第一篇：導數壓軸題 導數與數列不等式的證明

導數與數列不等式的證明

例1.已知函數f(x)?alnx?ax?3?a?R?(1)討論函數f(x)的單調性;(2)證明:1?12?13???1n?ln(n?1)(n?N*)(3)證明:ln22?ln33?ln44?ln55?lnnn?1n?n?2,n?N*? n(4)證明:ln2ln3ln4ln5lnn?1?n?122?32?42?52?n2???2???n?n?2,n?N*?(5)證明:ln24ln34ln44ln54lnn4(n?1)224?34?44?54?n4?4n?n?2,n?N*? ln22ln32(6)求證:lnn2?n?1??2n?1?22?32?...?n2?2?n?1??n?2,n?N??(7)求證:??1??22????1?1??42????1?1??1?82??...???1?1?22n???e?n?N??

例2.已知函數f(x)?lnx?x?1?(1)求f(x)的最大值;nnn(2)證明不等式:??1??2??n?e?n?????n???????n???e?1?n?N*?

例3.已知函數f?x??x2?ln?x?1?

(1)當x?0時,求證:f?x??x3;

(2)當n?N?時,求證:?nf?1??1?1?1?151 k?1??k??2333...?n3?4?2n?n?1?

例4.設函數f(x)?x2?mln(x?1)?m?0?

(1)若m??12,求f(x)的單調區(qū)間;(2)如果函數f(x)在定義域內既有極大值又有極小值,求實數m的取值范圍;(3)求證:對任意的n?N*,不等式lnn?1n?n?1n3恒成立?

例5.已知函數f(x)?ln(x?1)?k(x?1)?1(k?R),(1)求函數f(x)的單調區(qū)間;(2)若f(x)?0恒成立,試確定實數k的取值范圍;(3)證明:ln23?ln34???lnnn?1?n(n?1)4?n?N,n?1?.導數與數列不等式的證明 收集整理:張亞爭 聯系電話:*** 1 / 2 例6.已知函數f(x)?ax?b?c(a?0)的圖像在點(1,f(1))處的切線方程為y?x?1? x(1)用a表示出b,c;

(2)若f(x)?lnx在[1,??)上恒成立,求a的取值范圍;(3)證明:1?

例7.已知函數f(x)?2alnx?x2?1?

(1)當a?1時,求函數f(x)的單調區(qū)間及f(x)的最大值;(2)令g(x)?f(x)?x,若g(x)在定義域上是單調函數,求a的取值范圍;111n?????ln(n?1)?(n?1).23n2(n?1)3n2?n?222222??????(3)對于任意的n?2,n?N,試比較與的ln2ln3ln4ln5lnnn(n?1)*大小并證明你的結論?

1?ln(x?1)(x?0)x(1)函數f(x)在區(qū)間(0,??)上是增函數還是減函數?證明你的結論?

k(2)當x?0時,f(x)?恒成立,求整數k的最大值;x?1(3)試證明:(1?1?2)(1?2?3)(1?3?4)?(1?n?(n?1))?e2n?3(n?N*).例8.已知函數f(x)?

例9.已知函數f?x??x?a?lnx?a?0?(1)若a?1,求f?x?的單調區(qū)間及f?x?的最小值;(2)若a?0,求f?x?的單調區(qū)間;ln22ln32lnn2?n?1??2n?1?(3)試比較2?2?...?2與n?2,n?N??的大小,并證明? ?23n2?n?1?

例10.已知函數f?x??lnx,g?x??x?a?a?R?, x(1)若x?1時,f?x??g?x?恒成立,求實數a的取值范圍?(2)求證:

例11.已知函數f?x??lnx?x?ax

2ln2ln3lnn1????n?2,n?N?? 34n?1n(1)若函數f?x?在其定義域上為增函數,求a的取值范圍;(2)設an?1?

