第一篇：函數(shù)極限題型與解題方法

函數(shù)極限題型與解題方法2011/11/3

畢原野 整理

一．極限的證明

1.趨近于無(wú)窮 P19 例8（1）

2.趨近于正無(wú)窮 P19 例8（2）

3.趨近于負(fù)無(wú)窮 P19 例8（3）（4）

4.趨近于某一定值 P21 例9（1）（2）（3）

極限的證明說(shuō)白了就是找兩個(gè)值，對(duì)于趨近于無(wú)窮的極限來(lái)說(shuō)是ε和X，而對(duì)于趨近于某一定值的極限來(lái)說(shuō)就是ε和δ。因此，證明過(guò)程中，無(wú)論哪種先得出ε，然后把x用ε表示出來(lái)（如果是趨近于某一定值的就是把|x-a|用ε表示出來(lái)），這樣，就明確了X（δ），之后直接套格式就好了。

關(guān)鍵就在于表示過(guò)程，這需要一定的計(jì)算和技巧，比如放縮、變形等。由于ε的無(wú)限小，可以為其設(shè)定任何范圍，以簡(jiǎn)化計(jì)算，但是要使原試有意義。

二．求極限

1.趨近于無(wú)窮（包括正負(fù)無(wú)窮）

（1）上下同除高次項(xiàng) P22 例11（3）

（2）有理化 P25 例3（5）

（3）換元 P25 例13（2）

（4）應(yīng)用 無(wú)窮小×有界=無(wú)窮小 P25 例13（3）（4）

2.趨近于某一定值

（1）應(yīng)用法則直接帶入 P22 例11（1）（2）

（2）有理化 P22 例11（4）

（3）等價(jià)無(wú)窮小定理 P28 例14（1）（2）（3）

（4）變形后應(yīng)用重要極限

換元 P24 例12（1）（3）

倍角公式 P24 例12（2）

其他變形 P24 例12（4）

通分 P34 23.（9）（10）

3.分段函數(shù)

應(yīng)用1.、2.的方法得出左右極限即可。

書(shū)寫(xiě)過(guò)程注意格式，寫(xiě)明左右極限。P21 例10 P35 29.函數(shù)的極限求法可以類(lèi)比數(shù)列的求法，只是要注意其方向和保證原式的有意義。

三．證明極限存在與否

首先確定是否能求出左右極限。不能，則無(wú)極限；能，則進(jìn)一步看是否相等。不等，則無(wú)極限；等，則有極限。P35 30.（2）（3）

四．求參數(shù)

應(yīng)用定理lim f（x）/g（x）=c（c≠0），分子分母中任意一個(gè)為0，則另一個(gè)也為0。P35 35.通分整理，提出相消的項(xiàng)，令參數(shù)與同次項(xiàng)系數(shù)互為相反數(shù)即可。P35 34.為此稿做過(guò)貢獻(xiàn)的同學(xué)在此依次注明信息吧！~

第二篇：函數(shù)極限理論的歸納與解題方法的總結(jié)

目錄

引

言 ········································································································· 1

一、基本概念與基本理論 ············································································ 2(一)函數(shù)極限 ··························································································· 2(二)重要極限 ··························································································· 9(三)函數(shù)的上極限與下極限 ·································································· 10(四)Stolz定理的推廣定理 ···································································· 11

二、習(xí)題類(lèi)型與其解題方法歸納 ······························································ 11(一)根據(jù)定義證明函數(shù)正常極限與非正常極限的方法?！ぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁ?12(二)根據(jù)定義與極限性質(zhì)證題的方法 ·················································· 14(三)求函數(shù)極限方法 ············································································· 15(四)判斷函數(shù)極限存在與不存在的方法 ·············································· 20 參考文獻(xiàn)： ································································································· 24

函數(shù)極限理論的歸納與解題方法的總結(jié)

薛昌濤

(渤海大學(xué)數(shù)學(xué)系 遼寧 錦州 121000 中國(guó))摘要：宇宙中的任何事物都是不斷運(yùn)動(dòng)變化、相互聯(lián)系、相互制約的?！昂瘮?shù)”的產(chǎn)生正是為了滿(mǎn)足刻劃這種關(guān)系的需要，函數(shù)極限理論可謂函數(shù)理論重中之重。極限定義24個(gè)，性質(zhì)60個(gè)，習(xí)題更是千變?nèi)f化，看上去似乎很繁雜，但經(jīng)過(guò)深入淺出的分析就會(huì)很明了。本文旨在化繁為簡(jiǎn)、總結(jié)規(guī)律，啟示方法。關(guān)鍵詞：函數(shù)、極限、方法

The Conclusion of Theory of Function Limit and Methods

Summary（Department of math bohai university liaoning jinzhou 121000）

Xue Changtao Abstract: Everything in the universe is always moving, varying, intergrating or restricting each other.Function emerged for the need of describing this relation.The thory of function limit plays a key role in function theory.There are Twenty – four definitions to limit, sixty qualties, and the exercises are ever changing.It seems complex very much, but it will be clear after delicate analysis.This text aim at changing complex to simple, suming up the regulars, enlightening the methods.Key words: Function Limit

Method

引

言

“函數(shù)”一詞是微積分的創(chuàng)始人之一萊布尼茲(Leibniz)最先使用的，并且把x的函數(shù)記為f(x),?(x)等，但是，直到19世紀(jì)初，人們還是把函數(shù)理解為“變量和常數(shù)組成的解析表達(dá)式”。直到1834年，狄里克萊(Dirichlet)指出，函數(shù)y與變量x的關(guān)系不但不必用統(tǒng)一的法則在全區(qū)間上給出，而且不必用解析式給出。至此，函數(shù)才被賦予了單值對(duì)應(yīng)的意義。在整個(gè)宇宙中，我們找不出不在運(yùn)動(dòng)變化的事物，但各個(gè)事物的變化，又絕非彼此孤立隔絕，而是相互聯(lián)的，相互制約的?！昂瘮?shù)”無(wú)論在理論研究還是現(xiàn)實(shí)的科學(xué)探索，都發(fā)揮著舉足輕重的作用，而極限問(wèn)題可謂函數(shù)問(wèn)題之重點(diǎn)，所以搞清函數(shù)極限的相關(guān)問(wèn)題是尤為重要的。

一、基本概念與基本理論

（一）函數(shù)極限

1．函數(shù)正常極限與非正常極限定義共4?6?24個(gè)，它們的形式是：

x?x0?x?x0?x?x0x??x???x???lim?A(A為有限數(shù))?????可見(jiàn)函數(shù)正常極數(shù)定義共6個(gè)，非正常極數(shù)定義共18個(gè)，比數(shù)列正常極限定義1個(gè)、非正常極限定義3個(gè)(兩者總共4個(gè))多了20個(gè)定義，而此24個(gè)定義是整部數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)。對(duì)它們的理解與記憶按下述程序進(jìn)行：先理解與記憶4個(gè)基本定義，再推及其它而總觀24個(gè)定義。

(1)四個(gè)基本定義

定義1(??M定義)設(shè)f是定義在[a,??)上的函數(shù)，A是一個(gè)確定的數(shù)，若???0，?M?0，當(dāng)x?M時(shí)，有f(x)?A??，則稱(chēng)函數(shù)f當(dāng)x???時(shí)以A為極限，記作limf(x)?A，或f(x)?A(x???)，或

x???f(??)?A。

此時(shí)也稱(chēng)A為f在正無(wú)窮遠(yuǎn)處的極限。

注1 此??M定義，是數(shù)列極限limxn?a之??N定義的推廣，只

n??需將??N定義中之n換為x，N換為M即可，這是由于，數(shù)列是以自然數(shù)集為定義域的函數(shù)，故n,N均為自然數(shù)集的成員，而函數(shù)f(x)的定義 域?yàn)閷?shí)數(shù)集，因而改為R中之x，m來(lái)描述。

注2 定義1是在正無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)處函數(shù)的極限，現(xiàn)將正無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)改為有限點(diǎn)x0處，其函數(shù)極限即為下述定義2，即只要將正無(wú)窮遠(yuǎn)鄰域的描述x?M改為x0的空心鄰域的描述0?x?x0??即可，因變量刻劃相同。

