第一篇：“哥德巴赫猜想”講義(第3講)

“哥德巴赫猜想”講義

（???哥德巴赫猜想上的話，圓法的思想是：對(duì)于非零整數(shù)，沿著單位圓為路徑的環(huán)路積分

當(dāng)且只當(dāng)整數(shù)積分式： 的時(shí)候，上面的積分才等于1。因此，如果考慮

其中，那么這個(gè)積分式實(shí)際上等于：

上式中?

??因此，研究哥德巴赫猜想可以歸結(jié)為研究積分式以質(zhì)數(shù)為變數(shù)的三角多項(xiàng)式

和

中

。哈代和利特爾伍德猜測，當(dāng)變量接的值會(huì)“比較大”，而當(dāng)?shù)闹禃?huì)“比較小”。近于分母“比較小”的既約分?jǐn)?shù)時(shí)，接近于分母“比較大”的既約分?jǐn)?shù)時(shí)，也就是說，積分的主要部分其實(shí)是單位圓上分母“比較小”的那些既約分?jǐn)?shù)附近的積分，其它的部分上積分則沒那么重要，可以忽略掉了。因此，可以將整個(gè)單位圓分成兩個(gè)部分：一部分是單位圓上分母“比較小”的那些既約分?jǐn)?shù)附近包括的一些區(qū)間，哈代和利特爾伍德稱其為“優(yōu)弧”（major arc與平面幾何中的“優(yōu)弧”不同），其余的部分則稱為“劣弧”（minor arc）。將整個(gè)積分 優(yōu)弧上的積分明 相比起

與劣弧上積分

可以忽略，而

之和，然后證，這就是圓法

分成的主要思想[4]。哈代和利特爾伍德在1923年的論文中證明了，如果存在正數(shù)，使得所有的狄利克雷L函數(shù)的全體零點(diǎn)都在半平面上，那么充分大的奇數(shù)一定滿足夠表示成三個(gè)素?cái)?shù)的和。他們還給出了窮大的時(shí)候，也就是說能的漸進(jìn)式：在趨于無

其中

?

??他們還證明了，在假設(shè)廣義黎曼猜想成立的情況下，如果用表示以內(nèi)無法寫成兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和的偶數(shù)的個(gè)數(shù)，那么對(duì)任意的正數(shù)，都有

這說明了，不能寫成兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和的偶數(shù)占所有偶數(shù)的比例是可以忽略的。

維諾格拉多夫在使用圓法的基礎(chǔ)上，去掉了哈代和利特爾伍德的成果中對(duì)于黎曼猜想的依賴。也就是說，維諾格拉多夫證明了每個(gè)充分大的奇數(shù)都能表示為三個(gè)質(zhì)數(shù)的和，以及幾乎每一個(gè)充分大的偶數(shù)都能表示成兩個(gè)素?cái)?shù)之和。維諾格拉多夫的證明使用到了他獨(dú)創(chuàng)的方法來對(duì)以素?cái)?shù)為變數(shù)的指數(shù)和

做出更細(xì)致的估計(jì)，也就是說更好地劃分優(yōu)弧和劣弧并直接估計(jì)出劣弧上的積分可以忽略，而不用到廣義黎曼猜想。唯一的不足是維諾格拉多夫并沒有給出“足夠大”的下限。后來波羅斯特金在1956年給出了一個(gè)可計(jì)算的下限：也就是說大于，的整數(shù)都可以寫成三個(gè)素?cái)?shù)的和。1946年，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家尤里·弗拉基米羅維奇·林尼克沿著哈代和利特爾伍德的道路前進(jìn)，使用函數(shù)論的方法同樣證明了維諾格拉多夫的結(jié)果。然而，維諾格拉多夫的定理中的下限對(duì)于實(shí)際應(yīng)用來說仍然太大了。寫出來有6846168位數(shù)字，要驗(yàn)證之前的偶數(shù)都能寫成兩個(gè)素?cái)?shù)的和，計(jì)算量仍然太大。1989年陳景潤與王元將這個(gè)下限減低到1043000.5，2001年廖明哲及王天澤進(jìn)一步將下限降至e3100≈101346.3，但仍然與實(shí)際驗(yàn)證過的范圍（4×1014）有很大距離。而如果假設(shè)廣義黎曼猜想正確的話，讓-馬克·德蘇耶等人在1998年證明了：每個(gè)大于等于7的奇數(shù)都可以寫成三個(gè)質(zhì)數(shù)的和（即弱哥德巴赫猜想在廣義黎曼猜想正???確的假設(shè)下的完全證明）。1938年，華羅庚證明了弱哥德巴赫猜想的一個(gè)推廣：任意給定一個(gè)整數(shù)k，每個(gè)充分大的奇數(shù)都可以表示p1+p2+p3k的形式。當(dāng)k=1的時(shí)候，就是弱哥德巴赫猜想。由于維諾格拉多夫估計(jì)

時(shí)使用的方法本質(zhì)上是篩法，所以數(shù)學(xué)家也希望用類似圓法的分析方法取代它。1945年，林尼克發(fā)展出估計(jì)狄利克雷L函數(shù)零點(diǎn)密度的方法，并用其證明了劣弧上的積分可以忽略，從而用純粹的分析方法證明了弱哥德巴赫猜想。這個(gè)證明十分復(fù)雜，此后幾位數(shù)學(xué)家各自提出了更簡化的證明，1975年沃恩提出了首個(gè)不依賴估計(jì)L函數(shù)零點(diǎn)密度的方法，1977年潘承洞得到了僅利用L函數(shù)初等性質(zhì)的簡易證明。2013年5月13日，法國國家科學(xué)研究院和巴黎高等師范學(xué)院的數(shù)論領(lǐng)域的研究員哈洛德·賀歐夫各特，在線發(fā)表了論文《論哥德巴赫定理的優(yōu)弧》（Major arcs for Goldbach's theorem）宣布徹底證明了弱哥德巴赫猜想。賀歐夫各特生于1977年，秘魯籍，2003年獲得普林斯頓大學(xué)博士學(xué)位。2010年開始擔(dān)任法國國家科學(xué)研究院和巴黎高等師范學(xué)院的研究員。2012年5月，賀歐夫各特發(fā)表論文《論哥德巴赫問題的劣弧》（Minor arcs for Goldbach's problem）中給出了劣弧積分估計(jì)的一個(gè)更優(yōu)上界。在這個(gè)更優(yōu)估計(jì)的基礎(chǔ)上，賀歐夫各特在2013年的論文中將優(yōu)弧估計(jì)的條件放寬，把維諾格拉多夫定理中的下限降低到了1029左右，賀歐夫各特和同事David Platt用計(jì)算機(jī)驗(yàn)證在此之下的所有奇數(shù)都符合猜想，從而完成了弱哥德巴赫猜想的全部證明。

維諾格拉多夫的三素?cái)?shù)定理發(fā)表于1937年。???素?cái)?shù)之和，假如又能證明這三個(gè)素?cái)?shù)中有一個(gè)非常小，譬如說???顯然，如果k等于0，幾乎哥德巴赫問題中2的方冪就不再出現(xiàn)，從而，林尼克的定理就是哥德巴赫猜想。

林尼克1953年的論文并沒有具體定出k的可容許數(shù)值，此后四十多年間，人們還是不知道一個(gè)多大的k才能使林尼克定理成立。但是按照林尼克的論證，這個(gè)k應(yīng)該很大。其中有個(gè)結(jié)果必須提到，即李紅澤、王天澤獨(dú)立地得到k=2000。目前最好的結(jié)果k=13是英國數(shù)學(xué)家希思-布朗(D.R.Heath-Brown)和德國數(shù)學(xué)家普赫塔(Puchta)合作取得的，這是一個(gè)很大的突破。

參考文獻(xiàn) [1]百度百科

二〇一四年四月十日

???

