第一篇：人教數(shù)學數(shù)學選修不等式選講簡介
人教數(shù)學（A版）培訓手冊之三十九──“不等式選講”簡介
人教A版普通高中數(shù)學課程標準實驗教科書（選修4-5）《不等式選講》是根據(jù)教育部制訂的《普通高中數(shù)學課程標準(實驗)》(以下簡稱課程標準)的選修4系列第5專題“不等式選講”的要求編寫的。根據(jù)課程標準，本專題介紹一些重要的不等式和它們的證明、數(shù)學歸納法和它的簡單應用
一、內(nèi)容與要求1．回顧和復習不等式的基本性質和基本不等式。
2．理解絕對值的幾何意義，并能利用絕對值不等式的幾何意義證明以下不等式：（1）∣a＋b∣≤∣a∣＋∣b∣；（2）∣a－b∣≤∣a－c∣＋∣c－b∣；（3）會利用絕對值的幾何意義求解以下類型的不等式：∣ax＋b∣≤c；∣ax＋b∣≥c；∣x－c∣＋∣x－b∣≥a。3．認識柯西不等式的幾種不同形式。理解它們的幾何意義。（1）證明柯西不等式的向量形式：|α||β|≥|α·β|。（2）證明：（a+b）(c+d)≥(ac+bd)。（3）證
明：
≥。4．用22222參數(shù)配方法討論柯西不等式的一般情況：5．用向量遞歸方法討論排序不等式。6．了解數(shù)學歸納法的原理及其使用范圍，會用數(shù)學歸納法證明一些簡單問題。7．會用數(shù)學歸納法證明貝努利不等式：(1＋x)＞1＋nx（x＞-1,n為正整數(shù)）。了解當n為實數(shù)時貝努利不等式也成立。
8．會用上述不等式證明一些簡單問題。能夠利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函數(shù)的極值。9．通過一些簡單問題了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法。
二、內(nèi)容安排 本專題內(nèi)容分成四講，結構如下圖所n
示：
本專題的內(nèi)容是在初中階段掌握了不等式的基本概念，學會了一元一次不等式、一元一次不等式組的解法，多數(shù)學生在學習高中必修課五個模塊的基礎上展開的．作為一個選修專題，教科書在內(nèi)容的呈現(xiàn)上保持了相對的完整性．第一講是“不等式和絕對值不等式”，它是本專題的最基本內(nèi)容，也是其余三講的基礎．
本講的第一部分類比等式的基本性質，從“數(shù)與運算”的基本思想出發(fā)討論不等式的基本性質，這是關于不等式在運算方面的一些最基本法則．接著討論基本不等式，介紹了基本不等式的一個幾何解釋：“直角三角形斜邊上的中線不小于斜邊上的高”，并把基本不等式推廣到三個正數(shù)的算術—幾何平均不等式．對于一般形式的均值不等式，則只作簡單介紹，不給出證明．在此基礎上，介紹了它們在解決實際問題中的一些應用，如最基本的等周問題，簡單的極值問題等。第二部分討論了有關絕對值不等式的性質及絕對值不等式的解法．絕對值是與實數(shù)有關的一個基本而重要的概念，討論關于絕對值的不等式具有重要的意義．
絕對值三角不等式是一個基本的結論，教科書首先引導學生借助于實數(shù)在數(shù)軸上的表示和絕對值的幾何意義，引導學生從數(shù)的運算角度探究歸納出絕對值三角不等式，接著聯(lián)系向量形式的三角不等式，得到絕對值三角不等式的幾何解釋，最后用代數(shù)方法給出證明．這樣，數(shù)形結合，引導學生多角度認識這個不等式，逐步深化對它的理解．利用絕對值三角不等式可以解決形如的函數(shù)的極值問題，教科書安排了一個這樣的實際問題
對于解含有絕對值的不等式，教科書只討論了兩種特殊類型不等式的解法，而不是系統(tǒng)地對這個問題進行研究。教科書引導學生探討了形如解法，以及形如或或的不等式的的不等式的解法．學生通過這兩類含有絕對值的不等式能夠基本學到解含有絕對值的不等式的一般思想和方法。第二講是“證明不等式的基本方法”．對于不等式的深入討論必須首先掌握一些基本的方法，所以本講內(nèi)容也是本專題的一個基礎內(nèi)容。本講通過一些比較簡單的問題，介紹了證明不等式的幾種常用而基本的方法：比較法、綜合法、分析法、反證法和放縮法． 比較法是證明不等式的最基本的方法，比較法可以分為兩種，一種是相減比較法，它的依據(jù)是：
另一種是相除比較法，是把不等式兩邊相除，轉化為比較所得商式與1的大小關系，它的依據(jù)是：當b＞0
時，在比較法的兩種方法中，相減比較法又是最基本而重要的一種方法。在證明不等式的過程中，根據(jù)對于不等式的條件和結論不同探索方向作分類，證明方法又可以分為分析法和綜合法。在證明不等式時，可以從已知條件出發(fā)逐步推出結論的方法是綜合法；尋找結論成立的充分條件，從而證明不等式的方法就是分析法．證明不等式的方法還可以分為直接證法和間接證法，反證法是一種間接證法．它從不等式結論的反面出發(fā)，即假設要證明的結論不成立，經(jīng)過正確的推理，得出矛盾結果，從而說明假設錯誤，而要證的原不等式結論成立
