第一篇：【課標(biāo)解讀】核心概念二-符號意識

【課標(biāo)解讀】核心概念二－符號意識

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符號對于數(shù)學(xué)來說是特有的。它既是數(shù)學(xué)的語言，也是數(shù)學(xué)的工具，更是數(shù)學(xué)的方法。數(shù)學(xué)符號的功能特性是多方面的：它具有抽象性，這使得數(shù)學(xué)能夠超越于數(shù)學(xué)對象的具體屬性，而從形式化的角度進行邏輯推演，并一步步把數(shù)學(xué)引向深入；它具有明確性，某一數(shù)學(xué)符號的意義一旦被賦予，它就在這確定的意義下被運用，不會含糊，不會產(chǎn)生歧義，從而帶來數(shù)學(xué)極大的嚴(yán)謹性；它具有可操作性，數(shù)學(xué)過程往往體現(xiàn)于數(shù)學(xué)符號之間的“運算”。針對這種“運算”的算法是形式化的，“幾乎是自動化的，不需要每次都從頭做起”。此外數(shù)學(xué)符號還具有簡略性和通用性等特點。正因為如此，數(shù)學(xué)符號在數(shù)學(xué)發(fā)展中起著舉足輕重的作用。法國數(shù)學(xué)家讓·迪多內(nèi)在《論數(shù)學(xué)的進展》一文中將“引進好的符號”作為促進數(shù)學(xué)發(fā)展的重要原因之一。學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，將無時無刻不與符號打交道，對數(shù)學(xué)符號的語言、工具、方法的功能和上述特性的認識事實上構(gòu)成了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，學(xué)生掌握數(shù)學(xué)符號、運用數(shù)學(xué)符號能力的培養(yǎng)也成為重要的教學(xué)目標(biāo)。

一、《課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中符號意識所包含的內(nèi)容

此次修訂，將原來的“符號感”改為了“符號意識”，這兩個稱謂就其英文表述來看沒有變化，而中文表述將“感”改為“意識”應(yīng)該說其意義與課程目標(biāo)的價值取向和數(shù)學(xué)符號的本質(zhì)意義要求更加吻合。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，無論是概念、命題學(xué)習(xí)還是問題解決，都涉及用符號去表征數(shù)學(xué)對象，并用符號去進行運算、推理，得到一般性的結(jié)論。在這個過程中，數(shù)學(xué)符號對于學(xué)習(xí)者來說主要的還不是潛意識、直覺或感覺，而是一種主動的使用符號的心理傾向。所以用“意識”更準(zhǔn)確些。

《課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》對符號意識的表述有這樣幾層意思值得我們體會：

1．能夠理解并且運用符號表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律

《課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中的這個要求針對的是符號表示，它有兩層意思：一是能夠理解符號所表示的意義；二是能夠運用符號去表示數(shù)學(xué)對象（數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律等）。

每一個數(shù)學(xué)符號都有它特定的含義，如“+，-，×，÷”分別表示特定的運算意義，“=，≈，>”則表示數(shù)學(xué)對象之間的某種關(guān)系。使學(xué)生理解符號的意義是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的最基本的要求，也是符號意識的最基本要求。由于數(shù)學(xué)符號是一種特殊的語言，對數(shù)學(xué)符號的理解也有其固有的特點和要求：因為符號具有一定抽象度，對符號的認識和理解就不應(yīng)是形式上的，而應(yīng)是實質(zhì)上的，即應(yīng)從抽象的符號本身看到其所表征的準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)意義；由于符號具有壓縮信息的功能，所以對符號的意義的理解就不應(yīng)是片面的，而應(yīng)是全面的、完整的。特別是將符號語言轉(zhuǎn)換為我們所熟悉的生活語言時，應(yīng)該抓住其數(shù)學(xué)本質(zhì)予以解讀和表征；由于數(shù)學(xué)符號具有概括性和一般性特征，所以對它的認識和理解又不應(yīng)是孤立的、僵化的，比如應(yīng)注意符號與符號之間的關(guān)聯(lián)（如“+”與“×”之間的關(guān)系），也應(yīng)注意同一符號的多重意義的理解（如y=ax既可表示矩形面積與長、寬關(guān)系，也可表示平行四邊形面積與底、高的關(guān)系，也可表示路程與時間、速度的關(guān)系，也可表示總價與單價、數(shù)量之間的關(guān)系，還可表示半圓周長與圓周率、半徑的關(guān)系……）。

對數(shù)學(xué)符號不僅要“懂”，還要會“用”。運用符號表達數(shù)學(xué)對象就是“用”符號的重要方面。這里的數(shù)學(xué)對象主要指數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，它們在各個學(xué)段都有自己特定的要求。關(guān)于用符號表達數(shù)學(xué)對象這里著重指出兩點：一是要注意義務(wù)教育階段整個學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生用符號表達數(shù)學(xué)對象是一個由簡單到復(fù)雜、由相對具體到相對抽象的過程。比如用數(shù)字符號表示現(xiàn)實中的多少，用單一的運算符號表汞數(shù)字運算關(guān)系，其抽象度顯然不及用字母代替數(shù)及用字母表示數(shù)量關(guān)系，后者對前者來說是一個階段性的變化。而用符號關(guān)系式或一定的數(shù)學(xué)模式語言去表示特定的數(shù)學(xué)變化規(guī)律則又更為抽象和復(fù)雜。這表明關(guān)于數(shù)學(xué)表達的符號意識的發(fā)展是一個逐漸積累變化的過程。二是數(shù)學(xué)符號的表達是多樣化的，比如關(guān)系式、表格、圖象等都是表達數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律的符號工具，有時，即使是同一數(shù)學(xué)對象也可采用多種符號予以表達。而多種符號表達方式之間也是可以轉(zhuǎn)換的。符號表達上的這些特點值得我們在教學(xué)中關(guān)注。

例1（《課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》例9）在下列橫線上：填上合適適的數(shù)字、字母或圖形，并說明理由。

通過觀察規(guī)律，使第一學(xué)段學(xué)生能夠感悟到：對于有規(guī)律的事物，無論是用數(shù)字還是字母或圖形都可以反映相同的規(guī)律，只是表達形式不同而已。

2．知道使用符號可以進行運算和推理，得到的結(jié)論具有一般性

這一點很重要。從某種意義上說這正是符號意識作為一種“意識”需要強化的。這一要求的核心是基于運算和推理的符號“操作”意識。由于運算和推理是數(shù)學(xué)活動最重要的基本形式，所以《課程標(biāo)準(zhǔn)2011年版）》的這一要求是希望在各學(xué)段學(xué)習(xí)中，都加強學(xué)生在邏輯法則下使用符號進行運算、推理的訓(xùn)練，這涉及的類型較多，如對具體問題的符號表示、變量替換、關(guān)系轉(zhuǎn)換、等價推演、模型抽象及模型解決等。

3．使學(xué)生理解符號的使用是數(shù)學(xué)表達和進行數(shù)學(xué)思考的重要形式

數(shù)學(xué)表達是學(xué)生在解決具體問題時必須采用的方式，數(shù)學(xué)表達實質(zhì)上就是以數(shù)學(xué)符號作為媒介的一種語言表達。通過培養(yǎng)學(xué)生的符號意識，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)表達能力成為當(dāng)今課堂關(guān)注的目標(biāo)。

比如這樣一個問題：“某書定價8元，如果一次購買10本以上，超過10本部分打八折。分析并表示購書數(shù)量與付款金額之間的關(guān)系?！憋@然，購書數(shù)量與付款金額之間呈函數(shù)關(guān)系（分段函數(shù)），為了解決問題的方便，我們可以分別采用函數(shù)關(guān)系式、列表、作出圖象等多種符號表達方式來表示這一具體問題。

發(fā)展符號意識最重要的是運用符號進行數(shù)學(xué)思考，我們不妨把這種思考稱為“符號思考”，這種思考是數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)推理、數(shù)學(xué)模型等基本數(shù)學(xué)思想的集中反映，是最具數(shù)學(xué)特色的思維方式。

舉一個簡單的例子：“房間里有4條腿的椅子和3條腿的凳子共16個，如果椅子腿數(shù)和凳子腿數(shù)加起來共有60條，那么有幾把椅子和幾個凳子？”如果學(xué)生沒有經(jīng)過專門的“雞兔同籠”解題模式的思維訓(xùn)練，他完全可以使用恰當(dāng)?shù)姆栠M行數(shù)學(xué)思考，找到解題思路。如可以用表格分析椅子數(shù)的變化引起凳子數(shù)和腿總數(shù)的變化規(guī)律，直接得到答案；也可采用一元一次方程或二元一次方程組的、關(guān)于字母的思考方式來加以解決。

三、關(guān)于學(xué)生符號意識的培養(yǎng)

１.在各學(xué)段緊密結(jié)合概念、命題、公式的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的符號意識

概念、命題、公式是數(shù)學(xué)課程內(nèi)容中的重要組成部分，它們常常是數(shù)學(xué)教學(xué)的重點，而它們又和數(shù)學(xué)符號的表達和使用密切相關(guān)。正因為如此，《課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》在學(xué)段目標(biāo)和各學(xué)段課程內(nèi)容中都提出了具體要求。如：“理解符號,=,>的含義，能用符號和詞語描述萬以內(nèi)數(shù)的大小”，“認識小括號”（第一學(xué)段）；“認識中括號”“在具體情境中能用字母表示數(shù)”“結(jié)合簡單的實際情境，了解等量關(guān)系，并能用字母表示”“能用方程表示簡單情境中的等量關(guān)系”（第二學(xué)段）；“能分析具體問題中的簡單數(shù)量關(guān)系，并用代數(shù)式表示”“通過用代數(shù)式、方程、不等式、函數(shù)等表述數(shù)量關(guān)系的過程，體會模型的思想，建立符號意識”（第三學(xué)段）。

2．結(jié)合現(xiàn)實情境培養(yǎng)學(xué)生的符號意識

一方面，盡可能通過實際問題或現(xiàn)實情境的創(chuàng)設(shè)，引導(dǎo)、幫助學(xué)生理解符號以及表達式、關(guān)系式的意義，或引導(dǎo)學(xué)生對現(xiàn)實情境問題進行符號的抽象和表達；另一方面，對某一特定的符號表達式啟發(fā)學(xué)生進行多樣化的現(xiàn)實意義的填充和解讀。這種建立在現(xiàn)實情境與符號化之間的雙向過程，有利于增強學(xué)生數(shù)學(xué)表達和數(shù)學(xué)符號思維的變通性、遷移性和靈活性。3．在數(shù)學(xué)問題解決過程中發(fā)展學(xué)生的符號意識

符號意識更多地表現(xiàn)為以學(xué)生為主體的一種主動用符號的意識，因此，符號意識的培養(yǎng)僅靠一些單純的符號推演訓(xùn)練和模仿記憶是難以達到應(yīng)有的效果的。引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題，提出問題（這實際上需要運用符號抽象和表達問題）、分析問題、解決問題（這實際上是使用符號進行運算、推理和數(shù)學(xué)思考）的全過程，在這一過程中積累運用符號的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，更好地感悟符號所蘊涵的數(shù)學(xué)思想本質(zhì)。逐步促進學(xué)生符號意識得到提高。

（本文節(jié)選自《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)解讀》 教育部基礎(chǔ)教育課程教材專家工作委員會 組織編寫）更多教育資訊請點擊“閱讀原文”

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第二篇：《課標(biāo)解讀》第六章 關(guān)于《標(biāo)準(zhǔn)》中的10個核心概念

《課標(biāo)解讀》第六章 關(guān)于《標(biāo)準(zhǔn)》中的10個核心概念

稿源：2011版《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)解讀》

作者：2011版課標(biāo)解讀專家組

第六章

關(guān)于《標(biāo)準(zhǔn)》中的10個核心概念

在總結(jié)前期實驗經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，通過廣泛聽取各方意見和建議，此次《標(biāo)準(zhǔn)》提出了10個核心概念。這就是：數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運算能力、推理能力、模型思想、應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識。

核心概念有何意義呢？首先應(yīng)該注意到，這些核心概念的內(nèi)涵在性質(zhì)上是體現(xiàn)的學(xué)習(xí)主體——學(xué)生的特征，它們涉及的是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中應(yīng)該建立和培養(yǎng)的關(guān)于數(shù)學(xué)的感悟、觀念、意識、思想、能力等，因此，可以認為，它們是學(xué)生在義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程中最應(yīng)培養(yǎng)的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，是促進學(xué)生發(fā)展的重要方面。

第二，《標(biāo)準(zhǔn)》將這些核心概念放在課程內(nèi)容設(shè)計欄目下提出，是想表明，這些概念不是設(shè)計者超乎于數(shù)學(xué)課程內(nèi)容之上外加的，而是實實在在蘊涵于具體的課程內(nèi)容之中，或者與課程內(nèi)容緊密結(jié)合的。從這一意義上看，核心概念往往是一類課程內(nèi)容的核心或聚焦點，它有利于我們把握課程內(nèi)容的線索和層次，抓住教學(xué)中的關(guān)鍵。并在數(shù)學(xué)內(nèi)容的教學(xué)中有機地去發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

第三，深入一步講，核心概念本質(zhì)上體現(xiàn)的是數(shù)學(xué)的基本思想。數(shù)學(xué)的基本思想指對數(shù)學(xué)及其對象、數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)及數(shù)學(xué)方法的本質(zhì)性認識。數(shù)學(xué)基本思想集中反映為數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)推理和數(shù)學(xué)模型思想。這些思想是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要目標(biāo)。不難看出，核心概念對數(shù)學(xué)基本思想的體現(xiàn)是鮮明的。比如，與“數(shù)與代數(shù)”部分內(nèi)容直接關(guān)聯(lián)的數(shù)感、符號意識、運算能力、推理能力和模型思想等核心概念就不同程度的直接體現(xiàn)了抽象、推理和模型的基本思想要求。這啟示我們，核心概念的教學(xué)要更關(guān)注其數(shù)學(xué)思想本質(zhì)。

第四，這些核心概念都是數(shù)學(xué)課程的目標(biāo)點，也應(yīng)該成為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的目標(biāo)，并通過教師的教學(xué)予以落實。僅以“數(shù)學(xué)思考”和“問題解決”部分的目標(biāo)設(shè)定來看，《標(biāo)準(zhǔn)》就提出了：“建立數(shù)感、符號意識和空間觀念，初步形成幾何直觀和運算能力”；“發(fā)展數(shù)據(jù)分析觀念，感受隨機現(xiàn)象”；“發(fā)展合情推理和演繹推理能力”；“增強應(yīng)用意識，提高實踐能力”；“體驗解決問題方法的多樣性，發(fā)展創(chuàng)新意識”。這些目標(biāo)表述幾乎涵蓋了所有的核心概念。綜上所述，把握好這些核心概念無論對于教師教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)都是極為重要的。

第一節(jié)

數(shù)感

一般人提起數(shù)感，總感到它是比較玄乎的。也有人質(zhì)疑，像數(shù)感這種因人的感覺而異的、較“虛”的東西有必要作為核心概念提出來嗎？一些老師也感到數(shù)感作為課堂教學(xué)目標(biāo)不好把握。這些情況說明，我們有加強對數(shù)感認識的必要。

一、兩個實例給人的啟示

實例一： 2010年2月25日，國家統(tǒng)計局公布的《2009年國民經(jīng)濟和社會發(fā)展統(tǒng)計公報》顯示：我國70個大中城市房屋銷售價格同比上漲1.5%，其中新建住宅價格上漲1.3%。此報告一出立刻引起全國一片嘩然。公眾普遍反映此數(shù)據(jù)與實際狀況嚴(yán)重不符。面對公眾質(zhì)疑，國家統(tǒng)計局召開緊急會議，討論統(tǒng)計數(shù)據(jù)來源是否真實可靠？統(tǒng)計方法是否科學(xué)？輿論提出的一個問題是：不論統(tǒng)計部門統(tǒng)計方式是否科學(xué)，為何公眾對房價的感覺與統(tǒng)計結(jié)果是大相徑庭的呢？此例說明數(shù)感的確是存在的，它與公眾的社會生活息息相關(guān)，并已成為現(xiàn)代社會公民所具有的基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)的一部分。

實例二：一老師在教學(xué)指數(shù)冪的意義時，拋出一個現(xiàn)實情境問題：將一張紙對折32次，它的厚度有多大呢？老師給出的結(jié)論使學(xué)生在感到驚訝之余，更表示出強烈的質(zhì)疑。該問題的結(jié)論是：其厚度可以超過世界最高峰珠穆朗瑪峰的高度。毫無疑問，這樣的問題會像磁石一樣，緊緊吸引學(xué)生的注意力，使學(xué)生產(chǎn)生一種“不見結(jié)果不信服”的學(xué)習(xí)內(nèi)驅(qū)力。此例就其實質(zhì)看，教師在這里利用的是，學(xué)生基于實際操作（將紙對折若干次）所建立起來的對

的直觀感覺與數(shù)學(xué)科學(xué)計算得出的結(jié)果之間的巨大反差，由此創(chuàng)設(shè)出一個生動的極富吸引力的學(xué)習(xí)環(huán)境。這一實例說明，學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念時，其固有的數(shù)感不僅在起作用，而且老師若能適時地利用學(xué)生原有數(shù)感的特點，使其形成課堂教學(xué)中的認知沖突，則能大大提高課堂教學(xué)的效率。

二、對數(shù)感的基本認識 “數(shù)感”一詞的英文表述為“Number Sense”，可翻譯為多種意思，如感覺、感官、理念、意識、領(lǐng)悟等等。那么，反映在數(shù)學(xué)課程中的數(shù)感基本內(nèi)涵究竟應(yīng)該如何理解呢？事實上，在這一點上人們的認識仍然是多元的。

1.一些關(guān)于數(shù)感內(nèi)涵的說法。

因篇幅所限，這里不一一詳述國內(nèi)外關(guān)于數(shù)感的種種說法，只將其做大致的梳理。歸納成這樣幾類：其一，認為數(shù)感是“關(guān)于數(shù)字（量）的一種直覺”；其二，認為數(shù)感與語感、方向感、美感等類似，都會有一種“直感”的涵義，具有對特定對象的一種敏感性及相關(guān)的鑒別（鑒賞）能力；其三，認為數(shù)感是一種主動地、自覺地或自動化地理解數(shù)和運用數(shù)的態(tài)度和意識，是一種基本的數(shù)學(xué)素養(yǎng)；其四，認為數(shù)感包含感覺、知覺、觀念、能力，可以用“知識”來統(tǒng)一指稱，這一知識是程序性的、內(nèi)隱的、非結(jié)構(gòu)性的。

2．《標(biāo)準(zhǔn)》對數(shù)感的表述

課標(biāo)實驗稿首次明確提出了培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感，但未對數(shù)感內(nèi)涵做解釋，而是采用外延描述的方式，提出“數(shù)感主要表現(xiàn)在：理解數(shù)的意義；能用多種方法來表示數(shù)；能在具體的情境中把握數(shù)的相對大小關(guān)系；能用數(shù)來表達和交流信息；能為解決問題而選擇適當(dāng)?shù)乃惴?；能估計運算的結(jié)果，并對結(jié)果的合理性作出解釋?！?/p>

在新課程實驗中，廣大第一線教師在課堂教學(xué)實踐中對培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感做了許多有益的探討，也形成了不少研究成果。此次修訂，認真聽取了各方意見，吸納了前期實驗研究的一些成果，重新對數(shù)感的內(nèi)涵及功能作了表述?！稑?biāo)準(zhǔn)》的提法是：“數(shù)感主要是指關(guān)于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運算結(jié)果估計等方面的感悟。建立數(shù)感有助于學(xué)生理解現(xiàn)實生活中數(shù)的意義，理解或表述具體情境中的數(shù)量關(guān)系?！?/p>

將數(shù)感表述為感悟不僅使這一概念有了較大的包容性，也使得這一概念有了更實在的意義，有利于一線教師的理解和把握。在前期課程實施中，人們對數(shù)感內(nèi)涵的認識較多強調(diào)其直覺、感知、潛意識、經(jīng)驗等方面，在教學(xué)中教師也常常有“虛無縹緲”之感，找不到教學(xué)支點。將數(shù)感表述為感悟，揭示了這一概念的兩重屬性：既有“感”，如感知，又有“悟”，如悟性、領(lǐng)悟?！啊小峭饨绱碳ぷ饔糜谥黧w而產(chǎn)生的，是通過肢體（如感官等）而不是通過大腦思維，它含有原始的、經(jīng)驗性的成分?！颉侵黧w自身的，是通過大腦思維而產(chǎn)生的?！形颉羌韧ㄟ^肢體又通過大腦，因此，既有感知的成分又有思維的成分?！保ㄊ穼幹?，呂世虎，《對數(shù)感及其教學(xué)的思考》數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2006年2期）

《標(biāo)準(zhǔn)》將這種對數(shù)的感悟歸納為三個方面：數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運算結(jié)果估計，這主要是基于義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的范圍并根據(jù)學(xué)生的實際所作出的要求，這有利于教師在教學(xué)中更好地把握數(shù)感培養(yǎng)的幾條主線。

關(guān)于數(shù)與數(shù)量。在小學(xué)低段，兒童對數(shù)的感悟是從數(shù)數(shù)學(xué)習(xí)辨認各組實物對象的多少開始建立的。這是一個逐漸展開的過程。兒童對多少的感悟離不開具體的情境，這樣他就需經(jīng)歷一個察覺實物集合中所包含的物體數(shù)量多少的過程，從而積累并形成對量的多少的感知。學(xué)習(xí)用數(shù)表示多少的第一步就是數(shù)數(shù)，即用自然數(shù)表示多少。在數(shù)數(shù)的過程中，他們能把數(shù)量詞與其代表的少量物體聯(lián)系起來，逐漸過渡到數(shù)大量的物體；與此同時他們會形成這樣的經(jīng)驗：數(shù)數(shù)的順序不會改變數(shù)的結(jié)果；數(shù)的過程中下一個數(shù)比前一個數(shù)多一；數(shù)數(shù)中的最后一個數(shù)不但代表這個數(shù)，也代表了這組物體的總數(shù)（事實上就是序數(shù)與基數(shù)相等）。隨著學(xué)習(xí)年級的增高，學(xué)生還會經(jīng)歷更多的對數(shù)意義的感悟，如對分數(shù)、負數(shù)、有理數(shù)??，并形成對數(shù)的各種表征方式，比如，他們會知道1/4，25%，0.25是同一個數(shù)的不同表示。對數(shù)與數(shù)量建立起來的數(shù)感常常與實際情境關(guān)聯(lián)，比如對數(shù)量單位的認識，提起教室的長度，應(yīng)該想到米，提到兩個城市的距離則應(yīng)該想到公里（千米），同樣，一個小學(xué)生會質(zhì)疑一個宣傳牌中所說“7000平方米森林中生活著兩只東北虎”是否成立？結(jié)合實際情境，學(xué)生的數(shù)感起到了判斷的作用（本文開始的實例一也說明了這一點）。