第二篇：“哥德巴赫猜想”講義(第12講)

“哥德巴赫猜想”講義

（第12講）“哥德巴赫猜想”證明（7）

主講王若仲

第11講我們講解了核心部分的定理1，這一講我們講核心部分的定理2。

定理2：對(duì)于任何一個(gè)比較大的偶數(shù)2m，設(shè)奇素?cái)?shù)p1，p2，p3，?，pt均為不大于√2m的全體奇素?cái)?shù)（pi＜ pj，i＜j，i、j=1，2，3，?，t），t∈N，且偶數(shù)2m均不含有奇素?cái)?shù)因子p1，p2，p3，?，pt；那么集合{ pi，2pi,3pi，4pi，5pi，?，mipi }∩{ pj，2pj,3pj，4pj，5pj，?，mjpj }∩?∩{pr，2pr,3pr，4pr，5pr，?，mrpr}∩{ps，2ps,3ps，4ps，5ps，?，ms ps }中正整數(shù)的總個(gè)數(shù)與集合{（2m-pi），（2m-2pi）,（2m-3pi），（2m-4pi），（2m-5pi），?，（2m-mipi）}∩{（2m-pj），（2m-2pj）,（2m-3pj），（2m-4pj），（2m-5pj），?，（2m-mjpj）}∩?∩{（2m-pr），（2m-2pr）,（2m-3pr），（2m-4pr），（2m-5pr），?，（2m-mrpr）}∩{（2m-ps），（2m-2ps）,（2m-3ps），（2m-4ps），（2m-5ps），?，（2m-msps）}中正整數(shù)的總個(gè)數(shù)相等。其中pi，pj，?，pr，ps為兩兩互不相同的奇素?cái)?shù)，且均小于√2m；mipi為對(duì)應(yīng)的集合情形下不大于偶數(shù)2m的最大正整數(shù)，mjpj為對(duì)應(yīng)的集合情形下不大于偶數(shù)2m的最大正整數(shù)，?，mrpr為對(duì)應(yīng)的集合情形下不大于偶數(shù)2m的最大正整數(shù)，msps為對(duì)應(yīng)的集合情形下不大于偶數(shù)2m的最大正整數(shù)。

證明：對(duì)于集合{（2m-pi），（2m-2pi）,（2m-3pi），（2m-4pi），（2m-5pi），?，（2m-mipi）}，我們令2m-mipi=hi，因?yàn)閙ipi為對(duì)應(yīng)的集合情形下不大于偶數(shù)2m的最大正整數(shù)，顯然hi＜pi，則2m-（mi-1）pi=2m-mipi+pi=pi+hi，2m-（mi-2）pi=2m-mip i+2pi=2pi+hi，?，（2m-2pi）= 2m-[mi-（mi-2）]p1=（mi-2）pi+2m-mipi=（mi-2）pi+hi，（2m-pi）=2m-[mi-（mi-1）]p1 =（mi-1）pi+2m-mipi =（mi-1）pi+hi；那么集合{（2m-pi），（2m-2pi）,（2m-3pi），（2m-4pi），（2m-5pi），?，（2m-mipi）}={hi，（pi+hi），（2pi+hi），?，[（mi-2）pi+hi]，[（mi-1）pi+hi]}；

我們令2m-mjpj=hj；?；2m-mrpr=hr；2m-msps=hs。同理可得：（2m-pj）{，（2m-2pj）,（2m-3pj），（2m-4pj），（2m-5pj），?，（2m-mjpj）}={hj，（pj+hj），（2pj+hj），?，[（mj-2）pj+hj]，[（mj-1）pj+hj]}，?，{（2m-pr），（2m-2pr）,（2m-3pr），（2m-4pr），（2m-5pr），?，（2m-mrpr）}={hr，（pr+hr），（2pr+hr），?，[（mr-2）pr+hr]，[（mr-1）pr+hr]}，{（2m-ps），（2m-2ps）,（2m-3ps），（2m-4ps），（2m-5ps），?，（2m-msps）}={hs，（ps+hs），（2ps+hs），?，[（ms-2）ps+hs]，[（ms-1）ps+hs]}。

因?yàn)榍懊媪?m-mipi=hi，2m-mjpj=hj；?；2m-mrpr=hr；2m-msps=hs。那么有2m≡hi（modpi），2m≡hj（modpj），?，2m≡hr（modpr），2m≡hs（modps）；所以集合{（2m-pi），（2m-2pi）,（2m-3pi），（2m-4pi），（2m-5pi），?，（2m-mipi）}對(duì)應(yīng)同余方程xi≡h（；集合{（2m-pj），imodpi）（2m-2pj）,（2m-3pj），（2m-4pj），（2m-5pj），?，（2m-mjpj）}對(duì)應(yīng)同余方程xj≡hj（modpj）；?；集合{（2m-pr），（2m-2pr）,（2m-3pr），（2m-4pr），（2m-5pr），?，（2m-mrpr）}對(duì)應(yīng)同余方程xr≡hr（modpr）；

集合{（2m-ps），（2m-2ps）,（2m-3ps），（2m-4ps），（2m-5ps），?，（2m-msps）}對(duì)應(yīng)同余方程xs≡hs（modps）。

