九年級第二十七章相似

姓名：___________班級：___________

一、單選題

1．兩個相似多邊形一組對應邊分別為3cm，4.5cm，那么它們的相似比為（）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】

由題意得,兩個相似多邊形的一組對應邊的比為3:4.5=，∴它們的相似比為，故選A.2．如圖，點，分別在?的，邊上，且，如果，那么等于（）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【分析】

由平行線分線段成比例定理即可得出結(jié)果．

【詳解】

∵DE∥BC，∴DE:BC=AD:AB=2:3.故答案選：C.【點睛】

本題考查了平行線分線段成比例，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握平行線分線段成比例.3．下列四條線段中，不能成比例的是（）

A．a(chǎn)＝4，b＝8，c＝5，d＝10

B．a(chǎn)＝2，b＝2，c＝，d＝5

C．a(chǎn)＝1，b＝2，c＝3，d＝4

D．a(chǎn)＝1，b＝2，c＝2，d＝4

【答案】C

【分析】

根據(jù)比例線段的概念，讓最小的和最大的相乘，另外兩條相乘，看它們的積是否相等即可得出答案．

【詳解】

解：A、4×10=5×8，能成比例；

B、2×5=2×，能成比例；

C、1×4≠2×3，不能成比例；

D、1×4=2×2，能成比例．

故選C．

【點睛】

此題考查了比例線段，理解成比例線段的概念，注意在線段兩兩相乘的時候，要讓最小的和最大的相乘，另外兩條相乘，看它們的積是否相等進行判斷．

4．如圖，正五邊形與正五邊形相似，若，則下列結(jié)論正確的是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【分析】

根據(jù)相似多邊形的定義：各邊對應成比例,各角對應相等的多邊形叫做相似多邊形，逐一分析即可．

【詳解】

解：因為相似多邊形的對應角相等，對應邊成比例，所以，故可排除C和D

所以．故排除A

故選B．

【點睛】

此題考查的是相似多邊形的性質(zhì)，掌握相似多邊形的定義是解決此題的關(guān)鍵．

5．兩個相似三角形的相似比為1：2，則它們面積的比為（）

A．1：4

B．1：2

C．1：

D．4：1

【答案】A

【分析】

根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比進行解答即可，【詳解】

∵兩個相似三角形的相似比為1：2，∴它們面積的比等于：．

故選：A．

【點睛】

本題考查了相似三角形的性質(zhì)，即相似三角形面積的比等于相似比的平方．

6．如圖，以點為位似中心，將五邊形放大后得到五邊形，已知，則五邊形的周長與五邊形的周長比是（）

A．1∶2

B．1∶4

C．2∶3

D．1∶3

【答案】A

【分析】

先根據(jù)題意得出兩個位似圖形的位似比，進而得出相似比，然后進一步利用“兩個相似多邊形的周長的比等于它們的相似比”進一步求解即可.【詳解】

由題意，知五邊形五邊形，∵，∴位似比為，即相似比為1∶2，∴五邊形的周長與五邊形的周長比為1∶2，故選A.【點睛】

本題主要考查了位似圖形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)概念是解題關(guān)鍵.7．如圖，已知則添加下列一個條件后，仍無法判定的是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【分析】

先根據(jù)∠1=∠2得出∠BAC=∠DAE，再由相似三角形的判定定理對各選項進行逐一判定即可．

【詳解】

解：∵∠1=∠2，∴∠BAC=∠DAE．

A.，∠B與∠D的大小無法判定，∴無法判定△ABC∽△ADE，故本選項符合題意；

B.，∴△ABC∽△ADE，故本選項不符合題意；

C.∴△ABC∽△ADE，故本選項不符合題意；

D.∴△ABC∽△ADE，故本選項不符合題意；

故選：A

【點睛】

本題考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此題的關(guān)鍵．

8．如圖，在中，點在邊上，若，且，則線段的長為（）

A．2

B．

C．3

D．

【答案】B

【分析】

由∠BCD＝∠A，∠B＝∠B，可判定△BCD∽△BAC，從而可得比例式，再將BC＝3，BD＝2代入，可求得BA的長，然后根據(jù)AD＝BA?BD，可求得答案．

