第一篇：線面平行證明的常用方法

湖北民族學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）20081

2線面平行證明的常用方法

摘要：立體幾何在高考解答題中每年是必考內(nèi)容，線面平行的證明經(jīng)常出現(xiàn),很多同學(xué)總覺得證明方法很多很繁,在這里給大家用作輔助線的常用方法及空間坐標(biāo)系的方法進(jìn)行闡述。

關(guān)鍵詞：找平行線；找第三個點(diǎn)；作平行平面；建立空間坐標(biāo)系

立體幾何在高考解答題中每年是必考內(nèi)容，必有一個證明題；證明的內(nèi)容包括以下內(nèi)容：平行與垂直（線線平行、線面平行、面面平行、線線垂直、線面垂直、面面垂直等），我們現(xiàn)在對線面平行這一方面作如下探討：

在線面平行這節(jié)里有三個重要的定理：

直線與平面平行的判定性定理：如果不在一個平面內(nèi)的一條直線和平面內(nèi)的一條

直線平行，那么這條直線和這個平面平行。

直線與平面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平

面和這個平面相交，那么這條直線和這個交線平行。

平面與平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個平面是平行，那么在其中一個平面內(nèi)的直

線和另一個平面平行。

從前面兩個定理不難發(fā)現(xiàn)：要證線面平行(那么這條直線一定是平行于這個平面的),由性質(zhì)定理可以得到這樣一個結(jié)論：只要過這條直線作一個與平面相交的平面，那這個直線一定是與交線平行得。這樣我們就可以找到與平面內(nèi)的直線平行的直線。那么關(guān)鍵是怎樣作一個平面與已知平面相交且過直線的平面。下面給大家介紹

方法一：兩平行線能確定一個平面，過已知直線的兩個端點(diǎn)作兩條平行線使它們

與已知平面相交，關(guān)鍵：找平行線，使得所作平面與已知平面的交線。

（08浙江卷）如圖,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE//CF，?BCF=?CEF=90?,AD=3,EF=2。求證：AE//平面DCF.分析：過點(diǎn)E作EG//AD交FC于G，DG就是平面

與平面DCF的交線，那么只要證明AE//DG即可。

證明：過點(diǎn)E作EG?CF交CF于G，連結(jié)DG，可得四邊形BCGE為矩形，又ABCD為矩形，∥EG，從而四邊形ADGE為平行四邊形，所以AD 故AE∥DG．

因?yàn)锳E?平面DCF，DG?平面DCF，所以AE∥平面DCF．

方法二：直線與直線外一點(diǎn)有且僅有一個平面，關(guān)鍵：找第三個點(diǎn),使得所作平

面與已知平面的交線。

（06北京卷）如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐P?ABCD中，AB?AC，PA?平面ABCD，且PA?AB，點(diǎn)E是PD的中點(diǎn).求證：PB//平面AEC.分析：由D、P、B三點(diǎn)的平面與已知平面AEC的交線最易找，第三個點(diǎn)選其它的點(diǎn)均不好找交線.證明：連接BD，與 AC 相交于 O，連接

∵ABCD 是平行四邊形，∴O 是 BD 的中點(diǎn)又 E 是 PD 的中點(diǎn)∴EO∥PB.又 PB?平面 AEC，EO?平面 AEC，∴PB∥平面 AEC.方法三：兩個平面是平行, 其中一個平面內(nèi)的直線和另一個平面平行,關(guān)鍵：作

平行平面，使得過所證直線作與已知平面平行的平面

（０８安徽卷）如圖，在四棱錐O?ABCD中，底面ABCD四邊長為1的菱形，?

?ABC?, OA?底面ABCD, OA?2,M為OA的中點(diǎn)，N為BC的中

點(diǎn)，證明：直線MN‖平面OCD 分析：M為OA的中點(diǎn),找OA(或AD)中點(diǎn),再連線。

證明：取OB中點(diǎn)E，連接ME，NE

?ME‖AB,AB‖CD，?ME‖CD

又?NE‖OC,?平面MNE‖平面OCD ?MN‖平面OCD

方法四：（向量法）所證直線與已知平面的法向量垂直，關(guān)鍵：建立空間坐標(biāo)系

（或找空間一組基底）及平面的法向量。

（07全國Ⅱ?理）如圖，在四棱錐S?ABCD中，底面ABCD為正方形，側(cè)棱SD⊥底面ABCD，E，F(xiàn)分別為AB，SC的中點(diǎn)．證明EF∥平面SAD；

分析：因?yàn)閭?cè)棱SD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，所以很容易建立空間直角坐標(biāo)系及相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)。

證明：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系D?xyz．

0，0)，S(0，0，b)，則B(a，a，0)，C(0，a，0)，設(shè)A(a，E?a?a，0?