關(guān)于數(shù)量關(guān)系。這是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感的另一個層次。不同年齡段的學(xué)生在理解了所學(xué)數(shù)的意義及表征后，他就具備了理解一定數(shù)量關(guān)系的基礎(chǔ)。比如學(xué)生在學(xué)習(xí)分數(shù)概念后，會建立起整體與部分之間關(guān)系的感悟，依賴于具體情境或圖形，會分辨兩個分數(shù)的大小，“隨著他們數(shù)感的增強，學(xué)生應(yīng)該能夠用數(shù)進行推理。例如‘1/2+3/8’一定小于1，因為每個加數(shù)都小于或等于1/2?！保ā睹绹鴮W(xué)校數(shù)學(xué)教育的原則和標(biāo)準(zhǔn)》，蔡金發(fā)等譯，人民教育出版社，2004年12月，第33頁）。隨著年級的升高和數(shù)系的擴展，學(xué)生對數(shù)量關(guān)系的感悟會逐步提升，比如對有理數(shù)的大小，以至于一些函數(shù)所表示的數(shù)量關(guān)系的感悟。學(xué)生對一些相對綜合，而顯得復(fù)雜一點的數(shù)量關(guān)系的感悟是常常伴隨著具體的問題情境而展開的。比如，具有一定數(shù)感的學(xué)生坐上出租車，他不會對車上的計程器熟視無睹，他會關(guān)注跳動的數(shù)碼，并對數(shù)碼變動的間隔時間、出租車已行路程、起步價以及每公里價、到達目的地的路程等等數(shù)量及相互關(guān)系在頭腦中作出反應(yīng)，并形成判斷。這里的數(shù)感是對具體問題所涉及的數(shù)量關(guān)系的整體把握。

關(guān)于運算結(jié)果估計。這是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感很重要的一個方面。數(shù)的運算是數(shù)學(xué)課程中所占學(xué)時較多的內(nèi)容，過去，這一部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)我們更多的是關(guān)注運算法則的掌握和運算技能的訓(xùn)練，其實通過運算培養(yǎng)學(xué)生的估算意識和能力，以此發(fā)展學(xué)生的數(shù)感也應(yīng)該成為課程教學(xué)的目標(biāo)。所以，《標(biāo)準(zhǔn)》在課程內(nèi)容中特別是“數(shù)與代數(shù)”部分多處提到估計及估算的要求。如，“在生活情境中感受大數(shù)的意義并能進行估計”，“能結(jié)合具體情境，選擇恰當(dāng)?shù)膯挝贿M行簡單估算，體會估算在生活中的作用”（一學(xué)段）；“在解決問題的過程中，能選擇合適的方法進行估算”，“會根據(jù)給出的有正比例關(guān)系的數(shù)據(jù)在方格子上畫圖，會根據(jù)其中一個量的值估計另一個量的值”（二學(xué)段）；“能用有理數(shù)估計一個無理數(shù)的大致范圍”（三學(xué)段）。其實，對運算結(jié)果的估計涉及的因素很多：對參與運算的數(shù)與量意義及關(guān)系的理解、對運算方法的選擇與判斷、對運算方式角度的把握、對具體情境的數(shù)量化的處理等等，所以，對運算結(jié)果的估計反映的是學(xué)生對數(shù)學(xué)對象更為綜合的數(shù)感。

三、關(guān)于學(xué)生數(shù)感的培養(yǎng)

數(shù)感既然是對數(shù)的一種感悟，它就不會象知識、技能的習(xí)得那樣立竿見影，它需要在教學(xué)中潛移默化，積累經(jīng)驗，經(jīng)歷一個逐步建立、發(fā)展的過程。

1、重視低段學(xué)生對數(shù)的感覺的建立，并在數(shù)感培養(yǎng)上處理好階段性和發(fā)展性的關(guān)系

在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感在第一學(xué)段是重點?！稑?biāo)準(zhǔn)》在第一學(xué)段目標(biāo)中明確指出：“在運用數(shù)及適當(dāng)?shù)亩攘繂挝幻枋霈F(xiàn)實生活中的簡單現(xiàn)象，以及對運算結(jié)果進行估計的過程中，發(fā)展數(shù)感?！边@一學(xué)段教學(xué)要選擇適合學(xué)生年齡特征的方式，提供實物，聯(lián)系身邊具體事物，觀察操作、游戲等都是較好的方式。比如剛?cè)雽W(xué)的兒童在認識10以內(nèi)數(shù)的時候，應(yīng)該通過實數(shù)、圖片等，將數(shù)與物對應(yīng)起來；以后在認識20以內(nèi)、100以內(nèi)的數(shù)時，可以對具體實物通過估一估、數(shù)一數(shù)等活動幫助學(xué)生形成對

十、百等數(shù)量大小的感覺，如數(shù)100粒黃豆、100根小棒，估計教室里的學(xué)生人數(shù)，估計一堆水果的數(shù)量等。我們還可以就同一個數(shù)在實際生活中的多種意義所表現(xiàn)的數(shù)量來加強對數(shù)的感知。比如1200張紙大約有多厚？你的1200步大約有多長？1200名學(xué)生站成做廣播操的隊形需要多大的場地？類似這樣的問題可讓學(xué)生舉一反三。

應(yīng)結(jié)合每一學(xué)段的具體教學(xué)內(nèi)容，逐步提升和發(fā)展學(xué)生的數(shù)感。比如在二學(xué)段應(yīng)結(jié)合學(xué)生所熟悉的現(xiàn)實素材感受大數(shù)的意義，并能對一些問題進行估算；能了解負數(shù)的意義，用負數(shù)表示日常生活的問題，建立起對負數(shù)的數(shù)感。在第三學(xué)段，隨著對數(shù)的認識領(lǐng)域的擴大以及數(shù)的認識經(jīng)驗的積累，可以引導(dǎo)學(xué)生在較復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系和運算問題中提升數(shù)感，發(fā)展更為良好的數(shù)感品質(zhì)。

2、緊密結(jié)合現(xiàn)實生活情境和實例，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感

現(xiàn)實生活情境和實例，與學(xué)生的實際生活經(jīng)驗密切相連，不僅能夠為學(xué)生提供真實自然的數(shù)的感悟環(huán)境，也能讓學(xué)生在數(shù)的認知上經(jīng)歷由具體到抽象的過程，逐步發(fā)展學(xué)生關(guān)于數(shù)的思維。反之，學(xué)生數(shù)感的提升也使得他們能用數(shù)字的眼光看周圍世界，正如《標(biāo)準(zhǔn)》所說：“建立數(shù)感有助于學(xué)生理解現(xiàn)實生活中數(shù)的意義，理解或表述具體情境中的數(shù)量關(guān)系?！?/p>

比如，讓學(xué)生通過調(diào)查、討論，弄清楚自己的學(xué)號、地區(qū)郵編號、汽車牌照號、身份證編號的規(guī)律和意義。如下的一個問題更是能讓學(xué)生感到，建立良好的數(shù)感，對數(shù)字信息作出合理解釋與推斷的重要：火車票上車次號有兩個含義，一是數(shù)字越小表示車速越快，1~98次為特快車，101~198次為直快車，301~398次為普快車，401~598次為普客車；二是單數(shù)表示從北京開出，雙數(shù)表示開往北京，現(xiàn)在有一張車票的車次號為122，它能給你什么信息？

3、讓學(xué)生多經(jīng)歷有關(guān)數(shù)的活動過程，逐步積累數(shù)感經(jīng)驗

在具體的數(shù)學(xué)活動中，學(xué)生能動腦、動手、動口，多種感官協(xié)調(diào)活動，加之能相互交流，這對強化感知和思維，積累數(shù)感經(jīng)驗非常有益。比如，組織學(xué)生參加調(diào)查活動，讓學(xué)生調(diào)查：從你家到學(xué)校的路程大約有多遠？你上學(xué)大約要多少時間？教室面積有多大？學(xué)校食堂有多大？你家住房多少平方米？你所在城市有多少人口？如何測量一張紙的厚度？還可組織學(xué)生針對一周出版的某種報紙討論中間出現(xiàn)了哪些與數(shù)、數(shù)量、運算有關(guān)的數(shù)學(xué)問題，分別表述這些問題中關(guān)于數(shù)的意義作用，如何用數(shù)來解決這些具體問題等等。這樣的數(shù)學(xué)活動有利于學(xué)生在相互交流中從多角度去感悟數(shù)，豐富自己的數(shù)感經(jīng)驗。

第二節(jié) 符號意識

符號對于數(shù)學(xué)來說是特有的。它既是數(shù)學(xué)的語言，也是數(shù)學(xué)的工具，更是數(shù)學(xué)的方法。數(shù)學(xué)符號的功能特性是多方面的：它具有抽象性，這使得數(shù)學(xué)能夠超越于數(shù)學(xué)對象的具體屬性，而從形式化的角度進行邏輯推演，并一步步把數(shù)學(xué)引向深入；它具有明確性，某一數(shù)學(xué)符號的意義一旦被賦予，它就在這確定的意義下被運用，不會含糊，不會產(chǎn)生歧義，從而帶來數(shù)學(xué)極大的嚴(yán)謹性；它具有可操作性，數(shù)學(xué)過程往往體現(xiàn)于數(shù)學(xué)符號之間的“運算”。針對這種“運算”的算法是形式化的，“幾乎是自動化的，不需要每次都從頭做起”。（迪多內(nèi)《論數(shù)學(xué)的進展》，載《數(shù)學(xué)史譯文集》上?？萍汲霭嫔?，1980年版，126頁）；此外數(shù)學(xué)符號還具有簡略性和通用性等特點。正因為如此，數(shù)學(xué)符號在數(shù)學(xué)發(fā)展中起著舉足輕重的作用。法國數(shù)學(xué)家讓﹒迪內(nèi)多在《論數(shù)學(xué)的進展》一文中將“引進好的符號”作為促進數(shù)學(xué)發(fā)展的重要原因之一。學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，將無時無刻不與符號打交道，對數(shù)學(xué)符號的語言、工具、方法的功能和上述特性的認識事實上構(gòu)成了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，學(xué)生掌握數(shù)學(xué)符號、運用數(shù)學(xué)符號能力的培養(yǎng)也成為重要的教學(xué)目標(biāo)。

一、對符號意識的認識

從一般意義上說，所謂符號就是針對具體事物對象而抽象概括出來的一種簡略的記號或代號。數(shù)字、字母、圖形、關(guān)系式等等構(gòu)成了數(shù)學(xué)的符號系統(tǒng)。符號意識（Symbol sense）是學(xué)習(xí)者在感知、認識、運用數(shù)學(xué)符號方面所作出的一種主動性反應(yīng)，它也是一種積極的心理傾向。

數(shù)學(xué)符號最本質(zhì)的意義就在于它是數(shù)學(xué)抽象的結(jié)果。比如，在數(shù)與代數(shù)中，數(shù)來源于對數(shù)量本質(zhì)（多與少）的抽象，而數(shù)字就成為能夠以大小排序的符號。與數(shù)的符號表示一樣，關(guān)于數(shù)的運算知識也是從生活實踐中加以抽象，逐漸形成法則。這一過程中很重要的一步是使用字母這一符號來表示抽象運算，這使得“可以像對‘?dāng)?shù)’那樣對‘符號’進行運算，并且，通過符號運算得到的結(jié)果是具有一般性的”（史寧中《數(shù)學(xué)思想概論》，第一輯，地34頁）。這表明，數(shù)學(xué)符號不僅是一種表示方式，更是與數(shù)學(xué)概念、命題等具體內(nèi)容相關(guān)的、體現(xiàn)數(shù)學(xué)基本思想的核心概念，發(fā)展學(xué)生的符號意識是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)。

二、《標(biāo)準(zhǔn)》中符號意識所包含的內(nèi)容

此次標(biāo)準(zhǔn)修訂，將原來的“符號感”改為了“符號意識”，這兩個稱謂就其英文表述來看沒有變化，而中文表述將“感”改為“意識”應(yīng)該說其意義與課程目標(biāo)的價值取向和數(shù)學(xué)符號的本質(zhì)意義要求更加吻合。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，無論是概念、命題學(xué)習(xí)還是問題解決，都涉及用符號去表征數(shù)學(xué)對象，并用符號去進行運算、推理，得到一般性的結(jié)論。在這個過程中，數(shù)學(xué)符號對于學(xué)習(xí)者來說主要的還不是潛意識、直覺或感覺，而是一種主動的使用符號的心理傾向。所以用“意識”更準(zhǔn)確些。

《標(biāo)準(zhǔn)》對符號意識的表述有這樣幾層意思值得我們體會： 1.能夠理解并且運用符號表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律

《標(biāo)準(zhǔn)》中的這個要求針對的是符號表示，它有兩層意思：一是能夠理解符號所表示的意義；二是能夠運用符號去表示數(shù)學(xué)對象（數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律等）。

每一個數(shù)學(xué)符號都有它特定的含義，如、、、分別表示特定的運算意義，、、﹤、﹥則表示數(shù)學(xué)對象之間的某種關(guān)系。使學(xué)生理解符號的意義是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的最基本的要求，也是符號意識的最基本要求。由于數(shù)學(xué)符號是一種特殊的語言，對數(shù)學(xué)符號的理解也有其固有的特點和要求：因為符號具有一定抽象度，對符號的認識和理解就不應(yīng)是形式上的，而應(yīng)是實質(zhì)上的，即應(yīng)從抽象的符號本身看到其所表征的準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)意義；由于符號具有壓縮信息的功能，所以對符號的意義的理解就不應(yīng)是片面的，而應(yīng)是全面的、完整的、特別將符號語言轉(zhuǎn)換為我們所熟悉的生活語言時，應(yīng)該抓住其數(shù)學(xué)本質(zhì)予以解讀和表征；由于數(shù)學(xué)符號具有概括性和一般性特征，所以對它的認識和理解又不應(yīng)是孤立的、僵化的，比如應(yīng)注意符號與符號之間的關(guān)聯(lián)（如“ ”與“ ”之間的關(guān)系），也應(yīng)注意同一符號的多重意義的理解（如 既可表示矩形面積與長、寬關(guān)系，也可表示平行四邊形面積與底、高的關(guān)系，也可表示路程與時間、速度的關(guān)系，也可表示總價與單價、數(shù)量之間的關(guān)系，還可表示半圓周長與圓周率、半徑的關(guān)系，??）。

對數(shù)學(xué)符號不僅要“懂”，還要會“用”。運用符號表達數(shù)學(xué)對象就是“用”符號的重要方面。這里的數(shù)學(xué)對象主要指數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，它們在各個學(xué)段都有自己的特定的要求。關(guān)于用符號表達數(shù)學(xué)對象這里著重指出兩點：一是要注意義務(wù)教育階段整個學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生用符號表達數(shù)學(xué)對象是一個由簡單到復(fù)雜，由相對具體到相對抽象的過程。比如用數(shù)字符號表示現(xiàn)實中的多少，用單一的運算符號表示數(shù)字運算關(guān)系，其抽象度顯然不及用字母代替數(shù)及用字母表示數(shù)量關(guān)系，后者對前者來說是一個階段性的變化。而用符號關(guān)系式或一定的數(shù)學(xué)模式語言去表示特定的數(shù)學(xué)變化規(guī)律則又更為抽象和復(fù)雜。這表明關(guān)于數(shù)學(xué)表達的符號意識的發(fā)展是一個逐漸積累變化的過程。二是數(shù)學(xué)符號的表達是多樣化的，比如關(guān)系式、表格、圖像等等都是表達數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律的符號工具，有時，即使是同一數(shù)學(xué)對象也可采用多種符號予以表達。而多種符號表達方式之間也是可以轉(zhuǎn)換的。符號表達上的這些特點值得我們在教學(xué)中關(guān)注。

比如這樣一個例題：在下列橫線上填上合適的數(shù)字，字母或圖形，并說明理由。

通過觀察規(guī)律，使一學(xué)段學(xué)生能夠感悟到：對于有規(guī)律的事物，無論是用數(shù)字還是字母或圖形都可以反映相同的規(guī)律，只是表達形式不同而已。

2.知道使用符號可以進行運算和推理，得到的結(jié)論具有一般性

這一點很重要。從某種意義上說這正是符號意識作為一種“意識”需要強化的。這一要求的核心是基于運算和推理的符號“操作”意識。由于運算和推理是數(shù)學(xué)活動最重要的基本形式，所以《標(biāo)準(zhǔn)》的這一要求是希望在各學(xué)段學(xué)習(xí)中，都加強學(xué)生在邏輯法則下使用符號進行運算、推理的訓(xùn)練，這涉及到的類型較多，如對具體問題的符號表示、變量替換、關(guān)系轉(zhuǎn)換、等價推演、模型抽象及模型解決等等。

3.使學(xué)生理解符號的使用是數(shù)學(xué)表達和進行數(shù)學(xué)思考的重要形式

數(shù)學(xué)表達是學(xué)生在解決具體問題時必須采用的方式，數(shù)學(xué)表達實質(zhì)上就是以數(shù)學(xué)符號作為媒介的一種語言表達。通過培養(yǎng)學(xué)生的符號意識，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)表達能力成為當(dāng)今課堂關(guān)注的目標(biāo)。

比如這樣一個問題：“某書定價8元，如果一次購買10本以上，超過10本部分打八折。分析并表示購書數(shù)量與付款金額之間的關(guān)系?！憋@然，購書數(shù)量與付款金額之間是呈函數(shù)關(guān)系（分段函數(shù)），為了解決問題的方便，我們可以分別采用函數(shù)關(guān)系式、列表、作出圖象等多種符號表達方式來表示這一具體問題。發(fā)展符號意識最重要的是運用符號進行數(shù)學(xué)思考，我們不妨把這種思考稱為“符號思考”，這種思考是數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)推理、數(shù)學(xué)模型等基本數(shù)學(xué)思想的集中反映，是最具數(shù)學(xué)特色的思維方式。

舉一個簡單的例子：“房間里有4條腿的椅子和三條腿的凳子共16個，如果椅子腿數(shù)和凳子腿數(shù)加起來共有60個，那么有幾個椅子和幾個凳子？”如果學(xué)生沒有經(jīng)過專門的“雞兔同籠”解題模式的思維訓(xùn)練，他完全可以使用恰當(dāng)?shù)姆栠M行數(shù)學(xué)思考，找到解題思路。如可以用表格分析椅子數(shù)的變化引起凳子數(shù)和腿總數(shù)的變化規(guī)律，直接得到答案；也可采用一元一次方程或一元二次方程組的、關(guān)于字母的思考方式來加以解決。

一、關(guān)于學(xué)生符號意識的培養(yǎng)

1.在各學(xué)段緊密結(jié)合概念、命題、公式的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的符號意識 概念、命題公式等是數(shù)學(xué)課程內(nèi)容中的重要組成部分，它們常常是數(shù)學(xué)教學(xué)的重點，而它們又和數(shù)學(xué)符號的表達和使用密切相關(guān)。正因為如此，《標(biāo)準(zhǔn)》在學(xué)段目標(biāo)和各學(xué)段內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)中都提出了具體要求。如：“理解符號﹤、=、﹥的含義，能使用符號和詞語描述萬以內(nèi)數(shù)的大小”，“認識小括號”。（一學(xué)段）；“認識中括號”“在具體情境中能用字母表示數(shù)”，“結(jié)合簡單的時間情境，了解等量關(guān)系，并能用字母表示”，“能用方程表示簡單情境中的等量關(guān)系”（二學(xué)段）；“能分析簡單問題中的數(shù)量關(guān)系，并用代數(shù)式表示”，“通過用代數(shù)式、方程、不等式、函數(shù)等表述數(shù)量關(guān)系的過程，體會模型思想，建立符號意識”（三學(xué)段）。

2.結(jié)合現(xiàn)實情境培養(yǎng)學(xué)生的符號意識

一方面，盡可能通過實際問題或現(xiàn)實情境的創(chuàng)設(shè)，引導(dǎo)、幫助學(xué)生理解符號以及表達式、關(guān)系式的意義，或引導(dǎo)學(xué)生對現(xiàn)實情境問題進行符號的抽象和表達；另一方面，對某一特定的符號表達式啟發(fā)學(xué)生進行多樣化的現(xiàn)實意義的填充和解讀。這種建立在現(xiàn)實情境與符號化之間的雙向過程，有利于增強學(xué)生數(shù)學(xué)表達和數(shù)學(xué)符號思維的變通性、遷移性和靈活性。3.在數(shù)學(xué)問題解決過程中發(fā)展學(xué)生的符號意識

符號意識更多地表現(xiàn)為以學(xué)生為主體的一種主動用符號的意識，因此，符號意識的培養(yǎng)僅靠一些單純的符號推演訓(xùn)練和模仿記憶是難以達到應(yīng)有的效果的。引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題，提出問題（這實際上需要運用符號抽象和表達問題）、分析問題、解決問題（這實際上是使用符號進行運算、推理和數(shù)學(xué)思考）的全過程，在這一過程中積累運用符號的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，更好地感悟符號所蘊涵的數(shù)學(xué)思想本質(zhì)。逐步促進學(xué)生符號意識得到提高。

第三節(jié) 空間觀念

一、空間觀念的含義與意義

幾何學(xué)是最早成為人們以課程的形式進行學(xué)習(xí)的科目。19世紀(jì)以前的兩千多年里，歐氏幾何一直在課程中占有統(tǒng)治地位，然而，隨著幾何學(xué)自身的發(fā)展、數(shù)學(xué)在社會發(fā)展中的應(yīng)用，幾何作為課程的地位、價值的認識也在發(fā)生著變化。二十世紀(jì)以來，關(guān)于歐氏幾何作為中小學(xué)課程內(nèi)容的有關(guān)爭論從未間斷過。但是，無論爭論如何，空間想象力卻是被較為一致的認為是數(shù)學(xué)諸多能力中的重要組成部分?？臻g觀念作為空間想象力發(fā)展的基礎(chǔ)受到普遍的重視，也成為我國義務(wù)教育階段幾何課程的主要目標(biāo)之一。

