看完前面的故事，同學(xué)們可能有些疑問(wèn)，真的需要那么多麥子嗎？同學(xué)們可以試著算一算：

從第一個(gè)棋盤(pán)開(kāi)始，需要的麥子數(shù)分別為：1

粒、2

粒、4

粒、8

粒、16

粒、32

粒、64

粒、128

粒、256

粒、512

粒、1024

粒、2048

粒、??，寫(xiě)到這里，同學(xué)們可以看出：開(kāi)始的時(shí)候麥粒數(shù)量并不大，但越到后面數(shù)量越多，最終會(huì)達(dá)到全世界都無(wú)法承受的程度．

麥粒數(shù)量形成的這串?dāng)?shù)列，就叫做等比數(shù)列．等比數(shù)列就是按照相同的倍數(shù)增加（或減少）的數(shù)列，例如“麥粒數(shù)列”就是按照

倍的速度變大的，這個(gè)相同的倍數(shù)就是公比，“麥粒數(shù)列”的公比就是

2．同等差數(shù)列一樣，等比數(shù)列同樣有首項(xiàng)、末項(xiàng)及項(xiàng)數(shù)．同學(xué)們可以想一想如何通過(guò)首項(xiàng)和公比將等比數(shù)列的每一項(xiàng)都表示出來(lái)．等差數(shù)列求和是利用“倒序相加”或“配對(duì)求和”的方法，那么等比數(shù)列如何求和呢？我們來(lái)看一個(gè)例題．

分析

這是一個(gè)等比數(shù)列求和的問(wèn)題

.如果一個(gè)一個(gè)地計(jì)算會(huì)有點(diǎn)復(fù)雜，那么該如何簡(jiǎn)便地算出數(shù)列的和呢？

古代的等比數(shù)列

等比數(shù)列源于古代的一些實(shí)際問(wèn)題．古埃及國(guó)王拉阿烏斯有位能干的文書(shū)阿默斯．他用象形文字寫(xiě)了一部《算書(shū)》，記錄了公元前

2000

年

~

公元前

1700

年間數(shù)學(xué)研究的一些成果．其中有這樣一題，題中畫(huà)了一個(gè)階梯，階梯旁邊標(biāo)著數(shù)：7，49，343，2401，16807．并在數(shù)旁依次畫(huà)了人、貓、鼠、大麥和量器．原書(shū)上并無(wú)任何說(shuō)明，這成為數(shù)學(xué)史上的一個(gè)難解之謎，2000

多年中無(wú)人能解釋?zhuān)?/p>

直到中世紀(jì)，意大利數(shù)學(xué)家斐波那契在1202

年發(fā)表了《算盤(pán)全書(shū)》，書(shū)中有這樣一題：

有七個(gè)老婦人同去羅馬，每人有七只騾子，每只騾子背著七個(gè)袋子，每個(gè)袋子放有七個(gè)面包，每個(gè)面包有七小刀隨之，每把小刀配有七鞘，問(wèn)列舉之物全數(shù)共有幾何？

顯然這是一個(gè)等比數(shù)列的求和問(wèn)題．

由此也基本解開(kāi)了阿默斯之謎．原來(lái)阿默斯問(wèn)題的意思是：今有七人，每人有七貓，每貓食七鼠，每鼠食七只大麥穗，每穗可長(zhǎng)成大麥七量器，由此可得之?dāng)?shù)列如何？當(dāng)然

這僅僅是推測(cè)．

我國(guó)古代數(shù)學(xué)家也早就研究過(guò)等比數(shù)列的問(wèn)題．《孫子算經(jīng)》中有一個(gè)有趣的題目“出門(mén)望九堤”：今有出門(mén)重九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雛，雛有九毛，毛有九色，問(wèn)各幾何？

有關(guān)等比數(shù)列的知識(shí)，同學(xué)們?cè)诔踔懈咧羞€會(huì)繼續(xù)學(xué)習(xí)，在這里只需掌握簡(jiǎn)單的等比數(shù)列求和即可．下面我們來(lái)看一道復(fù)雜的分?jǐn)?shù)計(jì)算的題目．

?

2.計(jì)算：10

?

?4

+

è

在計(jì)算中，常用的巧算方法有：湊整、提取公因數(shù)、分組求和、倒序相加、找規(guī)律等．有些題目用一種辦法就能解決，有的題目可能幾種辦法都適用．同學(xué)們?cè)谧鲱}的過(guò)程中要注意多積累，多思考，多去尋找不同的方法解題．下面一個(gè)例題，看看你能想到幾種解決方法．

分析

發(fā)現(xiàn)這個(gè)數(shù)列是一個(gè)等差數(shù)列，如果是求數(shù)列和，那很自然地想到配對(duì)求和，那么求數(shù)字之和能不能用配對(duì)求和呢？

3.從

到

所有數(shù)的數(shù)字之和為多少？

分析

很明顯我們不能將所有除以

余

1的數(shù)一個(gè)一個(gè)地列出來(lái)，不過(guò)我們可以嘗試著去計(jì)算一下，看看有沒(méi)有規(guī)律可以利用．找到了規(guī)律，問(wèn)題就好解決了．

練習(xí)

4.數(shù)列

1，1，2，3，5，?中第100

個(gè)數(shù)除以

3的余數(shù)為多少？

在數(shù)列的計(jì)算中，找到數(shù)列的規(guī)律是非常重要的．但有些數(shù)列的規(guī)律不容易被發(fā)現(xiàn)，這就需要我們認(rèn)真觀(guān)察，仔細(xì)比對(duì)，從而找到那些隱藏的規(guī)律．

分析

觀(guān)察數(shù)列，你找到什么規(guī)律了嗎？如何利用這些規(guī)律呢？

5.數(shù)列1，2，2，3，3，3，4，?中，第100

項(xiàng)是什么？前

項(xiàng)的和是多少？

×××

×××

×××

×××

×××

×××

×××

×××

一、等比數(shù)列及等比數(shù)列“錯(cuò)位相減”法求和．

二、提取公因數(shù)，整體約分．

三、分類(lèi)討論，分組求和．

四、數(shù)列找規(guī)律．

1.有一塊正方形的披薩，現(xiàn)在橫一刀、豎一刀把披薩切成4

塊，接著對(duì)每一塊小披薩也進(jìn)行同樣的操作，然后再次對(duì)每一小塊披薩進(jìn)行同樣的操作，最終有多少塊小披薩？

2.從

到

5000

所有數(shù)的數(shù)字之和為多少？