?，F(xiàn)?0ab??2??2?2?，?

????EF??b??a，0??

2?．

?因?yàn)閥軸垂直與平面SAD，故可設(shè)平面的法向量為n?

=（0，1，0）

????則：EF?n???b??a，0?

2?

（?0，1，0）?

?

=0 因此????EF?n?

所以EF∥平面SAD．

第二篇：證明線面平行的方法

證明線面平行的方法

線面平行重點(diǎn)難點(diǎn)剖析

線面平行關(guān)系的判斷和證明是空間線面位置關(guān)系的研究重點(diǎn)之一，它包括直線與直線的平行，直線與平面的平行以及平面與平面的平行.本節(jié)復(fù)習(xí)包括首先要系統(tǒng)梳理有關(guān)判斷、證明線面平行關(guān)系的各種依據(jù)，其中既包括有關(guān)定義、公理，還包括相應(yīng)的判定定理或性質(zhì)定理.梳理中不僅要明確有關(guān)判斷、證明各有哪些依據(jù)，還要體會不同的依據(jù)在思維策略上給我們的指導(dǎo).例如判斷線面平行可有三種思維策略：

(1)從概念考慮，即依據(jù)線面平行的定義作思考，這就需要證明直線和平面沒有公共點(diǎn).證明方法通常選擇反證法.(2)從降級角度考慮，即通過證明線線平行來證明線面平行.其依據(jù)為：如果平面外一條直線和這個平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行.證明方法通常是把平面外的這條直線經(jīng)過平移，移到這個平面中去.(3)從升級角度考慮，即通過證明面面平行來證明線面平行.其依據(jù)為：兩個平面平行，其中一個平面內(nèi)的直線必平行于另一個平面.證明方法是找出一個與這個平面平行的平面，并且使這條直線正好在所找的平面內(nèi).其中思維策略的選擇不僅要注意建立這種意識，還要根據(jù)不同問題的不同條件，才能作出恰當(dāng)?shù)倪x擇.在復(fù)習(xí)中應(yīng)注意積累這種思考、選擇的經(jīng)驗(yàn).2題目如圖1,已知四邊形ABCD,ABEF為兩個正方形,MN分別在其對角線BF和AC上,且FM=AN,求證:MN∥平面EBC.一、找“線線平行”思考1如圖2,過M作MH∥EF交BE于H,則MHEF=BBMF.過N作NG∥AB交BC于G,則NGAB=CANC.由于四邊形ABCD,ABEF為兩個全等正方形,則BF=AC,EF=AB,又因?yàn)镕M=AN,所以MH∥NG且MH=NG,故四邊形MHGN為平行四邊形,所以MN∥平面EBC.思考2如圖3,連結(jié)AM并延長交BE于K,則CK在平面EBC內(nèi).由題意,知△AFM∽△BKM,則AMMK=BFMM,因?yàn)镕M=AN,BF=AC,則FMBM=ANNC,所以在△ACK中,有AMMK=ANNC,則MN∥CK,所以MN∥平面EBC.注在平面內(nèi)找一條直線與平面外直線平行,通常有兩種方法可找:①構(gòu)造平行四邊形;②構(gòu)造三角形,利用對應(yīng)邊成比例.二、找“面面平行”思考3如圖4,過M作MH∥BE,交AB于H,連結(jié)NH,則BMBF=BBHA.由于四邊形ABCD,ABEF為全等的的正方形,又因?yàn)镕M=AN,則有BMBF=CCNA,所以在3

線面的我已經(jīng)給你了

我來補(bǔ)充線線的1.垂直于同一平面的兩條直線平行

2.平行于同一直線的兩條直線平行

3.一個平面與另外兩個平行平面相交,那么2條交線也平行

4.兩條直線的方向向量共線,則兩條直線平行

第三篇：證明線面平行

證明線面平行

一，面外一條線與面內(nèi)一條線平行，或兩面有交線強(qiáng)調(diào)面外與面內(nèi)

