小升初專項(xiàng)練習(xí)題

數(shù)論

1.【★★★★★】稱能表示成的形式的自然數(shù)為三角數(shù)。有一個(gè)四位數(shù)，它既是三角數(shù)，又是完全平方數(shù)。則＿。

【分析】依題有，即。因?yàn)榕c是兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)，其中必有一個(gè)奇數(shù)，有奇數(shù)。又由相鄰自然數(shù)互質(zhì)知，“奇數(shù)”與“”也互質(zhì)，于是奇數(shù)，（），而為四位數(shù)，有，即，又與相鄰，有。當(dāng)時(shí)，相鄰偶數(shù)為時(shí)，滿足條件，這時(shí)，即；當(dāng)時(shí)，相鄰偶數(shù)為和都不滿足條件；當(dāng)時(shí)，相鄰偶數(shù)為和都不滿足條件。所以。

2.【★★★★★】?jī)蓴?shù)乘積為，而且己知其中一數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)比另一數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)多。那么這兩個(gè)數(shù)分別是___________、___________。

【分析】，由于其中一數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)比另一數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)多，所以這兩個(gè)數(shù)中有一個(gè)數(shù)的約數(shù)為奇數(shù)個(gè)，這個(gè)數(shù)為完全平方數(shù)。故這個(gè)數(shù)只能為、或。經(jīng)檢驗(yàn)，只有兩數(shù)分別為和時(shí)符合條件，所以這兩個(gè)數(shù)分別是和。

3.【★★★★★】七張卡片，分別寫上。用它們分別排成沒有重復(fù)數(shù)字的七位數(shù)和。問能不能做到使被整除，說明理由。

【分析】

假設(shè)被整除，整除所得的商只能是。

由于這個(gè)數(shù)任意排列都不能被和整除，所以得到的商不能是和，只能是、或者。

如果商是，則，是的倍數(shù)，那么的各位數(shù)字之和和的各位數(shù)字之和的和能被整除。但的各位數(shù)字之和和的各位數(shù)字之和的和為不能被整除，矛盾。這說明所得的商不能是。類似分析可知商為也不成立。

如果商是，則。由于的各位數(shù)字之和與的各位數(shù)字之和相等，那么與的差除以的余數(shù)等于的各位數(shù)字之和與的各位數(shù)字之和的差除以的余數(shù)，為。即能被整除。那么能被整除，即能被整除。但不能被整除，矛盾。所以所得的商不能是。

綜上分析，可知不能做到使被整除。

4.【★★★★★】用這六個(gè)數(shù)碼組成兩個(gè)三位數(shù)和，那么、、這三個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)最大可能是___________。

【分析】，、、這三個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是的約數(shù)。的約數(shù)從大到小排列依次為：。由于和都不能被整除，所以都不是和的約數(shù)。由于和不能同時(shí)被整除，所以不是和的公約數(shù)。而當(dāng)和分別是和時(shí)，、、這三個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)為，所以、、這三個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)最大可能是。

5.【★★★★★】各位數(shù)字和等于且能被整除的位數(shù)共有多少個(gè)?

【分析】數(shù)字組合有個(gè)，數(shù)字組合有個(gè)，數(shù)字組合有個(gè)，共計(jì)個(gè)。

6.【★★★★★】所有的方冪以及互不相等的的方冪的和排成一個(gè)遞增的數(shù)列：

求這列數(shù)的第項(xiàng)。

【分析】如果將這些數(shù)用三進(jìn)制表達(dá)，那么這個(gè)數(shù)列是1，10，11，100，101，110，111，……，這列數(shù)和二進(jìn)制數(shù)列1，10，11，100，101，1110，111，……，“表面形式”是一樣的，二進(jìn)制的序列是連續(xù)的整數(shù)序列其第100個(gè)數(shù)是1100100，所以三進(jìn)制數(shù)列中第100個(gè)數(shù)的形式也是“1100100”但它化作十進(jìn)制是，而不是100。所以這列數(shù)的第100項(xiàng)是981