由孫子—高斯定理可知，同余方程組xi≡hi（modpi），xj≡hj

（modpj），?，xr≡hr（modpr），xs≡hs（modps）有無窮多解,且這些解關(guān)于模M=pipj?prps同余，又因?yàn)榕紨?shù)2m是同余方程xi≡h（imodpi）的解，偶數(shù)2m也是同余方程xj≡hj（modpj）的解，?，偶數(shù)2m也是同余方程xr≡hr（modpr）的解，偶數(shù)2m也是同余方程xs≡hs（modps）的解；那么偶數(shù)2m也是同余方程組xi≡h（，xj≡h（，?，imodpi）jmodpj）xr≡hr（modpr），xs≡hs（modps）的一個(gè)解。那么同余方程組xi≡hi（modpi），xj≡hj（modpj），?，xr≡hr（modpr），xs≡hs（modps）的解總可以轉(zhuǎn)化為同余方程y≡k（modpipj?prps）的解, k為小于pipj?prps的正整數(shù)，且k=2m-pipj?prpsu，pipj?prpsu為小于偶數(shù)2m的最大正整數(shù)。那么2m-（u-1）pipj?prps=2m-pipj?prpsu+pipj?prps=pipj?prps+k，2m-（u-2）pipj?prps=2m-pipj?prpsu+2pipj?prps=2pipj?prps+k，?，（2m-2pipj?prps）=2m-[u-（u-2）] pipj?prps=（u-2）pipj?prps+2m-pipj?prpsu=（u-2）pipj?prps+k，（2m-pipj?prps）=2m-[u-（u-1）] pipj?prps=（u-1）pipj?prps +2m-pipj?prpsu=（u-1）pipj?prps+k；那么集合{（2m-pipj?prps），（2m-2pipj?prps）,（2m-3pipj?prps），（2m-4pipj?prps），（2m-5pipj?prps），?，（2m-upipj?prps）}={ k，（pipj?prps+k），（2pipj?prps+ k），?，[（u-2）pipj?prps+k]，[（u-1）pipj?prps+k]}。

又從前面可知，偶數(shù)2m是同余方程y≡k（modpipj?prps）的一個(gè)

解,則偶數(shù)2m=upipj?prps+k。所以k對(duì)應(yīng)pipj?prpsu，（pipj?prps+k）對(duì)應(yīng)pipj?prp（，（2pipj?prps+k）對(duì)應(yīng)pipj?prp（，（3pipj?su-1）su-2）prps+k）對(duì)應(yīng)pipj?prps（u-3），?，[（u-1）pipj?prps+k]對(duì)應(yīng)pipj?prps。故集合{ pi，2pi,3pi，4pi，5pi，?，mipi }∩{ pj，2pj,3pj，4pj，5pj，?，mjpj }∩?∩{pr，2pr,3pr，4pr，5pr，?，mrpr}∩{ps，2ps,3ps，4ps，5ps，?，ms ps }中正整數(shù)的總個(gè)數(shù)與集合{（2m-pi），（2m-2pi）,（2m-3pi），（2m-4pi），（2m-5pi），?，（2m-mipi）}∩{（2m-pj），（2m-2pj）,（2m-3pj），（2m-4pj），（2m-5pj），?，（2m-mjpj）}∩?∩{（2m-pr），（2m-2pr）,（2m-3pr），（2m-4pr），（2m-5pr），?，（2m-mrpr）}∩{（2m-ps），（2m-2ps）,（2m-3ps），（2m-4ps），（2m-5ps），?，（2m-msps）}中正整數(shù)的總個(gè)數(shù)相等。故定理2成立。

?例

5：證明集合{3，6，9，12，15，18，21，24，27，30，33，36，39，42，45，48，51，54，57，60，63，66，69，72，75，78，81，84，87，90，93，96，99}∩{7，14，21，28，35，42，49，56，63，70，77，84，91，98}中正整數(shù)的總個(gè)數(shù)與{（100-3），（100-6），（100-9），（100-12），（100-15），（100-18），（100-21），（100-24），（100-27），（100-30），（100-33），（100-36），（100-39），（100-42），（100-45），（100-48），（100-51），（100-54），（100-57），（100-60），（100-63），（100-66），（100-69），（100-72），（100-75），（100-78），（100-81），（100-84），（100-87），（100-90），（100-93），（100-96），（100-99）}∩{（100-7），（100-14），（100-21），（100-28），（100-35），（100-42），（100-49），（100-56），（100-63），（100-70），（100-77），（100-84），（100-91），（100-98）}中正整數(shù)的總個(gè)數(shù)相等。

證明：因?yàn)榧蟵3，6，9，12，15，18，21，24，27，30，33，36，39，42，45，48，51，54，57，60，63，66，69，72，75，78，81，84，87，90，93，96，99}∩{7，14，21，28，35，42，49，56，63，70，77，84，91，98}={21，42，63，84}。

又因?yàn)榧蟵（100-3），（100-6），（100-9），（100-12），（100-15），（100-18），（100-21），（100-24），（100-27），（100-30），（100-33），（100-36），（100-39），（100-42），（100-45），（100-48），（100-51），（100-54），（100-57），（100-60），（100-63），（100-66），（100-69），（100-72），（100-75），（100-78），（100-81），（100-84），（100-87），（100-90），（100-93），（100-96），（100-99）}∩{（100-7），（100-14），（100-21），（100-28），（100-35），（100-42），（100-49），（100-56），（100-63），（100-70），（100-77），（100-84），（100-91），（100-98）}={（100-21），（100-42），（100-63），（100-84）}。所以集合{3，6，9，12，15，18，21，24，27，30，33，36，39，42，45，48，51，54，57，60，63，66，69，72，75，78，81，84，87，90，93，96，99}∩{7，14，21，28，35，42，49，56，63，70，77，84，91，98}中正整數(shù)的總個(gè)數(shù)與{（100-3），（100-6），（100-9），（100-12），（100-15），（100-18），（100-21），（100-24），（100-27），（100-30），（100-33），（100-36），（100-39），（100-42），（100-45），（100-48），（100-51），（100-54），（100-57），（100-60），（100-63），（100-66），（100-69），（100-72），（100-75），（100-78），（100-81），（100-84），（100-87），（100-90），（100-93），（100-96），（100-99）}∩{（100-7），（100-14），（100-21），（100-28），（100-35），（100-42），（100-49），（100-56），（100-63），（100-70），（100-77），（100-84），（100-91），（100-98）}中正整數(shù)的總個(gè)數(shù)均為4個(gè)。（證畢）

參考文獻(xiàn)

[1]戎士奎，十章數(shù)論（貴州教育出版社）1994年9月第1版

[2]閔嗣鶴，嚴(yán)士健，初等數(shù)論（人民教育出版社）1983年2月第6版 [3]劉玉璉，付沛仁，數(shù)學(xué)分析（高等教育出版社）1984年3月第1版

[4]王文才，施桂芬，數(shù)學(xué)小辭典（科學(xué)技術(shù)文藝出版社）1983年2月第1版

?

二〇一四年四月十八日?