心理學(xué)把人對頭腦中已有表象進行改造，創(chuàng)造出新形象的過程稱作想象。關(guān)于空間想象力的含義，林崇德（1991）指出，中學(xué)生的空間想象包括對平面幾何圖形和立體幾何圖形的運動、變換和位置關(guān)系的認識，以及數(shù)形結(jié)合、代數(shù)問題的幾何解釋等?？臻g想象能力主要體現(xiàn)在對諸如一維、二維、三維空間中方向、方位、形狀、大小等空間概念的理解水平及其幾何特征的內(nèi)化水平上，體現(xiàn)在對簡單形體空間位置的想象和變換（平移、旋轉(zhuǎn)以及分割、割補和疊合等）上，以及對抽象的數(shù)學(xué)式子（算式或代數(shù)式等）給與具體幾何意義的想象解釋或表象能力上。

曹才翰提出，空間想象能力就是以現(xiàn)實世界為背景，對幾何表象進行加工改造，創(chuàng)造新的形象的能力。同時他指出，空間想象能力對初中生來說，這種要求太高了，所以義務(wù)教育階段教學(xué)大綱中只提出培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念?？臻g觀念至少反映了如下的5個方面的要求：（1）由形狀簡單的實物抽取出空間圖形；（2）由空間圖形反映出實物；（3）由復(fù)雜圖形中分解出簡單的、基本的圖形；（4）由基本的圖形中尋找出基本元素及其關(guān)系；（5）由文字或符號作出或畫出圖形。全美數(shù)學(xué)教師理事會（NCTM）指出，空間觀念是對一個人周圍環(huán)境和實物的直接感知；對于2—3維圖形及其性質(zhì)的領(lǐng)會和感知，圖形之間的相互關(guān)系和變換圖形的效果是空間觀念的重要方面[1]。

關(guān)于發(fā)展學(xué)生的空間觀念的意義，數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育研究者都有相關(guān)的描述。數(shù)學(xué)家阿蒂亞（M．Atiyah）認為，幾何是數(shù)學(xué)中這樣的一個部分，其中視覺思維占主導(dǎo)地位，而代數(shù)則是數(shù)學(xué)中有序思維占主導(dǎo)地位的部分。這種區(qū)分也許用另一對詞刻畫更好，即“洞察”對“嚴(yán)格”，兩者在真正的數(shù)學(xué)研究中都起著本質(zhì)的作用。它們在教育中的意義也是清楚的。我們的目標(biāo)應(yīng)是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)展這兩種思維模式，過分強調(diào)一種而損害另一種是錯誤的 [2]。

荷蘭數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家弗萊登塔爾（Freudenthal，1989）指出，幾何是對空間的把握——這個空間是兒童生活、呼吸和運動的空間。在這個空間里，兒童必須學(xué)會去了解、探索、征服，從而能更好地在其中生活、呼吸和運動。

全美數(shù)學(xué)教師理事會在《美國學(xué)校數(shù)學(xué)課程與評價標(biāo)準(zhǔn)》提到，幾何有助于我們用一種有序的方式表示和描述我們生活的現(xiàn)實世界，將幫助學(xué)生描述和弄清世界的意義。對于學(xué)生來說，發(fā)展牢固的空間關(guān)系的觀念，掌握幾何的概念和語言，可以較好地為學(xué)習(xí)數(shù)和度量概念做準(zhǔn)備，還可以促進其他數(shù)學(xué)課程的進一步學(xué)習(xí)。幾何的模型提供了一個透視圖，從中，學(xué)生可以分析和解決問題，而且?guī)缀蔚慕忉屵€可以幫助學(xué)生形成一個抽象的（符號的）表示，使人更容易理解。的確，一方面，空間與人類的生存密切相關(guān)，了解、探索和把握我們生活的空間能使人類更好地生存、活動和利用空間。另一方面，空間觀念是創(chuàng)新精神所需的基本要素，沒有空間觀念和空間想象力，幾乎很難談發(fā)明與創(chuàng)造，因為許許多多的發(fā)明創(chuàng)造都是以實物的形態(tài)呈現(xiàn)的，作為設(shè)計者要先要對自己的創(chuàng)造物進行想象，然后可能是模型的構(gòu)建，這里的模型包括圖形和實物，再根據(jù)模型修改設(shè)計，直至最終完善成型。這是一個充滿豐富想象和創(chuàng)造的探求過程，也是人的思維不斷在二維和三維空間之間轉(zhuǎn)換，利用直觀進行思考的過程?？臻g觀念和空間想象力在這個過程中起著至關(guān)重要的作用。

基于這樣的分析與認識，我們可以更好地理解《標(biāo)準(zhǔn)》把“空間觀念”作為義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程的核心概念的緣由與意義。

二、《標(biāo)準(zhǔn)》中空間觀念所包含的內(nèi)容 《標(biāo)準(zhǔn)》中沒有具體給出空間觀念的內(nèi)涵，而是從是否具有空間觀念的幾個表征出發(fā)對其進行描述?！稑?biāo)準(zhǔn)》是從四個方面加以刻畫描述的：空間觀念主要是指根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系；描述圖形的運動和變化；依據(jù)語言的描述畫出圖形等。

《標(biāo)準(zhǔn)》對空間觀念的描述，是在義務(wù)教育階段通過圖形與幾何內(nèi)容的學(xué)習(xí)對學(xué)生在這些方面的要求以及需要達成的目標(biāo)。這樣的目標(biāo)達成的過程是一個包括觀察、想象、比較、綜合、抽象分析的過程，它貫穿在圖形與幾何學(xué)習(xí)的全過程中，無論是圖形的認識，圖形的運動，圖形與坐標(biāo)等都承載著發(fā)展學(xué)生空間觀念的任務(wù)。

1.根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實際物體 有研究表明，三維圖形與二維圖形的相互轉(zhuǎn)換是培養(yǎng)學(xué)生空間觀念的主要途徑?！案鶕?jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實際物體”的過程，是三維圖形與二維圖形的相互轉(zhuǎn)換的基本表現(xiàn)形式，這是一個充滿觀察、想象、比較、推理和抽象的過程，是建立在對周圍環(huán)境直接感知基礎(chǔ)上的、對空間與平面相互關(guān)系的理解與把握。

由實物或幾何體再到視圖，經(jīng)歷了抽象以及從三維圖形到二維圖形轉(zhuǎn)化的過程，而由視圖到幾何體或?qū)嵨铮瑒t實現(xiàn)了從二維圖形到三維圖形的轉(zhuǎn)換。此外，幾何體與側(cè)面展開圖、幾何體與用平面去截所得的截面等，都蘊含著三維圖形與二維圖形的相互轉(zhuǎn)換。

畫出物體的三視圖，就需要在頭腦加工的基礎(chǔ)上，把觀察到的經(jīng)過了想象、抽象后的再現(xiàn)出來的紀(jì)錄下來，使空間觀念從感知不斷發(fā)展上升為一種可以把握的能力。

2.想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系

方位與現(xiàn)實生活是密切聯(lián)系的，也是個體對空間把握能力的一個具體的體現(xiàn)，對方位的感知和圖形相互之間位置關(guān)系的把握，是表現(xiàn)空間觀念的一個重要的方面。

“想象物體的方位和相互之間的位置關(guān)系”，在不同的問題情境中有不同的想象的水平要求。在給出包含四個方向并注明中心點的方位結(jié)構(gòu)中判斷某一物體的相對于中心的方位，是最基本的層次；只給出一個方向（如北），判斷物體之間的位置關(guān)系，就需要學(xué)生更復(fù)雜一些的想象力了，同時推理也是必要的。

例如，下圖是一張動物園的示意圖，根據(jù)圖中所標(biāo)的位置回答下列問題：

[1] 全美數(shù)學(xué)教師理事會著．美國學(xué)校數(shù)學(xué)課程與評價標(biāo)準(zhǔn)[M]．北京：人民教育出版社,1994

[2] 「英」M．Atiyah著．?dāng)?shù)學(xué)的統(tǒng)一性[M]．南京:江蘇教育出版社，1995．12

（1）熊貓館在猴山的哪個方向上？（2）大象館在海洋館的哪個方向上？

進一步可以再改變觀測點，描述與其他物體的相對方位。

3.描述圖形的運動和變化

圖形的運動既有形式上的（平移、旋轉(zhuǎn)、翻折、放大、縮小等），也有運動的方向上的。對圖形的運動和變化的描述，更具有綜合性，它要求對相關(guān)知識和內(nèi)容的理解，同時需要觀察、想象并再現(xiàn)圖形的運動和變化過程，無論是語言表述還是圖形刻畫這個過程，也同樣是把空間觀念從感知推向一種可以把握的能力。

例如，描述從學(xué)校到家的路線示意圖，并注明方向及途中的主要參照物。學(xué)生需要回憶實際的路線，想象它經(jīng)過的各個環(huán)節(jié)的方向，學(xué)生也可以借助實物模擬路線，進一步畫出路線的簡單示意圖。這其中涉及到的方位實際上比單純描述物體的方位又復(fù)雜了一些，它是一種綜合的運用。

4.依據(jù)語言的描述畫出圖形

這里所要求的想象空間是很開放的，可以是具體的圖形，或具有某種大小或位置關(guān)系的一組圖形，等等。當(dāng)有人向你描述你看不到的情境時，你需要根據(jù)他人的描述構(gòu)建符合原形的直觀想象，闡述和傾聽都需要在邏輯上對圖形關(guān)系進行分析和操作，準(zhǔn)確地反映出描述的結(jié)果，體現(xiàn)了操作者對其中涉及的圖形的關(guān)系等的把握的能力，其核心也是空間觀念。

三、空間觀念的培養(yǎng)

空間觀念的培養(yǎng)，是一個長期的經(jīng)驗積累的過程，因此對教學(xué)的要求有別于具體的幾何知識，但它又是在幾何知識的學(xué)習(xí)中體現(xiàn)的。NCTM（全美數(shù)學(xué)教師理事會，1989）指出，發(fā)展學(xué)生的空間觀念，兒童必須具有許多經(jīng)驗。例如，幾何關(guān)系的要點，在空間中物體的方向、方位和透視觀點；相關(guān)的形狀和圖形與實物的大小，以及如何通過改變大小來改變形狀。這些經(jīng)驗要依靠兒童以下幾個方面的能力，如會運用象“上面”、“下面”和“后面”等一些詞語，畫出一個圖形旋轉(zhuǎn)900或1800以后的圖形，作圖、折疊，讓兒童想象、繪制和比較放在不同位置上的圖形，等等，這些活動將有助于發(fā)展他們的空間觀念。

事實上，在圖形與幾何課程的學(xué)習(xí)中，還是可以利用很多的素材和機會發(fā)展學(xué)生的空間觀念的，主要是我們?nèi)绾蝸碚J識和利用這些素材和機會。

1.促進空間觀念發(fā)展的課程內(nèi)容

《標(biāo)準(zhǔn)》中不僅將發(fā)展空間觀念作為核心概念和目標(biāo)，同時，在三個學(xué)段都重視了發(fā)展學(xué)生空間觀念的內(nèi)容的設(shè)置，這些在本書的內(nèi)容分析部分都有提及。

例如，第一、二學(xué)段的“圖形與運動”、“圖形與位置”中的大部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)，都是發(fā)展學(xué)生空間觀念的很好的素材；第一、二學(xué)段中的從不同方向觀察物體、運用基本圖形拼圖，以及基本幾何體的展開圖等，也都是旨在發(fā)展學(xué)生空間觀念的課程內(nèi)容。

在第三學(xué)段，“圖形的變化”中的各種圖形的運動，尤其是“圖形的投影”內(nèi)容的安排，其核心目標(biāo)也是發(fā)展學(xué)生的空間觀念。

事實上，空間觀念的培養(yǎng)在圖形的認識以及圖形的證明過程中，都會有所體現(xiàn)，因為對幾何圖形的認識、證明中對圖形特點的觀察等，也需要想象，也有根據(jù)他人的描述畫出圖形的過程，因此，很好的認識空間觀念的含義與意義，在圖形與幾何內(nèi)容學(xué)習(xí)中抓住典型內(nèi)容，利用一切可以利用的學(xué)習(xí)材料，就可以將空間觀念的培養(yǎng)貫穿在這個學(xué)習(xí)過程中。

2.促進空間觀念發(fā)展的教學(xué)策略

（1）現(xiàn)實情境和學(xué)生經(jīng)驗是發(fā)展空間觀念的基礎(chǔ) 空間觀念的形成基于對事物的觀察與想象，而現(xiàn)實世界中的物體及其關(guān)系是學(xué)生們觀察的最好材料，學(xué)生的已有經(jīng)驗也是觀察、想象、分析的基礎(chǔ)，因此教學(xué)中，結(jié)合學(xué)生們熟悉的現(xiàn)實問題情境，是發(fā)展學(xué)生空間觀念的有效策略。

例如，繪制學(xué)生自己房間或?qū)W校的平面圖；描述從家到學(xué)校的路線圖；描述觀察到的情境的畫面；描述游樂園中各種運動的現(xiàn)象等等，這些問題既是他們生活中熟悉的，又是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中需要重新審視和加工的。平時看到的東西，要進行回憶，在頭腦中想象、加工之后的再現(xiàn)，已經(jīng)是數(shù)學(xué)的抽象了，這其中即滲透了空間觀念發(fā)展的元素了。

無論是教材的開發(fā)者還是教師的教學(xué)設(shè)計，開發(fā)和利用現(xiàn)實世界中豐富的資源，城市的建筑與立交橋，鄉(xiāng)村的院落與山水，我們生活的廣闊空間和其中的大量實物，為我們提供了一個鮮活的大課堂，供我們觀察、想象與描述。

（2）利用多種途徑發(fā)展學(xué)生的空間觀念

從《標(biāo)準(zhǔn)》對空間觀念的描述和有關(guān)的課程內(nèi)容的分析中，我們能夠感覺到，發(fā)展學(xué)生的空間觀念應(yīng)該是有多種途徑的。生活經(jīng)驗的回憶與再現(xiàn)、實物觀察與描述、拼擺與畫圖、折紙與展開、分析與推理等，都是發(fā)展學(xué)生空間觀念的有效途徑。

教學(xué)中教師應(yīng)結(jié)合教學(xué)內(nèi)容恰當(dāng)?shù)匕才艑W(xué)習(xí)的活動，創(chuàng)造條件使學(xué)生有機會從事上述的活動來發(fā)展空間觀念。

例如，我們可以在小學(xué)高年級安排這樣的折紙活動：將一張正方形的紙對折后，再對折一次，然后用剪刀剪出一個小洞。再把紙完全展開。請畫出或從下面四個圖中選擇它的展開圖。

（3）在學(xué)生的思考、想象過程中發(fā)展空間觀念

空間觀念的培養(yǎng)不是一蹴而就的，它需要不斷的經(jīng)驗的積累、想象力的豐富，因此教學(xué)中要為學(xué)生提供足夠的時間和空間去觀察和想象、操作和分析。

這其中還有觀察與想象的相互關(guān)系問題。觀察與描述往往是空間觀念發(fā)展的基礎(chǔ)，而想象與再現(xiàn)則是更高一層次的空間觀念的表現(xiàn)。

如果在教學(xué)中，我們提出這樣的問題：如圖（1）所示，桌子上擺著三件物品，圖（2）是從上面看到的物品的圖片，其中的a、b、c、d和e五點表示從四周觀察三件物品的不同地點。請判斷下邊的一組圖分別是從a、b、c、d和e五點中的哪一點看到的。

對于學(xué)生來講，可能直接的觀察與想象是有些困難的，有的教師會模擬地創(chuàng)設(shè)這樣一個情景，讓學(xué)生直接去觀察具體物體的擺放場景，然后進行判斷。這樣做確實能夠降低純粹靠想象做出判斷的難度，但同時也失去了學(xué)生想象的機會。因此，教師不妨讓學(xué)生先想一想，嘗試著做出判斷，然后再實際的看一看，在實際看到的和想像的之間進行比較，這樣將由助于學(xué)生積累想象的經(jīng)驗，提高對物體之間關(guān)系進行把握的能力，發(fā)展學(xué)生空間觀念。

第四節(jié)

幾何直觀

一、對幾何直觀的認識

顧名思義，幾何直觀所指有兩點：一是幾何，在這里幾何是指圖形；一是直觀，這里的直觀不僅僅是指直接看到的東西（直接看到的是一個層次），更重要的是依托現(xiàn)在看到的東西、以前看到的東西進行思考、想象，綜合起來幾何直觀就是依托、利用圖形進行數(shù)學(xué)的思考、想象。它在本質(zhì)上是一種通過圖形所展開的想象能力。愛因斯坦（Einstein）曾說過一句名言：“想象力比知識更重要，因為知識是有限的，想象力概括著世界上的一切，推動著進步，并且它是進化的源泉。嚴(yán)格地說，想象力是科學(xué)研究中的實在因素?！保◥垡蛩固刮募谝痪?，許良英、范岱年譯，商務(wù)印書館，1976，284）

“數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系與空間形式的科學(xué)?！笨臻g形式最主要的表現(xiàn)就是“圖形”，除了美術(shù)，只有數(shù)學(xué)把圖形作為基本、主要研究對象。在數(shù)學(xué)研究、學(xué)習(xí)、講授中，不僅需要關(guān)注如何研究圖形的方法、研究圖形的結(jié)果，還需要感悟圖形給我們帶來的好處，幾何直觀就是在數(shù)學(xué)—幾何—圖形這樣一個關(guān)系鏈中讓我們體會到它所帶來的最大好處。這正如20世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家希爾伯特（Hilbert）在其名著《直觀幾何》一書中所談到的，圖形可以幫助我們發(fā)現(xiàn)、描述研究的問題；可以幫助我們尋求解決問題的思路；可以幫助我們理解和記憶得到的結(jié)果。幾何直觀在研究、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中的價值由此可見一般。

從另一個角度來說，幾何直觀是具體的，不是虛無的，它與數(shù)學(xué)的內(nèi)容緊密相聯(lián)。事實上，很多重要的數(shù)學(xué)內(nèi)容、概念，例如，數(shù)，度量，函數(shù)，以至于高中的解析幾何，向量，等等，都具有“雙重性”，既有“數(shù)的特征”，也有“形的特征”，只有從兩個方面認識它們，才能很好地理解它們，掌握它們的本質(zhì)意義。也只有這樣，才能讓這些內(nèi)容、概念變得形象、生動起來，變得更容易使學(xué)生接受并運用他們?nèi)ニ伎紗栴}，形成幾何直觀能力，這也就是經(jīng)常說的“數(shù)形結(jié)合”。這次課程改革中，強調(diào)幾何變換不僅是內(nèi)容上的變化，也是設(shè)計幾何課程指導(dǎo)思想上變化，這將是幾何課程發(fā)展的方向。讓圖形“動起來”，在“運動或變換”中研究、揭示、學(xué)習(xí)圖形的性質(zhì)，這樣，一方面加深了對圖形性質(zhì)的本質(zhì)認識，另一方面對幾何直觀能力也是一種提升。由此也可以看到，在義務(wù)教育階段培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀是很重要的。

幾何直觀與“邏輯”、“推理”也是不可分的。幾何直觀常常是靠邏輯支撐的。它不僅是看到了什么？而是通過看到的圖形思考到了什么？想象到了什么？這是數(shù)學(xué)非常重要而有價值的思維方式。幾何直觀會把看到的與以前學(xué)到的結(jié)合起來，通過思考、想象，猜想出一些可能的結(jié)論和論證思路，這也就是合情推理，它為嚴(yán)格證明結(jié)論奠定了基礎(chǔ)。

有些數(shù)學(xué)研究的對象是可以“看到的”，可以“觸摸的”，而很多數(shù)學(xué)研究對象是“看不見，摸不著”的，是抽象的，這是數(shù)學(xué)的一個基本特點。但是，數(shù)學(xué)中那些抽象的對象絕不是無根之木、無源之水，它的“根和源”一定是具體的。例如，我們看不到“七維空間”，但是，我們知道“顏色可以由七個基色組成：紅、澄、黃、綠、青、藍、紫”，由不同成分的七個基色組成一種顏色，這樣，“由七基色組成顏色”就是理解“七維空間”的“可以看到的源”，“紅、澄、黃、綠、青、藍、紫”七個數(shù)就可以決定一個顏色。當(dāng)然，在顏色中，不能取負值，顏色空間不是七維空間，它僅僅是幫助我們聯(lián)想的“實物”和基礎(chǔ)。在數(shù)學(xué)中，需要依托“一、二、三維空間”去想象和思考“高維空間”的問題，這就是幾何直觀或幾何直觀能力。

幾何直觀在研究、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中是非常重要的，它也可以看作最基本的能力，希望數(shù)學(xué)教師重視它，在日常教學(xué)中幫助學(xué)生不斷提升這種能力。

二、《標(biāo)準(zhǔn)》中的幾何直觀

在高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（試驗稿）中，也關(guān)注了幾何直觀：“三維空間是人類生存的現(xiàn)實空間，認識空間圖形，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的空間想像能力、推理論證能力、運用圖形語言進行交流的能力、以及幾何直觀能力，是高中階段數(shù)學(xué)必修系列課程的基本要求?！痹诹x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中，把幾何直觀作為數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)10個核心概念之一，這是一個進步?！稑?biāo)準(zhǔn)》明確指出“幾何直觀是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用?！?/p>

在數(shù)學(xué)課程中，幾何內(nèi)容是很重要的一部分。關(guān)于幾何課程的教育價值，最主要的應(yīng)該有兩個方面：一方面，幾何能培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力；另一個方面，它也能培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀能力。但目前，在部分教師中對此在認識上存在著一定的局限性，在幾何教學(xué)中他們僅僅重視培養(yǎng)邏輯推理能力，忽視了對學(xué)生幾何直觀能力的培養(yǎng)。我們應(yīng)全面地理解幾何教育價值，重視幾何直觀。

在教學(xué)和指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)時，認識和理解“幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用”這一點是非常重要的。它表明，我們不僅在幾何內(nèi)容教學(xué)中要重視幾何直觀，在整個數(shù)學(xué)教學(xué)中都應(yīng)該重視幾何直觀，培養(yǎng)幾何直觀能力應(yīng)該貫穿義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程的始終。

正如前面所指出的，圖形有助于發(fā)現(xiàn)、描述問題，有助于探索、發(fā)現(xiàn)解決問題的思路，也有助于我們理解和記憶得到的結(jié)果。總之，圖形可以幫助我們把困難的數(shù)學(xué)問題變?nèi)菀祝殉橄蟮臄?shù)學(xué)問題變簡單，對于數(shù)學(xué)研究是這樣，對于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)也是如此。學(xué)會用圖形思考、想象問題是研究數(shù)學(xué)，也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基本能力。這種幾何直觀能力能使我們更好地感知數(shù)學(xué)、領(lǐng)悟數(shù)學(xué)：數(shù)學(xué)邏輯和數(shù)學(xué)直觀對數(shù)學(xué)都是重要的，他們也是相互交織、關(guān)聯(lián)的，直觀中有邏輯，邏輯中有直觀。