定義2(雙側(cè)極限???定義)設(shè)函數(shù)f在點(diǎn)x0的某個(gè)空心鄰域U0(x0,??)內(nèi)有定義，A是一個(gè)確定的數(shù)。若???0,???0,(????)，當(dāng)0?x?x0??時(shí)，有f(x)?A??，則稱(chēng)f當(dāng)x趨于x0時(shí)以A為極限，記作limf(x)?A，或f(x)?A(x?x0)。

x?x0問(wèn)題1 在limf(x)?A的定義中，為什么限定x?x0?0(即x?x0)？x?x0如果把此條件去掉，寫(xiě)作“當(dāng)x?x0??時(shí)，有f(x)?A??”是否可以？［3］

答：不可以，極限limf(x)?A的意義是：當(dāng)自變量x趨于x0時(shí)，對(duì)

x?x0應(yīng)的函數(shù)值f(x)無(wú)限接近常數(shù)A。f(x)在x0的情況，包括f(x)在x0是否有定義，有定義時(shí)，f(x0)等于什么都不影響x?x0時(shí)，f(x)的變化趨勢(shì)，故應(yīng)把x?x0這一點(diǎn)排除在外。如果把此條件去掉，把limf(x)?A的定義

x?x0寫(xiě)作“???0，???0，當(dāng)x?x0??時(shí)，有f(x)?A??”，則當(dāng)x?x0時(shí)，也有f(x)?A??，由?的任意性，要使此不等式成立，必定有f(x)?A，這個(gè)條件顯然與x?x0時(shí)，f(x)的變化趨勢(shì)是不相干的。

定義3(單側(cè)極限???定義)設(shè)函數(shù)f在?x0,x0????［或?x0???,x0?］內(nèi)有定義，A是一個(gè)確定的數(shù)，若???0,???0(????)，使當(dāng)0?x?x0??(或0?x0?x??)時(shí)，有f(x)?A??，則稱(chēng)f在x趨于x0?(x0?)時(shí)以A為右(左)極限，記作limf(x)?A，或f(x0?0)?A(limf(x)?A或

x?x0?x?x0? 3 f(x0?0)?A)。

注3 定義3中右極限(左極限)，則x?x0?x?x0；f定義在x0的右側(cè)，對(duì)于左極限，f定義在x0的左側(cè)，則x?x0?x0?x，于是定義2是關(guān)鍵，只要考慮到“單側(cè)”這一特點(diǎn)。

定義4(無(wú)窮大量G??定義)函數(shù)f定義在x0的某個(gè)空心臨域U0(x0,??)內(nèi)，若?G?0，使當(dāng)0?x?x0??時(shí)，有f(x)?G，???0(????)，則稱(chēng)f當(dāng)x趨于x0時(shí)有非正常極限?，或稱(chēng)f當(dāng)x趨于x0時(shí)為無(wú)窮大量(或發(fā)散到無(wú)窮大)，記作limf(x)??或f(x)??(x?x0)。

x?x0(2)由自變量變化趨勢(shì)刻劃六種與因變量變化趨勢(shì)刻劃四種搭配成正常極限與非正常極限共24個(gè)定義的方法。

自變量變化趨勢(shì)及其刻劃六種 ：

x?x0?x?x0?x?x0x??x???x???0?x?x0?????0?x?x0???(???0)?0?x0?x???? x?M??x?M?(?M?0)x??M??因變量變化趨勢(shì)及其刻劃四種：

f(x)?Af(x)??f(x)???f(x)???f(x)?A??(???0)f(x)?G? ?f(x)?G?(?G?0)f(x)??G??將自變量與因變量的變化趨勢(shì)刻劃互相搭配，而構(gòu)成24種，每一種均按前述四個(gè)基本定義的標(biāo)準(zhǔn)敘述法敘述，即得24個(gè)定義。

2、正常極限性質(zhì)(共48個(gè)或60個(gè))按華東師大教材，每一種類(lèi)型極限有8個(gè)性質(zhì)來(lái)計(jì)算，六種類(lèi)型極限總共有48個(gè)性質(zhì)。再加上重要的“絕對(duì)值性”與“單調(diào)有界定理”，則共計(jì)60個(gè)性質(zhì)。

前面是按照極限類(lèi)型而言；若按照性質(zhì)類(lèi)型而言，對(duì)照數(shù)列極限性質(zhì)，函數(shù)極限性質(zhì)總共8種(或10種)：存在性、唯一性、局部保號(hào)性、局部有界性等等，每一種，按六類(lèi)極限形式又有六類(lèi)形式，總計(jì)仍是48個(gè)或60個(gè)性質(zhì)。無(wú)論是48個(gè)還是60個(gè)性質(zhì)，看似很多，實(shí)際上只要扣住前述自變量變化趨勢(shì)刻劃六種，再將數(shù)列極限相應(yīng)性質(zhì)移過(guò)來(lái)，這些性質(zhì)均不難掌握了。

教材中是就極限類(lèi)型limf(x)?A而給出8個(gè)性質(zhì)，這里，再就極限

x?x0x???limf(x)?A而給出。

極限limf(x)?A的性質(zhì)：

x???(1)存在性——三個(gè)存在定理

I兩邊夾定理 設(shè)?x??a,???，均有y(x)?f(x)?z(x)，且x???limz(x)?limy(x)?A，則limf(x)?A

x???x???II柯西準(zhǔn)則

設(shè)函數(shù)f在[a,??)內(nèi)有定義，則limf(x)存在x???????0,?M?0，當(dāng)x?,x???M時(shí)，有f(x?)?f(x??)??。

III單調(diào)有界函數(shù)定理

設(shè)函數(shù)f在[a,??)內(nèi)單調(diào)且有界，則limf(x)x???存在。

注4 單調(diào)有界函數(shù)定理在有限點(diǎn)x0處為：若函數(shù)f(x)在包含x0的某一區(qū)間單調(diào)有界，則f(x)在x0的左、右極限必存在。

這里是左、右極限存在，但在x0的極限不一定存在，這是與數(shù)列單 調(diào)有界必收斂定理之區(qū)別。

(2)唯一性

若limf(x)存在，則它只有一個(gè)極限。

x???(3)局部有界性

若limf(x)存在，則?M?0，在?M,???內(nèi)，f有界。

x???(4)局部保號(hào)性 若limf(x)?A?0(?0)，則對(duì)任何

x???當(dāng)x?M時(shí)，有f(x)?A??0［或f(x)?A??0］。A?A??0(A?A??0),?M?0，(5)不等式性

若limf(x),limg(x)均存在，且?M?0，當(dāng)x?M時(shí)，x???x???有f(x)?g(x)，則limf(x)?limg(x)。

x???x???(6)四則運(yùn)算法則

若limf(x),limg(x)均存在，則f?g,f?g,x???x???f［僅g除法還要求limg(x)?0］在x???時(shí)極限也存在，且有

x???x???x???lim(f(x)?g(x))?limf(x)?limg(x),x???x???limf(x)?g(x)?limf(x)?limg(x),x???x???

f(x)f(x)xlim???lim?x???g(x)limg(x)x???(7)歸結(jié)原則

設(shè)函數(shù)f在[a,??)上有定義，則limf(x)?A?對(duì)任何

x???xn?[a,??),xn???，都有l(wèi)imf(xn)?A，其中A為有限數(shù)。

n??推論 設(shè)f在[a,??)上有定義，則limf(x)存在?對(duì)任何xn?[a,??)，x???xn???，limf(xn)均存在。

n??注5 歸結(jié)原則與數(shù)列情形之“數(shù)列極限與其子列極限關(guān)系定理”類(lèi)似，均是在揭示整體與部分的關(guān)系這一意義上而言的。

(8)絕對(duì)值性

若limf(x)?A，則limf(x)?A，且

x???x???x???limf(x)?0?limf(x)?0

x???

