第27章

相似

一．選擇題（共15小題）

1．已知＝，則的值為（）

A．

B．

C．

D．

2．若ac＝bd（ac≠0），則下列各式一定成立的是（）

A．

B．

C．

D．

3．勾股定理與黃金分割是幾何中的雙寶，前者好比黃金，后者堪稱珠玉，生活中到處可見(jiàn)黃金分割的美．如圖，點(diǎn)C將線段AB分成AC、CB兩部分，且AC＞BC，如果，那么稱點(diǎn)C為線段AB的黃金分割點(diǎn)．若C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，AB＝2，則分割后較短線段長(zhǎng)為（）

A．

B．

C．

D．

4．下列四組圖形中，一定相似的是（）

A．正方形與矩形

B．正方形與菱形

C．菱形與菱形

D．正五邊形與正五邊形

5．如果兩個(gè)相似多邊形面積的比為1：5，則它們的相似比為（）

A．1：25

B．1：5

C．1：2.5

D．1：

6．如圖，已知在△ABC中，點(diǎn)D、E、F分別是邊AB、AC、BC上的點(diǎn)，DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB＝3：5，那么CF：CB等于（）

A．5：8

B．3：8

C．3：5

D．2：5

7．如圖，AD∥BE∥CF，直線l1、l2與這三條平行線分別交于點(diǎn)A、B、C和點(diǎn)D、E、F．已知AB＝1，BC＝3，DE＝2，則EF的長(zhǎng)為（）

A．4

B．5

C．6

D．8

8．如果兩個(gè)相似三角形的相似比是1：2，那么它們的面積比是（）

A．1：2

B．1：4

C．1：

D．2：1

9．如圖，在鈍角三角形ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，動(dòng)點(diǎn)D從A點(diǎn)出發(fā)到B點(diǎn)止，動(dòng)點(diǎn)E從C點(diǎn)出發(fā)到A點(diǎn)止．點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的速度為1cm/秒，點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的速度為2cm/秒．如果兩點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)，那么當(dāng)以點(diǎn)A、D、E為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似時(shí)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是（）

A．3秒或4.8秒

B．3秒

C．4.5秒

D．4.5秒或4.8秒

10．如圖所示，給出下列條件：①∠B＝∠ACD；②∠ADC＝∠ACB；③；④AC2＝AD?AB．其中能夠判定△ABC∽△ACD的個(gè)數(shù)為（）

A．1

B．2

C．3

D．4

11．如圖，在矩形ABCD中，P為BC邊的中點(diǎn)，E、F分別為AB、CD邊上的點(diǎn)，若BE＝2，CF＝3，∠EPF＝90°，則EF的長(zhǎng)為（）

A．5

B．2

C．2

D．4

12．如圖，在?ABCD中，E為CD上一點(diǎn)，連接AE、BD，且AE、BD交于點(diǎn)F，S△DEF：S△ABF＝4：25，則DE：EC＝（）

A．2：5

B．2：3

C．3：5

D．3：2

13．如圖是小明設(shè)計(jì)用手電來(lái)測(cè)量某古城墻高度的示意圖．點(diǎn)P處放一水平的平面鏡，光線從點(diǎn)A出發(fā)經(jīng)平面鏡反射后剛好射到古城墻CD的頂端C處，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且測(cè)得AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝12米，那么該古城墻的高度是（）

A．6米

B．8米

C．18米

D．24米

14．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，如果AC＝3，AB＝6，那么AD的值為（）

A．

B．

C．

D．3

15．如圖，在直角坐標(biāo)系中，有兩點(diǎn)A（6，3），B（6，0），以原點(diǎn)O位似中心，相似比為，在第一象限內(nèi)把線段AB縮小后得到線段CD，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（）

A．（2，1）

B．（2，0）

C．（3，3）

D．（3，1）

二．填空題（共1小題）

16．利用標(biāo)桿CD測(cè)量建筑物的高度的示意圖如圖所示，使標(biāo)桿頂端的影子與建筑物頂端的影子恰好落在地面的同一點(diǎn)E．若標(biāo)桿CD的高為1.5米，測(cè)得DE＝2米，BD＝16米，則建筑物的高AB為

