第一篇：用向量證明線面平行（共）

用向量證明線面平行面垂直就是說(shuō)直線是面的法向量。單位法向量當(dāng)然平行這條直線，不過(guò)要排除與0向量的討論。0向量與任何向量都平行。但0向量不垂直與面。比如單位法向量是(x,y,z)直線的方向向量是m=(a,b,c)那么m=a(x,y,z)這不完全對(duì)。

比如單位法向量是(0,1,0)，難道m(xù)=0嗎? 只能是a≠0是可以這樣。

面面平行：可以證明兩個(gè)平面的法向量平行。

不過(guò)不一定是單位法向量，單位法向量是模等于1的法向量，其實(shí)只需證明兩平面的法向量垂直就可以了。

當(dāng)然你要證明分別平行于兩平面的直線平行，或平行一平面的直線與另一平面的法向量垂直也未嘗不可。2 三維空間上一平面上一活動(dòng)點(diǎn)鐘(x,y, z)而(m,n,p)是在原點(diǎn)與平面的垂線的交點(diǎn), 我們得 [(x,y,z)-(m,n,p)] *(m,n,p)= 0 m(x-m)+n(y-n)+p(z-p)=0 mx+ny+pz=m^2+n^2+p^2 所以 ax+by+cz=d 中的a=m, b= n, c=p , d=m^2+n^2+p^2= 原點(diǎn)與平面的垂直距離 x+y+z=1是一個(gè)面它垂直和相交(1,1,1)這支向量 [1,8,-3]×[4,-5,9]≠[0,0,0] 所以兩直線的方向向量不平行 即兩直線不平行

但是書后的答案說(shuō)兩直線是平行的。。你確定題沒(méi)有寫錯(cuò)嗎? 其實(shí)直線很簡(jiǎn)單

[x,y,z]=[4,-3,2]+ t[1,8,-3] 表示通過(guò)點(diǎn)[4,-3,2]，沿著方向[1,8,-3]延伸 而[1,8,-3]跟[4,-5,9]方向不一樣，兩直線不平行平行向量

平行向量(也叫共線向量)：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，記作：a∥b，規(guī)定零向量和任何向量平行。加法運(yùn)算

AB+BC=AC，這種計(jì)算法則叫做向量加法的三角形法則。

已知兩個(gè)從同一點(diǎn)O出發(fā)的兩個(gè)向量OA、OB，以O(shè)A、OB為鄰邊作平行四邊形OACB，則以O(shè)為起點(diǎn)的對(duì)角線OC就是向量OA、OB的和，這種計(jì)算法則叫做向量加法的平行四邊形法則。對(duì)于零向量和任意向量a，有：0+a=a+0=a。|a+b|≤|a|+|b|。

向量的加法滿足所有的加法運(yùn)算定律。減法運(yùn)算

與a長(zhǎng)度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，-(-a)=a，零向量的相反向量仍然是零向量。

(1)a+(-a)=(-a)+a=0(2)a-b=a+(-b)。以減向量的終點(diǎn)為起點(diǎn),被減向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)(三角形法則)數(shù)乘運(yùn)算

實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作λa，|λa|=|λ||a|，當(dāng)λ > 0時(shí)，λa的方向和a的方向相同，當(dāng)λ < 0時(shí)，λa的方向和a的方向相反，當(dāng)λ = 0時(shí)，λa = 0。

設(shè)λ、μ是實(shí)數(shù)，那么：(1)(λμ)a = λ(μa)(2)(λ + μ)a = λa + μa(3)λ(a ± b)= λa ± λb(4)(-λ)a =-(λa)= λ(-a)。

第二篇：證明線面平行

證明線面平行

一，面外一條線與面內(nèi)一條線平行，或兩面有交線強(qiáng)調(diào)面外與面內(nèi)

二，面外一直線上不同兩點(diǎn)到面的距離相等，強(qiáng)調(diào)面外

三，證明線面無(wú)交點(diǎn)

四，反證法(線與面相交，再推翻)

五，空間向量法，證明線一平行向量與面內(nèi)一向量(x1x2-y1y2=0)

【直線與平面平行的判定】

定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行。

【判斷直線與平面平行的方法】

(1)利用定義：證明直線與平面無(wú)公共點(diǎn);

(2)利用判定定理：從直線與直線平行得到直線與平面平行;

