第一篇：復(fù)變函數(shù)小結(jié)

復(fù)變函數(shù)小結(jié) 第一章 復(fù)變函數(shù)

1)掌握復(fù)數(shù)的定義(引入),知道復(fù)數(shù)的幾何意義(即復(fù)數(shù)可看成復(fù)數(shù)平面的一個點(diǎn)也可以表示為復(fù)數(shù)平面上的向量)2)掌握 復(fù)數(shù)的直角坐標(biāo)表示與三角表示式及指數(shù)表示式的關(guān)系.3)掌握復(fù)數(shù)的幾種運(yùn)算:(1)相等;(2)加法;(3)減法;(4)乘法;(5)除法;(6)開方;(7)共軛.需要注意的是開方 : 開n次有n個根.例題

nz1?n?1ei??0?2?k??n?1ei??0?2?k?n,?k?0,1,2,?n?1?

4)掌握復(fù)變函數(shù)的定義,知道復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)的定義.5)熟悉幾個常用的基本初等函數(shù)及性質(zhì):(1)多項(xiàng)式;(2)有理分式;(3)根式;(4)指數(shù);(5)三角函數(shù).6)掌握復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義, 因復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義在形式上跟實(shí)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義一樣,故實(shí)變函數(shù)中關(guān)于導(dǎo)數(shù)的規(guī)則和公式在復(fù)變函數(shù)情況仍適用.7)復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)的充要條件是:(1)函數(shù)f(z)的實(shí)部u 與虛部的偏導(dǎo)數(shù)存在,且連續(xù).?u?u?v?v，,?x?y?x?y(2)滿足 C-R條件

?u?v?u?v?,??.?x?y?y?x8)知道復(fù)變函數(shù)解析的定義,復(fù)變函數(shù)解析,可導(dǎo)及連續(xù)的關(guān)系.9)解析函數(shù)的性質(zhì):

(1)若f(z)在區(qū)域B上解析,則f(z)的實(shí)部u與虛部v的等值(勢)線互相正交.(2)若f(z)在區(qū)域B上解析,則f(z)的實(shí)部u與虛部v均為調(diào)和函數(shù).(3)若f(z)在區(qū)域B上解析,則f(z)的實(shí)部u與虛部v 不是獨(dú)立的,可由己知解析函數(shù)的實(shí)部u(或v)求出解析函數(shù)f(z).具體求法有3種

:1.直接積分法;2.湊全微分法;3.路徑積分法.10)解析函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用:

平面標(biāo)量場.11)知道復(fù)變函數(shù)中多值性的起源在于幅角,只需對幅角作限定(一般限定在主值范圍,且一般把幅角作限定的復(fù)變平面稱為黎曼面.),多值函數(shù)就退化為單值函數(shù).第二章 復(fù)變函數(shù)的積分

1)知道復(fù)變函數(shù)積分的定義,以及它與實(shí)變函數(shù)的路徑的關(guān)系.2)掌握單連通區(qū)域與復(fù)連通區(qū)域上Cauchy定理及數(shù)學(xué)表示式:?f?z?dz?0(1)其中l(wèi)為區(qū)域的所有邊界線.l

對單連通區(qū)域(1)可表示為

?lf?z?dzn?0,(2)對復(fù)連通區(qū)域(1)也可表示為:

?f?z?dz???f?z?dzli?1ci(3)其中l(wèi)為區(qū)域的外邊界線,ci為區(qū)域的內(nèi)邊界線.(3)式反映對復(fù)連通區(qū)域的解析函數(shù)沿外邊界的積分值與沿內(nèi)邊界積分的關(guān)系.作為(3)式一個特例: 包含一個奇點(diǎn)的任意一個閉合曲線積分值相同,它為求積分帶來方便.n??z?adz?l?0,?n??1?一個重要的積分公式: ?z?a?ndz?2?i,?n??1?

?l其中l(wèi) 包含a 點(diǎn).Cauchy定理為本章的重點(diǎn).3)解析函數(shù)的不定積分.f?z??f'12?i12?i?llf???d???z?z),4)Cauchy公式

?z???z???(?lf???d?2, ,fnn!2?i?(?f???d??z)n?1若對復(fù)連通區(qū)域 l 為區(qū)域的所有邊界線.第三章 冪級數(shù)

1)了解一般的復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù),知道級數(shù)收斂的Cauchy判據(jù),絕對收斂與一致收斂的概念,掌握外氏定理及運(yùn)用.2)掌握冪級數(shù)的一般形式,收斂半徑的計算(R?limn??anan?1)，知道冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)絕對且一致收斂，能逐項(xiàng)求導(dǎo)與積分.3)掌握解析函數(shù)在單連通區(qū)域的Taylor 展開式: ?f?z???a?z?z?k0k?0k,ak?fk?z0?k!

知道Taylor 展開式是唯一的,即同一個函數(shù)在同一區(qū)域的展開式不管用什么方法得出其結(jié)果是相同的.熟悉一些基本的Taylor 展開式: 例?1?ez,?2?cosz,sinz,?3?11?z,?4?ln?1?z?

知道函數(shù)在無窮運(yùn)點(diǎn)的展開式.4)掌握解析函數(shù)在復(fù)連通區(qū)域的洛朗 展開式: f?z???a?z?kk????z0?,其中akk??2?i??c1f???d??z0?k?1，c為環(huán)域內(nèi)任一沿逆時針方向的閉合曲線.知道洛朗 展開式是唯一的,即同一個函數(shù)在同一環(huán)域的展開式不管用什么方法得出其結(jié)果是相同的.所以對洛朗展開可利用熟悉的一些基本Taylor展開式來處理,例如對有理分式總可以把它分解為一系列最簡單的有理分式（1z?z0)之和, 而對1z?z0能用等比級數(shù)來展開(關(guān)鍵是滿足公比的絕對值小11?z?于1).并與

??k?0z,z?1 比較.知道在什么情況下洛

k朗展開就退化為Taylor展開.5)掌握孤立奇點(diǎn)的分類方法:(1)可去奇點(diǎn):設(shè)z0是f(z)的奇點(diǎn)當(dāng)f(z)在z=z0的鄰域上展開時,其洛朗展開式中沒有負(fù)冪項(xiàng),就稱z0是f(z)的可去奇點(diǎn).性質(zhì)limf?z??a

a為常數(shù).z?z0(2)m階極點(diǎn): 設(shè)z0是f(z)的奇點(diǎn)當(dāng)f(z)在z=z0的鄰域上展開時,其洛朗展開式中有有限項(xiàng)負(fù)冪項(xiàng),其負(fù)冪項(xiàng)的最高冪為m,就稱z0是f(z)的m階極點(diǎn).性質(zhì)limf?z??z?z0?.(4)本性奇點(diǎn): 設(shè)z0是f(z)的奇點(diǎn)當(dāng)f(z)在z=z0的鄰域上展開時,其洛朗展開式中有無窮多項(xiàng)負(fù)冪項(xiàng),就稱z0是f(z)的本性奇點(diǎn).性質(zhì)limf?z?不存在z?z0

知道函數(shù)在無窮運(yùn)點(diǎn)奇點(diǎn)的分類.第四章 留數(shù)定理

1)掌握留數(shù)定理及其計算

?f?z?dzl?2?i?Resf?zi?,其中zi為l內(nèi)的奇點(diǎn)i?1n 2)掌握留數(shù)計算的兩種方法

(1)洛朗展開 : 設(shè)z0是f(z)的奇點(diǎn)當(dāng)f(z)在z=z0的鄰域上展開時,其洛朗展開式中的負(fù)一次冪的系數(shù)a-1=Resf(z0).任何情況都適合.(2)對m階極點(diǎn)Resf?z0??lim?mz?z01dn?1n?1?1?!dz??z?z0?f?z??,作為一個特例,若f(z)=P(z)/ Q(z),當(dāng)f(z)為一階極點(diǎn), P?z0??0,Q?z0??0,Resf?z0??? 'Q?z0?P?z0主要處理有理分式中分母為單根情況.3)應(yīng)用留數(shù)定理計算實(shí)變函數(shù)定積分 ?類型一

2??0?z?z?1z?z?1R?cos?,sin??d???R?,?22i?z?1?dz??iz?2?i?Resf?zi?,?1???1??iz?zi為f?z?在單單位圓的奇點(diǎn)?z?z?1z?z?1,f?z??R?,?22i?

?1)被積函數(shù)為三角函數(shù)的有理分式.2)積分區(qū)域?yàn)閇0,2π] 作變換z=eiθ,當(dāng)θ從變到2π時,復(fù)變數(shù)z恰好在單位圓上走一圈.類型二

積分條件: 1)積分區(qū)域?yàn)?-∞,∞)

2)f(z)在實(shí)軸有一價極點(diǎn)bk,且在上半平面除有限個奇點(diǎn)ak外是解析的，3)當(dāng)z→∞時,zf(z)→0 ??f?x?dx???2?i?Resf?ak???i?Resf?bk?.(2)

k?1k?1mp

?類型三

(m>0)???f?x?eimxdx,令F?z??f?z?eimz

積分條件: 1)積分區(qū)域?yàn)?-∞,∞)

2)f(z)在實(shí)軸有一價極點(diǎn)bk,且在上半平面除有限個奇點(diǎn)ak外是解析的，3)當(dāng)z→∞時,f(z)→0, ??f?x?e???imxdx?2?i?ResF?ak???i?ResF?bk?k?1k?1mp

(3)當(dāng)f(x)為奇函數(shù)時(3)為?f?x?sin0mxdx??[?ResF?ak??k?1?m1pRe?2k?1?sF?bk?]當(dāng)f??x?為偶函數(shù)時,???mf?x?eimxdx?2?f?x?cosmxdx,0

?f?x?cosmxdx0??i[?ResF?ak??k?11pRe?2k?1sF?bk?]

