第一篇：重要不等式應(yīng)用匯總9奧賽必備0

重要不等式應(yīng)用匯總

數(shù)學(xué)競賽常用

1． 排序不等式：

設(shè)a1?a2?...?an, b1?b2?...?bn j1,j2,...,jn是1,2,...,n的一個排列，則

2． 均值不等式：當(dāng)ai?R?（in111????a1a2an?na1bn?a2bn?1?...?anb1?a1bj1?a2bj2?...?anbjn?a1b1?a2b2?...?anbn.?1,2,?n）時，有：

a?a2???ana1a2?an?1?na1?a2???an

n2223． 柯西不等式：設(shè)ai,bi?R(i?1,2,...n)則(?a)(?b2ii?1i?1nn2i)?(?aibi)2.i?1n等號成立當(dāng)且僅當(dāng)存在??R，使得bi??ai(i?1,2,...,n).從歷史角度看，柯西不等式又可稱柯西--布理可夫斯基-席瓦茲不等式 變形：（1）設(shè)ai?R,bi?R則

?na??bi?1in2i(?ai)2(?bi)i?1i?1n.（2）設(shè)ai,bi同號，且ai,bi?0,則?ai?i?1bin(?ai)2(?aibi)i?1i?1nn.4． 琴生（Jensen）不等式：若f(x)是(a,b)上的凸函數(shù)，則對任意x1,x2,...,xn?(a,b)

x1?x2?...?xn1)?[f(x1)?f(x2)?...?f(xn)].nn5．冪均值不等式： f(?????a1?a2?...?ana1??a2?...?an?設(shè)????0(ai?R)則 M??()?()??M?.nn6.切比雪夫不等式：

?11設(shè)兩個實數(shù)組a1?a2?...?an，b1?b2?...?bn則

1(a1bn?a2bn?1?...?anb1)?n?a?bii?1nnin?i?1nn?1(a1b1?a2b2?...?anbn).nnii（該不等式的證明只用排序不等式及7．一個基礎(chǔ)不等式：

?a??b的表達式就可得證）

i?1i?1x?y1????x?(1??)y 其中x,y?0,??[0,1],若x,y中有一個為零，則結(jié)論成立 8．赫爾德（Holder）不等式：設(shè) ak,bk?0(k?1,2,...n).p,q?1且

11??1，則 pq?abkk?1nk?(?akp)?(?bkq)（等號成立當(dāng)且僅當(dāng)akp?tbkq）

k?1k?1n1pn1q*9.與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的一個不等式：

x ?ln(1?x)?x，x?0.（該不等式的證明利用導(dǎo)數(shù)的符號得出函數(shù)的單調(diào)性）1?x*10．三角函數(shù)有關(guān)的不等式：sinx?x?tanx x?(0,*11．絕對值不等式: 設(shè)a,b,a1,a2,?an*12．舒爾（Schur）不等式：

設(shè)x,y,z?R，則x(x?y)(x?z)?y(y?x)(y?z)?z(z?x)(z?y)?0 *13.閔可夫斯基（Minkowski）不等式：

如果x1,x2,......,xn與y1,y2,......,yn都是非負實數(shù)p?1，那么(?(xi?yi))?(?x)?(?y)ppipii?1i?1i?1n1pn1pn1p?2)

?C，則有：│|a|-|b|│≤│a+b│≤│a│+│b│；

│a1?a2???an│≤a1?a2???an

?14.貝努利不等式

（1）設(shè)xi??1,i?1,2,?n,n?2且同號，則

?(1?x)?1??xii?1i?1nni

（2）設(shè)x??1，則（ⅰ）當(dāng)0???1 時，有(1?x)?1??x；

（ⅱ）當(dāng)??1或??0 時，有(1?x)??1??x，上兩式當(dāng)且僅當(dāng)x?0時等號成立。不等式（1）的一個重要特例是(1?x)n?1?nx(x??1,x?0,n?N,n?2)15.艾爾多斯—莫迪爾不等式

