第一篇：高考幾何證明選講分析

幾何證明選講

1．（2010·陜西高考理科·Ｔ１5）如圖,已知Rt?ABC的兩條直角邊AC,BC 的長(zhǎng)分別為3cm,4cm,以AC為直徑的圓與AB交于點(diǎn)D, 則BDDA

?【命題立意】本題考查幾何證明選做題的解法，屬送分題 【思路點(diǎn)撥】條件?Rt?ADC?Rt?ADC?Rt?ACB?

ADAC

?ACAB

?AD?BD?結(jié)論

【規(guī)范解答】因?yàn)橐訟C為直徑的圓與AB交于點(diǎn)D,所以?ADC?900,?ADC為Rt?ADC，ADAC

ACAB

AC

2?Rt?ADC?Rt?ACB,??,AD?

AB

?

5,BD?AB?AD?5?

?

165，?

BDDA

?

169169

【答案】

2．（2010·陜西高考文科·Ｔ１5）如圖，已知Rt△ABC的兩條直角邊AC，BC的長(zhǎng)分別為3cm，4cm，以AC為直徑的圓與AB交于點(diǎn)D，則BD＝cm.【命題立意】本題考查幾何證明選做題的解法，屬送分題 【思路點(diǎn)撥】條件?Rt?ADC?Rt?ADC?Rt?ACB?

ADAC

?ACAB

?AD?BD

【規(guī)范解答】因?yàn)橐訟C為直徑的圓與AB交于點(diǎn)D,所以?ADC?90,?ADC為Rt?ADC，?Rt?ADC?Rt?ACB,?

165

ADAC

?

ACAB,AD?

AC

2AB

?

95,BD?AB?AD?5?

?

165，【答案】

3．（2010·北京高考理科·Ｔ１2）如圖，?O的弦ED，CB的延長(zhǎng)線 交于點(diǎn)A。若BD?AE，AB＝4, BC＝2, AD＝

3,則DE＝；CE＝。【命題立意】本題考查幾何證明的知識(shí)。運(yùn)用割線定理是解決本題的突破口。

【思路點(diǎn)撥】本題可由相交弦定理求出DE，再利用三個(gè)直角三角形Rt?ABD,Rt?BDE ,Rt?BCE中求CE。

【規(guī)范解答】由割線定理得，AB?AC?AD?AE，即4?6?3?AE，得AE?8。DE?8?3?5。連接BE，因?yàn)锽D?AE，所以BE為直徑，所以?BCE?900。在Rt?

ABD中，BD?在Rt?

BDE中BE?

?Rt?

BCE中，CE?

?

?。

A

【答案】527

4．（2010·天津高考文科·Ｔ１1）如圖，四邊形ABCD是圓O的內(nèi)接四邊形，延長(zhǎng)AB和 DC相交于點(diǎn)P。若PB=1，PD=3，則

BCAD的值為。

【命題立意】考查三角形的相似性質(zhì)的應(yīng)用?！舅悸伏c(diǎn)撥】利用相似三角形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化?！疽?guī)范解答】由題意可知?BCP∽?ADP相似，所以

BPBC

?13 PDAD

?

1BC

?

3AD

?

BCAD

?1

3。

【答案】

5．（2010·天津高考理科·Ｔ１4）如圖，四邊形ABCD是圓O的內(nèi)接四邊形，延長(zhǎng)AB和DC相交于點(diǎn)P，若

PBPA

=

1PC1BC,=,則的值為2PD3AD

【命題立意】考查三角形的相似性質(zhì)的應(yīng)用。【思路點(diǎn)撥】利用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化?！疽?guī)范解答】由題意可知?BCP∽?ADP相似，所以

BCAD

?PCAP

?PBPD,由

PCAP

?

PBPD

及已知條件

PBPA

=

1PC

1,= 2PD3

可得

PCPB

=

23?

PCPB

=,又

BCAD

?

PCPB,?

