第一篇：第十五章整式的乘除與因式分解小結(jié)

旭日培訓(xùn)學(xué)校

第十五章 整式的乘除與因式分解 小結(jié)

一、同底數(shù)冪的乘法：

同底數(shù)冪的乘法法則：

同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加，即ａ ·ａ ＝ａ（ｍ、ｎ都是正整數(shù)）。注意：（１）這一運算性質(zhì)可推廣到三個或三個以上同底數(shù)冪相乘，即ａ ·ａ ·ａ ＝ａ

（ｍ、ｎ、ｐ都是正整數(shù)）。

（２）運算性質(zhì)可以逆運用，即ａ ＝ａ ·ａ。

（３）冪的底數(shù)ａ可以是單項式，也可以是多項式。

二、冪的乘方與積的乘方：（１）冪的乘方法則：

冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘，即（ａ）＝ａ（ｍ、ｎ都是正整數(shù)）。注意：（１）不要把冪的乘方性質(zhì)與同底數(shù)冪的乘法性質(zhì)混淆。冪的乘方運算，是轉(zhuǎn)化為指數(shù)的乘法運算（底數(shù)不變）；同底數(shù)冪的乘法，是轉(zhuǎn)化為指數(shù)的加法運算（底數(shù)不變）。

（２）此性質(zhì)可以逆運用，即ａ ＝（ａ）＝（ａ）。（２）積的乘方法則：

積的乘方，等于各因數(shù)乘方的積，即（ａｂ）＝ａ ｂ（ｎ為正整數(shù)）。

注意：（１）這一運算性質(zhì)可推廣到三個或三個以上的因數(shù)的積的乘方，即（ａｂｃ）＝ａ ·ｂ ·ｃ（ｎ為正整數(shù)）。

（２）此性質(zhì)可以逆運用，即ａ ·ｂ ＝（ａｂ）。

三、同底數(shù)冪的除法：

同底數(shù)冪的除法法則：

同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減，即ａ ÷ａ ＝ａ（ａ≠０，ｍ、ｎ為正整數(shù)，且ｍ＞ｎ）。

注意：此性質(zhì)可以逆運用，即ａ ＝ａ ÷ａ。

四、零指數(shù)冪與負(fù)整數(shù)指數(shù)冪：

在ａ ÷ａ ＝ａ 中，當(dāng)ｍ＝ｎ時，規(guī)定ａ ÷ａ ＝ａ ＝１（ａ≠０）

當(dāng)ｍ＜ｎ時，規(guī)定ａ ÷ａ ＝ａ

＝

。（１）零指數(shù)冪的意義：

任何不等于零的數(shù)的零次冪都等于１，即ａ ＝１（ａ≠０）。（２）負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義：

任何不等于零的數(shù)的－ｎ（ｎ為正整數(shù)）次冪，等于這個數(shù)的ｎ次冪的倒數(shù)，即ａ ＝

（ａ≠０，ｎ為正整數(shù)）。

注意：（１）在這兩個冪的意義中，強調(diào)底數(shù)ａ都不等于零，否則無意義。

（２）學(xué)習(xí)零指數(shù)冪與負(fù)整數(shù)指數(shù)冪后，正整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)推廣到整數(shù)指的冪。

五、科學(xué)計數(shù)法：

利用科學(xué)計數(shù)法表示絕對值較大的數(shù)，即表示成ａ×１０ 的形式，ｎ為正整數(shù)，１≤｜ａ｜＜１０。對于一些絕對值較小的數(shù)，我們可以仿照絕對值較大數(shù)的計法，用１０的負(fù)整數(shù)次冪表示，而將原式寫成ａ×１０ 的形式，其中ｎ為正整數(shù)，１≤｜ａ｜＜１０，這也稱為科學(xué)計數(shù)法。

