第八章

重積分

作業(yè)9

二重積分的概念與性質(zhì)

1．利用二重積分的性質(zhì),比較下列積分的大?。?/p>

（1）與

(a)D是由直線及所圍成的閉區(qū)域；

(b)

D是由圓周所圍成的閉區(qū)域．

解：(a)因為在區(qū)域內(nèi)部有，從而大

(b)因為在區(qū)域內(nèi)部有，從而大

（2）與

(a)D是矩形閉區(qū)域：；

(b)

D是矩形閉區(qū)域：．

解：(a)因為在區(qū)域內(nèi)部有，從而大

(b)因為在區(qū)域內(nèi)部有，從而大

（3）與，其中是由三個坐標面與平面所圍成的閉區(qū)域．

解：因為在區(qū)域內(nèi)部有，從而，因此大

2．利用積分的性質(zhì)，估計下列各積分的值：

（1），其中D是矩形閉區(qū)域：；

解：因為在區(qū)域內(nèi)部有，因此

（2），其中為球體；

解：因為在區(qū)域內(nèi)部有，因此

（3），其中L為圓周位于第一象限的部分；

解：因為在曲線上積分，不妨設(shè)，因此

（4），其中為柱面被平面所截下的部分．

解：因為在曲面上積分，從而，因此

作業(yè)10

二重積分的計算

1．試將二重積分化為兩種不同的二次積分，其中區(qū)域D分別為：

（1）由直線及雙曲線所圍成的閉區(qū)域；

解：作圖得知區(qū)域D可以表示為：，得

區(qū)域D也可以分塊表示為：

從而

（2）環(huán)形閉區(qū)域：．

解：在極坐標下環(huán)形閉區(qū)域為

從而

在直角坐標下環(huán)形閉區(qū)域需分塊表達，分塊積分變?yōu)?/p>

2．改換下列二次積分的積分次序（填空）：

（1）；

（2）；

（3）．

3．畫出積分區(qū)域，并計算下列二重積分：

（1），其中D是由兩條拋物線所圍成的閉區(qū)域；

解：作圖，原式=

（2），其中D是由所確定的閉區(qū)域；

解：作圖，原式=

（3），其中D是由不等式所圍成的閉區(qū)域；

解：作圖，原式=

（4），其中D是頂點分別為的三角形閉區(qū)域．

解：作圖，原式=

4．求由曲線所圍成的閉區(qū)域的面積．

解：曲線方程聯(lián)立，得

作圖知，原式=

5．求由四個平面所圍柱體被平面及

所截得的立體的體積．

解：四個平面決定的區(qū)域D為：

在區(qū)域D內(nèi)部

從而所截得的立體的體積

6．化下列二次積分為極坐標系下的二次積分：

（1）

（2）；

7．利用極坐標計算下列積分：

（1），其中D是由圓周所圍成的閉區(qū)域；

解：D是圓周，即

從而

（2），其中是由圓所圍成的閉區(qū)域；

解：D是圓周圍成，知其為

從而原式=

（3），D是與所確定的閉區(qū)域；

解：D是圓環(huán)的關(guān)于原點對稱的兩部分，與

從而原式=

（由對稱性更簡單：因為，對稱點的積分微元反號）

（4），其中D是介于兩圓和之間的閉區(qū)域．

解：D介于兩圓之間，可知

從而原式=

8．用適當?shù)淖鴺擞嬎阆铝蟹e分：

（1），其中是由直線，，（）所圍成的閉區(qū)域；

解：作圖知由直角坐標表達方便，（2），其中是由圓周所圍成的閉區(qū)域；

解：由表達式由極坐標表達方便，原式=

（3），D：；

解：先作坐標軸平移，再用極坐標

原式=

（4），D：．

解：用廣義極坐標

原式=

作業(yè)11

三重積分的概念與計算

1．試將三重積分化為三次積分，其中積分區(qū)域分別為：

（1）由雙曲拋物面及平面所圍的閉區(qū)域；

（2）由曲面及所圍的閉區(qū)域

．

2．計算下列三重積分：

（1），其中為平面，所圍成的四面體；

解：分析邊界作圖知為，原式=

（2），其中是由曲面與平面所圍的閉區(qū)域；

解：分析邊界作圖知為，原式=

（3），其中是由平面及拋物柱面所圍的閉區(qū)域．

解：分析邊界作圖知為，原式=

3．利用柱面坐標計算下列三重積分：

（1），其中是曲面和平面所圍成的閉區(qū)域；

解：原式

（2），其中是曲面及所圍成的閉區(qū)域；

解：原式

（3），其中是曲面和平面所圍成的閉區(qū)域；

解：原式

（4），其中是曲面和平面所圍成的閉區(qū)域．

解：先作坐標軸平移，再用柱坐標

原式

=

4．利用球面坐標計算下列三重積分：

（1），其中是球面所圍成的閉區(qū)域；

解：

原式

（2），其中是由不等式（），所確定的閉區(qū)域；

解：

原式

（3），其中是不等式，所確定的閉區(qū)域．

解：

原式

5.選取適當?shù)淖鴺擞嬎阆铝腥胤e分：

（1），其中是柱面及平面，所圍成的在第一卦限內(nèi)的閉區(qū)域；

