，成功的喜悅四處飛揚。
另外，在去年，石繼華，本科安徽大學，成功考入五道口金融學院，也就是說，我們只要努力，方向正確，就能取得優(yōu)異的成績。師弟師妹們加油，五道口、人大、中財、貿(mào)大這些名校等著你來。
黃同學(女生)本科院校：中國青年政治學院
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報考院校：中國人民大學金融碩士 總分：跨專業(yè)380+ 初試成績非常理想，離不開老師的辛勤輔導，離不開班主任的鼓勵，離不開她的努力，離不開所有關心她的人，圓夢人大金融碩士，實現(xiàn)了跨專業(yè)跨校的金融夢。
黃同學是一個非常靦腆的女孩子，英語基礎算是中等，專業(yè)課是0基礎開始復習，剛剛開始有點吃力，但是隨著課程的展開，完全能夠跟上了節(jié)奏。
初試成績公布下來，雖然考的不錯，班主任老師沒有放松對復試的輔導，確保萬無一失，拿到錄取通知書才是最終的塵埃落地，開始了緊張的復試指導，反復的模擬訓練，常見問題、禮儀訓練，專業(yè)知識訓練，每一個細節(jié)都訓練好之后，班主任終于放心地讓她去復試，果然，她以高分順利通過復試，拿到了錄取通知書。這是所有凱程輔導班班主任、授課老師、生活老師的成功。
張博，從山東理工大學考入北京大學法律碩士，我復習的比較晚，很慶幸選擇了凱程，法碩老師講的很到位，我復習起來減輕了不少負擔。愿大家在考研中馬到成功，也祝愿凱程越辦越好。
張亞婷，海南師范大學小學數(shù)學專業(yè)，考入了北京師范大學教育學部課程與教學論方向，成功實現(xiàn)了自己的北師大夢想。特別感謝凱程的徐影老師全方面的指導。
孫川川，西南大學考入中國傳媒大學藝術碩士，播音主持專業(yè)。在考研輔導班，進步飛快，不受其他打擾，能夠全心全意投入到學習中。凱程老師也很負責，真的很感謝他們。
在凱程考研輔導班，他們在一起創(chuàng)造了一個又一個奇跡。從河南理工大學考入人大會計碩士的李夢說：考取人大，是我的夢想，我一直努力，肯定能夠成功的，只要我們不放棄，不拋棄，并且一直在努力前進創(chuàng)造成功的條件，每個人都能夠成功。正確的方法+不懈的努力+良好的環(huán)境+嚴格的管理=成功。我相信，每個人都能夠成功。
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第二篇：考研高數(shù)知識點總結
綜合理解是在基礎知識點基礎上進行的,加強綜合解題能力的訓練,熟悉常見的考題的類型，下面是小編為你帶來的考研高數(shù)知識點總結，希望對你有所幫助。
高等數(shù)學是考研數(shù)學的重中之重，所占的比重較大，在數(shù)學一、三中占56%，數(shù)學二中占78%，重點難點較多。具體說來，大家需要重點掌握的知識點有幾以下幾點：
1.函數(shù)、極限與連續(xù)：主要考查極限的計算或已知極限確定原式中的常數(shù);討論函數(shù)連續(xù)性和判斷間斷點類型;無窮小階的比較;討論連續(xù)函數(shù)在給定區(qū)間上零點的個數(shù)或確定方程在給定區(qū)間上有無實根。
2.一元函數(shù)微分學：主要考查導數(shù)與微分的定義;各種函數(shù)導數(shù)與微分的計算;利用洛比達法則求不定式極限;函數(shù)極值;方程的的個數(shù);證明函數(shù)不等式;與中值定理相關的證明;最大值、最小值在物理、經(jīng)濟等方面實際應用;用導數(shù)研究函數(shù)性態(tài)和描繪函數(shù)圖形;求曲線漸近線。
3.一元函數(shù)積分學：主要考查不定積分、定積分及廣義積分的計算;變上限積分的求導、極限等;積分中值定理和積分性質的證明;定積分的應用，如計算旋轉面面積、旋轉體體積、變力作功等。
4.多元函數(shù)微分學：主要考查偏導數(shù)存在、可微、連續(xù)的判斷;多元函數(shù)和隱函數(shù)的一階、二階偏導數(shù);多元函數(shù)極值或條件極值在與經(jīng)濟上的應用;二元連續(xù)函數(shù)在有界平面區(qū)域上的最大值和最小值。此外，數(shù)學一還要求會計算方向導數(shù)、梯度、曲線的切線與法平面、曲面的切平面與法線。
