第一篇：高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)提綱(3學(xué)分)

高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)提綱

第一章 函數(shù)與極限 復(fù)習(xí)重點(diǎn)：

1、求極限

1）四則運(yùn)算法則

注意：四則運(yùn)算法則適用的函數(shù)個(gè)數(shù)是有限個(gè)；

四則運(yùn)算法則的條件是充分條件 有理分式函數(shù)求極限公式：

a0xm?a1xm?1???am?1x?amlim ?bxn?bxn?1???bx?bx?01n?1n

2）兩個(gè)重要極限 limsinxx?1(1a0?limx??xmnb0xnxxn?a1?b1xm?1nxn?1xxn???am?1???bn?1xxxxnn??amxbnxnn?a0?b?0??0????n?mm?nm?nsin00x?0)1x1

lim(1?x)x?lim(1?x?0x??)?e((1?0)0)x3）兩個(gè)準(zhǔn)則 準(zhǔn)則一： 若(1)yn?xn?znn??n???n?N則{xn}有極限,且limxn?an??

準(zhǔn)則二：單調(diào)有界數(shù)列必有極限

單調(diào)遞增有上界的數(shù)列其極限為最小的上界（上確界）

單調(diào)遞減有下界的數(shù)列其極限為最大的下界（下確界）

4）無窮小量

a.無窮小量的定義，注意其是變量，談及無窮小量時(shí)一定要注明自變量的變化趨勢。唯一的例外是0永遠(yuǎn)是無窮小量；

b.掌握何為高階無窮小，低階無窮小，同階無窮小，等價(jià)無窮??； c.利用無窮小量求極限

無窮小量與有界函數(shù)的乘積是無窮小量

等價(jià)無窮小量替代求極限

注意：下面給出關(guān)系式是在x?0時(shí)才成立

等價(jià)無窮小量替代求極限只在積、商時(shí)成立，加減時(shí)不行

12sinx~x 1?cosx~x x　arcsinx~x e?1~x

x　tanx~x a?1~xlna

2、連續(xù)性和間斷點(diǎn) 1）連續(xù)定義

?x?0n　ln(1?x)~x 1?x?1~(2)limyn?limzn?axnlim?y?0,limf(x)?f(x0)

x?x0要求會(huì)用定義討論分段函數(shù)分段點(diǎn)的連續(xù)性

2）間斷點(diǎn)

第Ⅰ類間斷點(diǎn)：f(x0?0)，f(x0?0)?,即左右極限均存在 01f(x0?0)?f(x0?0)跳躍間斷點(diǎn) 02f(x0?0)?f(x0?0)而f(x0)無定義??

?可去間斷點(diǎn)0 3limf(x)?f(x0)?x?x?

第Ⅱ類間斷點(diǎn)：f(x0?0)，f(x0?0)至少有一個(gè)不?

間斷點(diǎn)的疑似點(diǎn)：使函數(shù)沒有意義的點(diǎn)和分段函數(shù)分段點(diǎn) 0要求：判斷函數(shù)的間斷點(diǎn)，若是第一類的要寫出是跳躍還是可去，第二類只需寫出是第二類間斷點(diǎn)即可。

3、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

1）最值定理：閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最大值和最小值一定取得到。注意：最值定理的條件是充分條件，不滿足結(jié)論不一定成立。

2）零點(diǎn)定理：f(x)在[a,b]上連續(xù)，f(a)f(b)<0，則至少存在一點(diǎn)x0?(a,b)，使得f(x0)?0。要求：和羅爾中值定理結(jié)合在一起判斷根的唯一性。

第二章 一元函數(shù)微分學(xué) 復(fù)習(xí)重點(diǎn)：

1、導(dǎo)數(shù)的定義f?(x0)?lim?y?x?limf(x)?f(x0)x?x0?x?0x?x0

要求，會(huì)利用導(dǎo)數(shù)的定義判斷分段函數(shù)分段點(diǎn)處的可導(dǎo)性，以及利用導(dǎo)數(shù)定義求極限；

2、導(dǎo)數(shù)的幾何意義 表示曲線f(x)在x?x0處切線的斜率 要求會(huì)求切線方程法線方程；

3、微分的定義 dy?f?(x0)?x（一點(diǎn)可微）；dy?f?(x)dx（點(diǎn)點(diǎn)可微）

4、一元微分學(xué)中，可導(dǎo)、連續(xù)、可微三者之間的關(guān)系

可導(dǎo)必可微，可微必可導(dǎo)；可導(dǎo)一定連續(xù)，連續(xù)不一定可導(dǎo)

5、導(dǎo)數(shù)的計(jì)算 a.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)

b.高階導(dǎo)數(shù)

常見高階導(dǎo)數(shù)公式如下：

y?ey?xxnyyy(n)(n)?ex(n?1)?n!,y?02n?2ny?sinxy?cosxy?ln(1?x)(n)?sin(x??cos(x??(?1)n?1n?))yy(n)(n)(n?1)!(1?x)c.隱函數(shù)求導(dǎo)

隱函數(shù)求導(dǎo)方法兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)； 注意y是關(guān)于x的函數(shù)；

隱函數(shù)求導(dǎo)的結(jié)果還是隱函數(shù)；

隱函數(shù)高階求導(dǎo)時(shí)一階求導(dǎo)結(jié)果要注意回帶，以簡化運(yùn)算。d.對(duì)數(shù)求導(dǎo)法

適用于冪指函數(shù)、無理分式函數(shù) e.參數(shù)方程求導(dǎo)

注意二階導(dǎo)數(shù)

6、求微分

dy?f?(x)dx注意不要缺失dx 第三章 中值定理和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

1、中值定理

1）羅爾定理 若f(x)滿足[a,b]連續(xù)，(a,b)可導(dǎo)，f(a)=f(b)，則至少存在一點(diǎn)x0?(a,b)，使得f?(x0)?0。

