8-8最短路線

教學(xué)目標(biāo)

1.準(zhǔn)確運用“標(biāo)數(shù)法”解決題目.2.培養(yǎng)學(xué)生的實際操作能力．

知識精講

知識點說明

從一個地方到另外一個地方，兩地之間有許多條路，就有許多種走法，如果你能從中選擇一條最近的路走，也就是指要選擇一條最短的路線走，這樣你就可以節(jié)省許多時間了，那么如何能選上最短的路線呢？親愛的小朋友們，你要記住兩點：⑴兩點之間線段最短．⑵盡量不走回頭路和重復(fù)路，這樣的話，你就做到了省時省力．

例題精講

【例

1】

一只螞蟻在長方形格紙上的點，它想去點玩，但是不知走哪條路最近．小朋友們，你能給它找到幾條這樣的最短路線呢？

【解析】

（方法一）從點走到點，不論怎樣走，最短也要走長方形的一個長與一個寬，因此，在水平方向上，所有線段的長度和應(yīng)等于；在豎直方向上，所有線段的長度和應(yīng)等于．這樣我們走的這條路線才是最短路線．為了保證這一點，我們就不應(yīng)該走“回頭路”，只能向右和向下走．所有最短路線：、、、、這種方法不能保證“不漏”．如果圖形再復(fù)雜些，做到“不重”也是很困難的．

（方法二）遵循“最短路線只能向右和向下走”，觀察發(fā)現(xiàn)這種題有規(guī)律可循．　①看點：只有從到的這一條路線．同樣道理：從到、從到、從到也都只有一條路線．我們把數(shù)字“”分別標(biāo)在這四個點上．②看點：從點出發(fā)到，可以是，也可以是，共有兩種走法．那么我們在點標(biāo)上數(shù)字“”（）．③看點：從有三種走法，即：、、．在點標(biāo)上數(shù)字“”（）．④看點：共有三種走法，即：、、，在點標(biāo)上“”

（）．⑤看點：從上向下走是，從左向右走是，那么從出發(fā)點有六種走法，即：、、、、、，在點標(biāo)上“”（），觀察發(fā)現(xiàn)每一個小格右下角上標(biāo)的數(shù)正好是這個小格右上角與左下角的數(shù)的和，這個和就是從出發(fā)點到這點的所有最短路線的條數(shù)．此法能夠保證“不重”也“不漏”，這種方法叫“對角線法”或“標(biāo)號法”．

【鞏固】

如圖所示，從點沿線段走最短路線到點，每次走一步或兩步，共有多少種不同走法？

【解析】

這是一個較復(fù)雜的最短路線問題，我們退一步想想，先看看簡單的情況．

從到的各種不同走法中先選擇一條路線來分析：

如果按路線→→→→→來走，這條路線共有條線段，每次走一步或兩步，要求從走到，會有幾種走法？這不是“上樓梯”問題嗎．根據(jù)“上樓梯”問題的解法可得在→→→→→這條路線中有8種符合條件的走法．而對于從到的其他每條最短路線而言，每一條路線都有5條線段，所以每條路線都有8種走法．

進(jìn)一步：從到共有多少條最短路線？這正是“最短路線”問題！用“標(biāo)數(shù)法”來解決，有10條．綜上所述，滿足條件的走法有種．

【鞏固】

從到的最短路線有幾條呢？

【解析】

圖中從到的最短路線都為6條．

【鞏固】

有一只蝸牛從點出發(fā),要沿長方形的邊或?qū)蔷€爬到點,中間不許爬回點,也不能走重復(fù)的路，那么，它有多少條不同的爬行路線？最短的是哪條呢？

【解析】

共有種，即：、、、、、,最短的路是:．

【例

2】

阿呆和阿瓜到少年宮參加北京奧運會志愿者培訓(xùn)．如果他們從學(xué)校出發(fā)，共有多少種不

同的最短路線？

【解析】

從學(xué)校到少年宮的最短路線，只能向右或向下走．我們可以先看點：從學(xué)校到點最短路線只有種走法，我們在點標(biāo)上．、、、點同理．再看點：最短路線可以是、共條，我們在點標(biāo)上．我們發(fā)現(xiàn)正好是對角線點和點上的數(shù)字和．所有的最短路線都符合這個規(guī)律，最終從學(xué)校到少年宮共有種走法．

