第一篇：證明兩個(gè)平面平行

證明兩個(gè)平面平行證明兩個(gè)平面平行的方法有：(1)根據(jù)定義。證明兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)。

由于兩個(gè)平面平行的定義是否定形式，所以直接判定兩個(gè)平面平行較困難，因此通常用反證法證明。

(2)根據(jù)判定定理。證明一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都與另一個(gè)平面平行。(3)根據(jù)“垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行”，證明兩個(gè)平面都與同一條直線垂直。2.兩個(gè)平行平面的判定定理與性質(zhì)定理不僅都與直線和平面的平行有邏輯關(guān)系，而且也和直線與直線的平行有密切聯(lián)系。就是說(shuō)，一方面，平面與平面的平行要用線面、線線的平行來(lái)判定;另一方面，平面

與平面平行的性質(zhì)定理又可看作平行線的判定定理。這樣，在一定條件下，線線平行、線面平行、面面平行就可以互相轉(zhuǎn)化。3.兩個(gè)平行平面有無(wú)數(shù)條公垂線，它們都是互相平行的直線。夾在兩個(gè)平行平面之間的公垂線段相等。

因此公垂線段的長(zhǎng)度是唯一的，把這公垂線段的長(zhǎng)度叫作兩個(gè)平行平面間的距離。顯然這個(gè)距離也等于其中一個(gè)平面上任意一點(diǎn)到另一個(gè)平面的垂線段的長(zhǎng)度。

兩條異面直線的距離、平行于平面的直線和平面的距離、兩個(gè)平行平面間的距離，都?xì)w結(jié)為兩點(diǎn)之間的距離。

1.兩個(gè)平面的位置關(guān)系，同平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系相類似，可以從有無(wú)公共點(diǎn)來(lái)區(qū)分。因此，空間不重合的兩個(gè)平面的位置關(guān)系有：(1)平行—沒有公共點(diǎn);(2)相交—有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，且這些公共點(diǎn)的集合是一條直線。

注意：在作圖中，要表示兩個(gè)平面平行時(shí)，應(yīng)把表示這兩個(gè)平面的平行四邊形畫成對(duì)應(yīng)邊平行。

2.兩個(gè)平面平行的判定定理表述為： 4.兩個(gè)平面平行具有如下性質(zhì)：

(1)兩個(gè)平行平面中,一個(gè)平面內(nèi)的直線必平行于另一個(gè)平面。簡(jiǎn)述為：“若面面平行,則線面平行”。

(2)如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。簡(jiǎn)述為：“若面面平行,則線線平行”。

(3)如果兩個(gè)平行平面中一個(gè)垂直于一條直線，那么另一個(gè)也與這條直線垂直。(4)夾在兩個(gè)平行平面間的平行線段相等 2 用反證法

A平面垂直與一條直線，設(shè)平面和直線的交點(diǎn)為P B平面垂直與一條直線，設(shè)平面和直線的交點(diǎn)為Q 假設(shè)A和B不平行，那么一定有交點(diǎn)。設(shè)有交點(diǎn)R，那么 做三角形 PQR PR垂直PQ QR垂直PQ 沒有這樣的三角形。

第二篇：證明兩個(gè)平面平行

證明兩個(gè)平面平行

證明兩個(gè)平面平行的方法有：

(1)根據(jù)定義。證明兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)。

由于兩個(gè)平面平行的定義是否定形式，所以直接判定兩個(gè)平面平行較困難，因此通常用反證法證明。

(2)根據(jù)判定定理。證明一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都與另一個(gè)平面平行。

(3)根據(jù)“垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行”，證明兩個(gè)平面都與同一條直線垂直。

2.兩個(gè)平行平面的判定定理與性質(zhì)定理不僅都與直線和平面的平行有邏輯關(guān)系，而且也和直線與直線的平行有密切聯(lián)系。就是說(shuō)，一方面，平面與平面的平行要用線面、線線的平行來(lái)判定;另一方面，平面