在證明不等式的過程中，有時通過對不等式的某些部分作適當?shù)姆糯蠡蚩s小達到證明的目的，這就是所謂的放縮法． 教科書對以上方法都結合實例加以介紹。本講內(nèi)容對進一步
討論不等式提供了思想方法的基礎． 本講的教學內(nèi)容中，用反證法和放縮法證明不等式是新的課程標準才引入到中學數(shù)學教學中的內(nèi)容。第三講是“柯西不等式和排序不等式”．本講介紹兩個基本的不等式：柯西不等式和排序不等式，以及它們的簡單應用． 柯西不等式是基本而重要的不等式，是推證其他許多不等式的基礎，有著廣泛的應用．教科書首先介紹二維形式的柯西不等式，再從向量的角度來認識柯西不等式，引入向量形式的柯西不等式，再介紹一般形式的柯西不等式，以及柯西不等式在證明不等式和求某些特殊類型的函數(shù)極值中的應用。在介紹了二維形式的柯西不等式的基礎上，教科書引導學生在平面直角坐標系中，根據(jù)兩點間的距離公式以及三角形的邊長關系，從幾何意義上發(fā)現(xiàn)二維形式的三角不等式。接著借助二維形式的柯西不等式證明了三角不等式。在一般形式的柯西不等式的基礎上，教科書安排了一個探究欄目，讓學生通過探究得出一般形式的三角不等式。排序不等式也
是基本而重要的不等式，一些重要不等式可以看成是排序不等式的特殊情形，例如不等式
．有些重要不等式則可以借助排序不等式得到簡捷的證明。教科書在討論排
序不等式時，展示了一個“探究——猜想——證明——應用”的研究過程，目的是引導學生通過自己的數(shù)學活動，初步認識排序不等式的數(shù)學意義、證明方法和簡單應用。
柯西不等式、三角不等式和排序不等式也是數(shù)學課程標準正式引入到高中數(shù)學教學中。第四講是“數(shù)學歸納法證明不等式”．本講介紹了數(shù)學歸納法及其在證明不等式中的應用．對于某些不等式，必須借助于數(shù)學歸納法證明，所以在不等式選講的專題中安排這個內(nèi)容是很有必要的。教科書首先結合具體例子，提出尋找一種用有限步驟處理無限多個對象的方法的問題．然后，類比多米諾骨牌游戲，引入用數(shù)學歸納法證明命題的方法，并分析了數(shù)學歸納法的基本結構和用它證明命題時應注意的問題（兩個步驟缺一不可）．接著舉例說明數(shù)學歸納法在證明不等式中的應用，特別地，證明了貝努利不等式。本專題的教學重點：不等式基本性質、基本不等式及其應用、絕對值不等式的解法及其應用；用比較法、分析法、綜合法證明不等式；柯西不等式、排序不等式及其應用； 教學難點：三個正數(shù)的算術-幾何平均不等式及其應用、絕對值不等式解法；用反證法，放縮法證明不等式；運用柯西不等式和排序不等式證明不等式；
本專題教學約需18課時，具體分配如下（僅供參考）第一講 不等式和絕對值不等式
一、不等式約３課時
二、絕對值不等式約２課時第二講 證明不等式的基本方法
一、比較法約1課時
二、綜合法與分析法約2課時
三、反證法與放縮法約1課時
第三講 柯西不等式與排序不等式一、二維形式的柯西不等式約1課時二、一般形式的柯西不等式約1課時
三、排序不等式約2課時
第四講 數(shù)學歸納法證明不等式
一、數(shù)學歸納法約2課時
二、用數(shù)學歸納法證明不等式約2課時
學習總結報告約1課時
三、編寫中考慮的幾個問題
根據(jù)課程標準，本專題應該強調不等式及其證明的幾何意義與背景，以加深學生對這些不等式的數(shù)學本質的理解，提高學生的邏輯思維能力和分析解決問題的能力，我們在教科書的編寫中努力去實現(xiàn)課程標準的思想。
(一)重視展現(xiàn)不等式的幾何背景，力求讓學生對重要不等式有直觀理解
數(shù)量關系和空間形式是數(shù)學研究的兩個重要方面，不等式則是從數(shù)量關系的角度來刻畫現(xiàn)實世界的。我們一般借助于代數(shù)方法證明不等式。代數(shù)證明要經(jīng)過一系列的變形，人們常常不能很直接地看出其中的數(shù)量關系。而借助于幾何的方法，把不等式中的有關量適當?shù)赜脠D形中的幾何量表示出來，則往往能很好地指明不等關系，使學生從幾何背景的角度，直觀地，從而也是直接地理解不等式。本專題中的重要不等式都有明顯的幾何背景，教科書注意呈現(xiàn)不等式的幾何背景，幫助學生理解不等式的幾何本質。如對于是借助于面積關系，絕對值三角不等式是借助于向量和三角形中的邊長關系，柯西不等式是借助于向量運算，排序不等式是借助于三角形的面積。這樣，逐漸引導學生在面對一個數(shù)學問題時能從幾何角度去思考問題，找到解決問題的途徑
(二)重視數(shù)學思想方法的教學
