第一篇：求數(shù)列極限的方法總結(jié)

求數(shù)列極限的方法總結(jié)

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極限是考研數(shù)學(xué)每年必考的內(nèi)容,在客觀題和主觀題中都有可能會(huì)涉及到平均每年直接考查所占的分值在10分左右，而事實(shí)上，由于這一部分內(nèi)容的基礎(chǔ)性，每年間接考查或與其他章節(jié)結(jié)合出題的比重也很大.極限的計(jì)算是核心考點(diǎn)，考題所占比重最大.熟練掌握求解極限的方法是得高分的關(guān)鍵.極限無外乎出這三個(gè)題型：求數(shù)列極限、求函數(shù)極限、已知極限求待定參數(shù).熟練掌握求解極限的方法是的高分地關(guān)鍵, 極限的運(yùn)算法則必須遵從,兩個(gè)極限都存在才可以進(jìn)行極限的運(yùn)算,如果有一個(gè)不存在就無法進(jìn)行運(yùn)算.以下我們就極限的內(nèi)容簡單總結(jié)下.極限的計(jì)算常用方法：四則運(yùn)算、洛必達(dá)法則、等價(jià)無窮小代換、兩個(gè)重要極限、利用泰勒公式求極限、夾逼定理、利用定積分求極限、單調(diào)有界收斂定理、利用連續(xù)性求極限等方法.四則運(yùn)算、洛必達(dá)法則、等價(jià)無窮小代換、兩個(gè)重要極限是常用方法，在基礎(chǔ)階段的學(xué)習(xí)中是重點(diǎn)，考生應(yīng)該已經(jīng)非常熟悉，進(jìn)入強(qiáng)化復(fù)習(xí)階段這些內(nèi)容還應(yīng)繼續(xù)練習(xí)達(dá)到熟練的程度;在強(qiáng)化復(fù)習(xí)階段考生會(huì)遇到一些較為復(fù)雜的極限計(jì)算，此時(shí)運(yùn)用泰勒公式代替洛必達(dá)法則來求極限會(huì)簡化計(jì)算，熟記一些常見的麥克勞林公式往往可以達(dá)到事半功倍之效;夾逼定理、利用定積分定義常常用來計(jì)算某些和式的極限，如果最大的分母和最小的分母相除的極限等于1，則使用夾逼定理進(jìn)行計(jì)算，如果最大的分母和最小的分母相除的極限不等于1，則湊成定積分的定義的形式進(jìn)行計(jì)算;單調(diào)有界收斂定理可用來證明數(shù)列極限存在，并求遞歸數(shù)列的極限.與極限計(jì)算相關(guān)知識(shí)點(diǎn)包括：

1、連續(xù)、間斷點(diǎn)以及間斷點(diǎn)的分類：判斷間斷點(diǎn)類型的基礎(chǔ)是求函數(shù)在間斷點(diǎn)處的左右極限；

2、可導(dǎo)和可微，分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)或可導(dǎo)性，一律通過導(dǎo)數(shù)定義直接計(jì)算或檢驗(yàn)f?(x0)存在的定義是極限lim?x?0f(x0+?x)-f(x0)存在；

3、漸近線，(垂直、水平或斜漸近線)；

?x4、多元函數(shù)積分學(xué)，二重極限的討論計(jì)算難度較大，常考查證明極限不存在.下面我們重點(diǎn)講一下數(shù)列極限的典型方法.重要題型及點(diǎn)撥 1.求數(shù)列極限

求數(shù)列極限可以歸納為以下三種形式.★抽象數(shù)列求極限

這類題一般以選擇題的形式出現(xiàn), 因此可以通過舉反例來排除.此外,也可以按照定義、基本性質(zhì)及運(yùn)算法則直接驗(yàn)證.★求具體數(shù)列的極限,可以參考以下幾種方法： a.利用單調(diào)有界必收斂準(zhǔn)則求數(shù)列極限.首先,用數(shù)學(xué)歸納法或不等式的放縮法判斷數(shù)列的單調(diào)性和有界性,進(jìn)而確定極限存在性；其次,通過遞推關(guān)系中取極限，解方程, 從而得到數(shù)列的極限值.b.利用函數(shù)極限求數(shù)列極限

如果數(shù)列極限能看成某函數(shù)極限的特例,形如,則利用函數(shù)極限和數(shù)列極限的關(guān)系轉(zhuǎn)化為求函數(shù)極限,此時(shí)再用洛必達(dá)法則求解.★求n項(xiàng)和或n項(xiàng)積數(shù)列的極限,主要有以下幾種方法： a.利用特殊級(jí)數(shù)求和法