六、單項式與單項式相乘：

單項式與單項式相乘的法則：

單項式與單項式相乘，把它們的系數(shù)、相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式。

七、單項式與多項式相乘：

單項式與多項式相乘的法則：

單項式與多項式相乘，就是根據(jù)分配率用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加，即。

注意：單項式乘多項式實際上是用分配率向單項式相乘轉(zhuǎn)化。

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八、多項式與多項式相乘：

多項式與多項式相乘的法則：

多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加，即（ａ＋ｂ）（ｍ＋ｎ）＝ａｍ＋ｂｍ＋ａｎ＋ｂｎ。

九、平方差公式：（１）內(nèi)容：

（ａ＋ｂ）·（ａ－ｂ）＝ａ2－ｂ2（２）意義：

兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差。（３）特征：

①左邊是兩個二項式相乘，這兩項中有一項相同，另一項互為相反數(shù)；

②右邊是乘式中兩項的平方差；

③公式中的ａ和ｂ可以使有理數(shù)，也可以是單項式或多項式。（４）幾何意義：

平方差公式的幾何意義也就是圖形變換過程中面積相等的表達(dá)式。（５）拓展：

①立方和公式：（ａ＋ｂ）（ａ2－ａｂ＋ｂ2）＝ａ3＋ｂ3； ②立方差公式：（ａ－ｂ）（ａ2＋ａｂ＋ｂ2）＝ａ3－ｂ3。

③（ａ－ｂ）（ａ ＋ａ ｂ＋ａ ｂ2＋?＋ａ2ｂ ＋ａｂ ＋ｂ）＝ａ －ｂ。

十、完全平方公式：（１）內(nèi)容：

（ａ＋ｂ）2＝ａ2＋ｂ2＋２ａｂ；

（ａ－ｂ）2＝ａ2＋ｂ2－２ａｂ。（２）意義：

兩數(shù)和的平方，等于它們的平方和，加上它們積的２倍。

兩數(shù)差的平方，等于它們的平方和，減去它們積的２倍。（３）特征：

①左邊是一個二項式的完全平方，右邊是一個二次三項式，其中有兩項是公式左邊二項式中每一項的平方，另一項是左邊二項式中兩項乘積的２倍，可簡記為“首平方，尾平方，積的２倍在中央。”

②公式中的ａ、ｂ可以是單項式，也可以是多項式。（４）幾何意義：（５）推廣：

①（ａ＋ｂ＋ｃ）2＝ａ2＋ｂ2＋ｃ2＋２ａｂ＋２ｂｃ＋２ｃａ；

②（ａ＋ｂ）3＝ａ3＋ｂ3＋３ａ2ｂ＋３ａｂ2；

③（ａ－ｂ）3＝ａ3－ｂ3－３ａ2ｂ＋３ａｂ2。

十一、單項式與單項式相除：

單項式與單項式相除的法則： 單項式與單項式相除，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相除，作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個因式。

注意：（１）兩個單項式相除，只要將系數(shù)及同底數(shù)冪分別相除即可。

（２）只在被除式里含有的字母不不要漏掉。

十二、多項式與單項式相除：

多項式與單項式相除的法則：

一般地，多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加，即（ｍａ＋ｍｂ＋ｍｃ＋ｄｍ）÷ｍ＝ａｍ÷ｍ＋÷ｂｍ÷ｍ＋ｃｍ÷ｍ＋ｄｍ÷ｍ。

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注意：這個法則的使用范圍必須是多項式除以單項式，反之，單項式除以多項式是不能這樣計算的。

十三、整式的混合運算：

關(guān)鍵是注意運算順序，先乘方，在乘除，后加減，有括號時，先去小括號，再去中括號，最后去大括號，先做括號里的。

十四、因式分解的意義：

把一個多項式化為幾個整式積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解，也叫做把這個多項式分解因式，即多項式化為幾個整式的積。

注意：（１）因式分解的要求：

①結(jié)果一定是積的形式，分解的對象是多項式；

②每個因式必須是整式；

③各因式要分解到不能分解為止。

（２）因式分解與整式乘法的關(guān)系：

是兩種不同的變形過程，即互逆關(guān)系。

十五、因式分解的方法：

（１）提公因式法分解因式：

ｍａ＋ｍｂ＋ｍｃ＝ｍ（ａ＋ｂ＋ｃ），這個變形就是提公因式法分解因式。這里的ｍ可以代表單項式，也可以代表多項式，ｍ稱為公因式。確定公因式方法：

系數(shù)：取多項式各項系數(shù)的最大公約數(shù)。字母（或多項式因式）：取各項都含有的字母（或多項式因式）的最低次冪。（２）利用公式法分解因式：

①平方差公式：ａ2－ｂ2＝（ａ＋ｂ）·（ａ－ｂ）。②完全平方公式：ａ2＋ｂ2＋２ａｂ＝（ａ＋ｂ）2；

ａ2＋ｂ2－２ａｂ＝（ａ－ｂ）2。

③立方和與立方差公式：ａ3＋ｂ3＝（ａ＋ｂ）（ａ2－ａｂ＋ｂ2）；

ａ3－ｂ3＝（ａ－ｂ）（ａ2＋ａｂ＋ｂ2）。

注意：（１）公式中的字母ａ、ｂ可代表一個數(shù)、一個單項式或一個多項式。

（２）選擇使用公式的方法：主要從項數(shù)上看，若多項式是二項式應(yīng)考慮平方差或立方和、立方差公式；若多項式是三項式，可考慮用完全平方公式。（３）分組分解法：

①將多項式的項適當(dāng)?shù)姆纸M后，組與組之間能提公因式或運用公式分解。②適用范圍：適合四項以上的多項式的分解。

分組的標(biāo)準(zhǔn)為：分組后能提公因式或分組后能運用公式。（４）其他方法：

①十字相乘法：ｘ2＋（ａ＋ｂ）ｘ＋ａｂ＝（ｘ＋ａ）（ｘ＋ｂ）。

②求根公式法：若ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠０）的兩根是ｘ１、ｘ２，ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ＝ａ（ｘ－ｘ１）（ｘ－ｘ２）。