米．

三．解答題（共5小題）

17．如圖，在10×10的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C，D均在格點(diǎn)上，以點(diǎn)A為位似中心畫四邊形AB′C′D′，使它與四邊形ABCD位似，且相似比為2．

（1）在圖中畫出四邊形AB′C′D′；

（2）填空：△AC′D′是

三角形．

18．如圖，在8×8的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，△OAB的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格中畫出△OAB的一個(gè)相似圖形，所畫圖形與△OAB的相似比為2：1．（溫馨提示：畫圖用直尺、鉛筆）

19．如圖，四邊形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E為AB的中點(diǎn)，（1）求證：AC2＝AB?AD；

（2）求證：CE∥AD；

（3）若AD＝4，AB＝6，求的值．

20．如圖，在平行四邊形ABCD中，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為E，連接DE，F(xiàn)為線段DE上一點(diǎn)，且∠AFE＝∠B．

（1）求證：△ADF∽△DEC；

（2）若AB＝8，AD＝6，AF＝4，求AE的長(zhǎng)．

21．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)P、D分別是BC、AC邊上的點(diǎn)，且∠APD＝∠B．

（1）求證：AC?CD＝CP?BP；

（2）若AB＝10，BC＝12，當(dāng)PD∥AB時(shí)，求BP的長(zhǎng)．

參考答案與試題解析

一．選擇題（共15小題）

1．已知＝，則的值為（）

A．

B．

C．

D．

【分析】直接利用已知表示出a，b的值，進(jìn)而得出答案．

【解答】解：∵＝，∴設(shè)a＝3x，b＝2x，故＝＝．

故選：C．

2．若ac＝bd（ac≠0），則下列各式一定成立的是（）

A．

B．

C．

D．

【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)，兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積對(duì)各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求．

【解答】解：A、由＝得ad＝bc，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、由＝得c＝b，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、由＝得ac＝bd，故本選項(xiàng)正確；

D、由＝得a2c＝bd2，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．

故選：C．

3．勾股定理與黃金分割是幾何中的雙寶，前者好比黃金，后者堪稱珠玉，生活中到處可見(jiàn)黃金分割的美．如圖，點(diǎn)C將線段AB分成AC、CB兩部分，且AC＞BC，如果，那么稱點(diǎn)C為線段AB的黃金分割點(diǎn)．若C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，AB＝2，則分割后較短線段長(zhǎng)為（）

A．

B．

C．

D．

【分析】把一條線段分成兩部分，使其中較長(zhǎng)的線段為全線段與較短線段的比例中項(xiàng)，這樣的線段分割叫做黃金分割，他們的比值叫做黃金比．

【解答】解：根據(jù)黃金分割點(diǎn)的概念得：AC＝AB＝×2＝﹣1，∴BC＝AB﹣AC＝3﹣；

故選：B．

4．下列四組圖形中，一定相似的是（）

A．正方形與矩形

B．正方形與菱形

C．菱形與菱形

D．正五邊形與正五邊形

【分析】根據(jù)相似圖形的定義和圖形的性質(zhì)對(duì)每一項(xiàng)進(jìn)行分析，即可得出一定相似的圖形．

【解答】解：A、正方形與矩形，對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊不一定成比例，故不符合題意；

B、正方形與菱形，對(duì)應(yīng)邊成比例，對(duì)應(yīng)角不一定相等，不符合相似的定義，故不符合題意；

C、菱形與菱形，對(duì)應(yīng)邊比值相等，但是對(duì)應(yīng)角不一定相等，故不符合題意；

D、正五邊形與正五邊形，對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊一定成比例，符合相似的定義，故符合題意．

故選：D．

5．如果兩個(gè)相似多邊形面積的比為1：5，則它們的相似比為（）

A．1：25

B．1：5

C．1：2.5

D．1：

【分析】根據(jù)相似多邊形的面積的比等于相似比的平方解答．

【解答】解：∵兩個(gè)相似多邊形面積的比為1：5，∴它們的相似比為1：．

故選：D．

6．如圖，已知在△ABC中，點(diǎn)D、E、F分別是邊AB、AC、BC上的點(diǎn)，DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB＝3：5，那么CF：CB等于（）

