第一篇：線面 線線面面平行垂直方法總結(jié)

所有權(quán)歸張志濤所有

線線平行

1.如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線就和交線平行。（一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行.）

2.如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行。3.【定義】同一平面內(nèi)，兩直線無公共點，稱兩直線平行

3.【公理】平行于同一直線的兩條直線互相平行.（空間平行線傳遞性）4.【定理】同位角相等，或內(nèi)錯角相等，或同旁內(nèi)角互補，兩直線平行.5.平行線分線段成比例定理的逆定理

線面平行

1.面外一條線與面內(nèi)一條線平行，或兩面有交線強調(diào)面外與面內(nèi)（如果平面外一條直線和這個平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行。）

2.面外一直線上不同兩點到面的距離相等，強調(diào)面外

3.如果連條直線同時垂直于一個平面，那么這兩條直線平行 4.證明線面無交點

5.反證法（線與面相交，再推翻）

6.空間向量法，證明線一平行向量與面內(nèi)一向量（x1x2-y1y2=0）7.【定義】直線與平面無公共點，稱直線與平面平行

8.X7【定理】如果兩個平面平行，那么其中一平面內(nèi)的任一直線平行于另一平面.面面平行

1.如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行。

2.若兩個平面所夾的平行線段相等，則這兩個平面平行.3.【定理】一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個平面內(nèi)的兩條相交直線，則這兩個平面平行.4.【定義】兩平面無公共點，稱兩平面平行.5.【公理】平行于同一平面的兩個平面互相平行.（空間平行面?zhèn)鬟f性）

6.【定理】一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行.線線垂直

1如果一條直線垂直于一個平面，則這個平面上的任意一條直線都與這條直線垂直。2.三垂線定理：如果平面內(nèi)的一條直線垂直于平面的血現(xiàn)在平面內(nèi)的射影，則這

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條直線垂直于斜線。

線面垂直

1.如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么這條直線垂直于這個平面。

2.如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面。

面面垂直

1.如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直。

2.【性質(zhì)】X2逆定理、X4、X6及垂直關(guān)系性質(zhì)

主要性質(zhì)

1.X1【定理】空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補.（等角定理）

1.X2【定理】三條平行線截兩條直線，所得對應(yīng)線段成比例.（平行線分線段成比例定理）

直線在平面內(nèi)判定方法

1.【定義】直線與平面有無數(shù)個公共點，稱直線在平面內(nèi).2.【公理】如果一條直線上兩點在一平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi).3.【公理】任意兩點確定一條直線，不共線的三點確定一個平面；兩相交直線、兩平行直線確定一平面.4.【性質(zhì)】X3及垂直關(guān)系性質(zhì)

5.X3【定理】過平面內(nèi)一點的直線平行于此平面的一條平行線，則此直線在這個平面內(nèi).直線在平面外判定方法

1.【定理】平面外一直線與平面內(nèi)一直線平行，則該直線與此平面平行.2.【性質(zhì)】X5、X7及垂直關(guān)系性質(zhì)

主要性質(zhì)

3.X4【定理】一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行.4.X5【定理】平面外的兩條平行直線中的一條平行于這個平面，則另一條也平行于這個平面.所有權(quán)歸張志濤所有

【性質(zhì)】

1.【性質(zhì)】X8逆定理、X9及垂直關(guān)系性質(zhì)

2.X8【定理】夾在兩個平行平面間的平行線段相等.3.X9【結(jié)論】經(jīng)過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行.（存在性與唯一性）

第二篇：線線平行垂直,線面平行垂直,面面平行垂直判定與性質(zhì)

1.線線平行

判定：a用向量，方向向量平行b一條直線平行于另一個平面，則它平行于它所在平面與那個平面的交線。C若一平面與兩平行平面相交，則兩交線平行。D同時與一平面垂直的兩直線平行。E同時平行于一條直線的兩直線平行。

