牛吃草

教學(xué)目標(biāo)

1.理解牛吃草這類題目的解題步驟，掌握牛吃草問題的解題思路.2.初步了解牛吃草的變式題，會(huì)將一些變式題與牛吃草問題進(jìn)行區(qū)別與聯(lián)系

知識(shí)精講

英國(guó)科學(xué)家牛頓在他的《普通算術(shù)》一書中，有一道關(guān)于牛在牧場(chǎng)上吃草的問題，即牛在牧場(chǎng)上吃草，牧場(chǎng)上的草在不斷的、均勻的生長(zhǎng)．后人把這類問題稱為牛吃草問題或叫做“牛頓問題”．

“牛吃草”問題主要涉及三個(gè)量：草的數(shù)量、牛的頭數(shù)、時(shí)間．難點(diǎn)在于隨著時(shí)間的增長(zhǎng)，草也在按不變的速度均勻生長(zhǎng)，所以草的總量不定．“牛吃草”問題是小學(xué)應(yīng)用題中的難點(diǎn)．

解“牛吃草”問題的主要依據(jù)：

①

草的每天生長(zhǎng)量不變；

②

每頭牛每天的食草量不變；

③

草的總量草場(chǎng)原有的草量新生的草量，其中草場(chǎng)原有的草量是一個(gè)固定值

④

新生的草量每天生長(zhǎng)量天數(shù)．

同一片牧場(chǎng)中的“牛吃草”問題，一般的解法可總結(jié)為：

⑴設(shè)定1頭牛1天吃草量為“1”；

⑵草的生長(zhǎng)速度(對(duì)應(yīng)牛的頭數(shù)較多天數(shù)對(duì)應(yīng)牛的頭數(shù)較少天數(shù))(較多天數(shù)較少天數(shù))；

⑶原來的草量對(duì)應(yīng)牛的頭數(shù)吃的天數(shù)草的生長(zhǎng)速度吃的天數(shù)；

⑷吃的天數(shù)原來的草量(牛的頭數(shù)草的生長(zhǎng)速度)；

⑸牛的頭數(shù)原來的草量吃的天數(shù)草的生長(zhǎng)速度．

“牛吃草”問題有很多的變例，像抽水問題、檢票口檢票問題等等，只有理解了“牛吃草”問題的本質(zhì)和解題思路，才能以不變應(yīng)萬變，輕松解決此類問題．

例題精講

板塊一、一塊地的“牛吃草問題”

【例

1】

青青一牧場(chǎng)，牧草喂牛羊；

放牛二十七，六周全吃光。

改養(yǎng)廿三只，九周走他方；

若養(yǎng)二十一，可作幾周糧？

（注：“廿”的讀音與“念”相同?！柏ァ奔炊狻＃?/p>

【解說】題目翻譯過來是：一牧場(chǎng)長(zhǎng)滿青草，27頭牛6個(gè)星期可以吃完，或者23頭牛9個(gè)星期可以吃完。若是21頭牛，要幾個(gè)星期才可以吃完？（注：牧場(chǎng)的草每天都在生長(zhǎng)）

【解析】

設(shè)1頭牛1天的吃草量為“1”，27頭牛吃6周共吃了份；23頭牛吃9周共吃了份．第二種吃法比第一種吃法多吃了份草，這45份草是牧場(chǎng)的草周生長(zhǎng)出來的，所以每周生長(zhǎng)的草量為，那么原有草量為：．

供21頭牛吃，若有15頭牛去吃每周生長(zhǎng)的草，剩下6頭牛需要(周)可將原有牧草吃完，即它可供21頭牛吃12周．

【鞏固】

牧場(chǎng)上長(zhǎng)滿牧草，每天牧草都勻速生長(zhǎng)．這片牧場(chǎng)可供10頭牛吃20天，可供15頭牛吃10天．供25頭?？沙詭滋?？

【解析】

設(shè)1頭牛1天的吃草量為“1”，10頭牛吃20天共吃了份；15頭牛吃10天共吃了份．第一種吃法比第二種吃法多吃了份草，這50份草是牧場(chǎng)的草天生長(zhǎng)出來的，所以每天生長(zhǎng)的草量為，那么原有草量為：．

供25頭牛吃，若有5頭牛去吃每天生長(zhǎng)的草，剩下20頭牛需要(天)可將原有牧草吃完，即它可供25頭牛吃5天．

【鞏固】

倉(cāng)庫(kù)里原有一批存貨，以后繼續(xù)運(yùn)貨進(jìn)倉(cāng)，且每天運(yùn)進(jìn)的貨一樣多。用同樣的汽車運(yùn)貨出倉(cāng)，如果每天用4輛汽車，則9天恰好運(yùn)完；如果每天用5輛汽車，則6天恰好運(yùn)完。倉(cāng)庫(kù)里原有的存貨若用1輛汽車運(yùn)則需要多少天運(yùn)完？