例12.設各項為正的數列?an?滿足a1?1,an?1?lnan?an?2,n?N?.求證:an?2n?1.122?L?an?ln?n?1??2n ?n?N??,求證:3?a1?a2?...?an??a12?a2n導數與數列不等式的證明 收集整理:張亞爭 聯系電話:*** 2 / 2

第二篇：導數證明不等式

導數證明不等式

一、當x>1時,證明不等式x>ln(x+1)

f(x)=x-ln(x+1)

f'(x)=1-1/(x+1)=x/(x+1)

x>1,所以f'(x)>0,增函數

所以x>1,f(x)>f(1)=1-ln2>0

f(x)>0

所以x>0時，x>ln(x+1)

二、導數是近些年來高中課程加入的新內容，是一元微分學的核心部分。本文就談談導數在一元不等式中的應用。

例1.已知x∈(0，)，求證:sinx

第三篇：導數與數列不等式的綜合證明問題

導數與數列不等式的綜合證明問題

典例：（2017全國卷3,21）已知函數f?x??x?1?alnx。（1）若f?x??0，求a的值；

（2）設m為整數，且對于任意正整數n?1???1??1??1? 1??1??m，求m的最小值。???2?n?2??2??2?分析：(1)由原函數與導函數的關系可得x=a是f?x?在x??0，+??的唯一最小值點，列方程解得a?1 ；

(2)利用題意結合(1)的結論對不等式進行放縮，求得?1???1??1??1?1??1??e，結合???2?n?2??2??2?1??1??1??1?1?1??2可知實數m 的最小值為3

???2??3??2??2??2?（1）f?x?的定義域為?0，+??.①若a?0，因為f??=-②若a?0，由f'x??1??2?1+aln2?0，所以不滿足題意； 2ax?a?知，當x??0,a?時，f'?x??0；當x??a，+??時，xx??1?所以f?x?在?0,a?單調遞減，在?a，故x=a是f?x?在?0，f'?x??0，+??單調遞增，+??的唯一最小值點.由于f?1??0，所以當且僅當a=1時，f?x??0.故a=1.練習1：已知函數f(x)?ln(?x)?ax?（1）求實數a的值；

1(a為常數)，在x??1時取得極值.x（2）設g(x)?f(?x)?2x，求g(x)的最小值；

（3）若數列{an}滿足an?aan?1n?1?1(n?N且n?2),a1??1，數列{an}的前n和 2??1?nSn，求證：2?an?esnan(n?N,e是自然對數的底數).整理：在證明中要對證明的式子

2n??1?an?esnan進行簡單的處理為nln2?lnan?Sn? nn，否則直接另x?很唐突.n?1n?11?lnx.x練習2：已知函數f(x)?（1）若函數在區(qū)間?t,t???1??（其中t?0）上存在極值，求實數t的取值范圍； 2?a恒成立，求實數a的取值范圍，并且判斷代數式x?1（2）如果當x?1時，不等式f(x)??(n?1)!?2與(n?1)?en?2(n?N*)的大小.分析：解：（Ⅰ）因為f(x)?1?lnxlnx，x?0，則f?(x)??2，xx當0?x?1時，f?(x)?0；當x?1時，f?(x)?0.所以f(x)在(0,1)上單調遞增；在(1,??)上單調遞減，所以函數f(x)在x?1處取得極大值.1??因為函數f(x)在區(qū)間?t,t??(其中t?0)上存在極值，2??

?t?1,1?所以?1 解得?t?1.2t??1,??2a(x?1)(1?lnx)(x?1)(1?lnx)（Ⅱ）不等式f(x)≥，,即為≥a, 記g(x)?x?1xx[(x?1)(1?lnx)]?x?(x?1)(1?lnx)x?lnx所以g?(x)?.?x2x2令h(x)?x?lnx，則h?(x)?1?

1，∵x≥1，∴h?(x)≥0，x∴h(x)在[1,??)上單調遞增，∴[h(x)m]in?h(?1)?1，從而0g?(x)?0，故g(x)在[1,??)上也單調遞增，所以[g(x)]min?g(1)?2, 所以a≤2；由上述知f(x)≥即lnx≥2恒成立，x?1x?122?1??1?，（此處采用了放縮法，是處理問題的關鍵）x?1x?1x2令x?n(n?1)，則ln[n(n?1)]?1?，n(n?1)∴ ln(1?2)?1?222，ln(2?3)?1?，ln(3?4)?1?，…，1?22?33?42ln[n(n?1)]?1?，n(n?1)

?111?疊加得ln[1?22?32?????n2(n?1)]?n?2???????? 1?22?3n(n?1)??1??222n?2?n?2?1???n?2.則1?2?3?????n(n?1)?e，?n?1?所以[(n?1)！]2?(n?1)?en?2(n?N?)．