A．5：8

B．3：8

C．3：5

D．2：5

【分析】先由AD：DB＝3：5，求得BD：AB的比，再由DE∥BC，根據(jù)平行線分線段成比例定理，可得CE：AC＝BD：AB，然后由EF∥AB，根據(jù)平行線分線段成比例定理，可得CF：CB＝CE：AC，則可求得答案．

【解答】解：∵AD：DB＝3：5，∴BD：AB＝5：8，∵DE∥BC，∴CE：AC＝BD：AB＝5：8，∵EF∥AB，∴CF：CB＝CE：AC＝5：8．

故選：A．

7．如圖，AD∥BE∥CF，直線l1、l2與這三條平行線分別交于點(diǎn)A、B、C和點(diǎn)D、E、F．已知AB＝1，BC＝3，DE＝2，則EF的長(zhǎng)為（）

A．4

B．5

C．6

D．8

【分析】由AD∥BE∥CF可得＝，代入可求得EF．

【解答】解：∵AD∥BE∥CF，∴＝，∵AB＝1，BC＝3，DE＝2，∴＝，解得EF＝6，故選：C．

8．如果兩個(gè)相似三角形的相似比是1：2，那么它們的面積比是（）

A．1：2

B．1：4

C．1：

D．2：1

【分析】根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方即可得出．

【解答】解：∵兩個(gè)相似三角形的相似比是1：2，∴（1：2）2＝1：4．故選B．

9．如圖，在鈍角三角形ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，動(dòng)點(diǎn)D從A點(diǎn)出發(fā)到B點(diǎn)止，動(dòng)點(diǎn)E從C點(diǎn)出發(fā)到A點(diǎn)止．點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的速度為1cm/秒，點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的速度為2cm/秒．如果兩點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)，那么當(dāng)以點(diǎn)A、D、E為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似時(shí)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是（）

A．3秒或4.8秒

B．3秒

C．4.5秒

D．4.5秒或4.8秒

【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，由題意可知有兩種相似形式，△ADE∽△ABC和△ADE∽△ACB，可求運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是3秒或4.8秒．

【解答】解：根據(jù)題意得：設(shè)當(dāng)以點(diǎn)A、D、E為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似時(shí)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是x秒，①若△ADE∽△ABC，則，∴，解得：x＝3；

②若△ADE∽△ACB，則，∴，解得：x＝4.8．

∴當(dāng)以點(diǎn)A、D、E為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似時(shí)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是3秒或4.8秒．

故選：A．

10．如圖所示，給出下列條件：①∠B＝∠ACD；②∠ADC＝∠ACB；③；④AC2＝AD?AB．其中能夠判定△ABC∽△ACD的個(gè)數(shù)為（）

A．1

B．2

C．3

D．4

【分析】由圖可知△ABC與△ACD中∠A為公共角，所以只要再找一組角相等，或一組對(duì)應(yīng)邊成比例即可解答．

【解答】解：有三個(gè)．

①∠B＝∠ACD，再加上∠A為公共角，可以根據(jù)有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似來(lái)判定；

②∠ADC＝∠ACB，再加上∠A為公共角，可以根據(jù)有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似來(lái)判定；

③中∠A不是已知的比例線段的夾角，不正確

④可以根據(jù)兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且相應(yīng)的夾角相等的兩個(gè)三角形相似來(lái)判定；

故選：C．

11．如圖，在矩形ABCD中，P為BC邊的中點(diǎn)，E、F分別為AB、CD邊上的點(diǎn)，若BE＝2，CF＝3，∠EPF＝90°，則EF的長(zhǎng)為（）

A．5

B．2

C．2

D．4

【分析】利用相似三角形的性質(zhì)求出BP，PC，再利用勾股定理求出PE，PF即可解決問(wèn)題．

【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，∵∠EPF＝90°，∴∠EPB+∠CPF＝90°，∠CPF+∠CFP＝90°，∴∠EPB＝∠CFP，∴△EPB∽△PFC，∴＝，∵PB＝CP，BE＝2，CF＝3，∴BP＝PC＝，∴PE＝＝＝，PF＝＝＝，∴EF＝＝＝5，故選：A．

