習(xí)題一答案

1．求下列復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部、模、幅角主值及共軛復(fù)數(shù)：

（1）

（2）

（3）

（4）

解：（1），因此：，（2），因此，（3），因此，（4）

因此，2．

將下列復(fù)數(shù)化為三角表達(dá)式和指數(shù)表達(dá)式：

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

解：（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

3．求下列各式的值：

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

解：（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

4．設(shè)試用三角形式表示與

解：，所以，5．

解下列方程：

（1）

（2）

解：（1）

由此，（2），當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的4個(gè)根分別為：

6．證明下列各題：（1）設(shè)則

證明：首先，顯然有；

其次，因

固此有

從而。

（2）對(duì)任意復(fù)數(shù)有

證明：驗(yàn)證即可，首先左端，而右端，由此，左端=右端，即原式成立。

（3）若是實(shí)系數(shù)代數(shù)方程的一個(gè)根，那么也是它的一個(gè)根。

證明：方程兩端取共軛，注意到系數(shù)皆為實(shí)數(shù)，并且根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算規(guī)則，由此得到：

由此說明：若為實(shí)系數(shù)代數(shù)方程的一個(gè)根，則也是。結(jié)論得證。

（4）若則皆有

證明：根據(jù)已知條件，有，因此：，證畢。

（5）若，則有

證明：，因?yàn)?，所以，因而，即，結(jié)論得證。

7．設(shè)試寫出使達(dá)到最大的的表達(dá)式，其中為正整數(shù)，為復(fù)數(shù)。

解：首先，由復(fù)數(shù)的三角不等式有，在上面兩個(gè)不等式都取等號(hào)時(shí)達(dá)到最大，為此，需要取與同向且，即應(yīng)為的單位化向量，由此，8．試用來表述使這三個(gè)點(diǎn)共線的條件。

解：要使三點(diǎn)共線，那么用向量表示時(shí)，與應(yīng)平行，因而二者應(yīng)同向或反向，即幅角應(yīng)相差或的整數(shù)倍，再由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算規(guī)則知應(yīng)為或的整數(shù)倍，至此得到：

三個(gè)點(diǎn)共線的條件是為實(shí)數(shù)。

9．寫出過兩點(diǎn)的直線的復(fù)參數(shù)方程。

解：過兩點(diǎn)的直線的實(shí)參數(shù)方程為：，因而，復(fù)參數(shù)方程為：

其中為實(shí)參數(shù)。

10．下列參數(shù)方程表示什么曲線？（其中為實(shí)參數(shù)）

（1）

（2）

（3）

解：只需化為實(shí)參數(shù)方程即可。

（1），因而表示直線

（2），因而表示橢圓

（3），因而表示雙曲線

11．證明復(fù)平面上的圓周方程可表示為，其中為復(fù)常數(shù)，為實(shí)常數(shù)

證明：圓周的實(shí)方程可表示為：，代入，并注意到，由此，整理，得

記，則，由此得到，結(jié)論得證。

12．證明：幅角主值函數(shù)在原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸上不連續(xù)。

證明：首先，在原點(diǎn)無定義，因而不連續(xù)。

對(duì)于，由的定義不難看出，當(dāng)由實(shí)軸上方趨于時(shí)，而當(dāng)由實(shí)軸下方趨于時(shí)，由此說明不存在，因而在點(diǎn)不連續(xù)，即在負(fù)實(shí)軸上不連續(xù)，結(jié)論得證。

13．函數(shù)把平面上的曲線和分別映成平面中的什么曲線？

解：對(duì)于，其方程可表示為，代入映射函數(shù)中，得，因而映成的像曲線的方程為，消去參數(shù)，得

即表示一個(gè)圓周。

對(duì)于，其方程可表示為

代入映射函數(shù)中，得

因而映成的像曲線的方程為，消去參數(shù)，得，表示一半徑為的圓周。

14．指出下列各題中點(diǎn)的軌跡或所表示的點(diǎn)集，并做圖：

解：（1），說明動(dòng)點(diǎn)到的距離為一常數(shù)，因而表示圓心為，半徑為的圓周。

（2）是由到的距離大于或等于的點(diǎn)構(gòu)成的集合，即圓心為半徑為的圓周及圓周外部的點(diǎn)集。

（3）說明動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)固定點(diǎn)1和3的距離之和為一常數(shù)，因而表示一個(gè)橢圓。代入化為實(shí)方程得

（4）說明動(dòng)點(diǎn)到和的距離相等，因而是和連線的垂直平分線，即軸。

（5），幅角為一常數(shù)，因而表示以為頂點(diǎn)的與軸正向夾角為的射線。

15．做出下列不等式所確定的區(qū)域的圖形，并指出是有界還是無界，單連通還是多連通。

（1），以原點(diǎn)為心，內(nèi)、外圓半徑分別為2、3的圓環(huán)區(qū)域，有界，多連通

（2），頂點(diǎn)在原點(diǎn)，兩條邊的傾角分別為的角形區(qū)域，無界，單連通

（3），顯然，并且原不等式等價(jià)于，說明到3的距離比到2的距離大，因此原不等式表示2與3

連線的垂直平分線即2.5左邊部分除掉2后的點(diǎn)構(gòu)成的集合，是一無界，多連通區(qū)域。

（4），顯然該區(qū)域的邊界為雙曲線，化為實(shí)方程為，再注意到到2與到2的距離之差大于1，因而不等式表示的應(yīng)為上述雙曲線左邊一支的左側(cè)部分，是一無界單連通區(qū)域。