二，面外一直線上不同兩點(diǎn)到面的距離相等，強(qiáng)調(diào)面外

三，證明線面無交點(diǎn)

四，反證法(線與面相交，再推翻)

五，空間向量法，證明線一平行向量與面內(nèi)一向量(x1x2-y1y2=0)

【直線與平面平行的判定】

定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行。

【判斷直線與平面平行的方法】

(1)利用定義：證明直線與平面無公共點(diǎn);

(2)利用判定定理：從直線與直線平行得到直線與平面平行;

(3)利用面面平行的性質(zhì)：兩個平面平行，則一個平面內(nèi)的直線必平行于另一個平面

線面平行

【直線與平面平行的判定】

定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行。

【判斷直線與平面平行的方法】

(1)利用定義：證明直線與平面無公共點(diǎn);

(2)利用判定定理：從直線與直線平行得到直線與平面平行;

(3)利用面面平行的性質(zhì)：兩個平面平行，則一個平面內(nèi)的直線必平行于另一個平面。

【平面與直線平行的性質(zhì)】

定理：一條直線和一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。

此定理揭示了直線與平面平行中蘊(yùn)含著直線與直線平行。通過直線與平面平行可得到直線與直線平行。這給出了一種作平行線的重要方法。

注意：直線與平面平行，不代表與這個平面所有的直線都平行，但直線與平面垂直，那么這條直線與這個平面內(nèi)的所有直線都垂直。

本題就用到一個關(guān)鍵概念：重心三分中線

設(shè)E為BD的中點(diǎn)，連接AE，CE

則M在AE上，且有AM=2ME

N在CE上，且有CN=2NE

在三角形ACE中，因?yàn)?，EM:EA=1:3

EN:EC=1:3

所以，MN//AC

AC屬于平面ACD，MN不在平面ACD內(nèi)，即無公共點(diǎn)

所以，MN//平面ACD

本題就用到一個關(guān)鍵概念：重心三分中線

設(shè)E為BD的中點(diǎn)，連接AE，CE

則M在AE上，且有AM=2ME

N在CE上，且有CN=2NE

在三角形ACE中，因?yàn)?，EM:EA=1:3

EN:EC=1:3

所以，MN//AC

AC屬于平面ACD，MN不在平面ACD內(nèi)，即無公共點(diǎn)

所以，MN//平面ACD

第四篇：線面平行證明

線面平行證明“三板斧”

第一斧：從結(jié)論出發(fā)，假定線面平行成立，利用線面平行的性質(zhì)，在平面

內(nèi)找到與已知直線的平行線。

例１：如圖正方體ABCD?A1B1C1D1中，Ｅ為DD1的中點(diǎn)，試判斷BD1與平面AEC的位置關(guān)系，并說明理由。

練習(xí)：

如圖，已知四棱錐P?ABCD的底面ABCD的底面ABCD是菱形，點(diǎn)Ｆ為PC中點(diǎn)，求證：PA//平面BFD

第二斧：以平面外的直線作平行四邊形

D

例2：如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1，E為A1B1上任意一點(diǎn)，求證：AE//平面DC

1練習(xí)：

如圖，已知三棱柱ABC?A1B1C1中，E為B1C1的中點(diǎn)，F(xiàn)為AA1的中點(diǎn)，求證：

A1E//平面B1CF

第三斧：選證明面面平行，再由線平行的定義過度到線面平行。

例3：如圖，四棱錐P?ABCD，底面ABCD為正方形，E，F(xiàn)，G分別為PC,PD,BC的中點(diǎn)，求證：PA//平面EFG

練習(xí)：如圖，在直三棱柱（側(cè)棱與底面垂直的三棱柱）D為BC的中點(diǎn)，求證：

AC1//平面AB1D

B

C

總結(jié)：線面平行證明的三種方法中，多數(shù)題目其實(shí)都可以用第一、二種方法得到解決，因此前二種方法是首先。第三種方法雖然證明過程長，但其思路是很固定的，實(shí)踐過程中更容易為同學(xué)們所掌握。一個題目可能有幾種證法，同學(xué)們練習(xí)時可以三種方法都去試一試，看看有幾種辦法可以解決。在熟悉以后，解題過程中可按照招式一、二、三的順序依次去思考。