【鞏固】

方格紙上取一點作為起點，再在的右上方任取一點作為終點，畫一條由到的最短路線，聰明的小朋友，你能畫出來嗎？總共能畫出幾條呢？

【解析】

根據(jù)“標(biāo)號法”可知共有種，如圖．

【鞏固】

如圖，從點出發(fā)到點，走最短的路程，有多少種不同的走法？

【分析】

共有種．

【鞏固】

小聰明想從北村到南村上學(xué)，可是他不知道最短路線的走法共有幾種？小朋友們，快幫幫忙呀！

【分析】

根據(jù)“對角線法”知共有種，如圖．

【例

3】

“五一”長假就要到了，小新和爸爸決定去黃山玩．聰明的小朋友請你找找看從北京到黃山的最短路線共有幾條呢？

【解析】

采用對角線法（如圖）這道題的圖形與前幾題的圖形又有所區(qū)別，因此，在解題時要格外注意是由哪兩點的數(shù)之和來確定另一點的．從北京到黃山最近的道路共有條．

【鞏固】

從甲到乙的最短路線有幾條？

【解析】

有條．

【例

4】

古希臘有一位久負(fù)盛名的學(xué)者，名叫海倫．他精通數(shù)學(xué)、物理，聰慧過人．人一天一位將軍向他請教一個問題：如下圖，將軍從甲地騎馬出發(fā)，要到河邊讓馬飲水，然后再回到乙地的馬棚，為了使行走的路線最短，應(yīng)該讓馬在什么地方飲水？

【解析】

本題主要體現(xiàn)最值思想和對稱的思想，教師應(yīng)充分引導(dǎo)孩子觀察行走路線的變化情況

逐步引導(dǎo)學(xué)生通過對稱來找到相應(yīng)的點，進(jìn)一步了解圖形最值問題中應(yīng)該如何解決問題．

【例

5】

學(xué)校組織三年級的小朋友去幫助農(nóng)民伯伯鋤草，大家從學(xué)校乘車出發(fā)，去往的李家村（如圖）．愛動腦筋的嘟嘟就在想，從學(xué)校到李家村共有多少種不同的最短路線呢？

【解析】

我們采用對角線法（如圖），從學(xué)校到李家村共有種不同的最短路線．

［拓展］

親愛的小朋友們，你們覺得從到共有幾條最短路線呢？

【解析】

此題與上題不同，但方法相同．我們采用對角線法（如圖）可知：可以選擇的最短路線共有條．

【例

6】

阿花和阿紅到少年宮參加北京奧運會志愿者培訓(xùn)．他們從學(xué)校出發(fā)到少年宮最多有多少種不同的行走路線？

【解析】

采用對角線法（如圖）．可得從學(xué)校到少年宮共有種走法．

［鋪墊］

小海龜在小豬家玩，它們想去游樂場坐碰碰車，愛動腦筋的小朋友，請你想一想，從小豬家到游樂場共有幾條最短路線呢？

【解析】

“對角線”法（如圖），共條．

【例

7】

阿強(qiáng)和牛牛結(jié)伴騎車去圖書館看書，第一天他們從學(xué)校直接去圖書館；第二天他們先去公園看大熊貓再去圖書館；第三天公園修路不能通行．咱們學(xué)而思的小朋友都很聰明，請你們幫阿強(qiáng)和牛牛想想這三天從學(xué)校到圖書館的最短路線分別有多少種不同的走法？

【解析】

仍然用對角線法求解．第一天（無限制條件）共有條；第二天（必須經(jīng)過公園）共有條；第三天（必須不經(jīng)過公園）共有條．

【鞏固】

大熊和美子準(zhǔn)備去看望養(yǎng)老院的李奶奶，可是市中心在修路(城市的街道如圖所示),他們從學(xué)校到養(yǎng)老院最短路線共有幾條呢？聰明的小朋友，請你們快想想吧！

【解析】

（方法一）用“對角線法”求出：從學(xué)校到養(yǎng)老院共條．必經(jīng)過市中心的條，所以可行的路有：（條）．

（方法二）可以直接求，即把含有市中心的田字格挖去，共有條．

【例

8】

如圖，從到最短路線總共有幾種走法？

【分析】

如圖，共有種．

【例

9】

如圖，從到沿網(wǎng)格線不經(jīng)過線段和的最短路徑的條數(shù)是多少條？

【解析】

由于不能經(jīng)過線段和，所以我們必須先在網(wǎng)絡(luò)圖中拆除和，然后再在拆除了和以后的網(wǎng)絡(luò)圖中進(jìn)行標(biāo)數(shù)(如下圖所示)．運用標(biāo)數(shù)法可求出滿足條件的最短路徑有78條．

