18.1.2

平行四邊形的判定（二）

A組基礎(chǔ)訓(xùn)練

1．如圖，為測(cè)量池塘邊A、B兩點(diǎn)的距離，小明在池塘的一側(cè)選取一點(diǎn)O，測(cè)得OA、OB的中點(diǎn)分別是點(diǎn)D、E，且DE＝14米，則A、B間的距離是（）

A．18米

B．24米

C．28米

D．30米

2．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，∠A＝50°，∠ADE＝60°，則∠C的度數(shù)為（）

A．50°

B．60°

C．70°

D．80°

3．如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P是對(duì)角線(xiàn)BD的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，AD＝BC，∠PEF＝30°，則∠PFE的度數(shù)是（）

A．15°

B．20°

C．25°

D．30°

4．如圖，D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分別是AB、AC、CD、BD的中點(diǎn)，則四邊形EFGH的周長(zhǎng)是（）

A．7

B．9

C．10

D．11

5．如圖所示，DE是△ABC的中位線(xiàn)，若BC＝8，則DE＝

．

6．如圖，點(diǎn)D、E、F分別是△ABC各邊的中點(diǎn)，連接DE、EF、DF．若△ABC的周長(zhǎng)為10，則△DEF的周長(zhǎng)為

．

7．如圖，?ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC、BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，△BCD的周長(zhǎng)為18，則△DEO的周長(zhǎng)是

．

8．如圖，在△ABC中，BC＝1，點(diǎn)P1，M1分別是AB，AC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P2，M2分別是AP1，AM1的中點(diǎn)，點(diǎn)P3，M3分別是AP2，AM2的中點(diǎn)，按這樣的規(guī)律下去，PnMn的長(zhǎng)為

（n為正整數(shù)）．

9．如圖，D，E，F(xiàn)分別是BC，AC，AB的中點(diǎn)．

（1）若DE＝10cm，則AB＝

．

（2）求證：AD與EF互相平分．

10．我們把依次連接任意一個(gè)四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形叫做中點(diǎn)四邊形．

如圖，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，依次連接各邊中點(diǎn)得到的中點(diǎn)四邊形EFGH．

（1）這個(gè)中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀是；

（2）請(qǐng)證明你的結(jié)論．

B組自主提高

11．如圖所示，已知△ABC的周長(zhǎng)為1，連接△ABC三邊的中點(diǎn)構(gòu)成第二個(gè)三角形，再連接第二個(gè)三角形三邊中點(diǎn)構(gòu)成第三個(gè)三角形，依此類(lèi)推，第2021個(gè)三角形的周長(zhǎng)為（）

A．

B．

C．

D．

12．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，M、N分別是AB、AC的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)D，使CD＝BD，連接DM、DN、MN．若AB＝6，則DN＝

．

13．如圖，四邊形ABCD中，∠A＝90°，AB＝3，AD＝3，點(diǎn)M，N分別為線(xiàn)段BC，AB上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)，但點(diǎn)M不與點(diǎn)B重合），點(diǎn)E，F(xiàn)分別為DM，MN的中點(diǎn)，則EF長(zhǎng)度的最大值為

．

14．如圖，在?ABCD中，AE＝BF，AF，BE相交于點(diǎn)G，CE，DF相交于點(diǎn)H．求證：GH∥BC且GH＝BC．

C組綜合運(yùn)用

15．如圖，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于點(diǎn)E，點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)．

（1）如圖1，BE的延長(zhǎng)線(xiàn)與AC邊相交于點(diǎn)D，求證：EF＝（AC﹣AB）；

（2）如圖2，請(qǐng)直接寫(xiě)出線(xiàn)段AB、AC、EF的數(shù)量關(guān)系．

參考答案與試題解析

A組基礎(chǔ)訓(xùn)練

1．如圖，為測(cè)量池塘邊A、B兩點(diǎn)的距離，小明在池塘的一側(cè)選取一點(diǎn)O，測(cè)得OA、OB的中點(diǎn)分別是點(diǎn)D、E，且DE＝14米，則A、B間的距離是（）

