復(fù)變函數(shù)與積分變換
（修訂版）
主編：馬柏林
——課后習(xí)題答案
習(xí)題一
1.用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式a+ib表示下列復(fù)數(shù)
.①解
②解：
③解：
④解：
2.求下列各復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部(z=x+iy)
R);
①
：
∵設(shè)z=x+iy
則
∴,．
②解：
設(shè)z=x+iy
∵
∴,．
③解：
∵
∴,．
④解：
∵
∴,．
⑤解：
∵．
∴當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，．
3.求下列復(fù)數(shù)的模和共軛復(fù)數(shù)
①解：．
②解：
③解：．
④解：
4、證明：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，z才是實(shí)數(shù)．
證明：若，設(shè)，則有，從而有，即y=0
∴z=x為實(shí)數(shù)．
若z=x，x∈?，則．
∴．
命題成立．
5、設(shè)z,w∈￡，證明：
證明∵
∴．
6、設(shè)z,w∈￡，證明下列不等式．
并給出最后一個(gè)等式的幾何解釋．
證明：在上面第五題的證明已經(jīng)證明了．
下面證．
∵
．從而得證．
∴
幾何意義：平行四邊形兩對(duì)角線平方的和等于各邊的平方的和．
7.將下列復(fù)數(shù)表示為指數(shù)形式或三角形式
①解：
其中．
②解：其中．
③解：
④解：.∴
⑤解：
解：∵．
∴
8.計(jì)算：(1)i的三次根；(2)-1的三次根；(3)的平方根.⑴i的三次根．
解：
∴．
⑵-1的三次根
解：
∴
⑶的平方根．
解：
∴
∴
．
9.設(shè).證明：
證明：∵ ∴，即．
∴
又∵n≥2．
∴z≠1
從而
11.設(shè)是圓周令,其中.求出在a切于圓周的關(guān)于的充分必要條件.解：如圖所示．
因?yàn)?{z:
=0}表示通過點(diǎn)a且方向與b同向的直線，要使得直線在a處與圓相切，則CA⊥．過C作直線平行，則有∠BCD=β，∠ACB=90°
故α-β=90°
所以在α處切于圓周T的關(guān)于β的充要條件是α-β=90°．
12.指出下列各式中點(diǎn)z所確定的平面圖形，并作出草圖.解：
(1)、argz=π．表示負(fù)實(shí)軸．
(2)、|z-1|=|z|．表示直線z=．
(3)、1<|z+i|<2
解：表示以-i為圓心，以1和2為半徑的周圓所組成的圓環(huán)域。
（4）、Re(z)>Imz．
解：表示直線y=x的右下半平面
5、Imz>1，且|z|<2．
解：表示圓盤內(nèi)的一弓形域。
習(xí)題二
1.求映射下圓周的像.解：設(shè)則
因?yàn)?所以
所以,所以即，表示橢圓.2.在映射下，下列z平面上的圖形映射為w平面上的什么圖形，設(shè)或.（1）；
（2）;
(3)
x=a,y=b.(a,b為實(shí)數(shù))
解：設(shè)
所以
(1)
記，則映射成w平面內(nèi)虛軸上從O到4i的一段，即
(2)
記，則映成了w平面上扇形域，即
(3)
記，則將直線x=a映成了即是以原點(diǎn)為焦點(diǎn)，張口向左的拋物線將y=b映成了
即是以原點(diǎn)為焦點(diǎn)，張口向右拋物線如圖所示.3.求下列極限.(1)
;
解：令,則.于是.(2)
;
解：設(shè)z=x+yi，則有
顯然當(dāng)取不同的值時(shí)f(z)的極限不同
所以極限不存在.（3）；
解：=.（4）
.解：因?yàn)?/p>
所以.4.討論下列函數(shù)的連續(xù)性：
(1)
解：因?yàn)?若令y=kx,則,因?yàn)楫?dāng)k取不同值時(shí)，f(z)的取值不同，所以f(z)在z=0處極限不存在.從而f(z)在z=0處不連續(xù)，除z=0外連續(xù).(2)
解：因?yàn)?所以
所以f(z)在整個(gè)z平面連續(xù).5.下列函數(shù)在何處求導(dǎo)？并求其導(dǎo)數(shù).(1)
(n為正整數(shù))；
解：因?yàn)閚為正整數(shù)，所以f(z)在整個(gè)z平面上可導(dǎo)..(2)
.解：因?yàn)閒(z)為有理函數(shù)，所以f(z)在處不可導(dǎo).從而f(z)除外可導(dǎo).(3)
.解：f(z)除外處處可導(dǎo)，且.(4)
.解：因?yàn)?/p>
.所以f(z)除z=0外處處可導(dǎo)，且.6.試判斷下列函數(shù)的可導(dǎo)性與解析性.(1)
;
解：在全平面上可微.所以要使得，,只有當(dāng)z=0時(shí),從而f(z)在z=0處可導(dǎo)，在全平面上不解析.(2)
.解：在全平面上可微.只有當(dāng)z=0時(shí),即(0,0)處有,.所以f(z)在z=0處可導(dǎo)，在全平面上不解析.(3)