注意：a)羅爾定理的條件是充分的，不滿足條件結(jié)論不一定成立；

b)羅爾定理的結(jié)論可理解為若f(x)滿足羅爾定理三個(gè)條件，則導(dǎo)函數(shù)在開區(qū)間(a,b)至

少有一根；強(qiáng)調(diào)了導(dǎo)函數(shù)根的存在性，但沒指出到底有幾個(gè)根；

c)從羅爾定理可推出，若f(x)有n個(gè)根+連續(xù)+可導(dǎo)，則導(dǎo)函數(shù)至少有n-1個(gè)根；注意反之不成立；

d)若導(dǎo)函數(shù)沒有根，則f(x)至多一個(gè)根。2）拉格郎日定理

若f(x)滿足[a,b]連續(xù)，(a,b)可導(dǎo)，則至少存在一點(diǎn)x0?(a,b)，使得f?(x0)?應(yīng)用于不等式的證明和證明某個(gè)函數(shù)是一個(gè)常函數(shù)。3）柯西定理

若f(x)，F(xiàn)(x)滿足[a,b]連續(xù)，(a,b)可導(dǎo)，且x?(a,b),F?(x)?0則至少存在一點(diǎn)x0?(a,b)，使得f?(x0)F?(x0)?f(b)?f(a)F(b)?F(a)f(b)?f(a)b?a。

應(yīng)用于等式的證明。

2、羅比達(dá)法則

?1?若limf?x??0limF?x??0定理x?ax?a

?2?在a,?f??x?F??x?都存在且F??x??0

f??x?f?x?f??x?????3lim?或?則lim?lim

x?aF??x?x?aF?x?x?aF??x? ??羅比達(dá)法則應(yīng)用于解決,注意：limx?sinxx?lim0?0?,???,0??,0,1,?等不定型極限

0?01?cosx1極限不存在，此時(shí)羅比達(dá)法則不適用。

x??x??

3、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，凹凸性，極值和拐點(diǎn) 1）單調(diào)性的判定

設(shè)函數(shù)y?f（x）在?a,b?連續(xù)，在（a,b）可導(dǎo)，?x）?0，那么f（x）在?a,b?上?a）如果在（a,b）內(nèi)f（b）如果在（a,b）內(nèi)f（?x）?0，那么f（x）在?a,b?上? 注： a、該條件為函數(shù)嚴(yán)格單調(diào)的充分條件要條件為： b、若函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則f在(a,b)內(nèi)嚴(yán)格單增（減）的充

對(duì)一切x?(a,b)，有f?(x)?0(f?(x)?0)

在(a,b)內(nèi),任何使f?(x)?0的點(diǎn)必是孤立點(diǎn) c、若函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則f在(a,b)內(nèi)單增（減）的充要條 對(duì)一切x?(a,b)，有f?(x)?0(f?(x)?0)d、單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)為：一階導(dǎo)函數(shù)為0的點(diǎn)和一階不可導(dǎo)點(diǎn) 要求：會(huì)利用一階導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

會(huì)利用單調(diào)性證明不等式；

會(huì)利用嚴(yán)格單調(diào)性證明根的唯一性。2）凹凸性的判定

件為： 定理：若f(x)在[a,b]上連續(xù)，(a,b)上二階可導(dǎo)，在(a,b)內(nèi)若f??(x)?0，則f(x)在[a,b]是凹的；在(a,b)內(nèi)若f??(x)?0，則f(x)在[a,b]是凸的。

3）拐點(diǎn)：凹凸區(qū)間的分界點(diǎn)

拐點(diǎn)的疑似點(diǎn)：二階導(dǎo)函數(shù)為0的點(diǎn)和二階不可導(dǎo)點(diǎn)

0判定定理1：若f(x)在x0處可導(dǎo)，在U(x0)內(nèi)二階可導(dǎo)，則

當(dāng)x?x0與x?x0時(shí)，f??(x)變號(hào)，(x0,f(x0)就是拐點(diǎn)；

當(dāng)x?x0與x?x0時(shí)，f??(x)不變號(hào)，(x0,f(x0)就不是拐點(diǎn)；

判定定理2：若f(x)在x0處三階可導(dǎo)，且f??(x0)?0,f???(x0)?0,則(x0,f(x0)是拐點(diǎn)。注意，對(duì)于判定定理2，若f??(x0)?0,f???(x0)?0,結(jié)論是(x0,f(x0)可能是拐點(diǎn)也可能不 是拐點(diǎn)。4）極值

極大值：設(shè)f(x)在(a,b)有定義，存在x0?(a,b)，對(duì)x?U(x0)，若f(x0)?f(x)，則稱f(x0)為f(x)的一個(gè)極大值，x0為f(x)的一個(gè)極大值點(diǎn)。

極小值：設(shè)f(x)在(a,b)有定義，存在x0?(a,b)，對(duì)x?U(x0)，若f(x0)?f(x)，則稱f(x0)為f(x)的一個(gè)極小值，x0為f(x)的一個(gè)極小值點(diǎn)。最大值：設(shè)f(x)在(a,b)有定義，存在x0?(a,b)，對(duì)任意x?(a,b)，若f(x0)?f(x)，則稱f(x0)為f(x)的一個(gè)最大值，x0為f(x)的一個(gè)最大值點(diǎn)。

注意：極值反映的函數(shù)局部的性質(zhì)，它只是和極值點(diǎn)附近點(diǎn)的函數(shù)值相互比較而言它是大的

還是小的，有可能出現(xiàn)極小值大于極大值的情況；而最值反映的是函數(shù)全局的性質(zhì)，它是和整個(gè)區(qū)間上所有點(diǎn)的函數(shù)值相互比較。