與平面平行的性質(zhì)定理又可看作平行線的判定定理。這樣，在一定條件下，線線平行、線面平行、面面平行就可以互相轉(zhuǎn)化。

3.兩個(gè)平行平面有無(wú)數(shù)條公垂線，它們都是互相平行的直線。夾在兩個(gè)平行平面之間的公垂線段相等。

因此公垂線段的長(zhǎng)度是唯一的，把這公垂線段的長(zhǎng)度叫作兩個(gè)平行平面間的距離。顯然這個(gè)距離也等于其中一個(gè)平面上任意一點(diǎn)到另一個(gè)平面的垂線段的長(zhǎng)度。

兩條異面直線的距離、平行于平面的直線和平面的距離、兩個(gè)平行平面間的距離，都?xì)w結(jié)為兩點(diǎn)之間的距離。

1.兩個(gè)平面的位置關(guān)系，同平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系相類似，可以從有無(wú)公共點(diǎn)來(lái)區(qū)分。因此，空間不重合的兩個(gè)平面的位置關(guān)系有：

(1)平行—沒有公共點(diǎn);

(2)相交—有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，且這些公共點(diǎn)的集合是一條直線。

注意：在作圖中，要表示兩個(gè)平面平行時(shí)，應(yīng)把表示這兩個(gè)平面的平行四邊形畫成對(duì)應(yīng)邊平行。

2.兩個(gè)平面平行的判定定理表述為：

4.兩個(gè)平面平行具有如下性質(zhì)：

(1)兩個(gè)平行平面中,一個(gè)平面內(nèi)的直線必平行于另一個(gè)平面。

簡(jiǎn)述為：“若面面平行,則線面平行”。

(2)如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。

簡(jiǎn)述為：“若面面平行,則線線平行”。

(3)如果兩個(gè)平行平面中一個(gè)垂直于一條直線，那么另一個(gè)也與這條直線垂直。

(4)夾在兩個(gè)平行平面間的平行線段相等

用反證法

A平面垂直與一條直線，設(shè)平面和直線的交點(diǎn)為p

B平面垂直與一條直線，設(shè)平面和直線的交點(diǎn)為Q

假設(shè)A和B不平行，那么一定有交點(diǎn)。

設(shè)有交點(diǎn)R，那么

做三角形pQR

pR垂直pQQR垂直pQ

沒有這樣的三角形。因?yàn)槿切蔚膬?nèi)角和為180

所以A一定平行于B

第三篇：兩個(gè)平面平行的性質(zhì)

兩個(gè)平面平行的性質(zhì)

一、教學(xué)目的：（1）掌握兩個(gè)平面平行的性質(zhì)；（2）能利用性質(zhì)解決有關(guān)線線平行的問(wèn)題；

（3）明確兩平行平面間的距離并求兩平行平面間的距離.二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：兩個(gè)平面平行的性質(zhì)；利用性質(zhì)解決有關(guān)線線平行的問(wèn)題.三、教學(xué)過(guò)程：

1、復(fù)習(xí)：兩個(gè)平面平行的判定方法：

2、兩個(gè)平面平行的性質(zhì)（1）：如果兩個(gè)平面平行，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的直線平行于另一個(gè)平面.3、兩個(gè)平面平行的的性質(zhì)（2）：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行.4、練習(xí)：判斷下列命題的真假，對(duì)真命題給出證明，對(duì)假命題舉出反例.1、m??,n??,m//?,n//???//?;

2、?//?,m??,n???m//n；

3、?//?,l???l//?；

4、?內(nèi)的任一直線都平行于???//?.四、典型例子分析：

[例1]：求證：如果一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，那么它也垂直于另一個(gè)平面.l 已知：

求證：

[說(shuō)明]：（1）?//????l??，可以用來(lái)判斷直線與平面垂直依據(jù).l???