在義務(wù)教育階段，許多重要的數(shù)學(xué)內(nèi)容、概念都具有“數(shù)”和“形”兩方面的本質(zhì)特征（如小學(xué)的分數(shù)概念、路程問題等），學(xué)會從兩個方面認識數(shù)學(xué)的這些對象是非常重要的，即數(shù)形結(jié)合是認識數(shù)學(xué)的基本角度，與其說是方法，不如說這是基本要求。從這一點看，不注重數(shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)上就沒有學(xué)明白。

三、幾何直觀的培養(yǎng)

1.在教學(xué)中使學(xué)生逐步養(yǎng)成畫圖習(xí)慣

在日常教學(xué)中，在指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中，幫助學(xué)生養(yǎng)成畫圖的習(xí)慣是非常重要的?？梢酝ㄟ^多種途徑和方式使學(xué)生真正體會到畫圖對理解概念、尋求解題思路上帶來的便利。在教學(xué)中應(yīng)有這樣的導(dǎo)向：能畫圖時盡量畫，其實質(zhì)是將相對抽象的思考對象“圖形化”，盡量把問題、計算、證明等數(shù)學(xué)的過程變得直觀，直觀了就容易展開形象思維，無論計算還是證明，邏輯的、形式的結(jié)論都是在形象思維的基礎(chǔ)上產(chǎn)生的。

2.重視變換——讓圖形動起來

幾何變換或圖形的運動是幾何、也是整個數(shù)學(xué)中很重要的內(nèi)容，它既是學(xué)習(xí)的對象，也是認識數(shù)學(xué)的思想和方法。在數(shù)學(xué)中，我們接觸的最基本的圖形都是“對稱”圖形，例如，球、圓錐、圓臺、正多面體、圓、正多邊形、長方體、長方形、菱形、平行四邊形等，都是“不同程度對稱圖形”；另一方面，在認識、學(xué)習(xí)、研究“不對稱圖形”時，又往往是運用這些“對稱圖形”為工具的。變換又可以看作運動，讓圖形動起來是指再認識這些圖形時，在頭腦中讓圖形動起來，例如，平行四邊形是一個中心對稱圖形，可以把它看作一個剛體，通過圍繞中心（兩條對角線的交點）旋轉(zhuǎn)180度，去認識、理解、記憶平行四邊形的其他性質(zhì)。充分地利用變換去認識、理解幾何圖形是建立幾何直觀的好辦法。

3.學(xué)會從“數(shù)”與“形”兩個角度認識數(shù)學(xué)

在前面的論述中，多次反復(fù)強調(diào)了這一點，數(shù)形結(jié)合首先是對知識、技能的貫通式認識和理解。以后逐漸發(fā)展成一種對數(shù)與形之間的化歸與轉(zhuǎn)化的意識，這種對數(shù)學(xué)的認識和運用的能力，應(yīng)該是形成正確的數(shù)學(xué)態(tài)度所必需要求的。

4.掌握、運用一些基本圖形解決問題

把讓學(xué)生掌握一些重要的圖形作為教學(xué)任務(wù)，貫穿在義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)教學(xué)、學(xué)習(xí)的始終。例如，除了上面指出的圖形，還有數(shù)軸，方格紙，直角坐標(biāo)系等等。在教學(xué)中要有意識地強化對基本圖形的運用，不斷地運用這些基本圖形去發(fā)現(xiàn)、描述問題，理解、記憶結(jié)果，這應(yīng)該成為教學(xué)中關(guān)注的目標(biāo)。

第五節(jié) 數(shù)據(jù)分析觀念

一、數(shù)據(jù)分析觀念的意義及含義

也許有人可能會提出這樣的問題，統(tǒng)計不就是計算平均數(shù)、畫統(tǒng)計圖嗎？這些事情計算器、計算機就能做得很好，還有必要花那么多精力學(xué)習(xí)嗎？確實，在信息技術(shù)如此發(fā)達的今天，計算平均數(shù)、畫統(tǒng)計圖等內(nèi)容不應(yīng)再占據(jù)學(xué)生過多的時間，事實上它們也遠非統(tǒng)計的核心。在義務(wù)教育階段，學(xué)生學(xué)習(xí)統(tǒng)計與概率的核心目標(biāo)是發(fā)展“數(shù)據(jù)分析觀念”。一提到“觀念”，顯然它就絕非等同于計算、作圖等簡單技能，而是一種需要在親身經(jīng)歷的過程中培養(yǎng)出來的對一組數(shù)據(jù)的“領(lǐng)悟”，由一組數(shù)據(jù)所想到的、所推測到的；以及在此基礎(chǔ)上，對于統(tǒng)計與概率獨特的思維方法和應(yīng)用價值的認識。

在《標(biāo)準(zhǔn)》中，將數(shù)據(jù)分析觀念解釋為：“了解在現(xiàn)實生活中有許多問題應(yīng)當(dāng)先做調(diào)查研究，收集數(shù)據(jù)，通過分析做出判斷，體會數(shù)據(jù)中蘊涵著信息；了解對于同樣的數(shù)據(jù)可以有多種分析的方法，需要根據(jù)問題的背景選擇合適的方法；通過數(shù)據(jù)分析體驗隨機性，一方面對于同樣的事情每次收集到的數(shù)據(jù)可能不同，另一方面只要有足夠的數(shù)據(jù)就可能從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。數(shù)據(jù)分析是統(tǒng)計的核心?！?/p>

在這段表述中，點明了兩層意思。第一，點明了統(tǒng)計的核心是數(shù)據(jù)分析?！皵?shù)據(jù)是信息的載體，這個載體包括數(shù)，也包括言語、信號、圖像，凡是能夠承載事物信息的東西都構(gòu)成數(shù)據(jù)，而統(tǒng)計學(xué)就是通過這些載體來提取信息進行分析的科學(xué)和藝術(shù)”[1]。第二，點明了數(shù)據(jù)分析觀念的三個重要方面的要求：體會數(shù)據(jù)中蘊涵著信息；根據(jù)問題的背景選擇合適的方法；通過數(shù)據(jù)分析體驗隨機性。這三個方面也正體現(xiàn)了統(tǒng)計與概率獨特的思維方法。

二、對數(shù)據(jù)分析觀念要求的分析

我們來對數(shù)據(jù)分析觀念上述三個方面的要求做一簡要分析： 1.體會數(shù)據(jù)中蘊涵著信息

統(tǒng)計學(xué)是建立在數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上的，本質(zhì)上是通過數(shù)據(jù)進行推斷。義務(wù)教育的重要目標(biāo)是培養(yǎng)適應(yīng)現(xiàn)代生活的合格公民。而在以信息和技術(shù)為基礎(chǔ)的現(xiàn)代社會里，充滿著大量的數(shù)據(jù)，需要人們面對它們做出合理的決策。因此，數(shù)據(jù)分析觀念的首要方面是“了解在現(xiàn)實生活中有許多問題應(yīng)當(dāng)先做調(diào)查研究，收集數(shù)據(jù)，通過分析做出判斷，體會數(shù)據(jù)中蘊涵著信息”。不妨看《標(biāo)準(zhǔn)》中的一個例子。

[案例1]（《標(biāo)準(zhǔn)》例19）

新年聯(lián)歡會準(zhǔn)備買水果，調(diào)查班級同學(xué)最喜歡吃的水果，設(shè)計購買方案。[說明] 借助學(xué)生身邊的例子，體會數(shù)據(jù)調(diào)查、數(shù)據(jù)分析對于決策的作用。此例可以舉一反三。教學(xué)中可作如下設(shè)計：

（1）全班同學(xué)討論決定購買方案的原則，可以在限定的金額內(nèi)考慮學(xué)生最喜歡吃的一種或幾種水果，或者其他的原則。

（2）鼓勵學(xué)生討論收集數(shù)據(jù)的方法。例如，可以采用一個同學(xué)提案、贊同舉手的方法；可以采取填寫調(diào)查表的方法；可以全部提案后，同學(xué)輪流在自己同意的盒里放積木的方法等等。必須事先約定，每位同學(xué)最多可以同意幾項。

（3）收集并表示數(shù)據(jù)，參照事先的約定決定購買水果的方案。

要根據(jù)學(xué)生討論的實際情況進行靈活處理，購買方案沒有對錯之分，但要符合最初制定的原則。

在這個例子中不難看出，首先需要設(shè)計合適的例子，鼓勵學(xué)生收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)，從而做出決策和推斷。并在此基礎(chǔ)上，體會數(shù)據(jù)中蘊涵著信息，體會數(shù)據(jù)分析的價值。

2.根據(jù)問題的背景選擇合適的方法

“統(tǒng)計學(xué)是通過數(shù)據(jù)來推斷數(shù)據(jù)產(chǎn)生的背景，即便是同樣的數(shù)據(jù)，也允許人們根據(jù)自己的理解提出不同的推斷方法，給出不同的推斷結(jié)果。?因此，統(tǒng)計學(xué)對結(jié)果的判斷標(biāo)準(zhǔn)是“好壞”，從這個意義上說，統(tǒng)計學(xué)不僅是一門科學(xué)，也是一門藝術(shù)”[2]。為了使學(xué)生對此有所體會，《標(biāo)準(zhǔn)》提出了數(shù)據(jù)分析觀念第二方面的內(nèi)涵——“了解對于同樣的數(shù)據(jù)可以有多種分析的方法，需要根據(jù)問題的背景選擇合適的方法”。這里不妨看一下《標(biāo)準(zhǔn)》中對于案例38的說明：“條形統(tǒng)計圖有利于直觀了解不同高度段的學(xué)生數(shù)及其差異；扇形統(tǒng)計圖有利于直觀了解不同高度段的學(xué)生占全班學(xué)生的比例及其差異；折線統(tǒng)計圖有利于直觀了解幾年來學(xué)生身高變化的情況，預(yù)測未來身高變化趨勢”，因此需要我們根據(jù)問題的背景選擇合適的統(tǒng)計圖。總之，“統(tǒng)計學(xué)對結(jié)果的判斷標(biāo)準(zhǔn)是‘好壞’” [3]，而不是“對錯”。

3.通過數(shù)據(jù)分析體驗隨機性

我們知道，推斷性數(shù)據(jù)分析的目的是要通過數(shù)據(jù)來推測產(chǎn)生這些數(shù)據(jù)的背景，稱這個背景為總體。我們假定總體是未知的，我們的目的是通過樣本來推斷總體。而在調(diào)查或者實驗之前，我們不可能知道數(shù)據(jù)的具體取值。也就是說，數(shù)據(jù)可以取不同的值，并且取不同值的概率可以是不一樣的，這就是數(shù)據(jù)隨機性的由來。

在《標(biāo)準(zhǔn)》中將“通過數(shù)據(jù)分析體驗隨機性”作為了數(shù)據(jù)分析觀念內(nèi)涵的第三方面。數(shù)據(jù)的隨機主要有兩層涵義：一方面對于同樣的事情每次收集到的數(shù)據(jù)可能會是不同的；另一方面只要有足夠的數(shù)據(jù)就可能從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。舉一個《標(biāo)準(zhǔn)》中的例子（例40）：袋中裝有若干個紅球和白球，一方面，每次摸出的球的顏色可能是不一樣的，事先無法確定；另一方面，有放回重復(fù)摸多次（摸完后將球放回袋中，搖晃均勻后再摸），從摸到的球的顏色的數(shù)據(jù)中就能發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律，比如紅球多還是白球多、紅球和白球的比例等。再舉一個案例（例22），學(xué)生記錄自己在一個星期內(nèi)每天上學(xué)途中所需要的時間，如果把記錄時間精確到分，可能學(xué)生每天上學(xué)途中需要的時間是不一樣的，這可以讓學(xué)生感悟數(shù)據(jù)的隨機性；更進一步，還可讓學(xué)生感悟雖然數(shù)據(jù)是隨機的，但數(shù)據(jù)較多時具有某種穩(wěn)定性，可以從中得到很多信息，比如，通過一個星期的調(diào)查可以知道“大概”需要多少時間。

在本小節(jié)，我們主要分析了數(shù)據(jù)分析觀念的內(nèi)涵，關(guān)于數(shù)據(jù)分析觀念的培養(yǎng)，我們在后面的章節(jié)中會有較多論述，這里不再贅述。

第六節(jié)

運算能力

運算是數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，在義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程的各個學(xué)段中，運算都占有很大的比重。學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，要花費較多的時間和精力，學(xué)習(xí)和掌握關(guān)于各種運算的知識及技能。《標(biāo)準(zhǔn)》在學(xué)段目標(biāo)的“知識技能”部分，對各學(xué)段運算分別提出了明確的要求：

第一學(xué)段：經(jīng)歷從日常生活中抽象出數(shù)的過程，理解萬以內(nèi)數(shù)的意義，初步認識分數(shù)和小數(shù)；理解常見的量；體會四則運算的意義，掌握必要的運算技能，能準(zhǔn)確進行運算；在具體情境中，能選擇適當(dāng)?shù)膯挝贿M行簡單的估算。

第二學(xué)段：體驗從具體情境中抽象出數(shù)的過程，認識萬以上的數(shù)；理解分數(shù)、小數(shù)、百分數(shù)的意義，了解負數(shù)；掌握必要的運算技能；理解估算的意義；能用方程表示簡單的數(shù)量關(guān)系，能解簡單的方程。

第三學(xué)段：體驗從具體情境中抽象出數(shù)學(xué)符號的過程，理解有理數(shù)、實數(shù)、代數(shù)式、方程、不等式、函數(shù)；掌握必要的運算（包括估算）技能；探索具體問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，掌握用代數(shù)式、方程、不等式、函數(shù)進行表述的方法。

運算不僅是數(shù)學(xué)課程中“數(shù)與代數(shù)”的重要內(nèi)容，“圖形與幾何”，“統(tǒng)計與概率”，“綜合與實踐”也都與運算有著密切的聯(lián)系，成為不可或缺的內(nèi)容。

《標(biāo)準(zhǔn)》所提出的課程目標(biāo)中的很多方面，如：獲得“四基”（基本知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗）；運用數(shù)學(xué)的思維方式進行思考，增強發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力等，都與運算的學(xué)習(xí)有關(guān)，運算對實現(xiàn)課程目標(biāo)發(fā)揮著重要的支撐作用。

一、對運算能力的認識

根據(jù)一定的數(shù)學(xué)概念、法則和定理，由一些已知量通過計算得出確定結(jié)果的過程，稱為運算。能夠按照一定的程序與步驟進行運算，稱為運算技能。不僅會根據(jù)法則、公式等正確地進行運算，而且理解運算的算理，能夠根據(jù)題目條件尋求正確的運算途徑，稱為運算能力。

《標(biāo)準(zhǔn)》指出：運算能力主要是指能夠根據(jù)法則和運算律正確地進行運算的能力。培養(yǎng)運算能力有助于學(xué)生理解運算的算理，尋求合理簡潔的運算途徑解決問題。運算能力并非一種單一的、孤立的數(shù)學(xué)能力，而是運算技能與邏輯思維等的有機整合。在實施運算分析和解決問題的過程中，要力求做到善于分析運算條件，探究運算方向，選擇運算方法，設(shè)計運算程序，使運算符合算理，合理簡捷。換言之，運算能力不僅是一種數(shù)學(xué)的操作能力，更是一種數(shù)學(xué)的思維能力。

《標(biāo)準(zhǔn)》是在總目標(biāo)的四個方面之一的“數(shù)學(xué)思考”中提出運算能力的：“建立數(shù)感、符號意識和空間觀念，初步形成幾何直觀和運算能力，發(fā)展形象思維和抽象思維?！边@說明運算能力是數(shù)學(xué)思考的重要內(nèi)涵。不僅如此，運算能力對《標(biāo)準(zhǔn)》在總目標(biāo)中提出的其他三個方面——知識技能、問題解決和情感態(tài)度的目標(biāo)的整體實現(xiàn)，同樣是不可缺少的基本條件。

二、運算能力的特征

運算能力是在不斷地運用數(shù)學(xué)概念、法則、公式，經(jīng)過一定數(shù)量的練習(xí)而逐步形成的。要使學(xué)生通過各種運算和對代數(shù)式、方程、不等式的變形以及重要公式的推導(dǎo)，通過用概念、法則、性質(zhì)進行簡單的推理，發(fā)展邏輯思維能力。

運算的正確、靈活、合理和簡捷是運算能力的主要特征。

首先要保證運算的正確，為此，必須要正確理解相關(guān)的概念、法則、公式和定理等數(shù)學(xué)知識，明確意識到實施運算的依據(jù)。如前所述，在每一學(xué)段，《標(biāo)準(zhǔn)》對運算提出的要求，都是和相關(guān)的數(shù)學(xué)知識一并提出的。

然后，在適度訓(xùn)練，逐步熟悉的基礎(chǔ)上，清楚地意識實施運算中的算理。不斷總結(jié)正反兩方面的經(jīng)驗和教訓(xùn)，逐漸減少在實施運算中，思考概念、法則公式等的時間和精力，提高運算的熟練程度，以求運算的順暢，力求避免失誤。

一題多解和多題一解出現(xiàn)在運算過程中是十分普遍的，即一般性與特殊性往往同時出現(xiàn)在實施運算的過程中，一題多解體現(xiàn)了運算的靈活性，多題一解則體現(xiàn)了運算的普適性。一題多解和多題一解的交替出現(xiàn)，相互比較，循環(huán)往復(fù)，不斷優(yōu)化，促使學(xué)生越來越感悟到：實施運算，解決問題，不僅要正確，而且要靈活、合理和簡潔。

要充分重視估算?！稑?biāo)準(zhǔn)》在每個學(xué)段的學(xué)段目標(biāo)和內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)中，都強調(diào)了估算，提出了具體的要求，配備了一定數(shù)量的案例。

第一學(xué)段：在具體情境中，能選擇適當(dāng)?shù)膯挝贿M行簡單的估算。在生活情境中感受大數(shù)的意義，并能進行估計（案例3）；能結(jié)合具體情境，選擇適當(dāng)?shù)膯挝贿M行簡單估算，體會估算在生活中的作用（案例6）。第二學(xué)段：理解估算的意義。結(jié)合現(xiàn)實情境感受大數(shù)的意義，并能進行估計（案例23）；在解決問題的過程中，能選擇合適的方法進行估算（案例26，案例27）；會用方格紙估計不規(guī)則圖形的面積（案例33）。第三學(xué)段：掌握必要的運算（包括估算）技能；能用有理數(shù)估計一個無理數(shù)的大致范圍（案例47）；經(jīng)歷估計方程解的過程（案例52）；會利用二次函數(shù)的圖像求一元二次方程的近似解。

估算是重要的運算技能，進行估算需要掌握一定的方法，需要積累一定的經(jīng)驗，需要避免出現(xiàn)過大的誤差；估算又是運算能力的特征之一，進行估算需要經(jīng)過符合邏輯的思考，需要有一定的依據(jù)，需要使估算的結(jié)果盡量接近實際情境，能對實際問題做出合理的解釋。

運算能力的形成不是一蹴而就的，運算能力的發(fā)展總是從簡單到復(fù)雜，從低級到高級，從具體到抽象，有層次地發(fā)展起來的。因此，在實際教學(xué)過程中，既不能讓學(xué)生的運算能力在已有的水平上停滯不前，也不能超越知識的內(nèi)容和其他能力水平孤立地發(fā)展運算能力。應(yīng)該貫穿于師生共同參與數(shù)學(xué)教學(xué)活動的全過程中，并體現(xiàn)發(fā)展的適度性、層次性和階段性。

適度性：運算能力需要經(jīng)過多次反復(fù)訓(xùn)練，螺旋上升逐步形成，在這一過程中，安排一定數(shù)量的練習(xí)，完成一定數(shù)量的習(xí)題是必不可少的。題量過少，訓(xùn)練不足，難以形成技能，更難以形成能力；然而題量過多，搞成題海戰(zhàn)術(shù)，反而會使學(xué)生產(chǎn)生厭學(xué)情緒，適得其反。目前，學(xué)生的課業(yè)負擔(dān)過重，數(shù)學(xué)課程的作業(yè)量過大是重要原因之一。把握學(xué)習(xí)內(nèi)容的要求，進行適量訓(xùn)練，科學(xué)安排，應(yīng)是發(fā)展運算能力的要求。

層次性：安排一定數(shù)量的練習(xí)，完成一定數(shù)量的習(xí)題對形成運算能力不可缺少，但訓(xùn)練的難度一定要適當(dāng)，要從數(shù)學(xué)教學(xué)的全局出發(fā)，合理調(diào)控。義務(wù)教育的主要任務(wù)是打基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)尤其如此，訓(xùn)練題要有一定的數(shù)量，更要有合理的質(zhì)量。以二次根式為例，如果沒有最簡二次根式的概念，沒有分母有理化的要求，就會使教學(xué)無所適從，既造成教學(xué)的困惑，又影響高中階段的進一步學(xué)習(xí)。

[1] 史寧中.數(shù)學(xué)思想概論——數(shù)量與數(shù)量關(guān)系的抽象[M].東北師范大學(xué)出版社.2008（6）.第147頁

[2] 史寧中.數(shù)學(xué)思想概論——數(shù)量與數(shù)量關(guān)系的抽象[M].東北師范大學(xué)出版社.2008（6）.第143頁

[3] 史寧中.數(shù)學(xué)思想概論——數(shù)量與數(shù)量關(guān)系的抽象[M].東北師范大學(xué)出版社.2008（6）.第143頁

安排為訓(xùn)練題，那就過于繁瑣，過分強調(diào)技巧，增加了負擔(dān)，對今后學(xué)習(xí)的作用也不大，應(yīng)當(dāng)避免。由此可見，層次性也是發(fā)展運算能力的要求。

階段性：由前可知，《標(biāo)準(zhǔn)》對運算和運算能力的要求是分學(xué)段提出的，每個學(xué)段的要求都體現(xiàn)了一定的學(xué)段特征，力求符合學(xué)生的認知規(guī)律，這是完全必要的，適宜的。這也表明，階段性也應(yīng)是發(fā)展運算能力的要求。

三、運算能力的培養(yǎng)與發(fā)展

運算能力的培養(yǎng)與發(fā)展是一個長期的過程，首先伴隨著數(shù)學(xué)知識的積累和深化。正確理解相關(guān)的數(shù)學(xué)概念，是逐步形成運算技能，發(fā)展運算能力的前提。運算能力的培養(yǎng)與發(fā)展自然包括運算技能的逐步提高，而更應(yīng)引起關(guān)注的是運算思維素質(zhì)的提升和發(fā)展。在義務(wù)教育階段，運算能力的培養(yǎng)、發(fā)展要經(jīng)歷如下過程：

