第一篇：整式的乘除與因式分解全單元教案

整式的乘除與因式分解全單元教案

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課

件004km.cn 第十五章整式的乘除與因式分解

§15．1．1

整式

教學(xué)目標(biāo)

．單項(xiàng)式、單項(xiàng)式的定義．

2．多項(xiàng)式、多項(xiàng)式的次數(shù)．

3、理解整式概念．

教學(xué)重點(diǎn)

單項(xiàng)式及多項(xiàng)式的有關(guān)概念．

教學(xué)難點(diǎn)

單項(xiàng)式及多項(xiàng)式的有關(guān)概念．

教學(xué)過(guò)程

Ⅰ．提出問(wèn)題，創(chuàng)設(shè)情境

在七年級(jí)，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了用字母可以表示數(shù)，思考下列問(wèn)題

．要表示△ABc的周長(zhǎng)需要什么條件？要表示它的面積呢？

2．小王用七小時(shí)行駛了Skm的路程，請(qǐng)問(wèn)他的平均速度是多少？

結(jié)論：、要表示△ABc的周長(zhǎng)，需要知道它的各邊邊長(zhǎng)．要表示△ABc?的面積需要知道一條邊長(zhǎng)和這條邊上的高．如果設(shè)Bc=a，Ac=b，AB=c．AB邊上的高為h，?那么△ABc的周長(zhǎng)可以表示為a+b+c；△ABc的面積可以表示為?c?h．

2．小王的平均速度是．

問(wèn)題：這些式子有什么特征呢？

（1）有數(shù)字、有表示數(shù)字的字母．

（2）數(shù)字與字母、字母與字母之間還有運(yùn)算符號(hào)連接．

歸納：用基本的運(yùn)算符號(hào)（運(yùn)算包括加、減、乘、除、乘方與開(kāi)方）把數(shù)和表示數(shù)的字母連接起來(lái)的式子叫做代數(shù)式．

判斷上面得到的三個(gè)式子：a+b+c、ch、是不是代數(shù)式？（是）

代數(shù)式可以簡(jiǎn)明地表示數(shù)量和數(shù)量的關(guān)系．今天我們就來(lái)學(xué)習(xí)和代數(shù)式有關(guān)的整式．

Ⅱ．明確和鞏固整式有關(guān)概念

（出示投影）

結(jié)論：（1）正方形的周長(zhǎng)：4x．

（2）汽車走過(guò)的路程：vt．

（3）正方體有六個(gè)面，每個(gè)面都是正方形，這六個(gè)正方形全等，?所以它的表面積為6a2；正方體的體積為長(zhǎng)×寬×高，即a3．

（4）n的相反數(shù)是－n．

分析這四個(gè)數(shù)的特征．

它們符合代數(shù)式的定義．這五個(gè)式子都是數(shù)與字母或字母與字母的積，而a+b+c、ch、中還有和與商的運(yùn)算符號(hào)．還可以發(fā)現(xiàn)這五個(gè)代數(shù)式中字母指數(shù)各不相同，字母的個(gè)數(shù)也不盡相同．

請(qǐng)同學(xué)們閱讀課本P160～P161單項(xiàng)式有關(guān)概念．

根據(jù)這些定義判斷4x、vt、6a2、a3、-n、a+b+c、ch、這些代數(shù)式中，哪些是單項(xiàng)式？是單項(xiàng)式的，寫(xiě)出它的系數(shù)和次數(shù)．

結(jié)論:4x、vt、6a2、a3、-n、ch是單項(xiàng)式．它們的系數(shù)分別是4、1、6、1、-

1、．它們的次數(shù)分別是1、2、2、3、1、2．所以4x、-n都是一次單項(xiàng)式；vt、6a2、?ch都是二次單項(xiàng)式；a3是三次單項(xiàng)式．

問(wèn)題:vt中v和t的指數(shù)都是1，它不是一次單項(xiàng)式嗎？

結(jié)論:不是．根據(jù)定義，單項(xiàng)式vt中含有兩個(gè)字母，所以它的次數(shù)應(yīng)該是這兩個(gè)字母的指數(shù)的和，而不是單個(gè)字母的指數(shù)，所以vt是二次單項(xiàng)式而不是一次單項(xiàng)式．

生活中不僅僅有單項(xiàng)式，像a+b+c，它不是單項(xiàng)式，和單項(xiàng)式有什么聯(lián)系呢？

寫(xiě)出下列式子（出示投影）

結(jié)論:（1）t-5．（2）3x+5y+2z．

（3）三角尺的面積應(yīng)是直角三角形的面積減去圓的面積，即ab-3.12r2．

（4）建筑面積等于四個(gè)矩形的面積之和．而右邊兩個(gè)已知矩形面積分別為3×2、4×3，所以它們的面積和是18．于是得這所住宅的建筑面積是x2+2x+18．

我們可以觀察下列代數(shù)式：

a+b+c、t-

5、3x+5y+2z、ab-3.12r2、x2+2x+18．發(fā)現(xiàn)它們都是由單項(xiàng)式的和組成的式子．是多個(gè)單項(xiàng)式的和，能不能叫多項(xiàng)式？