設(shè)P為△ABC內(nèi)部或邊界上一點，P到三邊距離分別為PD，PE，PF，則

?PA?PB?PC?2(PD?PE?PF)當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為正三角形，且P為三角形中心時上式取等號。這是用于幾何問題的證明和求最大（?。┲禃r的一個重要不等式 16.外森比克不等式：

已知三角形的邊長為a,b,c，其面積為S，求證a?b?c?43S，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取等號

222其他不等式綜合問題 例1：（第26屆美國奧數(shù)題）設(shè)a、b、c∈R+，求證：1111 ???333333a?b?abcb?c?abcc?a?abcabc11 ?3a?b?c?abcdabcd33推廣1：設(shè)a、b、c、d∈R+，求證：?推廣2：設(shè)ai∈R+(i=1、2、3，…，n),求證：?n1i?ki?1?a??aii?1nin?1?aii?1n

例2：設(shè)x、y、z∈R+，求證：

x2y2z2?2?2?1.2222y?z?yzz?x?zxx?y?xyn推廣1：設(shè)ai∈R+，(I=1,2,3,…，n)求證：?推廣2：設(shè)xyz∈R+，求證：

aink?in?ak??akk?i?1.i?1xn?1yn?1zn?13 ?n?1n?n?1n?n?1nn?12n?1n?12n?1n?12n?1n?2y?yz?yz?????zz?zx?zx????xx?xy?xy?????y例3：設(shè)x、y∈（0，1），求證：

112。（9）??1?x21?y21?xy1n? nni?11?xi1??xini?1推廣1：xi∈（0，1）(i=1、2、3，…，n),求證：?推廣2：xi∈（0，1）,(i=1、2、3，…，n),求證：?n11?.?2i?11?xi?11?xixi?1inn11?.（xn+1=x1）?推廣3：xi∈（1，+∞）,(i=1、2、3，…，n),求證：?2i?11?xi?11?xixi?1in例4．已知a,b,c,m為正數(shù)．求證：

abca?mb?mc?m． ?????bcab?mc?ma?m222例5．設(shè)正數(shù)x,y,z,a,b,c滿足cy+bz=a,az+cx=b,bx+ay=c,求函數(shù)f(x,y,z)=x?y?z的最

1?x1?y1?z小值.例6．設(shè)n是給定的正整數(shù)，且n≥3,對于n個實數(shù)x1,x2,…,xn，記|xi-xj|(1≤i

例7．設(shè)n是一個固定的整數(shù)，n≥2(Ⅰ)確定最小的常數(shù)c使得不等式

1?i?j?n?xxij(xi?xj)?c(?xi)4對所有的非負實數(shù)x1，x2，…，xn都成立；(Ⅱ)對于(Ⅰ)中的22i?1n常數(shù)c，確定等號成立的充要條件。

例8．（2007年CMO試題5）設(shè)有界數(shù)列{an}(n?1)滿足an?2n?2006?k?nak1?,n?1,2,3? k?12n?2007求證：an?1,n?1,2,3,? n

第二篇：高中數(shù)學(xué)奧賽講義：競賽中常用的重要不等式

高中數(shù)學(xué)奧賽講義：

競賽中常用的重要不等式

【內(nèi)容綜述】

本講重點介紹柯西不等式、排序不等式、切比雪夫不等式的證明與應(yīng)用

【要點講解】

目錄 §1 柯西不等式

§2 排序不等式

§3 切比雪夫不等式

★ ★ ★

§1。柯西不等式

定理1 對任意實數(shù)組

恒有不等式“積和方不大于方和積”，即

等式當(dāng)且僅當(dāng)

本不等式稱為柯西不等式。

時成立。

思路一 證不等式最基本的方法是作差比較法，柯西不等式的證明也可首選此法。

證明1

∴右-左=

當(dāng)且僅當(dāng) 思路2 注意到 證明2

當(dāng)

當(dāng)定值時，等式成立。時不等式顯然成立，當(dāng)

時，不等式左、右皆正，因此可考慮作商比較法。

時等式成立； 時，注意到

=1

故

當(dāng)且僅當(dāng)