【解析】

設(shè)輛汽車天運(yùn)貨為“”，進(jìn)貨速度為，原有存貨為，倉(cāng)庫(kù)里原有的存貨若用1輛汽車運(yùn)則需要（天）

【例

2】

牧場(chǎng)上有一片勻速生長(zhǎng)的草地，可供27頭牛吃6周，或供23頭牛吃9周，那么它可供多少頭牛吃18周？

【解析】

設(shè)1頭牛1周的吃草量為“1”，草的生長(zhǎng)速度為，原有草量為，可供（頭）牛吃18周【鞏固】

有一塊勻速生長(zhǎng)的草場(chǎng)，可供12頭牛吃25天，或可供24頭牛吃10天．那么它可供幾頭牛吃20天？

【解析】

設(shè)1頭牛1天的吃草量為“1”，那么天生長(zhǎng)的草量為，所以每天生長(zhǎng)的草量為；原有草量為：．

20天里，草場(chǎng)共提供草，可以讓頭牛吃20天．

【鞏固】

(湖北省“創(chuàng)新杯”)

牧場(chǎng)有一片青草，每天長(zhǎng)勢(shì)一樣，已知70頭牛24天把草吃完，30頭牛60天把草吃完，則

頭牛96天可以把草吃完．

【解析】

設(shè)1頭牛1天的吃草量為“1”，那么每天新生長(zhǎng)的草量為，牧場(chǎng)原有草量為，要吃96天，需要(頭)牛．

【鞏固】

一牧場(chǎng)放牛58頭，7天把草吃完；若放牛50頭，則9天吃完．假定草的生長(zhǎng)量每日相等，每頭牛每日的吃草量也相同，那么放多少頭牛6天可以把草吃完?

【解析】

設(shè)1頭牛1天的吃草量為1個(gè)單位，則每天生長(zhǎng)的草量為：，原有草量為：，(頭)

【鞏固】

林子里有猴子喜歡吃的野果，23只猴子可在9周內(nèi)吃光，21只猴子可在12周內(nèi)吃光，問如果要4周吃光野果，則需有多少只猴子一起吃？（假定野果生長(zhǎng)的速度不變）

【解析】

設(shè)一只猴子一周吃的野果為“”，則野果的生長(zhǎng)速度是，原有的野果為，如果要4周吃光野果，則需有只猴子一起吃

【鞏固】

一水庫(kù)原有存水量一定，河水每天均勻入庫(kù).5臺(tái)抽水機(jī)連續(xù)20天可抽干；6臺(tái)同樣的抽水機(jī)連續(xù)15天可抽干.若要求6天抽干，需要多少臺(tái)同樣的抽水機(jī)？

【解析】

水庫(kù)原有的水與20天流入的水可供多少臺(tái)抽水機(jī)抽1天？(臺(tái)).水庫(kù)原有的水與15天流入的水可供多少臺(tái)抽水機(jī)抽1天？(臺(tái)).每天流入的水可供多少臺(tái)抽水機(jī)抽1天？

(臺(tái)).原有的水可供多少臺(tái)抽水機(jī)抽1天？

(臺(tái)).若6天抽完，共需抽水機(jī)多少臺(tái)？

(臺(tái)).【例

3】

由于天氣逐漸冷起來，牧場(chǎng)上的草不僅不生長(zhǎng)，反而以固定的速度在減少．已知某塊草地上的草可供20頭牛吃5天，或可供15頭牛吃6天．照此計(jì)算，可以供多少頭牛吃10天？

【解析】

設(shè)1頭牛1天的吃草量為“1”，那么每天自然減少的草量為：，原有草量為：；10天吃完需要牛的頭數(shù)是：(頭)．

【鞏固】

由于天氣逐漸冷起來，牧場(chǎng)上的草不僅不長(zhǎng)，反而以固定的速度在減少。如果某塊草地上的草可供25頭牛吃4天，或可供16頭牛吃6天，那么可供多少頭牛吃12天？

【解析】

設(shè)1頭牛1天吃的草為“1”。牧場(chǎng)上的草每天自然減少；

原來牧場(chǎng)有草，12天吃完需要牛的頭數(shù)是：(頭)或（頭）。

【例

4】

由于天氣逐漸變冷，牧場(chǎng)上的草每天以均勻的速度減少．經(jīng)計(jì)算，牧場(chǎng)上的草可供20頭牛吃5天，或可供16頭牛吃6天．那么，可供11頭牛吃幾天？

【解析】

設(shè)1頭牛1天的吃草量為“1”，天自然減少的草量為，原有草量為：．

若有11頭牛來吃草，每天草減少；所以可供11頭牛吃(天)．

【鞏固】

由于天氣逐漸冷起來，牧場(chǎng)上的草不僅不長(zhǎng)，反而以固定的速度在減少。如果某塊草地上的草可供25頭牛吃4天，或可供16頭牛吃6天，那么可供10頭牛吃多少天？

【解析】

設(shè)1頭牛1天吃的草為“1”。牧場(chǎng)上的草每天自然減少

原來牧場(chǎng)有草

可供10頭牛吃的天數(shù)是：(天)。

【例

5】

一塊勻速生長(zhǎng)的草地，可供16頭牛吃20天或者供100只羊吃12天．如果一頭牛一天吃草量等于5只羊一天的吃草量，那么這塊草地可供10頭牛和75只羊一起吃多少天？

【解析】

設(shè)1頭牛1天的吃草量為“1”，由于一頭牛一天吃草量等于5只羊一天的吃草量，所以100只羊吃12天相當(dāng)于20頭牛吃12天．那么每天生長(zhǎng)的草量為，原有草量為：．

10頭牛和75只羊1天一起吃的草量，相當(dāng)于25頭牛一天吃的草量；25頭牛中，若有10頭牛去吃每天生長(zhǎng)的草，那么剩下的15頭牛需要天可以把原有草量吃完，即這塊草地可供10頭牛和75只羊一起吃8天．

【鞏固】

（希望杯六年級(jí)二試試題）

有一片草場(chǎng)，草每天的生長(zhǎng)速度相同。若14頭牛30天可將草吃完，70只羊16天也可將草吃完(4只羊一天的吃草量相當(dāng)于1頭牛一天的吃草量)。那么，17頭牛和20只羊多少天可將草吃完?