1.由具體到抽象

第一學(xué)段理解萬以內(nèi)的數(shù)，初步認識小數(shù)和分數(shù)，初步學(xué)習(xí)整數(shù)的四則運算，以及簡單的分數(shù)和小數(shù)的加減運算。第二學(xué)段認識萬以上的數(shù)，進一步學(xué)習(xí)整數(shù)的四則運算（包括混合運算），小數(shù)和分數(shù)的四則運算（包括混合運算），了解并初步應(yīng)用運算律。第三學(xué)段掌握有理數(shù)的加、減、乘、除、乘方及簡單的混合運算；掌握合并同類項和去括號的法則，進行簡單的整式減法、減法和乘法運算；利用乘法公式進行簡單計算；進行簡單的分式加、減、乘、除運算；了解二次根式（根號下僅限于數(shù)）加、減、乘、除運算法則，會用它們進行有關(guān)的簡單四則運算；解一元一次方程、可化為一元一次方程的分式方程；掌握代入消元法和加減消元法，解二元一次方程組；用配方法、公式法、因式分解法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程；解數(shù)字系數(shù)的一元一次不等式。

無論是學(xué)習(xí)和掌握數(shù)與式的運算，解方程和解不等式的運算，一開始總是和具體事物相聯(lián)系的，以后逐步脫離具體事物，抽象成數(shù)與式，方程與不等式的運算。直至到高中階段進行更為抽象的符號運算，如集合的交、并、補等運算，命題的或、且、非等運算。運算思維的抽象程度，是運算能力發(fā)展的主要特征之一。2.由法則到算理

學(xué)習(xí)和掌握數(shù)與式的運算，解方程和解不等式的運算，在反復(fù)操練，相互交流的過程中，不僅會逐步形成運算技能，還會引發(fā)對怎么算？怎樣算的好？為什么要這樣算？等一系列問題的思考，這是由法則到算理的思考，使運算從操作的層面提升到思維的層面，這是運算能力發(fā)展的重要內(nèi)容。

《標(biāo)準(zhǔn)》規(guī)定了一系列與算理相關(guān)的內(nèi)容。

第二學(xué)段：探索并了解運算律（加法的交換律和結(jié)合律、乘法的交換律和結(jié)合律、乘法對加法的分配律），會應(yīng)用運算律進行一些簡便運算。了解等式的性質(zhì)，能用等式的性質(zhì)解簡單的方程。

第三學(xué)段：除了“理解有理數(shù)的運算律，能運用運算律簡化運算”外，算理的內(nèi)容和要求進一步強化，在學(xué)習(xí)方程解法之前，要求“掌握等式的基本性質(zhì)”；在學(xué)習(xí)不等式解法之前，要求“探索不等式的基本性質(zhì)”；為此，《標(biāo)準(zhǔn)》提供了案例53：小麗去文具店買鉛筆和橡皮。鉛筆每支0.5元，橡皮每塊0.4元。小麗帶了2元錢，能買幾支鉛筆、幾塊橡皮？在此案例中，不僅給出了詳細的解題方案和過程，并指出：這是一個求整數(shù)解的不等式問題，并且問題是開放的，通過列表具體計算，有助于學(xué)生直觀理解不等式。對于初中的學(xué)生，這個問題是生活常識，但希望學(xué)生能通過這個例子學(xué)會用數(shù)學(xué)的思維方式看待生活中的問題。在一元二次方程的內(nèi)容中，《標(biāo)準(zhǔn)》不僅設(shè)置了“能用配方法、公式法、因式分解法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程”，而且增加了“會用一元二次方程根的判別式判別方程是否有實根和兩個實根是否相等”；“*了解一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系”等內(nèi)容，表明不僅要學(xué)習(xí)和掌握解一元二次方程的運算方法，更要思考和領(lǐng)悟解一元二次方程的算理。

3.由常量到變量

函數(shù)在第三學(xué)段是重要的內(nèi)容。函數(shù)概念的引入，運算對象從常量提升到變量。運算的內(nèi)容更加豐富多彩，《標(biāo)準(zhǔn)》中不僅有“能確定簡單實際問題中函數(shù)自變量的取值范圍，并會求出函數(shù)值”；“會利用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的表達式”；“會用配方法將數(shù)字系數(shù)的二次函數(shù)的表達式化為 的形式，并能由此得到二次函數(shù)圖像的頂點坐標(biāo)”等直接進行運算的內(nèi)容；還包括與運算密切相關(guān)的內(nèi)容，如：“能結(jié)合圖像對簡單實際問題中的函數(shù)關(guān)系進行分析”；“用適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)表示法刻畫簡單實際問題中變量之間的關(guān)系”；“結(jié)合對函數(shù)關(guān)系的分析，能對變量的變化情況進行初步討論”；“根據(jù)一次函數(shù)的圖像和表達式 y = kx + b(k≠0)探索并理解k＞0和k＜0時，圖像的變化情況”；“能根據(jù)已知條件確定反比例函數(shù)的表達式”；“根據(jù)圖像和表達式 y =(k≠0)探索并理解k＞0和k＜0時，圖像的變化情況”；“*知道給定不共線三點的坐標(biāo)可以確定一個二次函數(shù)”。

由常量到變量，表明運算思維產(chǎn)生了新的飛躍，運算能力也發(fā)展到一個新的高度。

4.由單向思維到逆向、多向思維

逆向思維是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個特點。在第二學(xué)段，《標(biāo)準(zhǔn)》規(guī)定“在具體運算和解決簡單實際問題的過程中，體會加與減、乘與除的互逆關(guān)系”。在第三學(xué)段，又增加了乘方與開放的互逆關(guān)系。到高中階段，更有指數(shù)與對數(shù)，微分與積分等互逆關(guān)系。運算的互逆關(guān)系，是逆向思維的重要表現(xiàn)形式之一。

運算也是一種推理，在實施運算分析和解決問題的過程中，“由因?qū)Ч焙汀皥?zhí)果索因”的推理模式也是經(jīng)常要用到的，表現(xiàn)為有效探索運算的條件與結(jié)論，已知與未知的相互聯(lián)系及相互轉(zhuǎn)化，思維方向是互逆的，更是相輔相成的。

在實施運算的過程中，還會遇到多因素的情況，各個因素相互聯(lián)系，相互制約，又相輔相成，更加需要思考不同的思維方向，不同的解題思路和不同的解題方法，通過比較，加以擇優(yōu)選用。這是運算思維達到一個新的高度的重要標(biāo)志，是運算能力的培養(yǎng)與發(fā)展的高級階段。

由于思維定勢的消極作用，逆向思維和多向思維的難度較大，在實施運算的過程中，對分析運算條件，探究運算方向，選擇運算方法，設(shè)計運算程序等各個環(huán)節(jié)都要學(xué)生引導(dǎo)進行周密的思考，力求使運算符合算理，達到正確熟練，靈活多樣，合理簡潔，實現(xiàn)運算思維的優(yōu)化及運算能力的逐步提高。

第七節(jié) 推理能力

推理在數(shù)學(xué)中具有重要的地位。誠如《標(biāo)準(zhǔn)》所指出的：“推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式”。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是要學(xué)習(xí)推理。具有一定的推理能力是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要內(nèi)容，也是數(shù)學(xué)課程和課堂教學(xué)的重要目標(biāo)。

一、對數(shù)學(xué)推理的認識

數(shù)學(xué)推理直接與命題有關(guān)。在數(shù)學(xué)中，我們隨時會對思維對象作出一種斷定。如：“ 是無理數(shù)”，“ 不是等腰三角形”。我們把這種對客觀事物的情況有所肯定或否定的思維形式叫作判斷。判斷作為一種思維形式，與表示它的語句有密切關(guān)系。在數(shù)學(xué)中把表示判斷的語句稱為命題。而數(shù)學(xué)推理則是以一個或幾個數(shù)學(xué)命題推出另一個未知命題的思維形式。

上述對數(shù)學(xué)推理的解釋更多是基于形式邏輯的角度，如果從數(shù)學(xué)內(nèi)部看，數(shù)學(xué)推理反映的是一種基本的數(shù)學(xué)思想，也是一種主要的數(shù)學(xué)方法。它與數(shù)學(xué)證明緊密關(guān)聯(lián)，數(shù)學(xué)推理與證明共同構(gòu)成了數(shù)學(xué)的最重要的基礎(chǔ)。

二、《標(biāo)準(zhǔn)》中的推理能力 1.合情推理與演繹推理

推理能力在數(shù)學(xué)中是屬于數(shù)學(xué)思考（思維）能力中的一種，因此《標(biāo)準(zhǔn)》在數(shù)學(xué)思考的目標(biāo)表述中作了明確的要求，指出：要“發(fā)展合情推理和演繹推理能力”。合情推理是數(shù)學(xué)家喬治·波利亞對歸納推理、類比推理等或然性推理（即推理的結(jié)論不一定成立的推理）的特稱。歸納推理是以個別（或特殊）的知識為前提，推出一般性知識為結(jié)論的推理。它的思維進程是從特殊到一般。按照它考慮的對象是否完全而又分為完全歸納推理和不完全歸納推理。由于完全歸納推理考查了推理前提中所有的對象或類，所以若前提成立，結(jié)論也一定成立，因此完全歸納推理不是或然的推理而是必然的推理。合情推理中的歸納推理一般指不完全歸納推理。

類比推理是由兩個或兩類思考對象在某些屬性上的相同或相似，推出它所在另一屬性也相同或相似的一種推理。它是從特殊到特殊的推理。如由分數(shù)類比分式，由分數(shù)基本性質(zhì)得到分式基本性質(zhì)；由二維空間的三角形類比三維空間的四面體，由二維空間的勾股定理得到三維空間的畢達哥拉斯定理等。類比推理也是一種或然性的推理。而演繹推理是從已有的事實（包括定義、公理、定理等）確定的規(guī)則出發(fā)，得到某個具體結(jié)論的推理，它是必然性推理（即只要推理前提真，得到的結(jié)論一定真）。它的思維進程是從一般到特殊。他的基本形式是三段論。2.合情推理與演繹推理功能不同，相輔相成

波利亞很早就注意到“數(shù)學(xué)有兩個側(cè)面，??用歐幾里得方式提出來的數(shù)學(xué)是一門系統(tǒng)的演繹科學(xué)；但在創(chuàng)造過程中的數(shù)學(xué)卻是實驗性的歸納科學(xué)?！保úɡ麃啞稊?shù)學(xué)與猜想》），因此，與之相適應(yīng)，應(yīng)該有兩類推理：用合情推理獲得猜想，發(fā)現(xiàn)結(jié)論；用演繹推理驗證猜想，證明結(jié)論。正如《標(biāo)準(zhǔn)》指出：“兩種推理功能不同，相輔相成?！?/p>

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中，我們會經(jīng)常遇到同時采用兩種推理方式來求得問題解決的情形如這樣一個例：

探索過圓外一點所畫的圓的兩條切線的長有什么關(guān)系？ 教學(xué)中可引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷這樣的的過程：

（2）證明結(jié)論的正確性。如圖2，連接 和。因為 和 是⊙ 的切線，則，即 和 均為直角三角形。又因為

和

，則 與 全等。于是有。

這是通過演繹推理證明圖形性質(zhì)的過程。

由此可見，合情推理與演繹推理是相輔相成的兩種推理形式，都是研究圖形性質(zhì)的有效工具。

在傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)中，往往重演繹，輕歸納、類比，只滿足于證明現(xiàn)成結(jié)論，學(xué)生很少經(jīng)歷探索結(jié)論、提出猜想的活動過程。而在數(shù)學(xué)中發(fā)現(xiàn)結(jié)論往往比證明結(jié)論更重要。《標(biāo)準(zhǔn)》提出培養(yǎng)合情推理能力，對培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識提供了支撐。

三、關(guān)于學(xué)生推理能力培養(yǎng)

在整個義務(wù)教育階段，對學(xué)生推理能力的培養(yǎng)是內(nèi)容學(xué)習(xí)和目標(biāo)達成的一條主線，也是一個逐漸提升的長期過程。如下幾個方面在教學(xué)中應(yīng)該加以注意。1.推理能力的發(fā)展應(yīng)貫穿在整個數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中

這是《標(biāo)準(zhǔn)》中提出的非常明確的要求。這里的“貫穿整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程”應(yīng)該有這樣幾層含義：其一，它應(yīng)貫穿于整個數(shù)學(xué)課程的各個學(xué)習(xí)內(nèi)容，即應(yīng)包括數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率及綜合實踐等所有領(lǐng)域內(nèi)容。其二，它應(yīng)貫穿于數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的各種活動過程。如在概念教學(xué)中，讓學(xué)生經(jīng)歷從特定對象的本質(zhì)屬性入手，抽象、概括形成概念的過程，并引導(dǎo)學(xué)生有條理表述概念定義；在命題教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生分清條件、結(jié)論，把握條件、結(jié)論間的邏輯關(guān)系；在證明教學(xué)中，更要讓學(xué)生遵循證明規(guī)則，通過數(shù)學(xué)推理、證明數(shù)學(xué)結(jié)論。其三，它也應(yīng)貫穿于整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的環(huán)節(jié)，如預(yù)習(xí)、復(fù)習(xí)、課堂教學(xué)、自我練習(xí)、測驗考試??，在所有的這些學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)，逐步要求學(xué)生做到言必有據(jù)，合乎邏輯。當(dāng)然，“貫穿整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程”也應(yīng)包括推理能力的培養(yǎng)應(yīng)貫穿于三個學(xué)段，合理安排，循序漸進，協(xié)調(diào)發(fā)展。

2.通過多樣化的活動，培養(yǎng)學(xué)生的推理能力

反思傳統(tǒng)教學(xué)，對學(xué)生推理能力的培養(yǎng)往往被認為就是加強邏輯證明的訓(xùn)練，主要的形式就是通過習(xí)題演練以掌握更多的證明技巧。顯然，這樣的認識是帶有局限性的?！稑?biāo)準(zhǔn)》強調(diào)通過多樣化的活動來培養(yǎng)學(xué)生的推理能力。如《標(biāo)準(zhǔn)》提出：“在觀察、操作等活動中，能提出一些簡單猜想”（一學(xué)段），“在觀察、猜想、驗證等活動中，發(fā)展合情推理能力”（二學(xué)段），“在多樣化形式的數(shù)學(xué)活動中，發(fā)展合情推理與演繹推理的能力”（三學(xué)段）。教師要認真體會《標(biāo)準(zhǔn)》所提出的這些要求，針對學(xué)生推理能力的培養(yǎng)，在課堂教學(xué)中開拓出更加有效的、多樣化的活動途徑。

3.使學(xué)生多經(jīng)歷“猜想——證明”的問題探索過程

在“猜想——證明”的問題探索過程中，學(xué)生能親身經(jīng)歷用合情推理發(fā)現(xiàn)結(jié)論、用演繹推理證明結(jié)論的完整推理過程，在過程中感悟數(shù)學(xué)基本思想，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，這對于學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升極為有利。教師要善于對素材進行此類加工，引導(dǎo)學(xué)生多經(jīng)歷這樣的活動。例如，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)如下的運算規(guī)律：

15×15=1×2×100+25=225，25×25=2×3×100+25=625，35×35=3×4×100+25=1225。

觀察后，引導(dǎo)學(xué)生思考是否有一般性的結(jié)論呢？可以猜想：如果用字母a代表一個正整數(shù)，則有如下結(jié)論：

(a×10+5)2= a(a+1)×100+25。

但這樣的猜測是正確的嗎？需要給出證明：。

這是一個由具體數(shù)值計算到符號公式表達的過程，即由特殊到一般的過程?？梢宰寣W(xué)生感悟，有些問題是可以通過具體問題去得出結(jié)論，然后通過一般性證明來驗證自己所發(fā)現(xiàn)結(jié)論的，這就是數(shù)學(xué)推理帶給我們的樂趣。

第八節(jié)

模型思想

模型思想是此次修訂標(biāo)準(zhǔn)新增的核心概念。盡管原標(biāo)準(zhǔn)在課程實施部分的“教學(xué)建議”中曾提到了“建立模型”一詞，但數(shù)學(xué)模型、建模等概念并未出現(xiàn)在義務(wù)教育階段課程目標(biāo)及內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)的文字表述之中。這次隨著“模型思想”的列入，我們會看到關(guān)于數(shù)學(xué)模型的相關(guān)提法會在《標(biāo)準(zhǔn)》的多個部分出現(xiàn)。特別的，模型思想作為一種基本的數(shù)學(xué)思想更是會與目標(biāo)、內(nèi)容緊密關(guān)聯(lián)。作為第一線教師應(yīng)對《標(biāo)準(zhǔn)》中模型思想的含義及要求準(zhǔn)確理解，并把這要求落實于課堂教學(xué)之中。

一、對數(shù)學(xué)建模的認識

所謂數(shù)學(xué)模型，就是根據(jù)特定的研究目的，采用形式化的數(shù)學(xué)語言，去抽象地，概括地表征所研究對象的主要特征、關(guān)系所形成的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。在義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)中，用字母、數(shù)字及其他數(shù)學(xué)符號建立起來的代數(shù)式、關(guān)系式、方程、函數(shù)、不等式，及各種圖表、圖形等都是數(shù)學(xué)模型。

這種結(jié)構(gòu)有兩個主要特點：其一，它是經(jīng)過抽象舍去對象的一些非本質(zhì)屬性以后所形成的一種純數(shù)學(xué)關(guān)系結(jié)構(gòu)；其二，這種結(jié)構(gòu)是借助數(shù)學(xué)符號來表示，并能進行數(shù)學(xué)推演的結(jié)構(gòu)。對數(shù)學(xué)模型可以從兩個層次上去理解：廣義的理解是把那些凡是針對客觀對象加以一級或多級抽象所得到的形式結(jié)構(gòu)都視為客觀對象的模型；狹義的理解是指針對特定現(xiàn)實問題或具體實物對象進行數(shù)學(xué)抽象所得到的數(shù)學(xué)模型。在中小學(xué)階段數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)模型一般指后者。

數(shù)學(xué)建模就是通過建立模型的方法來求得問題解決的數(shù)學(xué)活動過程。這一過程的步驟可用如下框圖來體現(xiàn)：

上述步驟中最重要的是抽象成數(shù)學(xué)模型這一步驟。這些步驟反映的是一個相對嚴(yán)格的數(shù)學(xué)建模過程，義務(wù)教育階段特別是小學(xué)的數(shù)學(xué)建模視具體課程內(nèi)容要求，不一定完全經(jīng)歷所有的環(huán)節(jié)，這里有一個逐步提高的過程。

二、《標(biāo)準(zhǔn)》中模型思想的含義及要求 1．模型思想是一種數(shù)學(xué)的基本思想

在原課標(biāo)中，“模型”一詞出現(xiàn)在第三學(xué)段的教學(xué)建議之中，其提法是“教學(xué)應(yīng)結(jié)合具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容采用‘問題情境——建立模型——解釋、應(yīng)用與拓展’的模式展開，讓學(xué)生經(jīng)歷知識的形成與應(yīng)用的過程，從而更好理解數(shù)學(xué)知識的意義??”。顯然，在這里數(shù)學(xué)建模及其過程更多地被看成是一種教學(xué)活動過程和模式，強調(diào)的是其教學(xué)上的意義。修訂后的《標(biāo)準(zhǔn)》將數(shù)學(xué)基本思想作為“四基”之一提出，必然引出這樣的問題：數(shù)學(xué)基本思想主要指哪些思想呢？現(xiàn)在模型思想作為10個核心概念中唯一一個以“思想”指稱的概念，這實際上已經(jīng)明示它是數(shù)學(xué)基本思想之一。史寧中教授在《數(shù)學(xué)思想概論》中提出這樣的觀點：“數(shù)學(xué)發(fā)展所依賴的思想在本質(zhì)上有三個：抽象、推理、模型，??通過抽象，在現(xiàn)實生活中得到數(shù)學(xué)的概念和運算法則，通過推理得到數(shù)學(xué)的發(fā)展，然后通過模型建立數(shù)學(xué)與外部世界的聯(lián)系”（史寧中，《數(shù)學(xué)思想概論》第一輯，東北師范大學(xué)出版社，2008.6，第一頁）。從數(shù)學(xué)產(chǎn)生、數(shù)學(xué)內(nèi)部發(fā)展、數(shù)學(xué)外部關(guān)聯(lián)三個維度上概括了對數(shù)學(xué)發(fā)展影響最大的三個重要思想。

作為中小學(xué)課程中的模型思想應(yīng)該在數(shù)學(xué)本質(zhì)意義上給學(xué)生以感悟，以形成正確的數(shù)學(xué)態(tài)度。正因為如此，《標(biāo)準(zhǔn)》指出：“模型思想的建立是學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑”。它鮮明地表述了這樣的意義：建立模型思想的本質(zhì)就是使學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界的聯(lián)系，而且它也是實現(xiàn)上述目的的基本途徑。

數(shù)學(xué)與外部世界的聯(lián)系，是數(shù)學(xué)發(fā)展到今天在其自身的舞臺上最精彩的表演。從第四章第一節(jié)的分析可知，今日之?dāng)?shù)學(xué)已突破了傳統(tǒng)的應(yīng)用范圍而向人類幾乎所有的知識領(lǐng)域滲透，而各門科學(xué)向著“數(shù)學(xué)化”發(fā)展，也成為當(dāng)今科技發(fā)展的一個重要趨勢。這里的“滲透”、“數(shù)學(xué)化”說到底就是數(shù)學(xué)模型的運用，作為基礎(chǔ)教育的數(shù)學(xué)不能不關(guān)注數(shù)學(xué)發(fā)展的這一特點。

從當(dāng)前各國數(shù)學(xué)課程改革來看，通過數(shù)學(xué)建模來建立數(shù)學(xué)與外部世界的聯(lián)系也成為共同關(guān)注點。如美國課程標(biāo)準(zhǔn)將“數(shù)學(xué)聯(lián)系”作為重要目標(biāo)，“認識到并能應(yīng)用數(shù)學(xué)于數(shù)學(xué)以外的情境中”是數(shù)學(xué)聯(lián)系的主要內(nèi)涵。該標(biāo)準(zhǔn)還強調(diào)，各種水平的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，應(yīng)包括有機會解決在數(shù)學(xué)以外的情境中產(chǎn)生的問題，既可與其他學(xué)科建立聯(lián)系，又可與學(xué)生的日常生活相聯(lián)系。

在加強數(shù)學(xué)與外界聯(lián)系方面，《標(biāo)準(zhǔn)》在總目標(biāo)中也明確提出：“體會數(shù)學(xué)知識之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間、數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系”。標(biāo)準(zhǔn)修改后的這個新提法與模型思想這一要求是一致的和相互呼應(yīng)的。