且

（兩次放縮等式成立條件要一致）

即 同號且 常數(shù)，亦即

思路3 根據(jù)柯西不等式結(jié)構(gòu)，也可利用構(gòu)造二次函數(shù)來證明。

證明3 構(gòu)造函數(shù)

由于。

恒非負，故其判別式

即有

等式當(dāng)且僅當(dāng)

若

常數(shù)時成立。

柯西不等式顯然成立。

例1 證明均值不等式鏈：

調(diào)和平均數(shù)≤算術(shù)平均數(shù)≤均方平均數(shù)。

證 設(shè)

本題即是欲證：

本題證法很多，現(xiàn)在我們介紹一種主要利用柯西不等式平證明的方法

(1)先證

注意到

此即

由柯西不等式,易知②成立,從而①真 欲證①,即需證

②

①

(11)再證

欲證③,只需證 , ③

而④即要證

④

⑤

(注意

由柯西不等式,知⑤成立.(Ⅰ)(Ⅱ)中等式成立的條件都是)

即各正數(shù)彼此相等.說明：若再利用熟知的關(guān)系(★)

（其中，結(jié)合代換，即

當(dāng)且僅當(dāng)式鏈

時，等式成立，說明★的證明參見下節(jié)排序不證式或數(shù)學(xué)歸納法，這樣就得到一個更完美的均值不等

其中等式成產(chǎn)條件都是

§２．排序不等式

定理２設(shè)有兩組實數(shù)，．

滿足

則

(例序積和)（亂序積和）（須序積和）

其中是實數(shù)組時成立。

一個排列，等式當(dāng)且僅當(dāng)或

說明 本不等式稱排序不等式，俗稱

例序積和亂序積和須序積和。

證法一． 逐步調(diào)整法

首先注意到數(shù)組

也是有限個數(shù)的集合，從而也只有有限個不同值，故其中必有最大值和最小值（極端性原理）。

設(shè)注意下面的兩個和

注意

S（★）

由小到大的順序排列，最小的和就對應(yīng)

只要適當(dāng)調(diào)整，如★所示就可越調(diào)，可見和數(shù)Ｓ中最大的和，只能是對應(yīng)數(shù)組數(shù)組從大到小的依序排列，不符合如此須序的越大（小），其中ｉ＝１，２??，n。

證法＝ 設(shè)

由 則顯見的一個k階子集

等式當(dāng)且僅當(dāng)

式

即，時,成立

這就證明了亂序積和≤順序積和

注意列

這里 含義同上，于是有，仿上面證明，得

又證明了例序積和≤亂序積和

綜上排序不等式成立.例2 利用排序不等式證明柯西不等式：

其中

證 不失一般性，設(shè)得

（例序積和≤亂序積和)

相加即得

等式當(dāng)且僅當(dāng)；

為常數(shù)時成立。，則由排序不等式可

①

又∵算術(shù)平均值不大于平方平均值，（★）故

代入①，即得

平方后，即得柯西不等式

說明“算術(shù)平均≤平方平均”可用數(shù)學(xué)歸納法直接證明如下：

證（i）設(shè)n=2，則

（ii）設(shè)n=k時，顯然成立

成立，即有

欲證n=k+1時，有

成立，只需證

考慮到歸納假設(shè)，只需證

（★）

而（★）是顯然成立的,故n=k+1時命題成立,于是對證法就不存在循環(huán)論證之嫌，否則此證法是不宜的。

且n≥2時,命題成立，正是因為存大著不依賴柯西不等式證明“算術(shù)平均≤平方平均”的證明方法，例2的例3 利用排序不等式證明正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于幾何平均數(shù)。

證 設(shè)，易見

構(gòu)造數(shù)列，使

則由★知于是由排序不等式,有

(亂序積和)

，(例序積和)

即

從而

其中等式當(dāng)且僅當(dāng)

時成立

說明 這里構(gòu)造了兩個數(shù)列值不等式的簡捷、漂亮解法。

§3契比雪夫不等式

設(shè)

(i)若數(shù)算術(shù)平均數(shù)之積：(i=1,2?，n)

和為應(yīng)用排序不等式創(chuàng)造了條件，得列一個證明均

則順序積和的算術(shù)平均數(shù)不小于這兩組

（ⅱ）若兩組數(shù)算術(shù)平均數(shù)之積：

；，則倒序積和的算術(shù)平均數(shù)不大于這

證明（i）由排序原理有

??