3、無(wú)窮小量與無(wú)窮大量

6(1)無(wú)窮小量

若limf(x)?0，則稱(chēng)當(dāng)x?x0時(shí)f為無(wú)窮小量。

x?x0無(wú)窮小量的四則運(yùn)算性質(zhì)：

(i)兩個(gè)無(wú)窮小量之和、差、積仍為無(wú)窮小量。(ii)無(wú)窮小量與有界變量之積為無(wú)窮小量。

(iii)兩個(gè)無(wú)窮小量之商的極限為下述四種情形之一：有限實(shí)數(shù)a?0,0,?,不存在，此即無(wú)窮小量的階的比較。

無(wú)窮小的階的比較，是考察它們收斂于零的速度的快慢。設(shè)x?x0時(shí)，f,g均為無(wú)窮小量，則

?a?0,稱(chēng)f與g為同階無(wú)窮小（當(dāng)x?x0時(shí))?f(x)?0,稱(chēng)f為比g的高階無(wú)窮?。ó?dāng)x?x0時(shí))lim??x?x0g(x)??,稱(chēng)f為比g的低階無(wú)窮小（當(dāng)x?x0時(shí))?不存在?其中，當(dāng)a?1時(shí)，又稱(chēng)f與g為等價(jià)無(wú)窮小(當(dāng)x?x0時(shí))，記作f(x)~g(x)(x?x0)。

若limx?x0f(x)?l?0，l為有限數(shù)，n?0，則稱(chēng) f為關(guān)于基本無(wú)窮小gng(x)的n階無(wú)窮小，n通常為正有理數(shù)。

注6 在應(yīng)用極限運(yùn)算的四則運(yùn)算法則時(shí)，初學(xué)者會(huì)寫(xiě)出“????0,??1”等式子。這是不對(duì)的。出現(xiàn)這類(lèi)“錯(cuò)誤”的主要原因?是將符號(hào)“?”誤認(rèn)為一個(gè)常數(shù)，對(duì)它施行了數(shù)的運(yùn)算法則。事實(shí)上，“?”不是一個(gè)常數(shù)，而是表示絕對(duì)值無(wú)限增大的變量，記號(hào)“???”表示兩個(gè)絕對(duì)值無(wú)限增大的變量之差，仍是一個(gè)變量。同樣地，記號(hào)“示兩個(gè)絕對(duì)值無(wú)限增大的變量之商，仍是一個(gè)變量。

?”表?問(wèn)題2 下面的極限運(yùn)算對(duì)嗎？［3］

limx2sinx?011?limx2?limsin?0

x?0xx?0x1x答：結(jié)果正確，表達(dá)錯(cuò)誤，這是因?yàn)閘imsin不存在，不能利用積的x?0極限運(yùn)算法則，則可以這樣表達(dá)：因?yàn)閘imx2?0，sinx?01?1，所以x1limx2sin?0。x?0x問(wèn)題3 如果數(shù)列?an?收斂，數(shù)列?bn?發(fā)散，那么數(shù)列?anbn?是否一定收斂？如果數(shù)列?an?和?bn?都發(fā)散，那么數(shù)列?anbn?的收斂性又怎樣？［3］

答：在兩種題設(shè)情形下，數(shù)列?anbn?的收斂性都不能肯定，現(xiàn)分析如下：

情形

1、數(shù)列?an?收斂，數(shù)列?bn?發(fā)散。

若liman?0，則數(shù)列?anbn?必定發(fā)散，這是因?yàn)槿魯?shù)?anbn?收斂，且n??liman?0，則由等式bn?x??anbn及商的極限運(yùn)算法則立即可知數(shù)列?bn?收an斂，與假設(shè)矛盾。

若liman?0，則數(shù)列?anbn?可能收斂，也可能發(fā)散。例如，x??(1)an?,bn?n(n?N?),anbn?1(n?N?)，于是數(shù)列?anbn?收斂。

(2)an?,bn?(?1)nn(n?N?),anbn?(?1)n(n?N?)，于是數(shù)列?anbn?發(fā)散。

情形2 數(shù)列?an?和?bn?都發(fā)散。1n1n若數(shù)列?an?和?bn?中至少有一個(gè)是無(wú)窮大，則數(shù)列?anbn?必定發(fā)散。這是因?yàn)槿魯?shù)列?anbn?收斂，而數(shù)列?an?為無(wú)窮大，從等式bn?得limbn?limanbnlimn??n??anbn便推an1?0，與假設(shè)矛盾。n??an若數(shù)列?an?和?bn?都不是無(wú)窮大，則數(shù)列?anbn?可能收斂，例如，(3)an?bn?(?1)n(n?N?),anbn?1(n?N?)，于是數(shù)列?anbn?收斂。

(4)an?(?1)n,bn?1?(?1)n,(n?N?),anbn?(?1)n?1(n?N?)，于是數(shù)列?anbn?發(fā)散。

4、幾個(gè)關(guān)系

(1)函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系——?dú)w結(jié)原則(2)單側(cè)極限與極限的關(guān)系

x?x0limf(x)?A?lim?f(x)與lim?f(x)均存在相等，均為A。

x?x0x?x0(3)無(wú)窮大量與無(wú)窮小量的關(guān)系(倒數(shù))(二)重要極限

1sinx?1?lim?1,lim?1???e,lim?1?x?x?e。x?0x??x?0x?x?x前者為型的未定式的極限，后兩式為1?型的未定式的極限。問(wèn)題4 討論函數(shù)極限時(shí)，在什么情況下要考慮左、右極限？［3］ 答：一般說(shuō)來(lái)，討論函數(shù)f(x)在x0點(diǎn)的極限，都應(yīng)先看一看單側(cè)極限的情形。如果當(dāng)x?x0時(shí)，f(x)在x0兩側(cè)的變化趨勢(shì)一致，那么就不必分開(kāi)研究；如果f(x)在x0兩側(cè)的變化趨勢(shì)可能有差別就應(yīng)分別討論記左、右極限。例如，求分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的極限時(shí)，必須研究左、右00 9 極限；有些三角函數(shù)在特殊點(diǎn)的左、右極限不一樣。例如，tanx在x??2的左右極限不一樣；有些反三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)也有類(lèi)似情形，例如，1arctan,ex在x?0處的左、右極限都不一樣。

x1(三)函數(shù)的上極限與下極限

1、概念

設(shè)函數(shù)f在x0的某個(gè)空心臨域U0(x0,?)內(nèi)有定義，則定義x?x0limf(x)?lim?sup?f(x)??M，limf(x)?lim?inf?f(x)??m

??0x?U0(x0,?)x?x0??0x?U0(x0,?)其中M,m為有限數(shù)或??或??，特別當(dāng)f在U0(x0,?)內(nèi)有界時(shí)，［1］ M,m均為有限數(shù)。

2、性質(zhì)(1)上極限性質(zhì)

設(shè)limf(x)?M,M為有限數(shù)，則(I)???0,???0,當(dāng)0?x?x0??時(shí)，x?x0有f(x)?M??；(II)???0，在x0的每一個(gè)空心臨域內(nèi)，必有x?，使得f(x?)?M??

(2)下極限性質(zhì)

設(shè)limf(x)?m,m為有限數(shù)，則(I)???0,???0，使當(dāng)0?x?x0??時(shí)，x?x0有f(x)?m??；(II)???0，在x0的每一空心臨域內(nèi)，必有x?，使得f(x?)?m??。

3、函數(shù)上(下)極限與函數(shù)值數(shù)列上(下)極限的關(guān)系。

?xn?為此鄰域內(nèi)的任意定理

設(shè)函數(shù)f在x0的某空心臨域內(nèi)有定義，點(diǎn)列，xn?x0(n??)，則對(duì)應(yīng)于一切這種點(diǎn)列?xn?，limf(xn)??所成數(shù)

n??集???必有最大值(包括??或??)，limf(xn)??所成數(shù)集???必有最小值

n?? 10(包括??或??)，f在x0的上(下)極限即為這最大(小)值。

4、上(下)極限與極限的關(guān)系。

x?x0limf(x)?l?limf(x)?limf(x)?l，l為有限數(shù)或??或??。

x?x0x?x0(四)Stolz定理的推廣定理

定理

設(shè)(i)函數(shù)f，g定義于[a,??)，且均在[a,??)的任意子區(qū)間有界。

(ii)對(duì)一切x?[a,??),g(x?T)?g(x)，其中T為一正常數(shù)，(iii)limg(x)???，x???(iv)limx???f(x?T)?f(x)f(x)?l(有限數(shù)或??或??)，則lim?l。［5］

x???g(x?T)?g(x)g(x)可見(jiàn)，(ii)、(iii)兩條是stolz第二定理之“bn???”的推廣，(iv)是“l(fā)iman?an?1?l”之推廣。

n??b?bnn?1而此stolz定理的推廣定理與羅比達(dá)法則不同點(diǎn)是：后者為lim?型及?x??f?(x)存在，而在這里，f只要定義于[a,??)，且在[a,??)上的任意子g?(x)f(x?T)?f(x)?l即可。

g(x?T)?g(x)區(qū)間上有界，g(x)???(x???)，及l(fā)imx???