第三篇：“哥德巴赫猜想”講義(第14講)

“哥德巴赫猜想”講義

（第14講）“哥德巴赫猜想”證明（9）

主講王若仲

第13講我們講解了核心部分的定理3，這一講我們講核心部分的定理4。

定理4：對(duì)于任何一個(gè)比較大的偶數(shù)2m，設(shè)奇素?cái)?shù)p1，p2，p3，?，pt均為不大于√2m的全體奇素?cái)?shù)（pi′＜pj′，i′＜j′，i′、j′=1，2，3，?，t），t∈N，且偶數(shù)2m均不含有奇素?cái)?shù)因子p1，p2，p3，?，pt；那么集合{ pi，2pi,3pi，4pi，5pi，?，mipi }∩{ pj，2pj,3pj，4pj，5pj，?，mjpj }∩?∩{pr，2pr,3pr，4pr，5pr，?，mrpr}∩{ps，2ps,3ps，4ps，5ps，?，ms ps }∩{pe，2pe,3pe，4pe，5pe，?，mepe}∩{pu，2pu,3pu，4pu，5pu，?，mupu}∩?∩{pv，2pv,3pv，4pv，5pv，?，mvpv}∩{pw，2pw,3pw，4pw，5pw，?，mwpw}中正整數(shù)的總個(gè)數(shù)與集合{（2m-pi），（2m-2pi）,（2m-3pi），（2m-4pi），（2m-5pi），?，（2m-mipi）}∩{（2m-pj），（2m-2pj）,（2m-3pj），（2m-4pj），（2m-5pj），?，（2m-mjpj）}∩?∩{（2m-pr），（2m-2pr）,（2m-3pr），（2m-4pr），（2m-5pr），?，（2m-mrpr）}∩{（2m-ps），（2m-2ps）,（2m-3ps），（2m-4ps），（2m-5ps），?，（2m-msps）}∩{pe，2pe,3pe，4pe，5pe，?，mepe}∩{pu，2pu,3pu，4pu，5pu，?，mupu}∩?∩{pv，2pv,3pv，4pv，5pv，?，mvpv}∩{pw，2pw,3pw，4pw，5pw，?，mwpw}中正整數(shù)的總個(gè)數(shù)相等。其中其中pi，pj，?，mipi為對(duì)應(yīng)的集合情形下不大于偶數(shù)2m的最大正整數(shù)，mjpj為對(duì)應(yīng)的集合情形下不大于偶數(shù)2m的最大正整數(shù)，?，mrpr為對(duì)應(yīng)的集合情形下不大于偶數(shù)2m的最大正整數(shù)，msps為對(duì)應(yīng)的集合情形下不大于偶數(shù)2m的最大正整數(shù)，mepe為對(duì)應(yīng)的集合情形下不大于偶數(shù)2m的最大正整數(shù)，mupu為對(duì)應(yīng)的集合情形下不大于偶數(shù)2m的最大正整數(shù)，?，mvpv為對(duì)應(yīng)的集合情形下不大于偶數(shù)2m的最大正整數(shù)，mwpw為對(duì)應(yīng)的集合情形下不大于偶數(shù)2m的最大正整數(shù)。

證明：對(duì)于集合{（2m-pi），（2m-2pi）,（2m-3pi），（2m-4pi），（2m-5pi），?，（2m-mipi）}，我們令2m-mipi=hi，因?yàn)閙ipi為對(duì)應(yīng)的集合情形下不大于偶數(shù)2m的最大正整數(shù)，顯然hi＜pi，則2m-（mi-1）pi=2m-mipi+pi=pi+hi，2m-（mi-2）pi=2m-mip i+2pi=2pi+hi，?，（2m-2pi）= 2m-[mi-（mi-2）]pi=（mi-2）pi+2m-mipi=（mi-2）pi+hi，（2m-pi）=2m-[mi-（mi-1）]p1 =（mi-1）pi+2m-mipi =（mi-1）pi+hi；那么集合{（2m-pi），（2m-2pi）,（2m-3pi），（2m-4pi），（2m-5pi），?，（2m-mipi）}={hi，（pi+hi），（2pi+hi），?，[（mi-2）pi+hi]，[（mi-1）pi+hi]}；我們令2m-mjpj=hj；?；2m-mrpr=hr；2m-msps=hs。同理可得：{（2m-pj），（2m-2pj）,（2m-3pj），（2m-4pj），（2m-5pj），?，（2m-mjpj）}={hj，（pj+hj），（2pj+hj），?，[（mj-2）pj+hj]，[（mj-1）pj+hj]}，?，{（2m-pr），（2m-2pr）,（2m-3pr），（2m-4pr），（2m-5pr），?，（2m-mrpr）}={hr，（pr+hr），（2pr+hr），?，[（mr-2）pr+hr]，[（mr-1）pr+hr]}，{（2m-ps），（2m-2ps）,（2m-3ps），（2m-4ps），（2m-5ps），?，（2m-msps）}={hs，因?yàn)榍懊媪?m-mipi=hi，2m-mjpj=hj；?；2m-mrpr=hr；2m-msps=hs。那么有2m≡hi（modpi），2m≡hj（modpj），?，2m≡hr（modpr），2m≡hs（modps）；所以集合{（2m-pi），（2m-2pi）,（2m-3pi），（2m-4pi），（2m-5pi），?，（2m-mipi）}對(duì)應(yīng)同余方程xi≡h（；集合{（2m-pj），imodpi）（2m-2pj）,（2m-3pj），（2m-4pj），（2m-5pj），?，（2m-mjpj）}對(duì)應(yīng)同余方程xj≡hj（modpj）；?；集合{（2m-pr），（2m-2pr）,（2m-3pr），（2m-4pr），（2m-5pr），?，（2m-mrpr）}對(duì)應(yīng)同余方程xr≡hr（modpr）；集合{（2m-ps），（2m-2ps）,（2m-3ps），（2m-4ps），（2m-5ps），?，（2m-msps）}對(duì)應(yīng)同余方程xs≡hs（modps）。

由孫子—高斯定理可知，同余方程組xi≡hi（modpi），xj≡hj（modpj），?，xr≡hr（modpr），xs≡hs（modps）有無窮多解,且這些解關(guān)于模M=pipj?prps同余，因?yàn)椋╬epu?pvpw，pipj?prps）=1，由同余性質(zhì)定理1可知，同余方程組xi≡hi（modpi），xj≡hj（modpj），?，xr≡hr（modpr），xs≡hs（modps）的任一解與pepu?pvpw的乘積關(guān)于模M′=pipj?prpspepu?pvpw同余，又因?yàn)榕紨?shù)2m是同余方程xi≡hi（modpi）的解，偶數(shù)2m也是同余方程xj≡hj（modpj）的解，?，偶數(shù)2m也是同余方程xr≡hr（modpr）的解，偶數(shù)2m也是同余方程xs≡hs（modps）的解；那么偶數(shù)2m也是同余方程組xi≡h（，xj≡h（，?，imodpi）jmodpj）xr≡hr（modpr），xs≡hs（modps）的一個(gè)解。在偶數(shù)2m范圍內(nèi)，同余方程組xi≡hi（modpi），xj≡hj（modpj），?，xr≡hr（modpr），xs≡hs（modps）的所有解對(duì)應(yīng)集合{ h′，（pipj?prps+h′），（2pipj?prps+h′），′]}，其中vpipj?prps?pt為不大于偶數(shù)2m的最大正整數(shù)。顯然集合{ h′，（pipj?prps +h′），（2 pipj?prps +h′），（3 pipj?prps +h′），?，[（v-2）pipj?prps+h′]，[（v-1）pipj?prps+h′]} 對(duì)應(yīng)同余方程w≡h′（mod pipj?prps）。

