專題01
整式的乘除
閱讀與思考
指數(shù)運算律是整式乘除的基礎，有以下5個公式：，，，．
學習指數(shù)運算律應注意：
1．運算律成立的條件；
2．運算律中字母的意義：既可以表示一個數(shù)，也可以表示一個單項式或者多項式；
3．運算律的正向運用、逆向運用、綜合運用．
多項式除以多項式是整式除法的延拓與發(fā)展，方法與多位數(shù)除以多位數(shù)的演算方法相似，基本步驟是：
1．將被除式和除式按照某字母的降冪排列，如有缺項，要留空位；
2．確定商式，豎式演算式，同類項上下對齊；
3．演算到余式為零或余式的次數(shù)小于除式的次數(shù)為止．
例題與求解
【例1】（1）若為不等式的解，則的最小正整數(shù)的值為
．
（“華羅庚杯”香港中學競賽試題）
（2）已知，那么
．
（“華杯賽”試題）
（3）把展開后得，則
．
（“祖沖之杯”邀請賽試題）
（4）若則
．
（創(chuàng)新杯訓練試題）
解題思路：對于（1），從冪的乘方逆用入手；對于（2），目前無法求值，可考慮高次多項式用低次多項式表示；對于（3），它是一個恒等式，即在允許取值范圍內取任何一個值代入計算，故可考慮賦值法；對于（4），可考慮比較系數(shù)法．
【例2】已知，則等于（）
A．2
B．1
C．
D．
（“希望杯”邀請賽試題）
解題思路：為指數(shù)，我們無法求出的值，而，所以只需求出的值或它們的關系，于是自然想到指數(shù)運算律．
【例3】設都是正整數(shù)，并且，求的值．（江蘇省競賽試題）
解題思路：設，這樣可用的式子表示，可用的式子表示，通過減少字母個數(shù)降低問題的難度．
【例4】已知多項式，求的值．
解題思路：等號左右兩邊的式子是恒等的，它們的對應系數(shù)對應相等，從而可考慮用比較系數(shù)法．
【例5】是否存在常數(shù)使得能被整除？如果存在，求出的值，否則請說明理由．
解題思路：由條件可推知商式是一個二次三項式（含待定系數(shù)），根據(jù)“被除式=除式×商式”，運用待定系數(shù)法求出的值，所謂是否存在，其實就是關于待定系數(shù)的方程組是否有解．
【例6】已知多項式能被整除，求的值．
（北京市競賽試題）
解題思路：本題主要考查了待定系數(shù)法在因式分解中的應用．本題關鍵是能夠通過分析得出當和時，原多項式的值均為0，從而求出的值．當然本題也有其他解法．
能力訓練
A級
1．（1）
．
（福州市中考試題）
（2）若，則
．
（廣東省競賽試題）
2．若，則
．
3．滿足的的最小正整數(shù)為
．
（武漢市選拔賽試題）
4．都是正數(shù)，且，則中，最大的一個是
．
（“英才杯”競賽試題）
5．探索規(guī)律：，個位數(shù)是3；，個位數(shù)是9；，個位數(shù)是7；，個位數(shù)是1；，個位數(shù)是3；，個位數(shù)是9；…那么的個位數(shù)字是，的個位數(shù)字是
．
（長沙市中考試題）
6．已知，則的大小關系是（）
A．
B．
C．
D．
7．已知，那么從小到大的順序是（）
A．
B．
C．
D．
（北京市“迎春杯”競賽試題）
8．若，其中為整數(shù)，則與的數(shù)量關系為（）
A．
B．
C．
D．
（江蘇省競賽試題）
9．已知則的關系是（）
A．
B．
C．
D．
（河北省競賽試題）
10．化簡得（）
A．
B．
C．
D．
11．已知，試求的值．
12．已知．試確定的值．
13．已知除以，其余數(shù)較被除所得的余數(shù)少2，求的值．
（香港中學競賽試題）
B級
1．已知則=
．
2．（1）計算：=
．
（第16屆“希望杯”邀請競賽試題）
（2）如果，那么
．
（青少年數(shù)學周“宗滬杯”競賽試題）
3．（1）與的大小關系是
（填“＞”“＜”“＝”）．
（2）與的大小關系是：
（填“＞”“＜”“＝”）．
4．如果則=
．
（“希望杯”邀請賽試題）
5．已知，則
．
（“五羊杯”競賽試題）
6．已知均為不等于1的正數(shù)，且則的值為（）
A．3
B．2
C．1
D．
（“CASIO杯”武漢市競賽試題）
7．若，則的值是（）
A．1
B．0
C．—1
D．2
8．如果有兩個因式和，則（）
A．7
B．8
C．15
D．21
（奧賽培訓試題）
9．已知均為正數(shù)，又，則與的大小關系是（）
A．
B．
C．
D．關系不確定
10．滿足的整數(shù)有（）個
A．1
B．2
C．3
D．4
11．設滿足求的值．
12．若為整數(shù)，且，求的值．
（美國猶他州競賽試題）
13．已知為有理數(shù)，且多項式能夠被整除．
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）若為整數(shù)，且．試比較的大?。?/p>
（四川省競賽試題）
點擊咨詢