十六、因式分解的一般步驟及注意問題：

（１）對多項式各項有公因式時，應(yīng)先提供因式。

（２）多項式各項沒有公因式時，如果是二項式就考慮是否符合平方差公式；如果是三項式就考慮是否符合完全平方公式或二次三項式的因式分解；如果是四項或四項以上的多項式，通常采用分組分解法。

分解因式，必須進(jìn)行到每一個多項式都不能再分解為止。

十七、添括號法則：

添括號時，如果括號前面是正號，括到括號里的各項都不變符號；如果括號前面是負(fù)號，括到括號里的各項都改變符號。

第二篇：整式乘除與因式分解復(fù)習(xí)教案

整式的乘除與因式分解復(fù)習(xí)

菱湖五中

教學(xué)內(nèi)容

復(fù)習(xí)整式乘除的基本運算規(guī)律和法則，因式分解的概念、方法以及兩者之間的關(guān)系。通過練習(xí)，熟悉常規(guī)題型的運算，并能靈活運用。

教學(xué)目標(biāo)

通過知識的梳理和題型訓(xùn)練，提高學(xué)生觀察、分析、推導(dǎo)能力，培養(yǎng)學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識解決問題的意識。教學(xué)分析

重點

根據(jù)新課標(biāo)要求，整式的乘除運算法則與方法和因式分解的方法與應(yīng)用是本課重點。

難點

整式的除法與因式分解的應(yīng)用是本課難點。

教學(xué)方法與手段

采用多媒體課件，由于本課內(nèi)容較多，故設(shè)計了大量的練習(xí)，使學(xué)生理解各種類型的運算方法。本課教學(xué)以練習(xí)為主。教學(xué)過程

一．回顧知識點

（一）整式的乘法

1、同底數(shù)的冪相乘

2、冪的乘方

3、積的乘方

4、同底數(shù)的冪相除

5、單項式乘以單項式

6、單項式乘以多項式

7、多項式乘以多項式

8、平方差公式

9、完全平方公式

（二）整式的除法

1、單項式除以單項式

2、多項式除以單項式

（三）因式分解

1、因式分解的概念

2、因式分解與整式乘法的關(guān)系

3、因式分解的方法

4、因式分解的應(yīng)用 二．練習(xí)鞏固

（一）單項式乘單項式

(1)(5x3)?(?2x2y),(2)(?3ab)2?(?4b3)(3)(?am)2b?(?a3b2n)，231(4)(?a2bc3)?(?c5)?(ab2c)343

（二）單項式與多項式的乘法

(1)(?2a)?(x?2y?3c),(2)(x?2)(y?3)?(x?1)(y?2)(3)(x?y)(?2x?1y)

2（三）乘法公式應(yīng)用

(1)(?6x?y)(?6x?y)(2)(x?4y)(x?9y)(3)(3x?7y)(?3x?7y)

（四）整式的除法

1(1)(?a6b4c)?((2a3c)41(2)6(a?b)5?[(a?b)2]3(3)(5x2y3?4x3y2?6x)?(6x)13(4)x3my2n?x2m?1y2?x2m?1y3)?(?0.5x2m?1y2)3

4（五）提取公因式法因式分解(1)3ay-3by+3y(2)-4a3b2+6a2b-2ab(3)3(x-y)3-6(x-y)2(4)5m(a-b)4-4m2(b-a)3

（六）乘法公式因式分解(1)25-16x2

(2)-81x2+4(y-1)2(3)x2-14x+49(4)(x+y)2-6(x+y)+9

（七）因式分解的應(yīng)用

1、解方程

（1）9x2+4x=0

(2)x2=(2x-5)2

2、計算

（1）(2mp-3mq+4mr)÷(2p-3q+4r)（2）(16-x4)÷(4+x2)÷(x-2)探究活動:

求滿足4x2?9y2?31的正整數(shù)解。小結(jié)：本課復(fù)習(xí)的主要運算類型。布置作業(yè)

設(shè)計意圖：根據(jù)內(nèi)容特點，運算規(guī)律與方法是學(xué)生應(yīng)掌握的重點，所以本課復(fù)習(xí)以練習(xí)為主，通過大量題型訓(xùn)練，使學(xué)生理解掌握各類運算技巧，并力求熟練。

第三篇：整式的乘除與因式分解全單元教案

整式的乘除與因式分解全單元教案

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課

件004km.cn 第十五章整式的乘除與因式分解

§15．1．1

整式

教學(xué)目標(biāo)

．單項式、單項式的定義．

2．多項式、多項式的次數(shù)．

3、理解整式概念．

教學(xué)重點

單項式及多項式的有關(guān)概念．

教學(xué)難點

單項式及多項式的有關(guān)概念．

教學(xué)過程

Ⅰ．提出問題，創(chuàng)設(shè)情境

在七年級，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了用字母可以表示數(shù)，思考下列問題

．要表示△ABc的周長需要什么條件？要表示它的面積呢？

2．小王用七小時行駛了Skm的路程，請問他的平均速度是多少？

結(jié)論：、要表示△ABc的周長，需要知道它的各邊邊長．要表示△ABc?的面積需要知道一條邊長和這條邊上的高．如果設(shè)Bc=a，Ac=b，AB=c．AB邊上的高為h，?那么△ABc的周長可以表示為a+b+c；△ABc的面積可以表示為?c?h．