【鞏固】

下圖為某城市的街道示意圖，處正在挖下水道，不能通車，從到處的最短路線共有多少條？

【解析】

從到的最短路線有條.【例

10】

按圖中箭頭所指的方向行走，從到共有多少條不同的路線？

【解析】

本題中的運動方向已經(jīng)由箭頭標(biāo)示出來，所以關(guān)鍵要分析每一點的入口情況．

通過標(biāo)數(shù)法我們可以得出從到共有條不同的路徑．

【例

11】

按圖中箭頭方向所指行走，從到有多少種不同的路線？

【解析】

運用標(biāo)數(shù)法原理進(jìn)行標(biāo)數(shù)，整個標(biāo)數(shù)流程如下圖

從到共有條不同的路線．

【鞏固】

⑴按下圖左箭頭方向所指，從到有多少種不同的路線？

⑵如下圖右所示，這個問題有一個規(guī)則：只能沿著箭頭指的方向走，你能否根據(jù)規(guī)則算出所有從入口到出口的路徑共有多少條？

［分析］

⑴利用標(biāo)數(shù)法求得到有種不同的路線，如下圖左所示．

⑵由題將路線圖轉(zhuǎn)化為下圖右所示，根據(jù)標(biāo)數(shù)法求得從入口到出口的路徑共有10條．

【例

12】

⑴如下圖左，如果只允許向下移動，從點到點共有多少種不同的路線？

⑵如下圖右，要從點到點，要求每一步都是向右，向上或者斜上方，問共有多少種不同的走法？

【解析】

⑴按題目要求，只能向下移動，利用標(biāo)數(shù)法求得到共有路線種，如下圖左所示．

⑵按題目要求，只能走下圖右的3個方向，利用標(biāo)數(shù)法求得共有22種不同的走法，如下圖右．

【鞏固】

圖中有10個編好號碼的房間，你可以從小號碼房間走到相鄰的大號碼房間，但不能從大號碼房間走到小號碼房間，從1號房間走到10號房間共有多少種不同走法？

【分析】

圖中并沒有標(biāo)出行走的方向，但題中“你可以從小號碼房間走到相鄰的大號碼房間，但不能從大號碼房間走到小號碼房間”這句話實際上就規(guī)定了行走的方向．如下圖所示，我們可以把原圖轉(zhuǎn)化成常見的城市網(wǎng)絡(luò)圖，然后再根據(jù)標(biāo)數(shù)法的思想標(biāo)數(shù)：從圖中可以看出，從1號走到10號房間共有22種不同的走法．

【例

13】

一只密蜂從處出發(fā)，回到家里處，每次只能從一個蜂房爬向右側(cè)鄰近的蜂房而不準(zhǔn)逆行，共有多少種回家的方法？

【解析】

蜜蜂“每次只能從一個蜂房爬向右側(cè)鄰近的蜂房而不準(zhǔn)逆行”這意味著它只能從小號碼的蜂房爬進(jìn)相鄰的大號碼的蜂房．明確了行走路徑的方向，就可運用標(biāo)準(zhǔn)法進(jìn)行計算．

如圖所示，小蜜蜂從出發(fā)到處共有種不同的回家方法．

【例

14】

在圖中，用水平或垂直的線段連接相鄰的字母，當(dāng)沿著這些線段行走時，正好拼出“”的路線共有多少條？

［分析］

要想拼出英語“”的單詞，必須按照“”的次序拼寫．在圖中的每一種拼寫方式都對應(yīng)著一條最短路徑．如下圖所示，運用標(biāo)數(shù)法原理標(biāo)數(shù)不難得出共有31種不同的路徑．

［鋪墊］

圖中的“我愛希望杯”有多少種不同的讀法．

［分析］

從我（個）、愛（個）、希（個）、望（個）、杯（個）中組成“我愛希望杯”即相同的字只能選一個而且不能重復(fù)選，所以共有(種)．

注意圖中的三個字母“”，左、右的兩個字母“”只能由一個字母“”去到達(dá)．

［拓展］

如下圖左所示，科學(xué)家“愛因斯坦”的英文名拼寫為“”，按圖中箭頭所示方向有多少種不同的方法拼出英文單詞“”.［分析］

因為“”的拼讀順序為“”，每一種拼法都對應(yīng)著網(wǎng)絡(luò)圖中的一條最短路徑，所以可以運用標(biāo)數(shù)法來解決．

如上圖右所示，從點到點的最短路徑有30條，所以共有(種)不同拼法.