第四篇：應用導數證明不等式

應用導數證明不等式

常澤武指導教師：任天勝

（河西學院數學與統(tǒng)計學院 甘肅張掖 734000）

摘要： 不等式在初等數學和高等代數中有廣泛的應用，證明方法很多，本文以函數的觀點來認識不等式，以導數為工具來證明不等式。

關鍵字： 導數 不等式最值中值定理單調性泰勒公式

中圖分類號： O13

Application derivative to testify inequality

ChangZeWu teachers: RenTianSheng

(HeXi institute of mathematics and statistics Gansu zhang ye 734000)Abstract: He inequality in elementary mathematics and higher algebra is widely used, proved many methods, based on the function point of view to know inequality to derivative tools to prove to inequality.Key words: The most value of derivative inequality value theorem monotonicity Taylor formula

1.利用微分中值定理來證明不等式

在數學分析中，我們學到了拉格朗日中值定理，其內容為：

定理1.如果函數f?x?在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)，在開區(qū)間?a,b?上可導，則至少存在一點???a,b?，使得f'(?)?

拉格朗日中值定理是探討可微函數的的幾何特性及證明不等式的重要工具，我們可以根據以下兩種方法來證明。

（1）首先，分析不等式通過變形，將其特殊化。其次，選取合適的函數和范圍。第三，利用拉格朗日中值定理。最后，在根據函數的單調性和最大值和最小值。

（2）我們可根據其兩種等價表述方式

①f(b)?f(a)?f'(a??(b?a))(b?a),0???1

②f?a?h??f?a??f'?a??h?h,0???1

我們可以?的范圍來證明不等式。f(b)?f(a)。b?a

11(x?0)例1.1證明不等式ln(1?)?x1?x

證明第一步變形1 ln(1?)?ln(1?x)?ln(x)x

第二步選取合適的函數和范圍

令f(x)?lntt??x,1?x?

第三步應用拉格朗日中值定理

存在???x,1?x?使得f'(?)?f(1?x)?f(x)(1?x)?(x)

即ln(1?x)?ln(x)?1

?而 ?<1+x 1 1?x

1?x1)?而0?x??? 即ln(x1?x?ln(1?x)?ln(x)?

例 1.2證明：?h>-1且h?0都有不等式成立：

h?ln(1?h)?h 1?h

證明：令f(x)=ln(1+x),有拉格朗日中值定理，????0,1?使得

ln(1?h)?f(h)?f(0)?f'(?h)h?

當h>0時有

1??h?1?1?h,當?1?h?0時有

1?1??h?1?h?0,即h.1??h1h??h;1?h1??h1h??h.1?h1??h

2．利用函數單調性證明不等式

我們在初等數學當中學習不等式的證明時用到了兩種方法：一種是判斷它們差的正負，另一種是判斷它們的商大于1還是小于1.而我們今天所要討論的是根據函數的導數的思想來判斷大小。

定理：設函數f(x)在?a,b?上連續(xù)，在?a,b?可導，那么

（1）若在?a,b?內f'(x)?0則f(x)在?a,b?內單調遞增。

（2）若在?a,b?內f'(x)?0則f(x)在?a,b?內單調遞減。

使用定理：要證明區(qū)間?a,b?上的不等式f(x)?g(x)，只需令F(x)?f(?x)。g使在(x)?a,b?上F'(x)>0（F'(x)<0）且F(a)=0或（F(b)=0）例2.1 設x?0證明不等式ln(1?x)?xe?x

證明：令F(x)?ln(1?x)?xe?x（x>0）

顯然F(0)?0

1ex?x2?1?x?x（x>0）F'(x)??e?xe?x1?x(1?x)e

現在來證明ex?x2?1?0

令f(x)?ex?x2?1顯然f(0)?0

當x?0時f'(x)?ex?2x?0

于是得f(x)在x?0上遞增

故對x?0有f(x)?f(0)?f(x)?0

而(1?x)ex?0

所以F'(x)?0故F(x)遞增

又因為F(0)?0

所以F(x)?0

所以ln(1?x)?xe?x成立

3．利用函數的最大值和最小值證明不等式

當等式中含有“=”號時，不等式f(x)?g(x)(或f(x)?g(x))? g(x)?f(x)?0（或g(x)?f(x)?0），亦即等價于函數G(x)?g(x)?f(x)有最小值或F(x)?f(x?)g(有最大值。x)

證明思路：由待正不等式建立函數，通過導數求出極值并判斷時極大值還是極小值，在求出最大值或最小值，從而證明不等式。

1例3.1證明若p>1，則對于?0,1?中的任意x有p?1?xp?(1?x)p?1 2

證明：構造函數f(x)?xp?(1?x)p(0?x?1)