我們?cè)O(shè)集合{（2m-pi），（2m-2pi）,（2m-3pi），（2m-4pi），（2m-5pi），?，（2m-mipi）}∩{（2m-pj），（2m-2pj）,（2m-3pj），（2m-4pj），（2m-5pj），?，（2m-mjpj）}∩?∩{（2m-pr），（2m-2pr）,（2m-3pr），（2m-4pr），（2m-5pr），?，（2m-mrpr）}∩{（2m-ps），（2m-2ps）,（2m-3ps），（2m-4ps），（2m-5ps），?，（2m-msps）}∩{pe，2pe,3pe，4pe，5pe，?，mepe}∩{pu，2pu,3pu，4pu，5pu，?，mupu}∩?∩{pv，2pv,3pv，4pv，5pv，?，mvpv}∩{pw，2pw,3pw，4pw，5pw，?，mwpw}中的任一奇數(shù)均對(duì)應(yīng)同余方程y≡a（modpipj?prpspepu?pvpw）的一個(gè)解，則a為小于pipj?prpspepu?pvpw的正整數(shù)，因?yàn)橥喾匠探Mxi≡hi（modpi），xj≡hj（modpj），?，xr≡hr（modpr），xs≡hs（modps）的任一解與pepu?pvpw的乘積關(guān)于模M′=pipj?prpspepu?pvpw 同余，由同余性質(zhì)定理1可知，a=pepu?pvpwh′，我們?cè)僭O(shè)同余方程z≡h′（mod pipj?prpspepu?pvpw），那么在偶數(shù)2m范圍內(nèi)，同余方程z≡h′（mod pipj?prpspepu?pvpw）的所有解對(duì)應(yīng)的集合為{ h′，（pipj?prpspepu?pvpw +h′），（2 pipj?prpspepu?pvpw +h′），（3 pipj?prpspepu?pvpw +h′），?，[（u-2）pipj?prpspepu?pvpw +h′]，[（u-1）pipj?prpspepu?pvpw +h′]}，其中u pipj?prpspepu?pvpw為不大于偶數(shù)2m的最大正整數(shù)；顯然pepu?pvpwh′＜

pipj?prpspepu?pvpw，所以在偶數(shù)2m范圍內(nèi)，同余方程y≡a（modpipj?prpspepu?pvpw）的所有解對(duì)應(yīng)的集合為{ a，（pipj?prpspepu?pvpw +a），（2pipj?prpspepu?pvpw +a），（3pipj?prpspepu?pvpw +a），?，[（u-2）pipj?prpspepu?pvpw +a]，[（u-1）pipj?prpspepu?pvpw+a]}，顯然（u-1）pipj?prpspepu?pvpw+pepu?pvpwh′＜2m。所以a對(duì)應(yīng)pipj?prpspepu?pvpwu，（pipj?prpspepu?pvpw+a）對(duì)應(yīng)pipj?prpspepu?pvp（，（2pipj?wu-1）prpspepu?pvpw+a）對(duì)應(yīng)p1p2p3?pt（u-2），（3p1p2p3?pt+a）對(duì)應(yīng)p1p2p3?p（，?，[（u-1）pipj?prpspepu?pvpw+a]對(duì)應(yīng)pipj?prpspepu?pvpw。tu-3）

所以集合{ pi，2pi,3pi，4pi，5pi，?，mipi }∩{ pj，2pj,3pj，4pj，5pj，?，mjpj }∩?∩{pr，2pr,3pr，4pr，5pr，?，mrpr}∩{ps，2ps,3ps，4ps，5ps，?，ms ps }∩{pe，2pe,3pe，4pe，5pe，?，mepe}∩{pu，2pu,3pu，4pu，5pu，?，mupu}∩?∩{pv，2pv,3pv，4pv，5pv，?，mvpv}∩{pw，2pw,3pw，4pw，5pw，?，mwpw}中正整數(shù)的總個(gè)數(shù)與集合{（2m-pi），（2m-2pi）,（2m-3pi），（2m-4pi），（2m-5pi），?，（2m-mipi）}∩{（2m-pj），（2m-2pj）,（2m-3pj），（2m-4pj），（2m-5pj），?，（2m-mjpj）}∩?∩{（2m-pr），（2m-2pr）,（2m-3pr），（2m-4pr），（2m-5pr），?，（2m-mrpr）}∩{（2m-ps），（2m-2ps）,（2m-3ps），（2m-4ps），（2m-5ps），?，（2m-msps）}∩{pe，2pe,3pe，4pe，5pe，?，mepe}∩{pu，2pu,3pu，4pu，5pu，?，mupu}∩?∩{pv，2pv,3pv，4pv，5pv，?，mvpv}∩{pw，2pw,3pw，4pw，5pw，?，mwpw}中正整數(shù)的總個(gè)數(shù)相等。故定理4成立。

參考文獻(xiàn)

[1]戎士奎，十章數(shù)論（貴州教育出版社）1994年9月第1版

[2]閔嗣鶴，嚴(yán)士健，初等數(shù)論（人民教育出版社）1983年2月第6版 [3]劉玉璉，付沛仁，數(shù)學(xué)分析（高等教育出版社）1984年3月第1版

[4]王文才，施桂芬，數(shù)學(xué)小辭典（科學(xué)技術(shù)文藝出版社）1983年2月第1版

?

二〇一四年四月十九日?

第四篇：“哥德巴赫猜想”講義(第13講)

“哥德巴赫猜想”講義

（第13講）“哥德巴赫猜想”證明（8）

主講王若仲

第12講我們講解了核心部分的定理2，這一講我們講核心部分的定理3。

定理3：對(duì)于任何一個(gè)比較大的偶數(shù)2m，設(shè)奇素?cái)?shù)p1，p2，p3，?，pt均為不大于√2m的全體奇素?cái)?shù)（pi＜ pj，i＜j，i、j=1，2，3，?，t），t∈N，且偶數(shù)2m均不含有奇素?cái)?shù)因子p1，p2，p3，?，pt；那么集合{p1，2p1,3p1，4p1，5p1，?，m1p1}∩{p2，2p2,3p2，4p2，5p2，?，m2p2}∩{p3，2p3,3p3，4p3，5p3，?，m3p3}∩?∩{pt，2pt,3pt，4pt，5pt，?，mtpt}中正整數(shù)的總個(gè)數(shù)與集合{p1，2p1,3p1，4p1，5p1，?，m1p1}∩{p2，2p2,3p2，4p2，5p2，?，m2p2}∩{p3，2p3,3p3，4p3，5p3，?，m3p3}∩?∩{pr，2pr,3pr，4pr，5pr，?，mrpr}∩{（2m-pr+1），（2m-2pr+1）,（2m-3pr+1），（2m-4pr+1），（2m-5pr+1），?，（2m-mr+1pr+1）}∩{（2m-pr+2），（2m-2pr+2）,（2m-3pr+2），（2m-4pr+2），（2m-5pr+2），?，（2m-mr+2pr+2）}∩{（2m-pr+3），（2m-2pr+3）,（2m-3pr+3），（2m-4pr+3），（2m-5pr+3），?，（2m-mr+3pr+3）}∩?∩{（2m-pt），（2m-2pt）,（2m-3pt），（2m-4pt），（2m-5pt），?，（2m-mtpt）}中正整數(shù)的總個(gè)數(shù)相等。其中m1p1為對(duì)應(yīng)的集合情形下不大于偶數(shù)2m的最大正整數(shù)，m2p2為對(duì)應(yīng)的集合情形下不大于偶數(shù)2m的最大正整數(shù)，m3p3為對(duì)應(yīng)的集合情形下不大于偶數(shù)