二、習(xí)題類(lèi)型與其解題方法歸納

關(guān)于函數(shù)極限的習(xí)題類(lèi)型大致有：

(一)根據(jù)定義證明函數(shù)正常極限與非正常極限。(二)根據(jù)極限定義與極限性質(zhì)證題。(三)求函數(shù)極限。

(四)判斷函數(shù)極限存在與不存在。此外，還有諸如無(wú)窮小(無(wú)窮大)的階的比較等，本文將不涉及。關(guān)于上述四種類(lèi)型習(xí)題的解題方法在下文給出。(一)根據(jù)定義證明函數(shù)正常極限與非正常極限的方法。

這里是指根據(jù)24個(gè)定義證明函數(shù)的正常極限與非正常極限的方法，屬根據(jù)定義證題術(shù)——扣住定義而證，解題思路均是：???0(或?G?0)，找??0(或M?0)，使當(dāng)滿(mǎn)足自變量的變化趨勢(shì)刻劃時(shí)，有因變量變化趨勢(shì)之刻劃，解題關(guān)鍵是找?或M，找法如下。

1、當(dāng)f以具體形式給出時(shí)，扣住 因變量變化趨勢(shì)之刻劃f(x)?Gf(x)?Gf(x)f(x)f(x)?A??,?f(x)?G，分析并對(duì)f(x)?A,?f(x)進(jìn)行恒等變形或加強(qiáng)不等式，使之變成f(x)?A?y(x)，f(x)?z(x)?f(x)?z?x?，其中y為正無(wú)窮小量，z為正無(wú)窮大量，令y(x)??，f(x)?z?x?0?x?x0??,x?M或z(x)?G；再扣住 自變量變化趨勢(shì)之刻劃。0?x?x0??,?x?M對(duì)不

0?x0?x??,x?Mx?x0??(?)等式g(x)??或不等式z(x)?G，關(guān)于x?x0解之，解得x?x0??(?)，取

x0?x??(?)xx??(G)???(?)或關(guān)于?x，解之，解得?x??(G)，取M??(G)。

xx??(G)2．抽象論證找?或找M法

f(x)當(dāng)f是以抽象形式給出時(shí)，與1類(lèi)似，對(duì)f(x)?A,?f(x)進(jìn)行恒等變

f(x)

f(x)?z(x)形或加強(qiáng)不等式，使之變成f(x)?A?y(x)，?f(x)?z(x)，其中y為已知

f(x)?z(x)正無(wú)窮小量，z為已知正無(wú)窮大量，利用此y或z確定抽象的?或M。確定?或M的具體方法與技巧是：(I)根據(jù)已知極限或無(wú)窮大量確定?或M。(II)根據(jù)已知極限的性質(zhì)或無(wú)窮大量確定?或M。(III)三角不等式及其它。

可見(jiàn)，與數(shù)列的此部分方法完全類(lèi)似，只是比之更復(fù)雜些，下面舉一些例子。

例

1、設(shè)f在任一有限區(qū)間上Riemann可積，且limf(x)?A，證明

x???1xlimf(t)dt?A，(上海交大1987)。x???x?0?x分析

要證：???0,?M?0，當(dāng)x?M時(shí)，有I??f(t)dt?A??，x01x1x1x1x而I??f(t)dt??Adt??(f(t)?A)dt??f(t)?Adt；由f(x)?A不x0x0x0x0難聯(lián)想到已知limf(t)?A，于是??1?0,?M0?0當(dāng)t?M0時(shí)，有t???f(t)?A??1，而，由于I1?0(x???)，則??2?0,?M1?M0，當(dāng)x?M1時(shí)，1x?有I1??2；又由于I1???1dt??1，再考慮要證I??，則取?1??2?及

2x0取M?M1。

證明：???0，因limf(t)?A，則?M0?0，當(dāng)t?M0時(shí)，有

t???f(t)?A??2。

M0因f 任一有限區(qū)間上Riemann可積，則

?0f(t)?Adt為定數(shù)，于是1limx???x M0?0f(t)?Adt?0，因而?M?M0，當(dāng)x?M時(shí)有 1I1?xI1?M0?0xf(t)?Adt??2,x11??x?M0?f(t)?Adt?dt?????xM0xM022x2

由此有：當(dāng)x?M時(shí)，1x1x1xf(t)dt?A??f(t)dt??Adt?x0x0x01x1x??(f(t)?A)dt??f(t)?Adt x0x0?I1?I2??2??2??1x即lim?f(t)dt?A x???x0——抽象法證找M法(利用已知極限分段處理)。(二)根據(jù)定義與極限性質(zhì)證題的方法

這里是指根據(jù)24個(gè)定義和48個(gè)性質(zhì)等證題，其方法為：遇到正常極限與非正常極限符號(hào)，就用???,G??等語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)；深入分析題目，聯(lián)想相關(guān)性質(zhì)；再將之有機(jī)結(jié)合起來(lái)而找到證題方法。

例2 設(shè)f在?0,???內(nèi)滿(mǎn)足f(x)?f(x2)，且有x?0?limf(x)?limf(x)?f(1)。

x???證明：f(x)?f(1),0?x???。

分析

證明恒等問(wèn)題，首選反證法，如何找矛盾？扣住已恬f(x)?f(x2)，不難得到：當(dāng)x?1是，x2???(n???)，當(dāng)0?x?1時(shí)，x2?0(n??)而找矛盾。nn證明

反正法

假設(shè)f(x)?f(1)，則至少存在一點(diǎn)x0?0,???，使f(x0)?f(1)，則 f(x0)?f(1)或f(x0)?f(1)，且顯然x0?1，下面只證f(x0)?f(1)的情形，f(x)?f(1)的情形同理可證。

(I)當(dāng)x0?1時(shí)，因lim?f(x)?f(1)，則對(duì)??f(1)?f(x0)?0,?1???0，x?0當(dāng)0?x??時(shí)，有f(x0)?f(1)???f(x)?f(1)??

(1)，因

ln???2nx?0(n??)，則對(duì)??0，?N?log2lnx0，當(dāng)n?N時(shí)，有0?x0??；????2n022??，于是由(1)知不妨取n0?N?1及取x?x0，則顯然0?x?x0n0n0f(x0)?f(x)?f(x2n00)?f(x0)矛盾。

x???(II)當(dāng)x0?1時(shí)，因limf(x)?f(1)，則對(duì)??f(1)?f(x0),?M?1?0，當(dāng)x?M時(shí)，有f(x0)?f(x)?f(1)??

(2)因xlnM?M?0，?N??log2lnx0?2n0???(n??)，則對(duì)

?，當(dāng)2n0n?N時(shí)，有x?x0?M，不妨取n0?N?1及??取x?x盾。2n002n02?M，于是由(2)知f(x0)?f(x)?f(x0)?f(x0)，矛，則x?x0n0綜上即得證f(x)?f(1),0?x???。(三)求函數(shù)極限方法

1、根據(jù)定義證明函數(shù)以A為極限，即已求得了函數(shù)的極限。

2、用函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則、不等式性、絕對(duì)值性及無(wú)窮大量的四則運(yùn)算等性質(zhì)，根據(jù)已知極限求極。

3、根據(jù)公式與不等式求極限。

4、用兩邊夾定理求極限。

5、用stolz定理的推廣定理求極限。

6、用羅比達(dá)法則求極限。

7、用羅比達(dá)法則與微積分學(xué)基本定理、含參量積分求極限，用牛頓——萊布尼茲公式求極限。

8、用函數(shù)的連續(xù)性求極限。

9、用泰勒公式、導(dǎo)數(shù)定義等求極限。

10、用函數(shù)的上、下極限求極限。

11、用左極限與右極限求極限。

12、用歸結(jié)原則求極限。

13、用函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)理論，如函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的必要條件或函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和函數(shù)求極限。