數(shù)學思想是對于數(shù)學知識（數(shù)學中的概念、法則、性質、公式、公理、定理、方法等）的理性的、本質的、高度抽象和概括的認識，帶有普遍的指導意義，蘊涵于運用數(shù)學方法分析、處理和解決數(shù)學問題的過程之中。數(shù)學方法是研究或解決數(shù)學問題并使之達到目的的手段、方式、途徑或程序。數(shù)學思想方法的教學是中學數(shù)學教學中的重要組成部分，有利于學生加深對于具體數(shù)學知識的理解和掌握。本專題的內(nèi)容包涵了豐富的數(shù)學思想方法，如應用重要不等式解決實際問題中體現(xiàn)出來的優(yōu)化思想，在重要不等式的呈現(xiàn)過程中的數(shù)形結合思想，在解不等式中體現(xiàn)的轉化的思想，函數(shù)思想，以及證明不等式的比較法、綜合與分析法、放縮法、反證法、數(shù)學歸納法，在證明柯西不等式中的配方法等，對于這些數(shù)學思想和方法，教科書都及時作歸納和總結，使學生能夠結合具體的問題加以理解和體會。
(三)重視引導學習方式和教學方式的改進
在目前的中學數(shù)學教學實踐仍存在一些問題，就學生的學習而言，比較突出的就是被動的接受式的學習，教師偏重于灌輸式的教學，啟發(fā)式的教學原則做得不夠。學生的問題意識不強，發(fā)現(xiàn)問題的能力不強，獨立地解決問題的能力也不強。針對這種情況，教科書重視引導學生提出問題，教科書設置了許多探究欄目，鼓勵學生主動探究，引導學生通過類比提出問題及其解決方法，對于數(shù)學結論進行特殊化、作推廣。例如，在講述了基本不等式以后，教科書就提出了一個思考問題：“對于三個正數(shù)會有怎樣的不等式成立呢？”在證明了關于三個正數(shù)的均值不等式以后，又直接給出了一般的均值不等式；在證明了二維和三維的柯西不等式以后，就設置了一個探究性問題“對比二維形式三維形式的柯西不等式，你能猜想一般形式的柯西不等式嗎？”；再如“一般形式的三角不等式應該是怎樣的？如何應用一般形式的柯西不等式證明它？請同學自己探究?！钡鹊?，這樣的探究性問題在教科書中處處可見。
(四)注意發(fā)展數(shù)學應用意識
重要不等式在許多實際問題中可以得到應用，在實際工作中常常能起到節(jié)約能源，降低成本，提高效率，加快速度等作用。在本專題中，教科書注意體現(xiàn)數(shù)學在實際工作中的廣泛應用，編寫了一些體現(xiàn)數(shù)學應用的例、習題。如經(jīng)典的等周問題、盒子體積問題、施工隊臨時生活區(qū)選點問題、關于面積和體積的最值問題。通過這些簡單的應用問題，使學生體會數(shù)學在實踐中的作用。
四、對教學的幾個建議
(一)注意把握教學要求
無論是不等式還是數(shù)學歸納法，都已經(jīng)發(fā)展成為內(nèi)容非常豐富的初等數(shù)學分支，也出版了一些專門的論著，老師們對于這些內(nèi)容一般都有豐富的教學經(jīng)驗，很容易把這些內(nèi)容作一
些拓展和補充。所以，在這個專題的教學中，要特別注意把握好教學要求，不要隨意提高教學要求，而應該按照數(shù)學課程標準的要求來控制教學的深廣度。課程標準對于本專題的幾個教學內(nèi)容都明確的教學要求，如：對于解含有絕對值的不等式，只要求能解幾種特殊類型的不等式，不要求學生會解各種類型的含有絕對值的不等式。對于數(shù)學歸納法在證明不等式的要求也只要求會證明一些簡單問題。只要求通過一些簡單問題了解證明不等式的基本方法，會利用所學的不等式證明一些簡單不等式，等等。
另外，在不等式和數(shù)學歸納法的許多問題中，常常需要一些技巧性比較強的恒等變形，在本專題的教學中則要控制這方面的教學要求，不要使教學陷于過于形式化和復雜的恒等變形的技巧之中，教學中不要補充一些代數(shù)恒等變形過于復雜或過于技巧化的問題和習題，以免沖淡對于基本思想方法的理解，也不要引入一些過于專業(yè)和形式化、抽象化的數(shù)學符號語言，對于數(shù)學歸納法的理解，不必要求學生對于方法的理解水平提高到專業(yè)數(shù)學工作者才需要的數(shù)學理論高度，而只需要通過一些學生容易理解的數(shù)學問題中加深對于方法的理解和掌握。對于大多數(shù)的學生來說，要重視通過比較簡單的問題讓學生認識、理解和掌握這部分的基本數(shù)學思想和方法。
當然，對于部分確有余力的學生，仍可以適當對于教學內(nèi)容作一些拓展，如可以介紹一般的均值不等式的證明及其應用，以使學生對于這一重要不等式有一個比較完整的了解。
(二)要抓住教學重點
無論對于基本不等式、柯西不等式、排序不等式，還是解含有絕對值的不等式，不等式證明的方法，或數(shù)學歸納法的教學，都要抓住教學重點，抓住基本思想基本方法的教學，力求以簡馭繁。對于幾個重要不等式，最基本的是二元(二維)的情況，核心的思想也是在二元(二維)的不等式中得到直接的體現(xiàn)；對于不等式的證明的最基本的方法是比較法；解含有絕對值的不等式的最基本和有效的方法是分區(qū)間來加以討論，把含有絕對值的不等式轉化為不含絕對值的不等式；讓學生能對數(shù)學歸納法思想真正理解和掌握，就能使學生靈活地加以應用。這樣，學生就能掌握本專題最基本也是最重要的知識。
第二篇：數(shù)學選修4-5不等式選講教案
選修4-5 不等式選講
課 題：
不等式的基本性質
二、不等式的基本性質：
1、實數(shù)的運算性質與大小順序的關系：
數(shù)軸上右邊的點表示的數(shù)總大于左邊的點所表示的數(shù)，從實數(shù)的減法在數(shù)軸上的表示可知：
