第一篇：函數(shù)極限習(xí)題與解析

函數(shù)與極限習(xí)題與解析（同濟(jì)大學(xué)第六版高等數(shù)學(xué)）

一、填空題

1、設(shè)f(x)?2?x?lglgx，其定義域為。

2、設(shè)f(x)?ln(x?1)，其定義域為。

3、設(shè)f(x)?arcsin(x?3)，其定義域為。

4、設(shè)f(x)的定義域是[0，1]，則f(sinx)的定義域為。

5、設(shè)y?f(x)的定義域是[0，2]，則y?f(x2)的定義域為。

x2?2x?k?4，則k=。

6、limx?3x?3x有間斷點，其中為其可去間斷點。sinxsin2x8、若當(dāng)x?0時，f(x)?，且f(x)在x?0處連續(xù)，則f(0)?。

xnnn?2???2)?。

9、lim(2n??n?1n?2n?n7、函數(shù)y?

10、函數(shù)f(x)在x0處連續(xù)是f(x)在x0連續(xù)的條件。

(x3?1)(x2?3x?2)?。

11、limx??2x5?5x312、lim(1?)n??2nkn?e?3，則k=。

x2?113、函數(shù)y?2的間斷點是。

x?3x?

214、當(dāng)x???時，1是比x?3?x?1的無窮小。x15、當(dāng)x?0時，無窮小1?1?x與x相比較是無窮小。

16、函數(shù)y?e在x=0處是第類間斷點。

31x17、設(shè)y?x?1，則x=1為y的間斷點。x?118、已知f?1??????3，則當(dāng)a為時，函數(shù)f(x)?asinx?sin3x在x?處連續(xù)。

33?3??sinxx?0?2x19、設(shè)f(x)??若limf(x)存在，則a=。

1x?0?(1?ax)xx?0?x?sinx?2水平漸近線方程是。20、曲線y?x221、f(x)?4?x2?1x?12的連續(xù)區(qū)間為。

?x?a,x?022、設(shè)f(x)?? 在x?0連續(xù)，則常數(shù)

cosx,x?0?a=。

二、計算題

1、求下列函數(shù)定義域（1）y?

（3）y?e ；

2、函數(shù)f(x)和g(x)是否相同？為什么？（1）f(x)?lnx

（2）f(x)?x

（3）f(x)?1, 21 ；（2）y?sinx ； 1?x21x,g(x)?2lnx ； ,g(x)?x2 ；

g(x)?sec2x?tan2x ；

3、判定函數(shù)的奇偶性

（1）y?x2(1?x2)；

（2）y?3x2?x3 ；

（3）y?x(x?1)(x?1)；

4、求由所給函數(shù)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)（1）y?u

2（2）y?u

（3）y?u2,u?sinv,v?x2 ； ,u?1?x2 ； ,u?ev,v?sinx ；

5、計算下列極限（1）lim(1?n??1111?2?3???(n?1)????n)；

（2）lim ；

n??242n2

x2?5x2?2x?1（3）lim ；

（4）lim ； 2x?1x?2x?3x?

111x3?2x2（5）lim(1?)(2?2)；

（6）lim ； 2x??x?2xx(x?2)

1x2?1（7）limxsin ；

（8）lim ； 2x?0x

（9）2xlim???x(x?1?x)；

6、計算下列極限（1）limsinwxx?0x ；

（3）limx?0xcotx ；

（5）limx?1x??(x?1)x?1 ；

7、比較無窮小的階

（1）x?0時，2x?x2與x2?x3 ；

（2）x?1時，1?x與1(1?x22)；

x?13?x?1?x2）limsin2xx?0sin5x ；

4）lim(xx??1?x)x ； 16）lim(1?x)xx?0 ；

（（（8、利用等價無窮小性質(zhì)求極限

tanx?sinxsin(xn)（1）lim ；

（2）limx?0x?0(sinx)msinx39、討論函數(shù)的連續(xù)性

(n,m是正整數(shù))；

?x?1,x?1 f(x)??在x?1。?3?x,x?

110、利用函數(shù)的連續(xù)性求極限

（1）limln(2cos2x)；

（2）lim(x?x?x?2?x???x2?x)；

6（3）limlnx?0sinx12x ；

（4）lim(1?)；

x??xx

（5）設(shè)f(x)?lim(1?)n??xnn,求limf(?t?11)； t?

1（6）limxln(x??x?1)； x?1

?ex,x?011、設(shè)函數(shù)f(x)??

?a?x,x?0應(yīng)當(dāng)怎樣選擇a，使得f(x)成為在(??，??)內(nèi)的連續(xù)函數(shù)。

12、證明方程x?3x?1至少有一個根介于1和2之間。

5（B）

1、設(shè)f(x)的定義域是[0，1]，求下列函數(shù)定義域（1）y?f(ex)

（2）y?f(lnx)

?0,x?o2、設(shè)f(x)???x,x?0求

?0,x?0 g(x)??2?x,x?0?f[g(x)],g[f(x)] f[f(x)],g[g(x)]，3、利用極限準(zhǔn)則證明：（1）lim1?n??11?（2）lim?x[]?1 ；

x?0xn

（3）數(shù)列2,4、試比較當(dāng)x?0時，無窮小2?3?2與x的階。

5、求極限

（1）limx(x?1?x)；

（2）lim(x???x??2?2,2?2?2,?的極限存在 ；

xx22x?3x?1)； 2x?