如果所求的項(xiàng)和式極限中通項(xiàng)可以通過錯(cuò)位相消或可以轉(zhuǎn)化為極限已知的一些形式,那么通過整理可以直接得出極限結(jié)果.? b.利用冪級(jí)數(shù)求和法

若可以找到這個(gè)級(jí)數(shù)所對(duì)應(yīng)的冪級(jí)數(shù),則可以利用冪級(jí)數(shù)函數(shù)的方法把它所對(duì)應(yīng)的和函數(shù)求出,再根據(jù)這個(gè)極限的形式代入相應(yīng)的變量求出函數(shù)值.c.利用定積分定義求極限

若數(shù)列每一項(xiàng)都可以提出一個(gè)因子,剩余的項(xiàng)可用一個(gè)通項(xiàng)表示, 則可以考慮用定積分定義求解數(shù)列極限.d.利用夾逼定理求極限

若數(shù)列每一項(xiàng)都可以提出一個(gè)因子,剩余的項(xiàng)不能用一個(gè)通項(xiàng)表示,但是其余項(xiàng)是按遞增或遞減排列的,則可以考慮用夾逼定理求解.e.求n項(xiàng)數(shù)列的積的極限,一般先取對(duì)數(shù)化為項(xiàng)和的形式,然后利用求解項(xiàng)和數(shù)列極限的方法進(jìn)行計(jì)算.

第二篇：求數(shù)列極限的方法總結(jié)

求數(shù)列極限

數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)

11級(jí)電子 張玉龍 陳進(jìn)進(jìn)指導(dǎo)教師 魯大勇

摘 要 數(shù)列極限的求法一直是數(shù)列中一個(gè)比較重要的問題，本文通過歸納和總結(jié)，從不同 的方面羅列了它的幾種求法。

關(guān)鍵詞 數(shù)列極限、定義、泰勒公式、無窮小量 極限一直是數(shù)學(xué)分析中的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容，而對(duì)數(shù)列極限的求法可謂是多種多 樣，通過歸納和總結(jié)，我們羅列出一些常用的求法。求數(shù)列極限的最基本的方法 還是利用數(shù)列極限的定義，也要注意運(yùn)用兩個(gè)重要極限，其中，可以利用等量代 換，展開、約分，三角代換等方法化成比較好求的數(shù)列，也可以利用數(shù)列極限的 四則運(yùn)算法則計(jì)算。夾逼性定理和單調(diào)有界原理是很重要的定理，在求的時(shí)候要 重點(diǎn)注意運(yùn)用。泰勒公式、洛必達(dá)法則、黎曼引理是針對(duì)某些特殊的數(shù)列而言的。還有一些比較常用的方法，在本文中都一一列舉了

1.定義法 利用數(shù)列極限的定義求出數(shù)列的極限.設(shè)｛Xn｝是一個(gè)數(shù)列,a 是實(shí)數(shù),如果對(duì) 任意給定的 ε 〉0,總存在一個(gè)正整數(shù) N，當(dāng) n〉N 時(shí),都有 Xn ? a < ε ,我們就稱 a 是數(shù)列{Xn}的極限.記為 lim Xn = a.n→∞ 例 1: 按定義證明 lim 1 = 0.n → ∞ n!解:1/n!=1/n(n-1)(n-2)…1≤1/n 1 令 1/n< ε ,則讓 n> 即可, ε 存在 N=[ 立, 1 ε ],當(dāng) n>N 時(shí),不等式:1/n!=1/n(n-1)(n-2)…1≤1/n< ε 成 1 = 0.n → ∞ n!

2.利用極限四則運(yùn)算法則 對(duì)和、差、積、商形式的函數(shù)求極限,自然會(huì)想到極限四則運(yùn)算法則.1+ a + a2 + L+ an 例 2: 求 lim ,其中 a < 1, b < 1.n →∞ 1 + b + b 2 + L + b n 解: 分子分母均為無窮多項(xiàng)的和,應(yīng)分別求和,再用四則運(yùn)算法則求極限 1 ? a n +1 1 ? b n +1 1+ a + a2 +L + an = ,1 + b + b 2 + L + b n = , 1? a 1? b 1 ? a n+1 1 lim 1? b n →∞ 1 ? a 1? a 原式= = , n +1 = 1 1? b 1? a lim n →∞ 1 ? b 1? b 所以 lim

3.利用夾逼性定理求極限若 存 在 正 整 數(shù) N, 當(dāng) n>N 時(shí) , 有 Xn ≤ Yn ≤ Zn, 且 lim Xn = lim Zn = a , 則 有 n →∞ n →∞ lim Yn = a.n →∞ 例 3:求{ 解: 1+ n }的極限.n2 對(duì)任意正整數(shù) n,顯然有 1 1 + n 2n 2 < 2 ≤ 2 = , n n n n 1 2 而 → 0 , → 0 ,由夾逼性定理得 n n 1+ n lim 2 = 0.n →∞ n

