微專題3 不等式與線性規(guī)劃
命
題
者
說
考
題
統(tǒng)
計(jì)
考
情
點(diǎn)
擊
2018·全國卷Ⅰ·T13·線性規(guī)劃求最值
2018·全國卷Ⅱ·T14·線性規(guī)劃求最值
2018·北京高考·T8·線性規(guī)劃區(qū)域問題
2018·浙江高考·T15·不等式的解法
2017·全國卷Ⅰ·T14·線性規(guī)劃求最值
1.不等式作為高考命題熱點(diǎn)內(nèi)容之一，多年來命題較穩(wěn)定，多以選擇、填空題的形式進(jìn)行考查，題目多出現(xiàn)在第5～9或第13～15題的位置上，難度中等，直接考查時(shí)主要是簡單的線性規(guī)劃問題，關(guān)于不等式性質(zhì)的應(yīng)用、不等式的解法以及基本不等式的應(yīng)用，主要體現(xiàn)在其工具作用上。
2.若不等式與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列等其他知識(shí)交匯綜合命題，難度較大。
考向一
不等式的性質(zhì)與解法
【例1】(1)已知a>b>0，則下列不等式中恒成立的是()
A．a(chǎn)＋>b＋
B．a(chǎn)＋>b＋
C.>
D.>ab
(2)已知函數(shù)f
(x)＝(ax－1)(x＋b)，若不等式f
(x)>0的解集是(－1,3)，則不等式f
(－2x)<0的解集是()
A.∪
B.C.∪
D.解析(1)因?yàn)閍>b>0，所以<，根據(jù)不等式的性質(zhì)可得a＋>b＋，故A正確；對(duì)于B，取a＝1，b＝，則a＋＝1＋＝2，b＋＝＋2＝，故a＋>b＋不成立，故B錯(cuò)誤；根據(jù)不等式的性質(zhì)可得<，故C錯(cuò)誤；取a＝2，b＝1，可知D錯(cuò)誤。故選A。
(2)由f
(x)>0的解集是(－1,3)，所以a<0，且方程f
(x)＝(ax－1)(x＋b)＝0的兩根為－1和3，所以所以a＝－1，b＝－3，所以f
(x)＝－x2＋2x＋3，所以f
(－2x)＝－4x2－4x＋3，由－4x2－4x＋3<0，得4x2＋4x－3>0，解得x>或x<－。故選A。
答案(1)A(2)A
解不等式的策略
(1)一元二次不等式：先化為一般形式ax2＋bx＋c>0(a>0)，再結(jié)合相應(yīng)二次方程的根及二次函數(shù)圖象確定一元二次不等式的解集。
(2)含指數(shù)、對(duì)數(shù)的不等式：利用指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性將其轉(zhuǎn)化為整式不等式求解。
變|式|訓(xùn)|練
1．(2018·北京高考)能說明“若a>b，則<”為假命題的一組a，b的值依次為________。(答案不唯一)
解析 由題意知，當(dāng)a＝1，b＝－1時(shí)，滿足a>b，但是>，故答案可以為1，－1。(答案不唯一，滿足a>0，b<0即可)
答案 1，－1(答案不唯一)
2．(2018·浙江高考)已知λ∈R，函數(shù)f
(x)＝當(dāng)λ＝2時(shí)，不等式f
(x)<0的解集是________。若函數(shù)f
(x)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則λ的取值范圍是________。
解析 若λ＝2，則當(dāng)x≥2時(shí)，令x－4<0，得2≤x<4；當(dāng)x<2時(shí)，令x2－4x＋3<0，得1 (x)<0的解集為(1,4)。令x－4＝0，解得x＝4；令x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3。因?yàn)楹瘮?shù)f (x)恰有2個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)的圖象(圖略)可知1<λ≤3或λ>4。 答案(1,4)(1,3]∪(4，＋∞) 考向二 基本不等式及其應(yīng)用 【例2】(1)(2018·天津高考)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，則2a＋的最小值為________。 (2)已知a>b，且ab＝1，則的最小值是______。 解析(1)由a－3b＋6＝0，得a＝3b－6，所以2a＋＝23b－6＋≥2＝2×2－3＝，當(dāng)且僅當(dāng)23b－6＝，即b＝1時(shí)等號(hào)成立。 (2)＝＝a－b＋≥2，當(dāng)且僅當(dāng)a－b＝時(shí)取得等號(hào)。 答案(1)(2)2 在利用基本不等式求最值時(shí)，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號(hào)成立)的條件，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤。 變|式|訓(xùn)|練 1．已知a>0，b>0，若不等式－－≤0恒成立，則m的最大值為() A．4 B．16 C．9 D．3 解析 因?yàn)閍>0，b>0，所以由－－≤0恒成立得，m≤(3a＋b)＝10＋＋恒成立。因?yàn)椋?＝6，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號(hào)成立，所以10＋＋≥16，所以m≤16，即m的最大值為16。故選B。 答案 B 2．已知函數(shù)f (x)＝ln(x＋)，若正實(shí)數(shù)a，b滿足f (2a)＋f (b－1)＝0，則＋的最小值是________。 解析 因?yàn)閒 (x)＝ln(x＋)，f (－x)＝ln(－x＋)，所以f (x)＋f (－x)＝ln[(x＋)·(－x＋)]＝ln1＝0，所以函數(shù)f (x)＝ln(x＋)為R上的奇函數(shù)，又y＝x＋在其定義域上是增函數(shù)，故f (x)＝ln(x＋)在其定義域上是增函數(shù)，因?yàn)閒 (2a)＋f (b－1)＝0，f (2a)＝－f (b－1)，f (2a)＝f (1－b)，所以2a＝1－b，故2a＋b＝1。故＋＝＋＝2＋＋＋1＝＋＋3≥2＋3。(當(dāng)且僅當(dāng)＝且2a＋b＝1，即a＝，b＝－1時(shí)，等號(hào)成立。) 