第一篇：圓的切線方程公式證明

已知:圓的方程為:(xb)2 = r2, 圓上一點P(x0, y0)解:圓心C(a, b)

直線CP的斜率:k1 =(y0a)

因為直線CP與切線垂直, 所以切線的斜率:k2 =-1/k1 =a)/(y0y0 = k2(xy0 = [-(x0b)](xx0)(x0y0)(y0ax + ax0 + y0yx02a)2 +(y02ax0 + a2 + y12x022by0 + a2 + b2ax + ax0 + y0y2by0 + a2 + b2axyba)(xb)(y(x0 + D/2)/(y0 + E/2)

根據(jù)點斜式, 求得切線方程：

yx0)

yx0)

整理得:x0x + y0y + Dx/2 + Ey/2Ey0/2-x02x02Dx0/2a)2 +(yMC2)

(根據(jù)勾股定理)

= √ [(x0b)2MC2)

(根據(jù)勾股定理)

= √ [(x0 + D/2)2 +(y0 + E/2)2-((√(D2+E2-4F))/2)2 ]

(半徑:r=(√(D2+E2-4F))/ 2)

= √(x02 + y02 + Dx0 + Ey0 + F)

第二篇：中考復(fù)習(xí)專題——如何證明圓的切線

如何證明圓的切線

證明直線是圓的切線，通常有的兩種方法：

一、要證明某直線是圓的切線，如果已知直線過圓上的某一個點，那么作出過這一點的半徑，證明直線垂直于半徑．

【例1】如圖1，已知AB為⊙O的直徑，點D在AB的延長線上，BD＝OB，點C在圓上，∠CAB＝30o．求證：DC是⊙O的切線．

思路：要想證明DC是⊙O的切線，只要我們連接OC，證明∠OCD

＝90o即可．

證明：連接OC，BC．

∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90o． ∵∠CAB＝30o，∴BC＝∵BD＝OB，∴BC＝

圖

1AB＝OB．

2OD．∴∠OCD＝90o． 2

∴DC是⊙O的切線．

【評析】一定要分清圓的切線的判定定理的條件與結(jié)論，特別要注意“經(jīng)過半徑的外端”和“垂直于這條半徑”這兩個條件缺一不可，否則就不是圓的切線．本題在證明∠OCD＝90o時，運用了“在一個三角形中，如果一條邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是直角三角形”，當(dāng)然也可以從角度計算的角度來求∠OCD＝90o．

二、如果直線與圓的公共點沒有確定，則應(yīng)過圓心作直線的垂線，證明圓心到這條直線的距離等于半徑．

【例2】如圖2，已知OC平分∠AOB，D是OC上任意一點，⊙D與OA相切于點E．求證：OB與⊙D相切．

思路：連接DE，過點D作DF⊥OB于點F，證明DE＝DF即可，這可由角平分線上的點到角兩邊的距離相等證得．

請同學(xué)們寫出證明過程．

圖

2【評析】一定要防止出現(xiàn)錯將圓上的一點當(dāng)作公共點而連接出半徑．同學(xué)們一定要認(rèn)真體會證明切線時常用的這兩種方法，作輔助線時一定要注意表述的正確性．

【例3】如圖3，已知AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，AD和過C點

圖

3的切線互相垂直，垂足為D．求證：AC平分∠DAB．

思路：利用圓的切線的性質(zhì)——與圓的切線垂直于過切點的半徑．

證明：連接OC．

∵CD是⊙O的切線，∴OC⊥CD．

∵AD⊥CD，∴OC∥AD．∴∠1＝∠2．

∵OC＝OA，∴∠1＝∠3．∴∠2＝∠3．

∴AC平分∠DAB．

【評析】已知一條直線是某圓的切線時，切線的位置一般是確定的．在解決有關(guān)圓的切線問題時，輔助線常常是連接圓心與切點，得到半徑，那么半徑垂直切線．

【例4】如圖4，已知AB為⊙O的直徑，過點B作⊙O的切線BC，連接

OC，弦AD∥OC．求證：CD是⊙O的切線．

思路：本題中既有圓的切線是已知條件，又證明另一條直線是圓的切線．也

就是既要注意運用圓的切線的性質(zhì)定理，又要運用圓的切線的判定定理．欲證明

CD是⊙O的切線，只要證明∠ODC＝90o即可．

證明：連接OD．

∵OC∥AD，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4．

∵OA＝OD，∴∠1＝∠2．∴∠3＝∠4．

又∵OB＝OD，OC＝OC，∴△OBC≌△ODC．∴∠OBC＝∠ODC．

∵BC是⊙O的切線，∴∠OBC＝90o．∴∠ODC＝90o．

∴DC是⊙O的切線．

【評析】本題綜合運用了圓的切線的性質(zhì)與判定定理．一定要注意區(qū)分這兩個定理的題設(shè)與結(jié)論，注意在什么情況下可以用切線的性質(zhì)定理，在什么情況下可以用切線的判定定理．希望同學(xué)們通過本題對這兩個定理有進一步的認(rèn)識．本題若作OD⊥CD，就判斷出了CD與⊙O相切，這是錯誤的．這樣做相當(dāng)于還未探究、判斷，就以經(jīng)得出了結(jié)論，顯然是錯誤的．

圖42

第三篇：點到直線距離和圓的方程公式

點到直線距離公式：

(x0,y0)到AX+BY+C=0

d= |Ax0+By0+C|/√(A^2+B^2)