迭加可得，，兩邊除以得

等式當(dāng)且僅當(dāng)

類似可證(ⅱ)成立

例4 設(shè)

證明 不妨令

由切比雪夫不等式，有

；，求證，則

即

從而得證

說明 大家較熟悉的美國競賽題

1979年青海賽題

1978年上海賽題

都是本例的特殊情況或變形。

本周強化練習(xí)：

★★★1．設(shè)

求的最小值

★★★2．若a、b、c是三角形三邊長，s是半周長。求證：Vn∈N，下式成立

解答或提示

1．不妨令

由切比雪夫不等式

當(dāng)且僅當(dāng) 2．設(shè)a≥b≥c,則a+b≥a+c≥b+c,()

第三篇：均值不等式及其應(yīng)用

教師寄語：一切的方法都要落實到動手實踐中

高三一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)學(xué)案

均值不等式及其應(yīng)用

一．考綱要求及重難點

要求：1.了解均值不等式的證明過程.2.會用均值不等式解決簡單的最大（小）值問題.重難點：1.主要考查應(yīng)用不等式求最值和不等式的證明.2.對均值不等式的考查多以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，難度為中低檔題，若出現(xiàn)證明題難度也不會太大.二．考點梳理

a?b1.均值定理：?；

2（1）均值不等式成立的條件是_________.（2）等號成立的條件是：當(dāng)且僅當(dāng)_________時取等號.（3）其中_________稱為正數(shù)a,b的算術(shù)平均值，_________稱為正數(shù)a，b的幾何平均值.2.利用均值定理求最值

M2

1）.兩個正數(shù)的和為定值時，它們的積有最大值，即若a，b∈R，且a＋b＝M，M為定值，則ab≤，4＋

等號當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時成立.簡記：和定積最大。

2）.兩個正數(shù)的積為定值時，它們的和有最小值，即若a，b∈R，且ab＝P，P為定值，則a＋b≥2P，＋

等號當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時成立.簡記：積定和最小。

3、幾個重要的不等式

（1）a?b?2ab(a,b∈R)（2）22ba ??2(a,b同號）ab

a2?b2a?b2a?b2?()（a,b?R）（3）ab?()（a,b?R）（4）22

2三、學(xué)情自測

1、已知a?0，b?0，且a?b?2，則（）

112222A、ab?B、ab?C、a?b?2D、a?b?3 222、給出下列不等式：①a?1?2a21?2；③x2?2?1，其中正確的個數(shù)是 x?1A、0B、1C、2D、31的最大值是___________。x4、長為24cm的鐵絲做成長方形模型，則模型的最大面積為___________。

125.已知正數(shù)a,b，滿足a?b?1，則?的最小值為 ab3、設(shè)x?0，則y?3?3x?

均值不等式及其應(yīng)用第 1頁（共4頁）

四．典例分析

考向一：利用均值不等式求最值

212xy??22x?3xy?4y?z?0,則當(dāng)z取得最大值時,xyz的最大例

1、（2013山東）設(shè)正實數(shù)x,y,z滿足

值為（）

A．0

B．1 9C．4 D．

3x2?7x?10變式訓(xùn)練1.若x??1，求函數(shù)f(x)?的最大值。x?

12.（2013天津數(shù)學(xué)）設(shè)a + b = 2, b>0, 則當(dāng)a = ______時,考向

二、利用均值不等式證明簡單不等式

例

2、已知x?0,y?0,z?0，求證：（變式訓(xùn)練

2、已知a,b,c都是實數(shù)，求證：a?b?c?