2．關(guān)于建立和求解模型的過程要求

前面我們已介紹了數(shù)學(xué)建模的一般步驟?！稑?biāo)準(zhǔn)》以義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程的實際情況出發(fā)，將這一過程進一步簡化為這樣三個環(huán)節(jié)：首先是“從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象數(shù)學(xué)問題”。這說明發(fā)現(xiàn)和提出問題是數(shù)學(xué)建模的起點。然后“用數(shù)學(xué)符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律”。在這一步中，學(xué)生要通過觀察、分析、抽象、概括、選擇、判斷等等數(shù)學(xué)活動，完成模式抽象，得到模型。這是建模最重要的一個環(huán)節(jié)。最后，通過模型去求出結(jié)果，并用此結(jié)果去解釋、討論它在現(xiàn)實問題中的意義。顯然，數(shù)學(xué)建模過程可以使學(xué)生在多方面得到培養(yǎng)而不只是知識、技能，更有思想、方法，也有經(jīng)驗積累，其情感態(tài)度（如興趣、自信心、科學(xué)態(tài)度等）也會得到培養(yǎng)。3．模型思想體現(xiàn)在《標(biāo)準(zhǔn)》的許多方面

正因為模型思想從本質(zhì)意義上體現(xiàn)著數(shù)學(xué)的基本思想，所以它滲透于《標(biāo)準(zhǔn)》的許多方面。比如，《標(biāo)準(zhǔn)》中有如下提法：“經(jīng)歷數(shù)與代數(shù)的抽象、運算與建模過程”（數(shù)與代數(shù)總目標(biāo)）；“通過用代數(shù)式、方程、不等式、函數(shù)等表述數(shù)量關(guān)系的過程，體會模型思想”，“體會方程是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的有效模型”（三學(xué)段目標(biāo)）；“結(jié)合實際情境，經(jīng)歷設(shè)計解決具體問題的方案，并加以實施的過程，體驗建立模型、解決問題的過程”（“ 綜合與實踐”內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)）等等，除此之外，在教學(xué)實施、教材編寫、評價、案例等部分都有關(guān)于模型思想的具體要求，在課程實施中要注意這一特點。

一、模型思想的培養(yǎng)

1.模型思想需要教師在教學(xué)中逐步滲透和引導(dǎo)學(xué)生不斷感悟

模型思想作為一種思想要真正使學(xué)生有所感悟需要經(jīng)歷一個長期的過程，在這一過程中，學(xué)生總是從相對簡單到相對復(fù)雜，相對具體到相對抽象，逐步積累經(jīng)驗，掌握建模方法，逐步形成運用模型去進行數(shù)學(xué)思維的習(xí)慣。教師在教學(xué)中要注意根據(jù)學(xué)生的年齡特征和不同學(xué)段的要求，逐步滲透模型思想。比如在一學(xué)段，可以引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從現(xiàn)實情境中抽象出數(shù)、簡單幾何體和平面圖形的過程和簡單數(shù)據(jù)收集、整理的過程，使學(xué)生能學(xué)會用適當(dāng)?shù)姆杹肀硎具@些現(xiàn)實情境中的簡單現(xiàn)象，提出一些力所能及的數(shù)學(xué)問題；在二學(xué)段，通過一些具體問題，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察分析抽象出更為一般的模式表達，如用字母表示有關(guān)的運算律和運算性質(zhì)，總結(jié)出路程、速度、時間，單價、數(shù)量、總價等關(guān)系式；在三學(xué)段，主要是結(jié)合相關(guān)概念學(xué)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生運用函數(shù)、不等式、方程、方程組、幾何圖形、統(tǒng)計表格等分析表達現(xiàn)實問題，解決現(xiàn)實問題。

總之，模型思想的滲透是多方位的。模型思想的感悟應(yīng)該蘊含于概念、命題、公式、法則的教學(xué)之中，并與數(shù)感、符號感、空間觀念等的培養(yǎng)緊密結(jié)合。模型思想的建立是一個循序漸進的過程。

2.使學(xué)生經(jīng)歷“問題情境——建立模型——求解驗證”的數(shù)學(xué)活動過程

“問題情境——建立模型——求解驗證”的數(shù)學(xué)活動過程體現(xiàn)了《標(biāo)準(zhǔn)》中模型思想的基本要求，也有利于學(xué)生在過程中理解、掌握有關(guān)知識、技能，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，感悟模型思想的本質(zhì)。這一過程更有利于學(xué)生去發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決問題，培養(yǎng)創(chuàng)新意識。

上述活動過程完全可以結(jié)合相關(guān)課程內(nèi)容有機進行。比如，關(guān)于方程的教學(xué)，過去我們是從概念到概念，強調(diào)的是方程定義、類型、解法、同解性討論等等比較“純粹”的知識、技能，而現(xiàn)在，我們可以讓學(xué)生從豐富多樣的現(xiàn)實具體問題中，抽象出“方程”這個模型，從而求解具體問題。其過程如下：

3.通過數(shù)學(xué)建模改善學(xué)習(xí)方式

數(shù)學(xué)建模不同于單純的數(shù)學(xué)解題，它是一個綜合性的過程。這一過程所具有的問題性、活動性、過程性、搜索性等特點給學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式的改善帶來了很大的空間。如下一些學(xué)習(xí)方式都可以在數(shù)學(xué)建模中嘗試：（1）小課題學(xué)習(xí)方式。讓學(xué)生自主確定數(shù)學(xué)建模課題，設(shè)定課題研究計劃，完成以后最后提交課題研究報告。基于數(shù)學(xué)建模的小課題研究針對不同的年齡段應(yīng)該有不同的層次和不同的水平，但不管何種層次和水平，關(guān)鍵是要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)自己的生活經(jīng)驗和對現(xiàn)實情境的觀察，提出研究課題。（2）協(xié)作式學(xué)習(xí)方式。在數(shù)學(xué)建模中可以小組為單位在組內(nèi)進行合理分工，協(xié)同作戰(zhàn)，培養(yǎng)學(xué)生的合作交流能力。（3）開放式學(xué)習(xí)方式。這里的開放是多種意義的，如打破課內(nèi)課外界限，走入社會，進行數(shù)學(xué)調(diào)查；充分利用網(wǎng)絡(luò)資源，收集建模有用信息；鼓勵對統(tǒng)一問題的不同建模方式等等。（4）信息技術(shù)環(huán)境中的學(xué)習(xí)方式。充分利用計算機的計算功能、圖形實現(xiàn)功能、特有軟件包的應(yīng)用功能等，尋求建模途徑，提高數(shù)學(xué)建模的有效性。比如對“足球比賽中球員如何選擇最佳射門位置？”這樣的問題，完全可以借助計算機模擬球員進攻路線，通過“幾何畫板”的動態(tài)模擬功能構(gòu)建幾何模型，直觀顯示（如圖）：最佳位置應(yīng)該是球員進攻路線l上對球門左右門框(A B)張角最大的那個點p，即p為切點時，角APB最大，當(dāng)然這一通過直觀得到的結(jié)論還需運用相關(guān)知識予以證明。

第九節(jié) 應(yīng)用意識 《標(biāo)準(zhǔn)》在課程目標(biāo)中指出：要使學(xué)生“初步學(xué)會從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，綜合運用數(shù)學(xué)知識解決簡單的實際問題，增強應(yīng)用意識，提高實踐能力?！痹鰪姂?yīng)用意識作為數(shù)學(xué)課程的重要目標(biāo)應(yīng)該引起第一線老師的重視，并應(yīng)通過有效的措施在課堂教學(xué)中予以落實。

一、培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識的意義

通過第四章的分析我們已知，現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展的一個典型特征就是數(shù)學(xué)應(yīng)用的空前發(fā)展，許多抽象的數(shù)學(xué)理論得到了應(yīng)用，數(shù)學(xué)向其他學(xué)科滲透又形成了許多新的數(shù)學(xué)交叉學(xué)科，就是一些過去與數(shù)學(xué)無緣的人文學(xué)科也與數(shù)學(xué)產(chǎn)生了聯(lián)系，各門科學(xué)向著“數(shù)學(xué)化”發(fā)展，已成為當(dāng)今科技發(fā)展的一個趨勢。數(shù)學(xué)在滲透到各門學(xué)科領(lǐng)域的同時，它也逐漸滲透到了人們生活的各個角落：面積、體積、對稱、百分數(shù)、平均數(shù)、比例、角度、概率等成為社會生活中很常見的名詞；人口增長率、生產(chǎn)統(tǒng)計圖、股票趨勢圖等不斷出現(xiàn)在報刊、電視等大眾信息傳播媒介中；而象儲蓄、債券、保險、面積、體積計算（估算）、購物決策等更是成為人們在生活中不可回避的現(xiàn)實問題?，F(xiàn)代社會比以往任何時候都更需要公民運用數(shù)學(xué)去面對生活、工作中的問題。學(xué)校數(shù)學(xué)課程需要對數(shù)學(xué)的這種發(fā)展態(tài)勢和時代要求作出積極的反應(yīng)。

長期以來，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)應(yīng)用意識的失落是一種普遍存在的現(xiàn)象。特別是為了應(yīng)試的需要，在數(shù)學(xué)教學(xué)中注重的是技能、技巧的訓(xùn)練，數(shù)學(xué)課堂上只講抽象的數(shù)學(xué)公式和結(jié)論，不講數(shù)學(xué)知識的實際來源和應(yīng)用方法，“掐頭去尾燒中段”的現(xiàn)象仍然存在。盡管目前已在關(guān)注加強數(shù)學(xué)應(yīng)用，但真正落實到目標(biāo)上還有較大差距，這是我國數(shù)學(xué)課程改革應(yīng)該正視的問題。加強數(shù)學(xué)應(yīng)用，不是簡單地增加幾個應(yīng)用題，也不只是追求實際問題解決的工具價值，它事實上體現(xiàn)了數(shù)學(xué)更加本質(zhì)的東西。數(shù)學(xué)應(yīng)用是認識數(shù)學(xué)、體驗數(shù)學(xué)、形成正確數(shù)學(xué)觀的過程，這一過程以數(shù)學(xué)課程作載體，追求的目標(biāo)不僅是知識的獲得和問題的解決，更重要的是使學(xué)生通過這一過程學(xué)會數(shù)學(xué)地思考，掌握數(shù)學(xué)思想方法，感悟數(shù)學(xué)的精神并形成正確的數(shù)學(xué)態(tài)度。從根本上看，它追求的是學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升和創(chuàng)新精神、實踐能力的培養(yǎng)、發(fā)展。

二、《標(biāo)準(zhǔn)》中應(yīng)用意識的含義 意識在心理學(xué)上是一種心理傾向。良好的意識重在自覺性、自主性和選擇性，它反映一個人在認識事物對象過程中，其思維的自覺、獨立、批判、求異和創(chuàng)造的品質(zhì)?；谶@樣的理解，數(shù)學(xué)應(yīng)用意識就是一種用數(shù)學(xué)的眼光、從數(shù)學(xué)的角度觀察、分析周圍生活中問題的積極的心理傾向和思維反應(yīng)。《標(biāo)準(zhǔn)》指出數(shù)學(xué)應(yīng)用意識的含義主要體現(xiàn)在以下兩個方面：

1.有意識利用數(shù)學(xué)的概念、原理和方法解釋現(xiàn)實世界中的現(xiàn)象，解決現(xiàn)實世界中的問題

這里實際指的是主動應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的意識，這種意識的指向是“數(shù)學(xué)知識現(xiàn)實化”。學(xué)生能夠有意識地、積極主動地應(yīng)用數(shù)學(xué)知識去分析、解決現(xiàn)實世界中的現(xiàn)象和問題，這對學(xué)生實踐能力和創(chuàng)新精神的培養(yǎng)具有重要意義。仔細分析這里有兩層意思：一是有意識利用數(shù)學(xué)的概念、原理和方法去解釋現(xiàn)實世界中的諸多現(xiàn)象。學(xué)生在日常生活中會遇到許多客觀存在的現(xiàn)象，當(dāng)遇到這樣的一些現(xiàn)象時，學(xué)生應(yīng)該具有一定的數(shù)學(xué)敏感性，要善于從數(shù)學(xué)的角度、運用數(shù)學(xué)的知識去解釋這些現(xiàn)象，獲得對現(xiàn)象本質(zhì)的理解。例如，電視臺播放某大獎賽實況，總要去掉一個最高分，一個最低分，然后求其它評分的平均數(shù)，這是為什么呢？學(xué)生學(xué)了統(tǒng)計中的平均數(shù)、中位數(shù)等知識后，他能有意識地去運用這些知識去分析這一現(xiàn)象，并能給出合理的解釋：“去掉最高分、最低分，求其他分數(shù)的平均數(shù)，這樣既可以降低極端分數(shù)的影響，又可以避免給中間幾個數(shù)據(jù)太大的權(quán)重，合理地分解所有評分者的評分誤差”。再如，《標(biāo)準(zhǔn)》第二學(xué)段的一個例子“閱讀在報紙或者雜志上發(fā)表的有統(tǒng)計圖的文章，用自己的語言說明統(tǒng)計圖所表達的意思”，這事實上也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)應(yīng)用意識培養(yǎng)的要求；二是，有意識地運用數(shù)學(xué)知識去解決現(xiàn)實生活中的問題。學(xué)生學(xué)習(xí)某一數(shù)學(xué)知識后，應(yīng)主動思考應(yīng)用這一數(shù)學(xué)知識我能解決現(xiàn)實生活中的什么樣的問題，這樣就可以把理論與實際相聯(lián)系了。例如，學(xué)生學(xué)習(xí)了“兩點之間線段最短”這一數(shù)學(xué)知識后，主動思考能解決什么樣的實現(xiàn)問題呢？善于思考的同學(xué)就會發(fā)現(xiàn)，我能解決“在兩個汽車站之間，怎樣設(shè)加油站的位置，使得到兩個汽車站的距離最??？”這一實際問題。學(xué)數(shù)學(xué)的目的就是用數(shù)學(xué)，這一點很重要。

2.認識到現(xiàn)實生活中蘊涵著大量與數(shù)量和圖形有關(guān)的問題，這些問題可以抽象成數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)的方法予以解決 這個方面實際指的是對現(xiàn)實生活主動進行數(shù)學(xué)抽象的一種意識，它的目標(biāo)是“現(xiàn)實問題數(shù)學(xué)化”。這一要求一方面體現(xiàn)為要讓學(xué)生認識到現(xiàn)實生活中處處有數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)就在我們的身邊，現(xiàn)實生活中蘊涵著大量與數(shù)量和圖形有關(guān)的問題，如：儲蓄、保險、選舉、股票、打折銷售等等；另一方面體現(xiàn)為認識到現(xiàn)實生活中的大量問題都可以抽象成數(shù)學(xué)的問題，用數(shù)學(xué)的方法予以解決。這也即是數(shù)學(xué)建模的思想。例如，某商場搞打折銷售活動，有兩種活動方案，一種是滿200元省50元，另一種是直接打8折，如果你想買一種商品，請你制定你的購買方案？對于這一打折銷售問題，學(xué)生能意識到可以抽象為數(shù)學(xué)中的函數(shù)的問題，然后用函數(shù)的相關(guān)知識予以解決。這樣，可以讓學(xué)生從認識上建立對數(shù)學(xué)應(yīng)用的正確理解，這是很有必要的。

一、應(yīng)用意識的培養(yǎng)

正因為數(shù)學(xué)應(yīng)用意識屬于“意識”范疇，處于“隱性”狀態(tài)，這就決定了數(shù)學(xué)應(yīng)用意識的培養(yǎng)具有長期性，我們不能期望在一兩次解決問題中就能培養(yǎng)起學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識。因此，在義務(wù)教育的各個學(xué)段都應(yīng)不失時機地激發(fā)學(xué)生的應(yīng)用意識，促進應(yīng)用意識的培養(yǎng)。1.注重知識的來龍去脈

前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)教育家斯托利亞爾認為，一個完整的數(shù)學(xué)活動可分為經(jīng)驗材料的數(shù)學(xué)組織化、數(shù)學(xué)材料的邏輯組織化、數(shù)學(xué)理論的應(yīng)用三個階段（斯托利亞爾，《數(shù)學(xué)教育學(xué)》）。傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)往往只注重中間環(huán)節(jié)，而忽視了其他階段。要培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識，不能只“燒中段”，還要“顧兩頭”，即要注重知識的來龍去脈，也即讓學(xué)生知道數(shù)學(xué)知識“從哪里來”，又會“到哪里去”。

要讓學(xué)生知道數(shù)學(xué)知識“從哪里來”，可從以下兩方面努力。第一，提供數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生的背景材料。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)盡可能結(jié)合數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容，介紹一些對數(shù)學(xué)知識發(fā)生、發(fā)展緊密關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)史資料及實際問題資料。例如，在數(shù)與代數(shù)部分，向?qū)W生穿插介紹代數(shù)及代數(shù)語言的歷史、正負數(shù)和無理數(shù)的歷史、一些重要符號和重要概念的起源與演變；在統(tǒng)計與概率部分，介紹一些有關(guān)概率論的起源、擲硬幣試驗、布豐投針問題與幾何概率等歷史事實。第二，呈現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的形成過程?，F(xiàn)實生活中蘊含著大量的數(shù)學(xué)信息，教師可結(jié)合現(xiàn)實生活或者具體情境，給學(xué)生呈現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的形成過程，如“多項式與多項式相乘”的教學(xué)，可設(shè)置如下情境：學(xué)校操場的長、寬分別為m米、a米，由于教學(xué)需要，長、寬分別增加n米、b米，你能用兩種方法表示擴大后的操場面積嗎？學(xué)生畫圖后可得出(m+n)(a+b)和ma+mb+na+nb兩種表示形式。教師再引導(dǎo)學(xué)生得出公式(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb。如此，在提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣的同時，也會讓學(xué)生感覺到多項式乘法的應(yīng)用價值。

要讓學(xué)生知道數(shù)學(xué)知識“到哪里去”，就要反映數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用過程。義務(wù)教育階段的許多數(shù)學(xué)知識，如概念的產(chǎn)生、計算法則的由來、幾何形體的特征及有關(guān)公式等，無不滲透著數(shù)學(xué)在現(xiàn)代生產(chǎn)、生活和科技中的應(yīng)用。例如，讓學(xué)生用平方的概念探索細胞分裂（1個分裂成2個，再逐步分裂成4，8，16 ?）的次數(shù)與個數(shù)之間的關(guān)系，使學(xué)生真正體會到“數(shù)學(xué)有用、要用數(shù)學(xué)”。

以上事實上分別展現(xiàn)了當(dāng)前數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)中，應(yīng)該關(guān)注的“知識背景—知識形成—揭示聯(lián)系”的過程和“問題情境─建立模型─求解驗證”的過程，這樣的過程更有利于提高發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力，對學(xué)生應(yīng)用意識的培養(yǎng)大有裨益。

2.在整個數(shù)學(xué)教育的過程中都應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識

數(shù)學(xué)應(yīng)用意識的培養(yǎng)應(yīng)貫穿于整個數(shù)學(xué)教育全過程中。具體而言，在課程目標(biāo)定位、課程內(nèi)容設(shè)置、教學(xué)設(shè)計、課堂教學(xué)、課后作業(yè)、學(xué)習(xí)評價等數(shù)學(xué)教育諸環(huán)節(jié)都應(yīng)關(guān)注應(yīng)用意識的培養(yǎng)。

首先，應(yīng)將培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識作為數(shù)學(xué)課程的重要目標(biāo)，貫穿于數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率及綜合實踐等所有領(lǐng)域內(nèi)容的數(shù)學(xué)課程中；其次，在教學(xué)設(shè)計過程中，應(yīng)聯(lián)系學(xué)生實際和社會生活現(xiàn)實，合理地解讀教材、拓展教材，積累素材，研制、開發(fā)、生成課程資源；第三，課堂教學(xué)的過程中，應(yīng)同時關(guān)注生活情境數(shù)學(xué)化和數(shù)學(xué)問題生活化；第四，將定量評價與定性評價相結(jié)合，適當(dāng)設(shè)計一定的具有現(xiàn)實生活背景的問題和一些實際操作的內(nèi)容，既要關(guān)注學(xué)生應(yīng)用意識指向的廣闊性（能夠給出多少合理的數(shù)學(xué)解答；能發(fā)現(xiàn)多少包含數(shù)學(xué)知識的各種不同問題），又要關(guān)注應(yīng)用意識的主動性（面對實際問題時，能否主動嘗試著從數(shù)學(xué)的角度運用所學(xué)知識和方法尋求解決問題的策略；面對新的數(shù)學(xué)知識時，能否主動地尋找實際背景，并探索其應(yīng)用的價值）。

3.綜合實踐活動是培養(yǎng)應(yīng)用意識很好的載體。綜合實踐活動有別于學(xué)習(xí)具體知識的探索活動，更有別于課堂上教師的直接講授，是一類以問題為載體、以學(xué)生自主參與為主的學(xué)習(xí)活動，其教學(xué)目標(biāo)是幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗、培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識與創(chuàng)新意識。

綜合實踐活動是培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識的重要和有效的載體。綜合實踐活動兼顧“綜合性”與“實踐性”：一方面，注重學(xué)生自主參與、全過程參與（經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的全過程），讓學(xué)生積極動腦（獨立思考）、動手（自主設(shè)計解決問題的思路）、動口（合作交流）；另一方面，注重數(shù)學(xué)與生活實際、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科、數(shù)學(xué)內(nèi)部知識的聯(lián)系和綜合應(yīng)用。此外，綜合實踐活動可以以“長作業(yè)”的形式出現(xiàn)，將課堂內(nèi)的數(shù)學(xué)活動延伸到課堂外，讓學(xué)生經(jīng)歷收集數(shù)據(jù)、查閱資料、獨立思考、合作交流、實踐檢驗、推理論證等多種形式的活動。更重要的是，綜合實踐活動不僅關(guān)注結(jié)果，更關(guān)注學(xué)生積累活動經(jīng)驗、展現(xiàn)思考歷程、交流收獲體會、激發(fā)創(chuàng)造潛能的過程。這樣，在多種活動形式、多種過程體驗及多種評價方式的交融浸潤中，更利于激發(fā)、促進、培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識。

第十節(jié)

創(chuàng)新意識

一、對創(chuàng)新意識的認識

創(chuàng)新是21世紀(jì)出現(xiàn)頻率最高的詞匯，它已經(jīng)普及到幾乎每一個領(lǐng)域，當(dāng)然它也是教育領(lǐng)域最重要的詞匯，它是這次課程改革的標(biāo)志性詞匯的代表。