一個(gè)區(qū)間上的最大值和最小值是唯一的，但取得最值點(diǎn)不唯一；而一個(gè)區(qū)間上極值是 不唯一的，可以有幾個(gè)極大值和極小值。

在區(qū)間內(nèi)部，最大值一定是極大值，最小值一定是極小值。

極值點(diǎn)的疑似點(diǎn)：

判定定理：駐點(diǎn)和一階不可導(dǎo)點(diǎn)

必要條件：可導(dǎo)的極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn)。（使一階導(dǎo)函數(shù)為0的點(diǎn)稱之為駐點(diǎn)）

0第一充分條件：若f(x)在x0處連續(xù)，在U(x0)內(nèi)可導(dǎo)，則

當(dāng)x?x0與x?x0時(shí)，f?(x)變號(hào)，x0就是極值點(diǎn)；

當(dāng)x?x0與x?x0時(shí)，f?(x)不變號(hào)，x0就不是極值點(diǎn)；

第二充分條件：若f(x)在x0處二階可導(dǎo)，且f?(x0)?0,f??(x0)?0,則x0就是極值點(diǎn)。

f??(x0)?0,x0是極大值點(diǎn)；f??(x0)?0,x0是極小值點(diǎn)。

注意：在第二充分條件中，若f?(x0)?0,f??(x0)?0,則x0可能是極值點(diǎn)也可能不是。

第四章 不定積分與定積分（計(jì)算）不定積分

1、換元法（第一種，第二種（去根號(hào)））

2、分部積分法

定積分

?f??i??xi.?af(x)dx?lim??01、定積分的定義

i?1定積分的結(jié)果是常數(shù)，表示的是曲邊梯形面積的代數(shù)和，與積分區(qū)間和被積表達(dá)式有關(guān)，和積分變量無關(guān)。

2、可積的兩個(gè)充分條件和一個(gè)必要條件 f(x)在[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上可積。

f(x)在[a,b]有界且有有限個(gè)間斷點(diǎn)，則f(x)在[a,b]上可積。f(x)在[a,b]可積，在f(x)在[a,b]上有界。

3、定積分的幾何意義

4、定積分的重要性質(zhì)

（1）無論a,b,c三者位置關(guān)系如何，?f(x)dx?abbn?caf(x)dx??bcf(x)dx

bb（2）不等式性質(zhì)： ?x?[a,b],f(x)?g(x),?f(x)dx??g(x)dx

aba（3）估值定理：?x?[a,b],m?f(x)?M,m(b?a)??af(x)dx?M(b?a)

b（4）積分中值定理：f(x)在[a,b]上連續(xù)，則至少存在??[a,b],?f(x)dx?f(?)(b?a)

a5、定積分的計(jì)算

（1）換元法

與不定積分相比要換積分上下限，最后不用回帶（2）分部積分法

（3）積分區(qū)間是對(duì)稱區(qū)間的要考慮被積函數(shù)的奇偶性和非奇非偶性

aa??af(x)dx??(f(x)?f(?x))dx

0

定積分的幾何應(yīng)用 求面積

第二篇：高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)提綱(4學(xué)分)

高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)提綱

第一章 函數(shù)與極限 復(fù)習(xí)重點(diǎn)：

1、求極限

1）四則運(yùn)算法則

注意：四則運(yùn)算法則適用的函數(shù)個(gè)數(shù)是有限個(gè)；

四則運(yùn)算法則的條件是充分條件

有理分式函數(shù)求極限公式：

?a0mm?1 xxxam?ba?a???amm?101m?1n?nnn a0x?a1x???am?1x?am?0xxxx?lim??0limnn?1 ?bxn?bxn?1???bx?bx??x?bxxxn01n?1n??b?b???b?01n?1nnnn ?xxxx?2）兩個(gè)重要極限

n?mm?nm?nlimsinxsin0?1()x?0x01x101lim(1?x)?lim(1?)x?e((1?0))x?0x??x

3）兩個(gè)準(zhǔn)則

準(zhǔn)則一： 若(1)yn?xn?zn?n?N則{xn}有極限,且limxn?an??(2)limyn?limzn?an??n??

準(zhǔn)則二：單調(diào)有界數(shù)列必有極限

單調(diào)遞增有上界的數(shù)列其極限為最小的上界（上確界）

單調(diào)遞減有下界的數(shù)列其極限為最大的下界（下確界）4）無窮小量

a.無窮小量的定義，注意其是變量，談及無窮小量時(shí)一定要注明自變量的變化趨勢。唯一的例外是0永遠(yuǎn)是無窮小量；

b.掌握何為高階無窮小，低階無窮小，同階無窮小，等價(jià)無窮??； c.利用無窮小量求極限

無窮小量與有界函數(shù)的乘積是無窮小量

等價(jià)無窮小量替代求極限

注意：下面給出關(guān)系式是在x?0時(shí)才成立

等價(jià)無窮小量替代求極限只在積、商時(shí)成立，加減時(shí)不行

1sinx~x 1?cosx~x2 x　arcsinx~x e?1~x

tanx~x ax?1~xlna

xn　ln(1?x)~x 1?x?1~ n2、連續(xù)性和間斷點(diǎn) 1）連續(xù)定義

?x?0lim?y?0,limf(x)?f(x0)

x?x0要求會(huì)用定義討論分段函數(shù)分段點(diǎn)的連續(xù)性

2）間斷點(diǎn)

第Ⅰ類間斷點(diǎn)：f(x0?0)，f(x0?0)?,即左右極限均存在 01f(x0?0)?f(x0?0)跳躍間斷點(diǎn) 0? 2f(x0?0)?f(x0?0)而f(x0)無定義??可去間斷點(diǎn)0 3limf(x)?f(x0)?x?x0?