A．18米

B．24米

C．28米

D．30米

【分析】根據(jù)D、E是OA、OB的中點(diǎn)，即DE是△OAB的中位線(xiàn)，根據(jù)三角形的中位線(xiàn)定理：三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊且等于第三邊的一半，即可求解．

【解答】解：∵D、E是OA、OB的中點(diǎn)，即DE是△OAB的中位線(xiàn)，∴DE＝AB，∴AB＝2DE＝2×14＝28米．

故選：C．

2．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，∠A＝50°，∠ADE＝60°，則∠C的度數(shù)為（）

A．50°

B．60°

C．70°

D．80°

【分析】在△ADE中利用內(nèi)角和定理求出∠AED，然后判斷DE∥BC，利用平行線(xiàn)的性質(zhì)可得出∠C．

【解答】解：由題意得，∠AED＝180°﹣∠A﹣∠ADE＝70°，∵點(diǎn)D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，∴DE是△ABC的中位線(xiàn)，∴DE∥BC，∴∠C＝∠AED＝70°．

故選：C．

3．如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P是對(duì)角線(xiàn)BD的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，AD＝BC，∠PEF＝30°，則∠PFE的度數(shù)是（）

A．15°

B．20°

C．25°

D．30°

【分析】根據(jù)中位線(xiàn)定理和已知，易證明△EPF是等腰三角形．

【解答】解：∵在四邊形ABCD中，P是對(duì)角線(xiàn)BD的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，∴FP，PE分別是△CDB與△DAB的中位線(xiàn)，∴PF＝BC，PE＝AD，∵AD＝BC，∴PF＝PE，故△EPF是等腰三角形．

∵∠PEF＝30°，∴∠PEF＝∠PFE＝30°．

故選：D．

4．如圖，D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分別是AB、AC、CD、BD的中點(diǎn)，則四邊形EFGH的周長(zhǎng)是（）

A．7

B．9

C．10

D．11

【分析】根據(jù)勾股定理求出BC的長(zhǎng)，根據(jù)三角形的中位線(xiàn)定理得到HG＝BC＝EF，EH＝FG＝AD，求出EF、HG、EH、FG的長(zhǎng)，代入即可求出四邊形EFGH的周長(zhǎng)．

【解答】解：∵BD⊥DC，BD＝4，CD＝3，由勾股定理得：BC＝＝5，∵E、F、G、H分別是AB、AC、CD、BD的中點(diǎn)，∴HG＝BC＝EF，EH＝FG＝AD，∵AD＝6，∴EF＝HG＝2.5，EH＝GF＝3，∴四邊形EFGH的周長(zhǎng)是EF+FG+HG+EH＝2×（2.5+3）＝11．

故選：D．

5．如圖所示，DE是△ABC的中位線(xiàn)，若BC＝8，則DE＝　4?。?/p>

【分析】易得DE是△ABC的中位線(xiàn)，那么DE應(yīng)等于BC長(zhǎng)的一半．

【解答】解：根據(jù)三角形的中位線(xiàn)定理，得：DE＝BC＝4．

故答案為4．

6．如圖，點(diǎn)D、E、F分別是△ABC各邊的中點(diǎn)，連接DE、EF、DF．若△ABC的周長(zhǎng)為10，則△DEF的周長(zhǎng)為　5?。?/p>

【分析】由于D、E分別是AB、BC的中點(diǎn)，則DE是△ABC的中位線(xiàn)，那么DE＝AC，同理有EF＝AB，DF＝BC，于是易求△DEF的周長(zhǎng)．

【解答】解：如上圖所示，∵D、E分別是AB、BC的中點(diǎn)，∴DE是△ABC的中位線(xiàn)，∴DE＝AC，同理有EF＝AB，DF＝BC，∴△DEF的周長(zhǎng)＝（AC+BC+AB）＝×10＝5．

故答案為5．

7．如圖，?ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC、BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，△BCD的周長(zhǎng)為18，則△DEO的周長(zhǎng)是　9?。?/p>

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出DE＝AD＝BC，DO＝BD，AO＝CO，求出OE＝CD，求出△DEO的周長(zhǎng)是DE+OE+DO＝（BC+DC+BD），代入求出即可．