1（3）limx?0tanx?sinx ； 3x

ax?bx?cxx（4）lim()x?0

31(a?0,b?0,c?0)；

1?,x?0?xsin6、設(shè)f(x)??

要使f(x)在(??,??)內(nèi)連續(xù)，x2??a?x,x?0應(yīng)當(dāng)怎樣選擇數(shù)a ？

?x1??1,x?0

求f(x)的間斷點，并說明間斷點類型。

7、設(shè)f(x)??e??ln(1?x),?1?x?0

（C）

1、已知f(x)?ex2,f[?(x)]?1?x，且?(x)?0，求?(x)并寫出它的定義域。

2、求下列極限：

1?x)?coslnx] ；（1）、lim[cosln(（2）、milx???x?01?xnisx?cosx ；

xx?ax3x2?52)?9，求常數(shù)a。?sin ；（3）、求lim（4）、已知lim(x??5x?3x??x?ax（5）、設(shè)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)?a,f(b)?b，證明：在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點?，使f(?)??。

第一章 函數(shù)與極限習(xí)題 解 析

（A）

一、填空題（1）(1,2]

（2）(?1,??)

（3）[2，4]

（4）x2k??x?(2k?1)?（6）-3

（7）x?k?,k?z（10）充分

（11）?,k?z?

（5）[?2,;x?0

（8）2（9）1

2]

3（12）?

（13）x=1 , x=2（14）高階 22（15）同階

（16）二

（17）可去

（18）2

（19）-ln2（20）y=-2

（21）[?2,1]?(1,2]

（22）1

二、計算題

1、（1）

(??,?1)?(?1,1)?(1,??)

（2）

[0,??)

（3）(??,0)?(0,??)

2、（1）不同，定義域不同

（2）不同，定義域、函數(shù)關(guān)系不同

（3）不同，定義域、函數(shù)關(guān)系不同

3、（1）偶函數(shù)

（2）非奇非偶函數(shù)

（3）奇函數(shù)

24、（1）y?(sinx2)

2（2）[y?1?x]

（3）[y?e2sinx] ??

5、（1）[ 2 ]

（2）[]

（3）-9

（4）0

（5）2（6）?

（7）0

（8）?2（9）

6、（1）w

（2）2121 22?12?

1（3）1

（4）e

（5）e

（6）e 5237、（1）2x?x是x?x的低階無窮小

（2）是同階無窮小

?0,m?n1?

8、（1）

（2）?1,m?n

2??,m?n?

9、不連續(xù)

10、（1）0

（2）1

（3）0

（4）e

（5）0

（6）-2

211、a=1

（B）

1、（1）提示：由0?e?1 解得：x?(??,0]

（2）提示：由0?lnx?1解得：x?[1,e]

2、提示：分成x?o和x?0兩段求。f[f(x)]?f(x)，g[g(x)]?0，xf[g(x)]?0 , g[f(x)]?g(x)

4、（1）提示：1?1?11111?1?

（2）提示：x(?1)?x[]?x?

xxxnn

（3）提示：用數(shù)學(xué)歸納法證明：an?2?2?2

2x?3x?22x?13x?1x??

5、提示：

令2?1?t（同階）

xxx（2）提示：除以2x ；e 21

（3）提示：用等階無窮小代換 ；

26、（1）提示：乘以x2?1?x ；ax?bx?cxx（4）提示：()

33??xxxxxxa?1?b?1?c?1????a?1?b?1?c?1????????1????3????????ax?1?bx?1?cx?13x1（3abc）

7、提示：limf(x)?limf(x)?f(0)

（a?0）

x?0?x?0?

8、x?1是第二類間斷點，x?0是第一類間斷點

（C）

1、解：因為f???x???e?2(x)?1?x，故?(x)?ln(1?x)，再由ln(1?x)?0，x?0。得：1?x?1，即x?0。所以：?(x)?ln(1?x)1xsinx?sin2x1?xsinx?cos2x2、解：原式=lim=lim?

x?0x?0x(1?xsinx?cosx)2xsinx(x?sinx)=0 x?0x223、解：因為當(dāng)x??時，sin~，xx=?lim123x2?523x2?526x2?106?sin=lim?=lim2則lim=

x??5x?3x??x??x5x?3x5x?3x5a??1???x?axeax?=?a=e2a)=lim?

4、解：因為：9=lim(a?ex??x?ax???1???x??所以e2ax?9，a?ln3

5、證明：令F(x)?f(x)?x，F(xiàn)(x)在?a,b?上連續(xù)，且

F(a)?f(a)?a?0，F(xiàn)(b)?f(b)?b?0。由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的零點定理，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點??(a,b)，使F(?)?0，即f(?)??。

第二篇：函數(shù)極限習(xí)題

習(xí)題1—2

1．確定下列函數(shù)的定義域：

（1）y?；

x?9（4）y?2．求函數(shù)

?1?siny??x??0

(x?0)(x?0)

（2）y?logaarcsinx；

（3）y?