4．換元法 通過換元將復(fù)雜的極限化為簡單.an ?1 例 4.求極限lim n，此時(shí) n →∞ a + 2 有，令 解：若 5.單調(diào)有界原理

4.例 5.證明數(shù)列 證： 令 我們用歸納法證明 若 ≤２ 則 則 有極限，并求其極限。，易知｛ ｝遞增，且 ≤2.顯然。中兩 故由單調(diào)有界原理｛ ｝收斂，設(shè) →，則在 邊取極限得 即 解之得 =２ 或 =-１ 明顯不合要求，舍去，從而

5.6.6.先用數(shù)學(xué)歸納法,再求極限.1 ? 3 ? 5 ? L ?(2n ? 1)例 6:求極限 lim n →∞ 2 ? 4 ? 6 ? L ? 2n 1 3 5 2n ? 1 1 解: 0 < ? ? ? L ? < 2 4 6 2n 2n + 1 1 3 5 2n ? 1 S= ? ? ? L ? 2 4 6 2n 2 4 2n 設(shè) S * = ? ?L? 則有 S< S * 3 5 2n + 1 1 S2=S*S

7.7.利用兩個(gè)重要極限 lim = 1 , lim(1 +)x = e.x →0 x → +∞ x x 2 例 7:求 lim(1 +)x x → +∞ x x x 2 1 解: 原式= lim(1 +)2 ?(1 +)2 = e ? e = e 2 x → +∞ x x

8.8.利用等價(jià)無窮小來求極限 將數(shù)列化成自己熟悉的等價(jià)無窮小的形式然后求極限., lim 例 8:求 lim x→+ 而0 < S < 1 1 1 + x sin x ? 1 ex ?1 2 解:當(dāng) x → 0 的時(shí)候, x sin x → 0 , 1 + x sin x ? 1 ~ 而此時(shí), e x ? 1 ~ x 2 ,所以 x sin x 1 原式= lim = x →0 2 x 2 2 0 ∞

9.9.用洛必達(dá)法則求極限.適用于 和 型 0 ∞ 1 ? cos x 例 9:求 lim x →0 x2 0 解: 是 待定型.0 1 ? cos x sin x 1 = lim lim = 2 x →0 x →0 2 x 2 x

10.10.積分的定義及性質(zhì) 1p + 2 p + 3 p + L + n p 例 10:求 lim(p > 0)n → +∞ n p +1 1p + 2 p + 3 p + L +n p 1 n i 解: lim(p > 0)= lim ∑()p n → +∞ n → +∞ n n p +1 i =1 n p 設(shè) f(x)= x ,則 f(x)在[0,1]內(nèi)連續(xù), 1 i i ?1 i ?x i = , 取 ξ i = ∈ [ , ] n n n n i 所以, f(ξ i)=()p n 1 1 所以原式= ∫ x p dx = 0 p +1

11.11.級(jí)數(shù)收斂的必要條件.2 x sin x.2 設(shè) ∑ u n 等于所求極限的表達(dá)式 , 再證∑ u n 是收斂的, 據(jù)必要條件知所求表達(dá)式的 n =1 n =1 ∞ ∞ 極限為 0.例 11:求 lim n → +∞ n!nn ∞ u 1 1 n!= <1 ,則 lim n +1 = lim n n → +∞ u n → +∞ 1 e n n =1 n(1 +)n n n!所以該級(jí)數(shù)收斂,所以 lim n =0 n → +∞ n

12.12.對(duì)表達(dá)式進(jìn)行展開、合并、約分和因式分解以及分子分母有理化，三角函數(shù) 的恒等變形。sin 5 x ? sin 3 x 例 12.求 lim x →0 sin 2 x 解： ? sin 5 x 2 x 5 sin 3 x 2 x 3 ? 5 3 法一：原式= lim ? ? ? ? ? ? = ? =1 x →0 3 x sin 2 x 2 ? 2 2 ? 5 x sin 2 x 2 ? 5 x + 3x 5 x ? 3x 2 cos sin 2 cos 4 x sin x 2 cos 4 x 2 2 法二：原式= lim = lim = lim =1 x →0 x → 0 2sin x cos x x → 0 2 cos x sin 2 x