1.如圖，在四棱錐P?ABCD中，ABCD是平行四邊形，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)．

求證：MN//平面PAD．

2.如圖，在正四棱錐P?ABCD中，PA?AB?a,點(diǎn)E在棱PC上． 問點(diǎn)E在何處時，PA//平面EBD，并加以證明.P

E

C

A

B

3.如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中, D為AC的中點(diǎn),求證:AB1//平面BC1D；

AA

D

C

B1

C1

4．在四面體ABCD中，M，N分別是面△ACD，△BCD的重心，則四面體的四個面中與MN平行的是________.5．如下圖所示，四個正方體中，A，B為正方體的兩個頂點(diǎn)，M，N，P分別為其所在棱的中點(diǎn)，能得到AB//面MNP的圖形的序號的是

①②③④

6.如圖，正三棱柱ABC?A1B1C1的底面邊長是2，3，D是AC的中點(diǎn).求證：B1C//平面A1BD.A

7．a(chǎn)，b是兩條異面直線，A是不在a，b上的點(diǎn)，則下列結(jié)論成立的是

A．過A有且只有一個平面平行于a，bB．過A至少有一個平面平行于a，b

C．過A有無數(shù)個平面平行于a，bD．過A且平行a，b的平面可能不存在8．設(shè)平面?∥β，A，C∈?，B，D∈β，直線AB與CD交于S，若AS=18，BS=9，CD=34，則CS=_____________.9.如下圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AB，CC1的中點(diǎn)，在平面ADD1A1內(nèi)且與平面D1EF平行的直線()

A．不存在B．有1條C．有2條D．有無數(shù)條

10.如圖所示：設(shè)P

上的點(diǎn)，AMDN且?MBNP

11.求證：MN//平面PBC如圖所示，在棱長為a的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，P，Q分別是BC，C1D1，AD1，BD的中點(diǎn)．

（１）求證：PQ//平面DCC1D1（２）求PQ的長．

（３）求證：EF//平面BB1D1D．

第五篇：線面平行證明“三板斧”

線面平行證明“三板斧”

線面平行是高考的重點(diǎn)，也是平行關(guān)系中的核心。在證明線面平行的過程中，如何快速的找到證明的思路，此文的目的就在于此。將證明的過程程序化，可以幫助學(xué)生形成良好的思維習(xí)慣，也可以引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會去總結(jié)。

第一斧：從結(jié)論出發(fā)，假定線面平行成立，利用線面平行的性質(zhì)，在平面內(nèi)找到與已知直線的平行線。

例１：如圖正方體ABCD?A1BCＥ為11D1中，DD1的中點(diǎn)，試判斷BD1與平面AEC的位置關(guān)系，并說明理由。

招式講解：三點(diǎn)確定一個平面，已知直線只需再有一點(diǎn)即可確定一個BD1已有二點(diǎn)，平面。為了更直觀的找到兩平面的交線，選擇第三點(diǎn)時有技巧可尋。平面AEC將空間分為兩個部分，第三點(diǎn)可選在與線段BD1的另一側(cè)，本題中即Ｄ點(diǎn)。三點(diǎn)組成的三角形，除BD1的另兩邊BD，則兩交點(diǎn)形成的直線與BD1平DD1必然與平面AEC相交，行。在實(shí)際證明過程中，兩交點(diǎn)在題中的位置越特殊，越有可能為正確的輔助線。

證明展示 證明：連結(jié)BD與ＡＣ交于點(diǎn)Ｏ，連結(jié)OE

?Ｅ、Ｏ分別為DD1、BD中點(diǎn)

?OE//BD

1又?OE?平面AEC，BD1?平面AEC

?BD1//平面AEC

招式點(diǎn)評

優(yōu)點(diǎn)：招式簡潔，證明過程簡易。

缺點(diǎn)：與平面的交點(diǎn)若不是特殊點(diǎn)，會出現(xiàn)能找出平行線，但難于證明的情況。再有就是平面的另一面可能在題目中難以找到第三點(diǎn)。實(shí)戰(zhàn)試招１：