（5），代入，化為實(shí)不等式，得

所以表示圓心為半徑為的圓周外部，是一無界多連通區(qū)域。

習(xí)題二答案

1．指出下列函數(shù)的解析區(qū)域和奇點(diǎn)，并求出可導(dǎo)點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)。

（1）

（2）

（3）

（4）

解：根據(jù)函數(shù)的可導(dǎo)性法則（可導(dǎo)函數(shù)的和、差、積、商仍為可導(dǎo)函數(shù)，商時(shí)分母不為0），根據(jù)和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)公式及復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式，再注意到區(qū)域上可導(dǎo)一定解析，由此得到：

（1）處處解析，（2）處處解析，（3）的奇點(diǎn)為，即，（4）的奇點(diǎn)為，2．

判別下列函數(shù)在何處可導(dǎo)，何處解析，并求出可導(dǎo)點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)。

（1）

（2）

（3）

（4）

解：根據(jù)柯西—黎曼定理：

（1），四個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)皆連續(xù)，因而處處可微，再由柯西—黎曼方程

解得：，因此，函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，函數(shù)處處不解析。

（2），四個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)皆連續(xù)，因而處處可微，再由柯西—黎曼方程

解得：，因此，函數(shù)在直線上可導(dǎo)，因可導(dǎo)點(diǎn)集為直線，構(gòu)不成區(qū)域，因而函數(shù)處處不解析。

（3），四個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)皆連續(xù)，因而

處處可微，并且

處處滿足柯西—黎曼方程

因此，函數(shù)處處可導(dǎo)，處處解析，且導(dǎo)數(shù)為

（4），，因函數(shù)的定義域?yàn)椋蚀?，處處不滿足柯西—黎曼方程，因而函數(shù)處處不可導(dǎo)，處處不解析。

3．當(dāng)取何值時(shí)在復(fù)平面上處處解析？

解：，由柯西—黎曼方程得：

由（1）得，由（2）得，因而，最終有

4．證明：若解析，則有

證明：由柯西—黎曼方程知，左端

右端，證畢。

5．證明：若在區(qū)域D內(nèi)解析，且滿足下列條件之一，則在D內(nèi)一定為常數(shù)。

（1）在D內(nèi)解析，（2）在D內(nèi)為常數(shù)，（3）在D內(nèi)為常數(shù)，（4）

（5）

證明：關(guān)鍵證明的一階偏導(dǎo)數(shù)皆為0！

（1），因其解析，故此由柯西—黎曼方程得

------------------------（1）

而由的解析性，又有

------------------------（2）

由（1）、（2）知，因此即

為常數(shù)

（2）設(shè)，那么由柯西—黎曼方程得，說明與無關(guān)，因而，從而為常數(shù)。

（3）由已知，為常數(shù)，等式兩端分別對(duì)求偏導(dǎo)數(shù)，得

----------------------------（1）

因解析，所以又有

-------------------------（2）

求解方程組（1）、（2），得，說明

皆與無關(guān)，因而為常數(shù)，從而也為常數(shù)。

（4）同理，兩端分別對(duì)求偏導(dǎo)數(shù)，得

再聯(lián)立柯西—黎曼方程，仍有

（5）同前面一樣，兩端分別對(duì)求偏導(dǎo)數(shù)，得

考慮到柯西—黎曼方程，仍有，證畢。

6．計(jì)算下列各值（若是對(duì)數(shù)還需求出主值）

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

解：（1）

（2），為任意整數(shù)，主值為：

（3），為任意整數(shù)

主值為：

（4）

（5），為任意整數(shù)

（6），當(dāng)分別取0，1，2時(shí)得到3個(gè)值：，7．

求和

解：，因此根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義，有，（為任意整數(shù)）

8．設(shè)，求

解：，因此

9．解下列方程：

（1）

（2）

（3）

（4）

解：（1）方程兩端取對(duì)數(shù)得：

（為任意整數(shù)）

（2）根據(jù)對(duì)數(shù)與指數(shù)的關(guān)系，應(yīng)有

（3）由三角函數(shù)公式（同實(shí)三角函數(shù)一樣），方程可變形為

因此

即，為任意整數(shù)

（4）由雙曲函數(shù)的定義得，解得，即，所以，為任意整數(shù)

10．證明羅比塔法則：若及在點(diǎn)解析，且，則，并由此求極限

證明：由商的極限運(yùn)算法則及導(dǎo)數(shù)定義知，由此，11．

用對(duì)數(shù)計(jì)算公式直接驗(yàn)證：

（1）

（2）

解：記，則

（1）左端，右端，其中的為任意整數(shù)。

顯然，左端所包含的元素比右端的要多（如左端在時(shí)的值為，而右端卻取不到這一值），因此兩端不相等。

（2）左端

右端

其中為任意整數(shù)，而

不難看出，對(duì)于左端任意的，右端取或時(shí)與其對(duì)應(yīng)；反之，對(duì)于右端任意的，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，左端可取于其對(duì)應(yīng)，而當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，左端可取于其對(duì)應(yīng)。綜上所述，左右兩個(gè)集合中的元素相互對(duì)應(yīng)，即二者相等。

12．證明

證明：首先有，因此，第一式子證畢。

同理可證第二式子也成立。

13．證明

（即）

證明：首先，右端不等式得到證明。

其次，由復(fù)數(shù)的三角不等式又有，根據(jù)高等數(shù)學(xué)中的單調(diào)性方法可以證明時(shí)，因此接著上面的證明，有，左端不等式得到證明。