5.多元函數(shù)的積分學：包括二重積分在各種坐標下的計算，累次積分交換次序。數(shù)一還要求掌握三重積分，曲線積分和曲面積分以及相關的重要公式。
6.微分方程及差分方程：主要考查一階微分方程的通解或特解;二階線性常系數(shù)齊次和非齊次方程的特解或通解;微分方程的建立與求解。差分方程的基本概念與一介常系數(shù)線形方程求解方法
由于微積分的知識是一個完整的體系，考試的題目往往帶有很強的綜合性，跨章節(jié)的題目很多，需要考生對整個學科有一個完整而系統(tǒng)的把握。最后凱程考研名師預祝大家都能取得好成績。
凱程教育張老師整理了幾個節(jié)約時間的準則：一是要早做決定，趁早備考;二是要有計劃，按計劃前進;三是要跟時間賽跑，爭分奪秒?？傊?，考研是一場“時間戰(zhàn)”，誰懂得抓緊時間，利用好時間，誰就是最后的勝利者。
1.制定詳細周密的學習計劃。
這里所說的計劃，不僅僅包括總的復習計劃，還應該包括月計劃、周計劃，甚至是日計劃。努力做到這一點是十分困難的，但卻是非常必要的。我們要把學習計劃精確到每一天，這樣才能利用好每一天的時間。當然，總復習計劃是從備考的第一天就應該指定的;月計劃可以在每一輪復習開始之前，制定未來三個月的學習計劃。以此類推，具體到周計劃就是要在每個月的月初安排一月四周的學習進程。那么，具體到每一天，可以在每周的星期一安排好周一到周五的學習內容，或者是在每一天晚上做好第二天的學習計劃。并且，要在每一天睡覺之前檢查一下是否完成當日的學習任務，時時刻刻督促自己按時完成計劃。
方法一：規(guī)劃進度。分別制定總計劃、月計劃、周計劃、日計劃學習時間表，并把它們
貼在最顯眼的地方，時刻提醒自己按計劃進行。
方法二：互相監(jiān)督。和身邊的同學一起安排計劃復習，互相監(jiān)督，共同進步。
方法三：定期考核。定期對自己復習情況進行考察，靈活運用筆試、背誦等多種形式。
2.分配好各門課程的復習時間。
一天的時間是有限的，同學們應該按照一定的規(guī)律安排每天的學習，使時間得到最佳利用。一般來說上午的頭腦清醒、狀態(tài)良好，有利于背誦記憶。除去午休時間，下午的時間相對會少一些，并且下午人的精神狀態(tài)會相對低落。晚上相對安靜的外部環(huán)境和較好的大腦記憶狀態(tài)，將更有利于知識的理解和記憶。據(jù)科學證明，晚上特別是九點左右是一個人記憶力最好的時刻，演員們往往利用這段時間來記憶臺詞。因此，只要掌握了一天當中每個時段的自然規(guī)律，再結合個人的生活學習習慣分配好時間，就能讓每一分每一秒都得到最佳利用。方法一：按習慣分配。根據(jù)個人生活學習習慣，把專業(yè)課和公共課分別安排在一天的不同時段。比如：把英語復習安排在上午，練習聽力、培養(yǎng)語感，做英語試題;把政治安排在下午，政治的掌握相對來說利用的時間較少;把專業(yè)課安排在晚上，利用最佳時間來理解和記憶。
方法二：按學習進度分配。考生可以根據(jù)個人成績安排學習，把復習時間向比較欠缺的科目上傾斜，有計劃地重點復習某一課程。
方法三：交叉分配。在各門課程學習之間可以相互穿插別的科目的學習，因為長時間接受一種知識信息，容易使大腦產(chǎn)生疲勞。另外，也可以把一周每一天的同一時段安排不同的學習內容。
第三篇：考研高數(shù) 多元函數(shù)（最終版）
一維到高維空間也是質變
多元微分學主要研究多元初等函數(shù)?；竟ぞ哌€是極限。比如，多元函數(shù)在定義域上一點M連續(xù)的定義為
—— 若在函數(shù)f（M）的定義域D內，總有M → M0 時，l i m f（M）= f（M0），就稱函數(shù)f（M）在點M0連續(xù)。
體會一維到高微空間是質變，自然就得從體驗極限開始。(多元函數(shù)以二元函數(shù)為例。)
在數(shù)軸上，動點x趨于定點x0時，只有左，右兩個連續(xù)的變動方向，因而一元函數(shù)有簡明的極限存在性判斷定理 ——
“x → x0時，極限 l i m f（x）存在的充分必要條件是左、右極限存在且相等?！?/p>