2．小王的平均速度是．

問題：這些式子有什么特征呢？

（1）有數(shù)字、有表示數(shù)字的字母．

（2）數(shù)字與字母、字母與字母之間還有運算符號連接．

歸納：用基本的運算符號（運算包括加、減、乘、除、乘方與開方）把數(shù)和表示數(shù)的字母連接起來的式子叫做代數(shù)式．

判斷上面得到的三個式子：a+b+c、ch、是不是代數(shù)式？（是）

代數(shù)式可以簡明地表示數(shù)量和數(shù)量的關(guān)系．今天我們就來學(xué)習(xí)和代數(shù)式有關(guān)的整式．

Ⅱ．明確和鞏固整式有關(guān)概念

（出示投影）

結(jié)論：（1）正方形的周長：4x．

（2）汽車走過的路程：vt．

（3）正方體有六個面，每個面都是正方形，這六個正方形全等，?所以它的表面積為6a2；正方體的體積為長×寬×高，即a3．

（4）n的相反數(shù)是－n．

分析這四個數(shù)的特征．

它們符合代數(shù)式的定義．這五個式子都是數(shù)與字母或字母與字母的積，而a+b+c、ch、中還有和與商的運算符號．還可以發(fā)現(xiàn)這五個代數(shù)式中字母指數(shù)各不相同，字母的個數(shù)也不盡相同．

請同學(xué)們閱讀課本P160～P161單項式有關(guān)概念．

根據(jù)這些定義判斷4x、vt、6a2、a3、-n、a+b+c、ch、這些代數(shù)式中，哪些是單項式？是單項式的，寫出它的系數(shù)和次數(shù)．

結(jié)論:4x、vt、6a2、a3、-n、ch是單項式．它們的系數(shù)分別是4、1、6、1、-

1、．它們的次數(shù)分別是1、2、2、3、1、2．所以4x、-n都是一次單項式；vt、6a2、?ch都是二次單項式；a3是三次單項式．

問題:vt中v和t的指數(shù)都是1，它不是一次單項式嗎？

結(jié)論:不是．根據(jù)定義，單項式vt中含有兩個字母，所以它的次數(shù)應(yīng)該是這兩個字母的指數(shù)的和，而不是單個字母的指數(shù)，所以vt是二次單項式而不是一次單項式．

生活中不僅僅有單項式，像a+b+c，它不是單項式，和單項式有什么聯(lián)系呢？

寫出下列式子（出示投影）

結(jié)論:（1）t-5．（2）3x+5y+2z．

（3）三角尺的面積應(yīng)是直角三角形的面積減去圓的面積，即ab-3.12r2．

（4）建筑面積等于四個矩形的面積之和．而右邊兩個已知矩形面積分別為3×2、4×3，所以它們的面積和是18．于是得這所住宅的建筑面積是x2+2x+18．

我們可以觀察下列代數(shù)式：

a+b+c、t-

5、3x+5y+2z、ab-3.12r2、x2+2x+18．發(fā)現(xiàn)它們都是由單項式的和組成的式子．是多個單項式的和，能不能叫多項式？

這樣推理合情合理．請看投影，熟悉下列概念．

根據(jù)定義，我們不難得出a+b+c、t-

5、3x+5y+2z、ab-3.12r2、x2+2x+18都是多項式．請分別指出它們的項和次數(shù)．

a+b+c的項分別是a、b、c．

t-5的項分別是t、-5，其中-5是常數(shù)項．

3x+5y+2z的項分別是3x、5y、2z．

ab-3.12r2的項分別是ab、-3.12r2．

x2+2x+18的項分別是x2、2x、18．

找多項式的次數(shù)應(yīng)抓住兩條，一是找準(zhǔn)每個項的次數(shù)，?二是取每個項次數(shù)的最大值．根據(jù)這兩條很容易得到這五個多項式中前三個是一次多項式，后兩個是二次多項式．

這節(jié)課，通過探究我們得到單項式和多項式的有關(guān)概念，它們可以反映變化的世界．同時，我們也體會到符號的魅力所在．我們把單項式與多項式統(tǒng)稱為整式．

Ⅲ．隨堂練習(xí)

．課本P162練習(xí)

Ⅳ．課時小結(jié)

通過探究，我們了解了整式的概念．理解并掌握單項式、多項式的有關(guān)概念是本節(jié)的重點，特別是它們的次數(shù)．在現(xiàn)實情景中進(jìn)一步理解了用字母表示數(shù)的意義，?發(fā)展符號感．

Ⅴ．課后作業(yè)

