《現(xiàn)代控制理論》劉豹著(第3版)課后習(xí)題答案

第一章習(xí)題答案

1-1

試求圖1-27系統(tǒng)的模擬結(jié)構(gòu)圖，并建立其狀態(tài)空間表達(dá)式。

解：系統(tǒng)的模擬結(jié)構(gòu)圖如下：

系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下：

令，則

所以，系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式及輸出方程表達(dá)式為

1-2有電路如圖1-28所示。以電壓為輸入量，求以電感中的電流和電容上的電壓作為狀態(tài)變量的狀態(tài)方程，和以電阻上的電壓作為輸出量的輸出方程。

解：由圖，令，輸出量

有電路原理可知：

既得

寫(xiě)成矢量矩陣形式為：

1-3

參考例子1-3（P19）.1-4

兩輸入，兩輸出，的系統(tǒng)，其模擬結(jié)構(gòu)圖如圖1-30所示，試求其狀態(tài)空間表達(dá)式和傳遞函數(shù)陣。

解：系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式如下所示：

1-5系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性由下列微分方程描述

列寫(xiě)其相應(yīng)的狀態(tài)空間表達(dá)式，并畫(huà)出相應(yīng)的模擬結(jié)構(gòu)圖。

解：令，則有

相應(yīng)的模擬結(jié)構(gòu)圖如下：

1-6

（2）已知系統(tǒng)傳遞函數(shù),試求出系統(tǒng)的約旦標(biāo)準(zhǔn)型的實(shí)現(xiàn)，并畫(huà)出相應(yīng)的模擬結(jié)構(gòu)圖

解：

1-7

給定下列狀態(tài)空間表達(dá)式

‘

（1）

畫(huà)出其模擬結(jié)構(gòu)圖

（2）

求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

解：

（2）

1-8

求下列矩陣的特征矢量

（3）

解：A的特征方程

解之得：

當(dāng)時(shí)，解得：

令

得

（或令，得）

當(dāng)時(shí)，解得：

令

得

（或令，得）

當(dāng)時(shí)，解得：

令

得

1-9將下列狀態(tài)空間表達(dá)式化成約旦標(biāo)準(zhǔn)型（并聯(lián)分解）

（2）

解：A的特征方程

當(dāng)時(shí)，解之得

令

得

當(dāng)時(shí)，解之得

令

得

當(dāng)時(shí)，解之得

令

得

約旦標(biāo)準(zhǔn)型

1-10

已知兩系統(tǒng)的傳遞函數(shù)分別為W1(s)和W2(s)

試求兩子系統(tǒng)串聯(lián)聯(lián)結(jié)和并聯(lián)連接時(shí)，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣，并討論所得結(jié)果

解：（1）串聯(lián)聯(lián)結(jié)

（2）并聯(lián)聯(lián)結(jié)

1-11

（第3版教材）已知如圖1-22所示的系統(tǒng)，其中子系統(tǒng)1、2的傳遞函數(shù)陣分別為

求系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)

解：

1-11（第2版教材）

已知如圖1-22所示的系統(tǒng)，其中子系統(tǒng)1、2的傳遞函數(shù)陣分別為

求系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)

解：

1-12

已知差分方程為

試將其用離散狀態(tài)空間表達(dá)式表示，并使驅(qū)動(dòng)函數(shù)u的系數(shù)b(即控制列陣)為

（1）

解法1：

解法2：

求T,使得

得

所以

所以，狀態(tài)空間表達(dá)式為

第二章習(xí)題答案

2-4

用三種方法計(jì)算以下矩陣指數(shù)函數(shù)。

（2）

A=

解：第一種方法：

令

則，即。

求解得到，當(dāng)時(shí)，特征矢量

由，得

即，可令

當(dāng)時(shí)，特征矢量

由，得

即，可令

則，第二種方法，即拉氏反變換法：

第三種方法，即凱萊—哈密頓定理

由第一種方法可知，2-5

下列矩陣是否滿足狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的條件，如果滿足，試求與之對(duì)應(yīng)的A陣。

