第九章

曲線積分與曲面積分

作業(yè)13

對(duì)弧長的曲線積分

1．計(jì)算，其中為直線及拋物線所圍成的區(qū)域的整個(gè)邊界．

解：可以分解為及

2．，其中為星形線在第一象限內(nèi)的弧．

解：為

原式

3．計(jì)算，其中折線ABC，這里A，B，C依次為點(diǎn)．

解：

4．，其中為螺線上相應(yīng)于從變到的一段弧．

解：為

5．計(jì)算，其中L：．

解：將L參數(shù)化，6．計(jì)算，其中L為圓周，直線及軸在第一象限內(nèi)所圍成的扇形的整個(gè)邊界．

解：邊界曲線需要分段表達(dá)，從而需要分段積分

從而

作業(yè)14

對(duì)坐標(biāo)的曲線積分

1．計(jì)算下列第二型曲線積分：

(1)，其中為按逆時(shí)針方向繞橢圓一周；

解：為

原式

(2)，其中是從點(diǎn)到點(diǎn)的一段直線；

解：是

原式

(3)，其中是圓柱螺線從到的一段?。?/p>

解：是

原式

(4)

計(jì)算曲線積分,其中為由點(diǎn)A

(-1,1)沿拋物線到點(diǎn)O

(0,0),再沿x軸到點(diǎn)B

(2,0)的弧段．

解：由于積分曲線是分段表達(dá)的，需要分段積分；

原式

2．設(shè)力的大小等于作用點(diǎn)的橫坐標(biāo)的平方，而方向依軸的負(fù)方向，求質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)沿拋物線從點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，力所作的功．

解：

3．把對(duì)坐標(biāo)的曲線積分化成對(duì)弧長的曲線積分，其中

為：

(1)

在平面內(nèi)沿直線從點(diǎn)到點(diǎn)；

(2)

沿拋物線從點(diǎn)到點(diǎn)．

解：（1）

（2）

作業(yè)15

格林公式及其應(yīng)用

1．填空題

(1)

設(shè)是三頂點(diǎn)(0,0),(3,0),(3,2)的三角形正向邊界,12

．

(2)

設(shè)曲線是以為頂點(diǎn)的正方形邊界，不能直接用格林公式的理由是_所圍區(qū)域內(nèi)部有不可道的點(diǎn)_．

（3）相應(yīng)于曲線積分的第一型的曲線積分是．

其中為從點(diǎn)(1,1,1)到點(diǎn)(1,2,3)的直線段．

2．計(jì)算,其中L是沿半圓周從點(diǎn)到點(diǎn)的?。?/p>

解：L加上構(gòu)成區(qū)域邊界的負(fù)向

3．計(jì)算,其中為橢圓

正向一周．

解：原式

4．計(jì)算曲線積分

其中為連續(xù)函數(shù)，是沿圓周按逆時(shí)針方向由點(diǎn)到點(diǎn)的一段弧．

解：令

則，原式

5．計(jì)算,其中為

（1）圓周（按反時(shí)針方向）；

解：，而且原點(diǎn)不在該圓域內(nèi)部，從而由格林公式，原式

（2）閉曲線（按反時(shí)針方向）．

解：，但所圍區(qū)域內(nèi)部的原點(diǎn)且僅有該點(diǎn)不滿足格林公式條件，從而可作一很小的圓周（也按反時(shí)針方向），在圓環(huán)域上用格林公式得，原式

6．證明下列曲線積分在平面內(nèi)與路徑無關(guān),并計(jì)算積分值：

（1）；

解：由于在全平面連續(xù)，從而該曲線積分在平面內(nèi)與路徑無關(guān)，沿折線積分即可，原式

（2）；

解：由于在全平面連續(xù)，從而該曲線積分在平面內(nèi)與路徑無關(guān)，沿直線積分也可，原式

（3）．

解：由于在全平面連續(xù)，從而該曲線積分在平面內(nèi)與路徑無關(guān)，沿折線積分即可，原式

7．設(shè)在上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，計(jì)算，其中L為從點(diǎn)到點(diǎn)的直線段．

