第一篇：2018年北京市高考數(shù)學(xué)理 14專題十四 不等式選講

第十四篇：不等式選講

解答題

1.【2018全國一卷23】已知f(x)?|x?1|?|ax?1|.（1）當(dāng)a?1時，求不等式f(x)?1的解集；

（2）若x?(0,1)時不等式f(x)?x成立，求a的取值范圍.2.【2018全國二卷23】設(shè)函數(shù)f(x)?5?|x?a|?|x?2|．

（1）當(dāng)a?1時，求不等式f(x)?0的解集；（2）若f(x)?1，求a的取值范圍．

3.【2018全國三卷23】設(shè)函數(shù)f?x??2x?1?x?1．

（1）畫出y?f?x?的圖像；

???，f?x?≤ax?b，求a?b的最小值．（2）當(dāng)x∈?0，4.【2018江蘇卷21D】若x，y，z為實數(shù)，且x+2y+2z=6，求x2?y2?z2的最小值．

參考答案 解答題

??2,x??1,? 1.解：（1）當(dāng)a?1時，f(x)?|x?1|?|x?1|，即f(x)??2x,?1?x?1，?2,x?1.?故不等式f(x)?1的解集為{x|x?}．

（2）當(dāng)x?(0,1)時|x?1|?|ax?1|?x成立等價于當(dāng)x?(0,1)時|ax?1|?1成立． 若a?0，則當(dāng)x?(0,1)時|ax?1|?1； 若a?0，|ax?1|?1的解集為0?x?綜上，a的取值范圍為(0,2]．

1222，所以?1，故0?a?2． aa?2x?4,x??1,?2.解：（1）當(dāng)a?1時，f(x)??2,?1?x?2，??2x?6,x?2.?可得f(x)?0的解集為{x|?2?x?3}．（2）f(x)?1等價于|x?a|?|x?2|?4．

而|x?a|?|x?2|?|a?2|，且當(dāng)x?2時等號成立．故f(x)?1等價于|a?2|?4． 由|a?2|?4可得a??6或a?2，所以a的取值范圍是(??,?6][2,??)．

1??3x,x??,?2?1?3.解：（1）f(x)??x?2,??x?1,y?f(x)的圖像如圖所示．

2??3x,x?1.??

（2）由（1）知，y?f(x)的圖像與y軸交點的縱坐標(biāo)為2，且各部分所在直線斜率的最大值為3，故當(dāng)且僅當(dāng)a?3且b?2時，f(x)?ax?b在[0,??)成立，因此a?b的最小值為5．

4.證明：由柯西不等式，得(x2?y2?z2)(12?22?22)?(x?2y?2z)2．

因為x?2y?2z=6，所以x2?y2?z2?4，當(dāng)且僅當(dāng)xyz244??時，不等式取等號，此時x?，y?，z?，122333所以x2?y2?z2的最小值為4．

第二篇：不等式選講高考題

不等式選講高考題

1.(2011年高考山東卷理科4)不等式|x?5|?|x?3|?10的解集為

（A）[-5.7]（B）[-4,6]

（C）(??,?5]?[7,??)（D）(??,?4]?[6,??)

2.(2011年高考天津卷理科13)

已知集合A?x?R|x?3?x?4?9,B??x?R|x?4t?,t?(0,??)?，則集合???

?1t??

A?B=________.3.對于實數(shù)x，y，若x?1?1，y?2?1，則x?2y?1的最大值為.4．(2011年高考陜西卷理科15)若關(guān)于x的不等式a?x??x?2存在實數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍是

5．(2011年高考遼寧卷理科24)選修4-5：不等式選講

已知函數(shù)f（x）=|x-2|-|x-5|.（I）證明：-3≤f（x）≤3；

（II）求不等式f（x）≥x-8x+15的解集.6.(2011年高考全國新課標(biāo)卷理科24)（本小題滿分10分）選修4-5不等選講 設(shè)函數(shù)f(x)?x?a?3x,a?0（1）當(dāng)a?1時，求不等式f(x)?3x?2的解集；(2)如果不等式f(x)?0的解集為xx??1，求a的值。

7.(2011年高考江蘇卷21)選修4-5：不等式選講（本小題滿分10分）

解不等式：x?|2x?1|?

2??