； sin?x

1x?1

（5）y?arccos?loga(2x?3)；?loga(4?x2)

x?22的定義域和值域。

3．下列各題中，函數(shù)f(x)和g(x)是否相同？

（1）f(x)?x,g(x)?x2；

（2）f(x)?cosx,g(x)?1?2sin2（4）f(x)?

x,g(x)?x0。x

?

2；

x2?1

（3）f(x)?,g(x)?x?1；

x?1

4．設(shè)f(x)?sinx證明：

f(x??x)?f(x)?2sin

?x

?x??

cos?x?? 22??

5．設(shè)f(x)?ax2?bx?5且f(x?1)?f(x)?8x?3，試確定a,b的值。

6．下列函數(shù)中哪些是偶函數(shù)？哪些是奇函數(shù)？哪些是既非奇函數(shù)又非偶函數(shù)？

1?x22223

（1）y?x(1?x)（2）y?3x?x；（3）y?；

1?xax?a?x

（4）y?x(x?1)(x?1)；（5）y?sinx?cosx?1（6）y?。

7．設(shè)f(x)為定義在(??,??)上的任意函數(shù)，證明：

（1）F1(x)?f(x)?f(?x)偶函數(shù)；（2）F2(x)?f(x)?f(?x)為奇函數(shù)。

8．證明：定義在(??,??)上的任意函數(shù)可表示為一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的和。9．設(shè)f(x)定義在(?L,L)上的奇函數(shù)，若f(x)在(0,L)上單增，證明：f(x)在(?L,0)上也單增。

10．下列各函數(shù)中哪些是周期函數(shù)？對于周期函數(shù)，指出其周期：（1）y?cos(x?2)（2）y?cos4x；（3）y?1?sin?x；（4）y?xcosx；（5）y?sin2x（6）y?sin3x?tanx。11．下列各組函數(shù)中哪些不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù)？把能構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的寫成復(fù)合函數(shù)，并指出其定義域。

（1）y?x3,x?sint

（2）y?au,u?x2；（3）y?logau,u?3x2?2；

（6）y?logau,u?x2?2。

（4）y?,u?sinx?2（5）y?,u?x3 12．下列函數(shù)是由哪些簡單函數(shù)復(fù)合而成的？（1）y?(1?x)2?1（3）y?sin2(3x?1)

（2）y?3(x?1)；（4）y?logacos2x。

2x

（3）y?x。

2?1

13．求下列函數(shù)的反函數(shù)：（1）y?2sinx；

（2）y?1?loga(x?2)；

14．已知函數(shù)f(x,y)?x2?y2?xytan

x，試求f(tx,ty)。y

15．已知函數(shù)f(u,v,w)?uw?wu?v。試求f(x?y,x?y,xy)。16．求下列各函數(shù)的定義域：

111??（1）u?； xyz（2）u?R2?x2?y2?z2?

x?y?z?r

(R?r?0)。

習(xí)題1—3

1．利用數(shù)列極限定義證明：如果limun?A，則lim|un|?|A|，并舉例說明反之不然。

n??

n??

習(xí)題1—4

?x2(x?1)1．設(shè)f(x)??

x?1(x?1)?

（1）作函數(shù)y?f(x)的圖形；（2）根據(jù)圖形求極限lim?f(x)與lim?f(x)；

x?1

x?1

（3）當(dāng)x?1時，f(x)有極限嗎？ 2．求下列函數(shù)極限：

xx

（1）lim?；（2）lim?2；

x?0|x|x?0x?|x|3．下列極限是否存在？為什么？（1）limsinx；

x???

（3）lim?

x?0

x。

x2?|x|

（2）limarctanx；

x??

（3）limcos；

x?0x

（4）lim(1?e?x)；

x??

（5）lim

|x?1|；

x?1x?1

（6）lime?x。

x???

習(xí)題1—5

求下列極限

?111?2n??1

?????1．lim?； 2.； lim??????22?x???1?2x???n22?3n(n?1)nn???x2?2x?1

4．lim；

x?1x2?1

x2?5

3.lim； x?2x?3

(x?h)2?x2

5.lim；h?0h

6.lim

x?1x?1

x?1。

習(xí)題1—6

1．求下列極限：

sinax

（1）lim(b?0)；

x?0sinbx2x?tanx

（4）lim；

x?0sinx

（2）lim

tanx?sinx；

x?0x3

（3）lim

1?cosx；

x?0xsinx

2??； x?

x

arcsinx

（5）lim；

x?0x

?

（6）lim?1?

x???

?1?

（7）lim?1??；

t???t?

x

t

?1?

（8）lim?1??

x???x?

x?3；

x2?1

（9）lim(1?tanx)cotx；

x?0

?x?a?

（10）lim??；

x???x?a?

?x2?2?

?（11）lim?

x???x2?1???

1??

；（12）lim?1??。

x???n?

n

2．利用極限存在準(zhǔn)則證明：

11??1

（1）limn?2?2???2??1；

x???n??n?2?n?n??（2）數(shù)列,2?2,2?2?2，?的極限存在；（3）lim

x2?1

?1。x?1

x???