【解析】

“4只羊一天的吃草量相當(dāng)于1頭牛一天的吃草量”，所以可以設(shè)一只羊一天的食量為1，那么14頭牛30天吃了單位草量，而70只羊16天吃了單位草量，所以草場(chǎng)在每天內(nèi)增加了草量，原來的草量為草量，所以如果安排17頭牛和20只羊，即每天食草88草量，經(jīng)過天，可將草吃完。

【鞏固】

一片牧草，每天生長(zhǎng)的速度相同?，F(xiàn)在這片牧草可供20頭牛吃12天，或可供60只羊吃24天。如果1頭牛的吃草量等于4只羊的吃草量，那么12頭牛與88只羊一起吃可以吃幾天？

【解析】

設(shè)1頭牛1天的吃草量為“1”，只羊的吃草量等于頭牛的吃草量，只羊的吃草量等于頭牛的吃草量，所以草的生長(zhǎng)速度為，原有草量為，12頭牛與88只羊一起吃可以吃（天）

【鞏固】

一片茂盛的草地，每天的生長(zhǎng)速度相同，現(xiàn)在這片青草16頭?？沙?5天，或者可供100只羊吃6天，而4只羊的吃草量相當(dāng)于l頭牛的吃草量，那么8頭牛與48只羊一起吃，可以吃多少天?

【解析】

設(shè)１頭牛１天的吃草量為“１”，摘錄條件，將它們轉(zhuǎn)化為如下形式方便分析

16頭牛

15天

16×15＝240：原有草量＋15天生長(zhǎng)的草量

100只羊（25頭牛）

6天

25×6＝150：

原有草量＋6天生長(zhǎng)的草量

從上易發(fā)現(xiàn)：1天生長(zhǎng)的草量＝10；那么原有草量：150－10×6＝90；

8頭牛與48只羊相當(dāng)于20頭牛的吃草量，其中10頭牛去吃新生草，那么剩下的10頭牛吃原有草，90只需9天，所以8頭牛與48只羊一起吃，可以吃9天。

【例

6】

有一牧場(chǎng)，17頭牛30天可將草吃完，19頭牛則24天可以吃完．現(xiàn)有若干頭牛吃了6天后，賣掉了4頭牛，余下的牛再吃兩天便將草吃完．問：原來有多少頭牛吃草(草均勻生長(zhǎng))？

【解析】

設(shè)1頭牛1天的吃草量為“1”，那么每天生長(zhǎng)的草量為，原有草量為：．

現(xiàn)有若干頭牛吃了6天后，賣掉了4頭牛，余下的牛再吃兩天便將草吃完，如果不賣掉這4頭牛，那么原有草量需增加才能恰好供這些牛吃8天，所以這些牛的頭數(shù)為(頭)．

【鞏固】

一片草地，可供5頭牛吃30天，也可供4頭牛吃40天，如果4頭牛吃30天，又增加了2頭牛一起吃，還可以再吃幾天？

【解析】

設(shè)1頭牛1天的吃草量為“1”，那么每天生長(zhǎng)的草量為，原有草量為：．如果4頭牛吃30天，那么將會(huì)吃去30天的新生長(zhǎng)草量以及90原有草量，此時(shí)原有草量還剩，而牛的頭數(shù)變?yōu)?，現(xiàn)在就相當(dāng)于：“原有草量30，每天生長(zhǎng)草量1，那么6頭牛吃幾天可將它吃完？”易得答案為：(天)．

【例

7】

一片勻速生長(zhǎng)的牧草，如果讓馬和牛去吃，15天將草吃盡；如果讓馬和羊去吃，20天將草吃盡；如果讓牛和羊去吃，30天將草吃盡．已知牛和羊每天的吃草量的和等于馬每天的吃草量．現(xiàn)在讓馬、牛、羊一起去吃草，幾天可以將這片牧草吃盡？

【解析】

設(shè)1匹馬1天吃草量為“1”，根據(jù)題意，有：

15天馬和牛吃草量原有草量天新生長(zhǎng)草量……⑴

20天馬和羊吃草量原有草量天新生長(zhǎng)草量……⑵

30天牛和羊(等于馬)吃草量原有草量天新生長(zhǎng)草量……⑶

由可得：30天牛吃草量原有草量，所以：牛每天吃草量原有草量；

由⑶可知，30天羊吃草量天新生長(zhǎng)草量，所以：羊每天吃草量每天新生長(zhǎng)草量；設(shè)馬每天吃的草為份

將上述結(jié)果帶入⑵得：原有草量，所以牛每天吃草量．

這樣如果同時(shí)放牧牛、羊、馬，可以讓羊去吃新生長(zhǎng)的草，牛和馬吃原有的草，可以吃：(天)．

【鞏固】

現(xiàn)在有牛、羊、馬吃一塊草地的草，牛、馬吃需要45天吃完，于是馬、羊吃需要60天吃完，于是牛、羊吃需要90天吃完，牛、羊一起吃草的速度為馬吃草的速度，求馬、牛、羊一起吃，需多少時(shí)間?