14、其它，諸如反證法、變量代換等等。

下面在羅比達(dá)法則和泰勒公式的選用上，微積分學(xué)基本定理與羅比達(dá)法則的運(yùn)用上，兩邊夾定理，stolz定理的推廣定理的運(yùn)用上重點(diǎn)舉幾例。

f(x0?h4)?f(x0)例3 設(shè)f在x0可導(dǎo)，求I?lim。2h?01?coshf(x0?h4)?f(x0)h4?解 I?lim 42h?0h1?cosh4h3?f?(x0)limh?0sinh2?2h

?2f?(x0)——用導(dǎo)數(shù)定義、羅比達(dá)法則、已知極限、極限四則運(yùn)算法則求極限。

例4 求I?lim?x?????a?a???an?x1x2xn??,(ai?0,i?1,2,?n)。??1x 16 分析 本題為?0型未定式，用羅比達(dá)法則試解之。不難發(fā)現(xiàn)，用羅比達(dá)法則兩次之后，所得函數(shù)表達(dá)式已變得更為復(fù)雜，因而用羅比達(dá)法則解決不了，需改用它法?？紤]到a1,?,an為有限個(gè)正數(shù)，因而必有最大值與最小值，于是聯(lián)想到用與不等式有關(guān)的兩邊夾定理。

解 令k?max?a1,a2,?,an?，則

?k??1?nnx?kx?a?a???a??????n??1x1x???xlim1xx1x2xn??nk?????n???k，????1xx1x由于limn?nx????n0?1。

因而limkn1xx????k，1xx?a1x???an由兩邊夾定理知：I?lim?x????n????k?max?a1,?,an? ??例5 設(shè)f在?A,B?上連續(xù)，A?a?b?B。

b證明：I?lim?h?0abf(x?h)?f(x)dx?f(b)?f(a)

hf(x?h)?f(x)dx?f(b)?f(a)，只要求出極限值為

h分析 要證lim?h?0af(b)?f(a)，即已證得，于是歸結(jié)到求極限問(wèn)題。顯然積分號(hào)下不能取極

bb限；而已知f連續(xù)，則顯然?f(x)dx與?f(x?h)dx均可由其原函數(shù)在兩端

aa點(diǎn)a,b處的函數(shù)值所給出，于是極限問(wèn)題不難解決。

解 因?yàn)閒在?a,b?上連續(xù)，則f在?a,b?上有原函數(shù)F,F?(x)?f(x)，由牛頓——萊布尼茲公式知：

bI?lim?h?0af(x?h)?f(x)dx

hb?1?b??lim?f(x?h)dx?f(x)dx??h?0h??a?a?1b?F(x?h)|ba?F(x)|a?h?0h?lim[F(b?h)?F(a?h)?F(b)?F(a)]?limh?0

F(b?h)?F(b)F(a?h)?F(a)?limh?0h?0hh?F?(b)?F?(a)?f(b)?f(a)?lim——用原函數(shù)存在定理、牛頓——萊布尼茲公式、導(dǎo)數(shù)定義等求極限。

1?例6 求I?lime?x?1???(中國(guó)科技大學(xué))x??x2?x?1?分析 令f(x)?e?x??1??，分析f(x)之結(jié)構(gòu)，?x?x2易知當(dāng)x???時(shí)，e?x?0,?1?????,f(x)為0??型未定式；

1?當(dāng)x???時(shí)，e?x???,?1????0,f(x)為??0型未定式，按通常方

?x??1??1??0?x法，將其化為型或型去解決，于是有f(x)??x?0?ex2x2??1?x?x2，其為

?型。(當(dāng)?0x??1???1?，x???時(shí))或型(當(dāng)x???時(shí))分子之導(dǎo)數(shù)為?1???2xln?1????0?x???x?1?x?比?1??復(fù)雜得多，且求導(dǎo)不易，因而此法不可?。涣硐雱e法，只得將?1??1??按冪指函數(shù)法處理如下。?x?x2??1?x?x2 18 f(x)?e?1?x2ln?1???x?x?，只求出limx2ln?1???x即可，易見(jiàn)

x????1?x?0????L?x2ln?1???x為???型未定式，需化為型或型，于是可用羅比達(dá)

0??x?法則解之，當(dāng)然將ln?1??展成泰勒公式，也可解之。

解法一 由羅比達(dá)法則知

???1???1??lim?x2ln?1???x??limx?xln?1???1?x???x??x????x????1?xln?1???1?x??limx??x?1 1?1?ln?1???x?1?x?lim?x??(?1)x?2x?1?1?2?1?xx1(1?x)2?lim??x??22x?3??1?x?則I?e??1??lim?x2ln?1???x?x????x???e

?12——用冪指數(shù)函數(shù)處理法與羅比達(dá)法則求極限。

y21解法二 令y?，由泰勒公式知ln(1?y)?y??(y2)，2x則111112ln(1?y)?????0(y)??(y?0)，22y2y2y??1??lim?x2ln?1???x?x????x??因而I?e?e

?12——用冪指數(shù)函數(shù)處理法與泰勒公式求極限。例6解題方法小結(jié)：

1°某些問(wèn)題，看似用羅比達(dá)法則解之，但較麻煩；用泰勒公式解之，甚是方便。

2°冪指數(shù)函數(shù)處理法：形如f(x)g(x)的函數(shù)稱(chēng)為冪指數(shù)函數(shù)，其中f(x)?0。遇見(jiàn)這類(lèi)問(wèn)題，一般是將其恒等變形如下形式來(lái)處理：f(x)g(x)?eg(x)lnf(x)，這就是冪指數(shù)函數(shù)處理法。本例的每種解法中，均用到此法。

(四)判斷函數(shù)極限存在與不存在的方法

1、判斷函數(shù)極限存在的方法

(1)求出函數(shù)極限，即已斷定函數(shù)極限存在，因而(三)中各法適用。(2)用函數(shù)極限柯西準(zhǔn)則。(3)用單調(diào)有界函數(shù)定理。(4)用歸結(jié)原則的推論。

(5)證明函數(shù)的上極限與下極限相等。(6)反證法、變量代換及它法。

2、判定函數(shù)極限不存在的方法

(1)由極限定義而來(lái)——極限定義的否命題

對(duì)任何實(shí)數(shù)A，limf(x)?A；即對(duì)任何實(shí)數(shù)A，存在某一?0?0，對(duì)

x?x0任何??0，?x??U0(x0,?)，使得f(x?)?A??0，則limf(x)不存在。

x?x0(2)由柯西準(zhǔn)則而來(lái)——柯西準(zhǔn)則的否命題。

x?x0limf(x)不存在?存在某一?0?0，對(duì)任何??0，?x?,x???U0(x0,?)，使得f(x?)?f(x??)??0。

(3)左、右極限關(guān)系定理的否命題

左極限與右極限均存在且不等；或左極限與右極限中至少有一個(gè)不 20 存在，則極限不存在。

(4)歸結(jié)原則的否命題

?,xn?a,xn??a,xn?a(n??)，xn??a(n??)，存在兩個(gè)點(diǎn)列xn,xn?)；或存在一個(gè)點(diǎn)列xn,xn?a,xn?a(n??)，但但limf(xn)?limf(xnn??n??n??limf(xn)不存在，則limf(x)不存在。

x?a(5)上極限與下極限關(guān)系的充要定理的否命題。上極限與下極限不等，則極限不存在。

(6)運(yùn)算：若limf(x)存在，limg(x)不存在，則lim[f(x)?g(x)]不存在。

x?x0x?x0x?x0(7)反證法，變理代換法及其它。

?111?例8 1)設(shè)f于[1,??)連續(xù)可微，且f?(x)?2?ln(1?)? ?x?f(x)?1?x求證：limf(x)存在。(吉林大學(xué))x?x0分析

要證limf(x)存在，則f的表達(dá)式在題設(shè)中沒(méi)有給出，但題設(shè)x???中給出了f?表達(dá)式。

由此表達(dá)式，立知f?(x)?0，則f為遞增的，因而聯(lián)想到單調(diào)有界定理去試之，這樣只要探究出f的上有界性即可。為此，必須將f與已知的f?聯(lián)系上，由于已知f?連續(xù)，則由牛頓——萊布尼茲公式知xxf(x)??f?(t)dt?f(1)，于是只要證出?f(t)dt有上界即可，這就需要對(duì)11f?(t)加強(qiáng)不等式。