習(xí)題1—7

1．當(dāng)n無限增加時，下列整標(biāo)函數(shù)哪些是無窮??？

(?1)n12n?11?cosn?

（1）2；（2）；（3）；（4）。

n?1nnn

2．已知函數(shù)

xsinx,2，ln(1?x),ex,e?x

xx

（1）當(dāng)x?0時，上述各函數(shù)中哪些是無窮小？哪些是無窮大？（2）當(dāng)x???時，上述各函數(shù)中哪些是無窮小？哪些是無窮大？

（3）“是無窮小”，這種說法確切嗎？

x

3．函數(shù)y?xcosx在(??,??)是是否有界？又當(dāng)x???地，這個函數(shù)是否為無窮大？為什么？

4．求下列極限

n2?n1?a?a2???an!000n

（1）lim2；（2）lim；（3）lim ；(|a|?1,|b|?1)

x??n?2x??1?b?b2???bnx??n?1

4x2?1(?2)n?2nx3

（4）lim；（5）lim；（6）lim2；

16x?5x?1x??(?2)?3x??1x?1x?

5．求下列極限：

sinx??

（1）lim?ex??；

x????x?

（2）limx?cos；

x?0x

（3）lim

?

n

n??

sinn?；

e?xarctanx

（4）lim；（5）lim；（6）lime?xarctanx。

x???x??arctanxx??x

6．下列各題的做法是否正確？為什么？

（1）lim

x?9x?9

???

x?9x?9lim(x?9)

x?9

lim(x2?9)

1111

?2)?lim?lim2?????0

x?1x?1x?1x?1x?1x?1x?1

cosx1

（3）lim?limcosx?lim?0。

x??xx??x??x

7．證明：當(dāng)x?0時，arcsinx~x，arctanx~x。8．利用等價無窮小的性質(zhì)，求下極限：

（2）lim（sin2xsin2x

；（2）lim；

x?0sin3xx?0arctanx

sinxnx

（3）lim（為正整數(shù)）；（4）。limm,n

x?0(sinx)mx?0??cosx

（1）lim

9．當(dāng)x?1時，x3?3x?2是x?1是多少階無窮?。?/p>

x?11

10．當(dāng)x???時，4是是多少階無窮小？

x?1x111

11．當(dāng)x??時，sin是是多少階無窮??？

xxx

習(xí)題1—8

1．研究下列函數(shù)的連續(xù)性，并畫出函數(shù)的圖形： x

（1）f(x)?；

x

?x2(0?x?1)

（2）f(x)??；

?2?x(1?x?2)

?x2(|x|?1)?|x|(x?0)

（3）f(x)??；（4）?(x)??。

1(x?0)x(|x|?1)??

2．指出下列函數(shù)的間斷點，說明這些間斷點屬于哪一類？如果是可去間斷點，則補(bǔ)充或改變函數(shù)的定義使它連續(xù)。

x2?1n21（1）y?2；（2）y?；（3）y?cos。

tanxxx?3x?2

?ex(0?x?1)

3．a(chǎn)為何值時函數(shù)f(x)??在[0，2]上連續(xù)？

?a?x(1?x?2)1?x2n

x的連續(xù)性，若有間斷點，判斷共類型。4．討論函數(shù)f(x)?lim

n??1?x2n

5．函數(shù)z?

y2?2xy2?2x

在何上是間斷的？

習(xí)題1—9

1．設(shè)f(x)連續(xù)，證明|f(x)|也是連續(xù)的。

2．若f(x)在[a,b]上連續(xù)，且在[a,b]上f(x)恒為正，證明：續(xù)。

3．求下列極限：

（1）lim

x?0

在[a,b]上跡連f(x)

(sin2x)3；（3）limx2?2x?5；（2）lim?

x?

sin5x?sin3x；

x?0sinx

（6）lim

ax?absinx?sina

(a?0)；（4）lim；（5）lim

x?bx?ax?bx?a

sinx

（7）lim2；（8）limthx；

x???x?0x?x

ln(1?3x)；

x?0x

（9）lim(x?2x?1)；

x???

（10）lim?

x?2

x?2?x?2；

x?4

ln(a?x)?lna

（12）lim。

x?0x

（11）lim

x?x?x

x?1

x???

習(xí)題1—10

1．證明：方程x?3x?1在區(qū)間（1，2）上至少有一個根。

x1,x2,?,xn是[a，2．設(shè)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，b]內(nèi)的n個點，證明：???[a,b]，使得

f(?)?

f(x1)?f(x2)???f(xn)

n

附件習(xí)題

1．用數(shù)列極限的定義證明：

(?1)n?11

（1）lim（2）lim(1?n)?1； ?0；

n??n??n10（4）lim

n2

n

（3）lim

3n2n2?4

n??

?3；

n??9n?73

2．用數(shù)列極限的定義證明數(shù)列{(?1)n}發(fā)散。

n??

n??

?0；（5）lim

2n?1

?0；

（6）limqn?0(|q|?1)。

n??