則有f'(x)?pxp?1?p(1?x)p?1?p(xp?1?(1?x)p?1)

令f'(x)?0，可得xp?1?(1?x)p?1，于是有x?1?x，從而求得x?1。由于2

函數f(x)在閉區(qū)間?0,1?上連續(xù)，因而在閉區(qū)間?0,1?上有最小值和最大值。

由于函數f(x)內只有一個駐點，沒有不可導點，又函數f(x)在駐點x?1和2

111p1?)?p?1,f(0)?f(1),區(qū)間端點(x?0和x?1)的函數值為f()?)p?(1所以2222

1f(x)在?0,1?的最小值為p?1，最大值為1，從而對于?0,1?中的任意x有2

11?f(x)?1?xp?(1?x)p?1。，既有p?1p?122

4．利用函數的泰勒展式證明不等式

若函數f(x)在含有x0的某區(qū)間有定義，并且有直到(n?1)階的各階導數，又在x0處有n階導數f(n)(x0)，則有展式： f'(x0)f''(x0)fn(x0)2(x?x0)?(x?x0)??(x?x0)n?Rn(x)f(x)?f(x0)?1!2!n!

在泰勒公式中，取x0=0,變?yōu)辂溈藙诹止?/p>

f'(0)f''(0)2fn(0)nf(x)?f(0)?(x)?(x)??(x)?Rn(x)1!2!n!

在上述公式中若Rn(x)?0(或?0)則可得

f'(0)f''(0)2fn(0)nf(x)?f(0)?(x)?(x)??(x)，1!2!n!

f'(0)f''(0)2fn(0)n(x)?(x)??(x)?；騠(x)?f(0)?1!2!n!

帶有拉格朗日余項的泰勒公式的實質是拉格朗日微分中值定理的深化，他是一個定量估計式，該公式在不等式證明和微分不等式證明及較為復雜的極限計算中有廣泛的應用。

用此公式證明不等式就是要把所證不等式化簡，其中函數用此公式，在把公式右邊放大或縮小得到所證不等式。

例4.1若函數f(x)滿足：（1）在區(qū)間?a,b?上有二階導函數f''(x)，（2）

f'(a)?f'(b)?0，則在區(qū)間?a,b?內至少存在一點c，使

f''(c)?4f(b)?f(a)。2(b?a)

證明：由f(x)在x?a和x?b處的泰勒公式，并利用f'(a)?f'(b)?0，得f(x)?f(a)?f''(?)(x?a)2

2!f''(?)f(x)?f(b)?(x?b)2,于是2!

a?bf''(?)(b?a)2a?bf()?f(a)??(a???),22!42

a?bf''(?)(b?a)2a?bf()?f(b)??(a???),22!42

f''(?)?f''(?)(b?a)2

相減，得f(b)-f(a)=,24

4f(b)?f(a)1(b?a)2

即?f''(?)?f(?)?,(b?a)224

當f''(?)?f''(?)時，記c??否則記c=?,那么

f''(c)?4f(b)?f(a)(a?b?c)(b?a)2

參 考 文 獻

《數學分析》上冊，高等教育出版社，1990.?1?鄭英元，毛羽輝，宋國棟編，?2?趙煥光，林長勝編《數學分析》上冊，四川大學出版社，2006。?3?歐陽光中，姚允龍，周淵編《數學分析》上冊，復旦大學出版社，2004.?4?華東師范大學數學系編《數學分析》上冊，第三版，高等教育出版社2001.

第五篇：利用導數證明不等式

利用導數證明不等式

例1．已知x>0，求證：x>ln(1+x)分析：設f(x)=x－lnx。x?[0,+???？紤]到f(0)=0，要證不等式變?yōu)椋簒>0時，f(x)>f(0)，這只要證明：

f(x)在區(qū)間[0,??)是增函數。

證明：令：f(x)=x－lnx，容易看出，f(x)在區(qū)間[0,??)上可導。

且limf(x)?0?f(0)?x?0 由f'(x)?1?1x 可得：當x?(0,??)時，f'(x)?f(0)?0 ?x?1x?1 即x－lnx>0，所以：x>0時，x>lnx 評注：要證明一個一元函數組成的不等式成立，首先根據題意構造出一個