BCAD

?。

【答案】

66．（2010·廣東高考文科·Ｔ14）如圖3，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD=a，CD=

a2，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為線段AB，CD的中點(diǎn)，則EF=.【命題立意】本題主要考察平面幾何中直角梯形以及三角形中位線的性質(zhì).【思路點(diǎn)撥】利用直角梯形的性質(zhì)，求出DB，再利用三角形中位線的性質(zhì)，求出EF.【規(guī)范解答】過連接DE，則四邊形EBCD為矩形，所以DE?AB且

EB?DC?

a2，所以，? AB?a, ? AE?EB?

a2, 所以?ABD是以AB為底的等腰三角形，即：

12DB?

a2.又點(diǎn)E，F(xiàn)分別為線段AB，CD的中點(diǎn)，所以EF為?ABD的中位線，所以EF?DA?DB=a，【答案】2

a

7.（2010·廣東高考理科·Ｔ14）如圖3，AB，CD是半徑為a的圓O的兩條弦，它們相交于AB的中點(diǎn)P，PD=

2a3，∠OAP=30°，則CP＝

______.【命題立意】本題考察垂徑定理及相交弦定理.【思路點(diǎn)撥】由垂徑定理得OP?AB，算出AP，再由相交弦定理求出CP.【規(guī)范解答】因?yàn)镻為AB的中點(diǎn)，由垂徑定理得OP?AB，在Rt?

OPA中，BP?AP?a?cos30?

?

a，由相交弦定理得：BP?AP?CP?

DP，即2

a)?CP?

a，解得CP?【答案】

988

a..9a

8.（2010·江蘇高考·Ｔ2１）AB是圓O的直徑，D為圓O上一點(diǎn)，過D作圓O的切線交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)C，若DA=DC，求證：AB=2BC。

【命題立意】本題主要考查三角形、圓的有關(guān)知識(shí)，考查推理論證能力。【思路點(diǎn)撥】利用圓心角和圓周角之間的關(guān)系證明OB=BC=OD=O即可.【規(guī)范解答】方法一：連結(jié)OD，則：OD⊥DC，又OA=OD，DA=DC，所以∠DAO=∠ODA=∠DCO，∠DOC=∠DAO+∠ODA=2∠DCO，所以∠DCO=30，∠DOC=60，所以O(shè)C=2OD，即OB=BC=OD=OA，所以AB=2BC。方法二：連結(jié)OD、BD。

因?yàn)锳B是圓O的直徑，所以∠ADB=90，AB=2 OB。因?yàn)镈C 是圓O的切線，所以∠CDO=900。又因?yàn)镈A=DC，所以∠DAC=∠DCA，于是△ADB≌△CDO，從而AB=CO。即2OB=OB+BC，得OB=BC。故AB=2BC。

9．（2010·遼寧高考理科·Ｔ22）如圖，?ABC的角平分線AD 的延長(zhǎng)線交它的外接圓于點(diǎn)E（I）證明：?ABE

?ADC

2AD?AE，求?BAC的大小。

（II）若?ABC的面積S?

【命題立意】本題考查了幾何證明，相似三角形判定和性質(zhì)，圓周角定理，考查了三角形的面積公式等。

【思路點(diǎn)撥】（I）先相等的兩角，再證相似。

（II）先由三角形相似，得到AB·AC=AD·AE再比較三角形的面積公式，得到sin∠BAC,進(jìn)而

求出∠BAC。

【規(guī)范解答】

(I)由已知條件，可得?BAE＝?CAD因?yàn)?AEB與?ACB是同弧上的圓周角，所以?AEB＝?ACD

所以△ABE∽△ADC（II）因?yàn)椤鰽BE∽△ADC 所以

ABAE12＝ADAC，即AB?AC＝AD?AE，12

AD?AE，又S＝AB?ACsin?BAC,且S＝

所以AB?ACsin?BAC＝AD?AE，所以sin?BAC?1,又?BAC為三角形的內(nèi)角，所以?BAC＝90。

o

?，AC?BD10.（2010 ?海南高考?理科T22）如圖：已知圓上的弧?

過C點(diǎn)的圓的切線與BA的延長(zhǎng)線交于 E點(diǎn)，證明：

（Ⅰ）?ACE=?BCD.（Ⅱ）BC2=BE?CD.【命題立意】本題主要考查了圓的切線、等弧所對(duì)的圓心角相等等知識(shí).【思路點(diǎn)撥】熟練利用等弧所對(duì)的圓心角相等，判斷出三角形相似，然后證明問題.?,所以?BCD??ABC.AC?BD【規(guī)范解答】（Ⅰ）因?yàn)?

又因?yàn)镋C與圓相切于點(diǎn)C，故?ACE??ABC

所以?ACE??BCD.（Ⅱ）因?yàn)?ECB??CDB,?EBC??BCD,所以?BDC??ECB,故

BCBE

?