第二篇：復(fù)變函數(shù)教案1.1

第一章

復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)

教學(xué)課題：第一節(jié) 復(fù)數(shù)

教學(xué)目的：

1、復(fù)習(xí)、了解中學(xué)所學(xué)復(fù)數(shù)的知識；

2、理解所補(bǔ)充的新理論；

3、熟練掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算并能靈活運(yùn)用。

教學(xué)重點(diǎn)：復(fù)數(shù)的輻角 教學(xué)難點(diǎn)：輻角的計算 教學(xué)方法：啟發(fā)式教學(xué)

教學(xué)手段：多媒體與板書相結(jié)合 教材分析：復(fù)變函數(shù)這門學(xué)科的一切討論都是在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)進(jìn)行的，它是學(xué)好本們課程的基礎(chǔ)。因此，復(fù)習(xí)、了解中學(xué)所學(xué)復(fù)數(shù)的知識，理解所補(bǔ)充的新理論，熟練掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算并能靈活運(yùn)用顯得尤為重要。教學(xué)過程：

1、復(fù)數(shù)域：

每個復(fù)數(shù)z具有x?iy的形狀，其中別稱為

x和y?R，i??1是虛數(shù)單位；

x和y分z的實(shí)部和虛部，分別記作x?Rez，y?Imz。

復(fù)數(shù)z1?x1?iy1和z2?x2?iy2相等是指它們的實(shí)部與虛部分別相等。

z可以看成一個實(shí)數(shù)；如果Imz?0，那么z稱為一個虛數(shù)；如果Imz?0，而Rez?0，則稱z為一個純虛數(shù)。如果Imz?0，則復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算定義為：

(a1?ib1)?(a2?ib2)?(a1?a2)?i(b1?b2)(a1?ib1)(a2?ib2)?(a1a2?b1b2)?i(a1b2?a2b1)

(a1?ib1)a1a2?b1b2a2b1?a1b2)?2?i 222(a2?ib2)a2?b2a2?b2復(fù)數(shù)在四則運(yùn)算這個代數(shù)結(jié)構(gòu)下，構(gòu)成一個復(fù)數(shù)域，記為C。

2、復(fù)平面：

C也可以看成平面R，我們稱為復(fù)平面。

2作映射：C?R2:z?x?iy?(x,y)，則在復(fù)數(shù)集與平面R2之建立了一個1-1對應(yīng)。橫坐標(biāo)軸稱為實(shí)軸，縱坐標(biāo)軸稱為虛軸；復(fù)平面一般稱為z-平面，w-平面等。

3、復(fù)數(shù)的模和輻角

復(fù)數(shù)可以等同于平面中的向量，z(x,y)?x?iy。

x2?y2向量的長度稱為復(fù)數(shù)的模，定義為：|z|?；

向量與正實(shí)軸之間的夾角稱為復(fù)數(shù)的輻角，定義為：Argz?arctany?2?i（k?Zx）。

tan??y,??Argz我們知道人亦非零復(fù)數(shù)有無限多個輻角，今以xargz表示其中的一個特定值，并稱合條件

???argz??的一個為主值，或稱之為z的主輻角。于是，??Argz?argz?2k?,(k?0,?1,?2,?)。注意，當(dāng)z=0時輻角無異議。當(dāng)z?0時argz表示z的主輻角,它與反正切Arctan的主值arctan（???argz??，??arctan?）

22yxy有如下關(guān)系x?yx?y?arctan,當(dāng)x?0,y?0;?x???,當(dāng)x?0,y?0;?2?y??arctan??,當(dāng)x?0,y?0;argz?x(z?0)?y?arctan??,當(dāng)x?0,y?0;?x??-?,當(dāng)x?0,y?0;??2復(fù)數(shù)的三角表示定義為：z?|z|(cosArgz?isinArgz)； 復(fù)數(shù)加法的幾何表示： 設(shè)z1、z2是兩個復(fù)數(shù)，它們的加法、減法幾何意義是向量相加減，幾何意義如下圖：

yz2z1?z2z2z1xz1?z20?z2關(guān)于兩個復(fù)數(shù)的和與差的模，有以下不等式：（1）、|z1?z2|?|z1|?|z2|；（2）、|z1?z2|?||z1|?|z2||；（3）、|z1?z2|?|z1|?|z2|；（4）、|z1?z2|?||z1|?|z2||；（5）、|Rez|?|z|,|Imz|?|z|；（6）、|z|2?zz； 例1 試用復(fù)數(shù)表示圓的方程：

a(x2?y2)?bx?cy?d?0

（a?0）

其中，a,b,c,d是實(shí)常數(shù)。

解：方程為

azz??z??z?d?0，其中??(b?ic)。

例

2、設(shè)z1、z2是兩個復(fù)數(shù)，證明

z1?z2?z1?z2,z1z2?z1z2

12z1?z1

利用復(fù)數(shù)的三角表示，我們可以更簡單的表示復(fù)數(shù)的乘法與除法：設(shè)z1、z2是兩個非零復(fù)數(shù)，則有 z1?|z1|(cosArgz1?isinArgz1)z2?|z2|(cosArgz2?isinArgz2)

則有

z1z2?|z1||z2|[cos(Argz1?Argz2)?isin(Argz1?Argz2)]

即|z1z2|?|z1||z2|，Arg(z1z2)?Argz1?Argz2，其中后一個式子應(yīng)理解為集合相等。

同理，對除法，有

z1/z2?|z1|/|z2|[cos(Argz1?Argz2)?isin(Argz1?Argz2)]

即|z1/z2|?|z1|/|z2|，Arg(z1/z2)?Argz1?Argz2，其后一個式子也應(yīng)理解為集合相等。

例

3、設(shè)z1、z2是兩個復(fù)數(shù)，求證：

|z1?z2|2?|z1|2?|z2|2?2Re(z1z2)，例

4、作出過復(fù)平面C上不同兩點(diǎn)a,b的直線及過不共線三點(diǎn) a,b,c的圓的表示式。解：直線：Imz?a?0； b?az?ac?a)?0 圓：Im(z?bc?b4、復(fù)數(shù)的乘冪與方根

利用復(fù)數(shù)的三角表示，我們也可以考慮復(fù)數(shù)的乘冪：

ab

abc

zn?|z|n(cosnArgz?isinnArgz)?rn(cosn??isinn?)從而有zn?z,當(dāng)r?1時,則得棣莫弗(DeMoivre)公式1，則 znn

令z?n?z?n?|z|?n[cos(?nArgz)?isin(?nArgz)]

進(jìn)一步，有

11z?n|z|[cos(Argz)?isin(Argz)]

nn1n共有n-個值。

例

4、求4(1?i)的所有值。解：由于1?i?2(cos4??isin)，所以有 441?1?(?2k?)?isin(?2k?)] 4444?(1?i)?82[cos4(1?i)?82[cos(?16?k??k?)?isin(?)]2162其中，k?0,1,2,3。

5、共軛復(fù)數(shù)

復(fù)數(shù)的共軛定義為：z?x?iy；顯然z?z,Argz??Argz,這表明在復(fù)平面上,z與z兩點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸是對稱的

我們也容易驗(yàn)證下列公式：(1),?z??z,z1?z2?z1?z2,(2),z1z2?z1z2,(2z1z)?1(z2?0),z2z2z?zz?z ,Imz?,22i(4),設(shè)R(a,b,c?)表示對于復(fù)數(shù)a,b,c?的任一有理運(yùn)算,則(3),z?zz,Rez?R(a,b,c?)?R(a,b,c?)

