第十一章

三角形

知識點(diǎn)一：三角形

1、定義：由不在同一條直線上的三條線段順次首尾相接所組成的圖形叫做三角形。

2、分類：（1）按角分：銳角三角形；直角三角形；鈍角三角形；

（2）按邊分：不等邊三角形；等腰三角形；等邊三角形；

3、角平分線：三角形的一個角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線。

4、中線：連接一個頂點(diǎn)與對邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線。

5、高：從三角形的一個頂點(diǎn)向它的對邊作垂線，頂點(diǎn)與垂足之間的線段叫做三角形的高。

注意：三角形的角平分線、中線和高都有三條。

6、三角形的三邊關(guān)系：三角形的任意兩邊的和大于第三邊，任意兩邊的差小于第三邊。

7、三角形的內(nèi)角：三角形的內(nèi)角和等于。如圖：

8、三角形的外角

（1）三角形的一個外角與相鄰的內(nèi)角互補(bǔ)。

（2）三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和。

（3）三角形的一個外角大于任何一個與它不相鄰的內(nèi)角。＞或＞

6、三角形的周長、面積求法和三角形穩(wěn)定性。

（1）如圖1：C△ABC=AB＋BC＋AC或C△ABC=

a＋b＋c。

四個量中已知其中三個能求第四個。

（2）如圖2：AD為高，S△ABC

=·BC·AD

三個量中已知其中兩個能求第三個。

（3）如圖3：△ABC中，∠ACB=90°，CD為AB邊上的高，則有：

S△ABC

=·AB·CD=·AC·BC即：AB·CD=AC·BC

四條線段中已知其中三條能求第四條。

知識點(diǎn)二：多邊形及其內(nèi)角和

1、邊形的內(nèi)角和=；

2、邊形的外角和=。

3、一個邊形的對角線有條，過邊形一個頂點(diǎn)能作出n-3條對角線，把邊形分成了n-2個三角形。

第十二章：全等三角形

12.1全等三角形

（1）、全等圖形：形狀、大小相同的圖形能夠完全重合；

（2）、全等形：能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形；

（3）、全等三角形：能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形；

（4）、平移、翻折、旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等；

（5）、對應(yīng)頂點(diǎn)：全等三角形中相互重合的頂點(diǎn)叫做對應(yīng)頂點(diǎn)；

（6）、對應(yīng)角：全等三角形中相互重合的角叫做對應(yīng)角；

（7）、對應(yīng)邊：全等三角形中相互重合的邊叫做對應(yīng)邊；

（8）、全等表示方法：用“”表示，讀作“全等于”（注意：記兩個三角形全等時(shí)，把表示對應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對應(yīng)的位置上）

（9）、全等三角形的性質(zhì)：①全等三角形的對應(yīng)邊相等；

②全等三角形的對應(yīng)角相等；

12.2三角形全等的判定

（1）若滿足一個條件或兩個條件均不能保證兩個三角形一定全等；

（2）三角形全等的判定：

①三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等；（“邊邊邊”或“SS”S）

②兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等；（“邊角邊”或“SAS”）

③兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等；（“角邊角”或“ASA”）

④兩角和其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等；（“角角邊”或“AAS”）

⑤斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等；（“斜邊直角邊”或“HL”）

注：①證明三角形全等：判斷兩個三角形全等的推理過程；

②經(jīng)常利用證明三角形全等來證明三角形的邊或角相等；

③三角形的穩(wěn)定性：三角形的三邊確定了，則這個三角形的形狀、大小就確定了；（用“SSS”解釋）

12.3角的平分線的性質(zhì)

（1）、角的平分線的作法：課本第19頁；

（2）、角的平分線的性質(zhì)定理：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等；

（3）、證明一個幾何中的命題，一般步驟：

①明確命題中的已知和求證；

②根據(jù)題意，畫出圖形，并用數(shù)學(xué)符號表示已知和求證；

③經(jīng)過分析，找出由已知推出求證的途徑，寫出證明過程；

（4）、性質(zhì)定理的逆定理：角的內(nèi)部到角兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上；（利用三角形全等來解釋）

（5）、三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，該點(diǎn)為內(nèi)心；

第十三章：軸對稱

13.1軸對稱

（1）軸對稱圖形：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么就稱這個圖形是軸

（2）對稱圖形；這條直線叫做它的對稱軸；也稱這個圖形關(guān)于這條直線對稱；

（3）兩個圖形關(guān)于這條直線對稱：一個圖形沿一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這