性質(zhì)：貌似沒啥性質(zhì)，一般是證明線面關(guān)系的時候先證明線線關(guān)系。

2.線線垂直

判定：a向量，方向向量垂直b直線垂直于平面，則直線與平面中的任意直線都垂直c第一條直線與第二條直線平行，第一條垂直于第三條，則第二條也垂直于第三條d把兩直線放在一個平面中，利用平面幾何各種判定方法，如等腰三角形的底和高等。E（重點）三垂線定理：平面內(nèi)的一條直線，如果和過平面的一條斜線在平面內(nèi)的射影垂直，那么它就和這條斜線垂直。三垂線逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和過平面的一條斜線垂直，那么它也垂直于斜線在平面內(nèi)的射影。（這個比較重要，記不住的話找一下例題，多看看圖就好了）性質(zhì)：貌似也沒什么性質(zhì)，一般也是要證明線面關(guān)系的時候用到它。注意：第一條直線垂直于第二條直線，第一條直線垂直于第三條直線，則第二條直線與第三條直線可垂直可平行也可普通相交。

3,線面平行

判定：a面外一條線與面內(nèi)一條線平行。（常用）b空間向量法，證明線一平行向量與面內(nèi)一向量（x1x2-y1y2=0）（常用）c面外一直線上不同兩點到面的距離相等d證明線面無交點（定義）e反證法（線與面相交，再推翻）

性質(zhì)：平面外一條直線與此平面平行，則過這條直線的任意平面與此平面的交線與該直線平行。

4.線面垂直

判定:a一條線和平面內(nèi)兩條相交直線都垂直,那么這條直線和這個平面垂直b兩個平面垂直,其中一個平面內(nèi)的直線垂直兩平面的交線，那么這條直線和這個平面垂直c直線的方向向量與平面的法向量平行

性質(zhì)：如果兩條直線同時垂直一個平面，那么這兩條直線平行。

5.面面平行

判定a一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別與另一個平面平行,則這兩個平面平行。（常用）b如果兩平面同時垂直于一條直線，則兩平面平行（大題一般不用）

性質(zhì)：a兩個平面平行，在一個平面內(nèi)的任意一條直線平行于另外一個平面b兩個平面平行，和一個平面垂直的直線必垂直于另外一個平面c兩個平行平面，分別和第三個平面相交，交線平行d平行平面所截的線段對應(yīng)成比例（這個是推論，不好描述，書上或練習(xí)冊上應(yīng)該有類似的題）

6.面面垂直

判定：一個面如果過另外一個面的垂線，那么這兩個面相互垂直

性質(zhì)：a如果兩個平面垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面。b如果兩個平面垂直，那么經(jīng)過第一個平面內(nèi)的一點垂直于第二個平面的直線在第一個平面內(nèi)。C如果兩個相交平面都垂直于第三個平面，那么它們的交線垂直于第三個平面。D三個兩兩垂直的平面的交線兩兩垂直。

第三篇：關(guān)于線線、線面及面面平行的問題

關(guān)于線線、線面及面面平行的問題

典型例題：

例1.（2012年四川省文5分）下列命題正確的是【】

A、若兩條直線和同一個平面所成的角相等，則這兩條直線平行

B、若一個平面內(nèi)有三個點到另一個平面的距離相等，則這兩個平面平行

C、若一條直線平行于兩個相交平面，則這條直線與這兩個平面的交線平行

D、若兩個平面都垂直于第三個平面，則這兩個平面平行

【答案】C。

【考點】立體幾何的線、面位置關(guān)系及線面的判定和性質(zhì)。

【解析】若兩條直線和同一平面所成角相等，這兩條直線可能平行，也可能為異面直線，也可能相交，所以A錯；一個平面不在同一條直線的三點到另一個平面的距離相等，則這兩個平面平行，故B錯；若兩個平面垂直同一個平面兩平面可以平行，也可以垂直；故D錯；故選項C正確。故選C。

