《高等數(shù)學》（下冊）測試題一

一、選擇題（每小題3分，本大題共15分）（在括號中填上所選字母）

1．設有直線

及平面，則直線（A）

A．平行于平面；

B．在平面上；

C．垂直于平面；

D．與平面斜交.2．二元函數(shù)在點處（C）

A．連續(xù)、偏導數(shù)存在；

B．連續(xù)、偏導數(shù)不存在；

C．不連續(xù)、偏導數(shù)存在；

D．不連續(xù)、偏導數(shù)不存在.3．設為連續(xù)函數(shù)，則＝（B）

A．；

B．；

C．

D．.4．設是平面由，所確定的三角形區(qū)域，則曲面積分

＝（D）

A．7；

B．；

C．；

D．.5．微分方程的一個特解應具有形式（B）

A．；

B．；

C．；

D．.二、填空題（每小題3分，本大題共15分）

1．設一平面經過原點及點，且與平面垂直，則此平面方程為；

2．設，則＝；

3．設為正向一周，則

0；

4．設圓柱面，與曲面在點相交，且它們的交角為，則正數(shù)；

5．設一階線性非齊次微分方程有兩個線性無關的解，若也是該方程的解，則應有

.三、（本題7分）設由方程組確定了，是，的函數(shù)，求及與.解：方程兩邊取全微分，則

解出

從而

四、（本題7分）已知點及點，求函數(shù)在點處沿方向的方向導數(shù).解：，從而

五、（本題8分）計算累次積分）.解：依據(jù)上下限知，即分區(qū)域為

作圖可知，該區(qū)域也可以表示為

從而

六、（本題8分）計算，其中是由柱面及平面圍成的區(qū)域.解：先二后一比較方便，七．（本題8分）計算，其中是拋物面被平面所截下的有限部分.解：由對稱性

從而

八、（本題8分）計算，是點到點在上半平面上的任意逐段光滑曲線.解：在上半平面上

且連續(xù)，從而在上半平面上該曲線積分與路徑無關，取

九、（本題8分）計算，其中為半球面上側.解：補取下側，則構成封閉曲面的外側

十、（本題8分）設二階連續(xù)可導函數(shù)，適合，求．

解：

由已知

即

十一、（本題4分）求方程的通解.解：解：對應齊次方程特征方程為

非齊次項，與標準式

比較得,對比特征根，推得，從而特解形式可設為

代入方程得

十二、（本題4分）在球面的第一卦限上求一點，使以為一個頂點、各面平行于坐標面的球內接長方體的表面積最小.解：設點的坐標為，則問題即在求最小值。

令，則由

推出，的坐標為

附加題：（供學習無窮級數(shù)的學生作為測試）

1．判別級數(shù)是否收斂？如果是收斂的，是絕對收斂還是條件收斂？

解：由于，該級數(shù)不會絕對收斂，顯然該級數(shù)為交錯級數(shù)且一般項的單調減少趨于零，從而該級數(shù)條件收斂

2．求冪級數(shù)的收斂區(qū)間及和函數(shù).解：

從而收斂區(qū)間為，3．將展成以為周期的傅立葉級數(shù).解：已知該函數(shù)為奇函數(shù)，周期延拓后可展開為正弦級數(shù)。

《高等數(shù)學》（下冊）測試題二

一、選擇題（每小題3分，本大題共15分）（在括號中填上所選字母）

1．設，且可導，則為（D）

A．；；

B．；

C．；

D．．

2．從點到一個平面引垂線，垂足為點，則這個平面的方

程是（B）

A．；

B．；

C．；

D．．

3．微分方程的通解是（D）

A．；

B．；

C．；

D．．

4．設平面曲線為下半圓周，則曲線積分等于（A）

A．；

B．；

C．；

D．．

5．累次積分＝（A）

A．；

B．；

C．；

D．．

二．填空題（每小題5分，本大題共15分）

1．曲面在點處的切平面方程是；.2．微分方程的待定特解形式是；

3．設是球面的外測，則曲面積分

＝．

三、一條直線在平面：上，且與另兩條直線L1：及L2：（即L2：）都相交，求該直線方程．（本題7分）

解：先求兩已知直線與平面的交點，由

由

由兩點式方程得該直線：

四、求函數(shù)在點處的梯度及沿梯度方向上函數(shù)的方向導數(shù)．（本題7分）

解：

沿梯度方向上函數(shù)的方向導數(shù)