6、作業(yè)：

第三篇：復(fù)變函數(shù)教案7.3.2

第七章 共形映射

教學(xué)課題：第三節(jié)

黎曼存在定理

教學(xué)目的：

1、充分理解黎曼存在定理極其重要意義；

2、充分了解邊界對應(yīng)定理；

3、了解線性變換的不動點(diǎn)；

4、掌握線性變換的保形性、保圓性、保交比性、保對稱點(diǎn)性。

教學(xué)重點(diǎn)：線性變換的保形性、保圓性、保交比性、保對稱點(diǎn)性 教學(xué)難點(diǎn)：線性變換的保交比性、保對稱點(diǎn)性 教學(xué)方法：啟發(fā)式、討論式 教學(xué)手段：多媒體與板書相結(jié)合

教材分析：由于線性變換的保形性、保圓性、保交比性和保對稱點(diǎn)性，它在處理邊界為圓弧或直線的區(qū)域的變換中，起著重要的作用。教學(xué)過程：

8、實(shí)例：

在解決某些實(shí)際問題以及數(shù)學(xué)理論問題時，我們往往要把有關(guān)解析函數(shù)的定義域保形映射成較簡單的區(qū)域，以便進(jìn)行研究及計算，我們下面給出幾個實(shí)例。例

1、求作一個單葉函數(shù)，把半圓盤|z|<1，Imz>0保形映射成上半平面。解：因?yàn)閳A及實(shí)軸在-1及+1直交，所以作分式線性函數(shù)

z?1，w'?z?1把-1及+1分別映射成w'平面上的0及?兩點(diǎn)，于是把|z|=1及Imz=0映射成w'平面上在原點(diǎn)互相直交上面的兩條直線。

由于分式線性函數(shù)中的系數(shù)是實(shí)數(shù)，所以z平面上的實(shí)軸映射成w'平面上的實(shí)軸；又由于z=0映射成w'=-1，半圓的直徑AC映射成w'平面上的負(fù)半實(shí)軸。

yDABCxCB(?1)OA(0)CD(?1)A(0)B(1)OD(?i)Cz?平面w'?平面w?平面i?1顯然圓|z|=1映射成w'平面上的虛軸；又由于z=i映射成w'???i，i?1半圓ADC映射成w'平面上的下半虛軸。

根據(jù)在保形映射下區(qū)域及其邊界之間的對應(yīng)關(guān)系，已給半圓盤映射到w'平面上的的區(qū)域，應(yīng)當(dāng)在周界ABC的左方，因此它是第三象限?最后作映射

?argw'??2。

w?w'2，當(dāng)w'在第三象限中變化時，argw'在2?及3?之間變化。因此w'平面上的第三象限就映照成w平面上的上半平面。因此，所求單葉函數(shù)為：

例

2、求作一個單葉函數(shù)，把z平面上的帶形0?Imz??保形映射成w平面上的單位圓|w|<1。解：函數(shù)

z?12w?w'?()。

z?12w'?ez，把z平面上的已給帶形保形映射成w'平面上的上半平面。

y取

i?iw'

1xOO?i平面上

Oz?平面w'?平面w?平面關(guān)于實(shí)軸的對稱點(diǎn)-i及i，那么函數(shù)

w'?i, w?w'?i把的w'平面上的上半平面保形映射成w平面上的單位圓|w|<1。

因此，我們得到

ez?iw?z.e?i

例

3、求作一個單葉函數(shù)，把擴(kuò)充z平面上單位圓的外部|z|>1保形映射成擴(kuò)充w平面上去掉割線?1?Rew?1,Imw?0而得的區(qū)域。解：容易驗(yàn)證，分式線性函數(shù)

w?1，w'?w?1把割線?1?Rew?1,Imw?0保形映射成

yw'平面上的負(fù)實(shí)軸，把擴(kuò)充w平面上已給區(qū)域保形映射成w'平面上除去負(fù)實(shí)軸（包括0）而得的區(qū)域。

Ow'?平面xOO?11Cz?平面??平面w?平面另一方面，分式線性函數(shù)

z?1，??z?1把圓|z|=1保形映射成?平面上的 虛軸。由于它把z=2映射成??3，可見它

?平面上的右半平面。顯然

w'??2，把擴(kuò)充z平面上單位圓的外部|z|>1保形映射成把?平面上的這一部分保形映射成w'平面上除去負(fù)實(shí)軸而得的區(qū)域。

因此我們得到

w?1?z?1????w?1?z?1?由此可得函數(shù) w?(z?)2z即為所求函數(shù)。

例

4、求作一個單葉函數(shù)，把z平面上半帶域??射成w平面上的上半平面，并且使得

/2?x??/2,y?0保形映

f(??/2)??1,f(0)?0。

解：把坐標(biāo)系按反時針方向旋轉(zhuǎn)一個直角，并且應(yīng)用指數(shù)函數(shù)做映射，我們求得函數(shù)

w'?eiz，把上述半帶域映射成w'平面上的半圓盤。

yyDDA(?)CB(?1)C(0)ABCxODBxw1?平面OA(?1)AB(0)C(1)z?平面w'?平面w?平面

把坐標(biāo)系按反時針方向旋轉(zhuǎn)一個直角，并且應(yīng)用例1中的映射，得到函數(shù)

?iw'?1?w1????iw'?1?這時z把w12，因此，我們得到把以給半帶域保形映射成w1平面的上半平面的單葉函數(shù)，不過???/2,0,?/2分別被映射成w1??,?1,0。作分式線性函數(shù)，??,?1,0映射成w??1,0,?1：

w1?1w??，w1?1最后得到所求的單葉函數(shù)：

(iw'?1)2?(iw'?1)2w'2?11iz?izw????(e?e)?sinz。22(iw'?1)?(iw'?1)2iw'2i例

5、在z平面的上半平面上，沿虛軸作一長h為的割線。求作一個單葉函數(shù)，把上述半平面去掉割線而得的區(qū)域保形映射成w平面上的上半平面。

解：首先作映射，把割線去掉，使已給區(qū)域的全部邊界都變到w'平面的實(shí)軸上。為此，用在上述區(qū)域內(nèi)的單葉解析函數(shù)

w'?z2，把z平面的第一及第二象限分別映射成w'平面的上半平面及下半平面。這時射線AD被映射成w'平面上正實(shí)軸的上沿，DC被映射成從0到h2的線段的上沿，CB被映射成這條線段的下沿，BA被映射成正實(shí)軸的下沿，于是z平面上已給區(qū)域yC(hi)C(?h2)D(0)A(?)B(0)ABDA(?)xAB(?h)w'?平面A(?)C(0)D(h)OD(h2)C(0)A(?)w?平面A(?)B(h2)z?平面A(?)w1?平面被保形影射成w'平面除去射線Imw'?0,Rew'??h2而得的區(qū)域。

顯然，函數(shù)

w1?w'?h2，把w'平面的上述區(qū)域映射成w1平面上除去正實(shí)軸所得的區(qū)域；而函數(shù)

w?w1，又把這一區(qū)域映射成w平面上的上半平面，其中取正值的一個解析分支。

結(jié)合以上討論，我們得到所求的單葉函數(shù)是：

w1應(yīng)理解為在正實(shí)軸的上沿w?w1?w'?h2?z2?h2。

第四篇：復(fù)變函數(shù)課后習(xí)題答案

習(xí)題一答案

1．求下列復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部、模、幅角主值及共軛復(fù)數(shù)：

（1）

（2）

（3）

（4）

解：（1），因此：，（2），因此，（3），因此，（4）

因此，2．

將下列復(fù)數(shù)化為三角表達(dá)式和指數(shù)表達(dá)式：

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

解：（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

3．求下列各式的值：

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

解：（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

4．設(shè)試用三角形式表示與

解：，所以，5．

解下列方程：

（1）

（2）

解：（1）

由此，（2），當(dāng)時，對應(yīng)的4個根分別為：

6．證明下列各題：（1）設(shè)則

證明：首先，顯然有；

其次，因

固此有

從而。

（2）對任意復(fù)數(shù)有

證明：驗(yàn)證即可，首先左端，而右端，由此，左端=右端，即原式成立。

（3）若是實(shí)系數(shù)代數(shù)方程的一個根，那么也是它的一個根。

證明：方程兩端取共軛，注意到系數(shù)皆為實(shí)數(shù)，并且根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算規(guī)則，由此得到：

由此說明：若為實(shí)系數(shù)代數(shù)方程的一個根，則也是。結(jié)論得證。

（4）若則皆有

證明：根據(jù)已知條件，有，因此：，證畢。

（5）若，則有

證明：，因?yàn)?，所以，因而，即，結(jié)論得證。

7．設(shè)試寫出使達(dá)到最大的的表達(dá)式，其中為正整數(shù)，為復(fù)數(shù)。

解：首先，由復(fù)數(shù)的三角不等式有，在上面兩個不等式都取等號時達(dá)到最大，為此，需要取與同向且，即應(yīng)為的單位化向量，由此，8．試用來表述使這三個點(diǎn)共線的條件。

解：要使三點(diǎn)共線，那么用向量表示時，與應(yīng)平行，因而二者應(yīng)同向或反向，即幅角應(yīng)相差或的整數(shù)倍，再由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算規(guī)則知應(yīng)為或的整數(shù)倍，至此得到：

三個點(diǎn)共線的條件是為實(shí)數(shù)。

9．寫出過兩點(diǎn)的直線的復(fù)參數(shù)方程。

解：過兩點(diǎn)的直線的實(shí)參數(shù)方程為：，因而，復(fù)參數(shù)方程為：

其中為實(shí)參數(shù)。

10．下列參數(shù)方程表示什么曲線？（其中為實(shí)參數(shù)）

（1）

（2）

（3）

解：只需化為實(shí)參數(shù)方程即可。

（1），因而表示直線

（2），因而表示橢圓

（3），因而表示雙曲線

11．證明復(fù)平面上的圓周方程可表示為，其中為復(fù)常數(shù)，為實(shí)常數(shù)

證明：圓周的實(shí)方程可表示為：，代入，并注意到，由此，整理，得

記，則，由此得到，結(jié)論得證。

12．證明：幅角主值函數(shù)在原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸上不連續(xù)。

證明：首先，在原點(diǎn)無定義，因而不連續(xù)。

對于，由的定義不難看出，當(dāng)由實(shí)軸上方趨于時，而當(dāng)由實(shí)軸下方趨于時，由此說明不存在，因而在點(diǎn)不連續(xù)，即在負(fù)實(shí)軸上不連續(xù)，結(jié)論得證。