這樣推理合情合理．請(qǐng)看投影，熟悉下列概念．

根據(jù)定義，我們不難得出a+b+c、t-

5、3x+5y+2z、ab-3.12r2、x2+2x+18都是多項(xiàng)式．請(qǐng)分別指出它們的項(xiàng)和次數(shù)．

a+b+c的項(xiàng)分別是a、b、c．

t-5的項(xiàng)分別是t、-5，其中-5是常數(shù)項(xiàng)．

3x+5y+2z的項(xiàng)分別是3x、5y、2z．

ab-3.12r2的項(xiàng)分別是ab、-3.12r2．

x2+2x+18的項(xiàng)分別是x2、2x、18．

找多項(xiàng)式的次數(shù)應(yīng)抓住兩條，一是找準(zhǔn)每個(gè)項(xiàng)的次數(shù)，?二是取每個(gè)項(xiàng)次數(shù)的最大值．根據(jù)這兩條很容易得到這五個(gè)多項(xiàng)式中前三個(gè)是一次多項(xiàng)式，后兩個(gè)是二次多項(xiàng)式．

這節(jié)課，通過(guò)探究我們得到單項(xiàng)式和多項(xiàng)式的有關(guān)概念，它們可以反映變化的世界．同時(shí)，我們也體會(huì)到符號(hào)的魅力所在．我們把單項(xiàng)式與多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式．

Ⅲ．隨堂練習(xí)

．課本P162練習(xí)

Ⅳ．課時(shí)小結(jié)

通過(guò)探究，我們了解了整式的概念．理解并掌握單項(xiàng)式、多項(xiàng)式的有關(guān)概念是本節(jié)的重點(diǎn)，特別是它們的次數(shù)．在現(xiàn)實(shí)情景中進(jìn)一步理解了用字母表示數(shù)的意義，?發(fā)展符號(hào)感．

Ⅴ．課后作業(yè)

．課本P165～P166習(xí)題15．1─1、5、8、9題．

2．預(yù)習(xí)“整式的加減”．

課后作業(yè)：《課堂感悟與探究》

§15．1．2整式的加減（1）

教學(xué)目的：

、解字母表示數(shù)量關(guān)系的過(guò)程，發(fā)展符號(hào)感。

2、會(huì)進(jìn)行整式加減的運(yùn)算，并能說(shuō)明其中的算理，發(fā)展有條理的思考及語(yǔ)言表達(dá)能力。

教學(xué)重點(diǎn)：

會(huì)進(jìn)行整式加減的運(yùn)算，并能說(shuō)明其中的算理。

教學(xué)難點(diǎn)：

正確地去括號(hào)、合并同類項(xiàng)，及符號(hào)的正確處理。

教學(xué)過(guò)程：

一、課前練習(xí)：

、填空：整式包括

和

2、單項(xiàng)式的系數(shù)是

、次數(shù)是

3、多項(xiàng)式是

次

項(xiàng)式，其中二次項(xiàng)

系數(shù)是

一次項(xiàng)是

，常數(shù)項(xiàng)是

4、下列各式，是同類項(xiàng)的一組是（）

（A）與

（B）與

（c）與

5、去括號(hào)后合并同類項(xiàng)：

二、探索練習(xí)：、如果用a、b分別表示一個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字，那么這個(gè)兩位數(shù)可以表示為

交換這個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字后得到的兩位數(shù)為

這兩個(gè)兩位數(shù)的和為

2、如果用a、b、c分別表示一個(gè)三位數(shù)的百位數(shù)字、十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字，那么這個(gè)三位數(shù)可以表示為

交換這個(gè)三位數(shù)的百位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字后得到的三位數(shù)為

這兩個(gè)三位數(shù)的差為

●議一議：在上面的兩個(gè)問(wèn)題中，分別涉及到了整式的什么運(yùn)算？

說(shuō)說(shuō)你是如何運(yùn)算的？

▲整式的加減運(yùn)算實(shí)質(zhì)就是

運(yùn)算的結(jié)果是一個(gè)多項(xiàng)式或單項(xiàng)式。

三、鞏固練習(xí)：、填空：（1）與的差是

（2）、單項(xiàng)式、、、的和為

（3）如圖所示，下面為由棋子所組成的三角形，一個(gè)三角形需六個(gè)棋子，三個(gè)三角形需

（）個(gè)棋子，n個(gè)三角形需

個(gè)棋子

2、計(jì)算：

（1）

（2）

（3）

3、（1）求與的和

求與的差

4、先化簡(jiǎn)，再求值：

其中

四、提高練習(xí)：

、若A是五次多項(xiàng)式，B是三次多項(xiàng)式，則A+B一定是

（A）

五次整式

（B）八次多項(xiàng)式

（c）三次多項(xiàng)式

（D）次數(shù)不能確定

2、足球比賽中，如果勝一場(chǎng)記3a分，平一場(chǎng)記a分，負(fù)一場(chǎng)

記0分，那么某隊(duì)在比賽勝5場(chǎng)，平3場(chǎng)，負(fù)2場(chǎng)，共積多

少分？

3、一個(gè)兩位數(shù)與把它的數(shù)字對(duì)調(diào)所成的數(shù)的和，一定能被14

整除，請(qǐng)證明這個(gè)結(jié)論。

4、如果關(guān)于字母x的二次多項(xiàng)式的值與x的取值無(wú)關(guān)，試求m、n的值。

五、小結(jié)：整式的加減運(yùn)算實(shí)質(zhì)就是去括號(hào)和合并同類項(xiàng)。

六、作業(yè)：第8頁(yè)習(xí)題1、2、3

15．1．2整式的加減（2）

教學(xué)目標(biāo)：1.會(huì)進(jìn)行整式加減的運(yùn)算，并能說(shuō)明其中的算理，發(fā)展有條理的思考及其語(yǔ)言表達(dá)能力。

2.通過(guò)探索規(guī)律的問(wèn)題，進(jìn)一步體會(huì)符號(hào)表示的意義，發(fā)展符號(hào)感，發(fā)展推理能力。