【解答】解：∵E為AD中點(diǎn)，四邊形ABCD是平行四邊形，∴DE＝AD＝BC，DO＝BD，AO＝CO，∴OE＝CD，∵△BCD的周長(zhǎng)為18，∴BD+DC+BC＝18，∴△DEO的周長(zhǎng)是DE+OE+DO＝（BC+DC+BD）＝×18＝9，故答案為：9．

8．如圖，在△ABC中，BC＝1，點(diǎn)P1，M1分別是AB，AC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P2，M2分別是AP1，AM1的中點(diǎn)，點(diǎn)P3，M3分別是AP2，AM2的中點(diǎn)，按這樣的規(guī)律下去，PnMn的長(zhǎng)為（n為正整數(shù)）．

【分析】根據(jù)中位線(xiàn)的定理得出規(guī)律解答即可．

【解答】解：在△ABC中，BC＝1，點(diǎn)P1，M1分別是AB，AC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P2，M2分別是AP1，AM1的中點(diǎn)，點(diǎn)P3，M3分別是AP2，AM2的中點(diǎn)，可得：P1M1＝，P2M2＝，故PnMn＝，故答案為：

9．如圖，D，E，F(xiàn)分別是BC，AC，AB的中點(diǎn)．

（1）若DE＝10cm，則AB＝　20cm?。?/p>

（2）求證：AD與EF互相平分．

【分析】（1）根據(jù)三角形的中位線(xiàn)定理即可得到結(jié)論；

（2）根據(jù)三角形的中位線(xiàn)定理可以得到DF∥AE，DF＝AE，則四邊形AFDE是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

【解答】解：（1）∵D，E分別是BC，AC的中點(diǎn)，∴DE＝AB，∵DE＝10cm，∴AB＝20（cm），故答案為：20cm；

（2）∵D、E、F分別是BC、AC、AB的中點(diǎn)，∴DF∥AE，DF＝AE＝AC，∴四邊形AFDE是平行四邊形，∴AD與EF互相平分．

10．我們把依次連接任意一個(gè)四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形叫做中點(diǎn)四邊形．

如圖，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，依次連接各邊中點(diǎn)得到的中點(diǎn)四邊形EFGH．

（1）這個(gè)中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀是　平行四邊形?。?/p>

（2）請(qǐng)證明你的結(jié)論．

【分析】（1）根據(jù)四邊形的形狀，及三角形中位線(xiàn)的性質(zhì)可判斷出四邊形EFGH是平行四邊形；

（2）連接AC、利用三角形的中位線(xiàn)定理可得出HG＝EF、EF∥GH，繼而可判斷出四邊形EFGH的形狀；

【解答】解：（1）平行四邊形．

（2）證明：連接AC，∵E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，∴EF∥AC，EF＝AC，同理HG∥AC，HG＝AC，綜上可得：EF∥HG，EF＝HG，故四邊形EFGH是平行四邊形．

B組自主提高

11．如圖所示，已知△ABC的周長(zhǎng)為1，連接△ABC三邊的中點(diǎn)構(gòu)成第二個(gè)三角形，再連接第二個(gè)三角形三邊中點(diǎn)構(gòu)成第三個(gè)三角形，依此類(lèi)推，第2021個(gè)三角形的周長(zhǎng)為（）

A．

B．

C．

D．

【分析】根據(jù)三角形中位線(xiàn)定理求出第二個(gè)三角形的周長(zhǎng)，總結(jié)規(guī)律，根據(jù)規(guī)律解答即可．

【解答】解：如圖，∵D、E、F分別為AB、BC、AC的中點(diǎn)，∴DE、EF、DF分別為△ABC的中位線(xiàn)，∴DE＝AC，DF＝BC，EF＝AB，∴△DEF的周長(zhǎng)＝DE+EF+DF＝（AC+BC+AB）＝，∴第二個(gè)三角形的周長(zhǎng)是，同理可得，第三個(gè)三角形是，……

∴第2021個(gè)三角形的周長(zhǎng)是，故選：D．

12．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，M、N分別是AB、AC的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)D，使CD＝BD，連接DM、DN、MN．若AB＝6，則DN＝　3?。?/p>