13．函數(shù)把平面上的曲線和分別映成平面中的什么曲線？

解：對于，其方程可表示為，代入映射函數(shù)中，得，因而映成的像曲線的方程為，消去參數(shù)，得

即表示一個圓周。

對于，其方程可表示為

代入映射函數(shù)中，得

因而映成的像曲線的方程為，消去參數(shù)，得，表示一半徑為的圓周。

14．指出下列各題中點(diǎn)的軌跡或所表示的點(diǎn)集，并做圖：

解：（1），說明動點(diǎn)到的距離為一常數(shù)，因而表示圓心為，半徑為的圓周。

（2）是由到的距離大于或等于的點(diǎn)構(gòu)成的集合，即圓心為半徑為的圓周及圓周外部的點(diǎn)集。

（3）說明動點(diǎn)到兩個固定點(diǎn)1和3的距離之和為一常數(shù)，因而表示一個橢圓。代入化為實(shí)方程得

（4）說明動點(diǎn)到和的距離相等，因而是和連線的垂直平分線，即軸。

（5），幅角為一常數(shù)，因而表示以為頂點(diǎn)的與軸正向夾角為的射線。

15．做出下列不等式所確定的區(qū)域的圖形，并指出是有界還是無界，單連通還是多連通。

（1），以原點(diǎn)為心，內(nèi)、外圓半徑分別為2、3的圓環(huán)區(qū)域，有界，多連通

（2），頂點(diǎn)在原點(diǎn)，兩條邊的傾角分別為的角形區(qū)域，無界，單連通

（3），顯然，并且原不等式等價于，說明到3的距離比到2的距離大，因此原不等式表示2與3

連線的垂直平分線即2.5左邊部分除掉2后的點(diǎn)構(gòu)成的集合，是一無界，多連通區(qū)域。

（4），顯然該區(qū)域的邊界為雙曲線，化為實(shí)方程為，再注意到到2與到2的距離之差大于1，因而不等式表示的應(yīng)為上述雙曲線左邊一支的左側(cè)部分，是一無界單連通區(qū)域。

（5），代入，化為實(shí)不等式，得

所以表示圓心為半徑為的圓周外部，是一無界多連通區(qū)域。

習(xí)題二答案

1．指出下列函數(shù)的解析區(qū)域和奇點(diǎn)，并求出可導(dǎo)點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)。

（1）

（2）

（3）

（4）

解：根據(jù)函數(shù)的可導(dǎo)性法則（可導(dǎo)函數(shù)的和、差、積、商仍為可導(dǎo)函數(shù)，商時分母不為0），根據(jù)和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)公式及復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式，再注意到區(qū)域上可導(dǎo)一定解析，由此得到：

（1）處處解析，（2）處處解析，（3）的奇點(diǎn)為，即，（4）的奇點(diǎn)為，2．

判別下列函數(shù)在何處可導(dǎo)，何處解析，并求出可導(dǎo)點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)。

（1）

（2）

（3）

（4）

解：根據(jù)柯西—黎曼定理：

（1），四個一階偏導(dǎo)數(shù)皆連續(xù)，因而處處可微，再由柯西—黎曼方程

解得：，因此，函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，函數(shù)處處不解析。

（2），四個一階偏導(dǎo)數(shù)皆連續(xù)，因而處處可微，再由柯西—黎曼方程

解得：，因此，函數(shù)在直線上可導(dǎo)，因可導(dǎo)點(diǎn)集為直線，構(gòu)不成區(qū)域，因而函數(shù)處處不解析。

（3），四個一階偏導(dǎo)數(shù)皆連續(xù)，因而

處處可微，并且

處處滿足柯西—黎曼方程

因此，函數(shù)處處可導(dǎo)，處處解析，且導(dǎo)數(shù)為

（4），，因函數(shù)的定義域?yàn)椋蚀?，處處不滿足柯西—黎曼方程，因而函數(shù)處處不可導(dǎo)，處處不解析。

3．當(dāng)取何值時在復(fù)平面上處處解析？

解：，由柯西—黎曼方程得：

由（1）得，由（2）得，因而，最終有

4．證明：若解析，則有

證明：由柯西—黎曼方程知，左端

右端，證畢。

5．證明：若在區(qū)域D內(nèi)解析，且滿足下列條件之一，則在D內(nèi)一定為常數(shù)。

（1）在D內(nèi)解析，（2）在D內(nèi)為常數(shù)，（3）在D內(nèi)為常數(shù)，（4）

（5）

證明：關(guān)鍵證明的一階偏導(dǎo)數(shù)皆為0！

（1），因其解析，故此由柯西—黎曼方程得

------------------------（1）

而由的解析性，又有

------------------------（2）

由（1）、（2）知，因此即

為常數(shù)

（2）設(shè)，那么由柯西—黎曼方程得，說明與無關(guān)，因而，從而為常數(shù)。

（3）由已知，為常數(shù)，等式兩端分別對求偏導(dǎo)數(shù)，得

----------------------------（1）

因解析，所以又有

-------------------------（2）

求解方程組（1）、（2），得，說明

皆與無關(guān)，因而為常數(shù)，從而也為常數(shù)。

（4）同理，兩端分別對求偏導(dǎo)數(shù)，得

再聯(lián)立柯西—黎曼方程，仍有

（5）同前面一樣，兩端分別對求偏導(dǎo)數(shù)，得

考慮到柯西—黎曼方程，仍有，證畢。

6．計算下列各值（若是對數(shù)還需求出主值）

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

解：（1）

（2），為任意整數(shù)，主值為：

（3），為任意整數(shù)

主值為：

（4）

（5），為任意整數(shù)

（6），當(dāng)分別取0，1，2時得到3個值：，7．

求和

解：，因此根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義，有，（為任意整數(shù)）

8．設(shè)，求

解：，因此

9．解下列方程：

（1）

（2）

（3）

（4）

解：（1）方程兩端取對數(shù)得：

（為任意整數(shù)）

（2）根據(jù)對數(shù)與指數(shù)的關(guān)系，應(yīng)有

（3）由三角函數(shù)公式（同實(shí)三角函數(shù)一樣），方程可變形為

因此

即，為任意整數(shù)

（4）由雙曲函數(shù)的定義得，解得，即，所以，為任意整數(shù)

10．證明羅比塔法則：若及在點(diǎn)解析，且，則，并由此求極限

證明：由商的極限運(yùn)算法則及導(dǎo)數(shù)定義知，由此，11．

用對數(shù)計算公式直接驗(yàn)證：

（1）

（2）

解：記，則

（1）左端，右端，其中的為任意整數(shù)。

顯然，左端所包含的元素比右端的要多（如左端在時的值為，而右端卻取不到這一值），因此兩端不相等。

（2）左端

右端

其中為任意整數(shù)，而

不難看出，對于左端任意的，右端取或時與其對應(yīng)；反之，對于右端任意的，當(dāng)為偶數(shù)時，左端可取于其對應(yīng)，而當(dāng)為奇數(shù)時，左端可取于其對應(yīng)。綜上所述，左右兩個集合中的元素相互對應(yīng)，即二者相等。

12．證明

證明：首先有，因此，第一式子證畢。

同理可證第二式子也成立。

13．證明

（即）

證明：首先，右端不等式得到證明。

其次，由復(fù)數(shù)的三角不等式又有，根據(jù)高等數(shù)學(xué)中的單調(diào)性方法可以證明時，因此接著上面的證明，有，左端不等式得到證明。

14．設(shè)，證明

證明：由復(fù)數(shù)的三角不等式，有，由已知，再主要到時單調(diào)增加，因此有，同理，證畢。

15．已知平面流場的復(fù)勢為

（1）

（2）

（3）

試求流動的速度及流線和等勢線方程。

解：只需注意，若記，則

流場的流速為，流線為，等勢線為，因此，有

（1）

流速為，流線為，等勢線為

（2）

流速為，流線為，等勢線為

（3）

流速為，流線為，等勢線為

習(xí)題三答案

1．計算積分，其中為從原點(diǎn)到的直線段

解：積分曲線的方程為，即，代入原積分表達(dá)式中，得

2．計算積分，其中為

（1）從0到1再到的折線

（2）從0到的直線

解：（1）從0到1的線段方程為：，從1到的線段方程為：，代入積分表達(dá)式中，得；

（2）從0到的直線段的方程為，代入積分表達(dá)式中，得，對上述積分應(yīng)用分步積分法，得

3．積分，其中為

（1）沿從0到

（2）沿從0到

解：（1）積分曲線的方程為，代入原積分表達(dá)式中，得

（2）積分曲線的方程為，代入積分表達(dá)式中，得

4．計算積分，其中為

（1）從1到+1的直線段

（2）從1到+1的圓心在原點(diǎn)的上半圓周解：（1）的方程為，代入，得

（2）的方程為，代入，得

5．估計積分的模,其中為+1到-1的圓心在原點(diǎn)的上半圓周。

解：在上，=1，因而由積分估計式得的弧長

6．用積分估計式證明：若在整個復(fù)平面上有界，則正整數(shù)時

其中為圓心在原點(diǎn)半徑為的正向圓周。

證明：記，則由積分估計式得，因，因此上式兩端令取極限，由夾比定理，得，證畢。

7．通過分析被積函數(shù)的奇點(diǎn)分布情況說明下列積分為0的原因，其中積分曲線皆為。

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

解：各積分的被積函數(shù)的奇點(diǎn)為：（1），（2）

即，（3）

（4）為任意整數(shù)，（5）被積函數(shù)處處解析，無奇點(diǎn)