2221|a|取得最小值.?2|a|byzxzxy?)(?)(?)?8 xxyyzz1(a?b?c)2?ab?bc?ac

3考向

三、均值不等式的實際應(yīng)用

例

3、小王于年初用50萬元購買一輛大貨車,第一年因繳納各種費用需支出6萬元,從第二年起,每年都比

上一年增加支出2萬元,假定該年每年的運輸收入均為25萬元.小王在該車運輸累計收入超過總支出后,考慮將大貨車作為二手車出售,若該車在第x年年底出售,其銷售價格為25?x萬元(國家規(guī)定大貨車的報廢年限為10年).(1)大貨車運輸?shù)降趲啄昴甑?該車運輸累計收入超過總支出?

(2)在第幾年年底將大貨車出售,能使小王獲得的年平均利潤最大?)(利潤=累計收入+銷售收入-總支出)

變式訓(xùn)練：

如圖：動物園要圍成相同面積的長方形虎籠四間，一面可利用原有的墻，其他各面用鋼筋網(wǎng)圍成。

（1）現(xiàn)有可圍36米長鋼筋網(wǎng)的材料，每間虎籠的長、寬各設(shè)計為多少時，可使每間虎籠面積最大？

（2）若使每間虎籠面積為24m，則每間虎籠的長、寬各設(shè)計為多少時，可使四間虎籠的鋼筋網(wǎng)總長最?。?/p>

五、當(dāng)堂檢測

1、若a,b?R且ab?0，則下列不等式中，恒成立的是（）

2A、a?b?2abB、a?b?、11ba??、??2 abab2、若函數(shù)f(x)?x?1(x?2)在x?a處取得最小值，則a?（）x?

2A、1B、1?C、3D、4ab3、已知log2?log2?1，則3?9的最小值為___________。ab

4.若點A?1,1?在直線mx?ny?2?0上,其中mn?0,則11?的最小值為__________.mn

六、課堂小結(jié)

七、課后鞏固

511、已知x?，則函數(shù)y?4x?2?的最大值是（）44x?

51A、2B、3C、1D、2(a?b)22、已知x?0,y?0,x,a,b,y成等差數(shù)列，x,c,d,y成等比數(shù)列，則的最小值是 cd

A、0B、1C、2D、43、已知b?0，直線(b?1)x?ay?2?0與直線x?by?1?0互相垂直，則ab的最小值為（）

A、1B、2C、D、4、已知x?0,y?0,x?y?xy?8，則x?y最小值是___________。

5、若對任意x?0,22x?a恒成立，則a的取值范圍是___________。2x?3x?1

6.某工廠去年的某產(chǎn)品的年銷售量為100萬只,每只產(chǎn)品的銷售價為10元,每只產(chǎn)品固定成本為8元,今年,工廠第一次投入100萬元,并計劃以后每年比上一年多投入100萬元,預(yù)計銷售量從今年開始每年比上一年增加10萬只,第n次投入后,每只產(chǎn)品的固定成本為g(n)?k?0,k為常數(shù),n?N),若產(chǎn)品銷售價保持不變,第n次投入后的年利潤為f(n)萬元.(1)求k的值,并求出f(n)的表達式;

(2)若今年是第1年,則第幾年年利潤最高?最高利潤為多少萬元?

第四篇：均值不等式應(yīng)用

均值不等式應(yīng)用

一．均值不等式

22a?b1.(1)若a,b?R，則a?b?2ab(2)若a,b?R，則ab?a?b時取“=”）22

22.(1)若a,b?R*，則a?b?(2)若a,b?R*，則a?b?2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a?b時取“=”）2

a?b?(當(dāng)且僅當(dāng)a?b時取“=”(3)若a,b?R*，則ab??）???2?2

3.若x?0，則x?