2m的最大正整數(shù)，?，mtpt為對(duì)應(yīng)的集合情形下不大于偶數(shù)2m的最大正整數(shù)。

證明：對(duì)于集合{（2m-pr+1），（2m-2pr+1）,（2m-3pr+1），（2m-4pr+1），（2m-5pr+1），?，（2m-mr+1pr+1）}，我們令2m-mr+1pr+1=hr+1，因?yàn)閙r+1pr+1為對(duì)應(yīng)的集合情形下不大于偶數(shù)2m的最大正整數(shù)，顯然hr+1＜pr+1，則2m-（mr+1-1）pr+1=2m-mr+1pr+1+pr+1=pr+1+hr+1，2m-（mr+1-2）pr+1=2m-m r+1p

r+1

+2pr+1=2pr+1+hr+1，?，（2m-2pr+1）= 2m-[m r+1-（m r+1-2）]pr+1=（mr+1-2）

pr+1+2m-m r+1pr+1=（m r+1-2）pr+1+hr+1，（2m-pr+1）=2m-[mr+1-（mr+1-1）]pr+1 =（mr+1-1）pr+1+2m-mr+1pr+1 =（mr+1-1）pr+1+hr+1；那么集合{（2m-pr+1），（2m-2pr+1）,（2m-3pr+1），（2m-4pr+1），（2m-5pr+1），?，（2m-mr+1pr+1）}={（pr+1-kr+1），（2pr+1-kr+1），（3pr+1-kr+1），?，[（mr+1-1）pr+1-kr+1]，（mr+1pr+1-kr+1）}={ hr+1，（pr+1+hr+1），（2pr+1+hr+1），?，[（mr+1-2）pr+1+hr+1]，[（mr+1-1）pr+1+hr+1]}；我們令2m-mr+2p r+2=hr+2；2m-mr+3pr+3=hr+3；?；2m-mtpt=ht；同理可得：集合{（2m-pr+2），（2m-2pr+2）,（2m-3pr+2），（2m-4pr+2），（2m-5pr+2），?，（2m-mr+2pr+2）}={ hr+2，（pr+2+hr+2），（2pr+2+hr+2），?，[（mr+2-2）pr+2+hr+2]，[（mr+2-1）pr+2+hr+2]}；集合{（2m-pr+3），（2m-2pr+3）,（2m-3pr+3），（2m-4pr+3），（2m-5pr+3），?，（2m-mr+3pr+3）}={ hr+3，（pr+3+hr+3），（2pr+3+hr+3），?，[（mr+3-2）pr+3+hr+3]，[（mr+3-1）pr+3+hr+3]}；?；集合{（2m-pt），（2m-2pt）,（2m-3pt），（2m-4pt），（2m-5pt），?，（2m-mtpt）}={ ht，（pt+ht），（2pt+ht），?，[（mt-2）pt+ht]，[（mt-1）pt+ht]}。

因?yàn)榍懊媪?m-mr+1pr+1=hr+1，2m-mr+2p r+2=hr+2；2m-mr+3pr+3=hr+3；?；

2m-mtpt=ht。那么有2m≡hr+1（modpr+1），2m≡hr+2（modpr+2），2m≡hr+3（modpr+3），?，2m≡ht（modpt）；所以集合{（2m-pr+1），（2m-2pr+1）,（2m-3pr+1），（2m-4pr+1），（2m-5pr+1），?，（2m-mr+1pr+1）}對(duì)應(yīng)同余方程xr+1≡hr+1（modpr+1）；集合{（2m-pr+2），（2m-2pr+2）,（2m-3pr+2），（2m-4pr+2），（2m-5pr+2），?，（2m-mr+2pr+2）}對(duì)應(yīng)同余方程xr+2≡hr+2（modpr+2）；集合{（2m-pr+3），（2m-2pr+3）,（2m-3pr+3），（2m-4pr+3），（2m-5pr+3），?，（2m-mr+3pr+3）}對(duì)應(yīng)同余方程xr+3≡hr+3（modpr+3）；?；集合{（2m-pt），（2m-2pt）,（2m-3pt），（2m-4pt），（2m-5pt），?，（2m-mtpt）}對(duì)應(yīng)同余方程xt≡ht（modpt）。

由孫子—高斯定理可知，同余方程組x≡h i（modpi）（i= r+1, r+2, r+3,?，t）有無窮多解,且這些解關(guān)于模M=pr+1pr+2p r+3?pt同余，因?yàn)椋╬1p2p3?pr，pr+1pr+2p r+3?pt）=1，由同余性質(zhì)定理1可知，同余方程組x≡hi（modpi）（i= r+1, r+2, r+3,?，t）的任一解與p1p2p3?pr的乘積關(guān)于模M′=p1p2p3?prpr+1pr+2p r+3?pt同余，又因?yàn)榕紨?shù)2m是同余方程x≡hr+1（modpr+1）的解，偶數(shù)2m也是同余方程x≡h r+2（modp r+2）的解，偶數(shù)2m也是同余方程x≡h r+3（modp r+3）的解，?，偶數(shù)2m也是同余方程x≡ht（modpt）的解；那么偶數(shù)2m也是同余方程組x≡h i（modpi）（i= r+1, r+2, r+3,?，t）的一個(gè)解；在偶數(shù)2m范圍內(nèi)，同余方程組x≡h i（modpi）（i= r+1, r+2, r+3,?，t）的所有解對(duì)應(yīng)集合{ h′，（pr+1pr+2p r+3?pt+h′），（2pr+1pr+2p r+3?pt+h′），（3pr+1pr+2p

r+3

?pt+h′），?，[（v-2）pr+1pr+2p r+3?pt，+h′]，[（v-1）pr+1pr+2p r+3?