不難看出，上述奇點(diǎn)的模皆大于1，即皆在積分曲線之外，從而在積分曲線內(nèi)被積函數(shù)解析，因此根據(jù)柯西基本定理，以上積分值都為0。

8．計算下列積分：

（1）

（2）

（3）

解：以上積分皆與路徑無關(guān)，因此用求原函數(shù)的方法：

（1）

（2）

（3）

9．計算，其中為不經(jīng)過的任一簡單正向閉曲線。

解：被積函數(shù)的奇點(diǎn)為，根據(jù)其與的位置分四種情況討論：

（1）皆在外，則在內(nèi)被積函數(shù)解析，因而由柯西基本定理

（2）在內(nèi)，在外，則在內(nèi)解析，因而由柯西積分

公式：

（3）同理，當(dāng)在內(nèi)，在外時，（4）皆在內(nèi)

此時，在內(nèi)圍繞分別做兩條相互外離的小閉合曲線，則由復(fù)合閉路原理得：

注：此題若分解，則更簡單！

10．計算下列各積分

解：（1），由柯西積分公式

（2），在積分曲線內(nèi)被積函數(shù)只有一個奇點(diǎn)，故此同上題一樣：

（3）

在積分曲線內(nèi)被積函數(shù)有兩個奇點(diǎn)，圍繞分別做兩條相互外離的小閉合曲線，則由復(fù)合閉路原理得：

（4），在積分曲線內(nèi)被積函數(shù)只有一個奇點(diǎn)1，故此

（5），在積分曲線內(nèi)被積函數(shù)有兩個奇點(diǎn)，圍繞分別做兩條相互外離的小閉合曲線，則由復(fù)合閉路原理得：

（6）為正整數(shù)，由高階導(dǎo)數(shù)公式

11．計算積分，其中為

（1）

（2）

（3）

解：（1）由柯西積分公式

（2）同理，由高階導(dǎo)數(shù)公式

（3）由復(fù)合閉路原理，其中，為內(nèi)分別圍繞0，1且相互外離的小閉合曲線。

12．積分的值是什么？并由此證明

解：首先，由柯西基本定理，因?yàn)楸环e函數(shù)的奇點(diǎn)在積分曲線外。

其次，令，代入上述積分中，得

考察上述積分的被積函數(shù)的虛部，便得到，再由的周期性，得

即，證畢。

13．設(shè)都在簡單閉曲線上及內(nèi)解析，且在上，證明在內(nèi)也有。

證明：由柯西積分公式，對于內(nèi)任意點(diǎn)，由已知，在積分曲線上，故此有

再由的任意性知，在內(nèi)恒有，證畢。

14．設(shè)在單連通區(qū)域內(nèi)解析，且，證明

（1）

在內(nèi)；

（2）

對于內(nèi)任一簡單閉曲線，皆有

證明：（1）顯然，因?yàn)槿粼谀滁c(diǎn)處則由已知，矛盾！

（也可直接證明：，因此，即，說明）

（3）

既然，再注意到解析，也解析，因此由函數(shù)的解析性法則知也在區(qū)域內(nèi)解析，這樣，根據(jù)柯西基本定理，對于內(nèi)任一簡單閉曲線，皆有，證畢。

15．求雙曲線

（為常數(shù)）的正交（即垂直）曲線族。

解：為調(diào)和函數(shù)，因此只需求出其共軛調(diào)和函數(shù)，則

便是所要求的曲線族。為此，由柯西—黎曼方程，因此，再由

知，即為常數(shù)，因此，從而所求的正交曲線族為

（注：實(shí)際上，本題的答案也可觀察出，因極易想到

解析）

16．設(shè)，求的值使得為調(diào)和函數(shù)。

解：由調(diào)和函數(shù)的定義，因此要使為某個區(qū)域內(nèi)的調(diào)和函數(shù)，即在某區(qū)域內(nèi)上述等式成立，必須，即。

17．已知，試確定解析函數(shù)

解：首先，等式兩端分別對求偏導(dǎo)數(shù)，得

----------------------------------（1）

-------------------------------（2）

再聯(lián)立上柯西—黎曼方程

------------------------------------------------------（3）

----------------------------------------------------（4）

從上述方程組中解出，得

這樣，對積分，得再代入中，得

至此得到：由二者之和又可解出，因此，其中為任意實(shí)常數(shù)。

注：此題還有一種方法：由定理知

由此也可很方便的求出。

18．由下列各已知調(diào)和函數(shù)求解析函數(shù)

解：（1），由柯西—黎曼方程，對積分，得，再由得，因此，所以，因，說明時，由此求出，至此得到：，整理后可得：

（2），此類問題，除了上題采用的方法外，也可這樣：，所以，其中為復(fù)常數(shù)。代入得，故此

（3）

同上題一樣，因此，其中的為對數(shù)主值，為任意實(shí)常數(shù)。

（4），對積分，得

再由得，所以為常數(shù)，由知，時，由此確定出，至此得到：，整理后可得

19．設(shè)在上解析，且，證明

證明：由高階導(dǎo)數(shù)公式及積分估計式，得，證畢。

20．若在閉圓盤上解析，且，試證明柯西不等式，并由此證明劉維爾定理：在整個復(fù)平面上有界且處處解析的函數(shù)一定為常數(shù)。

證明：由高階導(dǎo)數(shù)公式及積分估計式，得，柯西不等式證畢；下證劉維爾定理：

因?yàn)楹瘮?shù)有界，不妨設(shè)，那么由柯西不等式，對任意都有，又因處處解析，因此可任意大，這樣，令，得，從而，即，再由的任意性知，因而為常數(shù)，證畢。

習(xí)題四答案

1．考察下列數(shù)列是否收斂，如果收斂，求出其極限．

（1）

解：因?yàn)椴淮嬖?，所以不存在，由定?.1知，數(shù)列不收斂．

（2）

解：，其中，則

．

因?yàn)?，所?/p>

由定義4.1知，數(shù)列收斂，極限為0．

（3）

解：因?yàn)?，所?/p>

由定義4.1知，數(shù)列收斂，極限為0．

（4）

解：設(shè)，則，因?yàn)?，都不存在，所以不存在，由定?.1知，數(shù)列不收斂．

2．下列級數(shù)是否收斂？是否絕對收斂?

(1)

解：，由正項(xiàng)級數(shù)的比值判別法知該級數(shù)收斂，故級數(shù)收斂，且為絕對收斂．

(2)

解：，因?yàn)槭墙诲e級數(shù)，根據(jù)交錯級數(shù)的萊布尼茲審斂法知該級數(shù)收斂，同樣可知，也收斂，故級數(shù)是收斂的．

又，因?yàn)榘l(fā)散，故級數(shù)發(fā)散，從而級數(shù)條件收斂．

(3)

解：，因級數(shù)發(fā)散，故發(fā)散．

(4)

解：，由正項(xiàng)正項(xiàng)級數(shù)比值判別法知該級數(shù)收斂，故級數(shù)收斂，且為絕對收斂．

3．試確定下列冪級數(shù)的收斂半徑．

(1)

解：，故此冪級數(shù)的收斂半徑．

(2)

解：，故此冪級數(shù)的收斂半徑．

(3)

解：，故此冪級數(shù)的收斂半徑．

(4)

解：令，則，故冪級數(shù)的收斂域?yàn)?，即，從而冪級?shù)的收斂域?yàn)?，收斂半徑為?/p>

4．設(shè)級數(shù)收斂，而發(fā)散，證明的收斂半徑為．

證明：在點(diǎn)處，因?yàn)槭諗浚允諗?，故由阿貝爾定理知，時，收斂，且為絕對收斂，即收斂．

時，因?yàn)榘l(fā)散，根據(jù)正項(xiàng)級數(shù)的比較準(zhǔn)則可知，發(fā)散，從而的收斂半徑為1，由定理4.6，的收斂半徑也為1．

5．如果級數(shù)在它的收斂圓的圓周上一點(diǎn)處絕對收斂，證明它在收斂圓所圍的閉區(qū)域上絕對收斂．

證明：時，由阿貝爾定理，絕對收斂．

時，由已知條件知，收斂，即收斂，亦即絕對收斂．

6．將下列函數(shù)展開為的冪級數(shù)，并指出其收斂區(qū)域．

（1）

解：由于函數(shù)的奇點(diǎn)為，因此它在內(nèi)處處解析，可以在此圓內(nèi)展開成的冪級數(shù)．根據(jù)例4.2的結(jié)果，可以得到

．

將上式兩邊逐項(xiàng)求導(dǎo)，即得所要求的展開式

=．

（2）

解：①時，由于函數(shù)的奇點(diǎn)為，因此它在內(nèi)處處解析，可以在此圓內(nèi)展開成的冪級數(shù)．

===．

②時，由于函數(shù)的奇點(diǎn)為，因此它在內(nèi)處處解析，可以在此圓內(nèi)展開成的冪級數(shù)．

=

=．

（3）

解：由于函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)處處解析，所以它在整個復(fù)平面內(nèi)可以展開成的冪級數(shù)．