3．設(shè)a?0，用數(shù)列極限的定義證明極限lima?1。

4．用數(shù)列極限的定義證明數(shù)列極限的夾逼準(zhǔn)則。

5．下述幾種說法與數(shù)列{un}極限是A的定義是否等價，并說明理由。

（1）對于任意給定的??0，存在正整數(shù)N，使得當(dāng)n?N時，有|un?A|??；（2）存在正整數(shù)N，對任意給定的??0，使得當(dāng)n?N時，有|un?A|??；（3）對于任意給定??0，存在實數(shù)M，使得當(dāng)n?M時，有|un?A|??；（4）對于0???1，存在正整數(shù)N，使得當(dāng)n?N時，有|un?A|??；

（5）對于任意給定的??0，有正整數(shù)N使得當(dāng)n?N時，有|un?A|?K??，其中K是與?無關(guān)的常數(shù)；

（6）對于任意給定的正整數(shù)m，都有正整數(shù)N，使得當(dāng)n?N時，有|un?A|?。

m

習(xí)題18—2

2x?12

（1）lim?；

x??3x?13

x2?1x?1

（2）lim

x??

?1；（3）limx?a(a?0)；

x?a

x4?1

（4）limcosx?cos?；（5）lim（6）limex?0。?4；

x???x??x?1x?1

3．用函數(shù)極限的定義證明下列命題：

（1）如果limf(x)?A,limg(x)?B，則lim[f(x)?g(x)]?A?B；

x?x0

x?x0

x?x0

（2）如果limf(x)?A,limg(x)?B,(B?0)，則

x??

x??

x??

lim

f(x)A

?。g(x)B

4．用Hine定理證明函數(shù)極限的四則運算法則。5．證明極限limxsinx不存在。

x???

6．若f(x)在[a,??)上連續(xù)，且limf(x)存在，證明：f(x)在[a,??)上有界。

x???

7．設(shè)f(x)在(a,b)上連續(xù)，又lim?f(x)?A,lim?f(x)?B，且A?B，則???(A,B)，x?a

x?b

?x0?(a,b)，使得f(x0)??。

8．設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，如果xn?[a,b]，數(shù)列{xn}收斂，且limf(xn)??，證明：

x???

?x0?(a,b)，使得f(x0)??。

第三篇：函數(shù)極限與連續(xù)習(xí)題(含答案)

1、已知四個命題：（1）若

（2）若

（3）若

（4）若f(x)在x0點連續(xù)，則f(x)在x?x0點必有極限 f(x)在x?x0點有極限，則f(x)在x0點必連續(xù) f(x)在x?x0點無極限，則f(x)在x?x0點一定不連續(xù)f(x)在x?x0點不連續(xù)，則f(x)在x?x0點一定無極限。其中正確的命題個數(shù)是（B、2）

2、若limf(x)?a，則下列說法正確的是（C、x?x0f(x)在x?x0處可以無意義）

3、下列命題錯誤的是（D、對于函數(shù)f(x)有l(wèi)imf(x)?f(x0)）

x?x04、已知f(x)?1

x，則limf(x??x)?f(x)的值是（C、?1）

?x?0?xx2

x?125、下列式子中，正確的是（B、limx?1?1）2(x?1)

26、limx?ax?b?5，則a、x?11?xb的值分別為（A、?7和6）

7、已知f(3)?2,f?(3)??2,則lim2x?3f(x)的值是（C、8）

x?3x?38、limx?a

x?x?aa?（D、3a2）

29、當(dāng)定義f(?1)?f(x)?1?x

2在x??1處是連續(xù)的。1?x10、lim16?x?12。

x?27x?31111、lim12、x2?1?xx?x?12x???3??1

limx?2x?1?12 ?3x?1?113、lim(x2?x?x2?1)?1

x???

214、lim(x2?x?x2?1)??1

x???2

?x,0?x?1?115、設(shè)(1)求x?f(x)??,x?1

?2

??1,1?x?2

?1時，f(x)的左極限和右極限；(2)求f(x)在x?1的函數(shù)值，它在這點連續(xù)嗎？(3)求出的連續(xù)區(qū)間。

答：（1）左右極限都為1（2）不連續(xù)（3）（0，1）（1，2）

第四篇：多元函數(shù)的極限與連續(xù)習(xí)題

多元函數(shù)的極限與連續(xù)習(xí)題

1.用極限定義證明:lim(3x?2y)?14。x?2y?1

2.討論下列函數(shù)在（0,0）處的兩個累次極限，并討論在該點處的二重極限的存在性。

（1）f(x,y)?x?y； x?y

(2)f(x,y)?(x?y)sisi； 1

x1y

x3?y3

(3)f(x,y)?2； x?y

1(4)f(x,y)?ysi。x

3.求極限（1）lim(x?y)x?0y?022x2y2；

（2）limx2?y2

?x?y?122x?0y?0；

（3）lim(x?y)sinx?0y?01； 22x?y

sin(x2?y2)（4）lim。22x?0x?yy?0

ln(1?xy)??4.試證明函數(shù)f(x,y)??x?y?

x?0x?0在其定義域上是連續(xù)的。

1.用極限定義證明:lim(3x?2y)?14。

x?2y?1

因為x?2,y?1，不妨設(shè)|x?2|?0,|y?1|?0，有|x?2|?|x?2?4|?|x?2|?4?5，|3x?2y?14|?|3x?12?2y?2|

?3|x?2||x?2|?2|y?1|?15|x?2|?2|y?1|?15[|x?2|?|y?1|]

???0，要使不等式

|3x?2y?14|?15[|x?2|?|y?1|]??成立 取??min{

?