【解析】

牛、馬45天吃了

原有天新長(zhǎng)的草①

牛、馬90天吃了2原有天新長(zhǎng)的草⑤

馬、羊60天吃了

原有天新長(zhǎng)的草②

牛、羊90天吃了

原有天新長(zhǎng)的草③

馬

90天吃了

原有天新長(zhǎng)的草④

所以，由④、⑤知，牛吃了90天，吃了原有的草；再結(jié)合③知，羊吃了90天，吃了90天新長(zhǎng)的草，所以，可以將羊視為專門吃新長(zhǎng)的草．

所以，②知馬60天吃完原有的草，③知牛90天吃完原有的草．

現(xiàn)在將牛、馬、羊放在一起吃；還是讓羊吃新長(zhǎng)的草，牛、馬一起吃原有的草.所需時(shí)間為天.所以，牛、羊、馬一起吃，需36天．

板塊二、多塊地的“牛吃草問題”

【例

8】

東升牧場(chǎng)南面一塊2000平方米的牧場(chǎng)上長(zhǎng)滿牧草，牧草每天都在勻速生長(zhǎng)，這片牧場(chǎng)可供18頭牛吃16天，或者供27頭牛吃8天．在東升牧場(chǎng)的西側(cè)有一塊6000平方米的牧場(chǎng)，可供多少頭牛吃6天？

【解析】

設(shè)1頭牛1天的吃草量為“1”，那么2000平方米的牧場(chǎng)上天生長(zhǎng)的草量為，即每天生長(zhǎng)的草量為．那么2000平方米的牧場(chǎng)上原有草量為：．

則6000平方米的牧場(chǎng)每天生長(zhǎng)的草量為；原有草量為：．6天里，該牧場(chǎng)共提供牧草，可以讓(頭)牛吃6天．

【鞏固】

有甲、乙兩塊勻速生長(zhǎng)的草地，甲草地的面積是乙草地面積的3倍．30頭牛12天能吃完甲草地上的草，20頭牛4天能吃完乙草地上的草．問幾頭牛10天能同時(shí)吃完兩塊草地上的草？

【解析】

設(shè)1頭牛1天的吃草量為“1”，由于甲草地的面積是乙草地面積的3倍，把甲草地分成面積相等的3塊，那么每塊都與乙草地的面積相等．由于30頭牛12天能吃完甲草地上的草，相當(dāng)于每塊上的草由10頭牛12天吃完．那么條件轉(zhuǎn)換為“10頭牛12天能吃完乙草地上的草，20頭牛4天也能吃完乙草地上的草”，可知每天乙草地長(zhǎng)草量為，乙草地原有草量為：；則甲、乙兩塊草地每天的新生長(zhǎng)草量為，原有草量為：．要10天同時(shí)吃完兩塊草地上的草，需要(頭)牛．

【鞏固】

有一塊1200平方米的牧場(chǎng)，每天都有一些草在勻速生長(zhǎng)，這塊牧場(chǎng)可供10頭牛吃20天，或可供15頭牛吃10天，另有一塊3600平方米的牧場(chǎng)，每平方米的草量及生長(zhǎng)量都與第一塊牧場(chǎng)相同，問這片牧場(chǎng)可供75頭牛吃多少天？

【解析】

設(shè)１頭牛１天的吃草量為“１”，摘錄條件，將它們轉(zhuǎn)化為如下形式方便分析

10頭牛

20天

10×20＝200

：原有草量＋20天生長(zhǎng)的草量

15頭牛

10天

15×10＝150

：原有草量＋10天生長(zhǎng)的草量

從上易發(fā)現(xiàn)：1200平方米牧場(chǎng)上20－10＝10天生長(zhǎng)草量＝200－150＝50，即1天生長(zhǎng)草量＝50÷10＝5；

那么1200平方米牧場(chǎng)上原有草量：200－5×20＝100或150－5×10＝100。

則3600平方米的牧場(chǎng)1天生長(zhǎng)草量＝5×（3600÷1200）＝15；

原有草量：100×（3600÷1200）＝300.75頭牛里，若有15頭牛去吃每天生長(zhǎng)的草，剩下60頭牛需要300÷60＝5（天）可將原有草吃完，即它可供75頭牛吃5天。

【例

9】

一個(gè)農(nóng)夫有面積為2公頃、4公頃和6公頃的三塊牧場(chǎng)．三塊牧場(chǎng)上的草長(zhǎng)得一樣密，而且長(zhǎng)得一樣快．農(nóng)夫?qū)?頭牛趕到2公頃的牧場(chǎng)，牛5天吃完了草；如果農(nóng)夫?qū)?頭牛趕到4公頃的牧場(chǎng)，牛15天可吃完草．問：若農(nóng)夫?qū)⑦@8頭牛趕到6公頃的牧場(chǎng)，這塊牧場(chǎng)可供這些牛吃幾天？

【解析】

(法1)設(shè)1頭牛1天吃草量為“1”，可以將不同的公頃數(shù)統(tǒng)一轉(zhuǎn)化為單位量1公頃來解決．

把2公頃牧場(chǎng)分割成2塊，每塊1公頃，每塊可供4頭牛吃5天；

把4公頃牧場(chǎng)分割成4塊，每塊1公頃，每塊可供2頭牛吃15天．

那么1公頃牧場(chǎng)每天新生長(zhǎng)的草量為，1公頃牧場(chǎng)原有草量為．那么6公頃牧場(chǎng)每天新生長(zhǎng)的草量為，原有草量為．