;
解：在全平面上可微.所以只有當(dāng)時(shí)，才滿足C-R方程.從而f(z)在處可導(dǎo)，在全平面不解析.(4)
.解：設(shè)，則
所以只有當(dāng)z=0時(shí)才滿足C-R方程.從而f(z)在z=0處可導(dǎo)，處處不解析.7.證明區(qū)域D內(nèi)滿足下列條件之一的解析函數(shù)必為常數(shù).(1)
;
證明：因?yàn)椋?.所以u(píng),v為常數(shù)，于是f(z)為常數(shù).(2)
解析.證明：設(shè)在D內(nèi)解析,則
而f(z)為解析函數(shù)，所以
所以即
從而v為常數(shù)，u為常數(shù)，即f(z)為常數(shù).(3)
Ref(z)=常數(shù).證明：因?yàn)镽ef(z)為常數(shù)，即u=C1,因?yàn)閒(z)解析，C-R條件成立。故即u=C2
從而f(z)為常數(shù).(4)
Imf(z)=常數(shù).證明：與（3）類似，由v=C1得
因?yàn)閒(z)解析，由C-R方程得,即u=C2
所以f(z)為常數(shù).5.|f(z)|=常數(shù).證明：因?yàn)閨f(z)|=C，對(duì)C進(jìn)行討論.若C=0，則u=0,v=0,f(z)=0為常數(shù).若C0，則f(z)
0,但，即u2+v2=C2
則兩邊對(duì)x,y分別求偏導(dǎo)數(shù)，有
利用C-R條件，由于f(z)在D內(nèi)解析，有
所以
所以
即u=C1,v=C2,于是f(z)為常數(shù).(6)
argf(z)=常數(shù).證明：argf(z)=常數(shù)，即,于是
得
C-R條件→
解得，即u,v為常數(shù)，于是f(z)為常數(shù).8.設(shè)f(z)=my3+nx2y+i(x3+lxy2)在z平面上解析，求m,n,l的值.解：因?yàn)閒(z)解析，從而滿足C-R條件.所以.9.試證下列函數(shù)在z平面上解析，并求其導(dǎo)數(shù).(1)
f(z)=x3+3x2yi-3xy2-y3i
證明：u(x,y)=x3-3xy2,v(x,y)=3x2y-y3在全平面可微,且
所以f(z)在全平面上滿足C-R方程，處處可導(dǎo)，處處解析..(2)
.證明：
處處可微，且
所以,所以f(z)處處可導(dǎo)，處處解析.10.設(shè)
求證：(1)
f(z)在z=0處連續(xù)．
(2)f(z)在z=0處滿足柯西—黎曼方程．
(3)f′(0)不存在．
證明.(1)∵
而
∵
∴
∴
同理
∴
∴f(z)在z=0處連續(xù)．
(2)考察極限
當(dāng)z沿虛軸趨向于零時(shí)，z=iy，有
．
當(dāng)z沿實(shí)軸趨向于零時(shí)，z=x，有
它們分別為
∴
∴滿足C-R條件．
(3)當(dāng)z沿y=x趨向于零時(shí)，有
∴不存在．即f(z)在z=0處不可導(dǎo)．
11.設(shè)區(qū)域D位于上半平面，D1是D關(guān)于x軸的對(duì)稱區(qū)域，若f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，求證在區(qū)域D1內(nèi)解析．
證明：設(shè)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，因?yàn)閒(z)在區(qū)域D內(nèi)解析．
所以u(píng)(x,y),v(x,y)在D內(nèi)可微且滿足C-R方程，即．，得
故φ(x,y),ψ(x,y)在D1內(nèi)可微且滿足C-R條件
從而在D1內(nèi)解析
13.計(jì)算下列各值
(1)
e2+i=e2?ei=e2?(cos1+isin1)
(2)
(3)
(4)
14.設(shè)z沿通過原點(diǎn)的放射線趨于∞點(diǎn)，試討論f(z)=z+ez的極限．
解：令z=reiθ，對(duì)于θ，z→∞時(shí)，r→∞．
故．
所以．
15.計(jì)算下列各值．
(1)
(2)
(3)ln(ei)=ln1+iarg(ei)=ln1+i=i
(4)
16.試討論函數(shù)f(z)=|z|+lnz的連續(xù)性與可導(dǎo)性．
解：顯然g(z)=|z|在復(fù)平面上連續(xù)，lnz除負(fù)實(shí)軸及原點(diǎn)外處處連續(xù)．
設(shè)z=x+iy，在復(fù)平面內(nèi)可微．
故g(z)=|z|在復(fù)平面上處處不可導(dǎo)．
從而f(x)=|z|+lnz在復(fù)平面上處處不可導(dǎo)．
f(z)在復(fù)平面除原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸外處處連續(xù)．
17.計(jì)算下列各值．
(1)
(2)
(3)
18.計(jì)算下列各值
(1)
(2)
(3)(4)
(5)
(6)