創(chuàng)新的含義是什么？既簡單，又復(fù)雜。簡單地說創(chuàng)新是指做一些新的事情，英文是To make something new?！靶隆庇袔讓雍x，對所有人都是“新”的，稱為原創(chuàng)的；或者對某些人是“新”的；也可以對自己是“新”的，自己沒有做過的事情。創(chuàng)新能力是指完成創(chuàng)新工作的能力，要求是比較高的；創(chuàng)新意識要求低一些，認識創(chuàng)新的重要，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中有好奇心，對新事物感興趣，不斷地發(fā)現(xiàn)和提出問題，有創(chuàng)新的欲望，嘗試去做一些對自己是新的、沒有想過、沒有做過的事情，用學(xué)過的數(shù)學(xué)方法解決問題。創(chuàng)新的重要性毋庸置疑，什么時間開始培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識？上個世紀(jì)末，世界一批最優(yōu)秀科學(xué)家特別是一批諾貝爾獎獲得者倡導(dǎo)在兒童和學(xué)校教育中開展“做中學(xué)”（“Hans on”）活動，提高幼兒園和小學(xué)的科學(xué)教育水平，培育科學(xué)的思維方式?！白鲋袑W(xué)”是讓兒童和學(xué)生參與一些“科學(xué)活動”。這種做法的目的之一就是激發(fā)孩子的好奇心和激發(fā)想象力，培養(yǎng)他們的創(chuàng)新意識。在綜合實踐活動的解讀中我們也詳細介紹了一些具體做法。創(chuàng)新意識的培養(yǎng)應(yīng)該從兒童做起，在義務(wù)教育階段結(jié)合年齡特征，尋求適合學(xué)生的形式來不斷加強。

發(fā)現(xiàn)和提出問題是創(chuàng)新的基礎(chǔ)。在上個世紀(jì)七十年代，數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域開展了一次討論，討論的主題是“在數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)教育中，什么是最重要的？”——“What is the key in mathematics and mathematical education？”，最主要的是數(shù)學(xué)的定義、公理？數(shù)學(xué)的概念？數(shù)學(xué)的定理？等等。著名數(shù)學(xué)家Harmous 寫了一篇階段性的總結(jié)文章，他的看法是問題是主要的。問題是數(shù)學(xué)發(fā)展的源泉，也是數(shù)學(xué)創(chuàng)新的基礎(chǔ)，研究數(shù)學(xué)與學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)在這一點上沒有本質(zhì)的差異，只是深度和難度上的差異。問題可以把思考引向深處，問題可以發(fā)現(xiàn)新的思路。

二、《標(biāo)準(zhǔn)》中的創(chuàng)新意識

在《標(biāo)準(zhǔn)》中，創(chuàng)新意識是此次修改新增加的一個核心概念。標(biāo)準(zhǔn)指出“創(chuàng)新意識的培養(yǎng)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育的基本任務(wù)，應(yīng)體現(xiàn)在數(shù)學(xué)教與學(xué)的過程之中。學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)和提出問題是創(chuàng)新的基礎(chǔ)；獨立思考、學(xué)會思考是創(chuàng)新的核心；歸納概括得到猜想和規(guī)律，并加以驗證，是創(chuàng)新的重要方法。創(chuàng)新意識的培養(yǎng)應(yīng)該從義務(wù)教育階段做起，貫穿數(shù)學(xué)教育的始終?！蔽覀儜?yīng)該注意以下幾點： 1．創(chuàng)新意識培養(yǎng)應(yīng)貫穿數(shù)學(xué)教育始終

正如前面所指出的，創(chuàng)新意識應(yīng)該從兒童開始培養(yǎng)。對于孩子來說好奇心是天性，他們有很多很多的問題，他們對一切都感到新鮮、富于想象。保護、激發(fā)他們這些好奇心是教師的職責(zé)。這些是最寶貴的東西，這些就是學(xué)生創(chuàng)新意識的基礎(chǔ)。隨著年齡的增長，他們需要學(xué)習(xí)很多新知識、新技能，學(xué)習(xí)的目的是幫助他們產(chǎn)生更多的問題，解決更多的問題，是使他們的思想更活躍、更豐富。在學(xué)習(xí)過程中，做一些習(xí)題是必要的，目的是幫助學(xué)生更好理解和掌握知識和技能。長期以來我們數(shù)學(xué)教育中存在的一個問題是，過多的、盲目的、僅僅為了應(yīng)對考試的習(xí)題訓(xùn)練，束縛了學(xué)生的思維，壓抑了他們的好奇心和想象力，以至于很多同學(xué)（甚至成績很好的同學(xué)）只有不會做的習(xí)題，卻提不出有價值的問題。著名數(shù)學(xué)家R.庫朗在上世紀(jì)40年代所表達的觀點值得我們思索：

“兩千多年來，人們一直認為每一個受教育者都必須具備一定的數(shù)學(xué)知識。但是，今天，數(shù)學(xué)教育的傳統(tǒng)地位卻陷入了嚴(yán)重的危機之中，而且遺憾的是數(shù)學(xué)工作者要對此負一定的責(zé)任。數(shù)學(xué)教學(xué)有時竟演變成空洞的解題訓(xùn)練，這種訓(xùn)練雖然可以提高形式推理的能力，但卻不能導(dǎo)致真正的理解與深入的獨立思考。

????,教師、學(xué)生和一般受過教育的人都要求數(shù)學(xué)家有一個建設(shè)性的改造，而不是聽其自然，其目的是要真正理解數(shù)學(xué)是一個有機的整體，是科學(xué)思考與行動的基礎(chǔ)。”(——R.柯朗（1941年，什么是數(shù)學(xué)的序言，2003，復(fù)旦大學(xué)出版社）

當(dāng)代著名的數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)史專家M.克萊因也批評了這種現(xiàn)象：”數(shù)學(xué)學(xué)科并不是一系列的技巧，這些技巧只不過是它微不足道的方面：它們遠不能代表數(shù)學(xué)，就如同調(diào)配顏色遠不能當(dāng)作繪畫一樣。技巧是將數(shù)學(xué)的激情、推理、美和深刻的內(nèi)涵剝落后的產(chǎn)物。如果我們對數(shù)學(xué)的本質(zhì)有一定的了解，就會認識到數(shù)學(xué)在形成現(xiàn)代生活和思想中起重要作用這一斷言并不是天方夜譚。(M.克萊因《西方文化中的數(shù)學(xué)》，復(fù)旦大學(xué)出版社，2005）

數(shù)學(xué)教育應(yīng)該啟發(fā)人們的思維，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識。當(dāng)然，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識不僅僅是數(shù)學(xué)教育的任務(wù)，而是整個義務(wù)教育的任務(wù)。正如前面指出的：問題是數(shù)學(xué)中最重要的，通過問題意識培養(yǎng)，激勵、煥發(fā)學(xué)生潛在的創(chuàng)新精神是數(shù)學(xué)教育應(yīng)該做的中心工作。

2、從“分析與解決問題”到“發(fā)現(xiàn)與提出問題”

20世紀(jì)70年代，在數(shù)學(xué)教學(xué)大綱中提出了培養(yǎng)學(xué)生“分析和解決問題的能力”。在高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（試驗稿）中，又明確提出“提高數(shù)學(xué)地提出、分析和解決問題（包括簡單的實際問題）的能力”，并把它作為數(shù)學(xué)課程的目標(biāo)之一。在此次次義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修改中，把“發(fā)現(xiàn)和提出問題，分析和解決問題”作為了數(shù)學(xué)課程總體目標(biāo)的表述內(nèi)容，即：“初步學(xué)會從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，綜合運用數(shù)學(xué)知識解決簡單的實際問題，增強應(yīng)用意識，提高實踐能力。獲得分析問題和解決問題的一些基本方法，體驗解決問題方法的多樣性，發(fā)展創(chuàng)新意識?！?從強調(diào)“分析與解決問題”到不僅強調(diào)“分析與解決問題”，還要強調(diào)“發(fā)現(xiàn)與提出問題”，這是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的一個發(fā)展，其實質(zhì)就是重視創(chuàng)新，重視學(xué)生創(chuàng)新意識的培養(yǎng)，這應(yīng)該成為基于時代發(fā)展要求之下的數(shù)學(xué)教育的魂。

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)必須有問題，沒有問題學(xué)不好數(shù)學(xué)，不僅要能解決別人的問題，更重要自己要有問題。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的定義、概念，總要問為什么需要它？它與前面所學(xué)的什么有聯(lián)系？它與實際生活有什么有聯(lián)系？在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的技能、方法、思想時，更需要深入發(fā)問，在回答中不斷思考，不斷理解，不斷深入。在數(shù)學(xué)和實際的情境中，也需要提出問題的意識。問題是創(chuàng)新的基礎(chǔ)，在義務(wù)教育階段，培養(yǎng)學(xué)生的問題意識是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識的好辦法。

3、根據(jù)年齡特點——在日常教與學(xué)中不斷積累經(jīng)驗

創(chuàng)新意識培養(yǎng)不能一蹴而就，需要不斷地實踐，不斷地積累經(jīng)驗。在課堂上做，在學(xué)習(xí)中要求，在教學(xué)的各個環(huán)節(jié)上不斷地幫助學(xué)生積累。在培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識時，應(yīng)該充分考慮不同年齡的學(xué)生特點，對低齡學(xué)生，結(jié)合他們生活經(jīng)驗，引導(dǎo)他們關(guān)注一些身邊的事物，發(fā)現(xiàn)一些有趣問題，引起思考的問題，例如，在學(xué)習(xí)角時，引導(dǎo)他們觀察、討論那些角是最常見的角——直角，進而討論如何利用直角去區(qū)分其他的角？經(jīng)過一段學(xué)習(xí)，又可以討論為什么直角是最重要的角？隨著年齡增長，引導(dǎo)學(xué)生從“感性”提出問題逐漸向“理性提出問題過渡，不斷積累提出問題，提出好問題的經(jīng)驗。在初中階段，可以讓學(xué)生嘗試著從實際生活情境和數(shù)學(xué)情境中獨立地提出問題，判斷問題的好壞。

4、“綜合與實踐”活動是培養(yǎng)創(chuàng)新意識的重要載體

“綜合與實踐”活動是培養(yǎng)創(chuàng)新意識的重要載體，這一點在“綜合與實踐”內(nèi)容解讀中做了詳細的論述。教師要充分發(fā)揮綜合與實踐是“以問題為載體、以學(xué)生自主參與為主的學(xué)習(xí)活動”的特點和功能。讓學(xué)生在此類活動中經(jīng)歷觀察、實驗、歸納、抽象、概括、猜想等多樣性的活動，經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、進而分析、解決問題的全過程。盡量使這樣的過程給學(xué)生創(chuàng)新意識的孕育留下了非常豐富的“營養(yǎng)”，希望教師在日常教學(xué)中把這件事做好。

三、“創(chuàng)新意識”培養(yǎng)

1、鼓勵“質(zhì)疑——發(fā)現(xiàn)和提出問題”

學(xué)會學(xué)習(xí)的一個重要環(huán)節(jié)是學(xué)會質(zhì)疑——發(fā)現(xiàn)和提出問題。我國著名數(shù)學(xué)家丁石蓀曾說過：沒有問題的學(xué)生不能算是好學(xué)生。保護學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題的積極性，就像保護學(xué)生的好奇心一樣，非常重要。學(xué)生可能一下子不會把問題說清楚，這需要老師耐心引導(dǎo)，了解學(xué)生是教師的基本功。鼓勵學(xué)生提問應(yīng)該貫穿在教學(xué)的各個環(huán)節(jié)中，無論是在課堂上，還是在日常學(xué)習(xí)中，都應(yīng)該鼓勵學(xué)生提出他們的問題。問題可以是自己的疑惑，可以是自己的困難，也可以是自己的一些發(fā)現(xiàn)，等等。發(fā)現(xiàn)和提出問題是需要氛圍的，需要發(fā)問的“氣場”，這就希望教師營造一個好的學(xué)習(xí)環(huán)境，讓學(xué)生在這樣的環(huán)境中活躍起來，敢于提問，敢于發(fā)表自己的觀點，敢于討論，敢于堅持。

2、鼓勵“在做中積累經(jīng)驗”

有些事情是可以教的，但創(chuàng)新意識不是靠教出來的，是“做出來的”，是學(xué)生在各個教學(xué)環(huán)節(jié)中不斷親身經(jīng)歷、不斷鍛煉，不斷積累而形成的。因此，教師要堅持在“做”中去培養(yǎng)學(xué)生的問題意識、從而逐步提升學(xué)生的創(chuàng)新意識。

3、老師要帶頭

凡是要求學(xué)生做的，教師要帶頭，教師在教學(xué)的各個環(huán)節(jié)中應(yīng)該要求自己有問題，能夠提出問題，并通過提問引導(dǎo)教學(xué)不斷深入。在新課程推進中，教師在這方面積累了很多很好的經(jīng)驗，如，問題驅(qū)動式的教學(xué)、問題串式的教學(xué)，還有“問題課程”等等。希望廣大教師創(chuàng)造出更多的好經(jīng)驗。

稿源：2011版《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)解讀》 作者：2011版課標(biāo)解讀專家組

第三篇：課標(biāo)解讀

對運算能力的理解與培養(yǎng)策略

我國基礎(chǔ)教育課程一直將運算作為主要內(nèi)容，運算能力是我國數(shù)學(xué)教育的重要特征之一，幾十年來一直是我國數(shù)學(xué)教育界關(guān)注的焦點。有別于《標(biāo)準(zhǔn)（試驗稿）》，這次《標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》明確提出“運算能力”。

一、如何理解運算能力

新課標(biāo)指出：“運算能力主要是指能夠根據(jù)法則和運算律正確地進行運算的能力。培養(yǎng)運算能力有助于學(xué)生理解運算的算理，尋求合理簡潔的運算途徑來解決問題。”

運算的正確、靈活、合理和簡潔是運算能力的主要特征。

（一）要保證運算的正確

數(shù)學(xué)的概念、公式、法則、定理是進行數(shù)學(xué)運算的依據(jù)。數(shù)學(xué)運算的實質(zhì)就是根據(jù)這些運算的依據(jù)，從已知數(shù)據(jù)及算式中推導(dǎo)出結(jié)果。在這樣的推導(dǎo)、運算的過程中，如果小學(xué)生對數(shù)學(xué)概念、公式、法則、定理掌握不扎實，即出現(xiàn)數(shù)學(xué)運算中的知識性錯誤，運算結(jié)果的正確性必然受到影響。這也是小學(xué)生運算能力差的一個重要的原因。

例如：計算200+20÷10，錯誤的解法：220÷10=22。根據(jù)四則混合運算，算式中既有乘除又有加減，要先計算乘除、后計算加減。又如：一個矩形的花壇，長為4米，寬為3米，求其周長。錯誤的解法：4×2+3=11或4+3×2=10，出現(xiàn)該錯誤的原因在于對于矩形的周長公式掌握不牢固。

（二）理解算理

在適度的訓(xùn)練、逐步熟悉的基礎(chǔ)上，對運算的基礎(chǔ)知識不僅“知其然”，更應(yīng)“知其所以然”，清楚地意識到實施運算中的算理。算理從字面理解，即為運算的原理或者道理，是解決問題的操作程序，解決“為什么算”的問題。學(xué)生

只有理解了計算中的道理，才能夠理解和掌握計算方法，才能正確地、迅速地運算。在深入理解運算法則、公式推導(dǎo)過程的基礎(chǔ)上，進一步關(guān)注法則、公式的使用條件、特例、變式，從多個角度解釋法則和公式、理解多個法則公式間的內(nèi)部聯(lián)系。

以16×4運算的道理為例，首先使得學(xué)生明白16×4表示4個16是多少；其次引導(dǎo)學(xué)生思考運算的原理：16是由1個10和6個1組成的，可以將16×4與以前學(xué)習(xí)的乘法運算結(jié)合起來，先算4個10是多少，再算4個6 是多少，最后將兩次運算的結(jié)果相加，即為16×4的結(jié)果。通過這樣的過程使得學(xué)生理解兩位數(shù)乘一位數(shù)的算理。

（三）選擇合理簡潔的運算途徑

在實施運算分析和解決問題的過程中，要力求做到善于分析運算條件，探究運算方向，選擇運算方法，設(shè)計運算程序，使運算符合算理，合理簡潔。一題多解和多題一解出現(xiàn)在運算過程中是十分普遍的，一題多解體現(xiàn)了運算的靈活性，多題一解體現(xiàn)了運算的普適性。一題多解是激活解法的核心，目的并不在于“解法的多樣化”，而在于思維的“多層次”，在于學(xué)生從眾多的解法中比較反思、分析出解法的優(yōu)劣，最終能夠選擇合理簡潔的運算途徑。

估算是重要的運算技能，是運算能力的特征之一。估算已經(jīng)成為衡量個體數(shù)學(xué)計算能力高低的一個重要標(biāo)準(zhǔn)，要充分重視估算。估算指的是個體懂得什么情況宜于估計而不必作準(zhǔn)確計算，并會靈活使用。

小學(xué)生運用估算策略評價計算答案的合理性在于小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中是非常必要的。小學(xué)生需要用到估算策略（以及動手操作、心算和計算器）來進行整數(shù)的加、減、乘、除四則運算。學(xué)生從三年級開始接觸分數(shù)的初步認識、小數(shù)的初步認識，在此以后的分數(shù)和小數(shù)的運算中，學(xué)生需要估計分數(shù)和小數(shù)運算的

答案。進行估算需要經(jīng)過符合邏輯的思考，需要有一定的依據(jù)，學(xué)生需要掌握估算所必備的知識、技能和策略。

二、如何培養(yǎng)學(xué)生的運算能力

（一）培養(yǎng)學(xué)生良好的計算習(xí)慣

在計算中，養(yǎng)成看到題目先審題的習(xí)慣，這樣計算起來方法會更正確更合理，計算速度會不斷提高。學(xué)會利用有關(guān)法則、定律進行計算，注意有括號的要先算括號里的，同級運算時要按從左至右的順序依次運算，不盲目簡算；還要仔細檢查，看有無錯抄、漏抄、算錯現(xiàn)象。學(xué)生計算出現(xiàn)差錯，錯寫、漏寫數(shù)字和運算符號是常有的事，因此指導(dǎo)好學(xué)生認真書寫也十分重要，規(guī)范的書寫格式可以準(zhǔn)確表達運算的思路和計算步驟。在平時教學(xué)中，要讓學(xué)生真正理解算理和算法之間的關(guān)系，注意算法的優(yōu)化，只有這樣，才能更好地保證學(xué)生正確計算。

（二）基礎(chǔ)計算要過關(guān)

任何復(fù)雜的題都是由一個個簡單的問題組合而成的，無論是兩位數(shù)乘除兩位數(shù)，還是兩位數(shù)乘除三位數(shù)，或其他更復(fù)雜的計算題，他們的基礎(chǔ)都是“20以內(nèi)的加減法”。實踐表明“筆算的錯誤”大部分是由于“20以內(nèi)的加減法”不過關(guān)，達不到不假思索、脫口而出的程度造成的。特別是，如果學(xué)生沒有熟練掌握20以內(nèi)的進位加法和退位減法，到了中高年級學(xué)生的計算速度和準(zhǔn)確性都會受到影響。學(xué)生必須熟練掌握20以內(nèi)的進位加法和退位減法，以及靈活應(yīng)用乘法口訣，這是一切計算的基礎(chǔ)。如果基礎(chǔ)都不熟練，計算起來肯定錯誤百出，速度也會很慢。

（三）注重計算策略的教學(xué)

小學(xué)數(shù)學(xué)的重點不僅僅只是交給學(xué)生正確、基本的計算程序，教師更應(yīng)該

使學(xué)生掌握一系列的解題策略。包括加倍、補償、分割、重新組合等。例如，解決8+7=？的問題，可以采用加倍策略：8+7=8+8-1；湊“5”策略：8+7=5+3+5+2；湊“10”策略：8+7=8+2+5.使用湊“5”策略，湊“10”策略的好處在于：學(xué)生對于“整

五、整十”數(shù)比較熟悉，而且也有利于簡化計算。在學(xué)生熟練地運用這些策略解決個位數(shù)計算的基礎(chǔ)上，還可以將這些策略應(yīng)用于兩位數(shù)、三位數(shù)的加減法運算中，例如：43 + 25 =（40+20）+（3+5），324－86=324－100+14等。

（四）理解算理，便于靈活、簡便地進行計算

計算的算理是說明計算過程中的依據(jù)和合理性，也就是為什么這樣計算。算理是由數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、定律等內(nèi)容構(gòu)成的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論知識。計算的算法是說明計算過程中的規(guī)則和邏輯順序，它通常是算理指導(dǎo)下的一些人為規(guī)定。學(xué)生在學(xué)習(xí)計算的過程中明確了算理和算法，就便于靈活、簡便地進行計算，計算的多樣性才有基礎(chǔ)和可能。算理為了算法提供理論指導(dǎo)，算法使算理具體化。

如兩位數(shù)筆算加法運算法則：“相同數(shù)位對齊，從個位加起，個位相加滿十就向十位進一?！币?guī)定了兩位數(shù)豎式加法的寫法、算法和計算的先后順序。期中“相同數(shù)位對齊”“各位相加滿十向十位進一”的理論依據(jù)是“計算的位值制原則，不同位置上的數(shù)字計數(shù)單位不同，相同單位的數(shù)字才能相加。為什么要從個位加起，從十位加起不可以嗎？其實對于兩位數(shù)不進位加法，從十位加起更簡便。而對于兩位數(shù)進位加法若從十位加起，“進一”后需要十位上再加一，容易出現(xiàn)錯誤。為減少學(xué)生計算錯誤，才規(guī)定“從個位加起”。因此，“計數(shù)的位值制原則”和相同單位的數(shù)才能相加”是兩位數(shù)加法的算理，而“從個位加起”只是一種人為規(guī)定。同樣小數(shù)的加法法則：解決小數(shù)加減問題時，學(xué)生必須先

將小數(shù)點對齊，再按照整數(shù)加減法法則進行計算。因為相同的單位才能進行計算，因此加數(shù)與加數(shù)，被減數(shù)與減數(shù)的各個單位必須對齊。

還要注意兩點：一是強調(diào)算理的教學(xué)，但并不等于每種算法都要讓學(xué)生把算理表達出來，對于有的算理，小學(xué)生是難以表述的，只要讓學(xué)生能意識到它就可以。二是通常不需要在計算教學(xué)中把算理提出來進行專門的教學(xué)，而是把它蘊藏在計算過程之中，讓學(xué)生在計算中明確這樣算的道理。