取“=”）1）;若x?0，則x?1??2(當(dāng)且僅當(dāng)x??1時?2(當(dāng)且僅當(dāng)x?1時取“=”xx

若x?0，則x?1?2即x?1?2或x?1?-2(當(dāng)且僅當(dāng)a?b時取“=”）

xxx

ab4.若ab?0，則??2(當(dāng)且僅當(dāng)a?b時取“=”）ba

若ab?0，則ababab）??2即??2或??-2(當(dāng)且僅當(dāng)a?b時取“=”bababa

a?b2a2?b25.若a,b?R，則(（當(dāng)且僅當(dāng)a?b時取“=”）)?22

注：（1）3.已知x,y?R,x+y=s,xy=p.6．及值定理：

①若p為定值，那么當(dāng)且僅當(dāng)時，s=x+y有；

②若s為定值，那么當(dāng)且僅當(dāng)時，p=xy有。

（備注）：求最值的條件“一正，二定，三取等”

應(yīng)用一：求最值

解題技巧：技巧一：湊項

例1：已知x??5，求函數(shù)y?4x?2?1的最大值。44x?

51不是常數(shù)，所以對4x?2要進行拆、4x?5解：因4x?5?0，所以首先要“調(diào)整”符號，又(4x?2)?

湊項，∵x?511??,?5?4x?0，?y?4x?2????5?4x??3??2?3?1 ?44x?55?4x??

當(dāng)且僅當(dāng)5?4x?1，即x?1時，上式等號成立，故當(dāng)x?1時，ymax?1。5?4x

評注：本題需要調(diào)整項的符號，又要配湊項的系數(shù)，使其積為定值。技巧二：湊系數(shù)

例1.當(dāng)

時，求y?x(8?2x)的最大值。

1解析：由知，利用均值不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩

個式子積的形式，但其和不是定值。注意到2x?(8?2x)?8為定值，故只需將y?x(8?2x)湊上一個系數(shù)即可。

當(dāng)，即x＝2時取等號當(dāng)x＝2時，y?x(8?2x)的最大值為8。

評注：本題無法直接運用均值不等式求解，但湊系數(shù)后可得到和為定值，從而可利用均值不等式求最大值。

變式：設(shè)0?x?3，求函數(shù)y?4x(3?2x)的最大值。

32x?3?2x?9解：∵0?x?∴3?2x?0∴y?4x(3?2x)?2?2x(3?2x)?2???? 222??

3?當(dāng)且僅當(dāng)2x?3?2x,即x?3???0,?時等號成立。

4?2?

技巧三： 分離

x2?7x?10

(x??1)的值域。例3.求y?

x?1

解析一：本題看似無法運用均值不等式，不妨將分子配方湊出含有（x＋1）的項，再將其分離。

當(dāng),即

時,y?5?9（當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時取“＝”號）。技巧四：換元

解析二：本題看似無法運用均值不等式，可先換元，令t=x＋1，化簡原式在分離求最值。

(t?1)2?7(t?1）+10t2?5t?44y?=?t??

5ttt

當(dāng),即t=

時,y?5?9（當(dāng)t=2即x＝1時取“＝”號）。評注：分式函數(shù)求最值，通常直接將分子配湊后將式子分開或?qū)⒎帜笓Q元后將式子分開再利用不等式求最值。即化為y?mg(x)?等式來求最值。

技巧五：注意：在應(yīng)用最值定理求最值時，若遇等號取不到的情況，應(yīng)結(jié)合函數(shù)f(x)?x?調(diào)性。

例：求函數(shù)y?

A

?B(A?0,B?0)，g(x)恒正或恒負的形式，然后運用均值不g(x)

a的單x

2的值域。

2?t(t?

2)，則y?

?1

?t?(t?2)

t因t?0,t??1，但t?解得t??1不在區(qū)間?2,???，故等號不成立，考慮單調(diào)性。因為y?t?在區(qū)間?1,???單調(diào)遞增，所以在其子區(qū)間?2,???為單調(diào)遞增函數(shù)，故y?所以，所求函數(shù)的值域為?,???。

練習(xí)．求下列函數(shù)的最小值，并求取得最小值時，x 的值.t1t

1t5。

2?5?2??

11x2?3x?1

y?2sinx?,x?(0,?)y?2x?,x?3,(x?0)??(3)（1）y?（2）

sinxx?3x

2．已知0?x?

1，求函數(shù)y3．0?x?