14．設(shè)，證明

證明：由復(fù)數(shù)的三角不等式，有，由已知，再主要到時(shí)單調(diào)增加，因此有，同理，證畢。

15．已知平面流場(chǎng)的復(fù)勢(shì)為

（1）

（2）

（3）

試求流動(dòng)的速度及流線和等勢(shì)線方程。

解：只需注意，若記，則

流場(chǎng)的流速為，流線為，等勢(shì)線為，因此，有

（1）

流速為，流線為，等勢(shì)線為

（2）

流速為，流線為，等勢(shì)線為

（3）

流速為，流線為，等勢(shì)線為

習(xí)題三答案

1．計(jì)算積分，其中為從原點(diǎn)到的直線段

解：積分曲線的方程為，即，代入原積分表達(dá)式中，得

2．計(jì)算積分，其中為

（1）從0到1再到的折線

（2）從0到的直線

解：（1）從0到1的線段方程為：，從1到的線段方程為：，代入積分表達(dá)式中，得；

（2）從0到的直線段的方程為，代入積分表達(dá)式中，得，對(duì)上述積分應(yīng)用分步積分法，得

3．積分，其中為

（1）沿從0到

（2）沿從0到

解：（1）積分曲線的方程為，代入原積分表達(dá)式中，得

（2）積分曲線的方程為，代入積分表達(dá)式中，得

4．計(jì)算積分，其中為

（1）從1到+1的直線段

（2）從1到+1的圓心在原點(diǎn)的上半圓周解：（1）的方程為，代入，得

（2）的方程為，代入，得

5．估計(jì)積分的模,其中為+1到-1的圓心在原點(diǎn)的上半圓周。

解：在上，=1，因而由積分估計(jì)式得的弧長

6．用積分估計(jì)式證明：若在整個(gè)復(fù)平面上有界，則正整數(shù)時(shí)

其中為圓心在原點(diǎn)半徑為的正向圓周。

證明：記，則由積分估計(jì)式得，因，因此上式兩端令取極限，由夾比定理，得，證畢。

7．通過分析被積函數(shù)的奇點(diǎn)分布情況說明下列積分為0的原因，其中積分曲線皆為。

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

解：各積分的被積函數(shù)的奇點(diǎn)為：（1），（2）

即，（3）

（4）為任意整數(shù)，（5）被積函數(shù)處處解析，無奇點(diǎn)

不難看出，上述奇點(diǎn)的模皆大于1，即皆在積分曲線之外，從而在積分曲線內(nèi)被積函數(shù)解析，因此根據(jù)柯西基本定理，以上積分值都為0。

8．計(jì)算下列積分：

（1）

（2）

（3）

解：以上積分皆與路徑無關(guān)，因此用求原函數(shù)的方法：

（1）

（2）

（3）

9．計(jì)算，其中為不經(jīng)過的任一簡單正向閉曲線。

解：被積函數(shù)的奇點(diǎn)為，根據(jù)其與的位置分四種情況討論：

（1）皆在外，則在內(nèi)被積函數(shù)解析，因而由柯西基本定理

（2）在內(nèi)，在外，則在內(nèi)解析，因而由柯西積分

公式：

（3）同理，當(dāng)在內(nèi)，在外時(shí)，（4）皆在內(nèi)

此時(shí)，在內(nèi)圍繞分別做兩條相互外離的小閉合曲線，則由復(fù)合閉路原理得：

注：此題若分解，則更簡單！

10．計(jì)算下列各積分

解：（1），由柯西積分公式

（2），在積分曲線內(nèi)被積函數(shù)只有一個(gè)奇點(diǎn)，故此同上題一樣：

（3）

在積分曲線內(nèi)被積函數(shù)有兩個(gè)奇點(diǎn)，圍繞分別做兩條相互外離的小閉合曲線，則由復(fù)合閉路原理得：

（4），在積分曲線內(nèi)被積函數(shù)只有一個(gè)奇點(diǎn)1，故此

（5），在積分曲線內(nèi)被積函數(shù)有兩個(gè)奇點(diǎn)，圍繞分別做兩條相互外離的小閉合曲線，則由復(fù)合閉路原理得：

（6）為正整數(shù)，由高階導(dǎo)數(shù)公式

11．計(jì)算積分，其中為

（1）

（2）

（3）

解：（1）由柯西積分公式

（2）同理，由高階導(dǎo)數(shù)公式

（3）由復(fù)合閉路原理，其中，為內(nèi)分別圍繞0，1且相互外離的小閉合曲線。

12．積分的值是什么？并由此證明

解：首先，由柯西基本定理，因?yàn)楸环e函數(shù)的奇點(diǎn)在積分曲線外。

其次，令，代入上述積分中，得

考察上述積分的被積函數(shù)的虛部，便得到，再由的周期性，得

即，證畢。

13．設(shè)都在簡單閉曲線上及內(nèi)解析，且在上，證明在內(nèi)也有。

證明：由柯西積分公式，對(duì)于內(nèi)任意點(diǎn)，由已知，在積分曲線上，故此有

再由的任意性知，在內(nèi)恒有，證畢。

14．設(shè)在單連通區(qū)域內(nèi)解析，且，證明

（1）

在內(nèi)；

（2）

對(duì)于內(nèi)任一簡單閉曲線，皆有

證明：（1）顯然，因?yàn)槿粼谀滁c(diǎn)處則由已知，矛盾！

（也可直接證明：，因此，即，說明）

（3）

既然，再注意到解析，也解析，因此由函數(shù)的解析性法則知也在區(qū)域內(nèi)解析，這樣，根據(jù)柯西基本定理，對(duì)于內(nèi)任一簡單閉曲線，皆有，證畢。