（4）兩個圖形關(guān)于這條直線對稱，這條直線叫做對稱軸，折疊后重合的點(diǎn)是對應(yīng)點(diǎn)，叫做對稱點(diǎn)；

（5）軸對稱圖形與兩個圖形成軸對稱的區(qū)別：軸對稱圖形是指一個圖形沿對稱軸折疊后這個圖形的兩部分

（6）能完全重合；而兩個圖形成軸對稱指的是兩個圖形之間的位置關(guān)系，這兩個圖形沿對稱軸折疊后能夠重合；

（7）軸對稱圖形與兩個圖形成軸對稱的聯(lián)系：把一個軸對稱圖形沿對稱軸分成兩個圖形，這兩個圖形關(guān)于這條軸對稱；把成軸對稱的兩個圖形看成一個整體，它就是一個軸對稱圖形。

（8）垂直平分線：經(jīng)過線段中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線；

（9）如果兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線；

（10）軸對稱圖形的對稱軸，是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線；

（11）對稱的兩個圖形是全等的；

（12）垂直平分線性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個端點(diǎn)的距離相等；

（13）逆定理：與一條線段兩個端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上；

13.2作軸對稱圖形

（1）作軸對稱圖形：分別作出原圖形中某些點(diǎn)關(guān)于對稱軸的對應(yīng)點(diǎn)，再連接這些對應(yīng)點(diǎn)，就可以得到原圖形的軸對稱圖形；（注意取特殊點(diǎn)）

（2）點(diǎn)（x,y）關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為：（x,-y）;

點(diǎn)（x,y）關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為：（-x,y）;

13.3等腰三角形

（1）等腰三角形的性質(zhì)：

①等腰三角形的兩個底角相等（“等邊對等角”）；

②等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合；

（2）等腰三角形是軸對稱圖形，三線合一所在直線是其對稱軸；（只有1條對稱軸）

（3）等腰三角形的判定：①如果一個三角形有兩條邊相等；

②如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等；（等角對等邊）

（4）等邊三角形：三條邊都相等的三角形；（等邊三角形是特殊的等腰三角形）

（5）等邊三角形的性質(zhì)：①等邊三角形的三個內(nèi)角都是60?

②等邊三角形的每條邊都存在三線合一；

（6）等邊三角形是軸對稱圖形，對稱軸是三線合一所在直線；（有3條對稱軸）

（7）等邊三角形的判定：①三條邊都相等的三角形是等邊三角形；

②三個角都相等的三角形是等邊三角形；

③有一個角是60?的等腰三角形是等邊三角形；

（8）在直角三角形中，如果一個銳角等于30?，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半；

第十四章：

整式的乘除與因式分解

14.1整式的乘法

（1）同底數(shù)冪的乘法：（m,n都是正整數(shù)）

即：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加；

（2）冪的乘方：（m,n都是正整數(shù)）

即：冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘；

（3）積的乘方：（n是正整數(shù)）

即：積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得冪相乘；

（4）整式的乘法：

①單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)、相同字母分別相乘，對于只在一個單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式；

②單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加；

③多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加；

14.2乘法的公式

（1）平方差公式：

即：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差；

（2）完全平方公式：

即：兩數(shù)和（或差）的平方，等于它們的平方和，加（或減）它們的積的2倍；

添括號：①如果括號前面是正號，括到括號里的各項(xiàng)都不變符號；

②如果括號前面是負(fù)號，括到括號里的各項(xiàng)都改變符號；

14.3整式的除法

（1）同底數(shù)冪的除法：（a?0,m,n都是正整數(shù)，并且m>n）

即：同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減；

（2）規(guī)定：

即：任何不等于0的數(shù)的0次冪都等于1；

（3）整式的除法：

①單項(xiàng)式相除，把系數(shù)與同底數(shù)冪分別相除作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則把連同它的指數(shù)作為商的一個因式；

②多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個單項(xiàng)式，再把所得商相加；

14.4因式分解

（1）因式分解：把一個多項(xiàng)式化成幾個整式的積的形式的變形叫做因式分解；（也叫做把這個多項(xiàng)式分解因式）；

（2）公因式：多項(xiàng)式的各項(xiàng)都有的一個公共因式；

（3）因式分解的方法：

提公因式法：關(guān)鍵在于找出最大公因式

平方差公式：a2

-b2

=(a

+

b)(a

b)

因式分解：

公式法

完全平方公式：(a

+

b)2

=

a2

+

2ab

+b2

(a

b)2

=

a2

+

2ab

+b2

第十六章

分式知識點(diǎn)總結(jié)

5、分式有無意義只與分母有關(guān)：當(dāng)分母≠0時(shí)，分式有意義；當(dāng)分母=0時(shí)，分式無意義。

6、解分式方程的思路

7、總結(jié)列分式方程應(yīng)注意的問題