1?1?x?1?1?ln?1???，1?x?x1?x1x證明

因x?1，則 21

?111???于是f?(x)?2?ln?1????0，?f(x)?1??x???x?則f在[1,??)上單調(diào)增加，又因

f?(x)??11111?1??ln?1??????xxx?1xx?1?x?x?1?x11??x?x?1x?x?1x?x?1111???3x2x2x2f?連續(xù)，由牛頓——萊布尼茲公式知

xx

f(x)?f(1)??f?(t)dt??1112t32dt?1?1?1 x則f(x)?1?f(1),?x?[1,??)。

因而f在[1,??)上單調(diào)且有上界，由單調(diào)有界定理知limf(x)存在。

x???例9 證明limsin不存在。

x?01x解法一 ?點(diǎn)到xn?12n???2??,xn1,n?1,2,3,?，且xn?0，n??)，由歸結(jié)原是知limsin??0(n??)，但limf(xn)?1?0?limf(xnxnn??n??x?01不存x在。

——用歸結(jié)原則的否命題證明函數(shù)極限不存在。

解法二

分析 用柯西準(zhǔn)則的否命題試解之。此時(shí)，要證存在某一?0?0，對(duì)任何??0,?x?,x??,0?x???,0?x????，但f(x?)?f(x“)??0。需要找?0,x?,x??由于f(x)?sin為三角函數(shù)，不妨取特殊的函數(shù)值，例如，1xf(x?)?1,f(x??)?0則f(x?)?f(x??)?1?11，取?0?。由于f(x?)?1,f(x??)?0，22解得x??12n???2,x???11，則,n?1,2,3?，為簡(jiǎn)便起見(jiàn)，取x???2n?n???1?0?x??x??，令x”??，解得n?1?1，則x?,x??均以找到。，取n0?? ?2???2????1??1，因而 解法二 ??0?，對(duì)任何??0，取n0???2??2???0?x??12n0???2?11??，??，及0?x???2n0?2n0?但f(x?)?f(x??)?sin1limsin不存在。x?0x111?sin?1???0，由柯西準(zhǔn)則的否命題知x?x??2證明函數(shù)極限存在或不存在的方法總結(jié)：

何種情況下選用何種方法？一般規(guī)1?證明函數(shù)極限存在的方法很多，律是：當(dāng)函數(shù)以抽象形式給出時(shí)，多用柯西準(zhǔn)則，有時(shí)也用歸結(jié)原則推論。當(dāng)函數(shù)以具體形式給出時(shí)，多用單調(diào)有界定理或兩邊夾定理，有時(shí)也用柯西準(zhǔn)則及其它方法，特別當(dāng)函數(shù)為具體的分段函數(shù)時(shí)，用左、右有極限解之。當(dāng)題設(shè)中函數(shù)關(guān)系是以不等式給出時(shí)，則用極限不等式性、兩邊夾定理、上極限與下極限相等諸法中之一試解之。

2?證明函數(shù)極限不存在的方法也很多，當(dāng)函數(shù)以抽象形式給出時(shí)，多用柯西準(zhǔn)則的否命題；當(dāng)函數(shù)以具體形式給出時(shí)，多用歸結(jié)原則的否命題，上極限與下極限不等或者運(yùn)算法則，固然也用柯西準(zhǔn)則；特別當(dāng)函數(shù)為具體的分段函數(shù)時(shí)，宜用左、右極限試解之。參考文獻(xiàn)：

［1］黃玉民，李成章，數(shù)學(xué)分析。北京：科學(xué)出版社，1999。

54—76 ［2］數(shù)學(xué)分析，華東師范大學(xué)。北京：高等教育出版社，1987。

53—88 ［3］高等數(shù)學(xué)附冊(cè)學(xué)習(xí)輔導(dǎo)與習(xí)題選解。同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系編，北京：高等教育出版社，2003.1。

10—23 ［4］數(shù)學(xué)分析習(xí)題集題解，吉米多維奇、費(fèi)定暉編，濟(jì)南：山東科學(xué)技術(shù)出版社，1999.9。

27—50 ［5］劉廣云，數(shù)學(xué)分析選講，哈爾濱：黑龍江教育出版社，2000。

119—128

第三篇：第一章函數(shù)與極限

《函數(shù)與極限》重難點(diǎn)

電信1003班 ? 函數(shù)

1.定義域與定義區(qū)間的關(guān)系。

2.映射的種類(lèi)及存在條件。

3.求函數(shù)定義域的基本原則（7條）。

4.幾種特殊的函數(shù)類(lèi)型(絕對(duì)值函數(shù)、符號(hào)函數(shù)、取整函數(shù))。

5.基本初等函數(shù)、初等函數(shù)、簡(jiǎn)單函數(shù)的對(duì)比。分段函數(shù)不一定

是初等函數(shù)哦。

6.復(fù)合函數(shù)的分解及原則。

7.雙曲函數(shù)、反雙曲函數(shù)的函數(shù)式、圖像、及性質(zhì)。

? 函數(shù)的極限

1.兩種極限的定義、比較以及符號(hào)語(yǔ)言。

2.極限的性質(zhì)：唯一性、有界性、局部保號(hào)性，函數(shù)極限與數(shù)列

極限的關(guān)系以及對(duì)它們的證明。

3.函數(shù)極限的證明方法及語(yǔ)言的表述，左右極限的求法及意義。

4.無(wú)窮小及無(wú)窮大的定義，兩個(gè)定理及證明。

5.無(wú)窮小的比較：高階、低階、同階、K階無(wú)窮小，常見(jiàn)等價(jià)無(wú)

窮小及應(yīng)用。

6.極限的運(yùn)算法則:6個(gè)定理4個(gè)推論。

7.函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)。連續(xù)的定義及符號(hào)語(yǔ)言，連續(xù)的條件，單側(cè)連續(xù)的求法，證明判斷某點(diǎn)連續(xù)的方法，間斷點(diǎn)的定義、種類(lèi)及判斷分類(lèi)原則。

8.閉區(qū)間上函數(shù)的性質(zhì)：有界性、最值定理、零點(diǎn)定理、介值定

理及推論。

9.有關(guān)復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)及運(yùn)算。

10.函數(shù)的三種漸近線(xiàn)及求法。（P76）

11.函數(shù)符號(hào)和極限符號(hào)的對(duì)換。

? 數(shù)列的極限

1.定義及理解（8個(gè)字）

2.性質(zhì)：唯一性、有界性、保號(hào)性。

3.數(shù)列發(fā)散與收斂的判斷及證明。

4.數(shù)列極限與函數(shù)極限的關(guān)系，以及數(shù)列極限的證明（幾個(gè)定

理）。

? 極限存在準(zhǔn)則及兩個(gè)重要極限

1.夾逼準(zhǔn)則（適當(dāng)?shù)姆趴s）。

2.單調(diào)有界準(zhǔn)則：判斷極限存在與否。

3.兩個(gè)重要極限的證明、特征、變形及應(yīng)用。

? 課后習(xí)題推薦

P22-13P31-4,5P38-7,8P42-6,7P49-4,5P56-4P60-4P65-4,5,6P70-4.6,5P74-1,2,3,4,5,6P75-9.5,9.6P76-14

李金勝2010-11-6

第四篇：函數(shù)極限

《數(shù)學(xué)分析》教案

第三章 函數(shù)極限

xbl

第三章 函數(shù)極限

教學(xué)目的：

1.使學(xué)生牢固地建立起函數(shù)極限的一般概念，掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)； 2.理解并運(yùn)用海涅定理與柯西準(zhǔn)則判定某些函數(shù)極限的存在性； 3.掌握兩個(gè)重要極限

和，并能熟練運(yùn)用；

4.理解無(wú)窮小（大）量及其階的概念，會(huì)利用它們求某些函數(shù)的極限。教學(xué)重（難）點(diǎn)：

本章的重點(diǎn)是函數(shù)極限的概念、性質(zhì)及其計(jì)算；難點(diǎn)是海涅定理與柯西準(zhǔn)則的應(yīng)用。

教學(xué)時(shí)數(shù)：16學(xué)時(shí)