.；，求函數(shù)y

3.條件求最值

ab

1.若實數(shù)滿足a?b?2，則3?3的最小值是.解： 3和3都是正數(shù)，3?3≥23a?3b?3a?b?6

a

b

a

b

ababab

當(dāng)3?3時等號成立，由a?b?2及3?3得a?b?1即當(dāng)a?b?1時，3?3的最小值

是6．

變式：若log4x?log4y?2，求?的最小值.并求x,y的值

xy

技巧六：整體代換：多次連用最值定理求最值時，要注意取等號的條件的一致性，否則就會出錯。2：已知x?0,y?0，且

??1，求x?y的最小值。xy

19?19???1，?x?y?????

x?y???12xyxy??

錯解： ∵x?0,y?0，且．．

故 ?x?y?min?12。

錯因：解法中兩次連用均值不等式，在x?y?x?

y，在1?9?x

y

成立條件是

?即y?9x,取等號的條件的不一致，產(chǎn)生錯誤。因此，在利用均值不等式處理問題xy

時，列出等號成立條件是解題的必要步驟，而且是檢驗轉(zhuǎn)換是否有誤的一種方法。

?19?y9x19

正解：∵x?0,y?0,??1，?x?y??x?y???????10?6?10?16

xy?xy?xy

當(dāng)且僅當(dāng)

19y9x?時，上式等號成立，又??1，可得x?4,y?12時，?x?y?min?16。

xyxy

x

y

變式：（1）若x,y?R?且2x?y?1，求1?1的最小值

?

(2)若a,b,x,y?R且a?b?1，求x?y最小值

xy

y 2

技巧

七、已知x，y為正實數(shù)，且x＋ ＝1，求x1＋y的最大值.a 2＋b

2分析：因條件和結(jié)論分別是二次和一次，故采用公式ab≤。

11＋y中y前面的系數(shù)為，x1＋y＝x

1＋y2·＝2 x2＋22

下面將x，1y ＋分別看成兩個因式： 22

x＋x＋ ≤

222

技巧

八、取平方

2y 21

2＋)x＋ ＋ 2222

3＝ ＝即1＋y＝2 ·x

4＋ ≤ 2245、已知x，y為正實數(shù)，3x＋2y＝10，求函數(shù)W＝3x ＋2y 的最值.a＋ba 2＋b

2解法一：若利用算術(shù)平均與平方平均之間的不等關(guān)系，≤，本題很簡單

3x ＋2y≤2

3x）2＋（2y）2 ＝2

3x＋2y ＝2

5解法二：條件與結(jié)論均為和的形式，設(shè)法直接用基本不等式，應(yīng)通過平方化函數(shù)式為積的形式，再向“和為定值”條件靠攏。

W＞0，W2＝3x＋2y＋23x y ＝10＋3x 2y ≤10＋3x)2·(y)2 ＝10＋(3x＋2y)＝20

∴ W

≤20 ＝5

變式: 求函數(shù)y?

1?x?5)的最大值。

解析：注意到2x?

1與5?2x的和為定值。

y2?

2?4??4?(2x?1)?(5?2x)?8

又y?0，所以0?y?當(dāng)且僅當(dāng)2

x?1=5?2x，即x?

時取等號。故ymax? 2

評注：本題將解析式兩邊平方構(gòu)造出“和為定值”，為利用均值不等式創(chuàng)造了條件。

應(yīng)用二：利用均值不等式證明不等式

1． 已知a,b,c為兩兩不相等的實數(shù)，求證：a?b?c?ab?bc?ca

2正數(shù)a，b，c滿足a＋b＋c＝1，求證：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc

?1??1??1?

3、已知a、b、c?R，且a?b?c?1。求證：???1???1???1??8

?a??b??c?

?

解：?a、b、c?R，a?b?c?1。

?1?1?1?a?b?c?

1?1

1?1

aaabc上述三個不等式兩邊均為正，分別相乘，得

1時取等號。?1??1??1?。當(dāng)且僅當(dāng)a?b?c??1?1?1?8??????3?a??b??c?