19.求解下列方程
(1)
sinz=2．
解：
(2)
解： 即
(3)
解： 即
(4)
解：．
20.若z=x+iy，求證
(1)
sinz=sinxchy+icosx?shy
證明：
(2)cosz=cosx?chy-isinx?shy
證明：
(3)|sinz|2=sin2x+sh2y
證明：
(4)|cosz|2=cos2x+sh2y
證明：
21.證明當(dāng)y→∞時(shí)，|sin(x+iy)|和|cos(x+iy)|都趨于無窮大．
證明：
∴
而
當(dāng)y→+∞時(shí)，e-y→0，ey→+∞有|sinz|→∞．
當(dāng)y→-∞時(shí)，e-y→+∞，ey→0有|sinz|→∞．
同理得
所以當(dāng)y→∞時(shí)有|cosz|→∞．
習(xí)題三
1.計(jì)算積分,其中C為從原點(diǎn)到點(diǎn)1+i的直線段.解
設(shè)直線段的方程為,則.故
2.計(jì)算積分，其中積分路徑C為
(1)
從點(diǎn)0到點(diǎn)1+i的直線段;
(2)
沿拋物線y=x2，從點(diǎn)0到點(diǎn)1+i的弧段.解
(1)設(shè).(2)設(shè).3.計(jì)算積分，其中積分路徑C為
(1)
從點(diǎn)-i到點(diǎn)i的直線段;
(2)
沿單位圓周|z|=1的左半圓周，從點(diǎn)-i到點(diǎn)i;
(3)
沿單位圓周|z|=1的右半圓周，從點(diǎn)-i到點(diǎn)i.解
(1)設(shè).(2)設(shè).從到
(3)
設(shè).從到
6.計(jì)算積分,其中為.解
∵在所圍的區(qū)域內(nèi)解析
∴
從而
故
7.計(jì)算積分,其中積分路徑為
（1）
（2）
（3）
（4）
解：（1）在所圍的區(qū)域內(nèi)，只有一個(gè)奇點(diǎn).（2）在所圍的區(qū)域內(nèi)包含三個(gè)奇點(diǎn).故
（3）在所圍的區(qū)域內(nèi)包含一個(gè)奇點(diǎn),故
（4）在所圍的區(qū)域內(nèi)包含兩個(gè)奇點(diǎn),故
10.利用牛頓-萊布尼茲公式計(jì)算下列積分.(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
解
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
11.計(jì)算積分,其中為
(1)
(2)
(3)
解
(1)
(2)
(3)
16.求下列積分的值,其中積分路徑C均為|z|=1.(1)
(2)
(3)
解
(1)
(2)
(3)
17.計(jì)算積分,其中積分路徑為
(1)中心位于點(diǎn),半徑為的正向圓周(2)
中心位于點(diǎn),半徑為的正向圓周解：(1)
內(nèi)包含了奇點(diǎn)
∴
(2)
內(nèi)包含了奇點(diǎn),∴
19.驗(yàn)證下列函數(shù)為調(diào)和函數(shù).解(1)
設(shè),∴
從而有,滿足拉普拉斯方程,從而是調(diào)和函數(shù).(2)
設(shè),∴
從而有,滿足拉普拉斯方程,從而是調(diào)和函數(shù).,滿足拉普拉斯方程,從而是調(diào)和函數(shù).20.證明:函數(shù),都是調(diào)和函數(shù),但不是解析函數(shù)
證明:
∴,從而是調(diào)和函數(shù).∴,從而是調(diào)和函數(shù).但∵
∴不滿足C-R方程,從而不是解析函數(shù).22.由下列各已知調(diào)和函數(shù),求解析函數(shù)
(1)
(2)
解
(1)因?yàn)?/p>
所以
令y=0,上式變?yōu)?/p>
從而
(2)
用線積分法，?。▁0,y0）為(1,0)，有
由，得C=0
23.設(shè),其中各不相同，閉路C不通過,證明積分
等于位于C內(nèi)的p(z)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).證明:
不妨設(shè)閉路C內(nèi)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為k,其零點(diǎn)分別為
24.試證明下述定理(無界區(qū)域的柯西積分公式):
設(shè)f(z)在閉路C及其外部區(qū)域D內(nèi)解析，且，則
其中G為C所圍內(nèi)部區(qū)域.證明：在D內(nèi)任取一點(diǎn)Z，并取充分大的R，作圓CR:，將C與Z包含在內(nèi)
則f(z)在以C及為邊界的區(qū)域內(nèi)解析，依柯西積分公式，有
因?yàn)?/p>
在上解析，且
所以，當(dāng)Z在C外部時(shí)，有
即
設(shè)Z在C內(nèi)，則f(z)=0，即
故有：
習(xí)題四
1.復(fù)級(jí)數(shù)與都發(fā)散,則級(jí)數(shù)和發(fā)散.這個(gè)命題是否成立?為什么?