答案 2＋3 考向三 線性規(guī)劃及其應(yīng)用 微考向1：求線性目標(biāo)函數(shù)的最值 【例3】(2018·全國卷Ⅱ)若x，y滿足約束條件則z＝x＋y的最大值為________。 解析 作可行域，則直線z＝x＋y過點(diǎn)A(5,4)時(shí)取最大值9。 答案 9 線性目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by最值的確定方法 (1)將目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by化成直線的斜截式方程(z看成常數(shù))。 (2)根據(jù)的幾何意義，確定的最值。 (3)得出z的最值。 變|式|訓(xùn)|練 (2018·天津高考)設(shè)變量x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z＝3x＋5y的最大值為() A．6 B．19 C．21 D．45 解析 不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，作出直線y＝－x，平移該直線，當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，z取得最大值，由得即C(2,3)，所以zmax＝3×2＋5×3＝21。故選C。 答案 C 微考向2：線性規(guī)劃中的參數(shù)問題 【例4】(2018·山西八校聯(lián)考)若實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組且3(x－a)＋2(y＋1)的最大值為5，則a＝________。 解析 設(shè)z＝3(x－a)＋2(y＋1)，作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，由z＝3(x－a)＋2(y＋1)得y＝－x＋，作出直線y＝－x，平移該直線，易知當(dāng)直線過點(diǎn)A(1,3)時(shí)，z取得最大值，又目標(biāo)函數(shù)的最大值為5，所以3(1－a)＋2(3＋1)＝5，解得a＝2。 答案 2 解決這類問題時(shí)，首先要注意對(duì)參數(shù)取值的討論，將各種情況下的可行域畫出來，以確定是否符合題意，然后在符合題意的可行域里，尋求最優(yōu)解，從而確定參數(shù)的值。 變|式|訓(xùn)|練 已知x，y滿足約束條件目標(biāo)函數(shù)z＝2x－3y的最大值是2，則實(shí)數(shù)a＝() A． B．1 C． D．4 解析 作出約束條件所表示的可行域如圖中陰影部分所示，因?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)z＝2x－3y的最大值是2，由圖象知z＝2x－3y經(jīng)過平面區(qū)域的點(diǎn)A時(shí)目標(biāo)函數(shù)取得最大值2。由解得A(4,2)，同時(shí)A(4,2)也在直線ax＋y－4＝0上，所以4a＝2，則a＝。故選A。 答案 A 1．(考向一)(2018·福建聯(lián)考)已知函數(shù)f (x)＝ 若f (2－x2)>f (x)，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是() A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B．(－∞，－2)∪(1，＋∞) C．(－1,2) D．(－2,1) 解析 易知f (x)在R上是增函數(shù)，因?yàn)閒 (2－x2)>f (x)，所以2－x2>x，解得－2 答案 D 2．(考向一)(2018·南昌聯(lián)考)若a>1,0 A．loga2 018>logb2 018 B．logba C．(c－b)ca>(c－b)ba D．(a－c)ac>(a－c)ab 解析 因?yàn)閍>1,0 018>0，logb2 018<0，所以loga2 018>logb2 018，所以A正確；因?yàn)?>logab>logac，所以<，所以logba 答案 D 3．(考向二)(2018·河南聯(lián)考)已知直線ax－2by＝2(a>0，b>0)過圓x2＋y2－4x＋2y＋1＝0的圓心，則＋的最小值為________。 解析 圓x2＋y2－4x＋2y＋1＝0的圓心坐標(biāo)為(2，－1)。由于直線ax－2by＝2(a>0，b>0)過圓x2＋y2－4x＋2y＋1＝0的圓心，故有a＋b＝1。所以＋＝(a＋2＋b＋1)＝≥＋×2＝，當(dāng)且僅當(dāng)a＝2b＝時(shí)，取等號(hào)，故＋的最小值為。 答案 4．(考向三)(2018·南昌聯(lián)考)設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)镸，若直線y＝kx經(jīng)過區(qū)域M內(nèi)的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為() A.B.C.D.解析 作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖陰影部分所示，易知當(dāng)直線y＝kx經(jīng)過點(diǎn)A(2,1)時(shí)，k取得最小值，當(dāng)直線y＝kx經(jīng)過點(diǎn)C(1,2)時(shí)，k取得最大值2，可得實(shí)數(shù)k的取值范圍為。故選C。 答案 C 5．(考向三)(2018·廣州測試)若x，y滿足約束條件 則z＝x2＋2x＋y2的最小值為() A． B． C．－ D．－ 解析 畫出約束條件對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示，z＝x2＋2x＋y2＝(x＋1)2＋y2－1，其幾何意義是平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)(x，y)到定點(diǎn)(－1,0)的距離的平方再減去1，觀察圖形可得，平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到定點(diǎn)(－1，0)的距離的最小值為，故z＝x2＋2x＋y2的最小值為zmin＝－1＝－。故選D。 答案 D
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