8頭牛里，若有6頭牛去吃每天新生長(zhǎng)的草，剩下2頭牛需要(天)可將原有草吃完，即它可供8頭牛吃45天．

(法2)題中3塊牧場(chǎng)面積不同，要解決這個(gè)問題，可以將3塊牧場(chǎng)的面積統(tǒng)一起來．

設(shè)1頭牛1天吃草量為“1”．將8頭牛趕到2公頃的牧場(chǎng)，牛5天吃完了草，相當(dāng)于12公頃的牧場(chǎng)可供48頭牛吃5天；將8頭牛趕到4公頃的牧場(chǎng)，牛15天可吃完草，相當(dāng)于12公頃的牧場(chǎng)可供24頭牛吃15天．所以12公頃的牧場(chǎng)每天新生長(zhǎng)的草量為：，12公頃牧場(chǎng)原有草量為．那么12公頃牧場(chǎng)可供16頭牛吃(天)，板塊三、“牛吃草問題”的變形

【例

10】

一只船發(fā)現(xiàn)漏水時(shí)，已經(jīng)進(jìn)了一些水，水勻速進(jìn)入船內(nèi).如果10人淘水，3小時(shí)淘完；如5人淘水，8小時(shí)淘完.如果要求2小時(shí)淘完，要安排多少人淘水？

【解析】

設(shè)1人1小時(shí)淘出的水量是“1”，淘水速度是，原有水量，要求2小時(shí)淘完，要安排人淘水

【鞏固】

一只船發(fā)現(xiàn)漏水時(shí)，已經(jīng)進(jìn)了一些水，現(xiàn)在水勻速進(jìn)入船內(nèi)，如果3人淘水40分鐘可以淘完；6人淘水16分鐘可以把水淘完，那么，5人淘水幾分鐘可以把水淘完？

【解析】

設(shè)1人1分鐘淘出的水量是“1”，分鐘的進(jìn)水量為，所以每分鐘的進(jìn)水量為，那么原有水量為：．5人淘水需要(分鐘)把水淘完．

【例

11】

假設(shè)地球上新生成的資源增長(zhǎng)速度是一定的，照此計(jì)算，地球上的資源可供110億人生活90年；或供90億人生活210年。為了使人類能夠不斷繁衍，地球上最多能養(yǎng)活多少人？

【解析】

億人。

【例

12】

畫展8:30開門，但早有人來排隊(duì)入場(chǎng)，從第一個(gè)觀眾來到時(shí)起，若每分鐘來的觀眾一樣多，如果開3個(gè)入場(chǎng)口，9點(diǎn)就不再有人排隊(duì)；如果開5個(gè)入場(chǎng)口，8點(diǎn)45分就沒有人排隊(duì)。求第一個(gè)觀眾到達(dá)的時(shí)間。

【解析】

設(shè)每分鐘1個(gè)入口進(jìn)入的人數(shù)為1個(gè)單位。

8:30到9:00

共30分鐘

3個(gè)入口共進(jìn)入。8:30到8:45

共15分鐘

5個(gè)入口共進(jìn)入，15分鐘到來的人數(shù)，每分鐘到來。8：30以前原有人。

所以應(yīng)排了（分鐘），即第一個(gè)來人在7：30

?

畫展9點(diǎn)開門，但早有人來排隊(duì)入場(chǎng)，從第一個(gè)觀眾來到時(shí)起，若每分鐘來的觀眾一樣多，如果開3個(gè)入場(chǎng)口，9點(diǎn)9分就不再有人排隊(duì)；如果開5個(gè)入場(chǎng)口，9點(diǎn)5分就沒有人排隊(duì)．求第一個(gè)觀眾到達(dá)的時(shí)間．

?

如果把入場(chǎng)口看作為“?！?，開門前原有的觀眾為“原有草量”，每分鐘來的觀眾為“草的增長(zhǎng)速度”，那么本題就是一個(gè)“牛吃草”問題．

u

設(shè)每一個(gè)入場(chǎng)口每分鐘通過“1”份人，那么4分鐘來的人為，即1分鐘來的人為，原有的人為：．這些人來到畫展，所用時(shí)間為(分)．所以第一個(gè)觀眾到達(dá)的時(shí)間為8點(diǎn)15分．

u

點(diǎn)評(píng)：從表面上看這個(gè)問題與“牛吃草”問題相離很遠(yuǎn)，但仔細(xì)體會(huì)，題目中每分鐘來的觀眾一樣多，類似于“草的生長(zhǎng)速度”，入場(chǎng)口的數(shù)量類似于“牛”的數(shù)量，問題就變成“牛吃草”問題了．解決一個(gè)問題的方法往往能解決一類問題，關(guān)鍵在于是否掌握了問題的實(shí)質(zhì)．

?

早晨6點(diǎn)，某火車進(jìn)口處已有945名旅客等候檢票進(jìn)站，此時(shí)，每分鐘還有若干人前來進(jìn)口處準(zhǔn)備進(jìn)站．這樣，如果設(shè)立4個(gè)檢票口，15分鐘可以放完旅客，如果設(shè)立8個(gè)檢票口，7分鐘可以放完旅客．現(xiàn)要求5分鐘放完，需設(shè)立幾個(gè)檢票口?

?