【分析】連接CM，根據(jù)三角形中位線(xiàn)定理得到NM＝CB，MN∥BC，證明四邊形DCMN是平行四邊形，得到DN＝CM，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到CM＝AB＝3，等量代換即可．

【解答】解：連接CM，∵M(jìn)、N分別是AB、AC的中點(diǎn)，∴NM＝CB，MN∥BC，又CD＝BD，∴MN＝CD，又MN∥BC，∴四邊形DCMN是平行四邊形，∴DN＝CM，∵∠ACB＝90°，M是AB的中點(diǎn)，∴CM＝AB＝3，∴DN＝3，故答案為：3．

13．如圖，四邊形ABCD中，∠A＝90°，AB＝3，AD＝3，點(diǎn)M，N分別為線(xiàn)段BC，AB上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)，但點(diǎn)M不與點(diǎn)B重合），點(diǎn)E，F(xiàn)分別為DM，MN的中點(diǎn)，則EF長(zhǎng)度的最大值為　3?。?/p>

【分析】根據(jù)三角形的中位線(xiàn)定理得出EF＝DN，從而可知DN最大時(shí)，EF最大，因?yàn)镹與B重合時(shí)DN最大，此時(shí)根據(jù)勾股定理求得DN＝DB＝6，從而求得EF的最大值為3．

【解答】解：∵ED＝EM，MF＝FN，∴EF＝DN，∴DN最大時(shí)，EF最大，∵N與B重合時(shí)DN最大，此時(shí)DN＝DB＝＝6，∴EF的最大值為3．

故答案為3．

14．如圖，在?ABCD中，AE＝BF，AF，BE相交于點(diǎn)G，CE，DF相交于點(diǎn)H．求證：GH∥BC且GH＝BC．

【分析】可先證明四邊形ABFE是平行四邊形，四邊形EFCD是平行四邊形，進(jìn)而利用平行四邊形的性質(zhì)得出GH是△BEC的中位線(xiàn)，根據(jù)中位線(xiàn)的定理即可得出結(jié)論．

【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴AE＝BF，∴四邊形ABFE是平行四邊形，∴AF與BE互相平分，∴G點(diǎn)是BE的中點(diǎn)，同理可證：DE∥CF，DE＝CF，∴四邊形EFCD是平行四邊形，∴DF與CE互相平分，∴H點(diǎn)是CE的中點(diǎn)，∴GH是△BEC的中位線(xiàn)，∴GH∥BC，∴GH＝BC．

C組綜合運(yùn)用

15．如圖，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于點(diǎn)E，點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)．

（1）如圖1，BE的延長(zhǎng)線(xiàn)與AC邊相交于點(diǎn)D，求證：EF＝（AC﹣AB）；

（2）如圖2，請(qǐng)直接寫(xiě)出線(xiàn)段AB、AC、EF的數(shù)量關(guān)系．

【分析】（1）先證明AB＝AD，根據(jù)等腰三角形的三線(xiàn)合一，推出BE＝ED，根據(jù)三角形的中位線(xiàn)定理即可解決問(wèn)題．

（2）結(jié)論：EF＝（AB﹣AC），先證明AB＝AP，根據(jù)等腰三角形的三線(xiàn)合一，推出BE＝ED，根據(jù)三角形的中位線(xiàn)定理即可解決問(wèn)題．

【解答】（1）證明：如圖1中，∵AE平分∠BAC，BE⊥AE于點(diǎn)E，∴△ABD是等腰三角形，∴BE＝DE，∵BF＝FC，∴EF＝DC＝＝（AC﹣AB）．

（2）結(jié)論：EF＝（AB﹣AC），理由：如圖2中，延長(zhǎng)AC交BE的延長(zhǎng)線(xiàn)于P．

∵AE⊥BP，∴∠AEP＝∠AEB＝90°，∴∠BAE+∠ABE＝90°，∠PAE+∠APE＝90°，∵∠BAE＝∠PAE，∴∠ABE＝∠ADE，∴AB＝AP，∵AE⊥BD，∵E為BP的中點(diǎn)，∴BE＝PE，∵點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，∴BF＝FC，∴EF＝PC＝（AP﹣AC）＝（AB﹣AC）．