15．求雙曲線

（為常數(shù)）的正交（即垂直）曲線族。

解：為調(diào)和函數(shù)，因此只需求出其共軛調(diào)和函數(shù)，則

便是所要求的曲線族。為此，由柯西—黎曼方程，因此，再由

知，即為常數(shù)，因此，從而所求的正交曲線族為

（注：實(shí)際上，本題的答案也可觀察出，因極易想到

解析）

16．設(shè)，求的值使得為調(diào)和函數(shù)。

解：由調(diào)和函數(shù)的定義，因此要使為某個(gè)區(qū)域內(nèi)的調(diào)和函數(shù)，即在某區(qū)域內(nèi)上述等式成立，必須，即。

17．已知，試確定解析函數(shù)

解：首先，等式兩端分別對(duì)求偏導(dǎo)數(shù)，得

----------------------------------（1）

-------------------------------（2）

再聯(lián)立上柯西—黎曼方程

------------------------------------------------------（3）

----------------------------------------------------（4）

從上述方程組中解出，得

這樣，對(duì)積分，得再代入中，得

至此得到：由二者之和又可解出，因此，其中為任意實(shí)常數(shù)。

注：此題還有一種方法：由定理知

由此也可很方便的求出。

18．由下列各已知調(diào)和函數(shù)求解析函數(shù)

解：（1），由柯西—黎曼方程，對(duì)積分，得，再由得，因此，所以，因，說明時(shí)，由此求出，至此得到：，整理后可得：

（2），此類問題，除了上題采用的方法外，也可這樣：，所以，其中為復(fù)常數(shù)。代入得，故此

（3）

同上題一樣，因此，其中的為對(duì)數(shù)主值，為任意實(shí)常數(shù)。

（4），對(duì)積分，得

再由得，所以為常數(shù)，由知，時(shí)，由此確定出，至此得到：，整理后可得

19．設(shè)在上解析，且，證明

證明：由高階導(dǎo)數(shù)公式及積分估計(jì)式，得，證畢。

20．若在閉圓盤上解析，且，試證明柯西不等式，并由此證明劉維爾定理：在整個(gè)復(fù)平面上有界且處處解析的函數(shù)一定為常數(shù)。

證明：由高階導(dǎo)數(shù)公式及積分估計(jì)式，得，柯西不等式證畢；下證劉維爾定理：

因?yàn)楹瘮?shù)有界，不妨設(shè)，那么由柯西不等式，對(duì)任意都有，又因處處解析，因此可任意大，這樣，令，得，從而，即，再由的任意性知，因而為常數(shù)，證畢。

習(xí)題四答案

1．考察下列數(shù)列是否收斂，如果收斂，求出其極限．

（1）

解：因?yàn)椴淮嬖?，所以不存在，由定?.1知，數(shù)列不收斂．

（2）

解：，其中，則

．

因?yàn)?，所?/p>

由定義4.1知，數(shù)列收斂，極限為0．

（3）

解：因?yàn)椋?/p>

由定義4.1知，數(shù)列收斂，極限為0．

（4）

解：設(shè)，則，因?yàn)椋疾淮嬖?，所以不存在，由定?.1知，數(shù)列不收斂．

2．下列級(jí)數(shù)是否收斂？是否絕對(duì)收斂?

(1)

解：，由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值判別法知該級(jí)數(shù)收斂，故級(jí)數(shù)收斂，且為絕對(duì)收斂．

(2)

解：，因?yàn)槭墙诲e(cuò)級(jí)數(shù)，根據(jù)交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茲審斂法知該級(jí)數(shù)收斂，同樣可知，也收斂，故級(jí)數(shù)是收斂的．

又，因?yàn)榘l(fā)散，故級(jí)數(shù)發(fā)散，從而級(jí)數(shù)條件收斂．

(3)

解：，因級(jí)數(shù)發(fā)散，故發(fā)散．

(4)

解：，由正項(xiàng)正項(xiàng)級(jí)數(shù)比值判別法知該級(jí)數(shù)收斂，故級(jí)數(shù)收斂，且為絕對(duì)收斂．

3．試確定下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑．

(1)

解：，故此冪級(jí)數(shù)的收斂半徑．

(2)

解：，故此冪級(jí)數(shù)的收斂半徑．

(3)

解：，故此冪級(jí)數(shù)的收斂半徑．

(4)

解：令，則，故冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?，即，從而冪?jí)數(shù)的收斂域?yàn)?，收斂半徑為?/p>

4．設(shè)級(jí)數(shù)收斂，而發(fā)散，證明的收斂半徑為．

證明：在點(diǎn)處，因?yàn)槭諗?，所以收斂，故由阿貝爾定理知，時(shí)，收斂，且為絕對(duì)收斂，即收斂．

時(shí)，因?yàn)榘l(fā)散，根據(jù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較準(zhǔn)則可知，發(fā)散，從而的收斂半徑為1，由定理4.6，的收斂半徑也為1．