30,1}，于是

???0，???min{

?

30,1}?0，?(x,y)：|x?2|??,|y?1|??

且(x,y)?(2,1)，有|3x?2y?14|??，即證。

2.討論下列函數(shù)在（0,0）處的兩個累次極限，并討論在該點處的二重極限的存在性。（1）f(x,y)?

x?y

； x?y

x?yx?y

limli??1，limlim?1

y?0x?0x?yx?0y?0x?y

二重極限不存在。

x?yx?y1

或lim?0，li??。

x?0x?yx?0x?y3

y?x

y?2x

(2)f(x,y)?(x?y)sin

11sin； xy

0?|(x?y)sinsin|?|x|?|y|

xy

可以證明lim(|x|?|y|)?0所以limf(x,y)?0。

x?0y?0

x?0y?0

當(dāng)x?

111，y?0時，f(x,y)?(x?y)sinsin極限不存在，k?xy

因此limlim(x?y)sisi不存在，x?0y?0xy

lim(x?y)sisi不存在。同理lim

y?0x?0

x1y

x3?y3

(3)f(x,y)?2；

x?y

2x3

limf(x,y)?lim?0，x?0x?0x?x

y?x

當(dāng) P(x, y)沿著y??x?x趨于（0,0）時有

y??x?x

x3?(x3?x2)3limf(x,y)?li2?1，x?0x?0x?x3?x223

x?0y?0

所以 limf(x,y)不存在；

limlimf(x,y)?0，limlimf(x,y)?0。

x?0y?0

y?0x?0

(4)f(x,y)?ysinx

0?|ysin|?|y|

x

∴l(xiāng)imf(x,y)?0，x?0y?0

limlimysi?0，limlimysi不存在。x?0y?0y?0x?0xx

3.求極限（1）lim(x?y)

x?0

y?0

2x2y2；

(x2?y2)2

0?|xyln(x?y)|?|ln(x2?y2)|，22

(x2?y2)2t

ln(x2?y2)?limlnt?0，又 lim

x?0t?0?44

y?0

∴l(xiāng)im(x?y)

x?0

y?0

2x2y2

?e

limx2y2ln(x2?y2)(x,y)?(0,0)

?1。

（2）lim

x2?y2?x?y?1

x?0y?0；

(x2?y2)(?x2?y2?1)?lim?2。lim2222x?0?01?x?y?1?x?y?1x

y?0y?0

x2?y2

（3）lim(x?y)sin

x?0y?0

；22

x?y

|?|x?y|，|(x?y)sin2

x?y

而lim(x?y)?0

x?0

y?0

故lim(x?y)si2?0。2x?0x?yy?0

sin(x2?y2)

（4）lim。22x?0x?yy?0

令x?rcos?，y?rsin?，(x,y)?(0,0)時，r?0，sin(x2?y2)sinr2

lim?lim2?1。22x?0r?0rx?yy?0

ln(1?xy)??

4.試證明函數(shù)f(x,y)??x

?y?

x?0x?0

在其定義域上是連續(xù)的。

證明：顯然f(x, y)的定義域是xy>-1.當(dāng)x?0時，f(x, y)是連續(xù)的，只需證明其作為二元函數(shù)在y軸的每一點上連續(xù)。以下分兩種情況討論。（1）在原點（0,0）處

f(0, 0)=0,當(dāng)x?0時

0ln(1?xy)??1f(x,y)???

xyx??yln(1?xy)

由于limln1(?xy)

x?0

y?0

1xy

y?0,y?0

?1

1xy

不妨設(shè)|ln1(?xy)從而???0，取??

xy

?1|?1，|ln1(?xy)|?2，當(dāng)0?|x|??,0?|y|??時，?

ln(1?xy)

?0|?|yln(1?xy)xy||

x

?|y||ln(1?xy)|?2|y|??，于是，無論x?0,x?0，當(dāng)|x|??,|y|??時，都有l(wèi)imf(x,y)?0?f(0,0)

x?0y?0

1xy

（2）在(0,)處。（?0)

xy

當(dāng)x?0時，|f(x,y)?f(0,)|?|yln(1?xy)

1xy

?|

1(?xy)?|y(ln?1)?(y?)| ?1|?|y?|

?|y||ln(1?xy)

xy

當(dāng)x=0時,|f(x,y)?f(0,)|?|y?|,1xy

注意到，當(dāng)?0時limln1(?xy)

x?0

y??1，于是，無論x?0,x?0，當(dāng)?0時lim|f(x,y)?f(0,)|?0，x?0y?即 f(x, y)在在(0,)處連續(xù)，綜上，f(x, y)在其定義域上連續(xù)。

第五篇：函數(shù)極限

習(xí)題

1.按定義證明下列極限:

(1)limx???6x?5=6;(2)lim(x2-6x+10)=2;x?2x

x2?5?1;(4)lim?(3)lim2x???x?1x?2

(5)limcos x = cos x0 x?x04?x2=0;

2.根據(jù)定義2敘述limf(x)≠ A.x?x0

3.設(shè)limf(x)= A.,證明limf(x0+h)= A.x?x0h?0

4.證明:若limf(x)= A,則lim| f(x)| = |A|.當(dāng)且僅當(dāng)A為何值時反之也成立? x?x0x?x0

5.證明定理3.1

6.討論下列函數(shù)在x0→0 時的極限或左、右極限:(1)f(x)=x

x;(2)f(x)= [x]

?2x;x?0.?(3)f(x)=?0;x?0.?1?x2,x?0.?