§ 1 函數(shù)極限概念（3學(xué)時(shí)）

教學(xué)目的：使學(xué)生建立起函數(shù)極限的準(zhǔn)確概念；會(huì)用函數(shù)極限的定義證明函數(shù)極限等有關(guān)命題。

教學(xué)要求：使學(xué)生逐步建立起函數(shù)極限的???定義的清晰概念。會(huì)應(yīng)用函數(shù)極限的???定義證明函數(shù)的有關(guān)命題，并能運(yùn)用???語(yǔ)言正確表述函數(shù)不以某實(shí)數(shù)為極限等相應(yīng)陳述。

教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)極限的概念。

教學(xué)難點(diǎn)：函數(shù)極限的???定義及其應(yīng)用。

一、復(fù)習(xí)：數(shù)列極限的概念、性質(zhì)等

二、講授新課：

（一）時(shí)函數(shù)的極限：

《數(shù)學(xué)分析》教案

第三章 函數(shù)極限

xbl

例4 驗(yàn)證

例5 驗(yàn)證

例6 驗(yàn)證

證 由 =

為使

需有

需有

為使

于是, 倘限制 , 就有

例7 驗(yàn)證

例8 驗(yàn)證(類(lèi)似有

（三）單側(cè)極限:

1．定義：?jiǎn)蝹?cè)極限的定義及記法.幾何意義: 介紹半鄰域

《數(shù)學(xué)分析》教案

第三章 函數(shù)極限

xbl

我們引進(jìn)了六種極限:.以下以極限，為例討論性質(zhì).均給出證明或簡(jiǎn)證.二、講授新課：

（一）函數(shù)極限的性質(zhì): 以下性質(zhì)均以定理形式給出.1.唯一性:

2.局部有界性:

3.局部保號(hào)性:

4.單調(diào)性(不等式性質(zhì)):

Th 4 若使，證 設(shè)

和都有 =

(現(xiàn)證對(duì) 都存在, 且存在點(diǎn) 的空心鄰域)，有

註: 若在Th 4的條件中, 改“ 就有

5.6.以

迫斂性:

”為“ 舉例說(shuō)明.”, 未必

四則運(yùn)算性質(zhì):(只證“+”和“ ”)

（二）利用極限性質(zhì)求極限： 已證明過(guò)以下幾個(gè)極限：

《數(shù)學(xué)分析》教案

第三章 函數(shù)極限

xbl

例8

例9

例10 已知

求和

補(bǔ)充題:已知

求和（）§ 3 函數(shù)極限存在的條件（4學(xué)時(shí)）

教學(xué)目的：理解并運(yùn)用海涅定理與柯西準(zhǔn)則判定某些函數(shù)極限的存在性。教學(xué)要求：掌握海涅定理與柯西準(zhǔn)則，領(lǐng)會(huì)其實(shí)質(zhì)以及證明的基本思路。教學(xué)重點(diǎn)：海涅定理及柯西準(zhǔn)則。教學(xué)難點(diǎn)：海涅定理及柯西準(zhǔn)則 運(yùn)用。

教學(xué)方法：講授為主，輔以練習(xí)加深理解，掌握運(yùn)用。本節(jié)介紹函數(shù)極限存在的兩個(gè)充要條件.仍以極限

為例.一.Heine歸并原則——函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系：

Th 1 設(shè)函數(shù)在,對(duì)任何在點(diǎn)

且的某空心鄰域

內(nèi)有定義.則極限都存在且相等.(證)

存Heine歸并原則反映了離散性與連續(xù)性變量之間的關(guān)系,是證明極限不存在的有力工具.對(duì)單側(cè)極限,還可加強(qiáng)為

單調(diào)趨于

.參閱[1]P70.例1 證明函數(shù)極限的雙逼原理.7 《數(shù)學(xué)分析》教案

第三章 函數(shù)極限

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教學(xué)難點(diǎn)：兩個(gè)重要極限的證明及運(yùn)用。

教學(xué)方法：講授定理的證明，舉例說(shuō)明應(yīng)用，練習(xí)。一．

（證）（同理有）

例1

例2.例3

例4

例5 證明極限 不存在.二.證 對(duì)

有

例6

特別當(dāng) 等.例7

例8

《數(shù)學(xué)分析》教案

第三章 函數(shù)極限

xbl

三． 等價(jià)無(wú)窮?。?/p>

Th 2(等價(jià)關(guān)系的傳遞性).等價(jià)無(wú)窮小在極限計(jì)算中的應(yīng)用: Th 3(等價(jià)無(wú)窮小替換法則)

幾組常用等價(jià)無(wú)窮小:（見(jiàn)[2]）

例3 時(shí), 無(wú)窮小

與

是否等價(jià)? 例4

四.無(wú)窮大量:

1.定義:

2.性質(zhì):

性質(zhì)1 同號(hào)無(wú)窮大的和是無(wú)窮大.性質(zhì)2 無(wú)窮大與無(wú)窮大的積是無(wú)窮大.性質(zhì)3 與無(wú)界量的關(guān)系.無(wú)窮大的階、等價(jià)關(guān)系以及應(yīng)用, 可仿無(wú)窮小討論, 有平行的結(jié)果.3.無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系:

無(wú)窮大的倒數(shù)是無(wú)窮小,非零無(wú)窮小的倒數(shù)是無(wú)窮大

習(xí)題 課（2學(xué)時(shí)）

一、理論概述：

《數(shù)學(xué)分析》教案

第三章 函數(shù)極限

xbl

例7.求

.注意 時(shí), 且

.先求

由Heine歸并原則

即求得所求極限

.例8 求是否存在.和.并說(shuō)明極限

解;

可見(jiàn)極限 不存在.--32

第五篇：函數(shù)極限

習(xí)題

1.按定義證明下列極限:

(1)limx???6x?5=6;(2)lim(x2-6x+10)=2;x?2x

x2?5?1;(4)lim?(3)lim2x???x?1x?2

(5)limcos x = cos x0 x?x04?x2=0;

2.根據(jù)定義2敘述limf(x)≠ A.x?x0

3.設(shè)limf(x)= A.,證明limf(x0+h)= A.x?x0h?0

4.證明:若limf(x)= A,則lim| f(x)| = |A|.當(dāng)且僅當(dāng)A為何值時(shí)反之也成立? x?x0x?x0

5.證明定理3.1

6.討論下列函數(shù)在x0→0 時(shí)的極限或左、右極限:(1)f(x)=x

x;(2)f(x)= [x]

?2x;x?0.?(3)f(x)=?0;x?0.?1?x2,x?0.?

7.設(shè) limf(x)= A,證明limf(x???x?x01)= A x

8.證明:對(duì)黎曼函數(shù)R(x)有l(wèi)imR(x)= 0 , x0∈[0,1](當(dāng)x0=0或1時(shí),考慮單側(cè)極限).x?x0

習(xí)題

1． 求下列極限：

x2?1（1）lim2（sinx－cosx－x）;(2)lim;?x?02x2?x?1x?22

x2?1?x?1???1?3x?;

lim(3)lim;(4)

x?12x2?x?1x?0x2?2x3

xn?1(5)limm(n,m 為正整數(shù))；（6）lim

x?1xx?4?1

（7）lim

x?0

?2x?3x?2

70；

a2?x?a?3x?6??8x?5?.（a>0）;(8)lim

x???x5x?190

2． 利用斂性求極限：(1)lim

x???

x?cosxxsinx

;(2)lim2

x?0xx?4

x?x0

3． 設(shè) limf(x)=A, limg(x)=B.證明：

x?x0

（1）lim[f(x)±g(x)]=A±B;

x?x0

（2）lim[f(x)g(x)]=AB;

x?x0

（3）lim

x?x0

f(x)A

=(當(dāng)B≠0時(shí))g(x)B

4． 設(shè)

a0xm?a1xm?1???am?1x?am

f(x)=,a0≠0,b0≠0,m≤n,nn?1

b0x?b1x???bn?1x?bn

試求 limf(x)

x???