．

（4）

解：由于函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)處處解析，所以它在整個復(fù)平面內(nèi)可以展開成的冪級數(shù)．

（5）

解：由于函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)處處解析，所以它在整個復(fù)平面內(nèi)可以展開成的冪級數(shù)．

=．

（6）

解：由于函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)處處解析，所以它在整個復(fù)平面內(nèi)可以展開成的冪級數(shù)．

=

==．

7．求下列函數(shù)展開在指定點(diǎn)處的泰勒展式，并寫出展式成立的區(qū)域．

（1）

解：，．

由于函數(shù)的奇點(diǎn)為，所以這兩個展開式在內(nèi)處處成立．所以有：

．

（2）

解：由于

所以．

（3）

解：

=．

展開式成立的區(qū)域：，即

（4）

解：，，……，，……，故有

因?yàn)榈钠纥c(diǎn)為，所以這個等式在的范圍內(nèi)處處成立。

8．將下列函數(shù)在指定的圓域內(nèi)展開成洛朗級數(shù)．

(1)

解：，故有

(2)

解：

①在內(nèi)

②在內(nèi)

(3)

解：①在內(nèi)，②在內(nèi)

(4)

解：在內(nèi)

(5)

解：

在內(nèi)

故有

9．將在的去心鄰域內(nèi)展開成洛朗級數(shù)．

解：因?yàn)楹瘮?shù)的奇點(diǎn)為，所以它以點(diǎn)為心的去心鄰域是圓環(huán)域．在內(nèi)

又

故有

10．函數(shù)能否在圓環(huán)域內(nèi)展開為洛朗級數(shù)？為什么？

答：不能。函數(shù)的奇點(diǎn)為,，所以對于，內(nèi)都有的奇點(diǎn)，即以為環(huán)心的處處解析的圓環(huán)域不存在，所以函數(shù)不能在圓環(huán)域內(nèi)展開為洛朗級數(shù)．

習(xí)題五答案

1．求下列各函數(shù)的孤立奇點(diǎn)，說明其類型，如果是極點(diǎn)，指出它的級．

（1）

解：函數(shù)的孤立奇點(diǎn)是，因

由性質(zhì)5.2知，是函數(shù)的1級極點(diǎn)，均是函數(shù)的2級極點(diǎn)．

（2）

解：函數(shù)的孤立奇點(diǎn)是，因，由極點(diǎn)定義知，是函數(shù)的2級極點(diǎn)．

（3）

解：函數(shù)的孤立奇點(diǎn)是，因，由性質(zhì)5.1知，是函數(shù)可去奇點(diǎn)．

（4）

解：函數(shù)的孤立奇點(diǎn)是,①，即時，因

所以是的3級零點(diǎn)，由性質(zhì)5.5知，它是的3級極點(diǎn)

②，時，令，因，由定義5.2知，是的1級零點(diǎn)，由性質(zhì)5.5知，它是的1級極點(diǎn)

（5）

解：函數(shù)的孤立奇點(diǎn)是,令，①

時，，由定義5.2知，是的2級零點(diǎn)，由性質(zhì)5.5知，它是的2級極點(diǎn)，故是的2級極點(diǎn)．

②時，，由定義5.2知，是的1級零點(diǎn)，由性質(zhì)5.5知，它是的1級極點(diǎn)，故是的１級極點(diǎn)．

（６）

解：函數(shù)的孤立奇點(diǎn)是，令，①

時，因，所以是的2級零點(diǎn)，從而它是的2級極點(diǎn)．

②時，，由定義5.2知，是的1級零點(diǎn)，由性質(zhì)5.5知，它是的１級極點(diǎn)．

2．指出下列各函數(shù)的所有零點(diǎn)，并說明其級數(shù)．

（1）

解：函數(shù)的零點(diǎn)是，記，①

時，因，故是的2級零點(diǎn)．

②時，，由定義5.2知，是的1級零點(diǎn)．

（2）

解：函數(shù)的零點(diǎn)是，因，所以由性質(zhì)5.4知，是的2級零點(diǎn)．

（3）

解：函數(shù)的零點(diǎn)是，，記，①

時，是的1級零點(diǎn)，的1級零點(diǎn)，的2級零點(diǎn)，所以是的4級零點(diǎn)．

②，時，，由定義5.2知，是的1級零點(diǎn)．

③，時，，由定義5.2知，是的1級零點(diǎn)．

3．是函數(shù)的幾級極點(diǎn)？

答：記，則，，，將代入，得：，由定義5.2知，是函數(shù)的5級零點(diǎn)，故是的10級極點(diǎn)．

4．證明：如果是的級零點(diǎn)，那么是的級零點(diǎn)．

證明：因?yàn)槭堑募壛泓c(diǎn)，所以，即，由定義5.2知，是的級零點(diǎn)．

5．求下列函數(shù)在有限孤立奇點(diǎn)處的留數(shù)．

（1）

解：函數(shù)的有限孤立奇點(diǎn)是，且均是其1級極點(diǎn)．由定理5.2知，．

（2）

解：函數(shù)的有限孤立奇點(diǎn)是，且是函數(shù)的3級極點(diǎn)，由定理5.2，．

（3）

解：函數(shù)的有限孤立奇點(diǎn)是，因

所以由定義5.5知，．

（4）

解：函數(shù)的有限孤立奇點(diǎn)是，因

所以由定義5.5知，．

（5）

解：函數(shù)的有限孤立奇點(diǎn)是，因

所以由定義5.5知，．

（6）

解：函數(shù)的有限孤立奇點(diǎn)是．

①，即，因?yàn)?/p>

所以是的2級極點(diǎn)．由定理5.2，．

②時，記，則，因?yàn)?，所以由定義5.2知，是的1級零點(diǎn)，故它是的1級極點(diǎn)．由定理5.3，．

6．利用留數(shù)計算下列積分（積分曲線均取正向）．

（1）

解：是被積函數(shù)在積分區(qū)域內(nèi)的有限孤立奇點(diǎn)，且為2級極點(diǎn)，由定理5.2，由定理5.1知，．

（2）

解：是被積函數(shù)在積分區(qū)域內(nèi)的有限孤立奇點(diǎn)，且為1級極點(diǎn)，所以由定理5.1及定理5.2，．

（3）

解：是被積函數(shù)在積分區(qū)域內(nèi)的有限孤立奇點(diǎn)，因?yàn)?，所以由性質(zhì)5.1知是函數(shù)的可去奇點(diǎn)，從而由定理5.1，由定理5.1，．

（4）

解：是被積函數(shù)在積分區(qū)域內(nèi)的有限孤立奇點(diǎn)，且為2級極點(diǎn)，由定理5.2，由定理5.1，．

（5）

解：是被積函數(shù)在積分區(qū)域內(nèi)的有限孤立奇點(diǎn)，由性質(zhì)5.6知是函數(shù)的1級極點(diǎn)，由定理5.1，．

（6）

解：被積函數(shù)在積分區(qū)域內(nèi)的有限孤立奇點(diǎn)為：，由定理5.3，這些點(diǎn)均為的1級極點(diǎn)，且

由定理5.1，．

7．計算積分，其中為正整數(shù)，．

解：記，則的有限孤立奇點(diǎn)為，且為級極點(diǎn)，分情況討論如下：

①時，均在積分區(qū)域內(nèi)，由定理5.1，故有．

②時，均不在積分區(qū)域內(nèi)，所以．

③時，在積分區(qū)域內(nèi)，不在積分區(qū)域內(nèi)，所以

習(xí)題五

8．判斷是下列各函數(shù)的什么奇點(diǎn)？求出在的留數(shù)。

解：（1）因?yàn)?/p>

所以，是的可去奇點(diǎn)，且。

（2）因?yàn)?/p>

所以

于是，是的本性奇點(diǎn)，且。

（3）因?yàn)?/p>

所以

容易看出，展式中由無窮多的正冪項(xiàng)，所以是的本性奇點(diǎn)。

（4）因?yàn)?/p>

所以是的可去奇點(diǎn)。

9．計算下列積分：

解：（1）

（2）

從上式可知，所以。

10．求下列各積分之值：

（1）解：設(shè)則。于是

（2）解：設(shè)則。于是

（3）解：顯然，滿足分母的次數(shù)至少比分子的次數(shù)高二次，且在實(shí)軸上沒有奇點(diǎn)，積分是存在的。在上半平面內(nèi)只有一個奇點(diǎn)，且為2級極點(diǎn)。于是

（4）解：

顯然，滿足分母的次數(shù)至少比分子的次數(shù)高二次，且在實(shí)軸上沒有奇點(diǎn)，積分是存在的。在上半平面內(nèi)只有和二個奇點(diǎn)，且都為1

級極點(diǎn)。于是

所以

（5）解：顯然，滿足分母的次數(shù)至少比分子的次數(shù)高一次，且在實(shí)軸上沒有奇點(diǎn)，在上半平面內(nèi)只有一個奇點(diǎn)，且為1

級極點(diǎn)。于是

（6）解：顯然，滿足分母的次數(shù)至少比分子的次數(shù)高一次，且在實(shí)軸上沒有奇點(diǎn)，在上半平面內(nèi)只有一個奇點(diǎn)，且為1