教學(xué)重點(diǎn)：整式加減的運(yùn)算。

教學(xué)難點(diǎn)：探索規(guī)律的猜想。

教學(xué)方法：嘗試練習(xí)法，討論法，歸納法。

教學(xué)用具：投影儀

教學(xué)過(guò)程：

I探索練習(xí)：

擺第1個(gè)“小屋子”需要5枚棋子，擺第2個(gè)需要

枚棋子，擺第3個(gè)需要

枚棋子。按照這樣的方式繼續(xù)擺下去。

（1）擺第10個(gè)這樣的“小屋子”需要

枚棋子

（2）擺第n個(gè)這樣的“小屋子”需要多少枚棋子？你是如何得到的？你能用不同的方法解決這個(gè)問(wèn)題嗎？小組討論。

二、例題講解：

三、鞏固練習(xí)：

、計(jì)算：

（1）（14x3－2x2）＋2（x3－x2）

（2）（3a2＋2a－6）－3（a2－1）

（3）x－（1－2x＋x2）+（－1－x2）（4）（8xy－3x2）－5xy－2（3xy－2x2）

2、已知：A=x3－x2－1，B=x2－2，計(jì)算：（1）B－A

（2）A－3B

3、列方程解應(yīng)用題：三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°，如果三角形中第一個(gè)角等于第二個(gè)角的3倍，而第三個(gè)角比第二個(gè)角大15°，那么

（1）第一個(gè)角是多少度？

（2）其他兩個(gè)角各是多少度？

四、提高練習(xí)：

、已知A＝a2＋b2－c2，B＝－4a2＋2b2＋3c2，并且A＋B＋c＝0，問(wèn)c是什么樣的多項(xiàng)式？

2、設(shè)A＝2x2－3xy＋y2－x＋2y，B＝4x2－6xy＋2y2－3x－y，若│x－2a│＋

（y＋3）2＝0，且B－2A＝a，求A的值。

3、已知有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上（0為數(shù)軸原點(diǎn)）的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖：

試化簡(jiǎn)：│a│－│a＋b│＋│c－a│＋│b＋c│

小

結(jié)：要善于在圖形變化中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，能熟練的對(duì)整式加減進(jìn)行運(yùn)算。

作

業(yè)：課本P14習(xí)題1.3：1（2）、（3）、（6），2。

《課堂感悟與探究》

課

件004km.cn

第二篇：整式乘除與因式分解復(fù)習(xí)教案

整式的乘除與因式分解復(fù)習(xí)

菱湖五中

教學(xué)內(nèi)容

復(fù)習(xí)整式乘除的基本運(yùn)算規(guī)律和法則，因式分解的概念、方法以及兩者之間的關(guān)系。通過(guò)練習(xí)，熟悉常規(guī)題型的運(yùn)算，并能靈活運(yùn)用。

教學(xué)目標(biāo)

通過(guò)知識(shí)的梳理和題型訓(xùn)練，提高學(xué)生觀察、分析、推導(dǎo)能力，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的意識(shí)。教學(xué)分析

重點(diǎn)

根據(jù)新課標(biāo)要求，整式的乘除運(yùn)算法則與方法和因式分解的方法與應(yīng)用是本課重點(diǎn)。

難點(diǎn)

整式的除法與因式分解的應(yīng)用是本課難點(diǎn)。

教學(xué)方法與手段

采用多媒體課件，由于本課內(nèi)容較多，故設(shè)計(jì)了大量的練習(xí)，使學(xué)生理解各種類型的運(yùn)算方法。本課教學(xué)以練習(xí)為主。教學(xué)過(guò)程

一．回顧知識(shí)點(diǎn)

（一）整式的乘法

1、同底數(shù)的冪相乘

2、冪的乘方

3、積的乘方

4、同底數(shù)的冪相除

5、單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式

6、單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式

7、多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式

8、平方差公式

9、完全平方公式

（二）整式的除法

1、單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式

2、多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式

（三）因式分解

1、因式分解的概念

2、因式分解與整式乘法的關(guān)系

3、因式分解的方法

4、因式分解的應(yīng)用 二．練習(xí)鞏固

（一）單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式

(1)(5x3)?(?2x2y),(2)(?3ab)2?(?4b3)(3)(?am)2b?(?a3b2n)，231(4)(?a2bc3)?(?c5)?(ab2c)343

（二）單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法

(1)(?2a)?(x?2y?3c),(2)(x?2)(y?3)?(x?1)(y?2)(3)(x?y)(?2x?1y)

2（三）乘法公式應(yīng)用

(1)(?6x?y)(?6x?y)(2)(x?4y)(x?9y)(3)(3x?7y)(?3x?7y)

（四）整式的除法

1(1)(?a6b4c)?((2a3c)41(2)6(a?b)5?[(a?b)2]3(3)(5x2y3?4x3y2?6x)?(6x)13(4)x3my2n?x2m?1y2?x2m?1y3)?(?0.5x2m?1y2)3

4（五）提取公因式法因式分解(1)3ay-3by+3y(2)-4a3b2+6a2b-2ab(3)3(x-y)3-6(x-y)2(4)5m(a-b)4-4m2(b-a)3

（六）乘法公式因式分解(1)25-16x2

(2)-81x2+4(y-1)2(3)x2-14x+49(4)(x+y)2-6(x+y)+9

（七）因式分解的應(yīng)用

1、解方程

（1）9x2+4x=0

(2)x2=(2x-5)2

2、計(jì)算

（1）(2mp-3mq+4mr)÷(2p-3q+4r)（2）(16-x4)÷(4+x2)÷(x-2)探究活動(dòng):

求滿足4x2?9y2?31的正整數(shù)解。小結(jié)：本課復(fù)習(xí)的主要運(yùn)算類型。布置作業(yè)