12．如圖，在?ABCD中，E為CD上一點(diǎn)，連接AE、BD，且AE、BD交于點(diǎn)F，S△DEF：S△ABF＝4：25，則DE：EC＝（）

A．2：5

B．2：3

C．3：5

D．3：2

【分析】先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及相似三角形的判定定理得出△DEF∽△BAF，再根據(jù)S△DEF：S△ABF＝4：25即可得出其相似比，由相似三角形的性質(zhì)即可求出

DE：AB的值，由AB＝CD即可得出結(jié)論．

【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠EAB＝∠DEF，∠AFB＝∠DFE，∴△DEF∽△BAF，∵S△DEF：S△ABF＝4：25，∴DE：AB＝2：5，∵AB＝CD，∴DE：EC＝2：3．

故選：B．

13．如圖是小明設(shè)計(jì)用手電來(lái)測(cè)量某古城墻高度的示意圖．點(diǎn)P處放一水平的平面鏡，光線從點(diǎn)A出發(fā)經(jīng)平面鏡反射后剛好射到古城墻CD的頂端C處，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且測(cè)得AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝12米，那么該古城墻的高度是（）

A．6米

B．8米

C．18米

D．24米

【分析】由已知得△ABP∽△CDP，則根據(jù)相似形的性質(zhì)可得，解答即可．

【解答】解：

由題意知：光線AP與光線PC，∠APB＝∠CPD，∴Rt△ABP∽R(shí)t△CDP，∴，∴CD＝＝8（米）．

故選：B．

14．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，如果AC＝3，AB＝6，那么AD的值為（）

A．

B．

C．

D．3

【分析】根據(jù)射影定理得到：AC2＝AD?AB，把相關(guān)線段的長(zhǎng)度代入即可求得線段AD的長(zhǎng)度．

【解答】解：如圖，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴AC2＝AD?AB，又∵AC＝3，AB＝6，∴32＝6AD，則AD＝．

故選：A．

15．如圖，在直角坐標(biāo)系中，有兩點(diǎn)A（6，3），B（6，0），以原點(diǎn)O位似中心，相似比為，在第一象限內(nèi)把線段AB縮小后得到線段CD，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（）

A．（2，1）

B．（2，0）

C．（3，3）

D．（3，1）

【分析】根據(jù)位似變換的性質(zhì)可知，△ODC∽△OBA，相似比是，根據(jù)已知數(shù)據(jù)可以求出點(diǎn)C的坐標(biāo)．

【解答】解：由題意得，△ODC∽△OBA，相似比是，∴＝，又OB＝6，AB＝3，∴OD＝2，CD＝1，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（2，1），故選：A．

二．填空題（共1小題）

16．利用標(biāo)桿CD測(cè)量建筑物的高度的示意圖如圖所示，使標(biāo)桿頂端的影子與建筑物頂端的影子恰好落在地面的同一點(diǎn)E．若標(biāo)桿CD的高為1.5米，測(cè)得DE＝2米，BD＝16米，則建筑物的高AB為　13.5　米．

【分析】根據(jù)同一時(shí)刻同一地點(diǎn)物高與影長(zhǎng)成正比列式求得CD的長(zhǎng)即可．

【解答】解：∵AB∥CD，∴△EBA∽△ECD，∴，即，∴AB＝13.5（米）．

故答案為：13.5

三．解答題（共5小題）

17．如圖，在10×10的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C，D均在格點(diǎn)上，以點(diǎn)A為位似中心畫四邊形AB′C′D′，使它與四邊形ABCD位似，且相似比為2．

（1）在圖中畫出四邊形AB′C′D′；

（2）填空：△AC′D′是　等腰直角　三角形．

【分析】（1）延長(zhǎng)AB到B′，使AB′＝2AB，得到B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′，同樣得到C、D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C′，D′，再順次連接即可；

（2）利用勾股定理求出AC′2＝42+82＝80，AD′2＝62+22＝40，C′D′2＝62+22＝40，那么AD′＝C′D′，AD′2+C′D′2＝AC′2，即可判定△AC′D′是等腰直角三角形．