第Ⅱ類間斷點(diǎn)：f(x0?0)，f(x0?0)至少有一個(gè)不?

間斷點(diǎn)的疑似點(diǎn)：使函數(shù)沒有意義的點(diǎn)和分段函數(shù)分段點(diǎn)

要求：判斷函數(shù)的間斷點(diǎn)，若是第一類的要寫出是跳躍還是可去，第二類只需寫出是第二類間斷點(diǎn)即可。

3、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

1）最值定理：閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最大值和最小值一定取得到。注意：最值定理的條件是充分條件，不滿足結(jié)論不一定成立。

2）零點(diǎn)定理：f(x)在[a,b]上連續(xù)，f(a)f(b)<0，則至少存在一點(diǎn)x0?(a,b)，使得f(x0)?0。要求：和羅爾中值定理結(jié)合在一起判斷根的唯一性。

第二章 一元函數(shù)微分學(xué) 復(fù)習(xí)重點(diǎn)：

1、導(dǎo)數(shù)的定義f?(x0)?limf(x)?f(x0)?y ?lim?x?0?xx?x0x?x0要求，會(huì)利用導(dǎo)數(shù)的定義判斷分段函數(shù)分段點(diǎn)處的可導(dǎo)性，以及利用導(dǎo)數(shù)定義求極限；

2、導(dǎo)數(shù)的幾何意義 表示曲線f(x)在x?x0處切線的斜率 要求會(huì)求切線方程法線方程；

3、微分的定義 dy?f?(x0)?x（一點(diǎn)可微）；dy?f?(x)dx（點(diǎn)點(diǎn)可微）

4、一元微分學(xué)中，可導(dǎo)、連續(xù)、可微三者之間的關(guān)系

可導(dǎo)必可微，可微必可導(dǎo)；可導(dǎo)一定連續(xù)，連續(xù)不一定可導(dǎo)

5、導(dǎo)數(shù)的計(jì)算 a.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)

b.高階導(dǎo)數(shù)

常見高階導(dǎo)數(shù)公式如下：

y?exy(n)?ex

y?xny(n)?n!,y(n?1)?0

n?y?sinxy(n)?sin(x?)2 n?y?cosxy(n)?cos(x?)2(?1)n?1(n?1)!(n)y?ln(1?x)y?(1?x)nc.隱函數(shù)求導(dǎo)

隱函數(shù)求導(dǎo)方法兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)； 注意y是關(guān)于x的函數(shù)；

隱函數(shù)求導(dǎo)的結(jié)果還是隱函數(shù)；

隱函數(shù)高階求導(dǎo)時(shí)一階求導(dǎo)結(jié)果要注意回帶，以簡化運(yùn)算。d.對(duì)數(shù)求導(dǎo)法

適用于冪指函數(shù)、無理分式函數(shù) e.參數(shù)方程求導(dǎo)

注意二階導(dǎo)數(shù)

6、求微分

dy?f?(x)dx注意不要缺失dx 第三章 中值定理和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

1、中值定理

1）羅爾定理 若f(x)滿足[a,b]連續(xù)，(a,b)可導(dǎo)，f(a)=f(b)，則至少存在一點(diǎn)x0?(a,b)，使得f?(x0)?0。

注意：a)羅爾定理的條件是充分的，不滿足條件結(jié)論不一定成立；

b)羅爾定理的結(jié)論可理解為若f(x)滿足羅爾定理三個(gè)條件，則導(dǎo)函數(shù)在開區(qū)間(a,b)至

少有一根；強(qiáng)調(diào)了導(dǎo)函數(shù)根的存在性，但沒指出到底有幾個(gè)根；

c)從羅爾定理可推出，若f(x)有n個(gè)根+連續(xù)+可導(dǎo)，則導(dǎo)函數(shù)至少有n-1個(gè)根；注意反之不成立；

d)若導(dǎo)函數(shù)沒有根，則f(x)至多一個(gè)根。2）拉格郎日定理

若f(x)滿足[a,b]連續(xù)，(a,b)可導(dǎo)，則至少存在一點(diǎn)x0?(a,b)，使得f?(x0)?應(yīng)用于不等式的證明和證明某個(gè)函數(shù)是一個(gè)常函數(shù)。3）柯西定理

若f(x)，F(xiàn)(x)滿足[a,b]連續(xù)，(a,b)可導(dǎo)，且x?(a,b),F?(x)?0則至少存在一點(diǎn)x0?(a,b)，使得

f(b)?f(a)。

b?af?(x0)f(b)?f(a)。?F?(x0)F(b)?F(a)應(yīng)用于等式的證明。

2、羅比達(dá)法則

定理?1?若limf?x??0limF?x??0x?ax?a

?2?在a,?f??x?F??x?都存在且F??x??0 f??x?f?x?f??x??3?lim?或???則lim?lim

x?aF??x?x?aF?x?x?aF??x? ??0?,???,0??,00,1?,?0等不定型極限 0?x?sinx1?cosx?lim注意：lim極限不存在，此時(shí)羅比達(dá)法則不適用。

x??x??x1羅比達(dá)法則應(yīng)用于解決,3、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，凹凸性，極值和拐點(diǎn)，會(huì)作圖 1）單調(diào)性的判定

設(shè)函數(shù)y?f（x）在?a,b?連續(xù)，在（a,b）可導(dǎo)，?x）a）如果在（a,b）內(nèi)f（?0，那么f（x）在?a,b?上?

b）如果在（?x）a,b）內(nèi)f（?0，那么f（x）在?a,b?上? 注： a、該條件為函數(shù)嚴(yán)格單調(diào)的充分條件 b、若函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則f在(a,b)內(nèi)嚴(yán)格單增（減）的充要條件為：

對(duì)一切x?(a,b)，有f?(x)?0(f?(x)?0)