pt+h′]}，其中vpr+1pr+2p r+3?pt為不大于偶數(shù)2m的最大正整數(shù)。顯然

集合{ h′，（pr+1pr+2p r+3?pt+h′），（2pr+1pr+2p r+3?pt+h′），（3pr+1pr+2p r+3?pt+h′），?，[（v-2）pr+1pr+2p r+3?pt，+h′]，[（v-1）pr+1pr+2p r+3?pt+h′]} 對(duì)應(yīng)同余方程w≡h′（modpr+1pr+2p r+3?pt）。

我們?cè)O(shè)集合{p1，2p1,3p1，4p1，5p1，?，m1p1}∩{p2，2p2,3p2，4p2，5p2，?，m2p2}∩{p3，2p3,3p3，4p3，5p3，?，m3p3}∩?∩{pr，2pr,3pr，4pr，5pr，?，mrpr}∩{（2m-pr+1），（2m-2pr+1）,（2m-3pr+1），（2m-4pr+1），（2m-5pr+1），?，（2m-mr+1pr+1）}∩{（2m-pr+2），（2m-2pr+2）,（2m-3pr+2），（2m-4pr+2），（2m-5pr+2），?，（2m-mr+2pr+2）}∩{（2m-pr+3），（2m-2pr+3）,（2m-3pr+3），（2m-4pr+3），（2m-5pr+3），?，（2m-mr+3pr+3）}∩?∩{（2m-pt），（2m-2pt）,（2m-3pt），（2m-4pt），（2m-5pt），?，（2m-mtpt）}中的任一奇數(shù)均對(duì)應(yīng)同余方程y≡e（modp1p2p3?prpr+1pr+2p r+3?pt）的一個(gè)解，對(duì)于同余方程y≡e（modp1p2p3?prpr+1pr+2p r+3?pt），e為小于p1p2p3?pt的正整數(shù)，因?yàn)橥喾匠探Mx≡hi（modpi）（i= r+1, r+2, r+3,?，t）的任一解與p1p2p3?pr的乘積關(guān)于模M′=p1p2p3?prpr+1pr+2p r+3?pt同余，由同余性質(zhì)定理1可知，e=p1p2p3?prh′，根據(jù)前面得到的同余方程w≡h′（modpr+1pr+2p r+3?pt），我們?cè)僭O(shè)同余方程z≡h′（modp1p2p3?prpr+1pr+2p r+3?pt），那么在偶數(shù)2m范圍內(nèi)，同余方程z≡h′（modp1p2p3?prpr+1pr+2p r+3?pt）的所有解對(duì)應(yīng)的集合為{ h′，（p1p2p3?prpr+1pr+2p r+3?pt+h′），（2p1p2p3?prpr+1pr+2p r+3?pt+h′），（3p1p2p3?prpr+1pr+2p r+3?pt+h′），?，[（u-2）p1p2p3?prpr+1pr+2p r+3?pt+h′]，[（u-1）p1p2p3?prpr+1pr+2pr+3?pt+h′]}，其中up1p2p3?prpr+1pr+2p r+3?pt為不大于偶數(shù)2m的最大正整數(shù)；顯然p1p2p3?prh′＜p1p2p3?prpr+1pr+2p r+3?pt，而

e=p1p2p3?prh′，所以在偶數(shù)2m范圍內(nèi)，同余方程y≡e（modp1p2p3?prpr+1pr+2p r+3?pt）的所有解對(duì)應(yīng)的集合為{ e，（p1p2p3?prpr+1pr+2p r+3?pt+e），（2p1p2p3?prpr+1pr+2p r+3?pt+e），（3p1p2p3?prpr+1pr+2p r+3?pt+ e），?，[（u-2）p1p2p3?prpr+1pr+2p r+3?pt+e]，[（u-1）p1p2p3?prpr+1pr+2pr+3?pt+e]}，顯然（u-1）p1p2p3?prpr+1pr+2pr+3?pt+p1p2p3?prh′＜2m。所以e對(duì)應(yīng)p1p2p3?ptu，（p1p2p3?pt+e）對(duì)應(yīng)p1p2p3?p（，（2p1p2p3?pt+e）tu-1）對(duì)應(yīng)p1p2p3?p（，（3p1p2p3?pt+e）對(duì)應(yīng)p1p2p3?p（，?，[（u-1）tu-2）tu-3）p1p2p3?pt+e]對(duì)應(yīng)p1p2p3?pt。故集合{p1，2p1,3p1，4p1，5p1，?，m1p1}∩{p2，2p2,3p2，4p2，5p2，?，m2p2}∩{p3，2p3,3p3，4p3，5p3，?，m3p3}∩?∩{pt，2pt,3pt，4pt，5pt，?，mtpt}中正整數(shù)的總個(gè)數(shù)與集合{p1，2p1,3p1，4p1，5p1，?，m1p1}∩{p2，2p2,3p2，4p2，5p2，?，m2p2}∩{p3，2p3,3p3，4p3，5p3，?，m3p3}∩?∩{pr，2pr,3pr，4pr，5pr，?，mrpr}∩{（2m-pr+1），（2m-2pr+1）,（2m-3pr+1），（2m-4pr+1），（2m-5pr+1），?，（2m-mr+1pr+1）}∩{（2m-pr+2），（2m-2pr+2）,（2m-3pr+2），（2m-4pr+2），（2m-5pr+2），?，（2m-mr+2pr+2）}∩{（2m-pr+3），（2m-2pr+3）,（2m-3pr+3），（2m-4pr+3），（2m-5pr+3），?，（2m-mr+3pr+3）}∩?∩{（2m-pt），（2m-2pt）,（2m-3pt），（2m-4pt），（2m-5pt），?，（2m-mtpt）}中正整數(shù)的總個(gè)數(shù)相等。故定理3成立。

參考文獻(xiàn)

[1]戎士奎，十章數(shù)論（貴州教育出版社）1994年9月第1版

[2]閔嗣鶴，嚴(yán)士健，初等數(shù)論（人民教育出版社）1983年2月第6版 [3]劉玉璉，付沛仁，數(shù)學(xué)分析（高等教育出版社）1984年3月第1版

[4]王文才，施桂芬，數(shù)學(xué)小辭典（科學(xué)技術(shù)文藝出版社）1983年2月第1版

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二〇一四年四月十九日?