如圖，已知四棱錐P?ABCD的底面ABCD的底面ABCD是菱形，點(diǎn)Ｆ為PC中點(diǎn)，求證：

PA//平面BFD

D

第二斧：以平面外的直線作平行四邊形

例2：如圖，正方體ABCD?A1BCE為A1B111D1，上任意一點(diǎn)，求證：AE//平面DC1

招式講解：通過平行四邊行找平行線是高中

立體幾何中的常見手段。若能夠找到平行四

邊行的相鄰兩邊，則就能作出平行四邊形。

本題中AE可做為平行四邊形的一邊，則另一

邊可以是A1E,EB1,AB,AD,AA1，若考慮到可在題目中較為容易的畫平形

四邊形則只有EB1和AD。這時，可以發(fā)現(xiàn)以AE,AD兩邊所作的平行四邊形為本題所要的。

證明展示

證明：過E點(diǎn)作AD的平行線，交C1D1與F點(diǎn)，連結(jié)DF

?EF//A1D1，A1E//D1F

?四邊形A1EFD1為平行四邊形 ?EF?A1D1

?EF//AD且EF?AD

?四邊形ADFE為平行四邊行

?AE//DF又?AE?平面DC1,DF?平面DC1

?AE//平面DC1

招式點(diǎn)評

優(yōu)點(diǎn)：招式本身的關(guān)鍵在于平行四邊行，同學(xué)們比較熟悉，因此接受起來比較快。

缺點(diǎn)：找平行四邊形的思維過程中可能的情況比較多，要一個一個去排除，需要一定的邏輯思維能力。再有，招式本身不能解決所有題目要注意變招。

實(shí)戰(zhàn)試招

2如圖，已知三棱柱ABC?A1B1C1中，E為B1C1的中點(diǎn)，F(xiàn)為AA1的中點(diǎn)，求證：A1E//平面BCF 1

第三斧：選證明面面平行，再由線平行的定義過度到線面平行。

例3：如圖，四棱錐P?ABCD，底面ABCD

為正方形，E，F(xiàn)，G分別為PC,PD,BC的中點(diǎn)，求證：PA//平面EFG 招式講解： 面面平行到線面平行的方法中，尋找與平面EFG平行的平面是解題的關(guān)鍵，而尋找平行平面遵循一定的方法其實(shí)是很容易找到的。兩條相交直線可以確定一個平面，已知直線PA可以看作是一條，我們只需要找EF,EG,FG中三條邊中任何一條線的平行線即可。但所找的平行線還需滿足一個條件，與已知直線PA相交。題目中，EF與FG的平行線都很容易找到，比如我們找到滿足要求的EF的平行線AB，則PA與AB所組成的平面PAB就是我們所要找到平面。接下來我們的任務(wù)就是證明平面PAB//平面EFG。

證明展示

證明：?E,F分別為PC與PD中點(diǎn)

?EF//DC,又?DC//AB

?EF//AB,又?EF?平面EFG,AB?平面EFG

?AB//平面EFG

?E,G分別為PC,BC中點(diǎn)

?PB//EG,又?EG?平面EFG,PB?平面EFG

?PB//平面EFG

又?AB?PB?B

?平面PAB//平面EFG ?PA?平面PAB

?PA//平面EFG

招式點(diǎn)評

優(yōu)點(diǎn):與前二斧而言使用范圍最廣的招式,套路式的方法很容易找到證明的思路。大部分的題目都可以使用這招得到解決，只不過是證明過程的長度有所不同而已。

缺點(diǎn)：由于證明面面平行，必須先證兩個線面平行，所以不論題目難易過程都較長。步驟多，要寫好要下一番功夫。

實(shí)戰(zhàn)試招

3如圖，在直三棱柱（側(cè)棱與底面垂直的三棱柱）D為BC的中點(diǎn)，求證：AC1//平面AB1D

總結(jié)：線面平行證明的三種方法中，多數(shù)題目其實(shí)都可以用第一、二種方法得到解決，因此前二種方法是首先。第三種方法雖然證明過程長，但其思路是很固定的，實(shí)踐過程中更容易為同學(xué)們所掌握。一個題目可能有幾種證法，同學(xué)們練習(xí)時可以三種方法都去試一試，看看有幾種辦法可以解決。在熟悉以后，解題過程中可按照招式一、二、三的順序依次去思考。

另：對于考試中的另一重點(diǎn)，垂直關(guān)系就很難總結(jié)為平行中一樣固定的模式，但解題時也有一定規(guī)律可尋，詳情在另一文中講述。

地址:廣東省中山市小欖鎮(zhèn)小欖中學(xué) 姓名:劉曉聰

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