（2）和兩個(gè)平行平面同時(shí)垂直的直線，叫做這兩個(gè)平行平面的公垂線；

（3）夾在這兩個(gè)平行平面間的部分，叫做這兩個(gè)平行平面的公垂線段；

（4）兩個(gè)平行平面的公垂線的長(zhǎng)度叫做這兩個(gè)平行平面的距離.[例2]：如圖，a,b是異面直線，a??,b//?,b??,a//?,（1）求證：?//?；

（2）求證：a,b間的距離等于平行平面?與平面?平面的距離.[說(shuō)明]：

練習(xí)：求證：夾在兩個(gè)平行平面間的平行線段相等.[思考題]：AB、CD為夾在兩個(gè)平行平面?,?間的異面線段，M、N分別為AB、CD的中點(diǎn)，求證：MN//?(MN//?).作業(yè)：

1、一條直線和兩個(gè)平行平面相交，求證它和兩個(gè)平面所成的角相等.、兩個(gè)平行平面之間的距離等于12cm，一條直線和它們相交成60角，求這條直線上夾在這兩個(gè)平面間的線段的長(zhǎng).

第四篇：兩個(gè)平面平行的判定和性質(zhì)(一)

兩個(gè)平面平行的判定和性質(zhì)

（一）一、教學(xué)目標(biāo)

1．理解并掌握兩個(gè)平面平行的定義．

2．掌握兩個(gè)平面的位置關(guān)系應(yīng)用了類比的方法。

二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)、疑點(diǎn)及解決方法

1．教學(xué)重點(diǎn)：掌握兩個(gè)平面的位置關(guān)系；掌握兩個(gè)平面平行的判定．

2．教學(xué)難點(diǎn)：掌握兩個(gè)平面平行的判定定理的證明及其應(yīng)用．

三、課時(shí)安排

1．12兩個(gè)平面的位置關(guān)系及1．13兩個(gè)平面平行的判定和性質(zhì)這兩個(gè)課題調(diào)整安排為2課時(shí)．本節(jié)課為第一課時(shí)，主要講解兩個(gè)平面的位置關(guān)系及兩個(gè)平面平行的判定．

四、教與學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

（一）兩個(gè)平面的位置關(guān)系

思考問(wèn)題：

1、不重合的兩個(gè)平面的位置關(guān)系：

兩個(gè)平面平行——沒有公共點(diǎn)；

兩個(gè)平面相交——有一條公共直線（至少有一個(gè)公共點(diǎn)）．

4、如何畫出并表示兩個(gè)平行平面和兩個(gè)相交平面呢？

畫兩個(gè)平行平面的要點(diǎn)是：表示平面的平行四邊形的對(duì)應(yīng)邊相互平行．如圖1—102．

畫兩個(gè)相交平面的要點(diǎn)是：先畫表示兩個(gè)平面的平行四邊形的相交兩邊，再畫表示兩個(gè)平面交線的線段．成圖時(shí)注意不相交的直線相互平行且等長(zhǎng)，不可見的部分畫虛線或不畫．如圖1—103．

學(xué)生練習(xí)（P．35中練習(xí)2）：畫兩個(gè)平行平面和分別在這兩個(gè)平面內(nèi)的兩條平行直線，再畫一個(gè)經(jīng)過(guò)這兩條平行直線的平面．

如圖1—104，α∥β，a∥b，a＜α，b＜β，a＜γ，b＜γ．

（二）兩個(gè)平面平行的判定

師：根據(jù)前一小節(jié)平面平行的定義，我們來(lái)判斷兩個(gè)互逆命題的正誤，并說(shuō)明理由（幻燈顯示）． 命題1．如果兩個(gè)平面平行，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的所有直線一定都和另一個(gè)平面平行． 命題2．如果一個(gè)平面內(nèi)的所有直線都和另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行． 通過(guò)上面的討論我們知道：兩個(gè)平面平行的問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為一個(gè)平面內(nèi)直線和另一個(gè)平面平行的問(wèn)題．實(shí)際上判定兩個(gè)平面平行的條件不需要一個(gè)平面內(nèi)的所有直線都平行于另一個(gè)平面，只需要在一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面．