五、做一個容積為1立方米的有蓋圓柱形桶，問尺寸應如何，才能使用料最省？（本題8分）

解：設底圓半徑為，高為，則由題意，要求的是在條件下的最小值。

由實際問題知，底圓半徑和高分別為才能使用料最省

六、設積分域D為所圍成，試計算二重積分．（本題8分）

解：觀察得知該用極坐標，七、計算三重積分，式中為由所確定的固定的圓臺體．（本題8分）

解：解：觀察得知該用先二后一的方法

八、設在上有連續(xù)的一階導數(shù)，求曲線積分，其中曲線L是從點到點的直線段．（本題8分）

解：在上半平面上

且連續(xù)，從而在上半平面上該曲線積分與路徑無關，取折線

九、計算曲面積分，其中，為上半球面：．（本題8分）

解：由于，故

為上半球面，則

原式

十、求微分方程的解．（本題8分）

解：

由，得

十一、試證在點處不連續(xù)，但存在有一階偏導數(shù)．（本題4分）

解：沿著直線，依賴而變化，從而二重極限不存在，函數(shù)在點處不連續(xù)。

而

十二、設二階常系數(shù)線性微分方程的一個特解為，試確定常數(shù)，并求該方程的通解．（本題4分）

解：由解的結構定理可知，該微分方程對應齊次方程的特征根應為，否則不能有這樣的特解。從而特征方程為

因此

為非齊次方程的另一個特解，故，通解為

附加題：（供學習無窮級數(shù)的學生作為測試）

1．求無窮級數(shù)的收斂域及在收斂域上的和函數(shù)．

解：

由于在時發(fā)散，在時條件收斂，故收斂域為

看，則

從而

2．求函數(shù)在處的冪級數(shù)展開式．

解：

3．將函數(shù)展開成傅立葉級數(shù)，并指明展開式成立的范圍．

解：作周期延拓，從而

《高等數(shù)學》（下冊）測試題三

一、填空題

1．若函數(shù)在點處取得極值，則常數(shù)．

2．設，則．

3．設S是立方體的邊界外側，則曲面積分

．

4．設冪級數(shù)的收斂半徑為，則冪級數(shù)的收斂區(qū)間為．

5．微分方程用待定系數(shù)法確定的特解（系數(shù)值不求）的形式為．

二、選擇題

1．函數(shù)在點處（D）．

（A）無定義；

（B）無極限；

（C）有極限但不連續(xù)；

（D）連續(xù)．

2．設，則（B）．

（A）；

（B）；

（C）；

（D）．

3．兩個圓柱體，公共部分的體積為（B）．

（A）；

（B）；

（C）；

（D）．

4．若，則數(shù)列有界是級數(shù)收斂的（A）．

（A）充分必要條件；

（B）充分條件，但非必要條件；

（C）必要條件，但非充分條件；

（D）既非充分條件，又非必要條件．

5．函數(shù)（為任意常數(shù)）是微分方程的（C）．

（A）通解；

（B）特解；

（C）是解，但既非通解也非特解；

（D）不是解．

三、求曲面上點處的切平面和法線方程．

解：

切平面為

法線為

四、求通過直線的兩個互相垂直的平面，其中一個平面平行于直線．

解：設過直線的平面束為

即

第一個平面平行于直線，即有

從而第一個平面為

第二個平面要與第一個平面垂直，也即

從而第二個平面為

五、求微分方程的解，使得該解所表示的曲線在點處與直線相切．

解：直線為，從而有定解條件，特征方程為

方程通解為，由定解的初值條件，由定解的初值條件

從而，特解為

六、設函數(shù)有二階連續(xù)導數(shù)，而函數(shù)滿足方程

試求出函數(shù)．

解：因為

特征方程為

七、計算曲面積分，其中是球體與錐體的公共部分的表面，，是其外法線方向的方向余弦．

解：兩表面的交線為

原式，投影域為，用柱坐標

原式

另解：用球坐標

原式

八、試將函數(shù)展成的冪級數(shù)（要求寫出該冪級數(shù)的一般項并指出其收斂區(qū)間）．

解：

九、判斷級數(shù)的斂散性．

解：

當，級數(shù)收斂；當，級數(shù)發(fā)散；

當時級數(shù)收斂；當時級數(shù)發(fā)散

十、計算曲線積分，其中為在第一象限內逆時針方向的半圓?。?/p>

解：再取，圍成半圓的正向邊界

則

原式

十一、求曲面：到平面：的最短距離．

解：問題即求在約束下的最小值

可先求在約束下的最小值點

取

時，這也說明了是不可能的，因為平面與曲面最小距離為。