．課本P165～P166習(xí)題15．1─1、5、8、9題．

2．預(yù)習(xí)“整式的加減”．

課后作業(yè)：《課堂感悟與探究》

§15．1．2整式的加減（1）

教學(xué)目的：

、解字母表示數(shù)量關(guān)系的過程，發(fā)展符號感。

2、會進(jìn)行整式加減的運算，并能說明其中的算理，發(fā)展有條理的思考及語言表達(dá)能力。

教學(xué)重點：

會進(jìn)行整式加減的運算，并能說明其中的算理。

教學(xué)難點：

正確地去括號、合并同類項，及符號的正確處理。

教學(xué)過程：

一、課前練習(xí)：

、填空：整式包括

和

2、單項式的系數(shù)是

、次數(shù)是

3、多項式是

次

項式，其中二次項

系數(shù)是

一次項是

，常數(shù)項是

4、下列各式，是同類項的一組是（）

（A）與

（B）與

（c）與

5、去括號后合并同類項：

二、探索練習(xí)：、如果用a、b分別表示一個兩位數(shù)的十位數(shù)字和個位數(shù)字，那么這個兩位數(shù)可以表示為

交換這個兩位數(shù)的十位數(shù)字和個位數(shù)字后得到的兩位數(shù)為

這兩個兩位數(shù)的和為

2、如果用a、b、c分別表示一個三位數(shù)的百位數(shù)字、十位數(shù)字和個位數(shù)字，那么這個三位數(shù)可以表示為

交換這個三位數(shù)的百位數(shù)字和個位數(shù)字后得到的三位數(shù)為

這兩個三位數(shù)的差為

●議一議：在上面的兩個問題中，分別涉及到了整式的什么運算？

說說你是如何運算的？

▲整式的加減運算實質(zhì)就是

運算的結(jié)果是一個多項式或單項式。

三、鞏固練習(xí)：、填空：（1）與的差是

（2）、單項式、、、的和為

（3）如圖所示，下面為由棋子所組成的三角形，一個三角形需六個棋子，三個三角形需

（）個棋子，n個三角形需

個棋子

2、計算：

（1）

（2）

（3）

3、（1）求與的和

求與的差

4、先化簡，再求值：

其中

四、提高練習(xí)：

、若A是五次多項式，B是三次多項式，則A+B一定是

（A）

五次整式

（B）八次多項式

（c）三次多項式

（D）次數(shù)不能確定

2、足球比賽中，如果勝一場記3a分，平一場記a分，負(fù)一場

記0分，那么某隊在比賽勝5場，平3場，負(fù)2場，共積多

少分？

3、一個兩位數(shù)與把它的數(shù)字對調(diào)所成的數(shù)的和，一定能被14

整除，請證明這個結(jié)論。

4、如果關(guān)于字母x的二次多項式的值與x的取值無關(guān)，試求m、n的值。

五、小結(jié)：整式的加減運算實質(zhì)就是去括號和合并同類項。

六、作業(yè)：第8頁習(xí)題1、2、3

15．1．2整式的加減（2）

教學(xué)目標(biāo)：1.會進(jìn)行整式加減的運算，并能說明其中的算理，發(fā)展有條理的思考及其語言表達(dá)能力。

2.通過探索規(guī)律的問題，進(jìn)一步體會符號表示的意義，發(fā)展符號感，發(fā)展推理能力。

教學(xué)重點：整式加減的運算。

教學(xué)難點：探索規(guī)律的猜想。

教學(xué)方法：嘗試練習(xí)法，討論法，歸納法。

教學(xué)用具：投影儀

教學(xué)過程：

I探索練習(xí)：

擺第1個“小屋子”需要5枚棋子，擺第2個需要

枚棋子，擺第3個需要

枚棋子。按照這樣的方式繼續(xù)擺下去。

（1）擺第10個這樣的“小屋子”需要

枚棋子

（2）擺第n個這樣的“小屋子”需要多少枚棋子？你是如何得到的？你能用不同的方法解決這個問題嗎？小組討論。

二、例題講解：

三、鞏固練習(xí)：

、計算：

（1）（14x3－2x2）＋2（x3－x2）

（2）（3a2＋2a－6）－3（a2－1）

（3）x－（1－2x＋x2）+（－1－x2）（4）（8xy－3x2）－5xy－2（3xy－2x2）

2、已知：A=x3－x2－1，B=x2－2，計算：（1）B－A

（2）A－3B

3、列方程解應(yīng)用題：三角形三個內(nèi)角的和等于180°，如果三角形中第一個角等于第二個角的3倍，而第三個角比第二個角大15°，那么

（1）第一個角是多少度？

（2）其他兩個角各是多少度？

四、提高練習(xí)：

、已知A＝a2＋b2－c2，B＝－4a2＋2b2＋3c2，并且A＋B＋c＝0，問c是什么樣的多項式？

2、設(shè)A＝2x2－3xy＋y2－x＋2y，B＝4x2－6xy＋2y2－3x－y，若│x－2a│＋

（y＋3）2＝0，且B－2A＝a，求A的值。

3、已知有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上（0為數(shù)軸原點）的對應(yīng)點如圖：

試化簡：│a│－│a＋b│＋│c－a│＋│b＋c│

小

結(jié)：要善于在圖形變化中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，能熟練的對整式加減進(jìn)行運算。