（潛臺詞：學好一元微分學的起點，就是學會分左右討論極限及相關問題。管它什么左連續(xù)，右連續(xù)，左導數(shù)，導數(shù)的左極限，右導數(shù)，導數(shù)的右極限，??，概念全都清清楚楚，計算通通滾瓜爛熟。）簡單地說，一元函數(shù)在每一個極限過程中僅有兩個“道路極限”。
在日常生活中，我們感覺大地是一張平面，人們在行動時談“方位”十分自然。倒是直線顯得較為特殊。
二元函數(shù)的（有序）自變量組（x，y）與平面成一一對應。討論二元函數(shù)，任意選定中心點M0，動點M可以在它的四周任意一個方位處。我們只能用向量方式（Δx，Δy）來表式相應自變量增量。相對偏離為微距離Δ r =√（（Δx）平方+（Δy）平方）。進而自然地稱函數(shù)z = f（M）相應的增量Δz為全增量。“全”，就是強調增量可以在任意方位出現(xiàn)。
當動點M → M0時，M可以有無窮多個連續(xù)變動方式趨向M0，既可以沿直線道路，也可以沿曲線路徑逼近M0，這就大大提高了討論極限的難度。
與一元函數(shù)對比，由兩個“道路極限”到無窮多個（還是不可列無窮多）“道路極限”，量變引起質變。
鑒于這個困難，《高等數(shù)學》不開展關于多元函數(shù)極限的討論。學習多元微分學，首先要學會利用海涅定理，選擇兩個道路極限不相等，來判斷某些極限不存在。體驗多元函數(shù)求極限的困難。例1試證明，（x，y）→（0，0）時，極限lim（y ∕(x+y））不存在分析分別取直線道路 y = x，y = 2 x，就得到不相等的“道路極限”1/2與1/3，因而所求極限不存在。
實際上，只要 k ≠ ?1，沿直線道路 y = k x，（x，y）→（0，0）時，顯然，所算得的道路極限值隨k變而變，你可以由此而窺見問題之復雜。
例2試證明極限（x，y）→（0，0）時，極限lim（xy ∕(x+y））不存在分析先取道路y = k x，k ≠ ?1，令（x，y）→（0，0）實施觀察，所有的道路極限都為0，但是你還不能就此以為所求極限為0，因為（x，y）還可以沿彎曲的道路趨于0
選取彎曲的路徑，拋物線 y = ?x +（x平方），道路極限為 ?1，故所求極限不存在。
實際上，選拋物線道路 y = ?x + a（x平方），常數(shù) a ≠ 0，則將得到隨a值不同而互不相等的無窮多個道路極限。
（畫外音：你是否感覺到大開眼界。）
進一步的討論中，“方位”成為前提。我們從中心點M0（x0，y0）出發(fā)，選定一個方向，就可以計算函數(shù)沿這個方向的平均變化率 Δz /Δ r，令 Δ r → 0 求極限，得到沿這個方向的 “瞬時變化率”。這個瞬時變化率稱為方向導數(shù)。
（畫外音：你見過用竹桿探路行進的盲人嗎？）
令人難忘的自然是直角坐標系的兩個坐標方向。在中心點M0（x0，y0）處，一元函數(shù) z = f（x，y0）的導數(shù)稱為二元函數(shù) z = f（x，y）在點M0關于x的偏導數(shù)。它就是函數(shù)沿x軸正向的方向導數(shù)。同理有二元函數(shù) z = f（x，y）在點M0關于y的偏導數(shù)。它就是函數(shù)沿y軸正向的方向導數(shù)。（潛臺詞：偏導數(shù)的特點是“偏”。僅僅是函數(shù)在一個特殊方向的變化率。）
與一元函數(shù)一樣，更深入的問題是，在中心點M0鄰近，二（多）元函數(shù)的全增量“能否微局部線性化”，即，二（多）元函數(shù)在M0是否可微（存在全微分）。
定義 —— 若在點M0的適當小的（園）鄰域內，函數(shù)增量△z恒可以表示為
Δz = A Δx + BΔy + о(Δ r)=“線性主部 + 高階無窮小о(Δ r)”
則稱二元函數(shù) z = f（x，y）在點M0可微（存在全微分）。
（畫外音：要檢驗函數(shù)是否可微，先寫出о(Δ r)= Δz ? A Δx + BΔy，再令Δ r → 0討論極限，看能否證明，這個尾項的確是較Δr高階的無窮小。（數(shù)學一））
矛盾自然出現(xiàn)了。矛盾集中于“全（微分）”與“偏（導數(shù)）”。就算二（多）元函數(shù)的偏導數(shù)都存在，幾個特殊方向的變化率，又怎能確定函數(shù)全方位的變化？？僅僅是“偏導數(shù)（都）存在”顯然不能保證“全微分存在”。這與一元函數(shù)“可微與可導等價”是截然不同的。