應(yīng)用三：均值不等式與恒成立問題

例：已知x?0,y?0且1?9?1，求使不等式x?y?m恒成立的實數(shù)m的取值范圍。

x

y

條件：m≤(x+y)的最小值，m????,16?

應(yīng)用四：均值定理在比較大小中的應(yīng)用： 例：若a?b?1,P?

lga?lgb,Q?

1a?b(lga?lgb),R?lg()，則P,Q,R的大小關(guān)系是22

分析：∵a?b?1 ∴l(xiāng)ga?0,lgb?0

（lga?lgb)?a?lgb?p 2

a?b1R?lg()?lgab?lgab?Q∴R>Q>P。

22Q?

第五篇：信息奧賽工作總結(jié)

2014年信息學(xué)奧賽工作總結(jié) 江蘇省黃橋中學(xué) 戴海源

2014年的信息學(xué)奧賽已經(jīng)結(jié)束了，回顧一年來的情況，我付出過，學(xué)生也懂得了很多，也取得了很大的進步。獲得省一等獎一名（復(fù)賽成績泰州第二名），省二等獎一名。這一年我在這方面做了大量的工作：

一、生源問題。

全國信息奧賽總教練吳文虎教授曾經(jīng)說過：“體育奧林匹克是對身體極限的挑戰(zhàn)，而信息學(xué)奧林匹克是對智力極限的挑戰(zhàn)”。

從今年的暑假開始，我就開始尋找全面的綜合素質(zhì)和能力的苗子，好的學(xué)生是奧賽取得成功的重要保證，進行口頭宣傳，解釋賽制，網(wǎng)上報名，制定海選計劃，海選比賽，我做了大量細致工作。

二 有效培訓(xùn)訓(xùn)練

由于我市沒有初中參加信息學(xué)奧賽普及組的比賽。信息學(xué)奧賽就不能形成梯隊。一起信息奧賽知識從零開始，所以培訓(xùn)難度比較大。

第一階段是從開學(xué)到初賽，每周輔導(dǎo)兩次，一次2節(jié)，主要以PASCAL語言和部分數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)知識的講授和基礎(chǔ)題練習(xí)為主。第二階段過初賽到復(fù)賽：在本階段中，主要以練習(xí)為主，特別是歷年NOIP普及與提高題目的練習(xí)，同時講解部分的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)知識和算法的內(nèi)容以及綜合性的訓(xùn)練。今年的綜合訓(xùn)練我在分析了前幾年奧賽題型的基礎(chǔ)上，確定主要以動態(tài)規(guī)劃和搜索算法為訓(xùn)練主線，佐以貪心、遞推、分治等算法，同時兼顧線性表、樹、圖等數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)知識，強化數(shù)學(xué)知識，從今年的考試題目來看，我們的思路是正確的

三：加強題庫的建設(shè)，加強題庫的建設(shè)，今年我付出更多的努力，我自己建了一個題庫，從而控制學(xué)生做題的數(shù)量和質(zhì)量。

自己也做了大量的題目，對每一個題目都采取學(xué)生先做，做完評測，評測完成后再進行講解、討論、交流和總結(jié)。努力提高自己的水平。打鐵還得自身硬，要想學(xué)生出成績，老師須先有水平。作為NOIP的輔導(dǎo)教師，我不滿足于會做NOIP的題目，應(yīng)該站到NOI的高度才能得心應(yīng)手。信息學(xué)奧賽牽涉到計算機、英語、數(shù)學(xué)、語文等多個學(xué)科，僅數(shù)學(xué)就要學(xué)會數(shù)論、圖論、組合數(shù)學(xué)、向量幾何等多方面的知識,其中絕大多數(shù)是大學(xué)課程，這些我做了大量的知識的積累。

我相信只要能解決信息學(xué)奧賽的生源問題及輔導(dǎo)時間等問題。相信有制度的大力支持，我一定會取得好的成績！

2014年11月24日

附圖：兩學(xué)生初賽脫穎而出：

參加省復(fù)賽

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