在(a,b)內(nèi),任何使f?(x)?0的點(diǎn)必是孤立點(diǎn) c、若函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則f在(a,b)內(nèi)單增（減）的充要條件為： 對(duì)一切x?(a,b)，有f?(x)?0(f?(x)?0)d、單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)為：一階導(dǎo)函數(shù)為0的點(diǎn)和一階不可導(dǎo)點(diǎn) 要求：會(huì)利用一階導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

會(huì)利用單調(diào)性證明不等式；

會(huì)利用嚴(yán)格單調(diào)性證明根的唯一性。2）凹凸性的判定

定理：若f(x)在[a,b]上連續(xù)，(a,b)上二階可導(dǎo)，在(a,b)內(nèi)若f??(x)?0，則f(x)在[a,b]是凹的；在(a,b)內(nèi)若f??(x)?0，則f(x)在[a,b]是凸的。

3）拐點(diǎn)：凹凸區(qū)間的分界點(diǎn)

拐點(diǎn)的疑似點(diǎn)：二階導(dǎo)函數(shù)為0的點(diǎn)和二階不可導(dǎo)點(diǎn) 判定定理1：若f(x)在x0處可導(dǎo)，在U(x0)內(nèi)二階可導(dǎo)，則

當(dāng)x?x0與x?x0時(shí)，f??(x)變號(hào)，(x0,f(x0)就是拐點(diǎn)；

當(dāng)x?x0與x?x0時(shí)，f??(x)不變號(hào)，(x0,f(x0)就不是拐點(diǎn)；

判定定理2：若f(x)在x0處三階可導(dǎo)，且f??(x0)?0,f???(x0)?0,則(x0,f(x0)是拐點(diǎn)。注意，對(duì)于判定定理2，若f??(x0)?0,f???(x0)?0,結(jié)論是(x0,f(x0)可能是拐點(diǎn)也可能不 是拐點(diǎn)。4）極值

極大值：設(shè)f(x)在(a,b)有定義，存在x0?(a,b)，對(duì)x?U(x0)，若f(x0)?f(x)，則稱f(x0)為f(x)的一個(gè)極大值，x0為f(x)的一個(gè)極大值點(diǎn)。

極小值：設(shè)f(x)在(a,b)有定義，存在x0?(a,b)，對(duì)x?U(x0)，若f(x0)?f(x)，則稱f(x0)為f(x)的一個(gè)極小值，x0為f(x)的一個(gè)極小值點(diǎn)。

0最大值：設(shè)f(x)在(a,b)有定義，存在x0?(a,b)，對(duì)任意x?(a,b)，若f(x0)?f(x)，則稱f(x0)為f(x)的一個(gè)最大值，x0為f(x)的一個(gè)最大值點(diǎn)。

注意：極值反映的函數(shù)局部的性質(zhì)，它只是和極值點(diǎn)附近點(diǎn)的函數(shù)值相互比較而言它是大的

還是小的，有可能出現(xiàn)極小值大于極大值的情況；而最值反映的是函數(shù)全局的性質(zhì)，它是和整個(gè)區(qū)間上所有點(diǎn)的函數(shù)值相互比較。一個(gè)區(qū)間上的最大值和最小值是唯一的，但取得最值點(diǎn)不唯一；而一個(gè)區(qū)間上極值是 不唯一的，可以有幾個(gè)極大值和極小值。

在區(qū)間內(nèi)部，最大值一定是極大值，最小值一定是極小值。極值點(diǎn)的疑似點(diǎn)：

判定定理：駐點(diǎn)和一階不可導(dǎo)點(diǎn)

必要條件：可導(dǎo)的極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn)。（使一階導(dǎo)函數(shù)為0的點(diǎn)稱之為駐點(diǎn)）第一充分條件：若f(x)在x0處連續(xù)，在U(x0)內(nèi)可導(dǎo)，則

當(dāng)x?x0與x?x0時(shí)，f?(x)變號(hào)，x0就是極值點(diǎn)；

當(dāng)x?x0與x?x0時(shí)，f?(x)不變號(hào)，x0就不是極值點(diǎn)；

第二充分條件：若f(x)在x0處二階可導(dǎo)，且f?(x0)?0,f??(x0)?0,則x0就是極值點(diǎn)。

0f??(x0)?0,x0是極大值點(diǎn)；f??(x0)?0,x0是極小值點(diǎn)。

注意：在第二充分條件中，若f?(x0)?0,f??(x0)?0,則x0可能是極值點(diǎn)也可能不是。

第四章 不定積分與定積分（計(jì)算）不定積分

1、換元法（第一種，第二種（去根號(hào)））

2、分部積分法

3、倒代換

4、整個(gè)根式換元

nb定積分

f(x)dx?limf??i??xi.a??01、定積分的定義

i?1定積分的結(jié)果是常數(shù)，表示的是曲邊梯形面積的代數(shù)和，與積分區(qū)間和被積表達(dá)式有關(guān)，和積分變量無關(guān)。

2、可積的兩個(gè)充分條件和一個(gè)必要條件 f(x)在[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上可積。

f(x)在[a,b]有界且有有限個(gè)間斷點(diǎn)，則f(x)在[a,b]上可積。f(x)在[a,b]可積，在f(x)在[a,b]上有界。

3、定積分的幾何意義

4、定積分的重要性質(zhì)

??（1）無論a,b,c三者位置關(guān)系如何，?baf(x)dx??f(x)dx??f(x)dx

accbbb（2）不等式性質(zhì)： ?x?[a,b],f(x)?g(x),?f(x)dx??g(x)dx

aab（3）估值定理：?x?[a,b],m?f(x)?M,m(b?a)??f(x)dx?M(b?a)

ab（4）積分中值定理：f(x)在[a,b]上連續(xù)，則至少存在??[a,b],?f(x)dx?af(?)(b?a)