CDBC

.即BC?BE?CD.11．（2010·湖南高考理科·Ｔ4）如圖1所示，過PA=2，點(diǎn)P到

外一點(diǎn)P作一條直線與

交于A,B兩點(diǎn)。已知的切線上PT=4，則弦的長(zhǎng)為。

【命題立意】以直線和圓立意，考查處理平面問題的一種方法：平面幾何法.【思路點(diǎn)撥】割切→切割線定理

【規(guī)范解答】∵PT=4，PA=2，PT2=PA·PB，∴PB=8，∴AB=PB-PA=6，∴弦長(zhǎng)

AB=6

【答案】6

【方法技巧】弦→連接弦中點(diǎn)和圓心，切→連接切點(diǎn)和圓心，聯(lián)想弦切角等于同弧所對(duì)的圓周角，割→切割線定理.

第二篇：幾何證明選講

幾何證明選講

2007年：

15．（幾何證明選講選做題）如圖4所示，圓O的直徑AB?6，C為圓周上一點(diǎn)，BC?3，過C作圓的切線l，過A作l的 垂線AD，垂足為D，則?DAC?

A

2008年：

15．（幾何證明選講選做題）已知PA是圓O的切線，切點(diǎn)為A，PA=2．AC是圓O的直徑，PC與圓O交于B點(diǎn)，PB=1，則圓O的半徑R=

圖

4l

2009年：

15.(幾何證明選講選做題)如下圖，點(diǎn)A、B、C是圓O上的點(diǎn)，且AB=4，?ACB?30，則圓O的面積等于

o

2010年：

14．（幾何證明選講選做題）如上圖3，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD=a，CD=

a，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為線段AB，AD的中點(diǎn)，則EF=2

2011年：

15．（幾何證明選講選做題）如圖，在梯形ABCD中，AB//CAD,B?4,C?D2,分別為E,F，上的點(diǎn)，且ADBC，?

3EF，EFAB

則梯形ABFE與梯形EFCD的面積比為

A

2012年：

15．（幾何證明選講選做題）如圖3，直線PB與圓O相切與點(diǎn)B，D是弦AC上的點(diǎn)，?PBA??DBA，若AD?m,AC?n，則AB

圖3

2013年：

15．（幾何證明選講選做題）如圖3，在矩形ABCD

中，AB?BC?3，BE?AC，垂足為E，則ED?

圖3

第三篇：2012高考數(shù)學(xué)幾何證明選講

幾何證明選講

模塊點(diǎn)晴

一、知識(shí)精要

值叫做相似比（或相似系數(shù)）。

由于從定義出發(fā)判斷兩個(gè)三角形是否相似，需考慮

6個(gè)元素，即三組對(duì)應(yīng)角是否分別相等，三組對(duì)應(yīng)邊是否分別成比例，顯然比較麻煩。所以我們?cè)?jīng)給出過如下幾個(gè)判定兩個(gè)三角形相似的簡(jiǎn)單方法：

（1）兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似；

（2）兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似；

（3）三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似。

形與三角形相似。

對(duì)于任意兩個(gè)三角形，如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)

對(duì)于任意兩個(gè)三角形，如果一個(gè)三角形的兩邊和另一個(gè)三角形的兩邊對(duì)應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似。簡(jiǎn)述為：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似。

對(duì)于任意兩個(gè)三角形，如果一個(gè)三角形的三條邊和另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)

條直線平行于三角形的第三邊。

1）如果兩個(gè)直角三角形有一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等，那么它們相似；

（2）如果兩個(gè)直角三角形的兩條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么它們相似。

（1）相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)平分線的比都等于相似比；

（2）相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；

（3）相似三角形面積的比等于相似比的平方。

相似三角形外接圓的直徑比、周長(zhǎng)比等于相似比，外接圓的面積比等于相似比的平方。

它們?cè)谛边吷仙溆芭c斜邊的比例中項(xiàng)。

°的圓周角所對(duì)的弦是直徑。

圓內(nèi)接四邊形判定定理：如果一個(gè)四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓。

切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。的比例中項(xiàng)。

兩條切線的夾角。

二、方法秘笈

⒈幾何證明選講內(nèi)容的考點(diǎn)雖多，主要還是集中在對(duì)圓的相關(guān)內(nèi)容的考查，而圓中又主要以與切線有關(guān)的性質(zhì)、圓冪定理、四點(diǎn)共圓這幾個(gè)內(nèi)容的考查為主。