【解答】解：（1）如圖所示：

（2）∵AC′2＝42+82＝16+64＝80，AD′2＝62+22＝36+4＝40，C′D′2＝62+22＝36+4＝40，∴AD′＝C′D′，AD′2+C′D′2＝AC′2，∴△AC′D′是等腰直角三角形．

故答案為：等腰直角．

18．如圖，在8×8的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，△OAB的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格中畫出△OAB的一個(gè)相似圖形，所畫圖形與△OAB的相似比為2：1．（溫馨提示：畫圖用直尺、鉛筆）

【分析】延長(zhǎng)AO、AB到2AO、2AB長(zhǎng)度找到各點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，順次連接即可．

【解答】解：延長(zhǎng)AO、AB到2AO、2AB長(zhǎng)度找到各點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，順次連接．

19．如圖，四邊形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E為AB的中點(diǎn)，（1）求證：AC2＝AB?AD；

（2）求證：CE∥AD；

（3）若AD＝4，AB＝6，求的值．

【分析】（1）由AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，可證得△ADC∽△ACB，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，證得AC2＝AB?AD；

（2）由E為AB的中點(diǎn)，根據(jù)在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可證得CE＝AB＝AE，繼而可證得∠DAC＝∠ECA，得到CE∥AD；

（3）易證得△AFD∽△CFE，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，求得的值．

【解答】（1）證明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠CAB，∵∠ADC＝∠ACB＝90°，∴△ADC∽△ACB，∴AD：AC＝AC：AB，∴AC2＝AB?AD；

（2）證明：∵E為AB的中點(diǎn)，∴CE＝AB＝AE，∴∠EAC＝∠ECA，∵∠DAC＝∠CAB，∴∠DAC＝∠ECA，∴CE∥AD；

（3）解：∵CE∥AD，∴△AFD∽△CFE，∴AD：CE＝AF：CF，∵CE＝AB，∴CE＝×6＝3，∵AD＝4，∴，∴．

20．如圖，在平行四邊形ABCD中，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為E，連接DE，F(xiàn)為線段DE上一點(diǎn)，且∠AFE＝∠B．

（1）求證：△ADF∽△DEC；

（2）若AB＝8，AD＝6，AF＝4，求AE的長(zhǎng)．

【分析】（1）利用對(duì)應(yīng)兩角相等，證明兩個(gè)三角形相似△ADF∽△DEC；

（2）利用△ADF∽△DEC，可以求出線段DE的長(zhǎng)度；然后在Rt△ADE中，利用勾股定理求出線段AE的長(zhǎng)度．

【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠C+∠B＝180°，∠ADF＝∠DEC．

∵∠AFD+∠AFE＝180°，∠AFE＝∠B，∴∠AFD＝∠C．

在△ADF與△DEC中，∴△ADF∽△DEC．

（2）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD＝AB＝8．

由（1）知△ADF∽△DEC，∴，∴DE＝＝＝12．

在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE＝＝＝6．

21．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)P、D分別是BC、AC邊上的點(diǎn)，且∠APD＝∠B．

（1）求證：AC?CD＝CP?BP；

（2）若AB＝10，BC＝12，當(dāng)PD∥AB時(shí)，求BP的長(zhǎng)．

【分析】（1）易證∠APD＝∠B＝∠C，從而可證到△ABP∽△PCD，即可得到＝，即AB?CD＝CP?BP，由AB＝AC即可得到AC?CD＝CP?BP；

（2）由PD∥AB可得∠APD＝∠BAP，即可得到∠BAP＝∠C，從而可證到△BAP∽△BCA，然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)即可求出BP的長(zhǎng)．

【解答】解：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．

∵∠APD＝∠B，∴∠APD＝∠B＝∠C．

∵∠APC＝∠BAP+∠B，∠APC＝∠APD+∠DPC，∴∠BAP＝∠DPC，∴△ABP∽△PCD，∴＝，∴AB?CD＝CP?BP．

∵AB＝AC，∴AC?CD＝CP?BP；

（2）如圖，∵PD∥AB，∴∠APD＝∠BAP．

∵∠APD＝∠C，∴∠BAP＝∠C．

∵∠B＝∠B，∴△BAP∽△BCA，∴＝．

∵AB＝10，BC＝12，∴＝，∴BP＝．