探索“拋物線”的幾何性質(zhì)（于涵定理）

一、以小見大，培育探究精神

1.如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)(，)，(，)，與軸

交于點(diǎn)(，)，則該拋物線的解析式為

.2.解題后探究：

(1)猜想：上題中，，存在某種關(guān)系，該關(guān)系可以表示為：，.(2)論證：若拋物線與軸交于點(diǎn)(，)，(，)，與軸交于點(diǎn)(，)，求證：.3.簡單應(yīng)用：

(1)拋物線與軸交于點(diǎn)(，)，(，)，與軸交

于點(diǎn)(，)，則該拋物線的解析式為；

(2)拋物線與軸交于點(diǎn)(，)，(，)，與軸

交于點(diǎn)，且，則該拋物線的解析式為

.二、進(jìn)一步探究(特殊→一般)：

1.如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)在，之間的拋物線上運(yùn)動.(1)的橫坐標(biāo)為時，比較大?。?；

(2)的橫坐標(biāo)為時，比較大小：；

(3)當(dāng)時，.(呢？)

2.如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，∥軸交

拋物線于另一點(diǎn)，軸于點(diǎn)，為上方的拋物線上任意一點(diǎn)，于點(diǎn).(1)比較大?。?；

(2)比較大?。海?/p>

(3)當(dāng)時，.3.如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，為上方的拋物線上一點(diǎn)，∥軸，于點(diǎn)，分別交軸，于點(diǎn)，.請通過特殊點(diǎn)進(jìn)行探究，并選出一個正確的式子（）

A.B.C.D.4.如圖，(，)，(，)，(，)均在拋物線上，在，且∥軸，過點(diǎn)，分別作，.請完成以下探究過程：

(1)請選取字母，，表示下列各邊長：

①；

②；

③；

④；

(2)由∽可得，化簡得：；

(3)；

5.歸納總結(jié)：

三、小試牛刀：

1.(2006·河南壓軸題改編)如圖，是二次函數(shù)的圖象，過點(diǎn)(，)的直線交

拋物線于點(diǎn)，過點(diǎn)，分別作軸的垂線，垂足分別為，.則當(dāng)點(diǎn)在拋

物線上運(yùn)動時(點(diǎn)不與原點(diǎn)重合)，請?zhí)骄康闹?(1)當(dāng)點(diǎn)橫坐標(biāo)為時，則的值為；

(2)隨著點(diǎn)位置的變化，是否定值？若是定值，請求出該定值；若不是定值，請說明理由.2.如圖，點(diǎn)在二次函數(shù)圖象的第三象限部分運(yùn)動，直線∥軸，且交

拋物線于點(diǎn)，將直線繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)交拋物線于點(diǎn)，交于

點(diǎn)，于點(diǎn).(1)當(dāng)點(diǎn)橫坐標(biāo)為時，則；

(2)隨著點(diǎn)橫坐標(biāo)由大變小，的長度（）

A.由大變小

B.由小變大

C.不變

D.先變大后變小

(3)若將題中條件“旋轉(zhuǎn)”改為“旋轉(zhuǎn)”，但保證

與拋物線有交點(diǎn)，則

(用“”表示).3.如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，為上方的拋物線上一點(diǎn)，∥軸交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)橫坐標(biāo)為.探究：當(dāng)為何值時，長度取得最大值？

四、探究拋物線的“內(nèi)接直角三角形”：

1.如圖，將直角三角板的直角頂點(diǎn)置于原點(diǎn)，兩直角邊與拋物線交于，兩點(diǎn).(1)如圖1，當(dāng)時，也有，則；

(2)對于同一拋物線，將三角板繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)（如圖2），分別作軸，軸，與軸交于點(diǎn)，且測得.①；

②點(diǎn)的坐標(biāo)為；

(3)探究：在上題中，改變?nèi)前逦恢茫ㄔO(shè)），點(diǎn)的坐標(biāo)是否發(fā)生變化？

(4)猜想點(diǎn)的坐標(biāo)與的關(guān)系.2.如圖，(，)，(，)，(，)均在拋物線上，且是

以為直角頂點(diǎn)的直角三角形.(1)通過圖1的探究，我們猜想：斜邊

定點(diǎn)（填“經(jīng)過”或“不經(jīng)過”）；

(2)如圖2，通過構(gòu)造“一線三等角”進(jìn)行探究：

①由∽可得，選取字母，，表示該比例式：，化簡得；

②由于涵定理可得（選取字母，，表示）：；

；

(3)綜合(1)、(2)的探究結(jié)果，發(fā)現(xiàn)與中，的長度是定值，因此斜邊

（填“經(jīng)過”或“不經(jīng)過”）定點(diǎn)

（填“”或“”），且該定

點(diǎn)的坐標(biāo)可用，表示為

.3.反思：上述探究的意義何在？

五、秒殺難題

1.(2014·武漢壓軸題改編)如圖，已知直線：與拋物線交于，兩點(diǎn).(1)直線總經(jīng)過一個定點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為；

(2)若拋物線上存在定點(diǎn)，使，求點(diǎn)到直線的最大距離.2.如圖，拋物線交軸于點(diǎn)，，且射線與拋物線

交于點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動.(1)若點(diǎn)在第三象限運(yùn)動，求面積的最大值；

(2)當(dāng)時.①過點(diǎn)作軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)，則的面積為；

②求點(diǎn)的坐標(biāo).3.(2016·武漢壓軸題改編)如圖拋物線交軸于點(diǎn)，頂點(diǎn)為，點(diǎn)為拋物線上一動點(diǎn)，且位于軸下方.(1)若點(diǎn)(，)，(，)時，求該拋物線解析式；

(2)若直線，分別交軸于點(diǎn)，試探究是否定值？

若是，請用表示；若不是，請說明理由.4.如圖，拋物線交軸于點(diǎn)，頂點(diǎn)為，軸于點(diǎn)，為對稱

軸右側(cè)，第一象限內(nèi)的拋物線上一動點(diǎn)，連接交拋物線于點(diǎn).(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)求證：為定值；

(3)直線，分別交軸于點(diǎn)，試探究是否定值？

若是，請用表示；若不是，請說明理由.5.如圖，已知拋物線過點(diǎn)(，).(1)求拋物線的解析式；

(2)為點(diǎn)左側(cè)拋物線上一動點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸

平行線交拋物線于點(diǎn)，連接，求證：恒過定點(diǎn)；

(3)在(2)的條件下，當(dāng)運(yùn)動時.①求到直線的距離的最大值；

②求面積的最小值.六、反思：

1.留有遺憾：雖然已經(jīng)解決了為直角三角形時，直角頂點(diǎn)的坐標(biāo)問題；但是為等腰三角形

時的問題，仍然未能解決！希望和各位老師共同探

討……

2.李書福曾經(jīng)說過，造汽車無非就是“四個輪子上面安裝兩張沙發(fā)”.其實(shí)于涵定理的應(yīng)

用，套用一下李書福的話，就是“一條拋物線上三個點(diǎn)”，只要滿足這個特征，就有于

涵定理生存的土壤！雖然有些問題運(yùn)用于涵定理，可能會走一點(diǎn)彎路，但有這種意識終

歸是一件好事.