(3)利用面面平行的性質(zhì)：兩個(gè)平面平行，則一個(gè)平面內(nèi)的直線必平行于另一個(gè)平面

線面平行

【直線與平面平行的判定】

定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行。

【判斷直線與平面平行的方法】

(1)利用定義：證明直線與平面無(wú)公共點(diǎn);

(2)利用判定定理：從直線與直線平行得到直線與平面平行;

(3)利用面面平行的性質(zhì)：兩個(gè)平面平行，則一個(gè)平面內(nèi)的直線必平行于另一個(gè)平面。

【平面與直線平行的性質(zhì)】

定理：一條直線和一個(gè)平面平行，則過(guò)這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。

此定理揭示了直線與平面平行中蘊(yùn)含著直線與直線平行。通過(guò)直線與平面平行可得到直線與直線平行。這給出了一種作平行線的重要方法。

注意：直線與平面平行，不代表與這個(gè)平面所有的直線都平行，但直線與平面垂直，那么這條直線與這個(gè)平面內(nèi)的所有直線都垂直。

本題就用到一個(gè)關(guān)鍵概念：重心三分中線

設(shè)E為BD的中點(diǎn)，連接AE，CE

則M在AE上，且有AM=2ME

N在CE上，且有CN=2NE

在三角形ACE中，因?yàn)椋珽M:EA=1:3

EN:EC=1:3

所以，MN//AC

AC屬于平面ACD，MN不在平面ACD內(nèi)，即無(wú)公共點(diǎn)

所以，MN//平面ACD

本題就用到一個(gè)關(guān)鍵概念：重心三分中線

設(shè)E為BD的中點(diǎn)，連接AE，CE

則M在AE上，且有AM=2ME

N在CE上，且有CN=2NE

在三角形ACE中，因?yàn)椋珽M:EA=1:3

EN:EC=1:3

所以，MN//AC

AC屬于平面ACD，MN不在平面ACD內(nèi)，即無(wú)公共點(diǎn)

所以，MN//平面ACD

第三篇：線面平行證明

線面平行證明“三板斧”

第一斧：從結(jié)論出發(fā)，假定線面平行成立，利用線面平行的性質(zhì)，在平面

內(nèi)找到與已知直線的平行線。

例１：如圖正方體ABCD?A1B1C1D1中，Ｅ為DD1的中點(diǎn)，試判斷BD1與平面AEC的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由。

練習(xí)：

如圖，已知四棱錐P?ABCD的底面ABCD的底面ABCD是菱形，點(diǎn)Ｆ為PC中點(diǎn)，求證：PA//平面BFD

第二斧：以平面外的直線作平行四邊形

D

例2：如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1，E為A1B1上任意一點(diǎn)，求證：AE//平面DC

1練習(xí)：

如圖，已知三棱柱ABC?A1B1C1中，E為B1C1的中點(diǎn)，F(xiàn)為AA1的中點(diǎn)，求證：

A1E//平面B1CF

第三斧：選證明面面平行，再由線平行的定義過(guò)度到線面平行。

例3：如圖，四棱錐P?ABCD，底面ABCD為正方形，E，F(xiàn)，G分別為PC,PD,BC的中點(diǎn)，求證：PA//平面EFG

練習(xí)：如圖，在直三棱柱（側(cè)棱與底面垂直的三棱柱）D為BC的中點(diǎn)，求證：

AC1//平面AB1D

B

C

總結(jié)：線面平行證明的三種方法中，多數(shù)題目其實(shí)都可以用第一、二種方法得到解決，因此前二種方法是首先。第三種方法雖然證明過(guò)程長(zhǎng)，但其思路是很固定的，實(shí)踐過(guò)程中更容易為同學(xué)們所掌握。一個(gè)題目可能有幾種證法，同學(xué)們練習(xí)時(shí)可以三種方法都去試一試，看看有幾種辦法可以解決。在熟悉以后，解題過(guò)程中可按照招式一、二、三的順序依次去思考。

1.如圖，在四棱錐P?ABCD中，ABCD是平行四邊形，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)．

求證：MN//平面PAD．

2.如圖，在正四棱錐P?ABCD中，PA?AB?a,點(diǎn)E在棱PC上． 問(wèn)點(diǎn)E在何處時(shí)，PA//平面EBD，并加以證明.P

E

C

A

B

3.如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中, D為AC的中點(diǎn),求證:AB1//平面BC1D；