8．（2009廣東14)不等式|x?1|?1的實數(shù)解為.|x?2|

9.(2011年高考福建卷理科21)設(shè)不等式2x-＜1的解集為M．

（I）求集合M；

（II）若a，b∈M，試比較ab+1與a+b的大小

10．（2010年高考福建卷理科21）選修4-5：不等式選講 已知函數(shù)

（Ⅰ）若不等式。的解集為，求實數(shù)的值； 對一切實數(shù)x恒成立，求實數(shù)m的取值（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若

范圍。

11．（2007海南、寧夏，22C，10分）（選修4 –5：不等式選講）設(shè)函數(shù)f(x)?|2x?1|?|x?4|.（1）解不等式f(x)?2；

（2）求函數(shù)y?f(x)的最小值。

12.2009遼寧選作24）設(shè)函數(shù)f(x)?|x?1|?|x?a|.f(x)?3；（I）若a??1,解不等式（II）如果?x?R,f(x)?2,求a的取值范圍。

第三篇：專題：不等式選講

專題：不等式選講

1、已知函數(shù)f(x)?log2(|x?1|?|x?5|?a).（Ⅰ）當(dāng)a?5時，求函數(shù)f(x)的定義域；

（Ⅱ）當(dāng)函數(shù)f(x)的定義域為R時，求實數(shù)a的取值范圍。

2、設(shè)a,b,c為不全相等的正數(shù)，證明：2(a?b?c)?a(b?c)?b(a?c)?c(a?b)

a?b?a?b?ma3、對于任意實數(shù)a（a?0）和b，不等式恒成立，記實數(shù)m的最大333222

值為M。（1）求M的值；（2）解不等式：

4、設(shè)函數(shù)f(x)?2x?1?x?2．

（Ⅰ）求不等式f(x)?2的解集；

2（Ⅱ）若?x?R，f(x)?t?x?1?x?2?M。11

2t恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

5、已知函數(shù)f(x)?2x?a?a．

（1）若不等式f(x)?6的解集為?x?2?x?3?，求實數(shù)a的值；

（2）在（1）的條件下，若存在實數(shù)n使f(n)?m?f(?n)成立，求實數(shù)m的取值范圍．

6、已知a,b,c都是正數(shù)，且a,b,c成等比數(shù)列，求證：a2?b2?c2?(a?b?c)27、已知函數(shù)f(x)＝|x＋1|，(1)解不等式f(x)≥2x＋1；

(2)?x∈R，使不等式f(x－2)－f(x＋6)＜m成立，求m的取值范圍

8、若關(guān)于x的不等式x?a?x?2?a?2010的解集為非空集合，求實數(shù)a的取值范圍。

9、設(shè)關(guān)于x的不等式x?1?a?x.(I)當(dāng)a?2，解上述不等式。（II）若上述關(guān)于x的不等式有解，求實數(shù)a的取值范圍。

10、設(shè)函數(shù)f?x??x?1?x?2

f?x??3 對?x?R恒成立，求實數(shù)a的取值范圍。(1)解不等式(2)若f?x??a11、已知函數(shù)f(x)?|x?2|?|x?1|.g(x)?ax?3x?3

x2（1）試求f(x)(a?0)的值域；（2）設(shè)，若對?s?(0,??),?t(??,??)，恒有g(shù)(s)?f(t)成立，試求實數(shù)a的取值范圍。

第四篇：不等式選講心得體會[范文]

《不等式選講》心得體會

從開學(xué)到實習(xí)前，《不等式選講》這門課我們已經(jīng)上了一個月了。在這一個月里，我們學(xué)習(xí)了講義里的第一、二章和第三章的第一、二講。下面，我將對我在這一個月的學(xué)過的東西做一個總結(jié)，并談?wù)勛约旱捏w會和感想。

第一章是緒論，介紹了一百年來Hilbert型不等式理論的研究概況及其思想方法的由來與演變。1908年，德國數(shù)學(xué)家D.Hilbert證明了著名的Hilbert不等式，其中常數(shù)因子π的最佳性證明是由Sohur于1911年完成的，他同時還給出了Hilbert不等式的積分類似形式，稱為Hilbert積分不等式。這兩個不等式是分析學(xué)的重要不等式，后面在這一領(lǐng)域的研究者，都是為了這兩個不等式的改進，推廣及應(yīng)用，其成果在中外各類數(shù)學(xué)文獻及不等式專著都可見到。1925年，Hardy與Riesz等引入一對共軛指數(shù)(p,q)(1/p+1/q=1)，將Hilbert不等式推廣為Hardy-Hilbert不等式。Hardy等在文【3】大致建立了-1齊次核的Hilbert型不等式理論。而此后近60年，文【3】的基本成果及方法并沒有得到拓展。一直到了1979年，我國學(xué)者胡克改進了 Hilbert不等式。之后，1998年，印度數(shù)學(xué)家B.G.Pachpatte得出 Hilbert積分不等式的一個類似形式，由此而來，引出了一系列的改進及推廣應(yīng)用。1998年，楊必成教授引入?yún)?shù)λ∈(0，1]及0＜a＜b＜∞，得出Hilbert積分不等式的推廣式。1999年，高明哲應(yīng)用分析及代數(shù)向量的方法，得出Hilbert積分不等式的一個改進式。2002年，英國數(shù)學(xué)家Zhang Kewei應(yīng)用算子理論，得到一個Hilbert積分不等式的改進式。1991年，我國數(shù)學(xué)家徐利治等提出了旨在改進 Hilbert不等式的權(quán)系數(shù)方法。這些近代研究成果及研究思想，極大地推動了對Hilbert型不等式的系統(tǒng)研究。