作

業(yè)：課本P14習(xí)題1.3：1（2）、（3）、（6），2。

《課堂感悟與探究》

課

件004km.cn

第四篇：整式的乘除與因式分解說教材稿

整式的乘除與因式分解說教材稿

尊敬的各位領(lǐng)導(dǎo)、各位老師：

下午好！今天我說教材的內(nèi)容是：人教版八年級數(shù)學(xué)上冊第十五章《整式的乘除與因式分解》，八上數(shù)學(xué)一共五章：第十一章《全等三角形》，第十二章《軸對稱》，第十三章《實數(shù)》，第十四章《一次函數(shù)》，第十五章《整式的乘除與因式分解》。另外，初中數(shù)學(xué)分為四大領(lǐng)域：數(shù)與代數(shù)、空間與圖形、統(tǒng)計與概率、實踐與綜合應(yīng)用，其中數(shù)與代數(shù)包含實數(shù)、代數(shù)式、方程與不等式、函數(shù)，《整式的乘除與因式分解》屬于數(shù)與代數(shù)中的代數(shù)式部分。

《整式的乘除與因式分解》我將從以下五個方面來說明：

一、課標(biāo)要求；

二、編寫意圖；

三、體例安排；

四、知識內(nèi)容；

五、教學(xué)建議。

一、課標(biāo)要求：

1.課標(biāo)總體要求：⑴獲得重要數(shù)學(xué)知識以及基本的數(shù)學(xué)思想方法和必要的應(yīng)用技能； ⑵初步學(xué)會運用數(shù)學(xué)的思維方式去解決問題；⑶體會數(shù)學(xué)與自然及人類社會聯(lián)系，了解數(shù)學(xué)的價值；⑷在情感態(tài)度和一般能力方面得到發(fā)展。基本的理念是：人人學(xué)有價值的數(shù)學(xué)；人人能獲得必需的數(shù)學(xué)；不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展。

2.課標(biāo)對本章的要求：⑴知識與技能：經(jīng)歷探索冪的運算性質(zhì)、整式乘法公式的過程；了解公式的幾何意義；掌握冪的運算性質(zhì)、整式乘法公式，能靈活利用公式進(jìn)行計算；理解因式分解的意義，能熟練進(jìn)行因式分解；⑵數(shù)學(xué)思考：建立數(shù)感、培養(yǎng)抽象思維及化歸的思想方法，發(fā)展合情推理能力，有條理的清晰地闡述自己的觀點；⑶解決問題：嘗試從不同角度尋求解決問題的方法并能有效地解決問題；體會在解決問題的過程中與他人合作的重要性；⑷情感與態(tài)度：認(rèn)識通過觀察、計算、歸納、類比、推斷可以獲得數(shù)學(xué)猜想；體驗數(shù)學(xué)活動充滿著探索性和創(chuàng)造性；感受證明過程的嚴(yán)謹(jǐn)性以及公式的簡潔美。

二、編寫意圖：

1.增加了豐富的問題情境：通過讓學(xué)生解決實際生活中的問題，加強對整式乘法和因式分解的初步感受，從中“發(fā)現(xiàn)”整式乘法的性質(zhì)，歸納整式乘法公式及因式分解的方法；2.加大了探索交流的空間：教材設(shè)置了思考、探究、討論等欄目引導(dǎo)學(xué)生自主探索，激發(fā)學(xué)生進(jìn)行思考，促進(jìn)合作交流；3.分層次的練習(xí)和習(xí)題：習(xí)題分為：復(fù)習(xí)鞏固、綜合運用、拓展提高，滿足不同層次學(xué)生的需要；4.豐富多彩的數(shù)學(xué)活動：豐富多彩的數(shù)學(xué)活動，使學(xué)生增加了合作、交流的機會。加大了探索交流的空間。

三、體例安排：

1.章前圖和引言：供學(xué)生預(yù)習(xí)用也作為教師導(dǎo)入新課的材料；2.觀察、思考、探究、討論、歸納等欄目：為學(xué)生提供思維發(fā)展，合作交流的空間；3.選學(xué)欄目：觀察與猜想，實驗與探究，閱讀

與思考等選學(xué)欄目為加深對相關(guān)內(nèi)容的認(rèn)識，擴大學(xué)生的知識面；4.小貼士和云朵：小貼士介紹正文內(nèi)容相關(guān)的背景知識。云朵有助于理解正文的問題； 5.數(shù)學(xué)活動：具有綜合性、實踐性、開放性；6.小結(jié)：本章的知識結(jié)構(gòu)圖和本章內(nèi)容回顧與思考；7.習(xí)題：習(xí)題分為練習(xí)、習(xí)題和復(fù)習(xí)題，供學(xué)生課堂及復(fù)習(xí)使用。

四、知識內(nèi)容：

1.本章的知識結(jié)構(gòu)：⑴本章主要分為整式的乘除、因式分解兩大部分；⑵其中整式的乘除分為：整式的乘法、整式的除法，因式分解有：提公因式法、公式法、x2