⒉雖然本書內(nèi)容主要是由原初三內(nèi)容改編過來，而在初中，相關(guān)內(nèi)容也已經(jīng)刪去，似乎教師教與學(xué)生學(xué)都有一定難度，但是由于學(xué)生經(jīng)過兩年的高中學(xué)習(xí)，邏輯性、嚴(yán)密性都有了較大的提高，只要教學(xué)得法，學(xué)生對(duì)這部分的學(xué)習(xí)應(yīng)該并不會(huì)感到困難。

⒊緊扣課本中的例習(xí)題進(jìn)行學(xué)習(xí)，重視各個(gè)定理的來龍去脈，理解其中滲透的重要的數(shù)學(xué)思想方法，因?yàn)楦呖荚囶}中所采取的一些方法多來自課本中定理的證明方法及例習(xí)題的證明方法；

試題解析

一、選擇題

例1.（2012北京、理科）如圖.∠ACB=90o，CD⊥AB于點(diǎn)D，以BD為直徑的圓與BC交于

點(diǎn)E.則()

A.CE·CB=AD·DBB.CE·CB=AD·AB C.AD·AB=CD 2D.CE·EB=CD 2

【解析】A。在?ACB中，∠ACB=90o，CD⊥AB于點(diǎn)D，所以CD理的CD

二、填空題

例1.（2012全國(guó)、文科）如圖，已知AB和AC是圓的兩條弦，過點(diǎn)B作圓的切線與AC的延長(zhǎng)線相交于D.過點(diǎn)C作BD的平行線與圓交于點(diǎn)E,與AB相交于點(diǎn)

F,AF?3,FB?1,EF?

?AD?DB,由切割線定

?CE?CB,所以CE·CB=AD·DB。

32,則線段CD的長(zhǎng)為

【解析】如圖連結(jié)BC，BE，則∠1=∠2，∠2=∠A

??A??1，又∠B=∠B，??CBF∽?ABC，CBBFCBCF??,?,代入數(shù)值得BC=2，ABBCABAC

AC=4，又由平行線等分線段定理得解得CD=

ACCD

?

AFFB,.【答案】

例2.(2012湖南、理科)如圖2，過點(diǎn)P的直線與圓O相交于A，B兩點(diǎn).若PA=1，AB=2，PO=3，則圓O的半徑等于

_______.PO交圓O于C，D，如圖，設(shè)圓的半徑為R，由割線定理知

PA?PB?PC?PD,即1?(1?2)?(3-r)(3?r),?r?

P

例3.（2012天津、理科）如圖，已知AB和AC是圓的兩條弦.過點(diǎn)B作圓的切線與AC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)D,過點(diǎn)C作BD的平行線與圓相交于點(diǎn)Ｅ，與AB相交于點(diǎn)F，AF=3，F(xiàn)B=1，EF=

32，則線段CD的長(zhǎng)為

【解析】∵AF=3，F(xiàn)B=1，EF=

432

ABAF，由相交弦定理得AF?FB=EF?FC，所以FC=2，?FC=83

又∵BD∥CE，∴

AFAB

=

FCBD，BD=

?2=

83，設(shè)CD=x，則AD=4x，再由切

割線定理得BD=CD?AD，即x?4x=（練習(xí)題

1.（2012湖北、理科）)，解得x=，故CD=

43.如圖，點(diǎn)D在⊙O的弦AB上移動(dòng)，AB=4，連接OD，過點(diǎn)D作OD的垂線交⊙O于點(diǎn)C，則CD的最大值為_____________。

答案：

22.（2012陜西、文理科）如圖，在圓O中，直徑AB與弦CD垂直，垂足為E，EF?DB，垂足為F，若AB?6，AE?1，則DF?DB?5。

三、解答題

例1(2012年全國(guó)新課標(biāo)卷)如圖，D，E分別為△ABC邊AB，AC的中點(diǎn)，直線DE交△ABC的外接圓于F，G兩點(diǎn)，若CF//AB，證明：