【詳解】

解：∵∠BCD＝∠A，∠B＝∠B，∴△BCD∽△BAC，∴，∵BC＝3，BD＝2，∴，∴BA＝，∴AD＝BA?BD＝?2＝．

故選：B．

【點睛】

本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合并熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵．

9．如圖，已知直線////，直線m、n與直線、、交于點A、B及點D，E，F(xiàn)．已知AB=2，BC=3，DE=4，則EF=（）

A．5

B．6

C．7

D．8

【答案】B

【分析】

根據(jù)平行線分線段成比例定理解答即可．

【詳解】

解：∵////，∴，即，解得EF=6．

故選：B．

【點睛】

本題考查了平行線分線段成比例定理，屬于基礎題目，熟練掌握該定理是解題關(guān)鍵．

10．如圖，將矩形紙片ABCD折疊，使點A與點C重合，折痕為EF，若AB=4，BC=2，那么線段EF的長為（）

A．2

B．

C．

D．

【答案】B

【詳解】

解：連接AF，根據(jù)折疊的性知AF=CF，AC⊥EF，OA=OC，由AD=2，CD=4，根據(jù)勾股定理可求得AC=，所以OC=，然后根據(jù)矩形的性質(zhì)可得△COF∽△CDA，因此根據(jù)相似的性質(zhì)可得，代入數(shù)值可得，可求得OF=，所以EF=2OF=．

故選B．

【點睛】

本題考查折疊變換，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)及判定的應用，掌握性質(zhì)定理正確推理論證是解題關(guān)鍵．

二、填空題

11．在比例尺為1：40000的地圖上，若某條道路長為5cm，則它的實際距離為__km．

【答案】2

【分析】

用圖上距離乘以40000，得到實際距離，再換算單位．

【詳解】

解：．

故答案是：2．

【點睛】

本題考查比例尺，解題的關(guān)鍵是掌握利用比例尺計算實際距離的方法，需要注意單位的換算．

12．已知，且，則對應邊________．

【答案】

【分析】

根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方即可求解．

【詳解】

∵，∴

∴

故答案為：．

【點睛】

此題考查了相似三角形的性質(zhì)．此題難度不大，解題的關(guān)鍵是注意相似三角形面積的比等于相似比的平方定理的應用．

13．已知，則的值為______．

【答案】

【分析】

直接利用已知設，進而求解即可；

【詳解】

∵，∴設，則的值為：．

故答案為：．

【點睛】

本題主要考查了比例的性質(zhì)，準確計算是解題的關(guān)鍵．

14．如圖，當∠AED=_______時，△ADE與△ABC相似．

【答案】∠ACB或∠ABC

【分析】

根據(jù)題目所給的條件，利用一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，即可得出答案．此題答案不唯一．再找一個對應角相等的條件即可．

【詳解】

∵∠BAC＝∠EAD（公共角），再由∠AED＝∠ACB或∠AED＝∠ABC，即可證明，△ADE與△ABC相似，故答案為：∠ACB或∠ABC．

【點睛】

此題主要考查學生對相似三角形的判定定理的理解和掌握，此題答案不唯一，屬于開放型，大部分學生能正確做出，對此都要給予積極鼓勵，以激發(fā)他們的學習興趣．

15．如圖，身高為1.6m的小李AB站在河的一岸，利用樹的倒影去測對岸一棵樹CD的高度，CD的倒影是C′D，且AEC′在一條視線上，河寬BD=12m，且BE=2m，則樹高CD=________m.【答案】8