解：由于在右半平面連續(xù)，從而該曲線積分右半平面內(nèi)與路徑無關(guān)，沿曲線積分即可，原式

8．驗(yàn)證下列在整個(gè)平面內(nèi)是某一函數(shù)的全微分,并求出它的一個(gè)原函數(shù)：

（1）；

解：由于在全平面連續(xù)，從而該曲線積分在平面內(nèi)是某一函數(shù)的全微分，設(shè)這個(gè)函數(shù)為，則

從而，（2）；

解：由于在全平面連續(xù)，從而該曲線積分在平面內(nèi)是某一函數(shù)的全微分，設(shè)這個(gè)函數(shù)為，則原式

可取

（3）

解：可取折線作曲線積分

9．設(shè)有一變力在坐標(biāo)軸上的投影為,這變力確定了一個(gè)力場,證明質(zhì)點(diǎn)在此場內(nèi)移動(dòng)時(shí),場力所作的功與路徑無關(guān)．

證：，質(zhì)點(diǎn)在此場內(nèi)任意曲線移動(dòng)時(shí)，場力所作的功為

由于在全平面連續(xù)，從而質(zhì)點(diǎn)在此場內(nèi)移動(dòng)時(shí)，場力所作的功與路徑無關(guān)．

作業(yè)16

對(duì)面積的曲面積分

1．計(jì)算下列對(duì)面積的曲面積分：

(1),其中為錐面被柱面所截得的有限部分；

解：為，原式

（2）,其中為球面．

解：為兩塊，原式

2．計(jì)算，是平面被圓柱面截出的有限部分．

解：為兩塊，原式

（或由，而積分微元反號(hào)推出）

3．求球面含在圓柱面內(nèi)部的那部分面積．

解：為兩塊，原式

4．設(shè)圓錐面,其質(zhì)量均勻分布,求它的重心位置．

解：設(shè)密度為單位1，由對(duì)稱性可設(shè)重點(diǎn)坐標(biāo)為，故重點(diǎn)坐標(biāo)為

5．求拋物面殼的質(zhì)量，此殼的密度按規(guī)律而變更．

解：

作業(yè)17

對(duì)坐標(biāo)的曲面積分

1．，其中是柱面被平面及所截得的在第一卦限內(nèi)的部分前側(cè)．

解：

原式=

2．計(jì)算曲面積分，其中為旋轉(zhuǎn)拋物面下側(cè)介于平面及之間的部分．

解：

原式=

3．計(jì)算

其中是平面所圍成的空間區(qū)域的整個(gè)邊界曲面的外側(cè)．

解：分片積分。

原式=（由輪換對(duì)稱性）

4．把對(duì)坐標(biāo)的曲面積分

化為對(duì)面積的曲面積分：

（1）是平面在第一卦限的部分的上側(cè)；

（2）是拋物面在面上方的部分的上側(cè)．

解：（1）

原式=

（2）

原式=

5．計(jì)算曲面積分,其中為旋轉(zhuǎn)拋物面下側(cè)介于平面z=0及z=2之間的部分．

解：

原式=（兩類曲面積分的互化）

（第二類曲面積分投影法計(jì)算）

（用了重積分的對(duì)稱性）

．已知速度場，求流體在單位時(shí)間內(nèi)通過上半錐面與平面所圍成錐體表面向外流出的流量．

解：

同樣。

作業(yè)18

高斯公式和斯托克斯公式

1．利用高斯公式計(jì)算曲面積分：

(1)，其中是平面，及所圍成的立體的表面外側(cè)；

解：原式

（2），其中為柱面及平面，所圍成的立體的表面外側(cè)；

解：原式

(3)

計(jì)算,其中，是由曲面繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面,它的法向量與y軸正向的夾角恒大于．

解：加上右側(cè)，構(gòu)成封閉區(qū)域的外側(cè)。

原式

2．設(shè)函數(shù)有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，利用高斯公式計(jì)算曲面積分，式中是下半球面的上側(cè)．