從1908年數(shù)學(xué)家D.Hilbert證明Hilbert不等式到今天，這一百年來，我們可以看到，那么多的科學(xué)研究者在為改進及推廣，應(yīng)用Hilbert不等式和Hilbert積分不等式做努力。牛頓曾說過，他是站在巨人的肩膀上，科學(xué)的道路都是曲折難行的，要建起一座高大堅固的知識體系墻，科學(xué)研究者們只能盡自己最大的努力，往上面徹磚，看著它慢慢從地面一層層的增高。我們必須向那些不畏艱難，勇攀高峰的科學(xué)家們致以最崇高的敬意！同時，我們也必須努力向那些勇敢直前，努力探索未知領(lǐng)域的偉人們學(xué)習(xí)！

第二章內(nèi)容分為十講，介紹了Euler-Maclaurin公式的兩類精確化改進公式及級數(shù)的估值理論，為估算權(quán)系數(shù)準(zhǔn)備良好的方法。其中第一講介紹了一類正項級數(shù)的估值方法，提出并證明了三個定理，并舉了一個例子。第二講介紹了Bernoulli數(shù)和Bernoulli 多項式。第三講介紹了 Bernoulli函數(shù)，介紹了一階Bernoulli函數(shù)P1(t)的積分性質(zhì)。第四講介紹了級數(shù)求和的Euler-Maclaurin公式。第五講介紹了涉及級數(shù)余項的第一估值式及其改進式。第六講舉了一個例子，并提出了一個推論。第七講介紹了涉及級數(shù)余項的第二估值式，將推論2的結(jié)果改進為定理6，并對定理6進行了證明。第八講介紹了關(guān)于δq(m,n)的估值及一些實用不等式。在第五講的定理5和第七講的定理6中，取g(t)=f(2q+1)(t),就可以得到 δq(m,n)的估值了。第九講介紹了一類收斂級數(shù)及發(fā)散級數(shù)的估值式，考察式(4.3)當(dāng)n→∞的情形，結(jié)合推論3和推論4，得出定理7。其中有一種方法，先取較少的n，代入具體的m估算βm，最后，對較大(或一般)的n，估算其有限和。用這種方法還可以求得一些重要和數(shù)的估值公式。第十講則是舉了三個應(yīng)用實例。這一章內(nèi)容通過深入淺出的分析，展開對一類無窮級數(shù)估值方法的討論，為拓展離散型不等式的研究鋪平了道路，其中有許多證明方法是很值得我們學(xué)習(xí)的！

而第三章內(nèi)容則深入淺出地介紹了Hilbert積分不等式發(fā)表100年來的發(fā)展變化權(quán)函數(shù)方法的具體應(yīng)用及如何利用實分析的方法證明常數(shù)因子的最佳性。其中第一講介紹了Hilbert積分不等式及其等價式，給出了具體的證明過程。不等式等價性及常數(shù)因子的最佳性的證明用了精致的分析技巧，值得我們好好學(xué)習(xí)借鑒。第二講介紹了Hardy-Hilbert積分不等式及其等價式，也對其進行了具體的證明。

總的來說，第一章就是介紹了Hilbert不等式的發(fā)展史，第二章可以說更多內(nèi)容是為后面的學(xué)習(xí)做鋪墊，從第三章開始，我們才算正式開始學(xué)習(xí)Hilbert不等式及其改進式，推廣式。期待在實習(xí)回來后的一個月，能繼續(xù)學(xué)習(xí)到更多的關(guān)于Hilbert不等式的知識！

第五篇：07------12高考不等式選講試題寧夏模式

07------12高考不等式選講試題 已知函數(shù)f(x)?x?a?x?2。

（1）當(dāng)a=-3時，求不等式f(x)?3的解集。

（2）若f(x)?x?4的解集包含?1,2?，求a的取值范圍。寧夏

11、設(shè)函數(shù)f(x)?x?a?3x，其中a?0。

（1）、當(dāng)a?1時，求不等式f(x)?3x?2的解集。

（2）若不等式f(x)?0的解集是?xx??1?，求a的值。

寧夏10（本小題滿分10分）選修4-5，不等式選項設(shè)函數(shù)f(x)?2x?4?