如果二元函數(shù) z = f（x，y）在點M0可微（存在全微分）。則容易證明兩個偏導數(shù)都存在，且關于x的偏導數(shù) = A，關于y的偏導數(shù) = B
“偏導數(shù)都存在”是可微分的必要條件。
歷史上的深入討論，找到了二（多）元函數(shù)在一點可微的一個充分條件是，函數(shù)的偏導數(shù)都存在且連續(xù)。
一維到高微空間是質變。一元微分學最講究條件。討論前沿問題時，總是想能否把條件削弱一點來得到同樣的結論。而多元微分學只能以假設為前提，要什么條件就得給什么條件。比如，要是二階偏導數(shù)不連續(xù)，二階混合偏導數(shù)就可能與求偏導順序有關。給應用帶來巨大障礙。
在討論多元函數(shù)時，條件“（一階）偏導數(shù)存在且連續(xù)”是一個基本條件。沒有這個條件，僅僅知道偏導數(shù)存在是什么事情也做不成的。有了這個條件，則
（1）偏導數(shù)存在且連續(xù)，則函數(shù)的全微分存在。
（2）全微分存在函數(shù)必定連續(xù)。故偏導數(shù)存在且連續(xù)，函數(shù)必定連續(xù)。
*（3）偏導數(shù)存在且連續(xù)時，全體偏導數(shù)按坐標順序排成“梯度向量”，函數(shù)沿任意方向的方向導數(shù)，就是“梯度向量”在該方向的投影。且“梯度向量”是方向導數(shù)最大的方向。
（潛臺詞：理解時要落實（站立）在中心點。）
記住主關系鏈，偏導數(shù)連續(xù) —→ 全微分存在 —→ 函數(shù)連續(xù)
相關選擇題就迎刃而解了。
例3設函數(shù) z=f(x, y)有定義式：
f(0, 0)= 0，其它點處f(x, y)= xy∕(x平方+y平方)
試證明，在原點（0，0）函數(shù)的兩個偏導數(shù)都存在但函數(shù)卻不連續(xù)。
分析類似例1，取直線道路 y = k x，即知（x，y）→（0，0）時，函數(shù)不存在極限，當然在原點不連續(xù)。
但是，f(x，0)= 0，f(0，y)= 0，在原點處，兩個偏導數(shù)都為0
例4考慮二元函數(shù) f(x, y)的 4 條性質
（1）f(x, y)在點（x0，y0）處連續(xù)。（2）f(x, y)的偏導數(shù)都在（x0，y0）連續(xù)。
（3）f(x, y)在點（x0，y0）處可微。（4）f(x, y)在點（x0，y0）的偏導數(shù)都存在。如果用表達式“P → Q”說明可以由性質P推出性質Q，則有（？）
（A）（2）→（3）→（1）（B）（3）→（2）→（1）
（C）（3）→（4）→（1）（D）（3）→（1）→（4）
分析（A）對。這就是主關系鏈。（3）不能推出（2），（B）錯。
（3）可以推出（4），但（4）不能推出（1），（C）錯。
（3）可以推出（1），但（1）不能推出（4）。比如二元函數(shù)z = | x |，（D）錯。
第四篇：高數(shù)知識點總結
高數(shù)重點知識總結
1、基本初等函數(shù)：反函數(shù)(y=arctanx)，對數(shù)函數(shù)(y=lnx)，冪函數(shù)(y=x)，指數(shù)函數(shù)(y?ax)，三角函數(shù)(y=sinx)，常數(shù)函數(shù)(y=c)
2、分段函數(shù)不是初等函數(shù)。
x2?xx?lim?1
3、無窮?。焊唠A+低階=低階
例如：limx?0x?0xxsinx4、兩個重要極限：(1)lim?1x?0x(2)lim?1?x??ex?01x?1?lim?1???e x???x?g(x)x經(jīng)驗公式：當x?x0,f(x)?0,g(x)??，lim?1?f(x)?x?x0?ex?x0limf(x)g(x)
例如：lim?1?3x??ex?01xx?0??3x?lim???x??e?3
5、可導必定連續(xù)，連續(xù)未必可導。例如：y?|x|連續(xù)但不可導。
6、導數(shù)的定義：lim?x?0f(x??x)?f(x)?f'(x)?xx?x0limf(x)?f(x0)?f'?x0?