答.不一定．反例:
發(fā)散
但收斂
發(fā)散
收斂.2.下列復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)是否收斂,是絕對(duì)收斂還是條件收斂?
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
解
(1)
因?yàn)榘l(fā)散,所以發(fā)散
(2)發(fā)散
又因?yàn)?/p>
所以發(fā)散
(3)
發(fā)散,又因?yàn)槭諗?所以不絕對(duì)收斂.(4)
因?yàn)?/p>
所以級(jí)數(shù)不絕對(duì)收斂.又因?yàn)楫?dāng)n=2k時(shí),級(jí)數(shù)化為收斂
當(dāng)n=2k+1時(shí),級(jí)數(shù)化為也收斂
所以原級(jí)數(shù)條件收斂
(5)
其中
發(fā)散,收斂
所以原級(jí)數(shù)發(fā)散.3.證明:若,且和收斂,則級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.證明:設(shè)
因?yàn)楹褪諗?/p>
所以收斂
又因?yàn)?所以且
當(dāng)n充分大時(shí),所以收斂
而收斂，收斂
所以收斂，從而級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.4.討論級(jí)數(shù)的斂散性
解
因?yàn)椴糠趾?，所以，不存?當(dāng)而時(shí)（即），cosnθ和sinnθ都沒有極限,所以也不收斂．
.故當(dāng)和時(shí),收斂.5.冪級(jí)數(shù)能否在z=0處收斂而在z=3處發(fā)散.解：
設(shè)，則當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂，時(shí)發(fā)散.若在z=0處收斂,則
若在z=3處發(fā)散,則
顯然矛盾,所以冪級(jí)數(shù)不能在z=0處收斂而在z=3處發(fā)散
6.下列說法是否正確?為什么?
(1)每一個(gè)冪級(jí)數(shù)在它的收斂圓周上處處收斂.(2)
每一個(gè)冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在它的收斂圓內(nèi)可能有奇點(diǎn).答:
(1)
不正確,因?yàn)閮缂?jí)數(shù)在它的收斂圓周上可能收斂,也可能發(fā)散.(2)
不正確,因?yàn)槭諗康膬缂?jí)數(shù)的和函數(shù)在收斂圓周內(nèi)是解析的.7.若的收斂半徑為R,求的收斂半徑。
解：
因?yàn)?/p>
所以
8.證明：若冪級(jí)數(shù)的系數(shù)滿足，則
(1)當(dāng)時(shí),(2)
當(dāng)時(shí),(3)
當(dāng)時(shí),證明：考慮正項(xiàng)級(jí)數(shù)
由于，若，由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的根值判別法知，當(dāng)，即，收斂。當(dāng)，即，不能趨于零,級(jí)數(shù)發(fā)散.故收斂半徑.當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂且.若,對(duì)當(dāng)充分大時(shí),必有不能趨于零,級(jí)數(shù)發(fā)散.且
9.求下列級(jí)數(shù)的收斂半徑，并寫出收斂圓周。
(1)
(2)
(3)
(4)
解:
(１)
收斂圓周(2)
所以收斂圓周(3)
記
由比值法,有
要級(jí)數(shù)收斂,則
級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂,收斂半徑為
所以收斂圓周(4)
記
所以時(shí)絕對(duì)收斂,收斂半徑
收斂圓周10.求下列級(jí)數(shù)的和函數(shù).(1)
(2)
解:
(1)
故收斂半徑R=1,由逐項(xiàng)積分性質(zhì)，有：
所以
于是有：
(2)
令：
故R=∞,由逐項(xiàng)求導(dǎo)性質(zhì)
由此得到
即有微分方程
故有：，A,B待定。
所以
11.設(shè)級(jí)數(shù)收斂，而發(fā)散，證明的收斂半徑為1
證明：因?yàn)榧?jí)數(shù)收斂
設(shè)
若的收斂半徑為1
則
現(xiàn)用反證法證明