5、定積分的計(jì)算

（1）換元法

與不定積分相比要換積分上下限，最后不用回帶（2）分部積分法

（3）積分區(qū)間是對(duì)稱區(qū)間的要考慮被積函數(shù)的奇偶性和非奇非偶性

aa?a?f(x)dx??(f(x)?f(?x))dx

0

定積分的幾何應(yīng)用

求面積（1）直角坐標(biāo)系

無窮限的反常積分

第三篇：2013級(jí)《高等數(shù)學(xué)》復(fù)習(xí)提綱

江蘇城市職業(yè)學(xué)院五年制高職 《高等數(shù)學(xué)（1）》復(fù)習(xí)提綱

2013級(jí)工科類各專業(yè)（第四學(xué)期）使用

一、課程考核目的

本課程是五年制高職工科類各專業(yè)學(xué)生第四學(xué)期必修的公共基礎(chǔ)課，期末考核目的是考查本課程教學(xué)要求中規(guī)定的微積分的基本概念、基本方法和基本技能。要求學(xué)生掌握求極限方法、求導(dǎo)數(shù)方法和求積分方法，會(huì)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)與積分方法解決較簡單的實(shí)際應(yīng)用問題，提高學(xué)生運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)分析、解決實(shí)際問題的能力，為學(xué)習(xí)后續(xù)專業(yè)課程打好扎實(shí)的基礎(chǔ)。

二、復(fù)習(xí)依據(jù)

1、主教材：五年制高等職業(yè)教育21世紀(jì)課程改革規(guī)劃新教材《數(shù)學(xué)》第四冊(cè)，2012年1月，江蘇教育出版社出版，書號(hào)ISBN 978-7-5499-1140-0。

2、輔導(dǎo)教材：《數(shù)學(xué)教學(xué)指導(dǎo)與訓(xùn)練》第四冊(cè)，2012年1月，江蘇教育出版社出版，書號(hào)ISBN 978-7-5499-1139-4。

3、本復(fù)習(xí)提綱。

三、考試形式、試題類型及成績?cè)u(píng)定

考核形式：本課程期末考試形式為閉卷統(tǒng)考，考試時(shí)間120分鐘．

試題類型：填空題（18%），選擇題（18%），解答題（64%）（包括求極限、求導(dǎo)數(shù)與微分、求積分，求平面圖形的面積、討論函數(shù)的單調(diào)性和極值）。

各章考核比例：第14章25%，第15章29%，第16章43%，第17章3%。成績?cè)u(píng)定：總評(píng)成績=形成性成績*40%+期末統(tǒng)考成績*60%．

四、各章復(fù)習(xí)要求

第14章 函數(shù)的極限與連續(xù)性

1、熟記五種基本初等函數(shù)的表達(dá)式，會(huì)求函數(shù)的定義域。

2、理解復(fù)合函數(shù)的概念，會(huì)分解復(fù)合函數(shù)。

3、知道函數(shù)極限的概念，掌握函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則，熟記兩個(gè)重要極限公式，能較熟練地運(yùn)用極限運(yùn)算法則和公式求“

0??”、“ ”、“1”型函數(shù)極限。

0?

4、了解無窮小的概念和性質(zhì)，會(huì)判斷無窮小。

5、理解函數(shù)的連續(xù)性定義，會(huì)用定義判斷函數(shù)在一點(diǎn)處的連續(xù)性，會(huì)求初等函數(shù)的連續(xù)區(qū)間和間斷點(diǎn)，會(huì)運(yùn)用初等函數(shù)的連續(xù)性求極限。

復(fù)習(xí)重點(diǎn)

函數(shù)極限的求法。

第15章 一元函數(shù)的微分

1、理解導(dǎo)數(shù)的定義，知道f?(x)與f?(x0)的聯(lián)系與區(qū)別。掌握導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會(huì)求曲線的切線方程。

2、熟記基本導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則，掌握復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，會(huì)熟練地運(yùn)用公式和法則求初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，會(huì)求較簡單的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

3、了解二階導(dǎo)數(shù)的概念，會(huì)求二階導(dǎo)數(shù)。

4、了解微分的概念，會(huì)求函數(shù)的微分。

5、掌握函數(shù)單調(diào)性的判定定理，能較熟練地運(yùn)用定理討論函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間。

6、了解函數(shù)的極值和駐點(diǎn)概念，知道駐點(diǎn)與極值點(diǎn)的關(guān)系，掌握求可導(dǎo)函數(shù)極值的方法。

7、了解函數(shù)最大（?。┲蹈拍?，掌握求連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的最大（?。┲捣椒ǎ瑫?huì)解較簡單的最值應(yīng)用問題。

8、了解羅必達(dá)法則，會(huì)用羅必達(dá)法則求函數(shù)的極限。

復(fù)習(xí)重點(diǎn)

求導(dǎo)方法；函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值的求法；最值求法和最值應(yīng)用問題的解法。

第16章 一元函數(shù)的積分

1、理解原函數(shù)和不定積分的定義，熟記不定積分的基本公式，掌握不定積分運(yùn)算法則。

2、掌握積分方法，會(huì)運(yùn)用直接積分法、湊微分法和分部積分法計(jì)算常見類型的不定積分。

3、了解定積分的定義，理解定積分的性質(zhì)1-4和定積分的幾何意義。

4、掌握定積分的計(jì)算方法，會(huì)運(yùn)用牛頓-萊布尼茲公式計(jì)算定積分。

5、了解廣義積分???af(x)dx的定義，會(huì)判斷簡單廣義積分的收斂性。

6、會(huì)運(yùn)用定積分求較簡單曲線所圍成的平面圖形的面積。

復(fù)習(xí)重點(diǎn)

不定積分的計(jì)算方法，定積分的計(jì)算方法，運(yùn)用定積分求簡單平面圖形的面積。

第17章 微分方程簡介

1、了解微分方程的概念及微分方程的特解、通解的含義．

2、掌握可分離變量的微分方程的形式及其解法．

3、了解一階線性微分方程的形式及其解法．

五、復(fù)習(xí)參考題

（一）填空題

21、設(shè)函數(shù)f(x)?x?2x，則f(x??x)?f(x)?_____________________．

2、函數(shù)y?sin(2x?1)可以看成是由_______________復(fù)合而成的． 2x?2的定義域是___________，連續(xù)區(qū)間是__________． x?12sin3x?________________．

4、lim(1?x)x=____________________；limx?0sin4xx?0x?12x2?1?___________，lim2?___________．

5、lim2x?1x?xx??x?2x?