a?b?a?b?0 a?b?a?b?0 a?b?a?b?0
得出結論：要比較兩個實數(shù)的大小，只要考察它們的差的符號即可。
2、不等式的基本性質：
①、如果a>b，那么bb。(對稱性)②、如果a>b，且b>c，那么a>c，即a>b，b>c?a>c。③、如果a>b，那么a+c>b+c，即a>b?a+c>b+c。
推論：如果a>b，且c>d，那么a+c>b+d．即a>b，c>d ?a+c>b+d． ④、如果a>b，且c>0，那么ac>bc；如果a>b，且c<0，那么ac ⑤、如果a>b >0，那么an?bn(n?N，且n>1)⑥、如果a>b >0，那么na?nb(n?N，且n>1)。 課 題： 含有絕對值的不等式的證明 一、引入： 證明一個含有絕對值的不等式成立，除了要應用一般不等式的基本性質之外，經(jīng)常還要用到關于絕對值的和、差、積、商的性質： （1）a?b?a?b（2）a?b?a?b（3）a?b?a?b（4） ab?a(b?0)b請同學們思考一下，是否可以用絕對值的幾何意義說明上述性質存在的道理？ 實際上，性質a?b?a?b和 ab?a(b?0)可以從正負數(shù)和零的乘法、除法法則直接推出；而b絕對值的差的性質可以利用和的性質導出。因此，只要能夠證明a?b?a?b對于任意實數(shù)都成立即可。我們將在下面的例題中研究它的證明。 現(xiàn)在請同學們討論一個問題：設a為實數(shù)，a和a哪個大？ 顯然a?a，當且僅當a?0時等號成立（即在a?0時，等號成立。在a?0時，等號不成立）。同樣，a??a.當且僅當a?0時，等號成立。 含有絕對值的不等式的證明中，常常利用a??a、a??a及絕對值的和的性質。 二、典型例題： 例 1、證明（1）a?b?a?b，（2）a?b?a?b。 證明（1）如果a?b?0,那么a?b?a?b.所以a?b?a?b?a?b.如果a?b?0,那么a?b??(a?b).所以a?b??a?(?b)??(a?b)?a?b （2）根據(jù)（1）的結果，有a?b??b?a?b?b，就是，a?b?b?a。 所以，a?b?a?b。 探究：試利用絕對值的幾何意義，給出不等式a?b?a?b的幾何解釋？ 含有絕對值的不等式常常相加減，得到較為復雜的不等式，這就需要利用例1，例2和例3的結果來證明。 cc例 4、已知 x?a?,y?b?，求證(x?y)?(a?b)?c.22證明(x?y)?(a?b)?(x?a)?(y?b)?x?a?y?b（1） ?x?a?cc,y?b?，22cc∴x?a?y?b???c（2） 22由（1），（2）得：(x?y)?(a?b)?c aa,y?.求證：2x?3y?a。46aaaa證明 ?x?,y?，∴2x?,3y?，4622aa由例1及上式，2x?3y?2x?3y???a。 22注意： 在推理比較簡單時，我們常常將幾個不等式連在一起寫。但這種寫法，只能用于不等號方向相同的不等式。 課 題： 含有絕對值的不等式的解法 一、引入： 在初中課程的學習中，我們已經(jīng)對不等式和絕對值的一些基本知識有了一定的了解。在此基礎上，本節(jié)討論含有絕對值的不等式。 關于含有絕對值的不等式的問題，主要包括兩類：一類是解不等式，另一類是證明不等式。下面分別就這兩類問題展開探討。 1、解在絕對值符號內(nèi)含有未知數(shù)的不等式（也稱絕對值不等式），關鍵在于去掉絕對值符號，化成普通的不等式。主要的依據(jù)是絕對值的意義.請同學們回憶一下絕對值的意義。例 5、已知x??x，如果x?0? 在數(shù)軸上，一個點到原點的距離稱為這個點所表示的數(shù)的絕對值。即x??0，如果x?0。 ??x，如果x?0? 2、含有絕對值的不等式有兩種基本的類型。 第一種類型。設a為正數(shù)。根據(jù)絕對值的意義，不等式x?a的解集是，如{x|?a?x?a}，它的幾何意義就是數(shù)軸上到原點的距離小于a的點的集合是開區(qū)間（－a，a）圖所示。 ?a 圖1-1 a 如果給定的不等式符合上述形式，就可以直接利用它的結果來解。 第二種類型。設a為正數(shù)。根據(jù)絕對值的意義，不等式x?a的解集是 {x|x?a或x??a} 它的幾何意義就是數(shù)軸上到原點的距離大于a的點的集合是兩個開區(qū)間(??,?a),(a,?)的并集。如圖1-2所示。 –a a 圖1-2 同樣，如果給定的不等式符合這種類型，就可以直接利用它的結果來解。課 題： 平均值不等式 一、引入： 1、定理1：如果a,b?R，那么a2?b2?2ab（當且僅當a?b時取“=”） 證明：a2?b2?2ab?(a?b)2 當a?b時，(a?b)2?0?22??a?b?2ab 2當a?b時，(a?b)?0?1．指出定理適用范圍：a,b?R 強調取“=”的條件a?b。 2、定理2：如果a,b是正數(shù)，那么 a?b）?ab（當且僅當a?b時取“=”證明：∵(a)2?(b)2?2ab ∴a?b?2ab 即：a?ba?b?ab 當且僅當a?b時 ?ab 22 注意：1．