【解析】

【分析】

利用相似三角形求對應線段成比例，求解即可．

【詳解】

利用△ABE∽△CDE，對應線段成比例解題，因為AB，CD均垂直于地面，所以AB∥CD，則有△ABE∽△CDE，∵△ABE∽△CDE，∴，又∵AB=1.6，BE=2，BD=12，∴DE=10，∴，∴CD=8．

故答案為8．

【點睛】

本題考查了相似三角形的應用，利用相似，求對應線段，是相似中經(jīng)常考查極為普遍的類型題，關(guān)鍵是找準對應邊．

16．如圖，是內(nèi)任意一點，分別為上的點，且與是位似三角形，位似中心為．若則與的位似比為_______________________．

【答案】

【分析】

根據(jù)△ABC與△DEF是位似三角形，位似中心為O，得出OA與OD的比值，即可得出△ABC與△DEF的位似比．

【詳解】

解：∵

∴

∵△ABC與△DEF是位似三角形，位似中心為O．

∴△ABC與△DEF的位似比為：

故答案為：

【點睛】

此題主要考查了位似圖形的性質(zhì)，利用位似比等于相似比是解決問題的關(guān)鍵．

17．如圖，分別為的邊的中點，且與相似，則_______．

【答案】

【分析】

根據(jù)相似多邊形的定義：各邊對應成比例,各角對應相等的多邊形叫做相似多邊形，列出比例式即可得出結(jié)論．

【詳解】

解：為的邊的中點，．

與相似，．

．

故答案為：．

【點睛】

此題考查的是相似多邊形的性質(zhì)，掌握相似多邊形的定義是解決此題的關(guān)鍵．

三、解答題

18．如圖，四邊形與四邊形相似，求的大小和的長度．

【答案】，【分析】

根據(jù)相似多邊形的定義和四邊形的內(nèi)角和，即可求出，然后列出比例式即可得出結(jié)論．

【詳解】

∵四邊形與四邊形相似，．

在四邊形中，．

∵四邊形與四邊形相似，解得

【點睛】

此題考查的是相似多邊形的性質(zhì)和四邊形的內(nèi)角和，掌握相似多邊形的定義是解決此題的關(guān)鍵．

19．如圖所示，已知DE∥BC，AE＝50

cm，EC＝30

cm，BC＝56.8

cm，∠A＝45°，∠ACB＝40°．

求：（1）∠AED和∠ADE的度數(shù)；

（2）DE的長．

【答案】（1）∠AED＝40°，∠ADE＝95°；（2）35.5cm

【分析】

（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠ABC的度數(shù)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出∠AED和∠ADE的度數(shù)；

（2）根據(jù)相似三角形對應邊的比相等解答．

【詳解】

解：(1)∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE，∴由相似三角形的對應角相等得∠AED＝∠ACB＝40°．

在△ADE中，∠AED＋∠ADE＋∠A＝180°，即40°＋∠ADE＋45°＝180°，∴∠ADE＝180°－40°－45°＝95°．

(2)∵△ABC∽△ADE，∴由相似三角形的對應邊成比例得，即，∵BC＝56.8

cm

∴DE＝35．5(cm)．

【點睛】

本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的對應角相等，對應邊的比相等是解題的關(guān)鍵．