（3）

（4）

解：（3）因?yàn)?，所以該矩陣滿足狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的條件

（4）因?yàn)?，所以該矩陣滿足狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的條件

2-6

求下列狀態(tài)空間表達(dá)式的解：

初始狀態(tài)，輸入時(shí)單位階躍函數(shù)。

解：

因?yàn)椋?-9

有系統(tǒng)如圖2.2所示，試求離散化的狀態(tài)空間表達(dá)式。設(shè)采樣周期分別為T(mén)=0.1s和1s，而和為分段常數(shù)。

圖2.2

系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

解：將此圖化成模擬結(jié)構(gòu)圖

列出狀態(tài)方程

則離散時(shí)間狀態(tài)空間表達(dá)式為

由和得：

當(dāng)T=1時(shí)

當(dāng)T=0.1時(shí)

第三章習(xí)題答案

3-1判斷下列系統(tǒng)的狀態(tài)能控性和能觀測(cè)性。系統(tǒng)中a,b,c,d的取值對(duì)能控性和能觀性是否有關(guān)，若有關(guān)，其取值條件如何？

（1）系統(tǒng)如圖3.16所示：

解：由圖可得：

狀態(tài)空間表達(dá)式為：

由于、、與無(wú)關(guān)，因而狀態(tài)不能完全能控，為不能控系統(tǒng)。由于只與有關(guān)，因而系統(tǒng)為不完全能觀的，為不能觀系統(tǒng)。

（3）系統(tǒng)如下式：

解：如狀態(tài)方程與輸出方程所示，A為約旦標(biāo)準(zhǔn)形。要使系統(tǒng)能控，控制矩陣b中相對(duì)于約旦塊的最后一行元素不能為0，故有。

要使系統(tǒng)能觀，則C中對(duì)應(yīng)于約旦塊的第一列元素不全為0，故有。

3-2時(shí)不變系統(tǒng)

試用兩種方法判別其能控性和能觀性。

解：方法一：

方法二：將系統(tǒng)化為約旦標(biāo)準(zhǔn)形。，中有全為零的行，系統(tǒng)不可控。中沒(méi)有全為0的列，系統(tǒng)可觀。

3-3確定使下列系統(tǒng)為狀態(tài)完全能控和狀態(tài)完全能觀的待定常數(shù)

解：構(gòu)造能控陣：

要使系統(tǒng)完全能控，則，即

構(gòu)造能觀陣：

要使系統(tǒng)完全能觀，則，即

3-4設(shè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)是

（1）當(dāng)a取何值時(shí)，系統(tǒng)將是不完全能控或不完全能觀的？

（2）當(dāng)a取上述值時(shí)，求使系統(tǒng)的完全能控的狀態(tài)空間表達(dá)式。

（3）當(dāng)a取上述值時(shí)，求使系統(tǒng)的完全能觀的狀態(tài)空間表達(dá)式。

解：(1)

方法1

：

系統(tǒng)能控且能觀的條件為W(s)沒(méi)有零極點(diǎn)對(duì)消。因此當(dāng)a=1,或a=3或a=6時(shí)，系統(tǒng)為不能控或不能觀。

方法2：

系統(tǒng)能控且能觀的條件為矩陣C不存在全為0的列。因此當(dāng)a=1,或a=3或a=6時(shí)，系統(tǒng)為不能控或不能觀。

（2）當(dāng)a=1,a=3或a=6時(shí)，系統(tǒng)可化為能控標(biāo)準(zhǔn)I型

（3）根據(jù)對(duì)偶原理，當(dāng)a=1,a=2或a=4時(shí)，系統(tǒng)的能觀標(biāo)準(zhǔn)II型為

3-6已知系統(tǒng)的微分方程為：

試寫(xiě)出其對(duì)偶系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式及其傳遞函數(shù)。

解：

系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為

傳遞函數(shù)為

其對(duì)偶系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為：

傳遞函數(shù)為

3-9已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

試求其能控標(biāo)準(zhǔn)型和能觀標(biāo)準(zhǔn)型。

解：

系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)I型為

能觀標(biāo)準(zhǔn)II型為

3-10給定下列狀態(tài)空間方程，試判別其是否變換為能控和能觀標(biāo)準(zhǔn)型。

解：

3-11試將下列系統(tǒng)按能控性進(jìn)行分解

（1）

解：

rankM=2<3，系統(tǒng)不是完全能控的。

構(gòu)造奇異變換陣：，其中是任意的，只要滿足滿秩。

即

得

3-12

試將下列系統(tǒng)按能觀性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解

（1）

解：

由已知得

則有

rank

N=2<3，該系統(tǒng)不能觀

構(gòu)造非奇異變換矩陣，有

則

3-13

試將下列系統(tǒng)按能控性和能觀性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解

（1）

解：由已知得

rank

M=3，則系統(tǒng)能控

rank

N=3，則系統(tǒng)能觀

所以此系統(tǒng)為能控并且能觀系統(tǒng)