兩個(gè)平面平行的判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行．

已知：在平面β內(nèi)，有兩條相交直線a、b和平面α平行． 求證：β∥α．

師分析：要證明這個(gè)定理，先思考幾個(gè)問(wèn)題（提出問(wèn)題并啟發(fā)學(xué)生得出結(jié)論）（幻燈顯

示）．

問(wèn)題1：如果平面α與平面β不平行，那么它們的位置關(guān)系怎樣？（相交）． 問(wèn)題2：若平面α與平面β相交，那么交線與平行于平面α的直線a和b各有什么關(guān)系？（平行）．

問(wèn)題3：相交直線a和b都與交線平行合理嗎？（不合理，與平行公理矛盾）． 師：總結(jié)得出證明定理應(yīng)該根據(jù)定義，利用反證法，讓學(xué)生寫出它的證明過(guò)程．

證明：假設(shè)α∩β＝c．a(chǎn)∥α，a∩β，a∥c，同理b∥c．a(chǎn)∥b，這與題設(shè)a與b相交矛盾，α∥β．

（三）練習(xí)

例1垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行．

已知：α⊥AA＇，β⊥AA＇，求證：α∥β．

提示：要證明兩個(gè)平面平行，有兩種方法：一是利用定義；二是利用判定定理，也是較常用的一種方法．因此利用判定定理證明例1的關(guān)鍵是：如何構(gòu)造一個(gè)平面內(nèi)的兩相交直線都平行于另一個(gè)平面？

證明：設(shè)經(jīng)過(guò)直線AA＇的兩個(gè)平面γ，δ分別與平面α、β交于直線a，a＇和b，b＇． ∵AA＇⊥α，AA＇⊥β，∴AA⊥a，AA＇⊥a＇，∴a‖a＇，則a＇∥α． 同理，b＇∥α．

又∵a＇∩b＇＝ A＇∴α∥β．

師：這個(gè)例題的結(jié)論可與定理“垂直于同一平面的兩條直線平行”聯(lián)系起來(lái)記憶，也可作為判定兩個(gè)平面平行的一種方法．

練習(xí)：判斷下列命題的正誤（幻燈顯示）．

1．垂直于同一直線的兩直線平行．

2．分別在兩個(gè)平行平面內(nèi)的兩條直線都平行（P．37中練習(xí)1）．

3．如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行（P．38中練習(xí)2<1>）．

4．如果一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行（P．38中練習(xí)2<2>）．

答：1．錯(cuò)，這兩條直線還可能相交或異面．

2．錯(cuò)，這兩條直線還可能異面，但不會(huì)相交．

3．錯(cuò)，反例如圖1—107．

4．對(duì)．

（四）總結(jié)

本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了兩個(gè)平面平行的定義；兩個(gè)平面的位置關(guān)系：平行或相交；兩個(gè)平面平行的判定．掌握兩個(gè)平面平行的判定的研究可以轉(zhuǎn)化為線線平行、線面平行的研究．

五、作業(yè)

P．38中習(xí)題五1、2、3．

第五篇：兩個(gè)平面平行的判定和性質(zhì)(二)

Xupeisen110高中數(shù)學(xué)

一、素質(zhì)教育目標(biāo)

（一）知識(shí)教學(xué)點(diǎn)

1．兩個(gè)平面平行的性質(zhì)．

2．兩個(gè)平行平面的公垂線、公垂線段、距離的定義．

（二）能力訓(xùn)練點(diǎn)

1．利用轉(zhuǎn)化的思維方法掌握和應(yīng)用兩個(gè)平面平行的性質(zhì)． 2．應(yīng)用類比的方法理解并掌握兩個(gè)平行平面的公垂線、公垂線段、距離的定義．

二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)、疑點(diǎn)及解決方法

1概念，會(huì)求兩個(gè)平行平面間的距離．

2．教學(xué)難點(diǎn)：掌握兩個(gè)平行平面的性質(zhì)及其應(yīng)用．

3面平行、線面垂直的研究．

三、課時(shí)安排

1．12兩個(gè)平面的位置關(guān)系及1．13安排為

2四、教與學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

生：平行或相交．

b＝0，a∥αβ．

Xupeisen110高中數(shù)學(xué)