AA

D

C

B1

C1

4．在四面體ABCD中，M，N分別是面△ACD，△BCD的重心，則四面體的四個(gè)面中與MN平行的是________.5．如下圖所示，四個(gè)正方體中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，P分別為其所在棱的中點(diǎn)，能得到AB//面MNP的圖形的序號(hào)的是

①②③④

6.如圖，正三棱柱ABC?A1B1C1的底面邊長(zhǎng)是2，3，D是AC的中點(diǎn).求證：B1C//平面A1BD.A

7．a(chǎn)，b是兩條異面直線，A是不在a，b上的點(diǎn)，則下列結(jié)論成立的是

A．過(guò)A有且只有一個(gè)平面平行于a，bB．過(guò)A至少有一個(gè)平面平行于a，b

C．過(guò)A有無(wú)數(shù)個(gè)平面平行于a，bD．過(guò)A且平行a，b的平面可能不存在8．設(shè)平面?∥β，A，C∈?，B，D∈β，直線AB與CD交于S，若AS=18，BS=9，CD=34，則CS=_____________.9.如下圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AB，CC1的中點(diǎn)，在平面ADD1A1內(nèi)且與平面D1EF平行的直線()

A．不存在B．有1條C．有2條D．有無(wú)數(shù)條

10.如圖所示：設(shè)P

上的點(diǎn)，AMDN且?MBNP

11.求證：MN//平面PBC如圖所示，在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，P，Q分別是BC，C1D1，AD1，BD的中點(diǎn)．

（１）求證：PQ//平面DCC1D1（２）求PQ的長(zhǎng)．

（３）求證：EF//平面BB1D1D．

第四篇：用向量法證明平行關(guān)系

2010 山東省昌樂(lè)二中 高二數(shù)學(xué)選修2-1導(dǎo)學(xué)案時(shí)間：2010-12-21班級(jí)：姓名：小組：教師評(píng)價(jià)：

課題: 3.2.1用向量法證明平行關(guān)系

編制人：劉本松、張文武、王偉潔審核人：領(lǐng)導(dǎo)簽字： 【使用說(shuō)明】1.用20分鐘仔細(xì)研讀課本P95-P98,認(rèn)真限時(shí)完成問(wèn)題導(dǎo)學(xué)預(yù)習(xí)自測(cè)；

2.具體要求：

三、練一練：

????3????

1、已知點(diǎn)A(3,4,0),B(2,5,5),而且BC?OA，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為

5?????

2、l1的方向向量為v1?(1,2,3)，l2的方向向量為v2?(?,4,6)，若l1//l2，則?等于

3、已知A，B，C三點(diǎn)不共線，對(duì)平面ABC外任一點(diǎn)O，滿足下面條件的點(diǎn)M是否一定在平面

（1）用向量表示直線或點(diǎn)在直線上的位置；

（2）用向量方法證明直線與直線平行、直線與平面平行、平面與平面平行；

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1.掌握用向量法證明平行關(guān)系，提高概念理解和應(yīng)用能力；

2.獨(dú)立思考，合作學(xué)習(xí)，探究向量法研究空間平行問(wèn)題的規(guī)律方法； 3.激情投入，形成扎實(shí)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維品質(zhì).【課前預(yù)習(xí)】

一、重點(diǎn)：用向量證明空間的平行關(guān)系；難點(diǎn)：空間向量在證明平行關(guān)系中的應(yīng)用.二、問(wèn)題導(dǎo)學(xué)

1.類比平面內(nèi)直線的向量參數(shù)方程，寫出空間直線的向量參數(shù)方程.思考：當(dāng)t?

1時(shí)，線段AB中點(diǎn)M的向量表達(dá)式是2.設(shè)?v????

21和v2分別是直線l1和l2的方向向量，則由向量共線的條件，得l1//l2或l1和l2重合的充要條件是什么？

l//?或l在?內(nèi)的充要條件是什么？

?//?或?與?重合的充要條件是什么？

ABC內(nèi)？ ????OM??2???OA?????OB?????OC?