這個定理適用的范圍：a?R?； 2．語言表述：兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。 3、定理3：如果a,b,c?R?，那么a3?b3?c3?3abc（當且僅當a?b?c時取“=”） 證明：∵a3?b3?c3?3abc?(a?b)3?c3?3a2b?3ab2?3abc ?(a?b?c)[(a?b)2?(a?b)c?c2]?3ab(a?b?c) ?(a?b?c)[a2?2ab?b2?ac?bc?c2?3ab] ?(a?b?c)(a2?b2?c2?ab?bc?ca) ?1(a?b?c)[(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2] 2∵a,b,c?R? ∴上式≥0 從而a3?b3?c3?3abc 指出：這里a,b,c?R? ∵a?b?c?0就不能保證。 推論：如果a,b,c?R?，那么 a?b?c3（當且僅當a?b?c時取“=”）?abc。證明：(3a)3?(3b)3?(3c)3?33a?3b?3c ?a?b?c?33abc a?b?c3?abc 34、算術—幾何平均不等式： ?①．如果a1,a2,?,an?R?,n?1且n?N? 則：na1?a2???an叫做這n個正數(shù)的算術平均數(shù)，na1a2?an叫做這n個正數(shù)的幾何平均數(shù)； ②．基本不等式： a1?a2???an≥na1a2?an（n?N*,ai?R?,1?i?n） n這個結論最終可用數(shù)學歸納法，二項式定理證明（這里從略）語言表述：n個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。 a?b③．?ab的幾何解釋： 2以a?b為直徑作圓，在直徑AB上取一點C，過C作弦DD’?AB 則CD2?CA?CB?ab，a?b從而CD?ab，而半徑?CD?ab。 2課 題： 不等式的證明方法之一：比較法 課 題： 不等式的證明方法之二：綜合法與分析法 課 題： 不等式的證明方法之三：反證法 課 題： 不等式的證明方法之四：放縮法與貝努利不等式 DAaOCbB 4 高二數(shù)學選修4-5《不等式選講》測試題 一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分） 1、已知集合A?{x|x?0},B?{x|?1?x?2}，則A?B?（） A、{x|x??1}B、{x|x?2}C、{x|0?x?2}D、{x|?1?x?2} 2、欲證2?3?A、2?7?? 26?7，只需證（） B、?2?6?? 2? 3?6? ?? 2? 3?7 ? C、2?3?? 2D、?2?3?6????7? x?y3、設x?0，y?0，A? 1?x?y，B? x1?x ? y1?y，則A、B的大小關系是（A、A?BB、A?BC、A?BD、不能確定 4、若n?0，則n? 32n 2的最小值為（） A、2B、4C、6D、85、如果命題p(n)對n?k成立，則它對n?k?2也成立，又命題p(n)對n?2成立，則下列結論正確的是（） A、命題p(n)對所有正整數(shù)n成立B、命題p(n)對所有大于2的正整數(shù)n成立C、命題p(n)對所有奇正整數(shù)n成立D、命題p(n)對所有偶正整數(shù)n成立 6、已知0?a,b?1，用反證法證明a(1?b),b(1?a)不能都大于時，反設正確的是（） 41A、a(1?b),b(1?a)都大于 4，B、a(1?b),b(1?a)都小于 414 C、a(1?b),b(1?a)都大于或等于D、a(1?b),b(1?a)都小于或等于 7、已知a,b都是實數(shù)，那么“a2?b2”是“a?b”的（）A、充分而不必要條件B、必要而不充分條件 C、充分且必要條件D、既不充分也不必要條件 8、已知不等式?x?y??則實數(shù)a的最大值為（）?????a對任意正實數(shù)x,y恒成立，xy??A、2B、4C、2D、16 9、已知a,b?R，且ab ?0 ?11?，則（） A、a?b?a?b B、a?b ?a?b C、a?b ?a?b D、a?b?a?b10、已知a?0，b?0滿足a?b?2，則（）A、ab? 2B、ab? 2C、a2?b2?2D、a2?b2? 4二、填空題（共7小題，每小題3分，共21分） 11、若不等式|ax?2|?6的解集是（-∞，-1]?[2,??)，則a的值是___________.12、函數(shù)y?2?x?2x?1的最大值為：； 13、用數(shù)學歸納法證明n?N*,1?12?13??? 1n? n時，從“n?k”到 “n?k?1”，左邊需添加的代數(shù)式為：； 14、經(jīng)計算發(fā)現(xiàn)下列不等式正確：2??2，4.5?.5?2，3? 2? ? 2?2，??，根據(jù)以上不等式的規(guī)律，請你寫出一個類似的不 等式：； 15、有4人各拿一只水桶去接水，設水龍頭注滿每個人的水桶分別需要5s，4s，3s，7s，每個人接完水后就離開，則他們總的等候時間最短為：； 16、若由不等式x? 