13.13.奇數(shù)列和偶數(shù)列的極限相同，則數(shù)列的極限就是這個(gè)極限。(?1)x 例 13：求 lim x 的值 x→∞ 2 ?1 解：奇數(shù)列為 lim x =0 x→∞ 2 1 偶數(shù)列為 lim x =0 x→∞ 2(?1)x 所以 lim x =0 x→∞ 2

14.14．利于泰勒展開式求極限。解:設(shè) ∑ u n = 例 14.求 lim(5 x 5 + x 4 ? 5 x 5 ? x 4)1 1 ? 1 1 1 ? 解：原式= lim x ?(1 +)5 ?(1 ?)5 ?(令 t=)x → +∞ x x x ? ? 1 ? 1 ? 1 + t + o(t)? ?1 ? t + o(t)? 1 1 ? 1? 5 ? 5 ?=2 = lim ?(1 + t)5 ?(1 ? t)5 ? = t → +0 t t 5 ? ?

15.15.利于無窮小量的性質(zhì)和無窮小量和無窮大量之間的關(guān)系求極限。利用無窮小量與有界變量的乘積仍為無窮小量，無窮小量與無窮大量互為倒數(shù) 的關(guān)系，以及有限個(gè)無窮小的和仍是無窮小等等。1 例 15：求 lim 2 sin x 的值 x →∞ x 1 是無窮小量，而 lim sin x 是有界變量，所以 x →∞ x 2 x →∞ 1 lim 2 sin x 還是無窮小量，即 x →∞ x 1 lim 2 sin x =0 x →∞ x

16.16.利用數(shù)列的幾何、算術(shù)平均值求極限。數(shù)列{ an }有極限，則它的幾何平均值和算術(shù)平均值的極限與與原極限相同。解：因?yàn)?lim 例 16：求 lim n an 的值 n →∞ 解： lim n an = lim n n →∞ n →∞ an a a a a a ? 2 ? 1 ? a0 = lim n n ? 2 ? 1 ? lim n a0 n →∞ an ?1 a1 a0 an ?1 a1 a0 n →∞ 設(shè) bn = an，因?yàn)橹?lim n an =1 n →∞ an?1 an an ?1 所以，所求原式的極限就等于{ bn }的極限 即原式= lim bn = lim n →∞ n →∞

17.17.絕對(duì)值中的極限 若 a n → a(n → ∞),則 a n → a(n → ∞)例 17：求 lim 1 的值 x →∞ x 3 1 1 解： lim 3 = lim 3 =0 x →∞ x x →∞ x

第三篇：2018考研數(shù)學(xué)：數(shù)列極限方法總結(jié)歸納

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2018考研數(shù)學(xué)：數(shù)列極限方法總結(jié)歸納

極限是考研數(shù)學(xué)每年必考的內(nèi)容,在客觀題和主觀題中都有可能會(huì)涉及到平均每年直接考查所占的分值在10分左右，而事實(shí)上，由于這一部分內(nèi)容的基礎(chǔ)性，每年間接考查或與其他章節(jié)結(jié)合出題的比重也很大。極限的計(jì)算是核心考點(diǎn)，考題所占比重最大。熟練掌握求解極限的方法是得高分的關(guān)鍵。下面凱程考研就分享一下數(shù)列極限方法，大家注意學(xué)習(xí)。

極限無外乎出這三個(gè)題型：求數(shù)列極限、求函數(shù)極限、已知極限求待定參數(shù)。熟練掌握求解極限的方法是的高分地關(guān)鍵，極限的運(yùn)算法則必須遵從，兩個(gè)極限都存在才可以進(jìn)行極限的運(yùn)算，如果有一個(gè)不存在就無法進(jìn)行運(yùn)算。以下我們就極限的內(nèi)容簡單總結(jié)下：

極限的計(jì)算常用方法：四則運(yùn)算、洛必達(dá)法則、等價(jià)無窮小代換、兩個(gè)重要極限、利用泰勒公式求極限、夾逼定理、利用定積分求極限、單調(diào)有界收斂定理、利用連續(xù)性求極限等方法。

四則運(yùn)算、洛必達(dá)法則、等價(jià)無窮小代換、兩個(gè)重要極限是常用方法，在基礎(chǔ)階段的學(xué)習(xí)中是重點(diǎn)，考生應(yīng)該已經(jīng)非常熟悉，進(jìn)入強(qiáng)化復(fù)習(xí)階段這些內(nèi)容還應(yīng)繼續(xù)練習(xí)達(dá)到熟練的程度;在強(qiáng)化復(fù)習(xí)階段考生會(huì)遇到一些較為復(fù)雜的極限計(jì)算，此時(shí)運(yùn)用泰勒公式代替洛必達(dá)法則來求極限會(huì)簡化計(jì)算，熟記一些常見的麥克勞林公式往往可以達(dá)到事半功倍之效;夾逼定理、利用定積分定義常常用來計(jì)算某些和式的極限，如果最大的分母和最小的分母相除的極限等于1，則使用夾逼定理進(jìn)行計(jì)算，如果最大的分母和最小的分母相除的極限不等于1，則湊成定積分的定義的形式進(jìn)行計(jì)算;單調(diào)有界收斂定理可用來證明數(shù)列極限存在，并求遞歸數(shù)列的極限。