證明：

點P（x0，y0）到直線Ax＋By＋C=0的距離：

設(shè)PQ垂直直線L于Q，當(dāng)B＝0時，直線L為：x=-c/a ,所以d＝|x0-(-c/a)|＝|ax0+c|/√a^2當(dāng)a＝0時，直線L為：y=-c/b ,所以d＝|y0-(-c/b)|＝|by0+c|/√b^2當(dāng)a≠0，b≠0時，直線L的斜率為：k=-a/b ,直線PQ的斜率為： k′=b/a所以以直線PQ為：y=(b/a)*(x-x0)+ y0

因為兩直線的交點為：

Q((b^2*x0-aby0-ac)/√(a^2+b^2),(a^2*y0-abx0-bc)/√(a^2+b^2))所以d＝PQ＝|ax0+by0+c|/√(a^2+b^2)

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)^2+(y-b)^2=r^2

第四篇：圓的切線判定 教案

2.5.2圓的切線的判定

執(zhí)教者：湖南省雙峰縣永豐中學(xué)

謝靖敏

教學(xué)目標(biāo)：

1、掌握圓的切線的判定定理，能初步運用它解決有關(guān)問題。

2、通過圓的切線的判定定理和判定方法的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、歸納問題的能力。

3、通過學(xué)生自己實踐發(fā)現(xiàn)定理，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性和積極性。

教學(xué)重點、難點：

1、切線的判定定理。

2、切線判定方法的運用。教學(xué)用具：三角板，圓規(guī)、課件

教學(xué)過程：

一、引入

直線和圓的位置關(guān)系有哪幾種?

二、探究活動

用幾何畫板得出判定定理。

三、得出結(jié)論

1、切線的判定定理

經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.2、判斷正誤，錯誤的請舉反例。

（1）.經(jīng)過半徑的外端的直線是圓的切線（）（2）.與半徑垂直的的直線是圓的切線（）

（3）.過半徑的端點并且與這條半徑垂直的直線是圓的切線（）

四、新知應(yīng)用

1、學(xué)了切線的判定定理后，小華說，利用判定定理,他可以過圓上一點作圓的切線.想一想你會作嗎?怎樣作?

2、例1 已知：如圖，AD是圓O的直徑，直線BC經(jīng)過點D，并且AB=AC，∠1=∠2.求證：直線BC是圓O的切線.3、變式練習(xí)已知：如圖，直線AB經(jīng)過圓O上的點C，并且OA=OB，AC=BC.求證：直線AB是圓O的切線.4、拓展提升

已知：O為∠BAC平分線上一點，OD⊥AB于D,以O(shè)為圓心，OD為半徑作⊙O。

求證：AC與⊙O相切。

五、學(xué)習(xí)小結(jié)

這節(jié)課你學(xué)到了什么？

六、課后作業(yè)

1、思考

切線有怎樣的性質(zhì)呢？

2、作業(yè)

教材P75第2題

選做：P76第9題

第五篇：圓的切線教學(xué)反思

圓的切線教學(xué)反思

我在教《九年級數(shù)學(xué)》下冊“圓的切線”復(fù)習(xí)課時，是這樣設(shè)計的：首先在黑板上畫一個圓，要求學(xué)生：“在現(xiàn)有的圖形中從添加一條切線、兩條切線、三條切線??，畫出圖形并說出相關(guān)的結(jié)論思考”；在獨立完成的基礎(chǔ)上小組內(nèi)討論匯總，不同組之間相互交流；然后有某組同學(xué)代表本組講解本組的收獲，其他小組補充；這樣經(jīng)過全體學(xué)生的共同努力，與切線有關(guān)的所有知識點都囊獲其中。接著我讓學(xué)生展開想象的翅膀，“用你的智慧和以前的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，自己設(shè)計與切線有關(guān)的題目（可以是課本中或你做過的題目的變式）”；仍然讓學(xué)生小組合作交流，然后板演講解。結(jié)果讓我大吃一驚，學(xué)生的設(shè)計有易有難，有選擇、填空，還有解答探索。整堂課課堂氣氛異常活躍，學(xué)生踴躍發(fā)言，積極參與，爭先恐后，高潮迭起。并且我把課堂全部還給了學(xué)生，給了他們充分的展示自己的時間和空間，體現(xiàn)了“一切為了每一位學(xué)生的發(fā)展”新課程理念。真正是“給學(xué)生一次機會，學(xué)生一定會還你一個驚喜”。在教學(xué)中還存在以下的遺憾與不足：時間安排不合理，前面基礎(chǔ)知識復(fù)習(xí)的時間過長，有點“前松后緊”；忽略了學(xué)習(xí)困難生的學(xué)習(xí)參與，沒有有意“關(guān)愛、照顧”；教師的“導(dǎo)學(xué)”與“補漏”還做的不足；課堂小結(jié)處理匆忙，沒有達到回扣目標(biāo)，“畫龍點睛”的作用。再教學(xué)本節(jié)課時，充分發(fā)揮課前準(zhǔn)備的時間，縮短基礎(chǔ)知識復(fù)習(xí)的時間，為后面的學(xué)生自主探究提供更多的時間保障；要面向全體，關(guān)愛學(xué)習(xí)困難生，給他們一定的時間，使他們享受到學(xué)習(xí)的快樂；做好課堂總結(jié)，起到其概括回扣作用。相信用我的愛心，用我的智慧，用我的探索，用我的耕耘，給學(xué)生更多的探索學(xué)習(xí)的時間和空間，一定能優(yōu)化我們的課堂，讓課堂煥發(fā)活力，讓學(xué)生找到自信，使學(xué)生愿學(xué)數(shù)學(xué)，學(xué)好數(shù)學(xué)，收獲豐碩的數(shù)學(xué)成果。

數(shù)學(xué)教研組：陳登群

二0一三年三月十日