G

F

(Ⅰ)CD=BC；

(Ⅱ)△BCD∽△GBD

【解析】（1）CF//AB，DF//BC?CF//BD//AD?CD?BFCF//AB?AF?BC?BC?CD

（2）BC//GF?BG?FC?BD

BC//GF??GDE??BGD??DBC??BDC??BCD??GBD

O相交例2．（2012遼寧、文理科）如圖，⊙O和⊙

/

于A,B兩點(diǎn)，過A作兩圓的切線分別交兩圓于C，D

兩點(diǎn)，連接DB并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)E。

證明

（Ⅰ）AC?BD?AD?AB；（Ⅱ）AC?AE。

例3.（2012江蘇、理科）如圖，AB是圓O的直徑，D，E為圓上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn)，連結(jié)

BD并延長(zhǎng)至點(diǎn)C，使BD = DC，連結(jié)AC，AE，DE．

求證：?E??C．

【解析】

21-A題）

第四篇：幾何證明選講專題

幾何證明選講

幾何證明選講專題

一、基礎(chǔ)知識(shí)填空：

1.平行線等分線段定理:如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等,那么在其他直線上截得的線段_________.推論1: 經(jīng)過三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線必______________.推論2: 經(jīng)過梯形一腰的中點(diǎn)，且與底邊平行的直線________________.2.平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的________________成比例.推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)所得的對(duì)應(yīng)線段___________.3.相似三角形的性質(zhì)定理：相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比、對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于______；相似三角形周長(zhǎng)的比、外接圓的直徑比、外接圓的周長(zhǎng)比都等于_______________； 相似三角形面積的比、外接圓的面積比都等于____________________；

4.直角三角形的射影定理：直角三角形斜邊上的高是______________________的比例中項(xiàng)；兩直角邊分別是它們?cè)谛边吷蟔______與_________的比例中項(xiàng).5.圓周角定理：圓上一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的____________的一半.圓心角定理：圓心角的度數(shù)等于_______________的度數(shù).推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角_________；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧_______.o推論2：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是____；90的圓周角所對(duì)的弦是________.弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的______________.6.圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理與判定定理：

圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角______；圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)角的_____.如果一個(gè)四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)______；如果四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)角的對(duì)角，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)_________.7.切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的__________.推論：經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過_______；經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過______.切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的________.8.相交弦定理:圓內(nèi)兩條相交弦，_____________________的積相等.割線定理:從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，_____________的兩條線段長(zhǎng)的積相等.切割線定理:從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是__________的比例中項(xiàng).切線長(zhǎng)定理:從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)____；

圓心和這點(diǎn)的連線平分_____的夾角.二、經(jīng)典試題：

1.(梅州一模文)如圖所示，在四邊形ABCD中，EFFG+=． EF//BC，F(xiàn)G//AD，則D BCAD

C

2.(廣州一模文、理)在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在邊AB上，且AE：EB=1：2，DE與AC交于

點(diǎn)F，若△AEF的面積為6cm2，則△ABC的面積為

B cm2．

3.(廣州一模文、理)如圖所示，圓O上

一點(diǎn)C在直徑AB上的射影為D，CD=4，BD=8，則圓O的半徑等于．

4.(深圳二模文)如圖所示，從圓O外一點(diǎn)P 作圓O的割線PAB、PCD，AB是圓O的直徑，若PA=4，PC=5，CD=3，則∠CBD=__ 第1頁(yè)

5.(廣東文、理)已知PA是圓O的切線，切點(diǎn)為A，PA=2.AC是圓O的直徑，PC與圓O交于點(diǎn)B，PB=1，則圓O的半徑R=_______.6.(廣東文、理)如圖所示，圓O的直徑

AB=6，C圓周上一點(diǎn)，BC=3，過C作圓的切線l，過A作l的垂線AD，AD分別與直線l、圓交于點(diǎn) D、E，則∠DAC＝，線段AE的長(zhǎng)為

三、基礎(chǔ)訓(xùn)練： 1.(韶關(guān)一模理)

如圖所示，PC切⊙O于

點(diǎn)C，割線

PAB經(jīng)過圓心O，弦CD⊥AB于 點(diǎn)E，PC=4，PB=8，則CD=________.2.(深圳調(diào)研文)如圖所示，從圓O外一點(diǎn)A 引圓的切線AD和割線ABC，已知AD=