7.設(shè) limf(x)= A,證明limf(x???x?x01)= A x

8.證明:對黎曼函數(shù)R(x)有l(wèi)imR(x)= 0 , x0∈[0,1](當(dāng)x0=0或1時,考慮單側(cè)極限).x?x0

習(xí)題

1． 求下列極限：

x2?1（1）lim2（sinx－cosx－x）;(2)lim;?x?02x2?x?1x?22

x2?1?x?1???1?3x?;

lim(3)lim;(4)

x?12x2?x?1x?0x2?2x3

xn?1(5)limm(n,m 為正整數(shù))；（6）lim

x?1xx?4?1

（7）lim

x?0

?2x?3x?2

70；

a2?x?a?3x?6??8x?5?.（a>0）;(8)lim

x???x5x?190

2． 利用斂性求極限：(1)lim

x???

x?cosxxsinx

;(2)lim2

x?0xx?4

x?x0

3． 設(shè) limf(x)=A, limg(x)=B.證明：

x?x0

（1）lim[f(x)±g(x)]=A±B;

x?x0

（2）lim[f(x)g(x)]=AB;

x?x0

（3）lim

x?x0

f(x)A

=(當(dāng)B≠0時)g(x)B

4． 設(shè)

a0xm?a1xm?1???am?1x?am

f(x)=,a0≠0,b0≠0,m≤n,nn?1

b0x?b1x???bn?1x?bn

試求 limf(x)

x???

5． 設(shè)f(x)>0, limf(x)=A.證明

x?x0

x?x0

lim

f(x)=A，其中n≥2為正整數(shù).6.證明limax=1(0

x?0

7.設(shè)limf(x)=A, limg(x)=B.x?x0

x?x0

(1)若在某∪(x0)內(nèi)有f(x)< g(x)，問是否必有A < B ? 為什么？

（2）證明：若A>B,則在某∪(x0)內(nèi)有f(x)> g(x).8.求下列極限（其中n皆為正整數(shù)）：(1)lim ?

x?0

x

x11

lim;(2);nn?x?0x1?xx1?x

x?x2???xn?n

(3)lim;(4)lim

x?0x?0x?1

?x?1

x

(5)lim

x??

?x?(提示：參照例1)

x

x?0

x?0

x?0

9．（1）證明：若limf(x3)存在，則limf(x)= lim f(x3)（2）若limf(x2)存在，試問是否成立limf(x)=limf(x2)?

x?0

x?0

x?0

習(xí)題

1.敘述函數(shù)極限limf(x)的歸結(jié)原則,并應(yīng)用它證明limcos x不存在.n???

n???

2.設(shè)f 為定義在[a,+?)上的增(減)函數(shù).證明: lim= f(x)存在的充要條件是f在n???

[a,+?)上有上(下)界.3.(1)敘述極限limf(x)的柯西準(zhǔn)則;

n???

(2)根據(jù)柯西準(zhǔn)則敘述limf(x)不存在的充要條件,并應(yīng)用它證明limsin x不存在.n???

n???

4.設(shè)f在∪0(x0)內(nèi)有定義.證明:若對任何數(shù)列{xn}?∪0(x0)且limxn=x0,極限limf(xn)都

n??

n??

存在,則所有這極限都相等.提示: 參見定理3.11充分性的證明.5設(shè)f為∪0(x0)上的遞減函數(shù).證明:f(x0－0)和f(x0+0)都存在,且f(x0－0)=supf(x),f(x0+0)=

0x?u?

?x0?

0x?un(x0)

inff(x)

6.設(shè) D(x)為狄利克雷函數(shù),x0∈R證明limD(x)不存在.x?x0

7.證明:若f為周期函數(shù),且limf(x)=0,則f(x)=0

x???

8.證明定理3.9

習(xí)題

1.求下列極限

sin2xsinx3

(1)lim;(2)lim

x?0x?0sinx2x

(3)lim

x?

cosxx?

?

tanx?sinxarctanx

lim(5)lim;(6);3x?0x?0xx

sin2x?sin2a1

(7)limxsin;(8)lim;

x???x?axx?a

;(4)lim

x?0

tanx

;x

?cosx2

(9)lim;(10)lim

x?0x?01?cosxx?1?1

sin4x

2.求下列極限

12?x

(1)lim(1?);(2)lim?1?ax?x(a為給定實數(shù));

n??x?0x

x

(3)lim?1?tanx?

x?0

cotx

;(4)lim?

?1?x?

?;

x?01?x??