+(p+q)x+pq型式子的因式分解；⑶整式的乘法包含冪的運算性質(zhì)、單項式乘以單項式、單項式乘以多項式、多項式乘以多項式，（其中單項式乘以單項式是整式乘法的重點）整式的除法包含同底數(shù)冪的除法、單項式除以單項式、多項式除以單項式，因式分解中的公式法包含平方差公式、完全平方公式，⑷冪的運算性質(zhì)又包含同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方、積的乘方（冪的運算是整式乘法的基礎(chǔ)），多項式乘以多項式又包含平方差公式、完全平方公式，同底數(shù)冪的除法延伸拓展得到0指數(shù)冪的定義。另外，整式的乘法與因式分解是相反方向的變形，多項式乘法中的平方差公式、完全平方公式與因式分解中平方差公式、完全平方公式就是相反方向的變形。

2.知識的縱向整合：整式的乘除運算是對前面所學(xué)數(shù)的運算的延伸拓展，因此學(xué)習(xí)本章要加強對數(shù)的運算的回顧與復(fù)習(xí)，要注意整式的乘除運算與數(shù)的運算聯(lián)系與區(qū)別；如冪的運算性質(zhì)的推導(dǎo)都要用到乘方運算的意義，單項式乘以多項式的法則實質(zhì)就是乘法分配律等，數(shù)的運算到式的運算是學(xué)生思維的一次飛躍，是從具體到抽象、特殊到一般。整式的乘除與因式分解是數(shù)與代數(shù)的核心與基礎(chǔ)，是學(xué)生以后學(xué)習(xí)代數(shù)的關(guān)鍵，如八下分式的約分、通分及分式的計算、九上一元二次方程解法中的：配方法、因式分解法就是本章知識的直接應(yīng)用，甚至高中階段的指數(shù)、對數(shù)及一元二次不等式等內(nèi)容無不與本章知識有密切的聯(lián)系。

五、教學(xué)建議：

1、注重聯(lián)系實際：⑴設(shè)置學(xué)生身邊熟悉的實際問題；⑵選用學(xué)生感興趣的實際問題。讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)來源于實際，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是為了更好地解決實際問題，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識；

2、注意加強知識間的縱向聯(lián)系與綜合：冪的運算的學(xué)習(xí)過程中，應(yīng)該復(fù)習(xí)乘方運算、底數(shù)、指數(shù)、冪的意義在這個基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)，更有助于學(xué)生對知識的掌握。

3、讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識的形成過程：在完全平方公式的證明過程中，可以從數(shù)、形兩個方面加以推到說明。這樣既加深學(xué)生對公式的理解，又可讓學(xué)生體會成功的愉悅；

4、注重分析思路，讓學(xué)生學(xué)會思考問題 ；

5、關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和參與程度。

各位領(lǐng)導(dǎo)、各位老師，不足之處，敬請批評指正！謝謝！

2011年10月18日星期二

第五篇：整式的乘除與因式分解單元測試卷及答案

選擇題（每小題4分，共24分）

1．（4分）下列計算正確的是（）

A．a(chǎn)2+b3=2a5B．a(chǎn)4÷a=a4C．a(chǎn)2a3=a6D．（﹣a2）3=﹣a6

2．（4分）（x﹣a）（x2+ax+a2）的計算結(jié)果是（）

A．x3+2ax+a3B．x3﹣a3C．x3+2a2x+a3D．x2+2ax2+a

33．（4分）下面是某同學(xué)在一次檢測中的計算摘錄：

①3x3（﹣2x2）=﹣6x5 ②4a3b÷（﹣2a2b）=﹣2a ③（a3）2=a5④（﹣a）3÷（﹣a）=﹣a

2其中正確的個數(shù)有（）

A．1個B．2個C．3個D．4個

4．（4分）若x2是一個正整數(shù)的平方，則它后面一個整數(shù)的平方應(yīng)當(dāng)是（）

A．x2+1B．x+1C．x2+2x+1D．x2﹣2x+

15．（4分）下列分解因式正確的是（）

A．x3﹣x=x（x2﹣1）B．m2+m﹣6=（m+3）（m﹣2）C．（a+4）（a﹣4）=a2﹣16D．x2+y2=（x+y）（x﹣y）

6．（4分）（2003常州）如圖：矩形花園ABCD中，AB=a，AD=b，花園中建有一條矩形道路LMPQ及一條平行四邊形道路RSTK．若LM=RS=c，則花園中可綠化部分的面積為（）

A．bc﹣ab+ac+b2B．a(chǎn)2+ab+bc﹣acC．a(chǎn)b﹣bc﹣ac+c2D．b2﹣bc+a2﹣ab

答案：

1，考點：同底數(shù)冪的除法；合并同類項；同底數(shù)冪的乘法；冪的乘方與積的乘方。1923992

分析：根據(jù)同底數(shù)相除，底數(shù)不變指數(shù)相減；同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變指數(shù)相加；冪的乘方，底數(shù)不變指數(shù)相乘，對各選項計算后利用排除法求解．