例2.（2012年浙江省文5分）設(shè)l是直線，α，β是兩個不同的平面【】

A.若l∥α，l∥β，則a∥βB.若l∥α，l⊥β，則α⊥β

C.若α⊥β，l⊥α，則l⊥βD.若α⊥β, l∥α，則l⊥β

【答案】B?！究键c】線面平行、線面垂直、面面平行、面面垂直的判定和性質(zhì)。

【解析】利用面面垂直的判定定理可證明B是正確的，對于其它選項，可利用舉反例法證明其是錯誤命題：

A，若l∥α，l∥β，則滿足題意的兩平面可能相交，排除A；

B，若l∥α，l⊥β，則在平面α內(nèi)存在一條直線垂直于平面β，從而兩平面垂直，故B正確； C，若α⊥β，l⊥α，則l可能在平面β內(nèi)，排除C；

D，若α⊥β, l∥α，則l可能與β平行，相交，排除D。

故選 B。

例3.（2012年山東省文12分）如圖，幾何體E－ABCD是四棱錐，△ABD為正三角形，CB=CD，EC⊥BD.(Ⅰ)求證：BE=DE；

(Ⅱ)若∠BCD=1200，M為線段AE的中點，求證：DM∥平面

BEC.【答案】解：(Ⅰ)證明：取BD中點為O，連接OC，OE，∵BC=CD，∴CO⊥BD，又∵EC⊥BD，CO∩EC=C，∴BD⊥平面OCE.。

又∵OE?平面OCE.，∴BD⊥OE，即OE是BD的垂直平分線。

∴BE=DE。

(Ⅱ)取AB中點N，連接MN，DN，∵M是AE的中點，∴MN∥BE。

∵△ABD是等邊三角形，∴DN⊥AB，∠ABD＝60°。

∵∠BCD＝120°，BC=CD，∴∠CBD＝30°。

∴∠ABC＝60°+30°＝90°，即BC⊥AB。

∴ND∥BC。

又∵MN∩ND=N，BE∩BC=B，∴平面MND∥平面BEC。

又∵DM?平面MND，∴DM∥平面BEC。

【考點】線面垂直和平行的證明，線段垂直平分線的判定和性質(zhì)，等邊三角

形的性質(zhì)。

【解析】(Ⅰ)要證BE=DE，只要證點E是BD垂直平分線上的點即可。故取BD中點為O，連接OC，OE，由已知證明BD⊥OE即可。

(Ⅱ)要證DM∥平面BEC只要證明DM在一個平行于平面BEC的另一個平面上，故取AB中點N，連接MN，DN，證明平面MND∥平面BEC即可。

例4.（2012年福建省理13分）如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E為CD中點．

（I）求證：B1E⊥AD1；

（II）在棱AA1上是否存在一點P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的長；若不存在，說明理由；（III）若二面角A－B1E－A1的大小為30°，求AB的長．

→→→【答案】解：（I）如圖，以A為原點，AB，AD，AA1的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系。

a?設(shè)AB＝a，則A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)，E??2，1，0?，B1(a,0,1)。

aa→→→→－，1，－1?，AB1＝(a,0,1)，AE＝?，1，0??！郃D1＝(0,1,1)，B1E＝??2??2?

a→→∵AD1·B1E0＋1×1＋(－1)×1＝0，∴B1E⊥AD1。2

→（II）假設(shè)在棱AA1上存在一點P(0,0，z0)，使得DP∥平面B1AE，此時DP＝(0，－1，z0)。

又設(shè)平面B1AE的法向量n＝(x，y，z)．

ax＋z＝0，??→→∵n⊥平面B1AE，∴n⊥AB1，n⊥AE，得?ax2y＝0.a1，－a?。取x＝1，得平面B1AE的一個法向量n＝?2??

a1→要使DP∥平面B1AE，只要n⊥DP，即－az0＝0，解得z0＝。22

1又DP?平面B1AE，∴存在點P，滿足DP∥平面B1AE，此時AP＝。2

（III）連接A1D，B1C，由長方體ABCD－A1B1C1D1及AA1＝AD＝1，得AD1⊥A1D。

∵B1C∥A1D，∴AD1⊥B1C。又由（I）知B1E⊥AD1，且B1C∩B1E＝B1，∴AD1⊥平面DCB1A1。

→→∴AD1是平面A1B1E的一個法向量，此時AD1＝(0,1,1)。

→n·AD→設(shè)AD1與n所成的角為θ，則cosθ＝＝→|n||AD1|

a??a ∵二面角A－B1E－A1的大小為30°，∴|cosθ|＝cos30°

3a＝3a＝2，即AB的長為2。2

【考點】用空間向量求平面間的夾角，空間中直線與直線之間的位置關(guān)系，直線與平面平行的判定。

→→→【解析】（Ⅰ）由題意及所給的圖形，以A為原點，AB，AD，AA1的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向