(5)lim（x???

3x?22x?1?);(6)lim(1?)?x(?,?為給定實數(shù))

n???3x?1x

3.證明:lim?lim?cosxcoxcos4.利用歸結(jié)原則計算下列極限:(1)limnsin

n??

?

x?0n??

??

?

x2

xx???cos?1 2n??22??

?

n

;(2)

習(xí)題

1． 證明下列各式

(1)2x－x2=O(x)(x→0);(2)x sinx?O(x)(x→0);

+

(3)?x?1?o(1)(x→0);

(4)(1+x)n= 1+ nx+o(x)(x→0)(n 為正整數(shù))(5)2x3 + x2=O(x3)(x→∞);

(6)o(g(x))±o(g(x))=o(g(x))(x→x0)

(7)o(g1(x))·0(g2(x))=o(g1(x)g2(x))(x→x0)2． 應(yīng)用定理3.12求下列極限：

?x2?1x(1)lim(2)lim x?01?cosxx??x?cosx

x3． 證明定理3.13

4． 求下列函數(shù)所表示曲線的漸近線：

13x3?4

(1)y =;(2)y = arctan x;(3)y = 2

xx?2x

5． 試確定a的值，使下列函數(shù)與xa當(dāng)x→0時為同階無窮小量：

(1)sin2x－2sinx;(2)

－(1－x);1?x

(3)?tanx??sinx;(4)

x2?4x3

6． 試確定a的值，使下列函數(shù)與xa當(dāng)x→∞時為同階無窮大量：

(1)

x2?x5;(2)x+x2(2+sinx);

(3)(1+x)(1+x2)…(1+xn).7． 證明：若S為無上界數(shù)集，則存在一遞增數(shù)列{xn}?s，使得xn→+∞(n→∞)

8． 證明：若f為x→r時的無窮大量，而函數(shù)g在某U0(r)上滿足g(x)≥K>0，則fg為x→r

時的無窮大量。

9． 設(shè) f(x)~g(x)(x→x0)，證明：

f(x)－g(x)= o(f(x))或 f(x)－g(x)= o(g(x))

總 練習(xí)題

1． 求下列極限：

?1

(x?[x])lim([x]?1)(1)lim;(2)??

x?3

x?1

(3)lim（x???

a?xb?x?a?xb?x)

xx?a

(4)lim

x???

(5)lim

xx?a

x???

(6)lim

?x??x?x??x

x?0

(7)lim?

n??m,m,n 為正整數(shù) ?n?x?11?xm1?x??

2． 分別求出滿足下述條件的常數(shù)a與b：

?x2?1?

(1)lim??ax?b???0 x????x?1??

x(3)limx

(2)lim

x???x???x?2

??x?1?ax?b??0

?x?1?ax?b?0

x?2

3． 試分別舉出符合下列要求的函數(shù)f：

(1)limf(x)?f(2)；(2)limf(x)不存在。

4． 試給出函數(shù)f的例子，使f(x)>0恒成立，而在某一點x0處有l(wèi)imf(x)?0。這同極限的x?x0

局部保號性有矛盾嗎？

5． 設(shè)limf(x)?A，limg(u)?B，在何種條件下能由此推出

x?a

g?A

limg(f(x))?B?

x?a

6． 設(shè)f(x)=x cos x。試作數(shù)列

(1){xn} 使得 xn→∞(n→∞), f(xn)→0(n→∞);(2){yn} 使得 yn→∞(n→∞), f(yn)→0(n→∞);(3){zn} 使得 zn→∞(n→∞), f(zn)→0(n→∞).7． 證明：若數(shù)列{an}滿足下列條件之一，則{an}是無窮大數(shù)列：

(1)liman?r?1

n??

(2)lim

an?1

?s?1(an≠0,n=1,2,…)

n??an

n2

n2

8． 利用上題（1）的結(jié)論求極限：

(1)lim?1?

?n??

?1??1??(2)lim?1??

n??n??n?

9． 設(shè)liman???，證明

n??

(1)lim

(a1?a2???an)??? n??n

n??

(2)若an > 0(n=1,2,…),則lima1a2?an??? 10.利用上題結(jié)果求極限：

(1)limn!(2)lim

n??

In(n!)

n??n

11.設(shè)f為U-0(x0)內(nèi)的遞增函數(shù)。證明：若存在數(shù)列{xn}?U-0(x0)且xn→x0(n→∞)，使得

limf(xn)?A，則有

n??

f(x0－0)=

supf(x)?A

0x?U?(x0)

12.設(shè)函數(shù)f在(0,+∞)上滿足方程f(2x)=f(x)，且limf(x)?A。證明：f(x)?A，x∈(0,+∞)

x???

13.設(shè)函數(shù)f在(0,+∞)此上滿足方程f(x2)= f(x)，且

f(x)=limf(x)?f(1)lim?

x?0

x???

證明：f(x)?f(1)，x∈(0,+∞)

14.設(shè)函數(shù)f定義在(a,+∞)上，f在每一個有限區(qū)間內(nèi)(a,b)有界，并滿足

x???

lim(f(x?1)?f(1))?A證明

x???

lim

f(x)

?A x