級極點(diǎn)。于是

11．利用對數(shù)留數(shù)計算下列積分：

解：（1），這里為函數(shù)在內(nèi)的零點(diǎn)數(shù)，為在內(nèi)的極點(diǎn)數(shù)。

（2）

這里為函數(shù)在內(nèi)的零點(diǎn)數(shù)，為在內(nèi)的極點(diǎn)數(shù)；為函數(shù)在內(nèi)的零點(diǎn)數(shù)，為在內(nèi)的極點(diǎn)數(shù)。

(3)

這里為函數(shù)在內(nèi)的零點(diǎn)數(shù)，為在內(nèi)的極點(diǎn)數(shù)。

(4)

這里為函數(shù)在內(nèi)的零點(diǎn)數(shù)，為在內(nèi)的極點(diǎn)數(shù)。

12．證明方程有三個根在環(huán)域內(nèi)

證明：令。因?yàn)楫?dāng)時，有

所以，方程與在內(nèi)根的數(shù)目相同，即4個。

又當(dāng)時，有

所以，方程與在內(nèi)根的數(shù)目相同，即1個。

綜合上述得到，在環(huán)域內(nèi)有3個根。

13．討論方程在與內(nèi)各有幾個根。

解：令。因?yàn)楫?dāng)時，有

所以，方程與在內(nèi)根的數(shù)目相同，即1個。

又當(dāng)時，有

所以，方程與在內(nèi)根的數(shù)目相同，即4個。

根據(jù)上述還可以得到，在環(huán)域內(nèi)有3個根。

14．當(dāng)時，證明方程與在單位圓內(nèi)有n個根。

證明：令。因?yàn)楫?dāng)時，有

所以，當(dāng)時，方程與在內(nèi)根的數(shù)目相同，即n個。

習(xí)題七答案

1．試證：若滿足傅氏積分定理的條件，則有

證明：根據(jù)付氏積分公式，有

2．求下列函數(shù)的傅氏變換：

（1）

（2）

（3）

（4）

解：（1）

f(t)

(2)

(3)

(4)

由于

所以

3．求下列函數(shù)的傅氏變換，并推證所列的積分等式。

(1)

證明

(2)

證明。

解：(1)

由傅氏積分公式，當(dāng)時

所以，根據(jù)傅氏積分定理

(2)

由傅氏積分公式

所以，根據(jù)傅氏積分定理

5．求下列函數(shù)的傅氏變換：

(1)

(2)

(3)

(4)

解：（1）

(2)

(3)

由于

所以

(4)

由于

所以

6．證明：若其中為一實(shí)函數(shù)，則

其中為的共軛函數(shù)。

證明：由于

所以

于是有

7．若，證明（翻轉(zhuǎn)性質(zhì)）。

證明：由于

所以

對上述積分作變換，則

8．證明下列各式：

(1)

（為常數(shù)）；

(2)

證明：（1）

（2）

9．計算下列函數(shù)和的卷積：

(1)

(2)

(2)

(2)

解:

(1)

顯然，有

當(dāng)時，由于=0，所以；

當(dāng)時，（2）顯然，有

所以，當(dāng)

或

或

時，皆有=0。于是

當(dāng)時，；

當(dāng)時，；

當(dāng)時。

又

所以

從而

當(dāng)時，當(dāng)時，總結(jié)上述，得。

10．求下列函數(shù)的傅氏變換：

(1)

(2)

(3)

(4)

解：（1）由于

根據(jù)位移性質(zhì)

（2）

（3）根據(jù)位移性質(zhì)

再根據(jù)像函數(shù)的位移性質(zhì)

（4）由于

根據(jù)微分性質(zhì)

再根據(jù)位移性質(zhì)。

習(xí)題八

1．求下列函數(shù)的拉氏變換：

(1)

解：由拉氏變換的定義知：

(2)

解：由拉氏變換的定義以及單位脈動函數(shù)的篩選性質(zhì)知：

2.求下列函數(shù)的拉氏變換：

(1)

解：由拉氏變換的線性性質(zhì)知：

(2)

解：由拉氏變換的線性性質(zhì)和位移性質(zhì)知：

(3)

解：法一：利用位移性質(zhì)。

由拉氏變換的位移性質(zhì)知：

法二：利用微分性質(zhì)。

令

則

由拉氏變換的微分性質(zhì)知：

即

(4)

解：因?yàn)?/p>

故由拉氏變換的位移性知：

(5)

解：

故

(6)

解：因?yàn)?/p>

即：

故

(7)

解：

法一：利用拉氏變換的位移性質(zhì)。

法二：利用微分性質(zhì)。

令則

由拉氏變換的微分性質(zhì)知：

又因?yàn)?/p>

所以

(8)

解：法一：利用拉氏變換的位移性質(zhì)。

因?yàn)?/p>

故

法二：利用微分性質(zhì)。

令，則

故

由拉氏變換的微分性質(zhì)知：.故

3.利用拉氏變換的性質(zhì)計算下列各式：

(1)

求

解：因?yàn)?/p>

所以由拉氏變換的位移性質(zhì)知：

(2)

求

解：設(shè)

則

由拉氏變換的積分性質(zhì)知：

再由微分性質(zhì)得：

所以

4.利用拉氏變換的性質(zhì)求

(1)

解：法一：利用卷積求解。

設(shè)

則

而

由卷積定理知：

法二：利用留數(shù)求解。

顯然在內(nèi)有兩個2級極點(diǎn)。除此外處處解析，且當(dāng)時，故由定理8.3知：

(2)

解：法一：利用卷積求解。

設(shè)

則

而

由卷積定理知

法二：用留數(shù)求解。

顯然在內(nèi)有兩個2級極點(diǎn)。除此外處處解析，且當(dāng)時，故由定理8.3知：

法三：利用拉氏變換積分性質(zhì)求解。

由(1)題知

故

即

5.利用積分性質(zhì)計算

(1)

解：設(shè)

由拉氏變換的微分性質(zhì)得：

所以

(2)

解：在(1)題中取得

由拉氏變換的位移性質(zhì)知：

再由拉氏變換的積分性質(zhì)得

6.計算下列積分：

(1)

解：

由拉氏變換表知：取

則

(2)

解：

7．求下列函數(shù)的拉氏逆變換：

(1)

解：因

取得

故

(2)

解：因?yàn)?/p>

而

所以

(3)

解：設(shè)則是的四級極點(diǎn)。

除此外處處解析，且當(dāng)時，故由定理8.3知：

下面來求留數(shù)。

因?yàn)?/p>

故.所以

(4)

解：設(shè)

則在內(nèi)具有兩個單極點(diǎn)

除此外處處解析，且當(dāng)時，故由定理8.3得：

(5)

解：設(shè)

分別為的一階、二階極點(diǎn)。顯然滿足定理8.3的條件，故由定理8.3知：

(6)

解：設(shè)

顯然

查表知

故由卷積定理得：

(7)

解：設(shè)

則

因?yàn)?/p>

所以

故

(8)

解：，因?yàn)?/p>

所以

即：

8.求下列函數(shù)的拉氏逆變換：

(1)

解：

由拉氏變換表知：

所以

(2)

解：

而

所以

(3)

解：設(shè)

則

設(shè)

則

由卷積定理知，所以

(4)

解：設(shè)

則

設(shè)

則

故

所以

(5)

解：

因?yàn)?/p>

故由卷積定理知：

又因?yàn)?/p>

所以

(6)

解：

由拉氏變換表知：

所以

9.求下列卷積：

(1)

解：`因?yàn)?/p>

所以

(2)

（m,n為正整數(shù)）；

解：

(3)

解：

(4)

解：

(5)

解：因?yàn)?/p>

當(dāng)時，故當(dāng)

時，即

(6)

解：設(shè)

則

所以當(dāng)

即

時，上式為0.當(dāng)

即

時，由函數(shù)的篩選性質(zhì)得：

10.利用卷積定理證明下列等式：

(1)

證明：因?yàn)?/p>

故由卷積定理：

也即，證畢。

(2)

證明：因?yàn)?/p>

故由卷積定理知：

證畢。

11.解下列微分方程或微分方程組：

(1)

解：設(shè)

對方程兩邊取拉氏變換，得

代入

得：

用留數(shù)方法求解拉氏逆變換，有：

(2)

解：設(shè)

對方程兩邊同時取拉氏變換，得

代入初值條件，得：

求拉氏逆變換得方程的解為：

(3)

解：設(shè)

用拉氏變換作用方程兩邊，得：

代入初值條件，有：

即：

因?yàn)?/p>

所以由卷積定理求拉氏逆變換得：

(4)

解：設(shè)

用拉氏變換作用在方程兩邊得：

將初始條件代入，得：

因?yàn)?/p>

所以

因此

故方程的解：

(5)

解：設(shè)

對方程兩邊取拉氏變換，得：

代入初始條件，整理得：

由例8.16知：

又因?yàn)?/p>

故

因?yàn)?/p>

所以方程的解

(6)

解：設(shè)

對方程組的每個方程兩邊分別取拉氏變換，并考慮到初始條件得：

求解該方程組得：

取拉式逆變換得原方程組的解為：

(7)

解：設(shè)

對方程組的每個方程兩邊分別取拉氏變換，并考慮到初始條件得：

整理計算得：

下求的拉氏逆變換：

因?yàn)?/p>

故由卷積定理可得

同理可求

所以方程組的解為

(8)