設(shè)計(jì)意圖：根據(jù)內(nèi)容特點(diǎn)，運(yùn)算規(guī)律與方法是學(xué)生應(yīng)掌握的重點(diǎn)，所以本課復(fù)習(xí)以練習(xí)為主，通過(guò)大量題型訓(xùn)練，使學(xué)生理解掌握各類運(yùn)算技巧，并力求熟練。

第三篇：第十五章整式的乘除與因式分解小結(jié)

旭日培訓(xùn)學(xué)校

第十五章 整式的乘除與因式分解 小結(jié)

一、同底數(shù)冪的乘法：

同底數(shù)冪的乘法法則：

同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加，即ａ ·ａ ＝ａ（ｍ、ｎ都是正整數(shù)）。注意：（１）這一運(yùn)算性質(zhì)可推廣到三個(gè)或三個(gè)以上同底數(shù)冪相乘，即ａ ·ａ ·ａ ＝ａ

（ｍ、ｎ、ｐ都是正整數(shù)）。

（２）運(yùn)算性質(zhì)可以逆運(yùn)用，即ａ ＝ａ ·ａ。

（３）冪的底數(shù)ａ可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式。

二、冪的乘方與積的乘方：（１）冪的乘方法則：

冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘，即（ａ）＝ａ（ｍ、ｎ都是正整數(shù)）。注意：（１）不要把冪的乘方性質(zhì)與同底數(shù)冪的乘法性質(zhì)混淆。冪的乘方運(yùn)算，是轉(zhuǎn)化為指數(shù)的乘法運(yùn)算（底數(shù)不變）；同底數(shù)冪的乘法，是轉(zhuǎn)化為指數(shù)的加法運(yùn)算（底數(shù)不變）。

（２）此性質(zhì)可以逆運(yùn)用，即ａ ＝（ａ）＝（ａ）。（２）積的乘方法則：

積的乘方，等于各因數(shù)乘方的積，即（ａｂ）＝ａ ｂ（ｎ為正整數(shù)）。

注意：（１）這一運(yùn)算性質(zhì)可推廣到三個(gè)或三個(gè)以上的因數(shù)的積的乘方，即（ａｂｃ）＝ａ ·ｂ ·ｃ（ｎ為正整數(shù)）。

（２）此性質(zhì)可以逆運(yùn)用，即ａ ·ｂ ＝（ａｂ）。

三、同底數(shù)冪的除法：

同底數(shù)冪的除法法則：

同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減，即ａ ÷ａ ＝ａ（ａ≠０，ｍ、ｎ為正整數(shù)，且ｍ＞ｎ）。

注意：此性質(zhì)可以逆運(yùn)用，即ａ ＝ａ ÷ａ。

四、零指數(shù)冪與負(fù)整數(shù)指數(shù)冪：

在ａ ÷ａ ＝ａ 中，當(dāng)ｍ＝ｎ時(shí)，規(guī)定ａ ÷ａ ＝ａ ＝１（ａ≠０）

當(dāng)ｍ＜ｎ時(shí)，規(guī)定ａ ÷ａ ＝ａ

＝

。（１）零指數(shù)冪的意義：

任何不等于零的數(shù)的零次冪都等于１，即ａ ＝１（ａ≠０）。（２）負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義：

任何不等于零的數(shù)的－ｎ（ｎ為正整數(shù)）次冪，等于這個(gè)數(shù)的ｎ次冪的倒數(shù)，即ａ ＝

（ａ≠０，ｎ為正整數(shù)）。

注意：（１）在這兩個(gè)冪的意義中，強(qiáng)調(diào)底數(shù)ａ都不等于零，否則無(wú)意義。

（２）學(xué)習(xí)零指數(shù)冪與負(fù)整數(shù)指數(shù)冪后，正整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)推廣到整數(shù)指的冪。

五、科學(xué)計(jì)數(shù)法：

利用科學(xué)計(jì)數(shù)法表示絕對(duì)值較大的數(shù)，即表示成ａ×１０ 的形式，ｎ為正整數(shù)，１≤｜ａ｜＜１０。對(duì)于一些絕對(duì)值較小的數(shù)，我們可以仿照絕對(duì)值較大數(shù)的計(jì)法，用１０的負(fù)整數(shù)次冪表示，而將原式寫(xiě)成ａ×１０ 的形式，其中ｎ為正整數(shù)，１≤｜ａ｜＜１０，這也稱為科學(xué)計(jì)數(shù)法。

六、單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘：

單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘的法則：

單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)、相同字母分別相乘，對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式。

七、單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘：

單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則：

單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是根據(jù)分配率用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加，即。

注意：?jiǎn)雾?xiàng)式乘多項(xiàng)式實(shí)際上是用分配率向單項(xiàng)式相乘轉(zhuǎn)化。

旭日培訓(xùn)學(xué)校

八、多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘：

多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則：

多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加，即（ａ＋ｂ）（ｍ＋ｎ）＝ａｍ＋ｂｍ＋ａｎ＋ｂｎ。

九、平方差公式：（１）內(nèi)容：

（ａ＋ｂ）·（ａ－ｂ）＝ａ2－ｂ2（２）意義：

兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差。（３）特征：

①左邊是兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，這兩項(xiàng)中有一項(xiàng)相同，另一項(xiàng)互為相反數(shù)；

②右邊是乘式中兩項(xiàng)的平方差；

③公式中的ａ和ｂ可以使有理數(shù)，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式。（４）幾何意義：