（二）兩個(gè)平面平行的性質(zhì)

師：今天我們研究?jī)蓚€(gè)平面平行的性質(zhì)．根據(jù)兩個(gè)平面平行直線和平面平行的定義可知：兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的直線必平行于另一個(gè)平面．1：若α∥

1．兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理

已知：α∥β，γ∩α=a，γ∩β=b．

求證：a∥b．

∵α∥β，∴α與β

∴a∥b．

（反證法．）

假設(shè)直線a不平行于直線b，因?yàn)橹本€a、b在同一個(gè)平面γ內(nèi)，公共點(diǎn)P，即α，β相交，這與“α∥β”矛盾，所以假設(shè)不成立，即a∥b．

Xupeisen110高中數(shù)學(xué)

師：這個(gè)結(jié)論可作為性質(zhì)2：若α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，則a∥b．下面我們?cè)倏匆粋€(gè)例題．

2．例題

例2一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，它也垂直于另一個(gè)平面． 已知：α∥β，l⊥α，l∩α＝A．

求證：l⊥β．

師提問(wèn)：證明直線與平面垂直的方法有幾種？

證明：在平面β內(nèi)任取一條直線b，平面γ與直線b的平面，設(shè)γ∩α ＝a．

因?yàn)橹本€bl⊥β．

3：若α∥β，l⊥α，則l⊥β．

師：象性質(zhì)3這樣的，和兩個(gè)平行平面α，β同時(shí)垂直的直線l，叫做這兩個(gè)平行平面α，β的公垂線，它夾在這兩個(gè)平行平面間的部分叫做這兩個(gè)平行平面的公垂線段．

如圖1—113，α∥β．如果AA＇、BB＇都是它們的公垂線段，那么AA＇∥BB＇，根據(jù)兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理有A＇B＇∥AB，所以四邊形ABB＇A＇是平行四邊形，AA＇＝BB＇．

Xupeisen110高中數(shù)學(xué)

由此，我們得到，兩個(gè)平行平面的公垂線段都相等，公垂線段的長(zhǎng)度具有唯一性．與兩平行線間的距離定義相類似，我們把公垂線段的長(zhǎng)度叫做兩個(gè)平行平面的距離．兩個(gè)平行平面間距離實(shí)質(zhì)上也是點(diǎn)到面或兩點(diǎn)間的距離，求值最后也是通過(guò)解三角形求得

4．練習(xí)（幻燈顯示）

（1）如圖1—114，平面α∥β，△ABC在β內(nèi)，P是

間的一點(diǎn)，線段PA、PB、PC分別交α于A＇、B＇、C，AC＝50cm，AB＝13cm，且PA＇∶PA= 2∶3，則△

師提示：△ABC∽△A＇3∶2．

BB＇⊥β于AC與β成60°角，AC＝8cm，B＇

師提示：可求A＇C＝4cm，又可證AB⊥平面AA＇C，且四邊形 AA＇B＇B為矩形，∴ AB ＝ A＇B＇，AB∥A＇B＇．∴A＇B＇⊥平面AA＇C，從而A＇B＇⊥A＇C．在Rt△A＇B＇C中，Xupeisen110高中數(shù)學(xué)

（3）（P．38中練習(xí)3）夾在兩個(gè)平行平面間的平行線段相等．

已知：如圖1—116，α∥β，AB∥CD，A∈α，C∈α，B∈β，D∈β．

求證：AB＝CD．

證明：∵AB∥CD，∴過(guò)AB、CD的平面γ與平面α和β分別交于ACBD∵α∥β，∴BD∥AC．

∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD．

師：這個(gè)練習(xí)的結(jié)論可作為性質(zhì)

4（三）總結(jié)

平行平面的四個(gè)性質(zhì)．此外，經(jīng)過(guò)平面外一點(diǎn)只有一個(gè)平面和已知平面平行．4）．這節(jié)課學(xué)習(xí)的關(guān)鍵是利用兩個(gè)問(wèn)題．

五、作業(yè)

P．38—3957、8．