解：加上下側(cè)，構(gòu)成封閉區(qū)域的內(nèi)側(cè)。

原式

3．利用斯托克斯公式計(jì)算曲面積分：

（1）

式中是圓周，從軸正向看去,取逆時(shí)針方向．

解：原式

（2），其中為圓周，從軸的正向看去，取逆時(shí)針方向．．

解：原式

作業(yè)19

場論初步

1．求下列向量場通過曲面指定一側(cè)的通量：

（1），為由平面與，所圍成立體的表面，流向外側(cè)；

解：

（2），為以點(diǎn)(3,-1,2)為球心，半徑的球面，流向外側(cè)．

解：

2．求向量場沿閉曲線的環(huán)流量(從z軸正向看

依逆時(shí)針的方向),其中為圓周．

解：

3．求向量場在點(diǎn)M

(1,-1,2)處的散度和旋度．

解：

4．證明向量場為平面調(diào)和場，并求勢(shì)函數(shù)．

解：由于

因此是無源場且為無旋場從而為調(diào)和場

由為勢(shì)函數(shù)

5．驗(yàn)證下列向量場為保守場，并求其勢(shì)函數(shù)：

（1）；

解：由于

因此為無旋場從而為有勢(shì)場

由

為勢(shì)函數(shù)

（2）

解：由于

因此為無旋場從而為有勢(shì)場

由

為勢(shì)函數(shù)

6．設(shè)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，計(jì)算

解：由于

從而

由于具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，從而

第九章《曲線積分與曲面積分》測(cè)試題

1．填空題

（1）對(duì)坐標(biāo)的曲線積分化成第一類曲線積分是，其中為有向曲線弧在點(diǎn)處的切向量的方向角；

（2）設(shè)為取正向的圓周則曲線積分；

（3）設(shè)曲線積分.與積分路徑無關(guān)，其中

一階連續(xù)可導(dǎo)，且，則；

（4）=_0_，其中為單位球面的外側(cè)；

（5）設(shè)，則

0，．

2．計(jì)算下列曲線積分：

（1）計(jì)算，其中為球面與平面的相交部分．

解：由輪換對(duì)稱性

（2），其中是，．

解：用球坐標(biāo)表達(dá)是

原式

（3）其中為橢圓由點(diǎn)經(jīng)點(diǎn)到點(diǎn)的弧段；

解：參數(shù)表達(dá)是

原式

（4），其中是與的交線，其方向與軸正向成右手系；

解：參數(shù)表達(dá)是

原式

（5），其中為上半圓周，沿逆時(shí)針方向；

解：加上形成半圓區(qū)域的正向邊界

原式

（6），其中是以點(diǎn)為定點(diǎn)，，的正方形的整個(gè)邊界（取正向）．

解：正向

原式

3．計(jì)算下列曲面積分：

（1）,為錐面介于之間的部分．

解：原式

（2）計(jì)算．

解：為兩片

令

原式

（3）其中錯(cuò)誤！不能通過編輯域代碼創(chuàng)建對(duì)象。是上半球面的上側(cè)；

解：為

原式

（4），其中為錐面的外側(cè)；

解：加上上側(cè)，構(gòu)成封閉區(qū)域的外側(cè)。

原式

（5），其中是圓周，若正對(duì)著軸正向看去，取逆時(shí)針方向；

解：由STOCHS公式，原式

（6），其中是曲線繞軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面的上側(cè)．

解：加上下側(cè)，構(gòu)成封閉區(qū)域的內(nèi)側(cè)。

原式

4．設(shè)曲線積分與路徑無關(guān)，其中，且

求．

解：曲線積分與路徑無關(guān)，連續(xù)可導(dǎo)

從而，又

故

5．設(shè)具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且使表達(dá)式是某函數(shù)的全微分，求，并求一個(gè)．

解：由已知，是某函數(shù)的全微分，從而，又

故

6．證明在右半平面內(nèi)，力所做的功與所走的路徑無關(guān)，并計(jì)算由點(diǎn)到所做的功．

解：

8．證明：在整個(gè)平面除去的負(fù)半軸及原點(diǎn)的區(qū)域內(nèi)是某個(gè)二元函數(shù)的全微分，并求出一個(gè)這樣的二元函數(shù)．

解：由于且偏導(dǎo)數(shù)在整個(gè)平面除去的負(fù)半軸及原點(diǎn)的區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的，從而在整個(gè)平面除去的負(fù)半軸及原點(diǎn)的區(qū)域內(nèi)是某個(gè)二元函數(shù)的全微分，函數(shù)如

9．求向量通過的邊界曲面流向外側(cè)的通量．

解：

11．求向量場在點(diǎn)處的散度．

解：