AC=6，圓O的半徑為3，則圓心O到AC的距 離為________.3.(東莞調(diào)研文、理)如圖所示,圓O上一

點(diǎn)C

在直徑AB上的射影為D，CD=4，則圓O的半徑等于．

4.(韶關(guān)調(diào)研理)如圖所示，圓O是

△ABC的外接圓，過點(diǎn)C的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，CD=AB=BC=3.則BD的長(zhǎng)______，AC的長(zhǎng)_______．5.(韶關(guān)二模理)如圖，⊙O′和

⊙O相交于A和B，PQ切⊙O于P，交⊙O′于Q和M，交AB的延長(zhǎng)線于N，MN=3，NQ=15，則 PN＝______．

6.(廣州二模文、理)如圖所示, 圓的內(nèi)接

△ABC的∠C的平分線CD延長(zhǎng)后交圓于點(diǎn)E，連接BE，已知BD=3，CE=7，BC=5，則線段.N7.（湛江一模文）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接

于⊙O，BC是直徑，MN切⊙O于A，∠MAB=25則∠D=___.8.(湛江一模理)如圖，在△ABC中，D 是AC的中點(diǎn)，E是BD的中點(diǎn)，AE交BC

BF=于F，則

FC

第2頁(yè)

9.(惠州一模理)如圖：EB、EC是⊙O的兩

條切線，B、C是切點(diǎn)，A、D是⊙O上兩點(diǎn)，如果∠E＝460，∠DCF＝320，則∠A的度數(shù)是.10.(汕頭一模理)如圖，AB是圓O的直徑，直線CE和圓O相切于點(diǎn)C，AD⊥CE于D，若AD=1，∠ABC=300，則圓O的面積是______.11.(佛山一模理)如圖，AB、CD是圓O的兩條弦，C

且AB是線段CD的中垂線，已知AB=6，CD=25，則線段AC的長(zhǎng)度為．

12.已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC∥EF，E是AB的中點(diǎn)，EF交BD于G，交AC于H.若 AD=5，BC=7，則GH=________.13.如圖，圓O上一點(diǎn)C在直徑AB上的射影為D.C

AD=2，AC= 25，則AB=____

14.如圖，PA是圓的切線，A為切點(diǎn)，PBC是圓的 割線，且PB=

B

1PABC，則的值是________.2PB

15.如圖，⊙O的割線PAB交⊙O于A、B兩點(diǎn)，割線

PCD經(jīng)過圓心O，PE是⊙O的切線。已知PA=6，AB=7，PO=12，則PE=____O的半徑是_______.3答 案

二、經(jīng)典試題：

1.1 ；2.72；3.5 ；4.30o；5.；6.30°，3.三、基礎(chǔ)訓(xùn)練：

243

.5.3..3.5.4.4，522116..7.115o.8..9.99O.10.4?.25

11..12.1.13.10，4.14..15.4, 8.1.第3頁(yè)

第五篇：幾何證明選講練習(xí)題

選修4-1幾何證明選講綜合練習(xí)題

1.如圖,⊙O的直徑AB的延長(zhǎng)線與弦CD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P,E為⊙O上一點(diǎn),AE＝AC ,DE交AB于點(diǎn)F,且AB?2BP?4,（1）求PF的長(zhǎng)度.（2）若圓F且與圓O內(nèi)切，直線PT與圓F切于點(diǎn)T，求線段PT的長(zhǎng)度。解：（1）連結(jié)OC,OD,OE,由同弧對(duì)應(yīng)的圓周角與圓心角之間的關(guān)系 結(jié)合題中條件弧長(zhǎng)AE等于弧長(zhǎng)AC可得?CDE??AOC, 又?CDE??P??PFD,?AOC??P??OCP, 從而?PFD??OCP,故?PFD∽?PCO,E A F B 證明：（Ⅰ）?AB為切線，AE為割線, ?AB2?AD?AE又 ?AB?AC?(2)由（1）有?

AD?AE?AC2--------------5分

?ADC~?ACE

ADAC

?又??EAC??DAC?ACAE

?ADC??ACE 又??ADC??EGF ??EGF??ACE ?GF//AC

PFPD?,…………4? PCPO

PC?PD1

2??3.…………6? 由割線定理知PC?PD?PA?PB?12,故PF?

E PO

4（2）若圓F與圓O內(nèi)切，設(shè)圓F的半徑為r，因?yàn)镺F?2?r?1即r?