x?x07、復合函數(shù)求導：df?g(x)??f'?g(x)??g'(x)dx
例如：y?x?x,y'?2x?2x?1 2x?x4x2?xx1?
18、隱函數(shù)求導：(1)直接求導法；(2)方程兩邊同時微分，再求出dy/dx x2?y2?1例如：解：法(1),左右兩邊同時求導,2x?2yy'?0?y'??x ydyx法(2),左右兩邊同時微分,2xdx?2ydy???dxy9、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)求導：若??y?g(t)dydy/dtg'(t)??，則，其二階導數(shù)：dxdx/dth'(t)?x?h(t)d(dy/dx)d?g'(t)/h'(t)?dyd?dy/dx?dtdt??? 2dxdxdx/dth'(t)
210、微分的近似計算：f(x0??x)?f(x0)??x?f'(x0)例如：計算 sin31?
11、函數(shù)間斷點的類型：(1)第一類：可去間斷點和跳躍間斷點；例如：y?sinx（x=0x是函數(shù)可去間斷點），y?sgn(x)（x=0是函數(shù)的跳躍間斷點）(2)第二類：振蕩間斷點和無窮間斷點；例如：f(x)?sin??（x=0是函數(shù)的振蕩間斷點），y?數(shù)的無窮間斷點）
12、漸近線：
水平漸近線：y?limf(x)?c
x???1??x?1（x=0是函xlimf(x)??，則x?a是鉛直漸近線.鉛直漸近線：若，x?a斜漸近線：設斜漸近線為y?ax?b,即求a?limx??f(x),b?lim?f(x)?ax?
x??xx3?x2?x?1例如：求函數(shù)y?的漸近線
x2?113、駐點：令函數(shù)y=f(x)，若f'(x0)=0，稱x0是駐點。
14、極值點：令函數(shù)y=f(x)，給定x0的一個小鄰域u(x0,δ),對于任意x∈u(x0,δ)，都有f(x)≥f(x0)，稱x0是f(x)的極小值點；否則，稱x0是f(x)的極大值點。極小值點與極大值點統(tǒng)稱極值點。
15、拐點：連續(xù)曲線弧上的上凹弧與下凹弧的分界點，稱為曲線弧的拐點。
16、拐點的判定定理：令函數(shù)y=f(x)，若f“(x0)=0，且x
17、極值點的必要條件：令函數(shù)y=f(x)，在點x0處可導，且x0是極值點，則f'(x0)=0。
18、改變單調性的點：f'(x0)?0，f'(x0)不存在，間斷點（換句話說，極值點可能是駐點，也可能是不可導點）
19、改變凹凸性的點：f”(x0)?0，f''(x0)不存在（換句話說，拐點可能是二階導數(shù)等于零的點，也可能是二階導數(shù)不存在的點）
20、可導函數(shù)f(x)的極值點必定是駐點，但函數(shù)的駐點不一定是極值點。
21、中值定理：
(1)羅爾定理：f(x)在[a,b]上連續(xù)，(a,b)內可導，則至少存在一點?，使得f'(?)?0
(2)拉格朗日中值定理：f(x)在[a,b]上連續(xù)，(a,b)內可導，則至少存在一點?，使得f(b)?f(a)?(b?a)f'(?)