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第四篇：求極限方法

首先說下我的感覺，假如高等數(shù)學(xué)是棵樹木得話，那么 極限就是他的根，函數(shù)就是他的皮。樹沒有跟，活不下去，沒有皮，只能枯萎，可見這一章的重要性。

為什么第一章如此重要？各個(gè)章節(jié)本質(zhì)上都是極限，是以函數(shù)的形式表現(xiàn)出來的，所以也具有函數(shù)的性質(zhì)。函數(shù)的性質(zhì)表現(xiàn)在各個(gè)方面

首先對(duì)極限的總結(jié)如下

極限的保號(hào)性很重要就是說在一定區(qū)間內(nèi)函數(shù)的正負(fù)與極限一致

1極限分為一般極限，還有個(gè)數(shù)列極限，（區(qū)別在于數(shù)列極限時(shí)發(fā)散的，是一般極限的一種）

2解決極限的方法如下：（我能列出來的全部列出來了?。。∧氵€能有補(bǔ)充么？？？）1 等價(jià)無窮小的轉(zhuǎn)化，（只能在乘除時(shí)候使用，但是不是說一定在加減時(shí)候不能用但是前提是必須證明拆分后極限依然存在）e的X次方-1或者（1+x）的a次方-1等價(jià)于Ax等等。全部熟記

（x趨近無窮的時(shí)候還原成無窮?。?/p>

2落筆他 法則（大題目有時(shí)候會(huì)有暗示要你使用這個(gè)方法）

首先他的使用有嚴(yán)格的使用前提?。。?/p>

必須是X趨近而不是N趨近?。。。。ㄋ悦鎸?duì)數(shù)列極限時(shí)候先要轉(zhuǎn)化成求x趨近情況下的極限，當(dāng)然n趨近是x趨近的一種情況而已，是必要條件

（還有一點(diǎn)數(shù)列極限的n當(dāng)然是趨近于正無窮的不可能是負(fù)無窮?。?/p>

必須是 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要存在！?。。。偃绺嬖V你g（x）,沒告訴你是否可導(dǎo)，直接用無疑于找死！）

必須是0比0無窮大比無窮大?。。。。?/p>

當(dāng)然還要注意分母不能為0

落筆他 法則分為3中情況0比0無窮比無窮時(shí)候直接用

20乘以無窮無窮減去無窮（應(yīng)為無窮大于無窮小成倒數(shù)的關(guān)系）所以 無窮大都寫成了無窮小的倒數(shù)形式了。通項(xiàng)之后這樣就能變成1中的形式了

30的0次方1的無窮次方 無窮的0次方

對(duì)于（指數(shù)冪數(shù)）方程 方法主要是取指數(shù)還取對(duì)數(shù)的方法，這樣就能把冪上的函數(shù)移下來了，就是寫成0與無窮的形式了，（這就是為什么只有3種形式的原因，LNx兩端都趨近于無窮時(shí)候他的冪移下來趨近于0當(dāng)他的冪移下來趨近于無窮的時(shí)候LNX趨近于0）

3泰勒公式(含有e的x次方的時(shí)候，尤其是含有正余旋的加減的時(shí)候要 特變注意?。。?/p>

E的x展開sina展開cos展開ln1+x展開

對(duì)題目簡化有很好幫助

4面對(duì)無窮大比上無窮大形式的解決辦法

取大頭原則最大項(xiàng)除分子分母?。。。。?！

看上去復(fù)雜處理很簡單?。。。?！

5無窮小于有界函數(shù)的處理辦法

面對(duì)復(fù)雜函數(shù)時(shí)候，尤其是正余旋的復(fù)雜函數(shù)與其他函數(shù)相乘的時(shí)候，一定要注意這個(gè)方法。

面對(duì)非常復(fù)雜的函數(shù) 可能只需要知道它的范圍結(jié)果就出來了！！

6夾逼定理（主要對(duì)付的是數(shù)列極限！）

這個(gè)主要是看見極限中的函數(shù)是方程相除的形式，放縮和擴(kuò)大。

7等比等差數(shù)列公式應(yīng)用（對(duì)付數(shù)列極限）（q絕對(duì)值符號(hào)要小于1）

8各項(xiàng)的拆分相加（來消掉中間的大多數(shù)）（對(duì)付的還是數(shù)列極限）

可以使用待定系數(shù)法來拆分化簡函數(shù)