1x ?2，x? 4x ?3，??，可以推廣到x? ax n ?n?1a?R ? ? ?，則 實數(shù)a的值為：； 17、如果關于x的不等式|x-4|-|x+5|?b的解集為空集,則參數(shù)b的取值范圍為.三、解答題（本大題5小題，共39分） 四、18、（8分）已知m,n?R?，求證：m3?n3?m2n?mn219、（8分）解不等式： |x?1|?|x?2|?5|x?1|?5?x|x?2|?5?x20、（8分）①、已知：a,b?R?，a?b?4，證明②、已知：a,b,c?R?，a?b?c?9，證明 21、（8分）已知數(shù)列?an?的前n項和為Sn,Sn?（1）求a1,a2,a3； （2）猜想數(shù)列?an?的通項公式并證明你的結論。 3(an?1)(n?N).? 1a1c ? 1b ?1； 1a ? 1b ? ?1； 并類比上面的結論，寫出推廣后的一般性結論（不需證明）。 22、(本題滿分12分）(1)證明:5??3?8 (2)已知a,b,c?R?，且a?b?c?1，求證：(?1)(?1)(?1)?8 a b c 附加題、（本 題滿 分122(n?1?1)? 1?1??? 1?2n(n?N) 2n） 分）用放縮法證: 明 高二數(shù)學選修4-5《不等式選講》結業(yè)測試參考答案 二、填空題（共7小題，每小題3分，共21分） 11、；12、13、14、5??2(答案不唯一)；15、16、nn； 17、； 第Ⅱ卷（共5題，總分39分） 三、解答題（本大題5小題，共39分） 18、已知m,n?R?，求證：m3?n3?m2n?mn 2方法一：作差比較：m3?n3?(m2n?mn2)???(m?n)(m?n)2 方法二：排序不等式：不妨設m?n，?m2?n2 根據(jù)排序不等式：m3?n3?m?m2?n?n2?m2n?mn219、解不等式： |x?1|?|x?2|?5 解：方法一：零點分段討論：{x|?3?x?2} 方法二：數(shù)形結合法：{x|?3?x?2} 20、①、已知：a,b?R?，a?b?4，證明②、已知：a,b,c?R?，a?b?c?9，證明 1a1a??1b1b?1； ?1c?1； 1k? 1； 并類比上面的結論，寫出推廣后的一般性結論（不需證明）。 解：①、根據(jù)柯西不等式： (a?b)（1a?1b)?(a? 1a?b? 1b) ?4，?a?b?4，? 1a ? 1b ? 1②、根據(jù)柯西不等式： (a?b?c)（1a?1b?1c)?(a? 1a?b? 1b?c? 1c) ?9，?a?b?c?9，? 1a ? 1b ? 1c ? 1可以推廣：a1?a2???an?n，則： 1a1 ? 1a 2??? 1an ?1； 21、已知數(shù)列?an?的前n項和為Sn,Sn? (an?1)(n?N).? （1）求a1,a2,a3；（2）猜想數(shù)列?an?的通項公式并證明你的結論。解:(1)由S1?又S2? 又S3? 131313 (a1?1),得a1? (a1?1)∴a1??13 (a2?1),即a1?a2?(a2?1),得 a2?13 .18 (a3?1),即a1?a2?a3?(a3?1),得 a3??1 .(2)猜想數(shù)列?an?的通項公式：an?(?)n 證法一：數(shù)學歸納法：當n=k+1時,ak?1?Sk?1?Sk??ak?1? ak?1?? 1313 (ak?1?1)?ak?? (ak?1)?12 k ak?1?12) ? ak? ? ak?1? ak ?(?),ak?1?(? k?1，命題成立。 證法二：當n>1時,an?Sn?Sn?1?得 anan?1 ?? 12,所以?an?是首項為? (an?1)? 1312 (an?1?1)，公比為?的等比數(shù)列.所以，an?(?)n ２００６年４月８日 在全省高中數(shù)學選修模塊教學研討會上對選修系列4教學指導研討的發(fā)言 吳公強 按照我省及寧夏回族自治區(qū)高中數(shù)學選修４專題系列選課方案，及０７年高考說明的要求，我省統(tǒng)一選學４－１幾何證明選講 ４－２矩陣與變換 ４－４坐標系與參數(shù)方程 ４－５不等式選講 四門課程，以下我代表中心組就這四門課程的定位、教學目標、教學法及復習迎考建議，借這個機會分專題同同志們一起進行研討． 關于選修4-5專題：不等式選講的教學研究 一、學習本課程已有的相關知識準備 （一）初中課標要求：不等式與不等式組 ①能夠根據(jù)具體問題中的大小關系了解不等式的意義，并探索不等式的基本性質。②會解簡單的一元一次不等式，并能在數(shù)軸上表示出解集。會解由兩個一元一次不等式組成的不等式組，并會用數(shù)軸確定解集。 ③能夠根據(jù)具體問題中的數(shù)量關系，列出一元一次不等式和一元一次不等式組，解決簡單的問題。 （一）初中課標要求：不等式與不等式組 （二）高中必修 5不等式（約16課時） （1）不等關系 通過具體情境，感受在現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的不等關系，了解不等式（組）的實際背景。 （2）一元二次不等式 ①經(jīng)歷從實際情境中抽象出一元二次不等式模型的過程。 ②通過函數(shù)圖象了解一元二次不等式與相應函數(shù)、方程的聯(lián)系。 ③會解一元二次不等式，對給定的一元二次不等式，嘗試設計求解的程序框圖。 （3）二元一次不等式組與簡單線性規(guī)劃問題 ①從實際情境中抽象出二元一次不等式組。 ②了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組 ③從實際情境中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題，并能加以解決 （4）基本不等式：ab?a?ba，b?0??2。 ①探索并了解基本不等式的證明過程。 ②會用基本不等式解決簡單的最大（?。┲祮栴}（參見例4）。 二、課程標準內(nèi)容與要求 在自然界中存在著大量的不等量關系和等量關系，不等關系和相等關系是基本的數(shù)學關系。它們在數(shù)學研究和數(shù)學應用中起著重要的作用。 本專題將介紹一些重要的不等式和它們的證明、數(shù)學歸納法和它的簡單應用。本專題特別強調不等式及其證明的幾何意義與背景，以加深學生對這些不等式的數(shù)學本質的理解，提 高學生的邏輯思維能力和分析解決問題的能力。 1.回顧和復習不等式的基本性質和基本不等式。 2.理解絕對值的幾何意義，并能利用絕對值不等式的幾何意義證明以下不等式： （1）a?b?a?b； （2）a?b?a?c?c?b； （3）會利用絕對值的幾何意義求解以下類型的不等式： ax?b?c； ax?b?c； x?c?x?b?a。 3.認識柯西不等式的幾種不同形式。理解它們的幾何意義。 （1）證明：柯西不等式向量形式：??·?。 2a（2）證明：? （3）證明： 2?b2c2?d2??ac?bd????。 x1?x2?2??y1?y2? 2??x2?x3?2??y2?y3?2 ?x1?x3?2??y1?y3?2 （通常稱作平面三角不等式）。 4.用參數(shù)配方法討論柯西不等式的一般情況： ?n?22ab?ab??ii??i·?i?i?1?。i?1i? 15.用向量遞歸方法討論排序不等式。 6.了解數(shù)學歸納法的原理及其使用范圍，會用數(shù)學歸納法證明一些簡單問題。 7.會用數(shù)學歸納法證明貝努利不等式： n1?x?1?nx（x??1，x?0，n為大于1的正整數(shù)）??。nn2 了解當n為大于1的實數(shù)時貝努利不等式也成立。 8.會用上述不等式證明一些簡單問題。能夠利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函數(shù)的極值。 9.通過一些簡單問題了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法。 三、教學建議 1.在本專題教學中，教師應引導學生了解重要的不等式都有深刻的數(shù)學意義和背景，例如本專題給出的不等式大都有明確的幾何背景。學生在學習中應該把握這些幾何背景，理解這些不等式的實質。 2.利用代數(shù)恒等變換以及放大、縮小方法是證明不等式的常用方法，例如，比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法等，在很多情況下需要一些前人為我們創(chuàng)造的技巧，對于專門從事某些數(shù)學領域研究的人們掌握這些技巧是極為重要的。但是，對大多數(shù)學習不等式的人來說，常常很難從這些復雜的代數(shù)恒等變換中看到數(shù)學的本質，對他們更為重要的是理解這些不等式的數(shù)學思想和背景。所以，本專題盡力使用幾何或其他方法來證明這些不等式，使學生較為容易地理解這些不等式以及證明的數(shù)學思想，不對恒等變換的難度特別是一些技巧做更多的要求，不希望不等式的教學陷在過于形式化的和復雜的恒等變換的技巧之中。要求教材的編寫者和教師不要選擇那些代數(shù)恒等變換比較復雜或過于技巧化的問題或習題。 3.數(shù)學歸納法是重要的數(shù)學思想方法，教師應通過對一些簡單問題的分析，幫助學生掌握這種思想方法。在利用數(shù)學歸納法解決問題時，常常需要進行一些代數(shù)恒等變換。要求教材的編寫者和教師不要選擇那些代數(shù)恒等變換比較復雜或過于技巧化的問題或習題，以免沖淡了對數(shù)學歸納法思想的理解。 4.完成一個學習總結報告。報告應包括三方面的內(nèi)容：（1）知識的總結。對本專題介紹的不等式中蘊涵的數(shù)學思想方法和數(shù)學背景進行總結。（2）拓展。通過查閱資料、調查研究、訪問求教、獨立思考，進一步探討不等式的應用。（3）對不等式學習的感受、體會。 5、考試內(nèi)容： 絕對值不等式． 不等式的基本證明方法：比較法、綜合法、分析法． 