1（Ⅰ）畫出函數(shù)y?f(x)的圖像

（Ⅱ）若不等式f(x)≤ax的解集非空，求a的取值范圍。寧夏09

（24）（本小題滿分10分）選修4－5：不等式選講 設(shè)函數(shù)f(x)?|x?1|?|x?a|。

（1）若a??1,解不等式f(x)?3；

（2）如果?x?R,f(x)?2,求a 的取值范圍。寧夏0824、（本小題滿分10分）選修4－5：不等式選講 已知函數(shù)f(x)?|x?8|?|x?4|。

（1）作出函數(shù)y?f(x)的圖像；

（2）解不等式|x?8|?|x?4|?2。

寧夏07 設(shè)函數(shù)f(x)?2x??x?4．

（I）解不等式f(x)?2；

（II）求函數(shù)y?f(x)的最小值．

不等式的證明

1、若a，b?R，求證：a?b?1?ab?a?b2、（2010江蘇卷）設(shè)a、b

是非負實數(shù)，求證：a3?b3?a2?b2)。

（2010遼寧理數(shù)）（24）（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講

111已知a,b,c均為正數(shù)，證明：a2?b2?c2?(??)2?6，并確定a,b,c為何值時，等號成abc2

2立。

4、（2010福建理數(shù)）選修4-5：不等式選講

已知函數(shù)f(x)?|x?a|。

（Ⅰ）若不等式f(x)?3的解集為?x|?1?x?5?，求實數(shù)a的值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若f(x)?f(x?5)?m對一切實數(shù)x恒成立，求實數(shù)m的取值范圍。

24）（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講

如圖，O為數(shù)軸的原點，A,B,M為數(shù)軸上三點，C為線段OM上的動點，設(shè)x表示C與原點的距離，y 表示C到A距離4倍與C道B距離的6倍的和.（1）將y表示成x的函數(shù)；

（2）要使y的值不超過70，x 應(yīng)該在什么范圍內(nèi)取值？

不等式的證明

1、若a，b?R，求證：a?b?1?ab?a?b

作差并整理得：

a2?(b?1)a?b2?b?1為求其根，先求其判別式：

??(b?1)2?4(b2?b?1)??3(b?1)2?0故對任意的實數(shù)a，恒有a2?(b?1)a?b2?b?1?0

即a2?b2?1?ab?a?b，實際上適當(dāng)?shù)呐湎禂?shù)，差式可如下配方：

2、（2010江蘇卷）設(shè)a、b

是非負實數(shù)，求證：a3?b3?a2?b2)。

證明：由a、b是非負實數(shù)，作差得

a3?b3a2?b2)?a?

b?5?5] 22當(dāng)a?

b?

5?

5，得5?5]?0；

當(dāng)a?

b?

5?

5，得5?5]?0；

所以a3?b3?a2?b2)。

（2010遼寧理數(shù)）（24）（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講

111已知a,b,c均為正數(shù)，證明：a2?b2?c2?(??)2?6，并確定a,b,c為何值時，等號成abc

立。

證明：

因為a，b，c均為正數(shù)，由平均值不等式得

a?b?c?3(abc)

1?111???3(abc)

3abc22223① 2??111?所以?????9(abc)3②……6分 ?abc?

22?11123故a?b?c?(??)?3(abc)?9(abc)3.abc222

2又3(abc)?9(abc)2

3?2

3??③

所以原不等式成立.……8分

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時，①式和②式等號成立。當(dāng)且僅當(dāng)3(abc)?9(abc)時，③式等號成立。即當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=3時，原式等號成立?！?0分

4、（2010福建理數(shù)）

【解析】（Ⅰ）由f(x)?3得|x?a|?3，解得a?3?x?a?3，1423?23

?a?3??1又已知不等式f(x)?3的解集為?x|?1?x?5?，所以?，解得a?2。a?3?5?

（Ⅱ）當(dāng)a?2時，f(x)?|x?2|，設(shè)g(x)=f(x)?f(x?5)，于是

??2x?1,x

?2x?1,x>2?

當(dāng)x<-3時，g(x)>5；當(dāng)-3?x?2時，g(x)>5；當(dāng)x>2時，g(x)>5。

24.解：

（Ⅰ）y?4|x?10|?6|x?20|,0?x?30.（Ⅱ）依題意，x滿足

{4|x?10|?6|x?20|?70,0?x?30.解不等式組，其解集為【9，23】

所以x?[9,23]