設(shè)1個(gè)檢票口1分鐘放進(jìn)1個(gè)單位的旅客．

u

1分鐘新來多少個(gè)單位的旅客

l

u

檢票口開放時(shí)已有多少個(gè)單位的旅客在等候，l

4×１５－×15=52

u

5分時(shí)間內(nèi)檢票口共需放進(jìn)多少個(gè)單位的旅客

l

52+×5=55

u

設(shè)立幾個(gè)檢票口

l

(個(gè))

?

在地鐵車站中，從站臺(tái)到地面有一架向上的自動(dòng)扶梯．小強(qiáng)乘坐扶梯時(shí)，如果每秒向上邁一級(jí)臺(tái)階，那么他走過20級(jí)臺(tái)階后到達(dá)地面；如果每秒向上邁兩級(jí)臺(tái)階，那么走過30級(jí)臺(tái)階到達(dá)地面．從站臺(tái)到地面有

級(jí)臺(tái)階．

?

本題非常類似于“牛吃草問題”，如將題目改為：

u

“在地鐵車站中，從站臺(tái)到地面有一架向上的自動(dòng)扶梯．小強(qiáng)乘坐扶梯時(shí)，如果每秒向上邁一級(jí)臺(tái)階，那么他走過20秒后到達(dá)地面；如果每秒向上邁兩級(jí)臺(tái)階，那么走過15秒到達(dá)地面．問：從站臺(tái)到地面有多少級(jí)臺(tái)階？”

u

采用牛吃草問題的方法，電梯秒內(nèi)所走的階數(shù)等于小強(qiáng)多走的階數(shù)：階，電梯的速度為階/秒，扶梯長(zhǎng)度為（階）。

?

兩個(gè)頑皮的孩子逆著自動(dòng)扶梯行駛的方向行走，男孩每秒可走3級(jí)梯級(jí)，女孩每秒可走2級(jí)梯級(jí)，結(jié)果從扶梯的一端到達(dá)另一端男孩走了100秒，女孩走了300秒。問：該扶梯共有多少級(jí)梯級(jí)？

?

本題與牛吃草問題類似，其中扶梯的梯級(jí)總數(shù)相當(dāng)于原有草量；而自動(dòng)扶梯運(yùn)行的速度則相當(dāng)于草的增長(zhǎng)速度。并且上樓的速度要分成兩部分︰一部分是孩子自己的速度，另一部分是自動(dòng)扶梯的速度。

u

自動(dòng)扶梯的速度（女孩每秒走的梯級(jí)×女孩走的時(shí)間－男孩每秒走的梯級(jí)×男孩走的時(shí)間）÷（女孩走的時(shí)間－男孩走的時(shí)間），自動(dòng)扶梯的梯級(jí)總數(shù)＝女孩每秒走的梯級(jí)×女孩走的時(shí)間－自動(dòng)扶梯的速度×女孩走的時(shí)間

u

（級(jí)）所以自動(dòng)扶梯共有150級(jí)的梯級(jí)。

?

自動(dòng)扶梯以勻速由下往上行駛，兩個(gè)急性子的孩子嫌扶梯走的太慢，于是在行駛的扶梯上，男孩每秒向上走1梯級(jí)，女孩每3秒鐘走2梯級(jí)。結(jié)果男孩用50秒到達(dá)樓上，女孩用60秒到達(dá)樓上。該樓梯共有多少級(jí)？

n

該題屬于草勻速減少的情況，扶梯的運(yùn)行速度：。自動(dòng)扶梯的梯級(jí)總數(shù)：(級(jí))

?

小明從甲地步行去乙地，出發(fā)一段時(shí)間后，小亮有事去追趕他，若騎自行車，每小時(shí)行15千米，3小時(shí)可以追上；若騎摩托車，每小時(shí)行35千米，1小時(shí)可以追上；若開汽車，每小時(shí)行45千米，分鐘能追上。

?

本題是“牛吃草”和行程問題中的追及問題的結(jié)合．小明在小時(shí)內(nèi)走了千米，那么小明的速度為(千米/時(shí))，追及距離為(千米)．汽車去追的話需要：(小時(shí))(分鐘)．

?

快、中、慢三車同時(shí)從地出發(fā)沿同一公路開往地，途中有騎車人也在同方向行進(jìn)，這三輛車分別用7分鐘、8分鐘、14分鐘追上騎車人．已知快車每分鐘行800米，慢車每分鐘行600米，中速車的速度是多少？

?

可以將騎車人與三輛車開始相差的距離看成原有草量，騎車人的速度看成草生長(zhǎng)的速度，所以騎車人速度是：(米/分)，開始相差的路程為：（米），所以中速車速度為：(米／分)．

?

有固定速度行駛的甲車和乙車，如果甲車以現(xiàn)在速度的2倍追趕乙車，5小時(shí)后甲車追上乙車；如果甲車以現(xiàn)在速度的3倍追趕乙車，3小時(shí)后甲車追上乙車，那么如果甲車以現(xiàn)在的速度去追趕乙車，問：幾個(gè)小時(shí)后甲車追上乙車？

?

分析知道甲車相當(dāng)于“牛”，甲追趕乙的追及路程相當(dāng)于“原有草量”，乙車相當(dāng)于“新生長(zhǎng)的草”．

u

設(shè)甲車的速度為“1”，那么乙車小時(shí)走的路程為，所以乙的速度為，追及路程為：．

u

如果甲以現(xiàn)在的速度追趕乙，追上的時(shí)間為：(小時(shí))．

?