9求左右求極限的方式（對(duì)付數(shù)列極限）例如知道Xn與Xn+1的關(guān)系，已知Xn的極限存在的情況下，xn的極限與xn+1的極限時(shí)一樣的，應(yīng)為極限去掉有限項(xiàng)目極限值不變化2 個(gè)重要極限的應(yīng)用。這兩個(gè)很重要?。。?duì)第一個(gè)而言是X趨近0時(shí)候的sinx與x比值。地2個(gè)就如果x趨近無窮大 無窮小都有對(duì)有對(duì)應(yīng)的形式

（地2個(gè)實(shí)際上是 用于函數(shù)是1的無窮的形式）（當(dāng)?shù)讛?shù)是1 的時(shí)候要特別注意可能是用地2 個(gè)重要極限）還有個(gè)方法，非常方便的方法

就是當(dāng)趨近于無窮大時(shí)候

不同函數(shù)趨近于無窮的速度是不一樣的?。。。。。。?！

x的x次方 快于x！快于指數(shù)函數(shù)快于冪數(shù)函數(shù)快于對(duì)數(shù)函數(shù)（畫圖也能看出速率的快慢）?。。?/p>

當(dāng)x趨近無窮的時(shí)候他們的比值的極限一眼就能看出來了換元法是一種技巧，不會(huì)對(duì)模一道題目而言就只需要換元，但是換元會(huì)夾雜其中

13假如要算的話四則運(yùn)算法則也算一種方法，當(dāng)然也是夾雜其中的14還有對(duì)付數(shù)列極限的一種方法，就是當(dāng)你面對(duì)題目實(shí)在是沒有辦法走投無路的時(shí)候可以考慮 轉(zhuǎn)化為定積分。一般是從0到1的形式。

15單調(diào)有界的性質(zhì)

對(duì)付遞推數(shù)列時(shí)候使用證明單調(diào)性?。?！

16直接使用求導(dǎo)數(shù)的定義來求極限，（一般都是x趨近于0時(shí)候，在分子上f（x加減麼個(gè)值）加減f（x）的形式，看見了有特別注意）

（當(dāng)題目中告訴你F(0)=0時(shí)候f（0）導(dǎo)數(shù)=0的時(shí)候就是暗示你一定要用導(dǎo)數(shù)定義?。。?/p>

一，求極限的方法橫向總結(jié)：

1帶根式的分式或簡單根式加減法求極限：1）根式相加減或只有分子帶根式：用平方差公式，湊平方（有分式又同時(shí)出現(xiàn)未知數(shù)的不同次冪：將未知數(shù)全部化到分子或分母的位置上）

2）分子分母都帶根式：將分母分子同時(shí)乘以不同的對(duì)應(yīng)分式湊成完全平方式（常用到

2分子分母都是有界變量與無窮大量加和求極限：分子與分母同時(shí)除以該無窮大量湊出無窮小量與有界變量的乘積結(jié)果還是無窮小量。

3等差數(shù)列與等比數(shù)列和求極限：用求和公式。

4分母是乘積分子是相同常數(shù)的n項(xiàng)的和求極限：列項(xiàng)求和

5分子分母都是未知數(shù)的不同次冪求極限：看未知數(shù)的冪數(shù)，分子大為無窮大，分子小為無窮小或須先通分。

6運(yùn)用重要極限求極限（基本）。

7乘除法中用等價(jià)無窮小量求極限。

8函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)時(shí)，函數(shù)的極限等于極限的函數(shù)。

9常數(shù)比0型求極限：先求倒數(shù)的極限。

10根號(hào)套根號(hào)型：約分，注意別約錯(cuò)了。

11三角函數(shù)的加減求極限：用三角函數(shù)公式，將sin化cos

二，求極限的方法縱向總結(jié)：

1未知數(shù)趨近于一個(gè)常數(shù)求極限：分子分母湊出（x-常數(shù)）的形式，然后約分（因?yàn)閤不等于該常數(shù)所以可以約分）最后將該常數(shù)帶入其他式子。

2未知數(shù)趨近于0或無窮：1）將x放在相同的位置

2）用無窮小量與有界變量的乘積

3）2個(gè)重要極限

4）分式解法（上述）

第五篇：求極限總結(jié)

首先 對(duì) 極限的總結(jié) 如下

極限的保號(hào)性很重要 就是說在一定區(qū)間內(nèi) 函數(shù)的正負(fù)與極限一致極限分為 一般極限，還有個(gè)數(shù)列極限，（區(qū)別在于數(shù)列極限時(shí)發(fā)散的，是一般極限的一種）