平方差公式的幾何意義也就是圖形變換過(guò)程中面積相等的表達(dá)式。（５）拓展：

①立方和公式：（ａ＋ｂ）（ａ2－ａｂ＋ｂ2）＝ａ3＋ｂ3； ②立方差公式：（ａ－ｂ）（ａ2＋ａｂ＋ｂ2）＝ａ3－ｂ3。

③（ａ－ｂ）（ａ ＋ａ ｂ＋ａ ｂ2＋?＋ａ2ｂ ＋ａｂ ＋ｂ）＝ａ －ｂ。

十、完全平方公式：（１）內(nèi)容：

（ａ＋ｂ）2＝ａ2＋ｂ2＋２ａｂ；

（ａ－ｂ）2＝ａ2＋ｂ2－２ａｂ。（２）意義：

兩數(shù)和的平方，等于它們的平方和，加上它們積的２倍。

兩數(shù)差的平方，等于它們的平方和，減去它們積的２倍。（３）特征：

①左邊是一個(gè)二項(xiàng)式的完全平方，右邊是一個(gè)二次三項(xiàng)式，其中有兩項(xiàng)是公式左邊二項(xiàng)式中每一項(xiàng)的平方，另一項(xiàng)是左邊二項(xiàng)式中兩項(xiàng)乘積的２倍，可簡(jiǎn)記為“首平方，尾平方，積的２倍在中央?！?/p>

②公式中的ａ、ｂ可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式。（４）幾何意義：（５）推廣：

①（ａ＋ｂ＋ｃ）2＝ａ2＋ｂ2＋ｃ2＋２ａｂ＋２ｂｃ＋２ｃａ；

②（ａ＋ｂ）3＝ａ3＋ｂ3＋３ａ2ｂ＋３ａｂ2；

③（ａ－ｂ）3＝ａ3－ｂ3－３ａ2ｂ＋３ａｂ2。

十一、單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相除：

單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相除的法則： 單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相除，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相除，作為商的因式，對(duì)于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式。

注意：（１）兩個(gè)單項(xiàng)式相除，只要將系數(shù)及同底數(shù)冪分別相除即可。

（２）只在被除式里含有的字母不不要漏掉。

十二、多項(xiàng)式與單項(xiàng)式相除：

多項(xiàng)式與單項(xiàng)式相除的法則：

一般地，多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，再把所得的商相加，即（ｍａ＋ｍｂ＋ｍｃ＋ｄｍ）÷ｍ＝ａｍ÷ｍ＋÷ｂｍ÷ｍ＋ｃｍ÷ｍ＋ｄｍ÷ｍ。

旭日培訓(xùn)學(xué)校

注意：這個(gè)法則的使用范圍必須是多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，反之，單項(xiàng)式除以多項(xiàng)式是不能這樣計(jì)算的。

十三、整式的混合運(yùn)算：

關(guān)鍵是注意運(yùn)算順序，先乘方，在乘除，后加減，有括號(hào)時(shí)，先去小括號(hào)，再去中括號(hào)，最后去大括號(hào)，先做括號(hào)里的。

十四、因式分解的意義：

把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式，即多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積。

注意：（１）因式分解的要求：

①結(jié)果一定是積的形式，分解的對(duì)象是多項(xiàng)式；

②每個(gè)因式必須是整式；

③各因式要分解到不能分解為止。

（２）因式分解與整式乘法的關(guān)系：

是兩種不同的變形過(guò)程，即互逆關(guān)系。

十五、因式分解的方法：

（１）提公因式法分解因式：

ｍａ＋ｍｂ＋ｍｃ＝ｍ（ａ＋ｂ＋ｃ），這個(gè)變形就是提公因式法分解因式。這里的ｍ可以代表單項(xiàng)式，也可以代表多項(xiàng)式，ｍ稱為公因式。確定公因式方法：

系數(shù)：取多項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)。字母（或多項(xiàng)式因式）：取各項(xiàng)都含有的字母（或多項(xiàng)式因式）的最低次冪。（２）利用公式法分解因式：

①平方差公式：ａ2－ｂ2＝（ａ＋ｂ）·（ａ－ｂ）。②完全平方公式：ａ2＋ｂ2＋２ａｂ＝（ａ＋ｂ）2；

ａ2＋ｂ2－２ａｂ＝（ａ－ｂ）2。

③立方和與立方差公式：ａ3＋ｂ3＝（ａ＋ｂ）（ａ2－ａｂ＋ｂ2）；

ａ3－ｂ3＝（ａ－ｂ）（ａ2＋ａｂ＋ｂ2）。

注意：（１）公式中的字母ａ、ｂ可代表一個(gè)數(shù)、一個(gè)單項(xiàng)式或一個(gè)多項(xiàng)式。

（２）選擇使用公式的方法：主要從項(xiàng)數(shù)上看，若多項(xiàng)式是二項(xiàng)式應(yīng)考慮平方差或立方和、立方差公式；若多項(xiàng)式是三項(xiàng)式，可考慮用完全平方公式。（３）分組分解法：

①將多項(xiàng)式的項(xiàng)適當(dāng)?shù)姆纸M后，組與組之間能提公因式或運(yùn)用公式分解。②適用范圍：適合四項(xiàng)以上的多項(xiàng)式的分解。

分組的標(biāo)準(zhǔn)為：分組后能提公因式或分組后能運(yùn)用公式。（４）其他方法：

①十字相乘法：ｘ2＋（ａ＋ｂ）ｘ＋ａｂ＝（ｘ＋ａ）（ｘ＋ｂ）。

②求根公式法：若ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠０）的兩根是ｘ１、ｘ２，ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ＝ａ（ｘ－ｘ１）（ｘ－ｘ２）。