1A

所以O(shè)B是圓F的直徑，且過P點(diǎn)圓F的切線為PT

2F B

5．如圖，⊙O1與⊙O2相交于A、B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作⊙O1的切線交⊙O2于點(diǎn)C，過點(diǎn)B作兩圓的割線，分別交⊙O1、⊙O2于點(diǎn)D、E，DE與AC相交于點(diǎn)P，（I）求證：AD∥EC；

（Ⅱ）若AD是⊙O2的切線，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的長(zhǎng)。22.解：（Ⅰ）連接AB，?AC是⊙O1的切線，??BAC??D，又??BAC??E，??D??E?AD//EC……………4分（Ⅱ）?PA是⊙O1的切線，PD是⊙O1的割線，?PA2?PB?PD,則PT

?PB?PO?2?4?8，即PT?…………10?

2.三角形ABC內(nèi)接于圓O，P在BC的延長(zhǎng)線上，PA切圓O于A，D為AB的中點(diǎn)，PD交AC于E,AE?3EC,求

PA

.PC

?62?PB?(PB?9)?PB?3又⊙O2中由相交弦定理，得PA?PC?BP?PE ?PE?4?AD是⊙O2的切線，DE是⊙O2的割線，?AD2?DB?DE?9?16，?AD?12.………………10分

6．如圖，已知⊙O和⊙M相交于A,B兩點(diǎn)，AD為⊙M的直徑，直線BD交⊙O于點(diǎn)C，點(diǎn)G為弧BD中點(diǎn)，連結(jié)AG分別交⊙O,BD于點(diǎn)E,F，連結(jié)CE，PA2PA2PB?PCPB

解析：由PA?PC?PB,?()?，??

PCPCPC2PC2

過C作CH//AB，交PD于H，因?yàn)锽D?AD，PBBDADAEPA

????3，故?3 所以有

PCCHCHECPC

GFEF2

?（Ⅰ）求證：AG?EF?CE?GD；（Ⅱ）求證：。AGCE2

證明：（I）連結(jié)AB，AC，∵AD為?M的直徑，∴?ABD?90，3．(本小題滿分12分)選修4－1：幾何證明選講如圖，已知點(diǎn)C在圓O直徑BE的延長(zhǎng)線上，CA切圓O于A點(diǎn)，DC是?ACB的平分線并交AE于點(diǎn)F，交AB于D點(diǎn)，求?ADF的大小。

解：如圖，連接AO，因?yàn)锳C是圓O的切線，則?OAC?900，因DC是?ACB的平分線，又OA?OB，設(shè)?ACD??ECD??1,?ABO??BAO??2，在?ABC中，∴AC為?O的直徑，∴?CEF??AGD?90?．…………2分 ∵?DFG??CFE，∴?ECF??GDF，∵G為弧BD中點(diǎn)，∴?DAG??GDF．…………4分 ∵?ECB??BAG，∴?DAG??ECF，∴?CEF∽?AGD．…………5分

∴

CEAG

?，∴AG?EF?CE?GD．…………6分 EFGD

（II）由（I）知?DAG??GDF，?G??G，2?2?2?1?900?1800??1??2?450，而在?ADC中，?ADF??1??2?90，故?ADF?45° …………10分

∴?DFG∽?AGD，∴DG2?AG?GF．………8分

EF2GD2GFEF2

由（I）知，∴．………10分 ??222

CEAGAGCE

4.如圖，AB是⊙O的一條切線，切點(diǎn)為B，ADE,CFD,CGE

都是⊙O的割線，已知AC?AB，（Ⅰ）證明：AD?AE?AC；（Ⅱ）證明：FG//AC。

7．如圖，在?ABC中，?ABC?900，以BC為直徑的圓O交AC于點(diǎn)D，設(shè)E為AB的中點(diǎn)。（1）求證：直線DE為圓O的切線；（2）設(shè)CE交圓

O于點(diǎn)F，求證：CD?CA?CF?CE。

O，過點(diǎn)A的直線交⊙O于點(diǎn)P，交BC的延長(zhǎng)線于10．(本小題滿分10分)如圖，?ABC內(nèi)接于⊙

點(diǎn)D，且AB2?AP?AD。（1）求證：AB?AC；

O的半徑為1，（2）如果?ABC?600，⊙

且P為弧AC的中點(diǎn)，求AD的長(zhǎng)。

8．在?ABC中，AB?AC，過點(diǎn)A的直線與其外接圓交于點(diǎn)P，交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)D。

PCPD

（1）求證：；（2）若AC?3，求AP?AD的值。?