若則，有，即收斂，與條件矛盾。
若則，從而在單位圓上等于，是收斂的，這與收斂半徑的概念矛盾。
綜上述可知，必有，所以
12.若在點(diǎn)處發(fā)散，證明級(jí)數(shù)對(duì)于所有滿足點(diǎn)都發(fā)散.證明：不妨設(shè)當(dāng)時(shí)，在處收斂
則對(duì)，絕對(duì)收斂，則在點(diǎn)處收斂
所以矛盾,從而在處發(fā)散.13.用直接法將函數(shù)在點(diǎn)處展開為泰勒級(jí)數(shù),(到項(xiàng)),并指出其收斂半徑.解:因?yàn)?/p>
奇點(diǎn)為
所以
又
于是，有展開式
14.用直接法將函數(shù)在點(diǎn)處展開為泰勒級(jí)數(shù),(到項(xiàng))
解：為的奇點(diǎn)，所以收斂半徑
又
于是，在處的泰勒級(jí)數(shù)為
15.用間接法將下列函數(shù)展開為泰勒級(jí)數(shù)，并指出其收斂性.(1)
分別在和處
(2)
在處
(3)
在處
(4)
在處
(5)
在處
解
（1）
(2)
(3)
(4)
(5)因?yàn)閺难刎?fù)實(shí)軸不解析
所以,收斂半徑為R=1
16.為什么區(qū)域內(nèi)解析且在區(qū)間取實(shí)數(shù)值的函數(shù)展開成的冪級(jí)數(shù)時(shí)，展開式的系數(shù)都是實(shí)數(shù)？
答：因?yàn)楫?dāng)取實(shí)數(shù)值時(shí)，與的泰勒級(jí)數(shù)展開式是完全一致的，而在內(nèi)，的展開式系數(shù)都是實(shí)數(shù)。所以在內(nèi)，的冪級(jí)數(shù)展開式的系數(shù)是實(shí)數(shù).17.求的以為中心的各個(gè)圓環(huán)域內(nèi)的羅朗級(jí)數(shù).解:函數(shù)有奇點(diǎn)與,有三個(gè)以為中心的圓環(huán)域,其羅朗級(jí)數(shù).分別為：
19.在內(nèi)將展開成羅朗級(jí)數(shù).解:令則
而在內(nèi)展開式為
所以,代入可得
20.有人做下列運(yùn)算,并根據(jù)運(yùn)算做出如下結(jié)果
因?yàn)?所以有結(jié)果
你認(rèn)為正確嗎?為什么?
答:不正確,因?yàn)橐?/p>
而要求
所以,在不同區(qū)域內(nèi)
21.證明:
用z的冪表示的羅朗級(jí)數(shù)展開式中的系數(shù)為
證明:因?yàn)楹褪堑钠纥c(diǎn)，所以在內(nèi)，的羅朗級(jí)數(shù)為
其中
其中C為內(nèi)任一條繞原點(diǎn)的簡(jiǎn)單曲線.22.是函數(shù)的孤立奇點(diǎn)嗎?為什么?
解:
因?yàn)榈钠纥c(diǎn)有
所以在的任意去心鄰域，總包括奇點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，z=0。
從而不是的孤立奇點(diǎn).23.用級(jí)數(shù)展開法指出函數(shù)在處零點(diǎn)的級(jí).解：
故z=0為f(z)的15級(jí)零點(diǎn)
24.判斷是否為下列函數(shù)的孤立奇點(diǎn)，并確定奇點(diǎn)的類型：
⑴??； ?、?/p>
解:
是的孤立奇點(diǎn)
因?yàn)?/p>
所以是的本性奇點(diǎn).(2)因?yàn)?/p>
所以是的可去奇點(diǎn).25.下列函數(shù)有些什么奇點(diǎn)？如果是極點(diǎn)，指出其點(diǎn)：
⑴
⑵
⑶
解:
(1)
所以是奇點(diǎn),是二級(jí)極點(diǎn).解:
(2)
是奇點(diǎn),是一級(jí)極點(diǎn),0是二級(jí)極點(diǎn).解:
(3)
是的二級(jí)零點(diǎn)
而是的一級(jí)零點(diǎn),是的一級(jí)零點(diǎn)
所以
是的二級(jí)極點(diǎn),是的一級(jí)極點(diǎn).26.判定下列各函數(shù)的什么奇點(diǎn)？
⑴
⑵
⑶
解:
(1)當(dāng)時(shí),所以,是的可去奇點(diǎn).(2)因?yàn)?/p>
所以,是的本性奇點(diǎn).(3)
當(dāng)時(shí),所以,是的可去奇點(diǎn).27.函數(shù)在處有一個(gè)二級(jí)極點(diǎn)，但根據(jù)下面羅朗展開式：
.我們得到“又是的本性奇點(diǎn)”，這兩個(gè)結(jié)果哪一個(gè)是正確的？為什么?