十六、因式分解的一般步驟及注意問(wèn)題：

（１）對(duì)多項(xiàng)式各項(xiàng)有公因式時(shí)，應(yīng)先提供因式。

（２）多項(xiàng)式各項(xiàng)沒(méi)有公因式時(shí)，如果是二項(xiàng)式就考慮是否符合平方差公式；如果是三項(xiàng)式就考慮是否符合完全平方公式或二次三項(xiàng)式的因式分解；如果是四項(xiàng)或四項(xiàng)以上的多項(xiàng)式，通常采用分組分解法。

分解因式，必須進(jìn)行到每一個(gè)多項(xiàng)式都不能再分解為止。

十七、添括號(hào)法則：

添括號(hào)時(shí)，如果括號(hào)前面是正號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都不變符號(hào)；如果括號(hào)前面是負(fù)號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都改變符號(hào)。

第四篇：整式的乘除與因式分解單元測(cè)試卷及答案

選擇題（每小題4分，共24分）

1．（4分）下列計(jì)算正確的是（）

A．a(chǎn)2+b3=2a5B．a(chǎn)4÷a=a4C．a(chǎn)2a3=a6D．（﹣a2）3=﹣a6

2．（4分）（x﹣a）（x2+ax+a2）的計(jì)算結(jié)果是（）

A．x3+2ax+a3B．x3﹣a3C．x3+2a2x+a3D．x2+2ax2+a

33．（4分）下面是某同學(xué)在一次檢測(cè)中的計(jì)算摘錄：

①3x3（﹣2x2）=﹣6x5 ②4a3b÷（﹣2a2b）=﹣2a ③（a3）2=a5④（﹣a）3÷（﹣a）=﹣a

2其中正確的個(gè)數(shù)有（）

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

4．（4分）若x2是一個(gè)正整數(shù)的平方，則它后面一個(gè)整數(shù)的平方應(yīng)當(dāng)是（）

A．x2+1B．x+1C．x2+2x+1D．x2﹣2x+

15．（4分）下列分解因式正確的是（）

A．x3﹣x=x（x2﹣1）B．m2+m﹣6=（m+3）（m﹣2）C．（a+4）（a﹣4）=a2﹣16D．x2+y2=（x+y）（x﹣y）

6．（4分）（2003常州）如圖：矩形花園ABCD中，AB=a，AD=b，花園中建有一條矩形道路LMPQ及一條平行四邊形道路RSTK．若LM=RS=c，則花園中可綠化部分的面積為（）

A．bc﹣ab+ac+b2B．a(chǎn)2+ab+bc﹣acC．a(chǎn)b﹣bc﹣ac+c2D．b2﹣bc+a2﹣ab

答案：

1，考點(diǎn)：同底數(shù)冪的除法；合并同類項(xiàng)；同底數(shù)冪的乘法；冪的乘方與積的乘方。1923992

分析：根據(jù)同底數(shù)相除，底數(shù)不變指數(shù)相減；同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變指數(shù)相加；冪的乘方，底數(shù)不變指數(shù)相乘，對(duì)各選項(xiàng)計(jì)算后利用排除法求解．

解答：解：A、a2與b3不是同類項(xiàng)，不能合并，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、應(yīng)為a4÷a=a3，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、應(yīng)為a3a2=a5，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、（﹣a2）3=﹣a6，正確．

故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查合并同類項(xiàng)，同底數(shù)冪的除法，同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方的性質(zhì)，熟練掌握運(yùn)算性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

2．考點(diǎn)：多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式。192399

2分析：根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘以另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加，計(jì)算即可．

解答：解：（x﹣a）（x2+ax+a2），=x3+ax2+a2x﹣ax2﹣a2x﹣a3，=x3﹣a3．

故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則，合并同類項(xiàng)時(shí)要注意項(xiàng)中的指數(shù)及字母是否相同．

3．考點(diǎn)：?jiǎn)雾?xiàng)式乘單項(xiàng)式；冪的乘方與積的乘方；同底數(shù)冪的除法；整式的除法。1923992

分析：根據(jù)單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的法則，單項(xiàng)式除單項(xiàng)式的法則，冪的乘方的性質(zhì)，同底數(shù)冪的除法的性質(zhì)，對(duì)各選項(xiàng)計(jì)算后利用排除法求解．

解答：解：①3x3（﹣2x2）=﹣6x5，正確；

②4a3b÷（﹣2a2b）=﹣2a，正確；

③應(yīng)為（a3）2=a6，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

④應(yīng)為（﹣a）3÷（﹣a）=（﹣a）2=a2，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．

所以①②兩項(xiàng)正確．

故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式，單項(xiàng)式除單項(xiàng)式，冪的乘方，同底數(shù)冪的除法，注意掌握各運(yùn)算法則．

4考點(diǎn)：完全平方公式。1923992

專題：計(jì)算題。

分析：首先找到它后面那個(gè)整數(shù)x+1，然后根據(jù)完全平方公式解答．

解答：解：x2是一個(gè)正整數(shù)的平方，它后面一個(gè)整數(shù)是x+1，∴它后面一個(gè)整數(shù)的平方是：（x+1）2=x2+2x+1．

故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查完全平方公式，熟記公式結(jié)構(gòu)是解題的關(guān)鍵．完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．

5，考點(diǎn)：因式分解-十字相乘法等；因式分解的意義。1923992

分析：根據(jù)因式分解的定義，把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式，這樣的式子變形叫做把這個(gè)單項(xiàng)式因式分解，注意分解的結(jié)果要正確．

解答：解：A、x3﹣x=x（x2﹣1）=x（x+1）（x﹣1），分解不徹底，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、運(yùn)用十字相乘法分解m2+m﹣6=（m+3）（m﹣2），正確；