5． 設(shè)f(x)>0, limf(x)=A.證明

x?x0

x?x0

lim

f(x)=A，其中n≥2為正整數(shù).6.證明limax=1(0

x?0

7.設(shè)limf(x)=A, limg(x)=B.x?x0

x?x0

(1)若在某∪(x0)內(nèi)有f(x)< g(x)，問(wèn)是否必有A < B ? 為什么？

（2）證明：若A>B,則在某∪(x0)內(nèi)有f(x)> g(x).8.求下列極限（其中n皆為正整數(shù)）：(1)lim ?

x?0

x

x11

lim;(2);nn?x?0x1?xx1?x

x?x2???xn?n

(3)lim;(4)lim

x?0x?0x?1

?x?1

x

(5)lim

x??

?x?(提示：參照例1)

x

x?0

x?0

x?0

9．（1）證明：若limf(x3)存在，則limf(x)= lim f(x3)（2）若limf(x2)存在，試問(wèn)是否成立limf(x)=limf(x2)?

x?0

x?0

x?0

習(xí)題

1.敘述函數(shù)極限limf(x)的歸結(jié)原則,并應(yīng)用它證明limcos x不存在.n???

n???

2.設(shè)f 為定義在[a,+?)上的增(減)函數(shù).證明: lim= f(x)存在的充要條件是f在n???

[a,+?)上有上(下)界.3.(1)敘述極限limf(x)的柯西準(zhǔn)則;

n???

(2)根據(jù)柯西準(zhǔn)則敘述limf(x)不存在的充要條件,并應(yīng)用它證明limsin x不存在.n???

n???

4.設(shè)f在∪0(x0)內(nèi)有定義.證明:若對(duì)任何數(shù)列{xn}?∪0(x0)且limxn=x0,極限limf(xn)都

n??

n??

存在,則所有這極限都相等.提示: 參見(jiàn)定理3.11充分性的證明.5設(shè)f為∪0(x0)上的遞減函數(shù).證明:f(x0－0)和f(x0+0)都存在,且f(x0－0)=supf(x),f(x0+0)=

0x?u?

?x0?

0x?un(x0)

inff(x)

6.設(shè) D(x)為狄利克雷函數(shù),x0∈R證明limD(x)不存在.x?x0

7.證明:若f為周期函數(shù),且limf(x)=0,則f(x)=0

x???

8.證明定理3.9

習(xí)題

1.求下列極限

sin2xsinx3

(1)lim;(2)lim

x?0x?0sinx2x

(3)lim

x?

cosxx?

?

tanx?sinxarctanx

lim(5)lim;(6);3x?0x?0xx

sin2x?sin2a1

(7)limxsin;(8)lim;

x???x?axx?a

;(4)lim

x?0

tanx

;x

?cosx2

(9)lim;(10)lim

x?0x?01?cosxx?1?1

sin4x

2.求下列極限

12?x

(1)lim(1?);(2)lim?1?ax?x(a為給定實(shí)數(shù));

n??x?0x

x

(3)lim?1?tanx?

x?0

cotx

;(4)lim?

?1?x?

?;

x?01?x??

(5)lim（x???

3x?22x?1?);(6)lim(1?)?x(?,?為給定實(shí)數(shù))

n???3x?1x

3.證明:lim?lim?cosxcoxcos4.利用歸結(jié)原則計(jì)算下列極限:(1)limnsin

n??

?

x?0n??

??

?

x2

xx???cos?1 2n??22??

?

n

;(2)

習(xí)題

1． 證明下列各式

(1)2x－x2=O(x)(x→0);(2)x sinx?O(x)(x→0);

+

(3)?x?1?o(1)(x→0);

(4)(1+x)n= 1+ nx+o(x)(x→0)(n 為正整數(shù))(5)2x3 + x2=O(x3)(x→∞);

(6)o(g(x))±o(g(x))=o(g(x))(x→x0)

(7)o(g1(x))·0(g2(x))=o(g1(x)g2(x))(x→x0)2． 應(yīng)用定理3.12求下列極限：

?x2?1x(1)lim(2)lim x?01?cosxx??x?cosx

x3． 證明定理3.13

4． 求下列函數(shù)所表示曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)：

13x3?4

(1)y =;(2)y = arctan x;(3)y = 2

xx?2x

5． 試確定a的值，使下列函數(shù)與xa當(dāng)x→0時(shí)為同階無(wú)窮小量：

(1)sin2x－2sinx;(2)

－(1－x);1?x

(3)?tanx??sinx;(4)

x2?4x3

6． 試確定a的值，使下列函數(shù)與xa當(dāng)x→∞時(shí)為同階無(wú)窮大量：

(1)

x2?x5;(2)x+x2(2+sinx);

(3)(1+x)(1+x2)…(1+xn).7． 證明：若S為無(wú)上界數(shù)集，則存在一遞增數(shù)列{xn}?s，使得xn→+∞(n→∞)

8． 證明：若f為x→r時(shí)的無(wú)窮大量，而函數(shù)g在某U0(r)上滿(mǎn)足g(x)≥K>0，則fg為x→r

時(shí)的無(wú)窮大量。

9． 設(shè) f(x)~g(x)(x→x0)，證明：

f(x)－g(x)= o(f(x))或 f(x)－g(x)= o(g(x))

總 練習(xí)題

1． 求下列極限：

?1

(x?[x])lim([x]?1)(1)lim;(2)??

x?3

x?1

(3)lim（x???

a?xb?x?a?xb?x)

xx?a

(4)lim

x???

(5)lim

xx?a

x???

(6)lim

?x??x?x??x

x?0

(7)lim?

n??m,m,n 為正整數(shù) ?n?x?11?xm1?x??

2． 分別求出滿(mǎn)足下述條件的常數(shù)a與b：

?x2?1?

(1)lim??ax?b???0 x????x?1??

x(3)limx

(2)lim

x???x???x?2

??x?1?ax?b??0

?x?1?ax?b?0

x?2

3． 試分別舉出符合下列要求的函數(shù)f：

(1)limf(x)?f(2)；(2)limf(x)不存在。

4． 試給出函數(shù)f的例子，使f(x)>0恒成立，而在某一點(diǎn)x0處有l(wèi)imf(x)?0。這同極限的x?x0

局部保號(hào)性有矛盾嗎？

5． 設(shè)limf(x)?A，limg(u)?B，在何種條件下能由此推出

x?a

g?A

limg(f(x))?B?

x?a

6． 設(shè)f(x)=x cos x。試作數(shù)列

(1){xn} 使得 xn→∞(n→∞), f(xn)→0(n→∞);(2){yn} 使得 yn→∞(n→∞), f(yn)→0(n→∞);(3){zn} 使得 zn→∞(n→∞), f(zn)→0(n→∞).7． 證明：若數(shù)列{an}滿(mǎn)足下列條件之一，則{an}是無(wú)窮大數(shù)列：

(1)liman?r?1

n??

(2)lim

an?1

?s?1(an≠0,n=1,2,…)

n??an

n2

n2

8． 利用上題（1）的結(jié)論求極限：

(1)lim?1?

?n??

?1??1??(2)lim?1??

n??n??n?

9． 設(shè)liman???，證明

n??

(1)lim

(a1?a2???an)??? n??n

n??

(2)若an > 0(n=1,2,…),則lima1a2?an??? 10.利用上題結(jié)果求極限：

(1)limn!(2)lim

n??

In(n!)

n??n

11.設(shè)f為U-0(x0)內(nèi)的遞增函數(shù)。證明：若存在數(shù)列{xn}?U-0(x0)且xn→x0(n→∞)，使得

limf(xn)?A，則有

n??

f(x0－0)=

supf(x)?A

0x?U?(x0)

12.設(shè)函數(shù)f在(0,+∞)上滿(mǎn)足方程f(2x)=f(x)，且limf(x)?A。證明：f(x)?A，x∈(0,+∞)

x???

13.設(shè)函數(shù)f在(0,+∞)此上滿(mǎn)足方程f(x2)= f(x)，且

f(x)=limf(x)?f(1)lim?

x?0

x???

證明：f(x)?f(1)，x∈(0,+∞)

14.設(shè)函數(shù)f定義在(a,+∞)上，f在每一個(gè)有限區(qū)間內(nèi)(a,b)有界，并滿(mǎn)足

x???

lim(f(x?1)?f(1))?A證明

x???

lim

f(x)

?A x