6、考試要求：（１）理解絕對值的幾何意義，并了解下列不等式成立的幾何意義及取等號的條件： a?b?a?b?a,b?R?；a?b?a?c?c?b?a,b?R?． （２）會利用絕對值的幾何意義求解以下類型的不等式． ax?b?c ax?b?c x?c?x?b?a （３）能夠利用平均值不等式求一些特定函數(shù)的極值，會用比較法、綜合法，分析法證明簡單的不等式． 四、參考例題 １、設0?x?2,求函數(shù)f(x),并求出相應的x的值。 ２、已知x>1 , y>1 且xy?10, 求 lg x lg y的最大值。 4． 選修4-5不等式選講測試題 一.選擇題： 1.若a,b是任意的實數(shù),且a>b,則()A．a(chǎn)2?b2B．2.若 1a?1b ?0,則下列不等式中 b 1a1b ?1C． lg(a-b)>0D．()?() 22a (1)a?b?ab (2)|a|>|b|(3)a ba ? ab ? 2正確的個數(shù)是() A．1B． 2C． 3D．4 3.不等式|x-1|+|x+2|?5的解集為() A． ???,?2???2,???B． ???,?1???2,???C． ???,?2???3,???D．???,?3???2,??? 4.下列結論不正確的是()A．x,y為正數(shù),則 xy?yx ?2B． x?2x? 122 ?2C．lgx?logx10?2D．a(chǎn)?0,則(1?a)(1? 1a)? 45.如果a>0,且a?1,M?loga(a3?1),N?loga(a2?1),那么() A．M>NB．M 32n 2的最小值為() C．6 D． 8 B．4 7.已知3x+y=10,則x2?y2的最小值為()A． B．10C．1D．100 8.函數(shù)y=5x?1?25?x的最大值為() A．108B．63C．10D．279.已知0?a,b?1，用反證法證明a(1?b),b(1?a)不能都大于A．a(chǎn)(1?b),b(1?a)都大于 時，反設正確的是() 14，B．a(chǎn)(1?b),b(1?a)都小于 C．a(chǎn)(1?b),b(1?a)都大于或等于D．a(chǎn)(1?b),b(1?a)都小于或等于 10.已知a,b?R，且abA．a(chǎn)?b ?a?b ?0，則() ?a?b B．a(chǎn)?b aa?b?c C．a(chǎn)?b cc?d?a ?a?b D．a(chǎn)?b ?a?b 11.a,b,c?R ?，設 S?? bb?c?d ?? dd?a?b，則下列判斷中正確的是() A． 0?S?1B． 1?S?2C． 2?S?3D． 3?S?4 1111 312．用數(shù)學歸納法證明不等式＋＋…＋<(n≥2，n∈N*)的過程中，由n＝k遞推 n＋1n＋22n14 到n＝k＋1時不等式左邊() A．增加了一項B．增加了兩項、2?k＋1?2k＋12k＋2 C．增加了B中兩項但減少了一項D．以上各種情況均不對 k＋1二．填空題： 13.已知2x?3y?6z?12，求x2?y2?z2的最小值是 14.已知a1=,an+1= 3anan?3,則an=____________ 15.如果關于x的不等式|x-4|-|x+5|?b的解集為空集,則b的取值范圍為16.設A? ? ?1 ? ?2 ???? ?1，則A與1的大小關系是_____________ 三．解答題： 17．（12分）（1）證明：a2?b2?2(2a?b)?5(2)證明：5??3?8 18.（12分）用數(shù)學歸納法證明：1? 12?13??? n ? n?22,?n?N,n?2? 19.（12分）已知函數(shù)f(x)＝|x－2|－|x－5|.(1)證明：－3≤f(x)≤3；(2)求不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集． 20.（12分）已知對于任意正數(shù)a1,a2,a3,有不等式:a1? 1a1 ?1,(a1?a2)?（1a1 ?1a2)?4,(a1?a2?a3)?（1a1 ? 1a2 ? 1a3)?9,… (1)從上述不等式歸納出一個適合任意正數(shù)a1,a2,...,an的不等式.(2)用數(shù)學歸納法證明你歸納得到的不等式.21（22分）如圖，四邊形PCBM是直角梯形，∠PCB＝90°，∠MBC＝45°,PM∥BC，PM＝1，BC＝2，又AC＝1，∠ACB＝120°，AB⊥PC，直線AM與直線PC所成的角為60°.（1）求證：平面PAC⊥平面ABC； （2）求異面直線PA和BC所成角的余弦值； （3）求直線AB與平面MAC所成角的正弦值；（4）求二面角M?AC?B的余弦值；（5）求三棱錐P?MAC的體積。第三篇：高二數(shù)學選修4-5《不等式選講》模塊結業(yè)測試題1
第四篇：-新課標人教A版選修4-5不等式選講教學指導
第五篇：選修4-5----不等式選講測試題
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