C、是整式的乘法，不是分解因式，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、沒(méi)有平方和的公式，x2+y2不能分解因式，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．

故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了因式分解定義，十字相乘法分解因式，注意：（1）因式分解的是多項(xiàng)式，分解的結(jié)果是積的形式．（2）因式分解一定要徹底，直到不能再分解為止．

6考點(diǎn)：因式分解-十字相乘法等；因式分解的意義。192399

2分析：根據(jù)因式分解的定義，把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式，這樣的式子變形叫做把這個(gè)單項(xiàng)式因式分解，注意分解的結(jié)果要正確．

解答：解：A、x3﹣x=x（x2﹣1）=x（x+1）（x﹣1），分解不徹底，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、運(yùn)用十字相乘法分解m2+m﹣6=（m+3）（m﹣2），正確；

C、是整式的乘法，不是分解因式，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、沒(méi)有平方和的公式，x2+y2不能分解因式，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．

故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了因式分解定義，十字相乘法分解因式，注意：（1）因式分解的是多項(xiàng)式，分解的結(jié)果是積的形式．（2）因式分解一定要徹底，直到不能再分解為止．

6．考點(diǎn)：列代數(shù)式。1923992

專題：應(yīng)用題。

分析：可綠化部分的面積為=S長(zhǎng)方形ABCD﹣S矩形LMPQ﹣S?RSTK+S重合部分．

解答：解：∵長(zhǎng)方形的面積為ab，矩形道路LMPQ面積為bc，平行四邊形道路RSTK面積為ac，矩形和平行四邊形重合部分面積為c2．

∴可綠化部分的面積為ab﹣bc﹣ac+c2．

故選C．

點(diǎn)評(píng)：此題要注意的是路面重合的部分是面積為c2的平行四邊形．

用字母表示數(shù)時(shí)，要注意寫(xiě)法：

①在代數(shù)式中出現(xiàn)的乘號(hào)，通常簡(jiǎn)寫(xiě)做“”或者省略不寫(xiě)，數(shù)字與數(shù)字相乘一般仍用“×”號(hào)；

②在代數(shù)式中出現(xiàn)除法運(yùn)算時(shí)，一般按照分?jǐn)?shù)的寫(xiě)法來(lái)寫(xiě)；

③數(shù)字通常寫(xiě)在字母的前面；

④帶分?jǐn)?shù)的要寫(xiě)成假分?jǐn)?shù)的形式．

以上對(duì)整式的乘除與因式分解單元測(cè)試卷的練習(xí)學(xué)習(xí)，同學(xué)們都能很好的掌握了吧，希望同學(xué)們都能很好的參考，迎接考試工作。

第五篇：整式的乘除與因式分解說(shuō)教材稿

整式的乘除與因式分解說(shuō)教材稿

尊敬的各位領(lǐng)導(dǎo)、各位老師：

下午好！今天我說(shuō)教材的內(nèi)容是：人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第十五章《整式的乘除與因式分解》，八上數(shù)學(xué)一共五章：第十一章《全等三角形》，第十二章《軸對(duì)稱》，第十三章《實(shí)數(shù)》，第十四章《一次函數(shù)》，第十五章《整式的乘除與因式分解》。另外，初中數(shù)學(xué)分為四大領(lǐng)域：數(shù)與代數(shù)、空間與圖形、統(tǒng)計(jì)與概率、實(shí)踐與綜合應(yīng)用，其中數(shù)與代數(shù)包含實(shí)數(shù)、代數(shù)式、方程與不等式、函數(shù)，《整式的乘除與因式分解》屬于數(shù)與代數(shù)中的代數(shù)式部分。

《整式的乘除與因式分解》我將從以下五個(gè)方面來(lái)說(shuō)明：

一、課標(biāo)要求；

二、編寫(xiě)意圖；

三、體例安排；

四、知識(shí)內(nèi)容；

五、教學(xué)建議。

一、課標(biāo)要求：

1.課標(biāo)總體要求：⑴獲得重要數(shù)學(xué)知識(shí)以及基本的數(shù)學(xué)思想方法和必要的應(yīng)用技能； ⑵初步學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式去解決問(wèn)題；⑶體會(huì)數(shù)學(xué)與自然及人類社會(huì)聯(lián)系，了解數(shù)學(xué)的價(jià)值；⑷在情感態(tài)度和一般能力方面得到發(fā)展?；镜睦砟钍牵喝巳藢W(xué)有價(jià)值的數(shù)學(xué)；人人能獲得必需的數(shù)學(xué)；不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展。

2.課標(biāo)對(duì)本章的要求：⑴知識(shí)與技能：經(jīng)歷探索冪的運(yùn)算性質(zhì)、整式乘法公式的過(guò)程；了解公式的幾何意義；掌握冪的運(yùn)算性質(zhì)、整式乘法公式，能靈活利用公式進(jìn)行計(jì)算；理解因式分解的意義，能熟練進(jìn)行因式分解；⑵數(shù)學(xué)思考：建立數(shù)感、培養(yǎng)抽象思維及化歸的思想方法，發(fā)展合情推理能力，有條理的清晰地闡述自己的觀點(diǎn)；⑶解決問(wèn)題：嘗試從不同角度尋求解決問(wèn)題的方法并能有效地解決問(wèn)題；體會(huì)在解決問(wèn)題的過(guò)程中與他人合作的重要性；⑷情感與態(tài)度：認(rèn)識(shí)通過(guò)觀察、計(jì)算、歸納、類比、推斷可以獲得數(shù)學(xué)猜想；體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)充滿著探索性和創(chuàng)造性；感受證明過(guò)程的嚴(yán)謹(jǐn)性以及公式的簡(jiǎn)潔美。