取，則

則，3-14求下列傳遞函數(shù)陣的最小實(shí)現(xiàn)。

（1）

解：，，系統(tǒng)能控不能觀

取，則

所以，所以最小實(shí)現(xiàn)為，，驗(yàn)證：

3-15設(shè)和是兩個(gè)能控且能觀的系統(tǒng)

（1）試分析由和所組成的串聯(lián)系統(tǒng)的能控性和能觀性，并寫(xiě)出其傳遞函數(shù)；

（2）試分析由和所組成的并聯(lián)系統(tǒng)的能控性和能觀性，并寫(xiě)出其傳遞函數(shù)。

解：

（1）和串聯(lián)

當(dāng)?shù)妮敵鍪堑妮斎霑r(shí)，則rank

M=2<3，所以系統(tǒng)不完全能控。

當(dāng)?shù)幂敵鍪堑妮斎霑r(shí)，因?yàn)?/p>

rank

M=3

則系統(tǒng)能控

因?yàn)?/p>

rank

N=2<3

則系統(tǒng)不能觀

（2）和并聯(lián)，因?yàn)閞ank

M=3，所以系統(tǒng)完全能控

因?yàn)閞ank

N=3，所以系統(tǒng)完全能觀

所以圖中開(kāi)環(huán)及閉環(huán)系統(tǒng)為能控、能觀性一致。

第四章習(xí)題答案

4-1判斷下列二次型函數(shù)的符號(hào)性質(zhì)：

（1）

（2）

解：（1）由已知得，因此是負(fù)定的（2）由已知得，因此不是正定的4-2已知二階系統(tǒng)的狀態(tài)方程：

試確定系統(tǒng)在平衡狀態(tài)處大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定的條件。

解：方法（1）：要使系統(tǒng)在平衡狀態(tài)處大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定，則要求滿足A的特征值均具有負(fù)實(shí)部。

即：

有解，且解具有負(fù)實(shí)部。

即：

方法（2）：系統(tǒng)的原點(diǎn)平衡狀態(tài)為大范圍漸近穩(wěn)定，等價(jià)于。

取，令，則帶入，得到

若，則此方程組有唯一解。即

其中

要求正定，則要求

因此，且

4-3試用lyapunov第二法確定下列系統(tǒng)原點(diǎn)的穩(wěn)定性。

（1）

（2）

解：（1）系統(tǒng)唯一的平衡狀態(tài)是。選取Lyapunov函數(shù)為，則

是負(fù)定的。，有。即系統(tǒng)在原點(diǎn)處大范圍漸近穩(wěn)定。

（2）系統(tǒng)唯一的平衡狀態(tài)是。選取Lyapunov函數(shù)為，則

是負(fù)定的。，有。即系統(tǒng)在原點(diǎn)處大范圍漸近穩(wěn)定。

4-6設(shè)非線性系統(tǒng)狀態(tài)方程為：

試確定平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。

解：若采用克拉索夫斯基法，則依題意有：

取

很明顯，的符號(hào)無(wú)法確定，故改用李雅普諾夫第二法。選取Lyapunov函數(shù)為，則

是負(fù)定的。，有。即系統(tǒng)在原點(diǎn)處大范圍漸近穩(wěn)定。

4-9設(shè)非線性方程：

試用克拉索夫斯基法確定系統(tǒng)原點(diǎn)的穩(wěn)定性。

解：（1）采用克拉索夫斯基法，依題意有：，有。

取

則，根據(jù)希爾維斯特判據(jù)，有：，的符號(hào)無(wú)法判斷。

（2）李雅普諾夫方法：選取Lyapunov函數(shù)為，則

是負(fù)定的。，有。即系統(tǒng)在原點(diǎn)處大范圍漸近穩(wěn)定。

4-12試用變量梯度法構(gòu)造下列系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)