甲、乙、丙三車同時(shí)從地出發(fā)到地去．甲、乙兩車的速度分別是每小時(shí)60千米和每小時(shí)48千米．有一輛卡車同時(shí)從地迎面開來，分別在它們出發(fā)后6小時(shí)、7小時(shí)、8小時(shí)先后與甲、乙、丙車相遇，求丙車的速度．

?

相遇問題可以看成是草勻速減少的過程，全程看成是原有草量，卡車速度看成是草勻速減少的速度。所以卡車速度為：（千米/時(shí)），全程：（千米），丙車速度為：（千米/時(shí)）

?

小新、正南、妮妮三人同時(shí)從學(xué)校出發(fā)到公園去．小新、正南兩人的速度分別是每分鐘20米和每分鐘16米．在他們出發(fā)的同時(shí)，風(fēng)間從公園迎面走來，分別在他們出發(fā)后6分鐘、7分鐘、8分鐘先后與小新、正南、妮妮相遇，求妮妮的速度．

n

當(dāng)小新和風(fēng)間相遇時(shí)，正南落后小新(米)，依題意知正南和風(fēng)間走這24

米需要(分鐘)，正南和風(fēng)間的速度和為：(米／分)，風(fēng)間的速度為：(米／分)，學(xué)校到公園的距離為：(米)．所以妮妮的速度為：(米／分)．

?

一個(gè)裝滿了水的水池有一個(gè)進(jìn)水閥及三個(gè)口徑相同的排水閥，如果同時(shí)打開進(jìn)水閥及一個(gè)排水閥，則分鐘能把水池的水排完，如果同時(shí)打開進(jìn)水閥及兩個(gè)排水閥，則分鐘把水池的水排完．問：關(guān)閉進(jìn)水閥并且同時(shí)打開三個(gè)排水閥，需要多少分鐘才能排完水池的水？

?

設(shè)一個(gè)排水閥1分鐘排水量為“1”，那么進(jìn)水閥1分鐘進(jìn)水量為，水池原有水量為．關(guān)閉進(jìn)水閥并且同時(shí)打開三個(gè)排水閥，需要(分鐘)才能排完水池的水．

?

一個(gè)蓄水池有1個(gè)進(jìn)水口和15個(gè)出水口，水從進(jìn)水口勻速流入．當(dāng)池中有一半的水時(shí)，如果打開9個(gè)出水口，9小時(shí)可以把水排空．如果打開7個(gè)出水口，18小時(shí)可以把水排空．如果是一滿池水，打開全部出水口放水，那么經(jīng)過

時(shí)

分水池剛好被排空．

?

本題是牛吃草問題的變形．

u

設(shè)每個(gè)出水口每小時(shí)的出水量為1，則進(jìn)水口每小時(shí)的進(jìn)水量為：，半池水的量為：，所以一池水的量為72．

u

如果打開全部15個(gè)出水口，排空水池所需要的時(shí)間為小時(shí)，即7小時(shí)12分鐘．

?

北京密云水庫(kù)建有個(gè)泄洪洞，現(xiàn)在水庫(kù)的水位已經(jīng)超過安全線，并且水量還在以一個(gè)不變的速度增加，為了防洪，需要調(diào)節(jié)泄洪的速度，假設(shè)每個(gè)閘門泄洪的速度相同，經(jīng)測(cè)算，若打開一個(gè)泄洪閘，個(gè)小時(shí)以后水位降至安全線；若同時(shí)打開兩個(gè)泄洪閘，個(gè)小時(shí)后水位降至安全線．根據(jù)抗洪形勢(shì)，需要用個(gè)小時(shí)使水位降至安全線以下，則至少需要同時(shí)打開泄洪閘的數(shù)目為多少個(gè)？

?

此題是牛吃草問題的變形，假設(shè)每個(gè)泄洪洞每小時(shí)泄洪的量為1，則水庫(kù)每小時(shí)增加的水量為，原有的水量超過安全線的部分有．

如果要用個(gè)小時(shí)使水位降至安全線以下，至少需要開個(gè)泄洪閘．

【鞏固】

(“希望杯”五年級(jí)二試)有一個(gè)蓄水池裝了根相同的水管，其中一根是進(jìn)水管，其余根是出水管．開始時(shí)，進(jìn)水管以均勻的速度不停地向蓄水池注水．后來，想打開出水管，使池內(nèi)的水全部排光．如果同時(shí)打開根出水管，則小時(shí)可排盡池內(nèi)的水；如果僅打開根出水管，則需小時(shí)才能排盡池內(nèi)的水．若要在小時(shí)內(nèi)排盡池內(nèi)的水，那么應(yīng)當(dāng)同時(shí)打開多少根出水管？

【解析】

設(shè)1根出水管1小時(shí)排水的量為“1”，那么進(jìn)水管每小時(shí)進(jìn)水量為，池內(nèi)原有水量為．要在小時(shí)內(nèi)排盡池內(nèi)的水，應(yīng)當(dāng)同時(shí)打開根出水管．

【鞏固】

一個(gè)蓄水池裝有9根水管，其中1根為進(jìn)水管，其余8根為相同的出水管。開始進(jìn)水管以均勻的速度不停地向這個(gè)蓄水池蓄水。池內(nèi)注入了一些水后，有人想把出水管也打開，使池內(nèi)的水再全部排光。如果把8根出水管全部打開，需要3小時(shí)可將池內(nèi)的水排光；而若僅打開3根出水管，則需要18小時(shí)。問如果想要在8小時(shí)內(nèi)將池中的水全部排光，最少要打開幾根出水管？