5．如果級(jí)數(shù)在它的收斂圓的圓周上一點(diǎn)處絕對(duì)收斂，證明它在收斂圓所圍的閉區(qū)域上絕對(duì)收斂．

證明：時(shí)，由阿貝爾定理，絕對(duì)收斂．

時(shí)，由已知條件知，收斂，即收斂，亦即絕對(duì)收斂．

6．將下列函數(shù)展開為的冪級(jí)數(shù)，并指出其收斂區(qū)域．

（1）

解：由于函數(shù)的奇點(diǎn)為，因此它在內(nèi)處處解析，可以在此圓內(nèi)展開成的冪級(jí)數(shù)．根據(jù)例4.2的結(jié)果，可以得到

．

將上式兩邊逐項(xiàng)求導(dǎo)，即得所要求的展開式

=．

（2）

解：①時(shí)，由于函數(shù)的奇點(diǎn)為，因此它在內(nèi)處處解析，可以在此圓內(nèi)展開成的冪級(jí)數(shù)．

===．

②時(shí)，由于函數(shù)的奇點(diǎn)為，因此它在內(nèi)處處解析，可以在此圓內(nèi)展開成的冪級(jí)數(shù)．

=

=．

（3）

解：由于函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)處處解析，所以它在整個(gè)復(fù)平面內(nèi)可以展開成的冪級(jí)數(shù)．

．

（4）

解：由于函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)處處解析，所以它在整個(gè)復(fù)平面內(nèi)可以展開成的冪級(jí)數(shù)．

（5）

解：由于函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)處處解析，所以它在整個(gè)復(fù)平面內(nèi)可以展開成的冪級(jí)數(shù)．

=．

（6）

解：由于函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)處處解析，所以它在整個(gè)復(fù)平面內(nèi)可以展開成的冪級(jí)數(shù)．

=

==．

7．求下列函數(shù)展開在指定點(diǎn)處的泰勒展式，并寫出展式成立的區(qū)域．

（1）

解：，．

由于函數(shù)的奇點(diǎn)為，所以這兩個(gè)展開式在內(nèi)處處成立．所以有：

．

（2）

解：由于

所以．

（3）

解：

=．

展開式成立的區(qū)域：，即

（4）

解：，，……，，……，故有

因?yàn)榈钠纥c(diǎn)為，所以這個(gè)等式在的范圍內(nèi)處處成立。

8．將下列函數(shù)在指定的圓域內(nèi)展開成洛朗級(jí)數(shù)．

(1)

解：，故有

(2)

解：

①在內(nèi)

②在內(nèi)

(3)

解：①在內(nèi)，②在內(nèi)

(4)

解：在內(nèi)

(5)

解：

在內(nèi)

故有

9．將在的去心鄰域內(nèi)展開成洛朗級(jí)數(shù)．

解：因?yàn)楹瘮?shù)的奇點(diǎn)為，所以它以點(diǎn)為心的去心鄰域是圓環(huán)域．在內(nèi)

又

故有

10．函數(shù)能否在圓環(huán)域內(nèi)展開為洛朗級(jí)數(shù)？為什么？

答：不能。函數(shù)的奇點(diǎn)為,，所以對(duì)于，內(nèi)都有的奇點(diǎn)，即以為環(huán)心的處處解析的圓環(huán)域不存在，所以函數(shù)不能在圓環(huán)域內(nèi)展開為洛朗級(jí)數(shù)．

習(xí)題五答案

1．求下列各函數(shù)的孤立奇點(diǎn)，說明其類型，如果是極點(diǎn)，指出它的級(jí)．

（1）

解：函數(shù)的孤立奇點(diǎn)是，因

由性質(zhì)5.2知，是函數(shù)的1級(jí)極點(diǎn)，均是函數(shù)的2級(jí)極點(diǎn)．

（2）

解：函數(shù)的孤立奇點(diǎn)是，因，由極點(diǎn)定義知，是函數(shù)的2級(jí)極點(diǎn)．

（3）

解：函數(shù)的孤立奇點(diǎn)是，因，由性質(zhì)5.1知，是函數(shù)可去奇點(diǎn)．

（4）

解：函數(shù)的孤立奇點(diǎn)是,①，即時(shí)，因

所以是的3級(jí)零點(diǎn)，由性質(zhì)5.5知，它是的3級(jí)極點(diǎn)

②，時(shí)，令，因，由定義5.2知，是的1級(jí)零點(diǎn)，由性質(zhì)5.5知，它是的1級(jí)極點(diǎn)

（5）

解：函數(shù)的孤立奇點(diǎn)是,令，①

時(shí)，，由定義5.2知，是的2級(jí)零點(diǎn)，由性質(zhì)5.5知，它是的2級(jí)極點(diǎn)，故是的2級(jí)極點(diǎn)．

②時(shí)，，由定義5.2知，是的1級(jí)零點(diǎn)，由性質(zhì)5.5知，它是的1級(jí)極點(diǎn)，故是的１級(jí)極點(diǎn)．