→→建立空間直角坐標(biāo)系。設(shè)AB＝a，給出圖形中各點的坐標(biāo)，可求出向量AD1和B1E 的坐標(biāo)，驗證其數(shù)量積

為0即可證出兩線段垂直。

（II）由題意，可先假設(shè)在棱AA1上存在一點P(0,0，z0)，使得DP∥平面B1AE，求出平面B1AE法向量，可法向量與直線DP的方向向量內(nèi)積為0，由此方程解出z0的值，若能解出，則說明存在，若不存在符合條件的z0的值，說明不存在這樣的點

P滿足題意。

（III）由題設(shè)條件，可求面夾二面角的兩個平面的法向量，利用兩平面的夾角為30°建立關(guān)于a的方程，解出a的值即可得出AB的長。

第四篇：線線、線面平行垂直的證明

空間線面、面面平行垂直的證明

12.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別為AB、BC的中點，（Ⅰ）求證：EF//面A1C1B。（Ⅱ）B1D⊥面A1C1B。

D'

3.如圖，在正方形ABCD?A'B'C'D'，A'（1）求證：A'B//平面ACD'；

（2）求證：平面ACD'?平面DD'B。

A

4.如圖，已知△ABC是正三角形，EA、CD都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a,DC=a,F是BE的中點，求證：(1)FD∥平面ABC;(2)AF⊥平面EDB.C'

C

B

5.如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，O是AC和BD的交點.求證：（Ⅰ）OC1∥平面AB1D1；（Ⅱ）平面ACC1?平面AB1D1．

DA

C1

C

(5題圖)

6.如圖，長方體ABCD?A1B1C1D1中，AB?AD?1，AA1?2，點P為

DD1的中點。

（1）求三棱錐D?PAC的體積；（2）求證：直線BD1∥平面PAC；（3）求證：直線PB1?平面PAC.C1

D1

B1

A1

P

DC

B

A

7.如圖，在四棱錐P?ABCD，底面ABCD是正方形，側(cè)棱

PD?底面ABCD，PD?DC，E是PC的中點，作EF?PB于點F。

（1）證明：PA//平面EDB；（2）證明：DE?BC

（3）證明：PB?平面EFD。

8.ABCD?A1B1C1D1是長方體，底面ABCD是邊長為1的正方形，側(cè)棱

A

AA1?2，E是側(cè)棱BB1的中點.（Ⅰ）求證：AE?平面A1D1E；

(Ⅱ)求三棱錐A?C1D1E的體積.

第五篇：線線垂直、線面垂直、面面垂直的判定 經(jīng)典試題

線線垂直、線面垂直、面面垂直的判定

1、如圖，在四棱錐P－ABCD中，2、如圖，棱柱

PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，ABC?A1B1C1的側(cè)面 BCC1B1是菱形，B1C?A1B ∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中點．證明：平面AB1C?平面A1BC

1；

(1)求證：CD⊥AE；

(2)求證：PD⊥面ABE.3、如圖，四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為平行四邊形。?DAB?60,AB?2AD,PD? 底面ABCD，證明：PA?BD4、如圖所示，在長方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中點 ?（Ⅰ）求異面直線A1M和C1D1所成的角的正切值；

（Ⅱ）證明：平面ABM⊥平面A1B1M

1面面垂直的性質(zhì)

1、S是△ABC所在平面外一點，SA⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC,求證AB⊥BC.S

A C2、在四棱錐中，底面ABCD是正方形，側(cè)面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD 證明:AB⊥平面VAD

V D

C B3、如圖，平行四邊形ABCD中，?DAB?60，AB?2,AD?4將 ?

?CBD沿BD折起到?EBD的位置，使平面EDB?平面ABD

求證：AB?DE4、如圖，在四棱錐P?ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分別是AP、AD的中點

求證：（1）直線EF‖平面PCD；

（2）平面BEF⊥平面PAD

(第16題圖)