(四)我的疑問(wèn)：

【課內(nèi)探究】

一、討論、展示、點(diǎn)評(píng)、質(zhì)疑

探究一：用向量表示直線或點(diǎn)在直線上的位置

已知點(diǎn)A(?2,3,0),B(1,3,2)，以???AB?的方向?yàn)檎颍谥本€AB上建立一條數(shù)軸，P,Q為軸上的兩

點(diǎn)，且滿足條件：（1）AQ:QB??2；（2）AP:PB?2:3.求點(diǎn)P和點(diǎn)Q的坐標(biāo).拓展1：已知點(diǎn)A(3,4,0),B(2,5,5),C(0,3,5),且ABCD是平行四邊形，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)

2010 山東省昌樂(lè)二中 高二數(shù)學(xué)選修2-1導(dǎo)學(xué)案時(shí)間：2010-12-21班級(jí)：姓名：小組：教師評(píng)價(jià)：

拓展2：已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，四面體OABC的頂點(diǎn)A(0,3,5),B(2,2,0),C(0,5,0)，直線BD//CA，并且與坐標(biāo)平面xOz相交于點(diǎn)D，求點(diǎn)D的坐標(biāo).拓展1（AB）已知矩形ABCD和矩形ADEF，AD為公共邊，但是它們不在同一個(gè)平面上，點(diǎn)M,N分別在對(duì)角線BD,AE上，且BM?1

1BD,AN?AE.證明：直線MN//平面CDE.3

3E

【規(guī)律方法總結(jié)】探究二：用向量法證明空間中的平行關(guān)系

如圖，已知正方體ABCD?A'B'

C'

D'，點(diǎn)M,N分別是面對(duì)角線A'B與面對(duì)角線AC''的中點(diǎn).求證：MN//側(cè)面AD'

；MN//AD'，并且MN?1'

AD.A'

D'

B'N

C'

A

B

D

C

D

N

C

MA

B

拓展2（A）在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD?底面ABCD，PD?DC, E是PC的中點(diǎn).用向量法證明PA//平面EDB.E

C

B

【規(guī)律方法總結(jié)】

二、課堂小結(jié)：

1.知識(shí)與方法方面：2.數(shù)學(xué)思想方法方面：

第五篇：線面平行證明“三板斧”

線面平行證明“三板斧”

線面平行是高考的重點(diǎn)，也是平行關(guān)系中的核心。在證明線面平行的過(guò)程中，如何快速的找到證明的思路，此文的目的就在于此。將證明的過(guò)程程序化，可以幫助學(xué)生形成良好的思維習(xí)慣，也可以引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)去總結(jié)。

第一斧：從結(jié)論出發(fā)，假定線面平行成立，利用線面平行的性質(zhì)，在平面內(nèi)找到與已知直線的平行線。

例１：如圖正方體ABCD?A1BCＥ為11D1中，DD1的中點(diǎn)，試判斷BD1與平面AEC的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由。

招式講解：三點(diǎn)確定一個(gè)平面，已知直線只需再有一點(diǎn)即可確定一個(gè)BD1已有二點(diǎn)，平面。為了更直觀的找到兩平面的交線，選擇第三點(diǎn)時(shí)有技巧可尋。平面AEC將空間分為兩個(gè)部分，第三點(diǎn)可選在與線段BD1的另一側(cè)，本題中即Ｄ點(diǎn)。三點(diǎn)組成的三角形，除BD1的另兩邊BD，則兩交點(diǎn)形成的直線與BD1平DD1必然與平面AEC相交，行。在實(shí)際證明過(guò)程中，兩交點(diǎn)在題中的位置越特殊，越有可能為正確的輔助線。

證明展示 證明：連結(jié)BD與ＡＣ交于點(diǎn)Ｏ，連結(jié)OE

?Ｅ、Ｏ分別為DD1、BD中點(diǎn)

?OE//BD

1又?OE?平面AEC，BD1?平面AEC

?BD1//平面AEC

招式點(diǎn)評(píng)

優(yōu)點(diǎn)：招式簡(jiǎn)潔，證明過(guò)程簡(jiǎn)易。

缺點(diǎn)：與平面的交點(diǎn)若不是特殊點(diǎn)，會(huì)出現(xiàn)能找出平行線，但難于證明的情況。再有就是平面的另一面可能在題目中難以找到第三點(diǎn)。實(shí)戰(zhàn)試招１：