解:
不對(duì),z=1是f(z)的二級(jí)極點(diǎn),不是本性奇點(diǎn).所給羅朗展開式不是在內(nèi)得到的在內(nèi)的羅朗展開式為
28.如果C為正向圓周，求積分的值
(1)
(2)
解：（1）先將展開為羅朗級(jí)數(shù)，得
而
=3在內(nèi)，,故
(2)在內(nèi)處處解析，羅朗展開式為
而=3在內(nèi)，,故
習(xí)題五
1.求下列函數(shù)的留數(shù)．
(1)在z=0處．
解：在0<|z|<+∞的羅朗展開式為
∴
(2)在z=1處．
解：在0<|
<+∞的羅朗展開式為
∴．
2.利用各種方法計(jì)算f(z)在有限孤立奇點(diǎn)處的留數(shù)．
(1)
解：的有限孤立奇點(diǎn)處有z=0，z=-2．其中z=0為二級(jí)極點(diǎn)z=-2為一級(jí)極點(diǎn)．
∴
3.利用羅朗展開式求函數(shù)在∞處的留數(shù)．
解：
∴
從而
5.計(jì)算下列積分．
(1)，n為正整數(shù)，c為|z|=n取正向．
解：．
為在c內(nèi)tanπz有
(k=0,±1,±2…±(n-1))一級(jí)極點(diǎn)
由于
∴
(2)
c:|z|=2取正向．
解：因?yàn)樵赾內(nèi)有z=1，z=-i兩個(gè)奇點(diǎn)．
所以
6.計(jì)算下列積分．
(1)
因被積函數(shù)為θ的偶函數(shù)，所以
令則有
設(shè)
則
被積函數(shù)在|z|=1內(nèi)只有一個(gè)簡(jiǎn)單極點(diǎn)
但
所以
又因?yàn)?/p>
∴
(2)，|a|>1．
解：令
令z=eiθ．，則
得
(3)，a>0，b>0．
解：令，被積函數(shù)R(z)在上半平面有一級(jí)極點(diǎn)z=ia和ib．故
（4）.，a>0．
解：
令，則z=±ai分別為R(z)的二級(jí)極點(diǎn)
故(5)，β>0，b>0．
解：
而考知，則R(z)在上半平面有z=bi一個(gè)二級(jí)極點(diǎn)．
從而
(6)，a>0
解：令，在上半平面有z=ai一個(gè)一級(jí)極點(diǎn)
7.計(jì)算下列積分
(1)
解：令，則R(z)在實(shí)軸上有孤立奇點(diǎn)z=0，作以原點(diǎn)為圓心、r為半徑的上半圓周cr，使CR,[-R,-r],Cr,[r,R]構(gòu)成封閉曲線，此時(shí)閉曲線內(nèi)只有一個(gè)奇點(diǎn)i,于是：而．
故：
．(2)，其中T為直線Rez=c,c>0,0 解：在直線z=c+iy (-∞< y <+∞)上，令，收斂，所以積分是存在的，并且 其中AB為復(fù)平面從c-iR到c+iR的線段． 考慮函數(shù)f(z)沿長(zhǎng)方形-R≤x≤c，-R≤y≤R周界的積分．＜如下圖＞ 因?yàn)閒(z)在其內(nèi)僅有一個(gè)二級(jí)極點(diǎn)z=0，而且 所以由留數(shù)定理． 而． 習(xí)題六 1.求映射下，下列曲線的像.(1) (，為實(shí)數(shù)) 解：,所以將映成直線.(2) (k為實(shí)數(shù)) 解： 故將映成直線.2.下列區(qū)域在指定的映射下映成什么？ （1）； 解： 所以.故將映成.(2) Re(z)>0.0 因?yàn)? 故將Re(z)>0,0 Re(w)>0,Im(w)>0,(以（,0）為圓心、為半徑的圓) 3.求w=z2在z=i處的伸縮率和旋轉(zhuǎn)角，問w=z2將經(jīng)過點(diǎn)z=i且平行于實(shí)軸正向的曲線的切線方向映成w平面上哪一個(gè)方向？并作圖.解：因?yàn)?2z,所以(i)=2i,||=2,旋轉(zhuǎn)角arg=.于是,經(jīng)過點(diǎn)i且平行實(shí)軸正向的向量映成w平面上過點(diǎn)-1，且方向垂直向上的向量.如圖所示.→ 4.一個(gè)解析函數(shù)，所構(gòu)成的映射在什么條件下具有伸縮率和旋轉(zhuǎn)角的不變性？映射w=z2在z平面上每一點(diǎn)都具有這個(gè)性質(zhì)嗎？ 答：一個(gè)解析函數(shù)所構(gòu)成的映射在導(dǎo)數(shù)不為零的條件下具有伸縮率和旋轉(zhuǎn)不變性映射w=z2在z=0處導(dǎo)數(shù)為零，所以在z=0處不具備這個(gè)性質(zhì).5.求將區(qū)域0 因?yàn)?即,由代入上式，得.因此 令，得 其中a為復(fù)數(shù).反之也成立，故所求分式線性映射為，a為復(fù)數(shù).7.若分式線性映射，將圓周|z|=1映射成直線則其余數(shù)應(yīng)滿足什么條件？ 解：若將圓周|z|=1映成直線，則映成.