7.【★★★★★】8是4的倍數(shù)，9是3的倍數(shù)，8與9是相鄰的自然數(shù)；15是3的倍數(shù)，16是4的倍數(shù)，15與16是相鄰的自然數(shù)。如果將8，9或15，16看作一組，那么在1～100中共有

組相鄰的自然數(shù)，一個(gè)是3的倍數(shù)，另一個(gè)是4的倍數(shù)。

【分析】3×4=12。在自然數(shù)序列中，具有此性質(zhì)的情況每12個(gè)數(shù)重復(fù)一次。在1～12中有(3，4)(8，9)兩組，100÷12=8……4。所以1～100中共有2×8+1=17(組)。

8.【★★★★★】某幼兒園分大、中、小三個(gè)班，小班人數(shù)最少，大班比小班多6人，中班共27人，已有25筐蘋果分給他們，每筐蘋果數(shù)大約在50～60之間不等。已知蘋果總數(shù)的個(gè)位數(shù)是7，若每人分19個(gè)，則蘋果數(shù)不夠；若大班每人比中班每人多分1個(gè)，中班比小班每人多分1個(gè)，則蘋果剛好分完。那么大班每人分

個(gè)蘋果，小班有

人。

【分析】設(shè)大、中、小三班共有人，中班每人分個(gè)蘋果。

因?yàn)榇蟀嗝咳藗€(gè)蘋果，小班每人個(gè)蘋果，且大班比小班多6人，所以如果減少6個(gè)蘋果，大、小班平均每人個(gè)蘋果。由此推知蘋果總數(shù)為。因?yàn)椤懊咳朔?9個(gè)蘋果，則蘋果數(shù)不夠了”，所以。

因?yàn)樾“嗳藬?shù)最少，中班有27人，所以總?cè)藬?shù)。

蘋果總數(shù)在(50×25)與(60×25)之間，即。

由，可得

由及是整數(shù)知。，≥≥，由知。

由的個(gè)位數(shù)是7，推知的個(gè)位數(shù)是1，由1×1=l，3×7=21，9×9=81及15≤y≤18推知，的個(gè)位數(shù)是3，只能是73或83。

若，則蘋果總數(shù)，不合題意。

若，則蘋果總數(shù)：，符合題意。大班每人分蘋果個(gè)，小班有(83－27—6)÷2=25(人)。

9.【★★★★★】一個(gè)正整數(shù)若能表示為兩個(gè)正整數(shù)的平方差，則稱這個(gè)數(shù)為“智慧數(shù)”，比如16=,16就是一個(gè)“智慧數(shù)”，那么從1開始的自然數(shù)列中，第2003個(gè)“智慧數(shù)”是_______。

【分析】=。因?yàn)榕c同奇同偶，所以“智慧數(shù)”是奇數(shù)或是4的倍數(shù)。

對(duì)于任何大于1的奇數(shù)()，當(dāng)，時(shí)，都有

==。

即任何大于1的奇數(shù)都是“智慧數(shù)”。

對(duì)于任何大于4的4的倍數(shù)()，當(dāng)，時(shí)，都有

==。

即任何大于4的4的倍數(shù)都是“智慧數(shù)”。除了1和4以外，非“智慧數(shù)”都是不能被4整除的偶數(shù)，反之亦然。也就是說，除了1和4以外，任何連續(xù)的4個(gè)正整數(shù)，都有3個(gè)“智慧數(shù)”和1個(gè)非“智慧數(shù)”?！爸腔蹟?shù)”約占全部正整數(shù)的。2003÷號(hào)≈267l，因?yàn)?672÷=668。再加上1和4這兩個(gè)非“智慧數(shù)”，在1～2672中共有非“智慧數(shù)”668+2=670(個(gè))，有“智慧數(shù)”2672－670=2002(個(gè))。所以第2003個(gè)“智慧數(shù)”是2673。

10.【★★★★★】如果2n－1能被31整除，那么自然數(shù)n應(yīng)滿足什么條件？

【分析】

31=11111

（n個(gè)0）

=（n個(gè)0）

2n－1能被31整除，那么n是5的倍數(shù)即可。