33、函數(shù)f(x)?

1?___________．

x?0x17、函數(shù)f(x)?的間斷點(diǎn)是___________．

11?x8、設(shè)y?3x2?2x，則y?|x?1?______________．

6、limxsin29、設(shè)y?(2x?1)5，則y?(0)?______________．

10、曲線y?xlnx在點(diǎn)（1，0）處的切線斜率為_________，方程為_______________．

11、設(shè)

12、?f(x)dx?xcosx?C，則f(x)?_____________________．

1?1?2xdx?_________________________；

?xlnxdx?____________________． 12322x13、?0(x?3x)dx?_______________； ?0edx?_________________．

?114、經(jīng)過點(diǎn)（1，）且切線斜率為的曲線方程是_______________．

21?x215、微分方程y??2y?0的通解為_______________．

（二）選擇題

1、下列各組函數(shù)中表示同一個(gè)函數(shù)的為（）A．y1?3lnx與y2?lnxB．y1?C．y1?1與y2?x2與y2?x

x

D．y1?x與y2?|x| x2、下列極限存在的是（）

x?11B．limx

C．limcosx

D． lim2

x??x??2x?3x?02?1x?0x3、當(dāng)x?0時(shí)，下列變量中的無窮小量是（）

xA．e

B．lnx

C．sinx

D．cosx

4、下列各式中極限值為e的是（）

1x211)

B．lim(1?)x

C．lim(1?)2x

D．lim(1?)x?2 A．lim(1?x??x??x??x??2xxxx5、函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處有定義是f(x)在x0處連續(xù)的（）A．lim A．充分條件

B．必要條件

C．充要條件

D．無關(guān)條件

6、函數(shù)y?x?1的間斷點(diǎn)是（）2x?3x?2Ａ．x2??

2Ｂ．x1??1，x2??2

Ｃ．x2?2

Ｄ．x1?1，x2?2

Ａ．[2x]??

7、下列等式正確的是（）

12x

Ｂ．[]??lnx

Ｃ．[1x11?]??

Ｄ．[cosx]??sinx 2xx8、設(shè)y?sin2x，則dy?（）

A．cos2xdx

B．2cos2xdx

C．2cosxdx

D．?2cos2xdx

9、函數(shù)y?x?ln(x?1)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）

A．(??,0)

B．(0,??)

C．（-1，??)

D．（-1，0）

10、不定積分b?f?(x)dx?（）0A．f(x0)

B．f(x)

C．f?(x0)?x?c

D．f(x0)?c

11、定積分 ?af(x)dx是（）

A．f(x)的一個(gè)原函數(shù)

C．f(x)的全體原函數(shù)

12、下列各式中是函數(shù)f(x)?

B．確定常數(shù) D．任意常數(shù)

1的一個(gè)原函數(shù)的為（）x111A．F(x)?

2B．F(x)?ln|x|

C．F(x)??2

D．F(x)?x2

xx13、下列廣義積分中收斂的是（）

??????1x?xdx

B．

C．

D．edxedx sinxdx?1x?0?0?014、微分方程y??y?0的通解為（）A．??

A．y?Cex

B．y?e?2x?C

C．y?Ce?x

D．y?e?x?C

15、滿足初始條件y|x?0?2的微分方程y??2y?0的特解為（）

A．y?Ce2x

B．y?2e2x

C．y?C?e2x

D．y?e2x

（三）求下列極限：

1?x?1；

x?0x?2x?0xxsin2x12x?3x?3x?3).4、lim2；

5、lim(1?)；

6、lim(x?0x?5xx??x??x?1x1、limx?2；

2、lim(2sinx?3cosx)；

3、lim

（四）求導(dǎo)或微分：

1、已知y?x1?x2，求y?．

2、已知y?sin4x?cosx，求dy．

4dyx．

4、已知y?2，求dy． dxx?

25、已知y?e3xsin2x，求y?/x??．

6、已知y?ln(1?x2)，求y??．

3、已知x?y?e33xy?2，求

（五）計(jì)算下列各積分：

1、xxxdx；

2、?1?x?(2?x2)3dx；

3、?(x?1)edx；

4、xsinxdx；

5、??10e3x4?3x2?12dx；

6、xlnxdx。2?1x?