而落在單位圓周|z|=1,所以,|c|=|d|.故系數(shù)應(yīng)滿足ad-bc0,且|c|=|d|.8.試確定映射，作用下，下列集合的像.(1) ; (2) |z|=2; (3) Im(z)>0.解：(1) Re(z)=0是虛軸，即z=iy代入得.寫成參數(shù)方程為，,.消去y得，像曲線方程為單位圓,即 u2+v2=1.(2) |z|=2.是一圓圍，令.代入得化為參數(shù)方程.消去得，像曲線方程為一阿波羅斯圓.即 (3) 當(dāng)Im(z)>0時(shí)，即,令w=u+iv得 .即v>0,故Im(z)>0的像為Im(w)>0.9.求出一個(gè)將右半平面Re(z)>0映射成單位圓|w|<1的分式線性變換.解：設(shè)映射將右半平面z0映射成w=0，則z0關(guān)于軸對(duì)稱點(diǎn)的像為，所以所求分式線性變換形式為其中k為常數(shù).又因?yàn)?而虛軸上的點(diǎn)z對(duì)應(yīng)|w|=1,不妨設(shè)z=0，則 故.10.映射將映射成,實(shí)數(shù)的幾何意義顯什么？ 解：因?yàn)?/p> 從而 所以 故表示在單位圓內(nèi)處的旋轉(zhuǎn)角.11.求將上半平面Im(z)>0,映射成|w|<1單位圓的分式線性變換w=f(z)，并滿足條件 (1) f(i)=0,=0; (2) f(1)=1,f(i)= .解：將上半平面Im(z)>0,映為單位圓|w|<1的一般分式線性映射為w=k(Im()>0).(1) 由f(i)=0得=i，又由arg,即,，得，所以 .(2) 由f(1)=1,得k=；由f(i)=,得k=聯(lián)立解得 .12.求將|z|<1映射成|w|<1的分式線性變換w=f(z)，并滿足條件： (1) f()=0,f(-1)=1.(2) f()=0，(3) f(a)=a,.解：將單位圓|z|<1映成單位圓|w|<1的分式線性映射，為,||<1.(1) 由f()=0，知.又由f(-1)=1，知 .故.(2) 由f()=0，知，又，于是 .(3) 先求，使z=a，,且|z|<1映成||<1.則可知 再求w=g()，使=0w=a，且||<1映成|w|<1.先求其反函數(shù),它使|w|<1映為||<1,w=a映為=0，且,則 .因此，所求w由等式給出..13.求將頂點(diǎn)在0，1，i的三角形式的內(nèi)部映射為頂點(diǎn)依次為0，2，1+i的三角形的內(nèi)部的分式線性映射.解：直接用交比不變性公式即可求得 ∶=∶ .=..14.求出將圓環(huán)域2<|z|<5映射為圓環(huán)域4<|w|<10且使f(5)=-4的分式線性映射.解：因?yàn)閦=5,-5,-2,2映為w=-4,4,10,-10,由交比不變性，有 ∶=∶ 故w=f(z)應(yīng)為 ∶=∶ 即 =.討論求得映射是否合乎要求，由于w=f(z)將|z|=2映為|w|=10，且將z=5映為w=-4.所以|z|>2映為|w|<10.又w=f(z)將|z|=5映為|w|=4，將z=2映為w=-10，所以將|z|<5映為|w|>4，由此確認(rèn)，此函數(shù)合乎要求.15.映射將z平面上的曲線映射到w平面上的什么曲線？ 解：略.16.映射w=ez將下列區(qū)域映為什么圖形.(1) 直線網(wǎng)Re(z)=C1,Im(z)=C2; (2) 帶形區(qū)域; (3) 半帶形區(qū)域 .解：（1） 令z=x+iy,Re(z)=C1,z=C1+iy,Im(z)=C2,則 z=x+iC2 故將直線Re(z)映成圓周；直線Im(z)=C2映為射線.（2） 令z=x+iy，,則 故將帶形區(qū)域映為的張角為的角形區(qū)域.（3） 令z=x+iy，x>0，0 故將半帶形區(qū)域Re(z)>0,0 |w|>1,().17.求將單位圓的外部|z|>1保形映射為全平面除去線段-1 .19.求將Im(z)<1去掉單位圓|z|<1保形映射為上半平面Im(w)>0的映射.解：略.20.映射將半帶形區(qū)域0 因?yàn)?/p> 可以分解為 w1=iz，由于在所給區(qū)域單葉解析，所以 （1） w1=iz將半帶域旋轉(zhuǎn)，映為0 將區(qū)域映為單位圓的上半圓內(nèi)部|w2|<1,Im(w2)>0.（3） 將區(qū)域映為下半平面Im(w)<0.習(xí)題 七 1.證明：如果f(t)滿足傅里葉變換的條件，當(dāng)f(t)為奇函數(shù)時(shí)，則有 其中 當(dāng)f(t)為偶函數(shù)時(shí)，則有 其中 證明： 因?yàn)槠渲袨閒(t)的傅里葉變換 當(dāng)f(t)為奇函數(shù)時(shí)，為奇函數(shù)，從而 為偶函數(shù)，從而 故 有 為奇數(shù)。 = 所以，當(dāng)f(t)為奇函數(shù)時(shí)，有 同理，當(dāng)f(t)為偶函數(shù)時(shí)，有 .其中 2.在上一題中，設(shè).計(jì)算的值.解: 3.計(jì)算函數(shù).解: 4.求下列函數(shù)的傅里葉變換 解： (2) 解：因?yàn)?/p> 所以根據(jù)傅里葉變換的微分性質(zhì)可得 (3) 解： (4) 解: 令，則在上半平面有兩個(gè)一級(jí)極點(diǎn).故.(5) 解: 同(4).利用留數(shù)在積分中的應(yīng)用,令 則 .5.設(shè)函數(shù)F(t)是解析函數(shù)，而且在帶形區(qū)域內(nèi)有界.定義函數(shù)為 證明當(dāng)時(shí)，有 對(duì)所有的實(shí)數(shù)t成立.(書上有推理過程) 6.求符號(hào)函數(shù)的傅里葉變換.解: 因?yàn)榘押瘮?shù).不難看出 故： 7.已知函數(shù)的傅里葉變換求 解: 8.設(shè)函數(shù)f(t)的傅里葉變換，a為一常數(shù).證明 F 當(dāng)a>0時(shí),令u=at.則 當(dāng)a<0時(shí),令u=at,則.故原命題成立.9.設(shè)證明 .證明： 10.設(shè)，證明： 以及 證明： 同理： 11.設(shè) 計(jì)算.解： 當(dāng)時(shí)，若則故 =0.若則 若 則 故 12.設(shè)為單位階躍函數(shù)，求下列函數(shù)的傅里葉變換.習(xí)題八 1.求下列函數(shù)的拉普拉斯變換.(1)，(2)，(3) (4)，(5) 解: (1) (2) (3) (4) (5) 2.求下列函數(shù)的拉普拉斯變換.（1） (2) 解: (1) (2) 3.設(shè)函數(shù),其中函數(shù)為階躍函數(shù),求的拉普拉斯變換.解: 4.求圖8.5所表示的周期函數(shù)的拉普拉斯變換 解： 5.求下列函數(shù)的拉普拉斯變換.(1) (2) (3)(4) (5 (6 (7) (8) 解:(1) (2) (4) (5) (6) (7) (8) 6.記，對(duì)常數(shù)，若，證明 證明: 記，證明: 證明：當(dāng)n=1時(shí),所以，當(dāng)n=1時(shí),顯然成立。 假設(shè)，當(dāng)n=k-1時(shí),有 現(xiàn)證當(dāng)n=k時(shí) 8.記，如果a為常數(shù),證明: 證明：設(shè)，由定義 9.記，證明:,即 證明： 10.計(jì)算下列函數(shù)的卷積 (1) (2) (3) (4) (5) (6 解：(1) (2) (3) (4) (5) (6) 11.設(shè)函數(shù)f,g,h均滿足當(dāng)t<0時(shí)恒為零，證明 以及 證明： 12.利用卷積定理證明 證明：設(shè)，則，則，所以 13.求下列函數(shù)的拉普拉斯逆變換.(1) (2) (3) (4) (5) (6 解：(1) (2) (3 故 (4) 因?yàn)?/p> 所以 (5) 其中 所以 (6) 所以 14.利用卷積定理證明 證明： 又因?yàn)?/p> 所以，根據(jù)卷積定理 15.利用卷積定理證明 證明： 因?yàn)?/p> 所以，根據(jù)卷積定理有 16.求下列函數(shù)的拉普拉斯逆變換.(1) (2) (3) (4) 解:(1) 故 (2)： (3) 故 (4) 故 且 所以 17.求下列微分方程的解 (1) (2) (3) (4) (5) 解: (1)設(shè) 方程兩邊取拉氏變換,得 為Y(s)的三個(gè)一級(jí)極點(diǎn),則 (2) 方程兩邊同時(shí)取拉氏變換,得 (3)方程兩邊取拉氏變換,得 因?yàn)橛衫献儞Q的微分性質(zhì)知，若L[f(t)]=F(s),則 即 因?yàn)?/p> 所以 故有 (4)方程兩邊取拉氏變換,設(shè)L[y(t)]=Y(s),得 故 (5)設(shè)L[y(t)]=Y(s),則 方程兩邊取拉氏變換，得 故 18.求下列微分方程組的解 (1) (2) 解:(1) 設(shè) 微分方程組兩式的兩邊同時(shí)取拉氏變換,得 得 (2)代入(1)，得 (3)代入(1)，得 (2)設(shè) 方程兩邊取拉氏變換,得 (3)代入(1)： 所以 故 19.求下列方程的解 (1) (2) 解：(1)設(shè)L[x(t)]=X(s),方程兩邊取拉氏變換,得 (2)設(shè)L[y(t)]=Y(s),方程兩邊取拉氏變換,得
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