（五）向?qū)W生傳授靈活的估算策略，提高學(xué)生的估算能力 1.要求學(xué)生使用首位數(shù)進行計算，然后再調(diào)整答案

一個簡單有效的估計策略是先用首位數(shù)估計值來替代每個數(shù)（其他數(shù)位用零代替），然后再計算。得到的結(jié)果會給出精確答案的正確大小，然后再計算，以調(diào)整第一個估計值，接著注意第二位數(shù)字。例如：748+436+192.估計方法是700+400+100=1200，為其他剩余數(shù)字再加200，大約是1400,。請注意這些數(shù)字的傳統(tǒng)程序是先將其四舍五入到最近的百位數(shù)：700+400+200=1300.2.培養(yǎng)學(xué)生先靈活使用四舍五入法則，然后再計算

對于許多運算來說，在實施運算之前就對數(shù)字進行四舍五入是非常有意義的。但是不能被嚴(yán)格的四舍五入規(guī)則限制住，要使選擇的近似數(shù)盡量同具體運算形成“補償”（一個向上取整，另一個則向下，或者向同一個方向取整）和（或）“兼容”（產(chǎn)生能在可視范圍內(nèi)進行計算的數(shù)字）。正如上面例子所表明的，這種類型的四舍五入經(jīng)常在首位策略的調(diào)整階段中使用。例：852×65?？捎嬎?00×60，即大約是54000，或者計算800×70，即大約是56000。我們也可將兩個數(shù)字都向下取整，然后再把答案向上取整，從而可以得出結(jié)論，認為精確答案在48000和63000之間，約為55000。

如： 852×65，可以把852向上取整900,65向下取整60.也可以反過來把

852向下取整800,65向上取整70。

第四篇：課標(biāo)解讀：讓核心素養(yǎng)真正落地

課標(biāo)解讀：讓核心素養(yǎng)真正落地

“讓核心素養(yǎng)落地”，是本次課程標(biāo)準(zhǔn)（以下簡稱“課標(biāo)”）修訂的工作重點。核心素養(yǎng)導(dǎo)向，既是課標(biāo)研制工作的主線，也是課標(biāo)文本的主旋律。

一、用核心素養(yǎng)來表述課程目標(biāo)，讓課程“目中有人”

課程目標(biāo)是對學(xué)生學(xué)習(xí)及發(fā)展結(jié)果的期待，是課程內(nèi)容選擇、教學(xué)活動設(shè)計、學(xué)業(yè)質(zhì)量確立的基本方向和依據(jù)。此次課標(biāo)修訂，力求使課程目標(biāo)自覺體現(xiàn)本課程在培育學(xué)生核心素養(yǎng)方面的基本貢獻，結(jié)合本課程的性質(zhì)、理念及課程的基本內(nèi)容，從核心素養(yǎng)視角對課程總目標(biāo)及學(xué)段目標(biāo)進行表述。課程目標(biāo)的素養(yǎng)導(dǎo)向，有利于轉(zhuǎn)變那種將知識、技能的獲得等同于學(xué)生發(fā)展的目標(biāo)取向，引領(lǐng)教學(xué)實踐及教學(xué)評價從核心素養(yǎng)視角來促進和觀察學(xué)生的全面發(fā)展。

二、以課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)化來引領(lǐng)教學(xué)實踐變革，讓學(xué)生在主動活動中生成素養(yǎng)

本次課標(biāo)修訂的一項重要變革，是以結(jié)構(gòu)化的方式（如主題、項目、任務(wù)等）來組織課程內(nèi)容。課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)化，意在改變知識、技能的簡單線性排列方式，強化知識間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，凸顯學(xué)科的本質(zhì)、思想方法以及內(nèi)在邏輯。課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)化，既強調(diào)學(xué)科知識結(jié)構(gòu)，還強調(diào)在這樣的結(jié)構(gòu)中所隱含著的學(xué)生的活動及活動方式的結(jié)構(gòu)化，為課程內(nèi)容的活化、動態(tài)化，教學(xué)活動的綜合性、實踐性提供內(nèi)容基礎(chǔ)。結(jié)構(gòu)化的內(nèi)容組織方式，凸顯出不同的知識技能在學(xué)科知識結(jié)構(gòu)中所處的不同地位、所承載的不同教育價值，提示著教學(xué)實踐以整體有序、多樣綜合的方式來挖掘知識的育人價值。課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)化，有利于克服教學(xué)中知識點的逐點解析、技能的單項訓(xùn)練等弊端，引導(dǎo)教師主動變革教學(xué)實踐，從關(guān)注知識技能的“點狀”“傳輸”自覺變革為關(guān)注學(xué)生對知識技能的主動學(xué)習(xí)和思考，關(guān)注教學(xué)的關(guān)聯(lián)性、整體性，關(guān)注學(xué)生在主動活動中所形成的知識、技能、過程、方法、態(tài)度、品格、境界的綜合效應(yīng)，關(guān)注學(xué)生核心素養(yǎng)的養(yǎng)成。

需要指出的是，內(nèi)容結(jié)構(gòu)化，并不意味著可以忽視或無視知識點，而是要在知識結(jié)構(gòu)中去重新認識和定位知識點的意義與價值，要在學(xué)生的主動活動中實現(xiàn)知識點的教育價值。在課程標(biāo)準(zhǔn)的“課程內(nèi)容”一章，有“內(nèi)容要求”“學(xué)業(yè)要求”“教學(xué)提示”三個部分。這三個部分缺一不可、內(nèi)在關(guān)聯(lián)。“內(nèi)容要求”指向“學(xué)什么”——強調(diào)在結(jié)構(gòu)中的、扎實的基礎(chǔ)知識學(xué)習(xí)的重要性，防止知識虛化；“學(xué)業(yè)要求”指向“學(xué)得怎樣”——結(jié)合教學(xué)內(nèi)容要求，提出素養(yǎng)發(fā)展目標(biāo)；“教學(xué)提示”指向“怎么學(xué)”——即：學(xué)習(xí)這樣的內(nèi)容、達到這樣的要求，學(xué)生必須經(jīng)歷哪些基本的、典型的活動，讓課程“活”起來、“動”起來，讓學(xué)生進入課程，讓課程內(nèi)容變?yōu)閷W(xué)生主動學(xué)習(xí)的活動。

三、依素養(yǎng)發(fā)展水平來描述學(xué)業(yè)質(zhì)量，讓學(xué)生素養(yǎng)具體化、鮮明化

學(xué)生素養(yǎng)發(fā)展，貫穿課標(biāo)全文本，隱含在課程內(nèi)容及教學(xué)實踐中，體現(xiàn)在課程學(xué)習(xí)結(jié)果的具體描述中。例如：數(shù)學(xué)學(xué)科提出應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生具有如下素養(yǎng)：會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界、會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界、會用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界。那么，如何才算具有了數(shù)學(xué)的“眼光”“思維”“語言”，有什么樣的表現(xiàn)才能判定學(xué)生是“會用”了，能夠觀察、思考、表達現(xiàn)實世界中的什么樣的問題，才算是“會”了？這就既需要有課程目標(biāo)的總體指向，需要內(nèi)容的選擇、組織，還需要在各部分內(nèi)容的“學(xué)業(yè)要求”及最終的“學(xué)業(yè)質(zhì)量”部分中，做具體的描述，使核心素養(yǎng)，不再是空洞的語詞口號而變成學(xué)生真實的能力、品格和價值觀。

此次課標(biāo)修訂，希望讓課程標(biāo)準(zhǔn)真正成為教科書編寫的依據(jù)、教學(xué)活動開展的依據(jù)、教學(xué)評價的依據(jù)，讓課標(biāo)使用者感到課標(biāo)能用、管用、好用，真正引領(lǐng)、推動教學(xué)實踐的深度變革，提高我國義務(wù)教育教學(xué)質(zhì)量，讓核心素養(yǎng)落地，實現(xiàn)立德樹人的根本任務(wù)。（北京師范大學(xué)教育學(xué)院教授

郭華）

課標(biāo)解讀：讓核心素養(yǎng)真正落地

“讓核心素養(yǎng)落地”，是本次課程標(biāo)準(zhǔn)（以下簡稱“課標(biāo)”）修訂的工作重點。核心素養(yǎng)導(dǎo)向，既是課標(biāo)研制工作的主線，也是課標(biāo)文本的主旋律。

一、用核心素養(yǎng)來表述課程目標(biāo)，讓課程“目中有人”

課程目標(biāo)是對學(xué)生學(xué)習(xí)及發(fā)展結(jié)果的期待，是課程內(nèi)容選擇、教學(xué)活動設(shè)計、學(xué)業(yè)質(zhì)量確立的基本方向和依據(jù)。此次課標(biāo)修訂，力求使課程目標(biāo)自覺體現(xiàn)本課程在培育學(xué)生核心素養(yǎng)方面的基本貢獻，結(jié)合本課程的性質(zhì)、理念及課程的基本內(nèi)容，從核心素養(yǎng)視角對課程總目標(biāo)及學(xué)段目標(biāo)進行表述。課程目標(biāo)的素養(yǎng)導(dǎo)向，有利于轉(zhuǎn)變那種將知識、技能的獲得等同于學(xué)生發(fā)展的目標(biāo)取向，引領(lǐng)教學(xué)實踐及教學(xué)評價從核心素養(yǎng)視角來促進和觀察學(xué)生的全面發(fā)展。

二、以課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)化來引領(lǐng)教學(xué)實踐變革，讓學(xué)生在主動活動中生成素養(yǎng)

本次課標(biāo)修訂的一項重要變革，是以結(jié)構(gòu)化的方式（如主題、項目、任務(wù)等）來組織課程內(nèi)容。課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)化，意在改變知識、技能的簡單線性排列方式，強化知識間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，凸顯學(xué)科的本質(zhì)、思想方法以及內(nèi)在邏輯。課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)化，既強調(diào)學(xué)科知識結(jié)構(gòu)，還強調(diào)在這樣的結(jié)構(gòu)中所隱含著的學(xué)生的活動及活動方式的結(jié)構(gòu)化，為課程內(nèi)容的活化、動態(tài)化，教學(xué)活動的綜合性、實踐性提供內(nèi)容基礎(chǔ)。結(jié)構(gòu)化的內(nèi)容組織方式，凸顯出不同的知識技能在學(xué)科知識結(jié)構(gòu)中所處的不同地位、所承載的不同教育價值，提示著教學(xué)實踐以整體有序、多樣綜合的方式來挖掘知識的育人價值。課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)化，有利于克服教學(xué)中知識點的逐點解析、技能的單項訓(xùn)練等弊端，引導(dǎo)教師主動變革教學(xué)實踐，從關(guān)注知識技能的“點狀”“傳輸”自覺變革為關(guān)注學(xué)生對知識技能的主動學(xué)習(xí)和思考，關(guān)注教學(xué)的關(guān)聯(lián)性、整體性，關(guān)注學(xué)生在主動活動中所形成的知識、技能、過程、方法、態(tài)度、品格、境界的綜合效應(yīng)，關(guān)注學(xué)生核心素養(yǎng)的養(yǎng)成。

需要指出的是，內(nèi)容結(jié)構(gòu)化，并不意味著可以忽視或無視知識點，而是要在知識結(jié)構(gòu)中去重新認識和定位知識點的意義與價值，要在學(xué)生的主動活動中實現(xiàn)知識點的教育價值。在課程標(biāo)準(zhǔn)的“課程內(nèi)容”一章，有“內(nèi)容要求”“學(xué)業(yè)要求”“教學(xué)提示”三個部分。這三個部分缺一不可、內(nèi)在關(guān)聯(lián)?！皟?nèi)容要求”指向“學(xué)什么”——強調(diào)在結(jié)構(gòu)中的、扎實的基礎(chǔ)知識學(xué)習(xí)的重要性，防止知識虛化；“學(xué)業(yè)要求”指向“學(xué)得怎樣”——結(jié)合教學(xué)內(nèi)容要求，提出素養(yǎng)發(fā)展目標(biāo)；“教學(xué)提示”指向“怎么學(xué)”——即：學(xué)習(xí)這樣的內(nèi)容、達到這樣的要求，學(xué)生必須經(jīng)歷哪些基本的、典型的活動，讓課程“活”起來、“動”起來，讓學(xué)生進入課程，讓課程內(nèi)容變?yōu)閷W(xué)生主動學(xué)習(xí)的活動。

三、依素養(yǎng)發(fā)展水平來描述學(xué)業(yè)質(zhì)量，讓學(xué)生素養(yǎng)具體化、鮮明化

學(xué)生素養(yǎng)發(fā)展，貫穿課標(biāo)全文本，隱含在課程內(nèi)容及教學(xué)實踐中，體現(xiàn)在課程學(xué)習(xí)結(jié)果的具體描述中。例如：數(shù)學(xué)學(xué)科提出應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生具有如下素養(yǎng)：會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界、會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界、會用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界。那么，如何才算具有了數(shù)學(xué)的“眼光”“思維”“語言”，有什么樣的表現(xiàn)才能判定學(xué)生是“會用”了，能夠觀察、思考、表達現(xiàn)實世界中的什么樣的問題，才算是“會”了？這就既需要有課程目標(biāo)的總體指向，需要內(nèi)容的選擇、組織，還需要在各部分內(nèi)容的“學(xué)業(yè)要求”及最終的“學(xué)業(yè)質(zhì)量”部分中，做具體的描述，使核心素養(yǎng)，不再是空洞的語詞口號而變成學(xué)生真實的能力、品格和價值觀。

此次課標(biāo)修訂，希望讓課程標(biāo)準(zhǔn)真正成為教科書編寫的依據(jù)、教學(xué)活動開展的依據(jù)、教學(xué)評價的依據(jù)，讓課標(biāo)使用者感到課標(biāo)能用、管用、好用，真正引領(lǐng)、推動教學(xué)實踐的深度變革，提高我國義務(wù)教育教學(xué)質(zhì)量，讓核心素養(yǎng)落地，實現(xiàn)立德樹人的根本任務(wù)。（北京師范大學(xué)教育學(xué)院教授

郭華）

第五篇：課標(biāo)解讀工作總結(jié)

溱水路小學(xué)課標(biāo)解讀工作總結(jié)

根據(jù)市教研室關(guān)于課標(biāo)解讀的工作精神及安排，我校積極開展課標(biāo)解讀工作。在教導(dǎo)處的精心組織下，課標(biāo)解讀工作開展順利并取得了初步的成果?，F(xiàn)具體總結(jié)如下：

一、加強學(xué)習(xí)，更新教學(xué)理念,積極投身課標(biāo)解讀

為了搞好我校的課標(biāo)解讀工作，我們多次召開教研組長、備課組長會議，在樊校長的帶領(lǐng)下，集中學(xué)習(xí)了市教研室有關(guān)課標(biāo)解讀的文件，使每個教研組長、備課組長透徹的領(lǐng)會了課標(biāo)解讀的精神。各學(xué)科教研組長及時傳達市教研室關(guān)于課標(biāo)解讀的具體安排要求。教導(dǎo)處兩次組織課標(biāo)解讀工作的大討論，制定切實可行的學(xué)校課標(biāo)解讀方案。通過學(xué)習(xí)，從任課教師到教研組長、備課組長，統(tǒng)一了思想，提高了認識，把課標(biāo)解讀工作作為本學(xué)期校本教研活動的重點工作來做。各教研組、備課組能夠積極行動，積極開展活動。

1、加強學(xué)習(xí)，不斷更新教學(xué)理念.。我們深知學(xué)習(xí)的重要性。所以，在實踐中，我們努力學(xué)習(xí)《課程標(biāo)準(zhǔn)》及解讀等教學(xué)理論，從而豐富更新自己的頭腦。我們緊緊圍繞學(xué)習(xí)新課程標(biāo)準(zhǔn)，構(gòu)建新課程，嘗試新教法的目標(biāo)，不斷更新教學(xué)觀念。注重把學(xué)習(xí)新課程標(biāo)準(zhǔn)與構(gòu)件新理念有機的結(jié)合起來。將理論聯(lián)系到實際教學(xué)工作中，解放思想，更新觀念.。確立了“一切為了人的發(fā)展”的教學(xué)理念。樹立“以人為本，育人為本”的思想。

2、學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變是本次課標(biāo)解讀的顯著特征。針對實踐中存在的問題，我們繼續(xù)確定了“學(xué)會學(xué)習(xí)、學(xué)會交流、學(xué)會合作” 的學(xué)習(xí)模式。在教學(xué)中努力創(chuàng)造和諧的學(xué)習(xí)氣氛。解讀以來，老師們學(xué)習(xí)能力和解決問題的能力提高了，合作意識增強了，小組合作學(xué)習(xí)正走向?qū)嵭А?/p>

二、備課組分工明確，任務(wù)具體，確保課標(biāo)解讀順利進行

為了更好的完成課標(biāo)解讀工作，使每個教師在解讀教材課標(biāo)的過程中提高對課標(biāo)教材的理解和把握，提高我校教師的學(xué)科實施能力，促進教師專業(yè)化發(fā)展。在教導(dǎo)處的指導(dǎo)下，語文、數(shù)學(xué)、英語三科根據(jù)自己學(xué)科特點將本學(xué)期教材的解讀內(nèi)容進行了分工，每個教師都有自己的任務(wù)。如語文學(xué)科每個教師解讀一個單元，英語學(xué)科按單元分配，數(shù)學(xué)每個教師解讀幾個章節(jié)等。在規(guī)定的時間內(nèi)完成各自的解讀任務(wù)。有不少教師在完成學(xué)校分給的任務(wù)的同時，還互相幫助，相互探討解讀的策略。

三、人人參與，共同成長，確保課標(biāo)解讀的實效性

各備課組能夠按照學(xué)校課標(biāo)解讀的要求，把教材解讀工作與集體備課融為一體進行，是我校的傳統(tǒng)的教材分析變?yōu)榫哂锌蒲幸饬x的課標(biāo)解讀。以課文確定主備人，人人有任務(wù)，人人鉆研課標(biāo)和教材。先個人解讀，后集體討論，解惑釋疑，確定結(jié)果，形成教案。主備人在集體說課前先說自己的研讀思路，然后每個成員針對解讀內(nèi)容，說出自己的意見，討論教法、學(xué)法實施策略是否恰當(dāng)，對解讀出來的困惑和問題，再進行集體討論，由本組的骨干教師或經(jīng)驗豐富的老師做總結(jié)指導(dǎo)，達成共識，形成初步的材料。解讀以來，老師們學(xué)習(xí)能力和解決問題的能力提高了，合作意識增強了，小組合作學(xué)習(xí)正走向?qū)?效。

四、吃透教材，把握教法，確保學(xué)生健康成長

課標(biāo)教材解讀的目的是為了促使老師更好的把握教材，吃準(zhǔn)課標(biāo)這個“度”，使老師更有效的備好課，上好課。在課標(biāo)解讀過程中，不少老師能夠以解讀成果指導(dǎo)備課上課，并以學(xué)校教學(xué)擂臺賽為平臺上好一節(jié)公開課，提高了上課的質(zhì)量和層次。

1、深入鉆研教材，備好每一堂課。能根據(jù)教材內(nèi)容及學(xué)生的實際，擬定教學(xué)方法，創(chuàng)造性地使用教材，編寫比較實用性的教案，教案中體現(xiàn)學(xué)法的指導(dǎo)。

2、努力改變教學(xué)方式，提高教學(xué)質(zhì)量。在課堂上，大膽改革傳統(tǒng)的教學(xué)方法，把自主學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)引入課堂，注意調(diào)動學(xué)生的積極性，加強師生互動，充分體現(xiàn)學(xué)生的主動性，讓學(xué)生學(xué)得容易，學(xué)得輕松，學(xué)得愉快。同時，在每一堂課上都充分考慮每一個層次的學(xué)生學(xué)習(xí)需求和學(xué)習(xí)能力，讓各個層次的學(xué)生都得到提高。因而取得較好的教學(xué)效果。

3、精心設(shè)計練習(xí)，認真批改作業(yè)。力求每一次練習(xí)都有針對性，有層次性。同時對學(xué)生的作業(yè)批改及時、認真，分析并記錄學(xué)生的作業(yè)情況，將他們在作業(yè)過程出現(xiàn)的問題做出分類總結(jié)，進行講評，并針對有關(guān)情況及時改進教學(xué)方法，做到有的放矢。同時根據(jù)教學(xué)內(nèi)容布置實踐性的作業(yè)，如，語文辦手抄小報、數(shù)學(xué)到超市調(diào)查商品售貨狀況等。

4、做好學(xué)科培優(yōu)轉(zhuǎn)差工作，全面提高教學(xué)質(zhì)量。對于學(xué)習(xí)能力相 對好的學(xué)生注重他們在更深層次上的學(xué)習(xí)和探究；對于學(xué)習(xí)能力相對困難的學(xué)生，從基礎(chǔ)知識方面著手對其進行再一次針對性的教育教學(xué)，促使他們可以逐漸跟上其他同學(xué)的腳步。在課后，為不同層次的學(xué)生進行相應(yīng)的輔導(dǎo)，以滿足不同層次的學(xué)生的需求，避免了一刀切的弊端，同時加大了后進生的輔導(dǎo)力度。通過老師的不懈努力，同學(xué)們在探究問題、預(yù)習(xí)、解決問題等方面有了較大的提高，后進生學(xué)習(xí)積極性也有所提高，能自覺完成作業(yè)，考試不及格的人數(shù)也逐漸減少。

五、積極反思，善于發(fā)現(xiàn)，確保自身素質(zhì)不斷提高

在新課標(biāo)精神的指引下，我們認真做好教學(xué)反思工作，不斷提高自身的業(yè)務(wù)素養(yǎng)。授課后及時記載本課教學(xué)的成功和失誤，能夠比較真實地從教法的選擇、教師的備課、教學(xué)目標(biāo)的要求與學(xué)生的認知水平及教材的編寫等方面加以分析，尋找問題出在哪里，并能提出今后的改革措施。從而不斷總結(jié)經(jīng)驗，吸取教訓(xùn)，改進教法，提高自身的業(yè)務(wù)素養(yǎng)。

積極參加教研活動，努力提高自己的理論水平。在備課組教研中積極發(fā)言，在教學(xué)目標(biāo)，教材處理，規(guī)劃教學(xué)流程，創(chuàng)設(shè)問題情境，化解教學(xué)疑問，促進學(xué)生心智發(fā)展上，善于提出自己的意見與建議。在學(xué)校的教研中，敢于提出自己不同的見解和發(fā)表自己的意見。

六、課標(biāo)解讀的困惑。

1、課標(biāo)解讀需要專家引領(lǐng)和指導(dǎo)。

2、解讀成果書寫形式需要進一步規(guī)范。