（６）

解：函數(shù)的孤立奇點(diǎn)是，令，①

時(shí)，因，所以是的2級(jí)零點(diǎn)，從而它是的2級(jí)極點(diǎn)．

②時(shí)，，由定義5.2知，是的1級(jí)零點(diǎn)，由性質(zhì)5.5知，它是的１級(jí)極點(diǎn)．

2．指出下列各函數(shù)的所有零點(diǎn)，并說明其級(jí)數(shù)．

（1）

解：函數(shù)的零點(diǎn)是，記，①

時(shí)，因，故是的2級(jí)零點(diǎn)．

②時(shí)，，由定義5.2知，是的1級(jí)零點(diǎn)．

（2）

解：函數(shù)的零點(diǎn)是，因，所以由性質(zhì)5.4知，是的2級(jí)零點(diǎn)．

（3）

解：函數(shù)的零點(diǎn)是，，記，①

時(shí)，是的1級(jí)零點(diǎn)，的1級(jí)零點(diǎn)，的2級(jí)零點(diǎn)，所以是的4級(jí)零點(diǎn)．

②，時(shí)，，由定義5.2知，是的1級(jí)零點(diǎn)．

③，時(shí)，，由定義5.2知，是的1級(jí)零點(diǎn)．

3．是函數(shù)的幾級(jí)極點(diǎn)？

答：記，則，，，將代入，得：，由定義5.2知，是函數(shù)的5級(jí)零點(diǎn)，故是的10級(jí)極點(diǎn)．

4．證明：如果是的級(jí)零點(diǎn)，那么是的級(jí)零點(diǎn)．

證明：因?yàn)槭堑募?jí)零點(diǎn)，所以，即，由定義5.2知，是的級(jí)零點(diǎn)．

5．求下列函數(shù)在有限孤立奇點(diǎn)處的留數(shù)．

（1）

解：函數(shù)的有限孤立奇點(diǎn)是，且均是其1級(jí)極點(diǎn)．由定理5.2知，．

（2）

解：函數(shù)的有限孤立奇點(diǎn)是，且是函數(shù)的3級(jí)極點(diǎn)，由定理5.2，．

（3）

解：函數(shù)的有限孤立奇點(diǎn)是，因

所以由定義5.5知，．

（4）

解：函數(shù)的有限孤立奇點(diǎn)是，因

所以由定義5.5知，．

（5）

解：函數(shù)的有限孤立奇點(diǎn)是，因

所以由定義5.5知，．

（6）

解：函數(shù)的有限孤立奇點(diǎn)是．

①，即，因?yàn)?/p>

所以是的2級(jí)極點(diǎn)．由定理5.2，．

②時(shí)，記，則，因?yàn)椋杂啥x5.2知，是的1級(jí)零點(diǎn)，故它是的1級(jí)極點(diǎn)．由定理5.3，．

6．利用留數(shù)計(jì)算下列積分（積分曲線均取正向）．

（1）

解：是被積函數(shù)在積分區(qū)域內(nèi)的有限孤立奇點(diǎn)，且為2級(jí)極點(diǎn)，由定理5.2，由定理5.1知，．

（2）

解：是被積函數(shù)在積分區(qū)域內(nèi)的有限孤立奇點(diǎn)，且為1級(jí)極點(diǎn)，所以由定理5.1及定理5.2，．

（3）

解：是被積函數(shù)在積分區(qū)域內(nèi)的有限孤立奇點(diǎn)，因?yàn)?，所以由性質(zhì)5.1知是函數(shù)的可去奇點(diǎn)，從而由定理5.1，由定理5.1，．

（4）

解：是被積函數(shù)在積分區(qū)域內(nèi)的有限孤立奇點(diǎn)，且為2級(jí)極點(diǎn)，由定理5.2，由定理5.1，．

（5）

解：是被積函數(shù)在積分區(qū)域內(nèi)的有限孤立奇點(diǎn)，由性質(zhì)5.6知是函數(shù)的1級(jí)極點(diǎn)，由定理5.1，．

（6）

解：被積函數(shù)在積分區(qū)域內(nèi)的有限孤立奇點(diǎn)為：，由定理5.3，這些點(diǎn)均為的1級(jí)極點(diǎn)，且

由定理5.1，．

7．計(jì)算積分，其中為正整數(shù)，．

解：記，則的有限孤立奇點(diǎn)為，且為級(jí)極點(diǎn)，分情況討論如下：

①時(shí)，均在積分區(qū)域內(nèi)，由定理5.1，故有．

②時(shí)，均不在積分區(qū)域內(nèi)，所以．

③時(shí)，在積分區(qū)域內(nèi)，不在積分區(qū)域內(nèi)，所以

習(xí)題五

8．判斷是下列各函數(shù)的什么奇點(diǎn)？求出在的留數(shù)。

解：（1）因?yàn)?/p>

所以，是的可去奇點(diǎn)，且。

（2）因?yàn)?/p>

所以

于是，是的本性奇點(diǎn)，且。

（3）因?yàn)?/p>

所以

容易看出，展式中由無窮多的正冪項(xiàng)，所以是的本性奇點(diǎn)。

（4）因?yàn)?/p>

所以是的可去奇點(diǎn)。

9．計(jì)算下列積分：

解：（1）

（2）

從上式可知，所以。

10．求下列各積分之值：

（1）解：設(shè)則。于是

（2）解：設(shè)則。于是

（3）解：顯然，滿足分母的次數(shù)至少比分子的次數(shù)高二次，且在實(shí)軸上沒有奇點(diǎn)，積分是存在的。在上半平面內(nèi)只有一個(gè)奇點(diǎn)，且為2級(jí)極點(diǎn)。于是

（4）解：

顯然，滿足分母的次數(shù)至少比分子的次數(shù)高二次，且在實(shí)軸上沒有奇點(diǎn)，積分是存在的。在上半平面內(nèi)只有和二個(gè)奇點(diǎn)，且都為1