解：用柱坐標

原式=

（2），其中是球面所圍的閉區(qū)域；

解：用球坐標

原式

（3），其中是由曲面及平面所圍的閉區(qū)域；

解：用柱坐標

原式=

（4），其中是球面所圍的在第一卦限內(nèi)的閉區(qū)域；

解：用球坐標

原式

（5），其中是橢球面所圍成的閉區(qū)域．

解：用廣義球坐標

原式

作業(yè)12

重積分的應(yīng)用

1．球心在原點，半徑為的球體，在其上任意一點的體密度與該點到球心的距離成正比，求這球體的質(zhì)量．

解：設(shè)球面的方程為，球的密度為

則球體的質(zhì)量為

2．求球體的質(zhì)心，這里假設(shè)球體內(nèi)各點處的密度等于該點到坐標原點的距離的平方．

解：由對稱性，質(zhì)心應(yīng)該在z軸上，可設(shè)為，3．設(shè)均勻平面薄片為橢圓形閉區(qū)域：，求轉(zhuǎn)動慣量．

解：用廣義極坐標

4．設(shè)半徑為的球體內(nèi)每一點密度的大小與該點到球心的距離成正比，求質(zhì)量為非均勻球體對其直徑的轉(zhuǎn)動慣量．

解：設(shè)球面的方程為，球的密度為

則球體對其直徑的轉(zhuǎn)動慣量為

5．求面密度為常數(shù)的均勻圓環(huán)形薄片：對位于軸上的點處的單位質(zhì)量的質(zhì)點的引力．

解：設(shè)環(huán)域上點處的單位面積產(chǎn)生的引力微元為，由對稱性

6．一均勻物體（密度為常量）占有的閉區(qū)域由曲面和平面，所圍成，（1）求物體的體積；（2）求物體的質(zhì)心；（3）求物體關(guān)于z軸的轉(zhuǎn)動慣量．

解：

由對稱性，質(zhì)心應(yīng)該在z軸上，可設(shè)為，第八章《重積分》測試題

1．選擇以下各題中給出的四個結(jié)論中一個正確的結(jié)論：

（1）設(shè)有空間閉區(qū)域，則有（D）

（A）；

（B）；

（C）；

（D）．

（2）設(shè)平面閉區(qū)域，則（A）

（A）；

（B）；

（C）；

（D）．

（3）設(shè)是有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)，則當時，得極限為（B）.A.不存在；

B.等于

C.等于

D.等于．

2．選擇適當?shù)淖鴺讼涤嬎阆铝卸胤e分：

（1），是由直線所圍成的區(qū)域；

解：作圖，分塊積分。

原式

（2），其中D是由和所圍成；

解：作圖，分塊積分。

原式

（3），其中；

原式=

（4），其中D是由和所圍成的平面區(qū)域，且；

解：作圖知沒有用上

原式

（5），D：；

解：作圖知，分塊積分區(qū)別處理較方便

原式

3．交換下列二次積分的次序：

（1）；

（2）；

（3）．

4．將變?yōu)闃O坐標形式的二次積分，其中D由不等式和所規(guī)定．

解：由，從而

5．計算，其中D是矩形域：．

解：作圖，需要分塊積分

原式

6．計算，其中由所圍．

解：作圖或分析推理，得：

原式

7．將三次積分變?yōu)橹鴺思扒蜃鴺说男问剑?/p>

解：由上下限知

從而由坐標轉(zhuǎn)化公式可推出區(qū)域表達式，因此得出

在柱坐標下

在球坐標下

8．計算，其中:．

解：由知:

從而，原式

9．計算下列三重積分：

（1），是由球面所圍成的閉區(qū)域．

解：由于當時就有，而積分微元在對稱點剛好反號，從而

（2），其中是由xOy平面上曲線繞軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面與平面所圍成的閉區(qū)域．

解：曲線繞軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面為，與平面的交線為，所圍成的閉區(qū)域為

10．求平面被三坐標面所割出的有限部分的面積．

解：平面為

11．設(shè)在上連續(xù)，試證：，其中為正整數(shù)．

證：左邊

=右邊

12．求曲面上點處的切平面與曲面所圍成的空間立體的體積．

解：切平面的法向量為

從而切平面為

切平面與曲面的交線為投影柱面交切平面，13．一平面薄片所占的閉區(qū)域由不等式：所確定，其上每一點的面密度為，試求該薄片的質(zhì)量．

解：，用極坐標做方便些

求交點，14．求由拋物線及直線所圍成的均勻薄片（面密度為常數(shù)）對于直線的轉(zhuǎn)動慣量．

解：

15．設(shè)在面上有一質(zhì)量為M的勻質(zhì)半圓形薄片，占有平面閉區(qū)域，過圓心垂直于薄片的直線上有一質(zhì)量為的質(zhì)點，求半圓形薄片質(zhì)點的引力．

解：，由對稱性，