如圖，已知四棱錐P?ABCD的底面ABCD的底面ABCD是菱形，點(diǎn)Ｆ為PC中點(diǎn)，求證：

PA//平面BFD

D

第二斧：以平面外的直線作平行四邊形

例2：如圖，正方體ABCD?A1BCE為A1B111D1，上任意一點(diǎn)，求證：AE//平面DC1

招式講解：通過(guò)平行四邊行找平行線是高中

立體幾何中的常見手段。若能夠找到平行四

邊行的相鄰兩邊，則就能作出平行四邊形。

本題中AE可做為平行四邊形的一邊，則另一

邊可以是A1E,EB1,AB,AD,AA1，若考慮到可在題目中較為容易的畫平形

四邊形則只有EB1和AD。這時(shí)，可以發(fā)現(xiàn)以AE,AD兩邊所作的平行四邊形為本題所要的。

證明展示

證明：過(guò)E點(diǎn)作AD的平行線，交C1D1與F點(diǎn)，連結(jié)DF

?EF//A1D1，A1E//D1F

?四邊形A1EFD1為平行四邊形 ?EF?A1D1

?EF//AD且EF?AD

?四邊形ADFE為平行四邊行

?AE//DF又?AE?平面DC1,DF?平面DC1

?AE//平面DC1

招式點(diǎn)評(píng)

優(yōu)點(diǎn)：招式本身的關(guān)鍵在于平行四邊行，同學(xué)們比較熟悉，因此接受起來(lái)比較快。

缺點(diǎn)：找平行四邊形的思維過(guò)程中可能的情況比較多，要一個(gè)一個(gè)去排除，需要一定的邏輯思維能力。再有，招式本身不能解決所有題目要注意變招。

實(shí)戰(zhàn)試招

2如圖，已知三棱柱ABC?A1B1C1中，E為B1C1的中點(diǎn)，F(xiàn)為AA1的中點(diǎn)，求證：A1E//平面BCF 1

第三斧：選證明面面平行，再由線平行的定義過(guò)度到線面平行。

例3：如圖，四棱錐P?ABCD，底面ABCD

為正方形，E，F(xiàn)，G分別為PC,PD,BC的中點(diǎn)，求證：PA//平面EFG 招式講解： 面面平行到線面平行的方法中，尋找與平面EFG平行的平面是解題的關(guān)鍵，而尋找平行平面遵循一定的方法其實(shí)是很容易找到的。兩條相交直線可以確定一個(gè)平面，已知直線PA可以看作是一條，我們只需要找EF,EG,FG中三條邊中任何一條線的平行線即可。但所找的平行線還需滿足一個(gè)條件，與已知直線PA相交。題目中，EF與FG的平行線都很容易找到，比如我們找到滿足要求的EF的平行線AB，則PA與AB所組成的平面PAB就是我們所要找到平面。接下來(lái)我們的任務(wù)就是證明平面PAB//平面EFG。

證明展示

證明：?E,F分別為PC與PD中點(diǎn)

?EF//DC,又?DC//AB

?EF//AB,又?EF?平面EFG,AB?平面EFG

?AB//平面EFG

?E,G分別為PC,BC中點(diǎn)

?PB//EG,又?EG?平面EFG,PB?平面EFG

?PB//平面EFG

又?AB?PB?B

?平面PAB//平面EFG ?PA?平面PAB

?PA//平面EFG

招式點(diǎn)評(píng)

優(yōu)點(diǎn):與前二斧而言使用范圍最廣的招式,套路式的方法很容易找到證明的思路。大部分的題目都可以使用這招得到解決，只不過(guò)是證明過(guò)程的長(zhǎng)度有所不同而已。

缺點(diǎn)：由于證明面面平行，必須先證兩個(gè)線面平行，所以不論題目難易過(guò)程都較長(zhǎng)。步驟多，要寫好要下一番功夫。

實(shí)戰(zhàn)試招

3如圖，在直三棱柱（側(cè)棱與底面垂直的三棱柱）D為BC的中點(diǎn)，求證：AC1//平面AB1D

總結(jié)：線面平行證明的三種方法中，多數(shù)題目其實(shí)都可以用第一、二種方法得到解決，因此前二種方法是首先。第三種方法雖然證明過(guò)程長(zhǎng)，但其思路是很固定的，實(shí)踐過(guò)程中更容易為同學(xué)們所掌握。一個(gè)題目可能有幾種證法，同學(xué)們練習(xí)時(shí)可以三種方法都去試一試，看看有幾種辦法可以解決。在熟悉以后，解題過(guò)程中可按照招式一、二、三的順序依次去思考。

另：對(duì)于考試中的另一重點(diǎn)，垂直關(guān)系就很難總結(jié)為平行中一樣固定的模式，但解題時(shí)也有一定規(guī)律可尋，詳情在另一文中講述。

地址:廣東省中山市小欖鎮(zhèn)小欖中學(xué) 姓名:劉曉聰

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