第五篇：“哥德巴赫猜想”講義(第19講)

“哥德巴赫猜想”講義

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所以對(duì)于“偶數(shù)2m=奇數(shù)+奇數(shù)”來說，就只有下面幾種情形： ①偶數(shù)2m=奇合數(shù)+奇合數(shù)，②偶數(shù)2m=奇合數(shù)+奇素?cái)?shù)，③偶數(shù)2m=奇素?cái)?shù)+奇素?cái)?shù)，④偶數(shù)2m=1+奇合數(shù)，⑤偶數(shù)2m=1+奇素?cái)?shù)。

對(duì)于“偶數(shù)2m=奇數(shù)+奇數(shù)”的情形，我們下面一步一步具體分析：

（?。?、對(duì)于偶數(shù)2m，當(dāng)m為奇素?cái)?shù)時(shí)，我們不妨令m=p，p為奇素?cái)?shù)，那么2m=p+p，這種情形下，顯然偶數(shù)2m可表為“奇素?cái)?shù)+奇素?cái)?shù)”。

（ⅱ）、對(duì)于偶數(shù)2m，假如集合{（2m-p1），（2m-p2），（2m-p3），?，（2m-pt）}中至少有一個(gè)奇數(shù)為奇素?cái)?shù)，我們不妨令（2m-pi）為奇素?cái)?shù)，pi∈{p1，p2，p3，?，pt}，那么2m=（2m-pi）+pi，顯然偶數(shù)2m可表為“奇素?cái)?shù)+奇素?cái)?shù)”。

“哥德巴赫猜想?針對(duì)的是無窮的偶數(shù)，為了解決無窮的問題，一般情況下，我們?cè)O(shè)定一個(gè)非常大的偶數(shù)2m，設(shè)奇素?cái)?shù)p1，p2，p3，?，pt均為不大于√2m的全體奇素?cái)?shù)（pi＜ pj，i＜j，i、j=1，2，3，?，t），t∈N；并且假設(shè)偶數(shù)2m均不含有奇素?cái)?shù)因子p1，p2，p3，?，pt，為了解保奇素?cái)?shù)p1，p2，p3，?，pt均要被篩除，我們還要假設(shè)集合{（2m-p1），（2m-p2），（2m-p3），?，（2m-pt）}中的奇數(shù)均為奇合數(shù)；因?yàn)榕紨?shù)2m=（2m-p1）+ p1，2m=（2m-p2）+ p2，2m=（2m-p3）+ p3，?，2m=（2m-pt）+ pt。在說上面這樣的情形在無窮多的偶數(shù)中是必然存在的。說明白了就是對(duì)偶數(shù)2m對(duì)應(yīng)的集合{1，3，5，7，9，?，（2m-3），（2m-1）}中的奇數(shù)，要達(dá)到篩除的最大化，即達(dá)到篩除的極限。

如果我們?cè)O(shè)集合A={1，3，5，7，9，?，（2m-3），（2m-1）}，又設(shè)集合A1={ p1，3p1，5p1，7p1，9p1，?，（2m1-1）p1}，集合A1′={（2m-p1），（2m-3p1），（2m-5p1），（2m-7p1），（2m-9p1），（2m-11p1），?，[2m-（2m1-1）p1]}，集合A2={p2，3p2，5p2，7p2，9p2，?，（2m2-1）p2}，集合A2′={（2m-p2），（2m-3p2），（2m-5p2），（2m-7p2），（2m-9p2），（2m-11p2），?，[2m-（2m2-1）p2]}，集合A3={p3，3p3，5p3，7p3，9p3，?，（2m3-1）p3}，集合A3′={（2m-p3），（2m-3p3），（2m-5p3），（2m-7p3），（2m-9p3），（2m-11p3），?，[2m-（2m3-1）p3]}，?，集合At={pt，3pt，5pt，7pt，9pt，?，（2mt-1）pt}，集合At′={（2m-pt），（2m-3pt），（2m-5pt），（2m-7pt），（2m-9pt），（2m-11pt），?，[2m-（2mt-1）pt]}；其中奇數(shù)（2m1-1）p1為該表達(dá)形式下不大于奇數(shù)（2m-1）的最大奇數(shù)，奇數(shù)（2m2-1）p2為該表達(dá)形式下不大于奇數(shù)（2m-1）的最大奇數(shù)，奇數(shù)（2m3-1）p3為該表達(dá)形式下不大于奇數(shù)（2m-1）的最大奇數(shù)，?，奇數(shù)（2mt-1-1）pt-1為該表達(dá)形式下不大于奇數(shù)（2m-1）的最大奇數(shù)，奇數(shù)（2mt-1）pt為該表達(dá)形式下不大于奇數(shù)（2m-1）的最大奇數(shù)。

對(duì)于偶數(shù)2m以內(nèi)的全體奇數(shù)，偶數(shù)2m對(duì)應(yīng)的集合{1，3，5，7，9，?，（2m-3），（2m-1）}，我們?cè)诩螦={1，3，5，7，9，?，（2m-3），（2m-1）}中進(jìn)行埃拉托斯特尼順篩和埃拉托斯特尼逆篩這兩種篩法配合篩：

〈1〉在集合A中篩除屬于集合A1中的奇數(shù)，又在集合A中篩除屬于集合A1′中的奇數(shù)，得到集合B1；因?yàn)槲覀冊(cè)O(shè)偶數(shù)2m均不含有奇素?cái)?shù)因子p1，p2，p3，?，pt。所以集合A和集合A1無公共元素?！?〉在集合B1中篩除屬于集合A2中的奇數(shù)，又在集合B1中篩除屬于集合A2′中的奇數(shù)，得到集合B2；

〈3〉在集合B2中篩除屬于集合A3中的奇數(shù)，又在集合B2中篩除屬于集合A3′中的奇數(shù)，得到集合B3；

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〈t-1〉在集合Bt-2中篩除屬于集合At-1中的奇數(shù)，又在集合Bt-2

中篩除屬于集合At-1′中的奇數(shù)，得到集合Bt-1；

〈t〉在集合Bt-1中篩除屬于集合At中的奇數(shù)，又在集合Bt-1中篩除屬于集合At′中的奇數(shù)，最終得到集合Bt。

最后在集合Bt中再篩除奇數(shù)1和（2m-1）得到集合H，如果我們 能判定集合H中確實(shí)有奇數(shù)，那么集合H中的奇數(shù)必定為奇素?cái)?shù)，同時(shí)還能判定偶數(shù)2m可表為兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和。因?yàn)榧蟵1，3，5，7，9，?，（2m-3），（2m-1）}中的奇數(shù)經(jīng)過上面的配合篩后，如下情形中的奇數(shù)被全部篩除：

①偶數(shù)2m=奇合數(shù)+奇合數(shù)，②偶數(shù)2m=奇合數(shù)+奇素?cái)?shù)，③偶數(shù)2m=1+奇合數(shù)，④偶數(shù)2m=1+奇素?cái)?shù)。

說明最后在集合H中的奇數(shù)必定為奇素?cái)?shù)，并且集合H中的奇數(shù)必定

只滿足“偶數(shù)2m=奇素?cái)?shù)+奇素?cái)?shù)”的情形。

參考文獻(xiàn)

[1]戎士奎，十章數(shù)論（貴州教育出版社）1994年9月第1版

[2]閔嗣鶴，嚴(yán)士健，初等數(shù)論（人民教育出版社）1983年2月第6版 [3]劉玉璉，付沛仁，數(shù)學(xué)分析（高等教育出版社）1984年3月第1版

[4]王文才，施桂芬，數(shù)學(xué)小辭典（科學(xué)技術(shù)文藝出版社）1983年2月第1版

二〇一四年四月二十日?