ACBD

解：（1）??CPD??ABC,?D??D，??DPC～?DBA，11．如右上圖，?ABC是直角三角形，?ABC?900，以AB為直徑的圓O交AC于點(diǎn)E，點(diǎn)D是BC

邊的中點(diǎn)，連OD交圓O于點(diǎn)M，（Ⅰ）求證：O,B,D,E四點(diǎn)共圓；（Ⅱ）求證：2DE2?DM?AC?DM?AB。

D

PCPDPCPD

又?AB?AC,?（5分）???

ABBDACBD

（2）??ACD??APC,?CAP??CAP,??APC～?ACD APAC，?AC2?AP?AD?9………（10分）??

ACAD

9．(本小題滿分12分)已知C點(diǎn)在⊙O直徑BE的延長(zhǎng)線上，CA切⊙O于A點(diǎn)，CD是?ACB的平分線且交AE于點(diǎn)F，交AB于點(diǎn)D。（1）求?ADF的度數(shù)；（2）若AB?AC，求

AC的值。

BC

12．如圖，?ABC的外角?EAC的平分線AD交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，延長(zhǎng)DA交?ABC的外接圓于點(diǎn)F，連結(jié)FB,FC。

（1）求證：FB2?FA?FD；

（2）若AB是?ABC外接圓的直徑，且?EAC?120?,BC?6，求線段AD的長(zhǎng)。

可以得知△BFC∽△DGC，△FEC∽△GAC．

BFEFBFCFEFCF

∴BF?EF．∵G是AD的中點(diǎn)，∴DG?AG．∴?∴??．．

DGAGDGCGAGCG

（Ⅱ）連結(jié)AO，AB．∵BC是?O的直徑，∴?BAC?90°．

在Rt△BAE中，由（Ⅰ）得知F是斜邊BE的中點(diǎn)，∴AF?FB?EF．

∴?FBA??FAB．又∵OA?OB，∴?ABO??BAO．∵BE是?O的切線，∴?EBO?90°．∵?EBO??FBA??ABO??FAB??BAO??FAO?90°，∴PA是?O的切線．

15．如圖，⊙O是?ABC的外接圓，D是弧AC的中點(diǎn)，BD交AC于E。（I）求證：CD2?DE?DB。（II）若CD?O到AC的距離為1，求⊙O的半徑。

AB?1，圓O的2

割線MDC交圓O于點(diǎn)D,C，過點(diǎn)M作AM的垂線交直線AD,AC分別于點(diǎn)E,F，證明：（Ⅰ）?MED??MCF；（Ⅱ）ME?MF?3。

13．如圖：AB是圓O的直徑（O為圓心），M是AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且MB?證明：（Ⅰ）連接BC得?ACB?90，所以?ACB??BMF?90，∴B,C,F,M四點(diǎn)共圓，∴?CBA??CFM，又∵?CBA??CDA??EDM ∴?EDM??CFM，在?EDM與?CFM中可知?MED??MCF。6分（Ⅱ）由?MED??MCF，得E,F,C,D四點(diǎn)共圓，∴ME?MF?MD?MC，又∵M(jìn)D?MC?MB?MA?3，∴ME?MF?3。┈┈┈┈┈10分

A

F

??

C

D

E

16．如圖所示，已知PA與?O相切，A為切點(diǎn)，PBC為割線，D為?O上的點(diǎn)，且AD=AC，AD，M

O

14.如圖, 點(diǎn)A是以線段BC為直徑的圓O上一點(diǎn),AD?BC于點(diǎn)D,BC相交于點(diǎn)E。（Ⅰ）求證：AP//CD；（Ⅱ）設(shè)F為CE上的一點(diǎn)，且?EDF??P，求證：CE?EB?FE?

EP.過點(diǎn)B作圓O的切線,與CA的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E, 點(diǎn)G是AD的中點(diǎn),連結(jié)CG并延長(zhǎng)與BE相交于點(diǎn)F, 延長(zhǎng)AF與CB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P.（Ⅰ）求證:BF?EF；

（Ⅱ）求證:PA是圓O的切線；

證明：（Ⅰ）∵BC是?O的直徑，BE是?O的切線，∴EB?BC．又∵AD?BC，∴AD∥BE．