級(jí)極點(diǎn)。于是

所以

（5）解：顯然，滿足分母的次數(shù)至少比分子的次數(shù)高一次，且在實(shí)軸上沒有奇點(diǎn)，在上半平面內(nèi)只有一個(gè)奇點(diǎn)，且為1

級(jí)極點(diǎn)。于是

（6）解：顯然，滿足分母的次數(shù)至少比分子的次數(shù)高一次，且在實(shí)軸上沒有奇點(diǎn)，在上半平面內(nèi)只有一個(gè)奇點(diǎn)，且為1

級(jí)極點(diǎn)。于是

11．利用對(duì)數(shù)留數(shù)計(jì)算下列積分：

解：（1），這里為函數(shù)在內(nèi)的零點(diǎn)數(shù)，為在內(nèi)的極點(diǎn)數(shù)。

（2）

這里為函數(shù)在內(nèi)的零點(diǎn)數(shù)，為在內(nèi)的極點(diǎn)數(shù)；為函數(shù)在內(nèi)的零點(diǎn)數(shù)，為在內(nèi)的極點(diǎn)數(shù)。

(3)

這里為函數(shù)在內(nèi)的零點(diǎn)數(shù)，為在內(nèi)的極點(diǎn)數(shù)。

(4)

這里為函數(shù)在內(nèi)的零點(diǎn)數(shù)，為在內(nèi)的極點(diǎn)數(shù)。

12．證明方程有三個(gè)根在環(huán)域內(nèi)

證明：令。因?yàn)楫?dāng)時(shí)，有

所以，方程與在內(nèi)根的數(shù)目相同，即4個(gè)。

又當(dāng)時(shí)，有

所以，方程與在內(nèi)根的數(shù)目相同，即1個(gè)。

綜合上述得到，在環(huán)域內(nèi)有3個(gè)根。

13．討論方程在與內(nèi)各有幾個(gè)根。

解：令。因?yàn)楫?dāng)時(shí)，有

所以，方程與在內(nèi)根的數(shù)目相同，即1個(gè)。

又當(dāng)時(shí)，有

所以，方程與在內(nèi)根的數(shù)目相同，即4個(gè)。

根據(jù)上述還可以得到，在環(huán)域內(nèi)有3個(gè)根。

14．當(dāng)時(shí)，證明方程與在單位圓內(nèi)有n個(gè)根。

證明：令。因?yàn)楫?dāng)時(shí)，有

所以，當(dāng)時(shí)，方程與在內(nèi)根的數(shù)目相同，即n個(gè)。

習(xí)題七答案

1．試證：若滿足傅氏積分定理的條件，則有

證明：根據(jù)付氏積分公式，有

2．求下列函數(shù)的傅氏變換：

（1）

（2）

（3）

（4）

解：（1）

f(t)

(2)

(3)

(4)

由于

所以

3．求下列函數(shù)的傅氏變換，并推證所列的積分等式。

(1)

證明

(2)

證明。

解：(1)

由傅氏積分公式，當(dāng)時(shí)

所以，根據(jù)傅氏積分定理

(2)

由傅氏積分公式

所以，根據(jù)傅氏積分定理

5．求下列函數(shù)的傅氏變換：

(1)

(2)

(3)

(4)

解：（1）

(2)

(3)

由于

所以

(4)

由于

所以

6．證明：若其中為一實(shí)函數(shù)，則

其中為的共軛函數(shù)。

證明：由于

所以

于是有

7．若，證明（翻轉(zhuǎn)性質(zhì)）。

證明：由于

所以

對(duì)上述積分作變換，則

8．證明下列各式：

(1)

（為常數(shù)）；

(2)

證明：（1）

（2）

9．計(jì)算下列函數(shù)和的卷積：

(1)

(2)

(2)

(2)

解:

(1)

顯然，有

當(dāng)時(shí)，由于=0，所以；

當(dāng)時(shí)，（2）顯然，有

所以，當(dāng)

或

或

時(shí)，皆有=0。于是

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)。

又

所以

從而

當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，總結(jié)上述，得。

10．求下列函數(shù)的傅氏變換：

(1)

(2)

(3)

(4)

解：（1）由于

根據(jù)位移性質(zhì)

（2）

（3）根據(jù)位移性質(zhì)

再根據(jù)像函數(shù)的位移性質(zhì)

（4）由于

根據(jù)微分性質(zhì)

再根據(jù)位移性質(zhì)。

習(xí)題八

1．求下列函數(shù)的拉氏變換：

(1)

解：由拉氏變換的定義知：

(2)

解：由拉氏變換的定義以及單位脈動(dòng)函數(shù)的篩選性質(zhì)知：

2.求下列函數(shù)的拉氏變換：

(1)

解：由拉氏變換的線性性質(zhì)知：

(2)

解：由拉氏變換的線性性質(zhì)和位移性質(zhì)知：

(3)

解：法一：利用位移性質(zhì)。

由拉氏變換的位移性質(zhì)知：

法二：利用微分性質(zhì)。

令

則

由拉氏變換的微分性質(zhì)知：

即

(4)

解：因?yàn)?/p>

故由拉氏變換的位移性知：

(5)

解：

故

(6)

解：因?yàn)?/p>

即：

故

(7)

解：

法一：利用拉氏變換的位移性質(zhì)。

法二：利用微分性質(zhì)。

令則

由拉氏變換的微分性質(zhì)知：

又因?yàn)?/p>

所以

(8)