20．如圖，△ABC三個頂點的坐標分別為A（1，2）、B（3，1）、C（2，3），以原點O為位似中心，將△ABC放大為原來的2倍，得到．

（1）在圖中畫出△A′B′C′，并寫出A′、B′、C′的坐標；

（2）求的面積．

【答案】（1）畫圖見解析；A′（2，4）、B′（6，2）、C′（4，6）；（2）的面積是6．

【分析】

（1）利用位似圖形的性質(zhì)，結(jié)合對應點坐標同乘以2，進而得出答案；

（2）利用經(jīng)過點A＇、B＇、C＇的矩形的面積減去3個直角三角形的面積即可求得的面積.【詳解】

（1）如圖所示：

A′（2，4）、B′（6，2）、C′（4，6）；

（2）的面積=4×4-

×2×2-×2×4-×2×4=6．

【點睛】

本題主要考查了位似變換，利用位似圖形的性質(zhì)得出對應點坐標是解題關(guān)鍵．

21．已知，．

（1）求證：；

（2）若，，求長度．

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【分析】

（1）根據(jù)兩組對應角相等即可求證兩三角形相似．

（2）由三角形相似代入即可計算．

【詳解】

（1）證明：∵

AB⊥BD，ED⊥BD，∠ABC=∠EDC

=90°，∵AC⊥EC，即∠ACE=90°，∴∠ACB+∠ECD=

180°-∠ACE

=

90°，又∠BAC+∠ACB=

180°-∠ABC

=90°，∴∠ECD=∠BAC，∴．

（2）由（1）知△ABC△CDE，∴，∵AB=3，BC=6，CD=2，∴，∴ED=4．

【點睛】

此題考查了三角形相似的判定及性質(zhì)，即有兩組對應角相等的兩三角形相似,相似三角形對應邊成比例．

22．已知，四邊形的兩條對角相交于點，．

（1）求證：．

（2）若，求的長．

【答案】（1）見解析；（2）12

【分析】

(1)利用已知角和對頂角直接證即可，(2)利用得，和對頂角，可證，由相似得，將已知代入計算即可．

【詳解】

（1），即且，（2）由（1）得：，且，∴，又∵，，解得．

【點睛】

本題考查三角形相似判定，及相似三角形的性質(zhì)，掌握三角形相似判定，及相似三角形的性質(zhì)，會利用相似三角形的性質(zhì)解決問題是關(guān)鍵．

23．如圖，已知△ABC中AD⊥BC于D，BE⊥AC于E．

（1）求證：△CDE△CAB．

（2）若∠C=60°，求S△CDE：S△CAB的值．

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【分析】

（1）先證明△ADC△BEC，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出=，最后根據(jù)兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似進行證明；

（2）先求出，然后根據(jù)相似三角形的面積比為相似比的平方進行求解．

【詳解】

（1）證明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠ADC=∠BEC=90°，∵∠C=∠C，∴△ADC△BEC，∴=,∵∠C=∠C，∴△CDE△CAB．

（2）解：∵△CDE△CAB，∴=，∵∠C=60°，∠ADC

=90°，∴∠DAC=30°，∴=，∴S△CDE：S△CAB=．

【點睛】

本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似與相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

24．如圖，明珠大廈的頂部建有一直徑為的“明珠”，它的西面處有一高的小型建筑，人站在的西面附近無法看到“明珠”外貌，如果向西走到點處，可以開始看到“明珠”的頂端；若想看到“明珠”的全貌，必須向西至少再走，求大廈主體建筑的高度．（不含頂部“明珠”部分的高度）

【答案】大廈主體建筑的高度為.【分析】

根據(jù)題意可得出與，然后利用相似三角形性質(zhì)得出AF與AG，利用進一步列出方程求解即可.【詳解】

由題圖，知，易證，∴，即，∴.同理易證，∴，即，∴.∵，∴，解得或（不合題意，舍去）.∴大廈主體建筑的高度為.【點睛】

本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)的綜合運用，熟練掌握相關(guān)概念是解題關(guān)鍵.25．如圖，在中，以AC為直徑的⊙O與BC交于點D，垂足為E，ED的延長線與AC的延長線交于點F．

（1）求證：DE是⊙O的切線；

（2）若⊙O的半徑為2，求CF的長．

【答案】（1）見解析；（2）2

【分析】

（1）連接由

證明

證明：

可得：

從而可得答案；

（2）由圓的半徑為

求解

再證明：由相似三角形的性質(zhì)可得答案．

【詳解】

解：（1）連接

在上，是的切線．

（2）

⊙O的半徑為2，經(jīng)檢驗：符合題意．

【點睛】

本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定，切線的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．