解：假設(shè)的梯度為：

計(jì)算的導(dǎo)數(shù)為：

選擇參數(shù)，試選，于是得：，顯然滿足旋度方程，表明上述選擇的參數(shù)是允許的。則有：

如果，則是負(fù)定的，因此，是的約束條件。

計(jì)算得到為：

是正定的，因此在范圍內(nèi)，是漸進(jìn)穩(wěn)定的。

第五章習(xí)題答案

5-1已知系統(tǒng)狀態(tài)方程為：

試設(shè)計(jì)一狀態(tài)反饋陣使閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)配置為-1，-2，-3。

解：依題意有：，系統(tǒng)能控。

系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式為：

則將系統(tǒng)寫(xiě)成能控標(biāo)準(zhǔn)I型，則有。

引入狀態(tài)反饋后，系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：，其中矩陣，設(shè)，則系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式為：

根據(jù)給定的極點(diǎn)值，得到期望特征多項(xiàng)式為：

比較各對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)，可解得：則有：。

5-3有系統(tǒng)：

（1）

畫(huà)出模擬結(jié)構(gòu)圖。

（2）

若動(dòng)態(tài)性能不滿足要求，可否任意配置極點(diǎn)？

（3）

若指定極點(diǎn)為-3，-3，求狀態(tài)反饋陣。

解（1）系統(tǒng)模擬結(jié)構(gòu)圖如下：

（2）系統(tǒng)采用狀態(tài)反饋任意配置極點(diǎn)的充要條件是系統(tǒng)完全能控。

對(duì)于系統(tǒng)有：，系統(tǒng)能控，故若系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能不滿足要求，可任意配置極點(diǎn)。

（3）系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式為：

則將系統(tǒng)寫(xiě)成能控標(biāo)準(zhǔn)I型，則有。

引入狀態(tài)反饋后，系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：，設(shè)，則系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式為：

根據(jù)給定的極點(diǎn)值，得到期望特征多項(xiàng)式為：

比較各對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)，可解得：。

5-4設(shè)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為

試問(wèn)能否利用狀態(tài)反饋將傳遞函數(shù)變成若有可能，試求出狀態(tài)反饋，并畫(huà)出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖。

解：

由于傳遞函數(shù)無(wú)零極點(diǎn)對(duì)消，因此系統(tǒng)為能控且能觀。

能控標(biāo)準(zhǔn)I型為

令為狀態(tài)反饋陣，則閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式為

由于狀態(tài)反饋不改變系統(tǒng)的零點(diǎn)，根據(jù)題意，配置極點(diǎn)應(yīng)為-2，-2，-3，得期望特征多項(xiàng)式為

比較與的對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)，可得

即

系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下：

5-5使判斷下列系統(tǒng)通過(guò)狀態(tài)反饋能否鎮(zhèn)定。

（1）

解：系統(tǒng)的能控陣為：，系統(tǒng)能控。

由定理5.2.1可知，采用狀態(tài)反饋對(duì)系統(tǒng)任意配置極點(diǎn)的充要條件是完全能控。又由于，系統(tǒng)能控，可以采用狀態(tài)反饋將系統(tǒng)的極點(diǎn)配置在根平面的左側(cè)，使閉環(huán)系統(tǒng)鎮(zhèn)定。

5-7設(shè)計(jì)一個(gè)前饋補(bǔ)償器，使系統(tǒng)

解耦，且解耦后的極點(diǎn)為。

解：

5-10已知系統(tǒng)：

試設(shè)計(jì)一個(gè)狀態(tài)觀測(cè)器，使觀測(cè)器的極點(diǎn)為-r，-2r(r>0)。

解：因?yàn)闈M秩，系統(tǒng)能觀，可構(gòu)造觀測(cè)器。

系統(tǒng)特征多項(xiàng)式為，所以有

于是

引入反饋陣，使得觀測(cè)器特征多項(xiàng)式：

根據(jù)期望極點(diǎn)得期望特征式：

比較與各項(xiàng)系數(shù)得：

即，反變換到x狀態(tài)下

觀測(cè)器方程為：

5-13

類似于5-12，設(shè)計(jì)略。