解：設(shè)

對方程組的每個方程兩邊分別取拉氏變換，并考慮到初始條件得：

解此方程組得：

取拉氏逆變換得原方程組的解為：

12.求解積分方程

解：令

由卷積定理

知

將拉氏變換作用于原方程兩端，得：

也即：

取拉式逆變換得原方程的解為：

第五篇：復(fù)變函數(shù)與電子信息工程

復(fù)變函數(shù)與電子信息工程

我是這個學(xué)期才接觸到復(fù)變函數(shù)與積分變換這門課，要很詳細(xì)的說出復(fù)變函數(shù)與電子信息工程這個專業(yè)的關(guān)系與作用確實(shí)很有難度的，但我喜歡做的就是高難度的事情。下面我拋磚引玉介紹復(fù)變函數(shù)與電子信息工程的關(guān)系與作用.歡迎老師和師兄師姐指教

我前幾周咨詢了老師還有師兄，大家都說到我們通信工程這個專業(yè)接下來要學(xué)到《數(shù)字信號處理》和《信號與系統(tǒng)》等都要用到它，我們現(xiàn)在學(xué)的復(fù)變函數(shù)就是為我們接下來的專業(yè)課程做準(zhǔn)備。學(xué)好了復(fù)變函數(shù)能解決很多你看似無法解決的問題。在咨詢期間有位師兄語重心長說了以下這段話：“這你學(xué)習(xí)復(fù)變函數(shù)的時候感覺沒什么用，但是到后面你就會知道她是很有用的，他可以幫你把一些很復(fù)雜甚至無法解決的問題利用積分變換或者傅里葉變換轉(zhuǎn)換成很簡單的問題，也可以利用傅里葉逆變換得到問題的初衷，例如在自動控制中就很有用，很多信號的處理都要用到傅里葉變換來轉(zhuǎn)換，從而簡單地改變輸入信號，控制整個過程的穩(wěn)定性”。從中我們可以多少了解到復(fù)變函數(shù)與我們的電子信息工程這個專業(yè)的學(xué)習(xí)是有關(guān)系，復(fù)變函數(shù)是通信信號處理的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，我們應(yīng)該重視起來，不能只為了應(yīng)付考試來讀這門課程。

說了復(fù)變函數(shù)對我們電子信息工程這個專業(yè)學(xué)習(xí)的重要性，還沒有具體介紹復(fù)變函數(shù)對我們的專業(yè)的作用。要說作用就繞不開我們這個專業(yè)是干什么的，做什么的。我們專業(yè)是電子信息工程是一門應(yīng)用計算機(jī)等現(xiàn)代化技術(shù)進(jìn)行電子信息控制和信息處理的學(xué)科，主要研究信息的獲取與處理，電子設(shè)備與信息系統(tǒng)的設(shè)計、開發(fā)、應(yīng)用和集成?，F(xiàn)在，電子信息工程已經(jīng)涵蓋了社會的諸多方面，像電話交換局里怎么處理各種電話信號，手機(jī)是怎樣傳遞我們的聲音甚至圖像的，我們周圍的網(wǎng)絡(luò)怎樣傳遞數(shù)據(jù)，甚至信息化時代軍隊(duì)的信息傳遞中如何保密等都要涉及電子信息工程的應(yīng)用技術(shù)。我們可以通過一些基礎(chǔ)知識的學(xué)習(xí)認(rèn)識這些東西，并能夠應(yīng)用更先進(jìn)的技術(shù)進(jìn)行新產(chǎn)品的研究和 電子信息工程專業(yè)是集現(xiàn)代電子技術(shù)、信息技術(shù)、通信技術(shù)于一體的專業(yè)。

我們這個專業(yè)培養(yǎng)掌握現(xiàn)代電子技術(shù)理論、通曉電子系統(tǒng)設(shè)計原理與設(shè)計方法，具有較強(qiáng)的計算機(jī)、外語和相應(yīng)工程技術(shù)應(yīng)用能力，面向電子技術(shù)、自動控制和智能控制、計算機(jī)與網(wǎng)絡(luò)技術(shù)等電子、信息、通信領(lǐng)域的寬口徑、高素質(zhì)、德智體全面發(fā)展的具有創(chuàng)新能力的高級工程技術(shù)人才開發(fā)。電子信息工程專業(yè)主要是學(xué)習(xí)基本電路知識，并掌握用計算機(jī)等處理信息的方法。首先要有扎實(shí)的數(shù)學(xué)知識，對物理學(xué)的要求也很高，并且主要是電學(xué)方面；要學(xué)習(xí)許多電路知識、電子技術(shù)、信號與系統(tǒng)、計算機(jī)控制原理、通信原理等基本課程。學(xué)習(xí)電子信息工程自己還要動手設(shè)計、連接一些電路并結(jié)合計算機(jī)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，對動手操作和使用工具的要求也是比較高的。譬如自己連接傳感器的電路，用計算機(jī)設(shè)置小的通信系統(tǒng)，還會參觀一些大公司的電子和信息處理設(shè)備，理解手機(jī)信號、有線電視

是如何傳輸?shù)牡龋⒛苡袡C(jī)會在老師指導(dǎo)下參與大的工程設(shè)計。學(xué)習(xí)電子信息工程，要喜歡鉆研思考，善于開動腦筋發(fā)現(xiàn)問題。

在通信原理的課程中，有多處要用到信息論的結(jié)論或定理。信息論已成為設(shè)計通信系統(tǒng)與進(jìn)行通信技術(shù)研究的指南，尤其是它能告訴工程師們關(guān)于通信系統(tǒng)的性能極限。信道中存在噪聲。在通信過程中噪聲與干擾是無法避免的。隨著對噪聲與干擾的研究產(chǎn)生了隨機(jī)過程理論。對信號的分析實(shí)際上就是對隨機(jī)過程的分析。

在通信工程領(lǐng)域，編碼是一種技術(shù)，是要能用硬件或軟件實(shí)現(xiàn)的。在數(shù)學(xué)上可以存在很多碼，可以映射到不同空間，但只有在通信系統(tǒng)中能生成和識別的碼才能應(yīng)用。編碼理論與通信結(jié)合形成了兩個方向：信源編碼與信道編碼。

調(diào)制理論可劃分為線性調(diào)制與非線性調(diào)制，它們的區(qū)別在于線性調(diào)制不改變調(diào)制信號的頻譜結(jié)構(gòu)，非線性調(diào)制要改變調(diào)制信號的頻譜結(jié)構(gòu)，并且往往占有更寬的頻帶，因而非線性調(diào)制通常比線性調(diào)制有更好的抗噪聲性能。

接收端將調(diào)制信號與載波信號分開，還原調(diào)制信號的過程稱之為解調(diào)或檢測。作為通信原理課程，還包含系統(tǒng)方面的內(nèi)容，主要有同步和信道復(fù)用。在數(shù)字通信系統(tǒng)中，只有接收信號與發(fā)送信號同步或者信號間建立相同的時間關(guān)系，接收端才能解調(diào)和識別信號。信道復(fù)用是為了提高通信效率，是安排很多信號同時通過同一信道的一種約定或者規(guī)范，使得多個用戶的話音、圖像等消息能同時通過同一電纜或者其他信道傳輸。

在通信原理之上是專業(yè)課程，可以進(jìn)一步講述通信系統(tǒng)的設(shè)計或深化某一方面的理論或技術(shù)。要設(shè)計制造通信系統(tǒng)，了解原理是必要的，但只知道原理是不夠的，還必須熟悉硬件（電路、微波）與軟件（系統(tǒng)軟件與嵌入式軟件），這是專業(yè)課程計劃中的另一分支的課程體系結(jié)構(gòu)。

通信原理課程的教學(xué)從內(nèi)容上主要分為模擬通信和數(shù)字通信兩部分。重點(diǎn)是數(shù)字通信的調(diào)制、編碼、同步等內(nèi)容。（以上為引用內(nèi)容）

看了我們這個專業(yè)要培養(yǎng)的大學(xué)生要具備的能力之后，我們應(yīng)該初步了解了我們以后要與信號打交道，那我們在信號處理中，分析設(shè)計濾波器等是會用到。某些時候在信號處理，圖像處理時都會用到。我們的專業(yè)是通信工程，信號處理都要用到復(fù)變函數(shù)和積分變換里的知識，那這門功課是起到承上啟下的作用。為我們接下來的課程做準(zhǔn)備的。了解數(shù)學(xué)史的人都知道：有關(guān)振動和波形的學(xué)科，特別是信號這個領(lǐng)域的長足發(fā)展是在傅里葉變換這個理論之后。我們在處理信號或圖像肯定就繞不開我們學(xué)的傅里葉變換和拉普拉斯變換。所以說復(fù)變函數(shù)是我們學(xué)習(xí)接下來的專業(yè)課程的基礎(chǔ)，我們處理信號要用到它，我們做頻譜分析要用到它等等，我就不一一來列舉啦！

復(fù)變函數(shù)對電子信息工程的學(xué)生來說是很重要的。它是我們分析，處理信號的必備工具。從我個人來說，學(xué)習(xí)了復(fù)變函數(shù)后看某些問題的角度都有不同還有就是通過上課了解了很多數(shù)學(xué)文化，也很感謝老師能為我們介紹數(shù)學(xué)文化。這是一門很好的課程！