解答：解：A、a2與b3不是同類項，不能合并，故本選項錯誤；

B、應(yīng)為a4÷a=a3，故本選項錯誤；

C、應(yīng)為a3a2=a5，故本選項錯誤；

D、（﹣a2）3=﹣a6，正確．

故選D．

點評：本題考查合并同類項，同底數(shù)冪的除法，同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方的性質(zhì)，熟練掌握運算性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

2．考點：多項式乘多項式。192399

2分析：根據(jù)多項式乘多項式法則，先用一個多項式的每一項乘以另一個多項式的每一項，再把所得的積相加，計算即可．

解答：解：（x﹣a）（x2+ax+a2），=x3+ax2+a2x﹣ax2﹣a2x﹣a3，=x3﹣a3．

故選B．

點評：本題考查了多項式乘多項式法則，合并同類項時要注意項中的指數(shù)及字母是否相同．

3．考點：單項式乘單項式；冪的乘方與積的乘方；同底數(shù)冪的除法；整式的除法。1923992

分析：根據(jù)單項式乘單項式的法則，單項式除單項式的法則，冪的乘方的性質(zhì)，同底數(shù)冪的除法的性質(zhì)，對各選項計算后利用排除法求解．

解答：解：①3x3（﹣2x2）=﹣6x5，正確；

②4a3b÷（﹣2a2b）=﹣2a，正確；

③應(yīng)為（a3）2=a6，故本選項錯誤；

④應(yīng)為（﹣a）3÷（﹣a）=（﹣a）2=a2，故本選項錯誤．

所以①②兩項正確．

故選B．

點評：本題考查了單項式乘單項式，單項式除單項式，冪的乘方，同底數(shù)冪的除法，注意掌握各運算法則．

4考點：完全平方公式。1923992

專題：計算題。

分析：首先找到它后面那個整數(shù)x+1，然后根據(jù)完全平方公式解答．

解答：解：x2是一個正整數(shù)的平方，它后面一個整數(shù)是x+1，∴它后面一個整數(shù)的平方是：（x+1）2=x2+2x+1．

故選C．

點評：本題主要考查完全平方公式，熟記公式結(jié)構(gòu)是解題的關(guān)鍵．完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．

5，考點：因式分解-十字相乘法等；因式分解的意義。1923992

分析：根據(jù)因式分解的定義，把一個多項式化為幾個整式的積的形式，這樣的式子變形叫做把這個單項式因式分解，注意分解的結(jié)果要正確．

解答：解：A、x3﹣x=x（x2﹣1）=x（x+1）（x﹣1），分解不徹底，故本選項錯誤；

B、運用十字相乘法分解m2+m﹣6=（m+3）（m﹣2），正確；

C、是整式的乘法，不是分解因式，故本選項錯誤；

D、沒有平方和的公式，x2+y2不能分解因式，故本選項錯誤．

故選B．

點評：本題考查了因式分解定義，十字相乘法分解因式，注意：（1）因式分解的是多項式，分解的結(jié)果是積的形式．（2）因式分解一定要徹底，直到不能再分解為止．

6考點：因式分解-十字相乘法等；因式分解的意義。192399

2分析：根據(jù)因式分解的定義，把一個多項式化為幾個整式的積的形式，這樣的式子變形叫做把這個單項式因式分解，注意分解的結(jié)果要正確．

解答：解：A、x3﹣x=x（x2﹣1）=x（x+1）（x﹣1），分解不徹底，故本選項錯誤；

B、運用十字相乘法分解m2+m﹣6=（m+3）（m﹣2），正確；

C、是整式的乘法，不是分解因式，故本選項錯誤；

D、沒有平方和的公式，x2+y2不能分解因式，故本選項錯誤．

故選B．

點評：本題考查了因式分解定義，十字相乘法分解因式，注意：（1）因式分解的是多項式，分解的結(jié)果是積的形式．（2）因式分解一定要徹底，直到不能再分解為止．

6．考點：列代數(shù)式。1923992

專題：應(yīng)用題。

分析：可綠化部分的面積為=S長方形ABCD﹣S矩形LMPQ﹣S?RSTK+S重合部分．

解答：解：∵長方形的面積為ab，矩形道路LMPQ面積為bc，平行四邊形道路RSTK面積為ac，矩形和平行四邊形重合部分面積為c2．

∴可綠化部分的面積為ab﹣bc﹣ac+c2．

故選C．

點評：此題要注意的是路面重合的部分是面積為c2的平行四邊形．

用字母表示數(shù)時，要注意寫法：

①在代數(shù)式中出現(xiàn)的乘號，通常簡寫做“”或者省略不寫，數(shù)字與數(shù)字相乘一般仍用“×”號；

②在代數(shù)式中出現(xiàn)除法運算時，一般按照分?jǐn)?shù)的寫法來寫；

③數(shù)字通常寫在字母的前面；

④帶分?jǐn)?shù)的要寫成假分?jǐn)?shù)的形式．

以上對整式的乘除與因式分解單元測試卷的練習(xí)學(xué)習(xí)，同學(xué)們都能很好的掌握了吧，希望同學(xué)們都能很好的參考，迎接考試工作。