(3)積分中值定理：f(x)在區(qū)間[a,b]上可積，至少存在一點?，使得b?f(x)dx?(b?a)f(?)
a22、常用的等價無窮小代換：
x~sinx~arcsinx~arctanx~tanx~ex?1~2(1?x?1)~ln(1?x)1?cosx~12x2111tanx?sinx~x3,x?sinx~x3,tanx?x~x3263
23、對數(shù)求導法：例如，y?xx，解：lny?xlnx?1y'?lnx?1?y'?xx?lnx?1? y24、洛必達法則：適用于“
0?”型，“”型，“0??”型等。當0?x?x0,f(x)?0/?,g(x)?0/?，f'(x),g'(x)皆存在，且g'(x)?0，則limf(x)f'(x)?limg(x)x?x0g'(x)
例
如，x?x0ex?sinx?10ex?cosx0ex?sx1ilimlimlim? x?0x20x?02x0x?02225、無窮大：高階+低階=高階
例如，26、不定積分的求法
(1)公式法
(2)第一類換元法（湊微分法）
23?x?1??2x?3?lim?nx???2x5x2?2x?lim?4 5x???2x3(3)第二類換元法：哪里復雜換哪里，常用的換元：1)三角換元：a2?x2，可令x?asint；x2?a2，可令x?atant；x2?a2，可令x?asect
2)當有理分式函數(shù)中分母的階較高時，常采用倒代換x?
27、分部積分法：?udv?uv??vdu，選取u的規(guī)則“反對冪指三”，剩下的作v。分部積分出現(xiàn)循環(huán)形式的情況，例如：?excosxdx,?sec3xdx
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第五篇：分段函數(shù)（范文模版）
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主題一 函數(shù)
分段函數(shù)專篇
在新課標中，對分段函數(shù)的要求有了進一步的提高，在近幾年的高考試題中，考察分段函數(shù)的題目頻頻出現(xiàn)，分段函數(shù)已經(jīng)成為高考的必考內容。
一.分段函數(shù)的定義
在函數(shù)的定義域內，對于自變量x的不同取值區(qū)間，有著不同的對應法則，這樣的函數(shù)通常叫做分段函數(shù)。
例：1.已知函數(shù)y?f(x)的定義域為區(qū)間?0,2?，當x??0,1?時，對應法則為y?x，當x??1,2]時，對應法則為y?2?x，試用解析式法與圖像法分別表示這個函數(shù)。
2.寫出下列函數(shù)的解析表達式，并作出函數(shù)的圖像：
（1）設函數(shù)y?f(x)，當x?0時，f(x)?0；當x?0時，f(x)?
2（2）設函數(shù)y?f(x)，當x??1時，f(x)?x?1；當?1?x?1時，f(x)?0；當x?1時，f(x)?x?
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三、分段函數(shù)的應用
例：1.在某地投寄外埠平信，每封信不超過20g付郵資80分，超過20g不超過40g付郵資160分，超過40g不超過60g付郵資240分，依此類推，每封xg?0?x?100?的信應付多少分郵資（單位：分）？寫出函數(shù)的表達式，作出函數(shù)的圖像，并求出函數(shù)的值域。
2.某市的空調公共汽車的票價制定的規(guī)則是：
（1）乘坐5km以內，票價2元；
（2）乘坐5km以上，每增加5km，票價增加1元（不足5km的按5km計算）。
已知兩個相鄰的公共汽車站之間相距約1km，如果在某條路線上（包括起點站和終點站）設21個汽車站，請根據(jù)題意寫出這條路線的票價與里程之間的函數(shù)解析式，并作出函數(shù)的圖像。
3.如圖所示，在邊長為4的正方形ABCD上有一點P，沿著折線BCDA由B點（起點）向A點（終點）移動，設P點移動的路程為x，?ABP的面積為y?f(x)。（1）求y與x的函數(shù)關系式 D
C（2）作出函數(shù)的圖像
5）y??5?x3）y?x?1
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2.把下列函數(shù)分區(qū)間表達，并作出函數(shù)的圖像
（1）y?x?1?x?（2）y?2x?1?3x
??x,?1?x?0(3)f(x)???x2,0?x?1
??x,1?x?2
五、分段函數(shù)題型分類解析
1、求分段函數(shù)的函數(shù)值
?2,x??2例1：已知函數(shù)
f(x)???0,?2?x?2 ???2,x?2f(?3),f(2),f(?1),f(1),f(100)。）RD輔導
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例2：設???x???，求函數(shù)y?2x?1?3x的最大值。
例3：解不等式2x?1?x?2。
4、解與分段函數(shù)有關的方程或不等式
例1：已知f(x)???x?1,x?0?，則不等式x?(x?1)f(x?1)?1的解集是（?x?1,x?0A、{x|?1?x?2?1}
B、{x|x?1}
C、{x|x?2?1}
D、{x|?2?1?x?2?1}
例2：設函數(shù)f(x)???21?x,x?11?log，則滿足f(x)?2的x的取值范圍是（?2x,x?1A、[?1,2]
B、[0,2]
C、[1,??)
D、[0,??)））RD輔導
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