2解決極限的方法如下：（我能列出來的全部列出來了?。?！你還能有補(bǔ)充么？？？）等價(jià)無窮小的轉(zhuǎn)化，（只能在乘除時(shí)候使用，但是不是說一定在加減時(shí)候不能用 但是前提是必須證明拆分后極限依然存在）e的X次方-1 或者（1+x）的a次方-1等價(jià)于Ax 等等。全部熟記

（x趨近無窮的時(shí)候還原成無窮小）

2落筆他 法則（大題目有時(shí)候會(huì)有暗示 要你使用這個(gè)方法）

首先他的使用有嚴(yán)格的使用前提?。?！

必須是 X趨近而不是N趨近！?。。。ㄋ悦鎸?duì)數(shù)列極限時(shí)候先要轉(zhuǎn)化成求x趨近情況下的極限，當(dāng)然n趨近是x趨近的一種情況而已，是必要條件

（還有一點(diǎn) 數(shù)列極限的n當(dāng)然是趨近于正無窮的 不可能是負(fù)無窮?。?/p>

必須是 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要存在?。。。。偃绺嬖V你g（x）, 沒告訴你是否可導(dǎo)，直接用無疑于找死?。?/p>

必須是 0比0 無窮大比無窮大?。。。?！

當(dāng)然還要注意分母不能為0

落筆他 法則分為3中情況0比0 無窮比無窮 時(shí)候 直接用0乘以無窮 無窮減去無窮（應(yīng)為無窮大于無窮小成倒數(shù)的關(guān)系）所以 無窮大都寫成了無窮小的倒數(shù)形式了。通項(xiàng)之后 這樣就能變成1中的形式了0的0次方 1的無窮次方 無窮的0次方

對(duì)于（指數(shù)冪數(shù)）方程 方法主要是取指數(shù)還取對(duì)數(shù)的方法，這樣就能把冪上的函數(shù)移下來了，就是寫成0與無窮的形式了，（這就是為什么只有3種形式的原因，LNx兩端都趨近于無窮時(shí)候他的冪移下來趨近于0 當(dāng)他的冪移下來趨近于無窮的時(shí)候 LNX趨近于0）3泰勒公式(含有e的x次方的時(shí)候，尤其是含有正余旋 的加減的時(shí)候要 特變注意?。。〦的x展開 sina 展開 cos 展開 ln1+x展開

對(duì)題目簡化有很好幫助

4面對(duì)無窮大比上無窮大形式的解決辦法

取大頭原則 最大項(xiàng)除分子分母?。。。。?！

看上去復(fù)雜處理很簡單?。。。?！

5無窮小于有界函數(shù)的處理辦法

面對(duì)復(fù)雜函數(shù)時(shí)候，尤其是正余旋的復(fù)雜函數(shù)與其他函數(shù)相乘的時(shí)候，一定要注意這個(gè)方法。

面對(duì)非常復(fù)雜的函數(shù) 可能只需要知道它的范圍結(jié)果就出來了??！

6夾逼定理（主要對(duì)付的是數(shù)列極限?。?/p>

這個(gè)主要是看見極限中的函數(shù)是方程相除的形式，放縮和擴(kuò)大。

7等比等差數(shù)列公式應(yīng)用（對(duì)付數(shù)列極限）（q絕對(duì)值符號(hào)要小于1）

8各項(xiàng)的拆分相加（來消掉中間的大多數(shù)）（對(duì)付的還是數(shù)列極限）

可以使用待定系數(shù)法來拆分化簡函數(shù)

9求左右求極限的方式（對(duì)付數(shù)列極限）例如知道Xn與Xn+1的關(guān)系，已知Xn的極限存在的情況下，xn的極限與xn+1的極限時(shí)一樣的，應(yīng)為極限去掉有限項(xiàng)目極限值不變化 10 2 個(gè)重要極限的應(yīng)用。這兩個(gè)很重要?。?！對(duì)第一個(gè)而言是X趨近0時(shí)候的sinx與x

比值。地2個(gè)就如果x趨近無窮大 無窮小都有對(duì)有對(duì)應(yīng)的形式

（地2個(gè)實(shí)際上是 用于 函數(shù)是1的無窮的形式）（當(dāng)?shù)讛?shù)是1 的時(shí)候要特別注意可能是用地2 個(gè)重要極限）還有個(gè)方法，非常方便的方法