函數（可以移項，使右邊為零，將移項后的左式設為函數），并利 用導數判斷所設函數的單調性，再根據函數單調性的定義，證明要 證的不等式。

例2：當x??0,??時，證明不等式sinx?x成立。證明：設f(x)?sinx?x,則f'(x)?cosx?1.∵x?(0,?),∴f'(x)?0.∴f(x)?sinx?x在x?(0,?)內單調遞減，而f(0)?0.∴f(x)?sinx?x?f(0)?0, 故當x?(0,?)時，sinx?x成立。

點評：一般地，證明f(x)?g(x),x?(a,b),可以構造函數F(x)?f(x)?g(x)，如果F'(x)?0,，則F(x)在(a,b)上是減函數，同時若F(a)?0,由減函數的定義可知，x?(a,b)時，有F(x)?0,即證明了f(x)?g(x)。

x練習：1.當x?0時，證明不等式e?1?x?12x成立。2證明：設f?x??e?1?x?x12x,則f'?x??ex?1?x.2xxx令g(x)?e?1?x,則g'(x)?e?1.當x?0時，g'?x??e?1?0.?g(x)在?0,???上單調遞增，而g(0)?0.?g?x??g(0)?0,?g(x)?0在?0,???上恒成立，?f(x)在即f'(x)?0在?0,???恒成立。?0,???上單調遞增，又f(0)?0,?ex?1?x?1x2?0,即x?0時，ex222.證明:當x?1時,有l(wèi)n(x?1)?lnx?ln(x?2).?1?x?12x成立。2分析 只要把要證的不等式變形為

ln(x?1)ln(x?2)?,然后把x相對固定看作常數,并選取輔助函

lnxln(x?1)數f(x)?ln(x?1).則只要證明f(x)在(0,??)是單調減函數即可.lnx證明: 作輔助函數f(x)?ln(x?1)(x?1)lnxlnxln(x?1)?xlnx?(x?1)ln(x?1)?于是有f?(x)?x?12x

lnxx(x?1)ln2x因為 1?x?x?1, 故0?lnx?ln(x?1)所以 xlnx?(x?1)ln(x?1)

（1，??）因而在內恒有f'(x)?0,所以f(x)在區(qū)間(1,??)內嚴格遞減.又因為1?x?1?x,可知f(x)?f(x?1)即 ln(x?1)ln(x?2)?lnxln(x?1)所以 ln2(x?1)?lnx?ln(x?2).利用導數知識證明不等式是導數應用的一個重要方面，也成為高考的一個新熱點，其關鍵是構造適當的函數，判斷區(qū)間端點函數值與0的關系，其實質就是利用求導的方法研究函數的單調性，通過單調性證明不等式。

x2例3.證明不等式x??ln(1?x)?x,其中x?0.2x2分析 因為例6中不等式的不等號兩邊形式不一樣,對它作差ln(1?x)?(x?),則發(fā)現作差以后

21?x)求導得不容易化簡.如果對ln(1,這樣就能對它進行比較.1?xx2證明: 先證 x??ln(1?x)

2x2設 f(x)?ln(1?x)?(x?)(x?0)

21x21?0)?0?0 f(x)?則 f(0)?ln(?1?x?1?x1?x'?　x?0 即 1?x?0 x2?0

x2?　f?(x)??0　,即在(0,??)上f(x)單調遞增

1?xx2?　f(x)?f(0)?0 ?　ln(1?x)?x?

21?x)?x;令 g(x)?ln(1?x)?x 再證 ln(則 g(0)?0 g?(x)?1?1 1?x１?ln(1?x)?x ?　x?0 ?　?1 ?　g?(x)?0 １?xx2?　x??ln(1?x)?x 練習：3（2001年全國卷理20）已知i,m,n是正整數，且1?i?m?n

證明：(1?m)n?(1?n)m

分析：要證(1?m)n?(1?n)m成立，只要證

ln(1?m)n?ln(1?n)m

即要證11ln(1?m)?ln(1?n)成立。因為m

11ln(1?m)?ln(1?n)； mn從而：(1?m)n?(1?n)m。

評注：這類非明顯一元函數式的不等式證明問題，首先變換成某一個一元函數式分別在兩個不同點處的函數值的大小比較問題，只要將這個函數式找到了，通過設函數，求導判斷它的單調性，就可以解決不等式證明問題。難點在于找這個一元函數式，這就是“構造函數法”，通過這類數學方法的練習，對培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力是有很大好處的，這也是進一步學習高等數學所需要的。