解：法一：利用拉氏變換的位移性質(zhì)。

因?yàn)?/p>

故

法二：利用微分性質(zhì)。

令，則

故

由拉氏變換的微分性質(zhì)知：.故

3.利用拉氏變換的性質(zhì)計(jì)算下列各式：

(1)

求

解：因?yàn)?/p>

所以由拉氏變換的位移性質(zhì)知：

(2)

求

解：設(shè)

則

由拉氏變換的積分性質(zhì)知：

再由微分性質(zhì)得：

所以

4.利用拉氏變換的性質(zhì)求

(1)

解：法一：利用卷積求解。

設(shè)

則

而

由卷積定理知：

法二：利用留數(shù)求解。

顯然在內(nèi)有兩個(gè)2級(jí)極點(diǎn)。除此外處處解析，且當(dāng)時(shí)，故由定理8.3知：

(2)

解：法一：利用卷積求解。

設(shè)

則

而

由卷積定理知

法二：用留數(shù)求解。

顯然在內(nèi)有兩個(gè)2級(jí)極點(diǎn)。除此外處處解析，且當(dāng)時(shí)，故由定理8.3知：

法三：利用拉氏變換積分性質(zhì)求解。

由(1)題知

故

即

5.利用積分性質(zhì)計(jì)算

(1)

解：設(shè)

由拉氏變換的微分性質(zhì)得：

所以

(2)

解：在(1)題中取得

由拉氏變換的位移性質(zhì)知：

再由拉氏變換的積分性質(zhì)得

6.計(jì)算下列積分：

(1)

解：

由拉氏變換表知：取

則

(2)

解：

7．求下列函數(shù)的拉氏逆變換：

(1)

解：因

取得

故

(2)

解：因?yàn)?/p>

而

所以

(3)

解：設(shè)則是的四級(jí)極點(diǎn)。

除此外處處解析，且當(dāng)時(shí)，故由定理8.3知：

下面來求留數(shù)。

因?yàn)?/p>

故.所以

(4)

解：設(shè)

則在內(nèi)具有兩個(gè)單極點(diǎn)

除此外處處解析，且當(dāng)時(shí)，故由定理8.3得：

(5)

解：設(shè)

分別為的一階、二階極點(diǎn)。顯然滿足定理8.3的條件，故由定理8.3知：

(6)

解：設(shè)

顯然

查表知

故由卷積定理得：

(7)

解：設(shè)

則

因?yàn)?/p>

所以

故

(8)

解：，因?yàn)?/p>

所以

即：

8.求下列函數(shù)的拉氏逆變換：

(1)

解：

由拉氏變換表知：

所以

(2)

解：

而

所以

(3)

解：設(shè)

則

設(shè)

則

由卷積定理知，所以

(4)

解：設(shè)

則

設(shè)

則

故

所以

(5)

解：

因?yàn)?/p>

故由卷積定理知：

又因?yàn)?/p>

所以

(6)

解：

由拉氏變換表知：

所以

9.求下列卷積：

(1)

解：`因?yàn)?/p>

所以

(2)

（m,n為正整數(shù)）；

解：

(3)

解：

(4)

解：

(5)

解：因?yàn)?/p>

當(dāng)時(shí)，故當(dāng)

時(shí)，即

(6)

解：設(shè)

則

所以當(dāng)

即

時(shí)，上式為0.當(dāng)

即

時(shí)，由函數(shù)的篩選性質(zhì)得：

10.利用卷積定理證明下列等式：

(1)

證明：因?yàn)?/p>

故由卷積定理：

也即，證畢。

(2)

證明：因?yàn)?/p>

故由卷積定理知：

證畢。

11.解下列微分方程或微分方程組：

(1)

解：設(shè)

對(duì)方程兩邊取拉氏變換，得

代入

得：

用留數(shù)方法求解拉氏逆變換，有：

(2)

解：設(shè)

對(duì)方程兩邊同時(shí)取拉氏變換，得

代入初值條件，得：

求拉氏逆變換得方程的解為：

(3)

解：設(shè)

用拉氏變換作用方程兩邊，得：

代入初值條件，有：

即：

因?yàn)?/p>

所以由卷積定理求拉氏逆變換得：

(4)

解：設(shè)

用拉氏變換作用在方程兩邊得：

將初始條件代入，得：

因?yàn)?/p>

所以

因此

故方程的解：

(5)

解：設(shè)

對(duì)方程兩邊取拉氏變換，得：

代入初始條件，整理得：

由例8.16知：

又因?yàn)?/p>

故

因?yàn)?/p>

所以方程的解

(6)

解：設(shè)

對(duì)方程組的每個(gè)方程兩邊分別取拉氏變換，并考慮到初始條件得：

求解該方程組得：

取拉式逆變換得原方程組的解為：

(7)

解：設(shè)

對(duì)方程組的每個(gè)方程兩邊分別取拉氏變換，并考慮到初始條件得：

整理計(jì)算得：

下求的拉氏逆變換：

因?yàn)?/p>

故由卷積定理可得

同理可求

所以方程組的解為

(8)

解：設(shè)

對(duì)方程組的每個(gè)方程兩邊分別取拉氏變換，并考慮到初始條件得：

解此方程組得：

取拉氏逆變換得原方程組的解為：

12.求解積分方程

解：令

由卷積定理

知

將拉氏變換作用于原方程兩端，得：

也即：

取拉式逆變換得原方程的解為：