1（六）應(yīng)用

1、求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值：

13x22（1）y?x?x?3x?2；

（2）y?．

31?x222、求由曲線y?2?x與直線y?0,x??2,x?1所圍成的平面圖形的面積．

13、求由曲線y?與直線y?x,x?2所圍成的平面圖形的面積．

x24、求由曲線y?x與直線y?x?6所圍成的平面圖形的面積．

六、有關(guān)說明

1、本次考試主要考查學(xué)生掌握一元微積分中的基本概念、基本法則、基本方法和基本技能的情況，考查學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決簡單實(shí)際問題的能力。試題題型不超出本復(fù)習(xí)提綱范圍。

2、各教學(xué)班任課教師要根據(jù)本復(fù)習(xí)提綱中的各章復(fù)習(xí)要求和復(fù)習(xí)重點(diǎn)，組織學(xué)生認(rèn)真復(fù)習(xí)，熟記公式，掌握基本方法。復(fù)習(xí)時(shí)，應(yīng)根據(jù)復(fù)習(xí)提綱中提供的復(fù)習(xí)參考題型，編制綜合練習(xí)題讓學(xué)

生復(fù)習(xí)，掌握這些題型的解題方法，但切忌讓學(xué)生死記硬背。

3、本課程期末統(tǒng)考不需要使用計(jì)算器。

4、本復(fù)習(xí)提綱供任課老師使用，不發(fā)給學(xué)生．

5、聯(lián)系方式：手機(jī)***．

QQ群號(hào)20081840．

課程責(zé)任教師：凌佳

2015年5月

第四篇：602高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)提綱

602高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)提綱

一、課程考試內(nèi)容

1、函數(shù)與極限

數(shù)列的極限，函數(shù)的極限，極限存在準(zhǔn)則，兩個(gè)重要極限，函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)，連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。

2、導(dǎo)數(shù)與微分

導(dǎo)數(shù)概念，函數(shù)的四則運(yùn)算求導(dǎo)法則，反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，高階導(dǎo)數(shù)，隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，函數(shù)的微分。

3、中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用

四大中值定理，洛必達(dá)法則，函數(shù)單調(diào)性的判別，函數(shù)的極值和最值，曲線的凹凸與拐點(diǎn)。

4、不定積分

不定積分的概念與性質(zhì)，換元積分法，分部積分法，幾種特殊類型函數(shù)的積分。

5、定積分及其應(yīng)用

定積分的概念，定積分的性質(zhì)和積分中值定理，微積分基本公式，定積分的換元法，定積分的分部積分法，廣義積分；定積分的元素法，平面圖形的面積和體積，平面曲線的弧長，功、水壓力和引力。

6、空間解析幾何與向量代數(shù)

空間直角坐標(biāo)系，向量及其加減法，向量與數(shù)的乘法，數(shù)量積和向量積；曲面及其方程，空間曲線及其方程，平面及其方程，空間直線及其方程，二次曲面。

7、多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

多元函數(shù)的基本概念，偏導(dǎo)數(shù)，全微分及其應(yīng)用，多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，隱函數(shù)的求導(dǎo)；微分法在幾何上的應(yīng)用，方向?qū)?shù)與梯度，多元函數(shù)的極值及其求法。

8、重積分

二重積分的概念與性質(zhì)，二重積分的計(jì)算方法；三重積分的概念及其計(jì)算法，重積分的應(yīng)用。

9、曲線積分與曲面積分

對(duì)弧長的曲線積分, 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分, 格林公式,平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件, 二元函數(shù)的全微分求積；對(duì)面積的曲面積分, 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分,高斯公式，通量與散度, 斯托克斯公式,環(huán)流量與旋度。

10、無窮級(jí)數(shù)

常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì), 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法； 冪級(jí)數(shù), 函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù), 傅里葉級(jí)數(shù), 正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù), 周期為2l的周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)。

11、微分方程

微分方程的基本概念，可分離變量的微分方程, 齊次方程，一階線性微分方程, 全微分方程；可降階的高階微分方程, 高階線性微分方程,二階常系數(shù)線性微分方程。

二、考試形式與試題結(jié)構(gòu)

1、試卷分值：150分

2、考試時(shí)間：180分鐘

3、考試形式：閉卷

4、題型結(jié)構(gòu)：填空題，計(jì)算題，證明題。

三、參考書目

1、同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室 《高等數(shù)學(xué)》（第五版）高等教育出版社

2、龔冬保 《高等數(shù)學(xué)典型題解法、技巧、注釋》西安交通大學(xué)出版社

第五篇：2014經(jīng)管類高等數(shù)學(xué)(二)復(fù)習(xí)提綱

高等數(shù)學(xué)(二)

一.考試題型

1.單項(xiàng)選擇題:5個(gè)小題，每小題3分，共15分;

2.填空題:5個(gè)小題，每小題3分，共15分;

3.解答題:10個(gè)小題，每小題7分，共70分;

二.考試章節(jié)：第六章, 第八章, 第九章, 第十章, 第十一章(11.1,11.2).三.考試知識(shí)點(diǎn)和參考題

第六章: 1.定積分的概念和性質(zhì):P157(B)1;

2.積分上限的函數(shù)的導(dǎo)數(shù): P154 3(1)(2)(3)(4);

3.定積分的計(jì)算: P155 5(1)(2)(6);6(1)(2)(3)(8);7(1)(2)(3);

5.反常積分: P156 16(1)(2)(3)(5);

第八章: 1.多元函數(shù)的概念:P198 1;3;

2.偏導(dǎo)數(shù)與全微分: P183 例題 8.6;P186 例題 8.10;P198 4(1)(3);

3.多元復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的微分法: P188例題 8.11;例題 8.12;例題 8.13;P198 11;12(1);13(1);P199 15;16;

4.高階偏導(dǎo)數(shù): P191例題 8.17;P198 5;

第九章: 1.二重積分的概念和性質(zhì):P212(B)1;

2.二重積分的計(jì)算: P206 例題 9.3;P207 例題 9.4;

P209例題 9.6;例題 9.7;P2113(1)(4)(5);

第十章: 1.常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì):P215例題 10.1;P238(B)1； 7;

2.常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性: P223 例題 10.9;P2372(1)(3)(4)(6)(7);3(1)(3)(4);P238(B)2;3;4;8；9；

3.冪級(jí)數(shù): P229例題 10.11;

第十一章: 1.微分方程的基本概念:P259 1;

2.一階微分方程: P243例題 11.4;例題 11.5;P2593(1)(2)(3);