二、編寫(xiě)意圖：

1.增加了豐富的問(wèn)題情境：通過(guò)讓學(xué)生解決實(shí)際生活中的問(wèn)題，加強(qiáng)對(duì)整式乘法和因式分解的初步感受，從中“發(fā)現(xiàn)”整式乘法的性質(zhì)，歸納整式乘法公式及因式分解的方法；2.加大了探索交流的空間：教材設(shè)置了思考、探究、討論等欄目引導(dǎo)學(xué)生自主探索，激發(fā)學(xué)生進(jìn)行思考，促進(jìn)合作交流；3.分層次的練習(xí)和習(xí)題：習(xí)題分為：復(fù)習(xí)鞏固、綜合運(yùn)用、拓展提高，滿足不同層次學(xué)生的需要；4.豐富多彩的數(shù)學(xué)活動(dòng)：豐富多彩的數(shù)學(xué)活動(dòng)，使學(xué)生增加了合作、交流的機(jī)會(huì)。加大了探索交流的空間。

三、體例安排：

1.章前圖和引言：供學(xué)生預(yù)習(xí)用也作為教師導(dǎo)入新課的材料；2.觀察、思考、探究、討論、歸納等欄目：為學(xué)生提供思維發(fā)展，合作交流的空間；3.選學(xué)欄目：觀察與猜想，實(shí)驗(yàn)與探究，閱讀

與思考等選學(xué)欄目為加深對(duì)相關(guān)內(nèi)容的認(rèn)識(shí)，擴(kuò)大學(xué)生的知識(shí)面；4.小貼士和云朵：小貼士介紹正文內(nèi)容相關(guān)的背景知識(shí)。云朵有助于理解正文的問(wèn)題； 5.數(shù)學(xué)活動(dòng)：具有綜合性、實(shí)踐性、開(kāi)放性；6.小結(jié)：本章的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖和本章內(nèi)容回顧與思考；7.習(xí)題：習(xí)題分為練習(xí)、習(xí)題和復(fù)習(xí)題，供學(xué)生課堂及復(fù)習(xí)使用。

四、知識(shí)內(nèi)容：

1.本章的知識(shí)結(jié)構(gòu)：⑴本章主要分為整式的乘除、因式分解兩大部分；⑵其中整式的乘除分為：整式的乘法、整式的除法，因式分解有：提公因式法、公式法、x2

+(p+q)x+pq型式子的因式分解；⑶整式的乘法包含冪的運(yùn)算性質(zhì)、單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式、單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式、多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，（其中單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式是整式乘法的重點(diǎn)）整式的除法包含同底數(shù)冪的除法、單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式、多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，因式分解中的公式法包含平方差公式、完全平方公式，⑷冪的運(yùn)算性質(zhì)又包含同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方、積的乘方（冪的運(yùn)算是整式乘法的基礎(chǔ)），多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式又包含平方差公式、完全平方公式，同底數(shù)冪的除法延伸拓展得到0指數(shù)冪的定義。另外，整式的乘法與因式分解是相反方向的變形，多項(xiàng)式乘法中的平方差公式、完全平方公式與因式分解中平方差公式、完全平方公式就是相反方向的變形。

2.知識(shí)的縱向整合：整式的乘除運(yùn)算是對(duì)前面所學(xué)數(shù)的運(yùn)算的延伸拓展，因此學(xué)習(xí)本章要加強(qiáng)對(duì)數(shù)的運(yùn)算的回顧與復(fù)習(xí)，要注意整式的乘除運(yùn)算與數(shù)的運(yùn)算聯(lián)系與區(qū)別；如冪的運(yùn)算性質(zhì)的推導(dǎo)都要用到乘方運(yùn)算的意義，單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則實(shí)質(zhì)就是乘法分配律等，數(shù)的運(yùn)算到式的運(yùn)算是學(xué)生思維的一次飛躍，是從具體到抽象、特殊到一般。整式的乘除與因式分解是數(shù)與代數(shù)的核心與基礎(chǔ)，是學(xué)生以后學(xué)習(xí)代數(shù)的關(guān)鍵，如八下分式的約分、通分及分式的計(jì)算、九上一元二次方程解法中的：配方法、因式分解法就是本章知識(shí)的直接應(yīng)用，甚至高中階段的指數(shù)、對(duì)數(shù)及一元二次不等式等內(nèi)容無(wú)不與本章知識(shí)有密切的聯(lián)系。

五、教學(xué)建議：

1、注重聯(lián)系實(shí)際：⑴設(shè)置學(xué)生身邊熟悉的實(shí)際問(wèn)題；⑵選用學(xué)生感興趣的實(shí)際問(wèn)題。讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)來(lái)源于實(shí)際，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是為了更好地解決實(shí)際問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)；

2、注意加強(qiáng)知識(shí)間的縱向聯(lián)系與綜合：冪的運(yùn)算的學(xué)習(xí)過(guò)程中，應(yīng)該復(fù)習(xí)乘方運(yùn)算、底數(shù)、指數(shù)、冪的意義在這個(gè)基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)，更有助于學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握。

3、讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過(guò)程：在完全平方公式的證明過(guò)程中，可以從數(shù)、形兩個(gè)方面加以推到說(shuō)明。這樣既加深學(xué)生對(duì)公式的理解，又可讓學(xué)生體會(huì)成功的愉悅；

4、注重分析思路，讓學(xué)生學(xué)會(huì)思考問(wèn)題 ；

5、關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和參與程度。

各位領(lǐng)導(dǎo)、各位老師，不足之處，敬請(qǐng)批評(píng)指正！謝謝！

2011年10月18日星期二