【解析】

設(shè)根排水管小時(shí)排水為“”，進(jìn)水速度為，原有水量為，如果想要在小時(shí)內(nèi)將池中的水全部排光，最少要打開根出水管，每根出水管1小時(shí)排水1份，又出水管的根數(shù)是整數(shù)，故最少要打開5根出水管。

【鞏固】

由于環(huán)境惡化、氣候變暖，官?gòu)d水庫(kù)的水在勻速減少，為了保證水庫(kù)的水量，政府決定從上游的壺流河水庫(kù)以及冊(cè)田水庫(kù)分別向官?gòu)d水庫(kù)進(jìn)行調(diào)水，已知這兩個(gè)水庫(kù)的每個(gè)閘門放水量是相同的，如果同時(shí)打開壺流河水庫(kù)的5個(gè)閘門30小時(shí)可以使官?gòu)d水庫(kù)水量達(dá)到原來的標(biāo)準(zhǔn)，如果同時(shí)打開冊(cè)田水庫(kù)的4個(gè)閘門40小時(shí)可以使官?gòu)d水庫(kù)水量達(dá)到原來的標(biāo)準(zhǔn)，如果24小時(shí)使官?gòu)d水庫(kù)水量達(dá)到原來的標(biāo)準(zhǔn)，問需同時(shí)打開兩個(gè)水庫(kù)的幾個(gè)閘門?

【解析】

設(shè)1個(gè)閘門1小時(shí)的放水量為“1”，那么每小時(shí)自然減少的水量為：，實(shí)際注入水量為：；24小時(shí)蓄水需要打開的閘門數(shù)是：(個(gè))．

【鞏固】

（“陳省身杯”國(guó)際青少年五年級(jí)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽）有一個(gè)水池，池底存了一些水，并且還有泉水不斷涌出。為了將水池里的水抽干，原計(jì)劃調(diào)來臺(tái)抽水機(jī)同時(shí)工作。但出于節(jié)省時(shí)間的考慮，實(shí)際調(diào)來了臺(tái)抽水機(jī)，這樣比原計(jì)劃節(jié)省了小時(shí)。工程師們測(cè)算出，如果最初調(diào)來臺(tái)抽水機(jī)，將會(huì)比原計(jì)劃節(jié)省小時(shí)。這樣，將水池的水抽干后，為了保持池中始終沒有水，還應(yīng)該至少留下

臺(tái)抽水機(jī)。

【解析】

設(shè)每臺(tái)抽水機(jī)每小時(shí)抽個(gè)單位的水，原計(jì)劃需要小時(shí)抽完

則原計(jì)劃個(gè)小時(shí)抽的水量為，臺(tái)抽水機(jī)時(shí)抽水量為

臺(tái)抽水機(jī)時(shí)抽水量為

所以，個(gè)小時(shí)的出水量為，個(gè)小時(shí)的出水量為，而泉水的出水速度是一定的，所以，解得，所以每小時(shí)出水量為，所以需要留下臺(tái)抽水機(jī)。

【例

13】

甲、乙、丙三個(gè)倉(cāng)庫(kù)，各存放著數(shù)量相同的面粉，甲倉(cāng)庫(kù)用一臺(tái)皮帶輸送機(jī)和12個(gè)工人，5小時(shí)可將甲倉(cāng)庫(kù)內(nèi)面粉搬完；乙倉(cāng)庫(kù)用一臺(tái)皮帶輸送機(jī)和28個(gè)工人，3小時(shí)可將倉(cāng)庫(kù)內(nèi)面粉搬完；丙倉(cāng)庫(kù)現(xiàn)有2臺(tái)皮帶輸送機(jī)，如果要用2小時(shí)把丙倉(cāng)庫(kù)內(nèi)面粉搬完，同時(shí)還要多少個(gè)工人？(每個(gè)工人每小時(shí)工效相同，每臺(tái)皮帶輸送機(jī)每小時(shí)工效也相同，另外皮帶輸送機(jī)與工人一起往外搬運(yùn)面粉)

【解析】

設(shè)1人1小時(shí)搬運(yùn)的份數(shù)為“1”，那么一臺(tái)皮帶運(yùn)輸機(jī)1小時(shí)的工作量為，每個(gè)倉(cāng)庫(kù)存放的面粉總量為：．那么,丙倉(cāng)庫(kù)現(xiàn)有2臺(tái)皮帶輸送機(jī)，如果要用2小時(shí)把丙倉(cāng)庫(kù)內(nèi)面粉搬完，需要(人)．

【例

14】

小方用一個(gè)有洞的杯子從水缸里往三個(gè)同樣的容積的空桶中舀水。第一個(gè)桶距水缸有1米，小方用3次恰好把桶裝滿；第二個(gè)桶距水缸有2米，小方用4次恰好把桶裝滿。第三個(gè)桶距水缸有3米，那么小方要多少次才能把它裝滿（假設(shè)小方走路的速度不變，水從杯中流出的速度也不變）

【解析】

小方裝第二個(gè)桶比第一個(gè)桶多用了一杯水，同時(shí)多走了米路，所以從杯中流出的速度是（杯/米），于是1桶水原有水量等于杯水，所以小方要次才能把第三個(gè)桶裝滿。

【解析】