就是當(dāng)趨近于無窮大時(shí)候

不同函數(shù)趨近于無窮的速度是不一樣的！?。。。。。?！

x的x次方 快于 x！快于 指數(shù)函數(shù) 快于 冪數(shù)函數(shù) 快于 對(duì)數(shù)函數(shù)（畫圖也能看出速率的快慢）?。?！

當(dāng)x趨近無窮的時(shí)候 他們的比值的極限一眼就能看出來了換元法 是一種技巧，不會(huì)對(duì)模一道題目而言就只需要換元，但是換元會(huì)夾雜其中13假如要算的話 四則運(yùn)算法則也算一種方法，當(dāng)然也是夾雜其中的14還有對(duì)付數(shù)列極限的一種方法，就是當(dāng)你面對(duì)題目實(shí)在是沒有辦法 走投無路的時(shí)候可以考慮 轉(zhuǎn)化為定積分。一般是從0到1的形式。

15單調(diào)有界的性質(zhì)

對(duì)付遞推數(shù)列時(shí)候使用 證明單調(diào)性?。。?/p>

16直接使用求導(dǎo)數(shù)的定義來求極限，（一般都是x趨近于0時(shí)候，在分子上f（x加減麼個(gè)值）加減f（x）的形式，看見了有特別注意）

（當(dāng)題目中告訴你F(0)=0時(shí)候 f（0）導(dǎo)數(shù)=0的時(shí)候 就是暗示你一定要用導(dǎo)數(shù)定義?。。?/p>

(0)

回復(fù)

1樓2014-03-19 20:22舉報(bào) |來自Android客戶端

張806788364

舉人5

函數(shù)的性質(zhì)也體現(xiàn)在積分 微分中

例如他的奇偶性質(zhì) 他的周期性。還有復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)

1奇偶性，奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 偶函數(shù)關(guān)于軸對(duì)稱 偶函數(shù)左右2邊的圖形一樣（奇函數(shù)相加為0）

2周期性也可用在導(dǎo)數(shù)中 在定積分中也有應(yīng)用 定積分中的函數(shù)是周期函數(shù) 積分的周期和他的一致復(fù)合函數(shù)之間是 自變量與應(yīng)變量互換 的 關(guān)系

4還有個(gè)單調(diào)性。(再求0點(diǎn)的時(shí)候可能用到這個(gè)性質(zhì)！）

（可以導(dǎo)的函數(shù)的單調(diào)性和他的導(dǎo)數(shù)正負(fù)相關(guān)）

:o 再就是總結(jié)一下間斷點(diǎn)的問題（應(yīng)為一般函數(shù)都是連續(xù)的 所以 間斷點(diǎn) 是對(duì)于間斷函數(shù)而言的）

間斷點(diǎn)分為第一類 和第二類剪斷點(diǎn)第一類是左右極限都存在的（左右極限存在但是不等 跳躍的的間斷點(diǎn) 或者 左右極限存在相等但是不等于函數(shù)在這點(diǎn)的值 可取的間斷點(diǎn)

地二類 間斷點(diǎn)是 震蕩間斷點(diǎn) 或者是 無窮極端點(diǎn)

（這也說明極限即是 不存在也有可能是有界的）

:o 下面總結(jié)一下

求極限的一般題型求分段函數(shù)的極限

當(dāng)函數(shù)含有絕對(duì)值符號(hào)時(shí)，就很有可能是有分情況討論的了！?。。?/p>

當(dāng)X趨近無窮時(shí)候 存在e的x次方的時(shí)候，就要分情況討論 應(yīng)為 E的x次方的函數(shù)正負(fù)無窮的結(jié)果是不一樣的?。。。O限中含有變上下限的積分 如何解決類？？？？

說白了 就是說 函數(shù)中現(xiàn)在含有積分符號(hào)，這么個(gè)符號(hào)在極限中太麻煩了 你要想辦法把它搞掉?。。。。。。?！

解決辦法 ：

1求導(dǎo)，邊上下限積分求導(dǎo)，當(dāng)然就能得到結(jié)果了 這不是很容易么？

但是?。?！有2個(gè)問題要注意！！

問題1 積分函數(shù)能否求導(dǎo)？ 題目沒說積分可以導(dǎo)的話，直接求導(dǎo)的話是錯(cuò)誤的?。栴}2 被積分函數(shù)中 既含有T又含有x的情況下如何解決？？？？？？

解決1的方法： 就是方法2 微分中值定理！?。。。?/p>

微分中值定理是函數(shù)與積分的聯(lián)系！更重要的是他能去掉積分符號(hào)！??！

解決2的方法 ： 當(dāng)x與t的函數(shù)是相互乘的關(guān)系的話，把x看做常數(shù)提出來，再求導(dǎo)數(shù)?。?！